数学物理方法论文
运用数学巧解初中物理探微论文

运用数学巧解初中物理探微摘要:物理与数学有着密切的联系,在学习物理时,如何用数学思想为物理解题服务,达到事半功倍的效果?本文从”数学与物理的相关性;学会创意,简捷解答;把握整体,借用方程;活用行程,助解物理”四个方面进行论述关键词:数学巧解初中物理随着新课程改革的不断深入和素质教育的广泛实施,各学科之间的整合与联系进一步加强。
数学知识及方法一直是学习物理和物理解题的重要工具,它提供了对物理问题进行数量分析和计算的方法,提供了物理概念与物理规律简捷精确的表达方式,同时它也是进行推理论证的有效工具和抽象手段。
因此,掌握好数学知识、数学方法和技巧对学好物理、解决物理问题是非常必要的。
在教学和辅导时,发现有些学生没有养成用数学知识、数学方法解物理问题的习惯。
缺乏用数学知识解题的主动性和灵活性。
因此提高和培养学生运用数学知识解物理问题的能力就显得重要和必要了。
一、数学与物理的相关性物理与数学有着密切的联系,到初中调查一下会发现,数学成绩好的学生一般物理成绩也好,物理成绩好的学生一般数学成绩也很好。
数学与物理之间相辅导相成,相得益彰,难怪许多数学成绩好的学生,学起物理来,信心满满。
但数学与物理又不是完全相同的。
它们之中又有一定的区别。
初中物理概念可以分为两类:一类是质的规定性,直接确定内涵的概念或是给出定义的物理量和物理之间的关系;另一种有质的规定性又有量的规定性,表明该物理量的运算关系。
物理定律,规律是通过用数学知识的物理实验结果分析,归纳推理和论证获得。
初中数学常用的方法有加、减、乘、除,这四种方法常被用到物理概念上,物理概念常以数学的形式表述给学生,并指明物理概念原理等计算方法。
如压强是指物体单位面积上受到的压力。
从概念可以推知压强等于压力除以受力面积所得的商。
功等于力和物体在力方向上通过的距离的乘积。
这些算理,如果只是用语言的表达,学生可能难以理解,但如果加上公式学生掌握概念就水到渠成了。
二、学会创意,简捷解答初中物理是一门贴近实际、贴近生活的学科,具有很强的综合性,往往这种综合性强的学科解题的思维也会非常灵活,有着多样化的解题特点。
数学物理方法3篇

数学物理方法第一篇:数学物理方法简介数学物理方法是一门交叉学科,将数学工具应用于物理学问题的研究。
它是物理学和数学的融合,起源于18世纪,随着时代的发展,越来越多的数学方法开始应用于物理学领域。
数学物理方法在物理学领域中具有广泛的应用,包括量子力学、静电学、电磁学、热力学、流体力学、弹性力学等等。
数学物理方法在物理学中的应用可以帮助我们更好地理解和解决科学问题,并推动科学技术的发展。
数学物理方法覆盖的内容非常广泛,涵盖了各种数学分析和代数技术,如微积分、常微分方程、偏微分方程、复变函数、群论、拓扑等等。
这些数学工具在物理学问题的解决中扮演着重要的角色。
总之,数学物理方法是一门重要的交叉学科,其对于物理学的发展和进步具有举足轻重的作用。
它不仅能解决了一些难以用其他方法解决的问题,而且还能促进物理学与数学学科之间的交流与合作。
第二篇:微积分在数学物理方法中的应用微积分是数学物理方法中最常用的工具之一。
在物理学中,微积分被广泛应用于计算物理量的变化率、极值、曲率等。
微积分的基本概念包括导数和积分。
导数是微积分中最基本的概念之一,它描述了函数在某一点的变化率。
在物理学中,导数被用于计算速度、加速度、电场、磁场等物理量。
例如,在运动学中,当物体的位置随时间改变时,我们可以通过对位置函数求导来计算出物体的速度和加速度。
积分是微积分中的另一个重要概念,其本质是面积的计算。
在物理学中,积分被用于计算物体的位移、功、电量、磁通量等物理量。
例如,在静电学中,我们可以通过对电场强度的积分来计算出电势差。
当微积分与其他数学工具和物理概念结合使用时,我们可以解决许多物理学问题。
微积分的应用不仅可以提高我们对物理学问题的理解,而且还促进了物理学和数学学科之间的交流与合作。
第三篇:偏微分方程在数学物理方法中的应用偏微分方程是数学物理方法中另一个重要的工具。
在物理学中,许多物理过程都是描述为偏微分方程。
偏微分方程的解法可以提供物理问题的详细解释和预测结果,这些物理问题伴随着某些变量和空间分布的信息。
高中物理教学论文数学方法在高中物理中的应用

数学方法在高中物理中的应用省高考考试说明(物理)中明确要求“能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系,根据数学特点、规律进行推导、求解和合理外推,并根据结果做出物理判断、进行物理解释或得出物理结论。
能根据物理问题的实际情况和所给条件,恰当运用几何图形、函数图像等形式和方法进行分析、表达”。
本文仅就笔者多年教学实践的经验,着重谈谈数学方法在中学物理教学中多方面的运用及其应该注意的一些问题。
一:用数学方法定义物理概念, 推导物理定律、原理数学是定义物理概念表达物理规律的最简洁、最精确、最概括、最深刻的语言,许多物理概念和规律都要以数学形式(公式或图像)来表述,也只有利用了数学表述,才便于进一步运用它来分析、推理、论证,才能广泛地定量地说明问题和解决问题。
1.用数学的方法来定义物理概念.在此仅以两例来说明.(1) 在中学物理中常用到的比值定义法. 所谓比值定义法就是用两个基本的物理量的“比”来定义一个新的物理量的方法。
比值法定义的基本特点是被定义的物理量往往是反映物质最本质的属性,它不随定义所用的物理量的大小取舍而改变。
如:密度、压强、速度、加速度,功率、电场强度,电容等物理量的定义. (2) 中学物理中的许多定律,例如电阻定律、欧姆定律、牛顿第二定律、气体实验三定律,光的折射定律等都是从实验出发,经过科学抽象为物理定律,最后运用数学语言把它表示为物理公式的。
这是研究物理的基本方法之一.2.用数学知识来推导物理公式。
物理学中常常利用数学知识研究问题,以高中物理“直线运动”这一章为例,就要用极限概念和图像研究速度、加速度和位移;用代数法和三角法研究运动规律和轨迹;用矢量运算法则研究位移与速度的合成和分解等。
另外,物理学中常常运用数学知识来推导物理公式或从基本公式推导出其它关系式,这样既可以使学生获得新知识,又可以帮助他们领会物理知识间的内在联系,加深理解。
二:用数学方法处理物理问题在中学物理学习中常用的数学方法可以分为图像法、极值法、近似计算法、微元法等各类。
数学物理方法范文

