数学物理方法论文

数学物理方法第一篇总结

1.1复数与复数运算

（一）复数的概念

一个复数可以表示为某个实数与某个纯虚数iy 的和，z=x+iy ，这是复数的代数式，x 和y 叫做该复数的实部和虚部，并分别记做Re z 和Im z 。

如果将x 和y 当做平面上点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面称为复数平面，两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。

复数的三角式]sin [cos θθρi z +=，其中22y x +=

ρ，()x /y arctg =θ。

共轭复数的概念

如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 （二）无限远点 复球面

无限远点：复平面上ρ为无限大的点．

复球面：与复平面相切于坐标原点o ，其上每一点都与复平面上的点构成一一对应关系的球面．

（三）复数的运算

已知两个复数：211sin cos θθi z += 222sin cos θθi z += 1.加减运算 )sin (sin )cos (cos z 212121θθθ+++=+i z 2.乘法运算

[])sin(i )cos()sin )(cos sin (cos 21212122112121θθθθρρθθθθρρ+++=++=i i z z

3.除法运算

[])(i 2

12121212121)sin(i )cos(θθθθθθ-=-+-=e r r

r r z z 4.复数的乘幂)sin (cos θθρn i n z n

n

+=

5.复数的方根)sin (cos

n

i n z n

n

θ

θ

ρ+=

（四）典型例题

计算下列数值（其中θ为常数）

1.ϑθθθn cos 3cos 2cos cos +++

2.θθθθn sin