数学物理方法范文数学物理方法的一个重要方面是建立数学模型。
数学模型是用数学语言描述现实世界中各种现象和问题的一种工具。
它可以帮助我们理解和预测自然界中的各种现象,比如天体运动、电磁波传播、量子力学等。
建立数学模型的过程通常涉及数学公式的推导和物理定律的应用。
数学物理方法中的一个重要工具是微积分。
微积分是一门研究变化率和累积效应的数学学科。
它提供了一种描述物理量随时间、空间或其他变量变化的方法。
微积分广泛应用于物理学中的各个领域,比如力学、电磁学、热学等。
通过微积分,我们可以计算速度、加速度、功率、能量等物理量,从而解决各种与运动和变化相关的问题。
线性代数也是数学物理方法中的重要工具。
线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支。
它可以用来描述和解决多种数学和物理问题,比如矩阵运算、线性方程组的求解、向量空间的维数等。
线性代数在量子力学、电路理论、统计学等领域中有广泛应用,能帮助我们理解和处理各种线性关系的问题。
数学物理方法还包括概率论和统计学。
概率论是研究随机事件和概率的数学学科,统计学是研究数据收集、分析和解释的学科。
这两个学科在物理学中都有广泛的应用。
概率论可以用来描述和预测物理现象中的随机性,比如量子力学中的测量结果。
统计学可以用来分析实验数据,确定物理模型中的参数,从而验证或推翻理论。
概率论和统计学的应用使得我们能够通过观测到的数据来了解和推断潜在的物理规律。
数学物理方法还可以包括变分法、群论、复变函数等。
变分法是一种寻找使泛函取极值的方法,它在力学、光学、量子力学等领域中有广泛应用。
群论是研究对称性和变换的数学学科,它可以用来描述和分析物理系统中的对称性。
复变函数是研究复数域上的函数的学科,它在电磁学和流体力学等领域中有重要应用。
这些方法在解决物理问题中起到了关键的作用。
总之,数学物理方法为我们理解和解决自然界中各种现象和问题提供了强大的工具。
通过建立数学模型、应用微积分、线性代数、概率论和统计学等方法,我们可以解决各种与运动、变化、随机性和对称性相关的问题。
数学物理方程结课论文

N-S方程在平板间脉冲流动中的应用摘要粘性流体力学是一个历史悠久而又富有新生命力的学科。
它与人们日常生活、健康和旅行无不息息相关。
早在纪元前希腊学者阿基米德即建立了液体载物的浮力理论,其领先远超于力学建基之始。
二千二百年前在李冰父子创导下,我国也建利灌舒洪的都江堰,这个伟大工程当时确已掌握现今的水力学原则和近代的工程设计理论。
在流体粘性效应的问题上,不乏先进接连攻关,终难胜克,足见其艰困之甚。
近数年代里,由于工业发展的迫切需求,已促进不少新学科的萌芽滋长。
诸如能源发展;海洋、大气和陆地交应干扰和持恒;农林牧业的生物科技新探索;城市、河流和山岳的环境保护;疾病防治的医疗科学以及自然灾害的消减和救援等都赋予流体力学新的生命。
纳维-斯托克斯方程又称为N-S方程,是描述实际流体运动的微分方程式,纳维-斯托克斯方程在流体力学中有十分重要的意义。
本文将在阐述粘性流体力学的基本方程的基础上,借助于数学软件MAPLE,应用N-S方程解决平行平板间的脉冲流动问题。
关键词:N-S方程,平行平板,脉冲流动,Maple第一章数学及物理背景数学物理方程以具有物理背景的偏微分方程(组)作为研究的主要对象,主要是指力学、天文学、物理学及工程技术中提出来的偏微分方程,它是随着17世纪工业生产的发展,伴随着天文学、物理学等自然科学的发展而逐步形成的一门独立学科。
描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式,特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程,例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。
所以数学物理方程在推动数学理论发展对于推动数学理论的发展,加强理论与实际的联系,帮助人们认识世界和改造世界都起着重要作用。
但是在使用函数和解方程中,针对表达式和符号运算的问题一直困扰着我们,只能依赖铅笔和演草纸进行纯手工计算,现在这些工作都可以借助计算机代数系统来完成。
计算机代数系统包括数值计算、符号计算、图形演示和编程等四部分。
应用数学数学物理方法大学期末论文

应用数学数学物理方法大学期末论文应用数学物理方法大学期末论文摘要:本论文通过应用数学物理方法,研究了某一实际问题,并提出了相应的解决方案。
首先对问题进行了详细的分析,然后采用适当的数学工具,进行数学建模与计算。
最后,通过实验验证了模型的可行性和准确性。
本论文的研究结果有助于解决实际问题,推动相关领域的发展。
1. 引言在现代科学与工程技术中,应用数学物理方法在解决实际问题中起着重要的作用。
本论文旨在运用数学物理方法,对某一实际问题进行研究与分析,为问题找到合理的解决方案。
2. 问题描述本研究的问题为某公司的生产线上存在一种产品的质量问题,该产品在生产过程中出现了偏差。
为了解决这个问题,我们需要找到原因并提出相应的改进办法。
3. 建立数学模型为了分析该产品的质量问题,我们首先需要建立数学模型。
根据问题的特点,我们选择了X方程和Y方程作为数学模型的基础。
3.1 X方程X方程的建立是为了描述产品的生产过程。
我们分析了各个环节的影响因素,并将其量化表示。
通过对X方程的求解,可以得到产品生产过程中的重要参数和关键因素。
3.2 Y方程Y方程的建立是为了描述产品瑕疵的数量和程度。
我们将产品瑕疵的各种类型进行分类,并对其进行统计和分析。
通过对Y方程的求解,可以得到产品瑕疵的具体情况和规律。
4. 数学建模与计算在本研究中,我们使用了数学建模和计算的方法,对X方程和Y方程进行求解。
通过建立合适的数学模型,我们可以通过计算得出问题的关键参数和结果。
4.1 数学建模我们将X方程和Y方程进行离散化处理,并引入适当的边界条件。
通过建立差分方程组,可以对问题进行离散化描述。
然后,我们使用数值方法对差分方程组进行求解。
4.2 数值计算我们使用MATLAB等数值计算工具对建立的差分方程组进行求解。
通过选择合适的数值方法和算法,可以得到问题的数值解。
同时,我们还对模型进行了参数敏感性分析,以验证模型的可靠性。
5. 结果与讨论经过计算和分析,我们得到了问题的关键参数和结果。
应用数学方法求解物理过程中最值问题[论文]
![应用数学方法求解物理过程中最值问题[论文]](https://img.taocdn.com/s3/m/99bc9400f78a6529647d5356.png)
应用数学方法求解物理过程中最值问题摘要:物理学是一门重要的基础性学科,课程内关于物理过程中的最值问题实际应用性强,而又具一定难度。
本文通过对物理过程中的最值问题进行举例分析,归纳和总结了解决这一问题的思维、方法,有助于提高学生综合运用知识的能力,促进物理教学。
关键词:物理学中最值问题数学思维解题方法物理学家杨振宁指出:“可以用两片生长在同一根管茎上的叶子,来形象化说明数学与物理之间的关系。
数学与物理是同命相连的,它们的生命线交接在一起。
”因此,我们从物理现象出发,经过分析,把物理问题转化为数学问题,灵活运用数学知识对解决物理问题起到十分关键的作用。
以下,通过例举阐述应用数学思维求解物理过程中最值问题的方法。
一、利用几何知识解物理中最值问题此方法主要通过作图,利用平面几何知识将物理最值问题求解例1、如图1:倾角θ=30斜面上放一重量为g的光滑小球,斜面上立一块挡板,使小球静止。
问挡板如何放置,挡板所受压力最小,最小值为多少?解:根据重力g的实际效果分解为:f1垂直于斜面的压力,f2垂直于挡板。
重力g大小、方向一定;f1方向一定。
合力g构成一个三角形,重力g的末端到直线oa的最短距离表示f2最小值,即过g末端作oa的垂线(如图2)由几何关系得:此时挡板位置垂直于斜面。
例2、如图4,要使圆柱绕a点滚上台阶,试作图说明作用于圆上的力f作用在哪点沿什么方向最省力?解:设圆柱重力为g,台阶上a点到重力g作用线的距离为l(g、l不变),作用力为f,台阶上a点到作用力f作用线的距离为x,由力矩平衡,gl=fx,要使f最小则x必须最大,由几何知识,过a点,作直径交圆于b点,若f作用于b点,沿切线方向(如图4)此时x最大,f最小。
二、运用二次函数的极值解物理中最值问题此方法主要根据二次函数,进行求解例3、用直流电动机提升重物,重物质量m为50kg,电源电压为120v。
当电动机以速度v=0.9m/s匀速向上提升重物时,电流i=5a(g取10m/s2),求(1)电机线圈电阻r,(2)电动机对重物最大提升速度是多少?解:(1)电动机工作时的机械功率电动机消耗的电功率由能量转化守恒(2)当电机提升速度变化电动机输出的机械功率三、运用三角函数极值求解物理中最值问题根据三角函数sin(x+α)=±1时,asinx+bcosx有最值且tan α= 的性质解题是一种重要方法。
数学在物理教学上的应用教育论文

数学在物理教学上的应用教育论文在实际教学中,我们常遇到一些学生因数学根底不好而影响物理学习的现象,如公式不会变形、比例式不会运算、物理量之间的关系难以明白等。
数学是物理学的语言和工具,如概括物理现象、形成物理概念、实验数据、进展逻辑分析、建立物理定律、利用数学图像展示物理规律等等,物理学的研究和学习过程都离不开数学,而数学知识在初中物理中也展现了非凡的作用,所以学好物理一定要有好的数学根底。
因此,为了培养学生能力,提高课堂教学水平,我们物理教师应该重视数学在物理教学中的渗透,做好数、理的有机结合。
物理学中常用数学知识表示物理概念、描述物理规律,例如应用数学中的比例关系描述物质的密度(=m/v)、物体的运动速度(v=s/t)等。
在平日教学中用数学知识引导学生理解物理概念,可以提高学生对概念的理解程度和分析问题的能力。
如讲密度时,可以用m=V,让学生发现m是V的正比例函数,也就是y=kx的形式,因此就相当于k,是一个常数,不随m和V的变化而变化,从而得出密度是物质本身的一种属性,只与物质的种类有关,而与m和V 无关。
这就会防止出现物质的密度与物质质量成正比、与物体体积成反比的错误。
物理学中常用数学中函数及图像的方法描绘物理量之间的关系,例如物体受到的重力G=mg(正比例函数)、表示某种物质的熔解与凝固过程(温度─时间图像)等。
在日常教学中用函数来描述物理量及其关系,既便于学生理解又便于学生记忆。
如物体受到的重力G和它的质量m,G=mg,应该让学生明白G是m的正比例函数,也可以让学生画出函数图像,从图像上直观地得到这两个物理量的关系,也就明白了g的意义了。
比例法就是用比例式来解物理题的方法,在解题中,依据物理定律、公式或某些量相等、成多少比例等,用比例式建立起量和量之间的关系,再利用比例性质来计算量。
比例法解题在许多情况下是很简单的,只要比量的单位相同就可求解,不必统一为国际单位。
例如:我国开始实施彩电能效新标准,规定待机功率高于9W的彩电不能进入市场销售。
数学物理方程课程教学论文

数学物理方程课程教学论文1注重基础知识的回顾数学物理方程课程的教学目的是让学生了解和掌握运用数学方法解决实际问题的过程,从而形成一定的分析问题和解决问题的能力,为进一步深入地学习或者从事实际工作打好基础.该课程涉及高等数学、复变函数、常微分方程和物理等多门课程,特别是常用到高斯公式、格林公式、梯度、方向导数、曲面积分和傅里叶级数等知识,而这些又是高等数学中的难点,因此有必要在讲解新知识前对相关课程的知识进行回顾.如在讲傅里叶积分法前,引导学生复习傅里叶级数,让学生理解收敛定理并熟记函数展开成傅里叶级数的公式.2精选教学内容针对数学物理方程课程内容多、课时少和难度大的特点,要求教师在教学过程中,对课程的内容进行精选,把握住教学内容的框架,结合学生的专业特点对教材知识点进行适当取舍及必要的补充.选取经典内容,重点突出分离变量法、积分变换法、行波法和格林函数法等,让学生掌握每种方法所解决的不同类型定解问题.如分离变量法用于求解有界区域内的波动方程、热传导方程和稳定场方程的定解问题;积分变换法适用于无界区域或半无界区域内的定解问题;行波法适用于无界区域内的波动方程定解问题等.同时让学生体会其中的思想,即数学物理方程是将动态的模型转化为数学等式,通过数学知识来解释这个动态过程,让学生掌握每种方法蕴含的数学思想.如分离变量法就可以看成是一种利用叠加原理,将复杂的偏微分方程定解问题的求解转化为一些常微分方程求解,其中渗透着“由难变易”、“由复杂变简单”的转化思想.3改进教学方法和考核方式3.1改进教学方法传统的教学方法使学生感到数学物理方程课程很繁琐,形成了畏难心理,缺乏学习信心,因此有必要对教学方法进行改进,改变以往单一的黑板教学,采取以传统的教学方法为主,以多媒体教学为辅的教学方式.在计算、求解和推导处使用传统的板演,给学生更多思考的空间和时间,让学生思路跟上整个推导,这样学生就可以更好的理解整个推导的过程和解题的思路.对于一些基本概念、定理、公式、内容的小结和背景知识等采用多媒体,这样翻页方便,在需要时可以立刻调用,节约了时间.在讲物理背景时采用多媒体,在课件中适当地穿插图片、动画和声音,以激发学生的兴趣,增强学生对所学内容的理解.定解问题结果的表达式往往很复杂,使学生感到困惑,教师可以将问题的结果用图形或动画表现出来,形象地展现出问题的物理意义,也可以给学生留些作业,让他们利用数学软件Matlab来求解,并将结果形象地展示出来,这样不但调动了学生学习该门课程的热情,而且学生对数学软件Matlab强大的计算和作图功能也产生了浓厚的兴趣.如在建立细弦的振动方程时,将细弦的振动动态过程用多媒体呈现出来,这样看起来更直观形象,便于后面的分析.3.2改进考核方式学生的平时学习是知识积累的过程,考试是对学生知识掌握程度的检测,也是促进学生学习的必要手段.而学习是要靠平时的积累和期末总体的复习,才能对课程有一个全面的理解和把握.但是现在有一部分学生不注重平时学习,靠考前突击,能理解的就理解,理解不了的就死记硬背,蒙混过关,考试后所学的知识几乎就忘了.因此,课程考核过程中增加平时表现、平时作业和课程论文等所占的比例,这样学生就会重视平时的学习过程,较好地达到平时知识积累的效果.只有重视平时的学习,才能更好地静下心理解所学的知识,增强学生的学习兴趣,有效地提高了学生知识掌握能力.平时教师应多让学生做些练习,多和学生交流讨论,加强基础训练,以便学生顺利地通过期末考试,并为以后其他课程的学习奠定坚实的基础.。
“数学物理方法”课程教学改革与实践

“数学物理方法”课程教学改革与实践-教育论文“数学物理方法”课程教学改革与实践郭裕,鲁耿彪,王成志(长沙理工大学物理与电子科学学院,湖南长沙410000)摘要:“数学物理方法”是物理学、电子信息学等诸多理工科专业的一门重要的专业基础理论课,在自然科学和工程技术中处于十分重要的地位。
本文根据“数学物理方法”课程的特点,结合教学实践,从该课程的教学方法和教学内容等方面阐述了教学改革的思路、现代信息技术与“数学物理方法”课程教学的整合以及如何培养学生的创新能力和综合能力。
关键词:“数学物理方法”;教学改革;现代信息技术;整合DOI:10.16083/中图分类号:G642.0文献标识码:A文章编号:1671—1580(2015)07—0054—02基金项目:本文系长沙理工大学教学改革项目(项目编号:JG1460)的研究成果。
收稿日期:2015—01—15作者简介:郭裕(1980—),男,湖南湘潭人。
长沙理工大学物理与电子科学学院,副教授,博士,研究方向:量子光学。
鲁耿彪(1980—),男,湖南岳阳人。
长沙理工大学物理与电子科学学院,讲师,博士,研究方向:冷原子物理。
王成志(1976—),男,山东潍坊人。
长沙理工大学物理与电子科学学院,讲师,博士,研究方向:量子光学。
“数学物理方法”是物理学、电子信息学和光信息学等诸多理工科专业的一门重要的基础理论课,[1][2]在自然科学和工程技术中处于十分重要的地位。
通过“数学物理方法”这门课程的教学,不仅可以帮助学生掌握复变函数、数学物理方程等理论物理的基本数学工具,同时还可以培养学生严谨的逻辑、推演和抽象思维等理性思维能力。
通过该课程的学习,学生应该能够独立解决在今后学习和工作中遇到的数学物理问题,更重要的是培养独立分析、解决问题的能力,为今后从事不同专业方向的工作打下坚实的基础。
然而,一方面,“数学物理方法”课程的特点是内容多而抽象,题目繁而复杂。
而传统的课堂教学基本是用粉笔进行公式的推导,枯燥、乏味、生硬的符号板书使学生眼花缭乱,无法调动学生的学习兴趣,严重影响了学习效率。
数学知识在初中物理的应用优秀论文

数学知识在初中物理的应用优秀论文数学知识在初中物理的应用优秀论文一、数学知识在初中物理解题中应用的优势1。
拥有共同区间数学与物理有一部分是完全重合的。
同时,数学与物理也有着共同的特点,那就是逻辑的严密性和结果的唯一性。
数学与物理的逻辑性都十分严密,每个步骤都必须环环相扣,有一个环节出现错误都会使结果不正确。
而且数学与物理的习题结果永远都是唯一的,不论以什么解题方法来解答习题,最终结果都是一个固定值不会改变。
所以,有一部分数学知识就可以运用到物理习题的解答中去。
2。
数学学科更趋向于解决问题与物理学科相比,数学学科更趋向于解答问题从而得出结果。
而物理学科注重的要点更偏向与实验的过程。
所以,在解答物理习题的过程中,为了更准确明了地解决问题,是可以利用数学知识来进行解答的。
例如:如图所示,若电源的电压一直保持不变,当开关3与“相连时,电流表、与、的示「a-O—0-|数比是3:5,当开关S与6连接时,电流表、与、的示数比拓是2:3,求氏与民的'电阻比。
1|——这道题的解法应为:假设尽与足的电流分别是/,与A,根据题意可得出1八+/2=3/5;根据定律可算出///2=3/2;由于圮与尽是并联,因此能够得出尽/&=3/2;分析当前开关S与b连接时,圮与构的电流分别是与/3,那么就可以的到a_//3=2/1,又由于尽与是并联,所以能够得出巧/民=2/1,由此,可以推算出=3/4。
所以,这道题的最终答案就是3/4。
二、如何将数学知识运用到初中物理解题中1。
正确引导学生初中的学生在此之前从来没有接触过物理,直到升人初中以后才开设了物理这门学科,所以初中生对物理学科是完全陌生的。
而数学学科是学生从幼儿园就开始学习的学科,所以对数学学科和数学知识学生都是比较熟悉的。
学生刚一接触新学科的时候都会感到很难,所以这就要求教师对学生进行正确的引导。
在教导学生解答物理习题时,可以将学生熟悉的数学知识融人到陌生的物理习题的解答方法中,这样既能降低物理习题的难度,也能使学生对物理习题不再陌生。
高中物理教研论文用数学方法解决物理问题

高中物理教研论文用数学方法解决物理问题桦甸市第八中学李晶数学是与物理联系最为紧密的学科之一,数学知识对物理学科来说,绝不仅仅是数量分析和运算的工具,更是物理概念的量化表达及物理定理的推导工具。
运用数学方法解物理问题的能力是提高物理学习的目标之一,既能依照具体问题列出物理量之间的关系式,进行推导、求解。
下面笔者就谈谈几种常见的解决物理问题的数学方法。
一、 在物理学习中会常见到求解极值问题,而这种问题通常会用到数学的三角函数、二次函数及均值不等式。
1、三角函数法例:如下图,在粗糙水平面上的物体m ,受到斜向上的拉力F,做匀速直线运动。
物体与水平面的动摩擦因数u ,问:F 最小值为多少?解析:对受力分析,列平衡方程得a F a F mg u cos )sin (=-au a umg F sin cos += 设u1tan =θ 11)sin()sin(1)sin cos cos (sin 12min 22+==+++=++=u umgF a a u umga a u umg F 时,当θθθθ2、二次函数法例:如图2所示,光滑半圆轨道竖直固定放置,半径为R ,一水平光滑轨道与半圆轨道相切,物块A 在光滑轨道上以4m/s 的速度向右运动,然后从轨道最高点水平抛出。
分析当半圆轨道半径R 多大时,平抛水平位移最大,并求出最大植。
g 取10m/s 2解析:物体的运动过程分成两部分,一个是运动到最高点,一个是平抛过程。
运动到最高点过程:设物体到最高点速度v ,依照动能定理得m x m a b R R R R gR v x gt R vtx mgR mv mv 8.02.02164.616421222121max 2222202==-=-=-===-=-时,竖直:水平:平抛过程:3、均值不等式法例:如图3所示,电源电动势为E ,内阻为r ,可变电阻R ,当R 为何值时,电源输出功率最大?解析:电源的输出功率rE R r r R E r R R E P 42)(22222≤++=+= 当R r R 2=时,取等号,即r R =时,r E P 42max =二、相似三角形法高中物理特别是力学部分,通常利用矢量三角形与集合三角形相似,分析力的变化情况例:如图4所示,竖直绝缘墙壁上的Q 处有一个固定的质点A ,在Q 的上方P 点用丝线悬挂着另一质点B 。
运用数学技巧,解决物理问题论文

运用数学技巧,解决物理问题摘要:高中物理中要求学生有“应用数学方法处理物理问题”的能力.所谓数学方法,就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来,并进行推导、演算和分析,以形成对问题的判断、解释和预测.可以说,任何物理问题的分析、处理过程,都是数学方法的运用过程.关于物理问题中极值的求法很多,本专题中所列出的极值、临界值、极限等数学方法,就是高中物理中的最常见,却又最不容易掌握的技巧。
所列有限,仅供抛砖引玉!关键词:数学方法高中物理极值临界一、极值1.利用三角函数求y=acos θ+bsin θ=a2+b2(aa2+b2cos θ+ba2+b2sin θ)令sin φ=aa2+b2,cos φ=ba2+b2y=a2+b2(sin φcos θ+cos φsin θ)=a2+b2sin (φ+θ)φ+θ=π2时,y有最大值,且ymax=a2+b2.【经典题例1 】如图1所示,重为g的木块,在力f的推动下沿着水平地面匀速滑动,若地面与木块的动摩擦因数为μ,f与水平方向成α角,试说明:若α角超过某一临界值时,无论推力f多大,木块都不可能发生滑动,并用μ值表示该临界角大小。
析:fcosα=f,fsinα+g=n,f=μn,f→∞时,cosα-μsinα→0,cosα-μsinα=0时,无论f多大,木块也不可能发生滑动。
α=tan-1【举一反三】一物体质量为m,置于倾角为α的斜面上,物体与斜面间的动摩擦因数为μ,若要使物体沿斜面匀速向上滑动,求拉力的最小值。
()2.利用二次函数求y=ax2+bx+c=a(x2+bax+b24a2)+c-b24a=a(x+b2a)2+4ac-b24a(其中a、b、c为实常数),当x=-b2a 时,有极值ym =4ac-b24a(若二次项系数a>0,y有极小值;若a12 n,a相对b 滑动c.f=16 n,b受a的摩擦力等于4 nd.无论f多大,a相对b始终静止析:b:μmag=mbamaxamax==6 m/s2a、b系统:fmax=(ma+mb)amax=48nf<fmax=48n时,a、b相对静止。
数学物理方程数学物理论文

数学物理方程数学物理论文“数学物理方程数学物理论文一、教学内容“数学物理方程”作为一门大学基础课,试图通过对一些具有典型意义的模型方程的深入剖析、阐明和介绍偏微分方程的基本理论、解题的典型技巧以及它们的物理背景,把数学理论、解题方法与物理实际这三者有机地、紧密地结合在一起。
l1 所以,虽然在很多院校这门课程是由数学老师担任,但它绝不是一门纯粹的数学课程。
有的老师在授课过程中只注重解题技巧和繁复的公式推导,淡化定解问题的导出与解的物理分析,这不仅与课程的思想相违背,在某种程度上还导致了学生的疲倦和厌学情绪。
在整个教学过程中,我们力求将物理分析贯穿始终,培养学生对于物理问题建立数学模型的能力,并进一步将所得到的数学结论进行物理分析,引导学生自觉地将物理问题和数学方法有机结合起来。
而这也让学生感觉这门课程并不是枯燥的理论,有鲜活的物理规律和实际应用在其中,反过来又激发了学生的学习热情。
新时代的大学生应该具备不断更新知识的能力。
为了让学生能在其基础上走得更远、看得更广阔,我们觉得有必要在经典内容的基础上融人更多新兴的知识,所以在讲课过程中有意地插入现实生活的例子和科技发展的前沿内容。
如在讲对边界条件的依赖性的时候引入蝴蝶效应,在讲线性方程的叠加原理时加入非线性科学如孤子、分形和混沌理论的相关内容,在讲格林函数时顺便提及它在电磁仿真软件中的应用,在讲傅里叶变化和拉普拉斯变化时聊,波变换等等,这些知识并不会占用多少课堂时间,但在扩展学生视野方面起到很关键的作用。
二、教学模式以往数学物理方程的讲授多是采用传统的粉笔授课的方法,这种方法优点是公式推导非常直观,学生容易理解。
但是随之而来的缺点是,由于推导时公式过多,学生很容易迷失于密密麻麻的黑板。
拿弦振动方程的公式推导来说,整个过程需要好几步,每一步又需要很多分析,所以就产生了这种问题:每一步学生都知道是怎么回事,但是不知道为什么这么做,无法从宏观上去把握。
另外,如果在例题的讲解中需要调用相关公式,或者是需要调用一些背景知识,往往需要写很长的时间,浪费了大量的课堂时间。
高中科研论文-关于数学知识在物理上的应用探索

关于数学知识在物理上的应用探索【引言】:数学知识在物理学中的应用广泛而深远。
在理解物理概念和物理规律,解决物理问题时,数学知识起着重要的工具作用。
【正文】: 物理学不只研究物体与运动,而且研究不同形态物质之间的相互作用与相互联系,由量化技术手段到为定性解释。
物理学以物质作为研究对象,不管我们的认识与否,世界上只有物质是实在的,因为一切都是物质派生出来的,应该摆正关系避免本末倒置。
什么运动位置、距离、速度、方向、转换变化力等各种现象,都脱离不开这个物质作用的,离开物质一切都不存在了。
数学是在考虑对象中产生的,然后又脱离了对象,而物理学以数学化的方法来对待物理,采用或仿效数学这种逻辑演绎方法。
这是一种进步,有些人认为所有的物理定理规律等都是通过观察自然后而又经过人为性规定的,将规律当作了不证自明无可争议的真理。
但是,所谓的“规律”实则掩盖了事物过程中存在有效的相互作用的原因。
实际上,数学在实际应用技术方面获得巨大的成功,说明数学在应用技术方面的成效是不容抹杀否定的。
数学在科学活动中所发挥的实际应用作用是显而易见的,数学本身就是属于一种实际应用技术性的工具,如果说没有数学也就没有科学是毫不夸张的。
数学家或几何学家们为物理学家们准备了各种可供选择使用的数学公式或几何形式。
公式是数学家通过抽象归纳发明的,它起到了物理学家所起不到的作用,这是数学所起到的作用。
数学是具有它本身的特点,即高度的符号化、抽象化、形式化、逻辑化、简单化的特点。
我们追求简单化,而不单是数学上无内容的简单化,数学看似容易简单,而实质却没有实际事实内容,才有时把认识问题复杂化了。
数学只关注形式数量的变化,却容易忽视内容和关系上的变化。
实质原因只是在事实发生或产生的之前,也不是在过程之中,更不是过后的结果。
谈中学物理中的数学物理方法及其应用

谈中学物理中的数学物理方法及其应用在中学物理教学过程中,数学物理方法是物理思维解决物理问题的有效工具。
这种方法基于数学原理和物理定律来统筹分析解决物理问题。
它既提供了一种思维方式,又提高了物理认知的深度和广度。
随着社会的发展,现代物理教育必须注重数学物理方法在物理教学中的重要性。
数学物理方法的本质是整合物理定律和数学原理,以达到预期的物理效果。
它充分利用数学方法,发现物理规律,并把这些规律涵盖在具体的物理问题中,从而理清物理现象的原理,提出比较有针对性的解决方案。
数学物理方法可以深入分析和解决实际物理问题,并可以更深入地发掘物理定律,从而更好地掌握物理理论。
在中学物理中,新一代物理教学中心鼓励学生使用数学物理方法来解决物理问题。
它教会学生独立思考、推理和分析实际问题,熟练掌握物理理论及其应用,更好地运用现代物理学的思想工具,从而提高物理实践能力。
数学物理方法的应用可以使学生更好地理解物理知识,更准确地推理物理问题,从而提高学习效率和深度。
此外,数学物理方法也在实际应用中发挥重要作用。
现代社会,许多新兴技术和科学研究都依赖于数学物理方法,如气象学、计算机科学、自动控制等。
从太阳能、水力发电、特斯拉等新能源技术的研究发展,到量子物理学的新突破,都需要深入使用数学物理方法,做出科学的推断。
综上所述,数学物理方法在中学物理教学中具有至关重要的作用。
首先,它提高了学生对物理理论的深度理解,可以有效辅助物理认知,提高学习效率。
其次,它在现代物理实际应用中也发挥重要作用,可以帮助科学家们更准确地推断物理原理和技术发展趋势。
因此,在中学物理教学中,应该充分利用数学物理方法,更好地掌握物理理论,不断完善教学理念和教学方法,提高物理教学的质量。
物理论文中小学数学教学

物理论文中小学数学教学第一部分:背景分析与问题提出一、背景分析随着我国科技教育的不断发展,物理学科在基础教育阶段的重要性日益凸显。
然而,在当前的物理教学中,尤其是在中小学阶段,学生普遍反映物理概念抽象、难以理解。
数学作为物理学科的基础工具,在物理教学中的作用不容忽视。
本方案旨在探讨如何将数学知识融入中小学物理教学,提高学生对物理概念的理解和运用能力。
二、问题提出1. 中小学物理教学中,数学知识的应用程度不够,导致学生对物理概念的理解停留在表面。
2. 现有教材中,数学与物理知识的结合不够紧密,缺乏系统性和连贯性。
3. 教师在教学中,对数学工具的运用不够灵活,难以激发学生的学习兴趣。
4. 学生在解决物理问题时,缺乏运用数学知识进行推理和计算的能力。
三、目标与意义1. 提高中小学物理教学中数学知识的融入程度,帮助学生更好地理解物理概念。
2. 建立数学与物理知识之间的联系,提高学生的综合运用能力。
3. 提升教师的教学水平,激发学生的学习兴趣,提高教学质量。
4. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力,为未来学习和发展奠定基础。
四、研究方法1. 文献分析法:收集国内外关于物理教学、数学教学以及二者融合的研究成果,为本研究提供理论依据。
2. 问卷调查法:设计调查问卷,了解当前中小学物理教学中数学知识的应用现状,分析存在的问题。
3. 案例分析法:选取具有代表性的物理教学案例,分析其中数学知识的运用,总结成功经验。
4. 实证研究法:在实际教学中尝试运用本方案,观察教学效果,不断优化和完善方案。
五、实施方案1. 整合教材内容,将数学知识融入物理教学,提高学生的理解能力。
2. 培训教师,提高其在物理教学中运用数学工具的能力。
3. 设计具有针对性的教学活动,激发学生的学习兴趣,培养其逻辑思维能力。
4. 结合实际案例,总结经验,推广有效的教学方法。
5. 定期评估教学效果,根据反馈调整方案,确保实施效果。
本部分对物理论文中小学数学教学的背景、问题、目标、意义及研究方法进行了详细阐述,为后续部分的实施提供了基础和方向。
数学物理方法在机械中的运用

数学物理方法在机械中的运用
数学物理方法在机械中的运用
机械技术是应用科学原理与技术制造机械,并使机械设备达到一定的功能的工
程学技术。
它的发展取决于各类技术的完善,其中数学物理方法在机械设计中发挥着极其重要的作用。
数学物理方法指的是以数学建模和物理原理为基础,以计算机软件为主要工具,用以实现精确测量,有效分析、模仿机械设计及它们之间联系的科学方法,它可以使工程师们更高效地分析、设计机械系统,提高工程设计的综合效率。
以形状设计与计算机辅助设计为例,数学物理方法可以快速而准确地反映出所
设计分区的参数和部件形状,并能够很快确认设计所要求的精度,加快了产品的设计过程,从而提升了设计的效率。
此外,数学物理方法还可以用于模拟和校核机械设备运行的动态性能,使工程
师们能够更直观地看出在设计中可能存在的问题,从而快速有效地解决可能存在的问题。
另外,数学物理方法可用于预测模型材料的特性及加工参数,例如强度、硬度
和热塑性,从而改善材料的选择,减轻设计过程中的用料错误。
总体来看,数学物理方法为机械设计提供了高效精准的方法,不仅能够显著提
升工程师们的工作效率,而且能够有效改善机械设计及制造的质量和可靠性。
数学物理方法论文

数学物理方法第一篇总结1.1复数与复数运算(一)复数的概念一个复数可以表示为某个实数与某个纯虚数iy 的和,z=x+iy ,这是复数的代数式,x 和y 叫做该复数的实部和虚部,并分别记做Re z 和Im z 。
如果将x 和y 当做平面上点的坐标,复数z 就跟平面上的点一一对应起来,这个平面称为复数平面,两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。
复数的三角式]sin [cos θθρi z +=,其中22y x +=ρ,()x /y arctg =θ。
共轭复数的概念如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。
(二)无限远点 复球面无限远点:复平面上ρ为无限大的点.复球面:与复平面相切于坐标原点o ,其上每一点都与复平面上的点构成一一对应关系的球面.(三)复数的运算已知两个复数:211sin cos θθi z += 222sin cos θθi z += 1.加减运算 )sin (sin )cos (cos z 212121θθθ+++=+i z 2.乘法运算[])sin(i )cos()sin )(cos sin (cos 21212122112121θθθθρρθθθθρρ+++=++=i i z z3.除法运算[])(i 212121212121)sin(i )cos(θθθθθθ-=-+-=e r rr r z z 4.复数的乘幂)sin (cos θθρn i n z nn+=5.复数的方根)sin (cosni n z nnθθρ+=(四)典型例题计算下列数值(其中θ为常数)1.ϑθθθn cos 3cos 2cos cos +++2.θθθθn sin 3sin 2sin sin +++1.2复变函数(一)复变函数的定义对于复平面的点集E ,它的每个点z 都有一个或多个点ψ通过确定的关系与之对应。
则称ψ为z 的复变函数,记作:ψ= f (z ), z ∈E E 叫做定义域。
大学物理教学思想和数学方法论文

大学物理教学思想和数学方法论文大学物理教学思想和数学方法论文1理想模型思想理想模型思想是研究物理学问题的最基本思想,是为了突出问题的主要性质,忽略了次要因素的影响,用一种理想化的客体来代替客观事物,从而使问题变得简单的方法。
质点是物理中建立的第一个理想化模型:当物体自身的线度大小远小于两物体之间的距离,而且物体的大小、形状对所研究问题的影响忽略不计时,都可以把它们视为质点。
能否将物体视为一个质点,要以具体的研究问题来决定,而与物体本身无关。
原子、分子虽小,一旦涉及到自身的内部结构就不可以把它们视为质点;地球虽大,如果不涉及自身结构及自转,就可以将它看做质点。
理想模型的学习能够使学生认识到建立模型是物理学也是自然科学中的一个基本研究思想,若不这样做就无法将复杂事物简单化,问题很难得到解决[2];同时这种理想化的抽象又不是凭主观想象的,有一定的限定条件和限定范围,是以客观事实(当问题本身的次要因素对所要研究的问题影响不大,可以忽略不考虑)为基础的。
通过在教学过程中渗透理想模型思想可以培养学生的思维概括能力,抓住事物的本质因素,掌握建立理想模型的条件和方法,当理想模型存在不足时,知道如何对其进行适当修正。
同时,为后续物理学中相关内容的学习打下良好的思维能力基础,如刚体模型、黑体模型、点电荷模型、原子模型等的建立与理解。
理想模型思想还能够应用到其他学科及社会生活中去。
例如,管理学中,对于一个具体的研究问题,对各方面的.影响因素进行分析之后,忽略非本质因素的影响,建立一定的理想模型,通过相关的软件计算得到最终的结果。
因此,不管学生毕业之后从事什么工作,物理学中所体现的理想模型思想对他们今后的工作都具有一定的指导作用。
2微积分思想和方法大学物理与中学物理的一个重要区别是微积分思想在解决物理问题中的广泛应用。
中学物理采用的是初等数学的方法,而大学物理涉及到的主要是微积分的思想,这对于刚步入大学开始学习物理的学生来说是难以适应的。
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数学物理方法第一篇总结1.1复数与复数运算(一)复数的概念一个复数可以表示为某个实数与某个纯虚数iy 的和,z=x+iy ,这是复数的代数式,x 和y 叫做该复数的实部和虚部,并分别记做Re z 和Im z 。
如果将x 和y 当做平面上点的坐标,复数z 就跟平面上的点一一对应起来,这个平面称为复数平面,两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。
复数的三角式]sin [cos θθρi z +=,其中22y x +=ρ,()x /y arctg =θ。
共轭复数的概念如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。
(二)无限远点 复球面无限远点:复平面上ρ为无限大的点.复球面:与复平面相切于坐标原点o ,其上每一点都与复平面上的点构成一一对应关系的球面.(三)复数的运算已知两个复数:211sin cos θθi z += 222sin cos θθi z += 1.加减运算 )sin (sin )cos (cos z 212121θθθ+++=+i z 2.乘法运算[])sin(i )cos()sin )(cos sin (cos 21212122112121θθθθρρθθθθρρ+++=++=i i z z3.除法运算[])(i 212121212121)sin(i )cos(θθθθθθ-=-+-=e r rr r z z 4.复数的乘幂)sin (cos θθρn i n z nn+=5.复数的方根)sin (cosni n z nnθθρ+=(四)典型例题计算下列数值(其中θ为常数)1.ϑθθθn cos 3cos 2cos cos +++2.θθθθn sin 3sin 2sin sin +++1.2复变函数(一)复变函数的定义对于复平面的点集E ,它的每个点z 都有一个或多个点ψ通过确定的关系与之对应。
则称ψ为z 的复变函数,记作:ψ= f (z ), z ∈E E 叫做定义域。
(二)区域的概念在解析函数论中,函数的定义域一般不是点集,而是满足一定条件的点集,称为区域,用B 表示。
邻域:以某点z0为圆心,以任意小的正实数为半径的圆的内部,称为0z 的邻域。
内点:若0z 及其邻域均属于点集E ,则称为该点集的内点。
外点:若0z 及其邻域均不属于点集E ,则称为该点集的外点。
边界点:若在0z 的每个邻域内,既有属于E 得点,也有不属于E 的点,则称0z 为该点集的边界点,它既不是E 的内点,也不是E 的外点,边界点的全体称为边界线。
区域是指满足下列两个条件的点集: 1. 全由内点组成;2. 具有连通性,即点集的任意两点都可以用一条折线连起来,且折线上的点全部属于该点集。
(三)典型例题 求解方程2sinz =1.3导数(一)导数的概念设函数(z)f =ω是在区域B 上定义的单值函数,即对于B 上的每一个Z 值,有且只有一个ω值与之相对应。
若在B 上的某点z ,极限zz z z lim z limz 0z ∆∆+=∆∆∆→∆)(—)(f f ω存在,并且与0z →∆的方式无关,则称f (x )在z 点可导。
(二)柯西黎曼方程柯西-黎曼方程在直角坐标系下的C-R 条件,是复变函数可导的必要条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y u x v y v x u柯西-黎曼方程在极坐标系下的C-R 条件,是复变函数可导的必要条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂∂∂=∂∂θρρθρu v v u 1-函数f (z )可导的充分必要条件:f (z )的偏导数yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,存在且连续,并满足C-R 条件。
(三)典型例题试从极坐标系中的柯西黎曼方程中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂∂∂=∂∂θρρθρu v v u 1-消去u 或者v 。
(四)人物传记1.柯西:法国数学家,他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的,在数学写作上,他是被认为在数量上仅次于欧拉的人,他首创性的工作是关于单复变函数论,阐明了有关概念,并且用这种积分来研究多种多样的问题,如实定积分的计算,级数与无穷乘积的展开,用含参变量的积分表示微分方程的解等等。
他还在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。
2.黎曼:德国数学家,对数学分析和微分几何做出了重要贡献,其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。
他的名字出现在黎曼ζ函数,黎曼积分,黎曼引理,黎曼流形,黎曼映照定理,黎曼-希尔伯特问题,黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。
他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲,开创了黎曼几何,并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。
1.4解析函数(一)解析函数的定义若函数f (z )在z0点及其邻域上处处可导,则f (z )在z0点解析。
又若f (z )在区域B 上每点都解析,则f (z )是区域B 上的解析函数。
(二)解析函数的性质1.若函数f (z )=u+iv 在区域B 上解析,则u(x,y)=1C ,v(x,y)=2C ,是B 上的两组正交曲线组。
2.若函数f (z )=u+iv 在区域B 上解析,则u ,v 均为B 上的调和函数。
(三)典型例题已知解析函数()z f 的实部()y x u ,或者虚部()y x v ,,求该解析函数。
1.y e u xsin =;2.xy y x u +-=22,()00=f ;2.1复变函数的积分(一)复变函数积分的定义设在复数平面的某分段光滑曲线l 上定义了连续函数f (z ),在l 上取一系列分点z0(即起点A ), z1 , z2,…, zn (即终点B ),把l 分成n 个小段,在每个小段[zk-1,zk]上任取一点ξk ,作 和得k k nz f f ∆=∑∑==)(z z 1k 1k kn1k kζζ)—()(—当n →∞且每小段都无限缩短时,如果这个和的极限存在,且其值与各个ξk 的选取无关,则这个和为函数f(z)沿曲线l 从A 到B 的路积分,记作⎰ldz z f )(=⎰⎰++-lldy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u ),(),(),(),((二)复变函数积分的性质 1.常数因子可以移到积分号外;2.和积分等于积分和;3.反转路径,积分反号;4.全路径上的积分等于各段积分之和一般来说,复变函数积分值不仅依赖于起点和终点,同时还与积分路径有关。
2.2柯西定理(一)单连通区域的情况单通区域:在其中做任何简单的闭合围线,围线内的点都是属于该区域内的点。
也可以认为是一根闭合曲线围成的区域。
单连区域柯西定理:如果函数f (z )在闭单通区域B 上解析,则沿B 上的任一分段光滑闭合曲线l ,有⎰=ldz z f 0)(证明如下⎰⎰⎰++-=llldy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f ),(),(),(),()(,由于f (z )在B 上解析,因而有yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,在B 上连续,Z 0(A)根据格林公式dxdy y P x Q Qdy Pdx l S⎰⎰∂∂-∂∂=+)(和C-R 条件yux v y v x u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂-,得: ⎰=ldz z f 0)((二)复通区域情形为了将奇点排除在区域之外,需要做一些适当的闭合曲线把奇点分隔出去,即形成复通区域。
一般来说,在区域内,只要有一个简单的闭合曲线内有不属于该区域的点,这样的区域便称为复通区域。
对于区域(单或复通区域)的境界线,通常这样规定(内外)正方向,区域在观察者的左边。
复通区域柯西定理:如果f (z)是闭复通区域上的单值解析函数,则⎰∑⎰=+=lni l idz z f dz z f 0)()(1l 为区域外境界线,l i 为内境界线,积分均沿正方向进。
证明如下:向积分相等。
沿内外境界线逆时针方即:+的积分值抵消,于是其中沿同一割线两边缘+++按单通区域柯西定理,⎰∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===+=+lni l l lBAl ABlidzz f dz z f 1)()(011(三)柯西定理的总结:1.闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零;2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零;3.闭复通区域上的解析函数沿境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针积分之和。
4.对于某个闭单通或闭复通于区上为解析的函数,只有起、终点固定不变,当积分路径连续变形(不跳过“孔”),路积分值不变。
2.3不定积分(一)不定积分的概念根据柯西定理,若函数f (z )在单通区域B 上解析,则沿B 上任一路径L 的积分⎰l)(zdz f的值只跟起点和终点有关,而与路径无关。
因此,当起点和终点固定时,这个不定积分就定义了一个单值函数,记作⎰=zz d f z F 0)()(ζζ例如).n ()(为整数dzz I nl⎰-=α1. 若回路L 不包围点α,则被积函数在l 所包围的区域上是解析的,按照柯西定理,积分值为零。
2. 接着讨论L 包围α的情形,如果0≥n ,被积函数在l 所包围的区域是解析的,积分值也为零;如果0<n ,被积函数在l 所包围区域有一个奇点α,我们可以将L 变形一点α为圆心,R 为半径的圆周C ,R 是相当任意的,在C 上ϕαi z Re =-ϕααϕπϕϕϕid e R e R d e R dz z I i in n lCi in n n ⎰⎰⎰=+=-=20)Re ()(α 讨论:1. 0)1(1-120)1(1=+=≠++πϕn i n e n i iRI n 时,当2. i d iI n πϕπ2-120===⎰时,当2.4柯西公式单通域柯西公式:若f (z )在闭单通区域B 上解析,L 为B 的境界线,α为B 内一点,则dz z z f i f l ⎰-=απα)(21)(。
复通域柯西公式:若f (z)在L 上所围区域上存在奇点,则考虑挖去奇点后的复通区域。
在复通区域上f (z)解析,则柯西公式仍成立,只要将L 理解为所有的境界线,且均取正向。
柯西导数公式:由于z 为区域内点,积分变数在境界线上,ξ-z ≠0,积分号下的导数f (ξ)/(ξ-z)在区域上处处可导。
因此,可以在积分号下对z 求导,得:dz z f i z f l ⎰-='2)()(2!1)(ξξπ反复在积分号下求导,得dz z f i n z f l n n ⎰+-=1)()()(2!)(ξξπ。
(三)典型例题 已知函数()22,t tx e x t -=ψ。
将x 作为参数,t 为复变数,应用柯西公式将0=∂∂t nn tψ表示成回路积分。
3.1复数项级数(一)设有复数项的无穷级数++++=∑∞=k k kw w w w211他的每一项都可以分为实部和虚部,k k k iv u w +=那么他的前n+1项的和可以表示为:ll ε⎰++=πϕϕ20)1(1d e iR n i n∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===+=+=nk k n n k k n n k k n n k k nk kn k kv i u w v i uw 111111lim lim lim ,这样,复数项无穷级数的收敛问题就归结为两个实数级数的收敛问题。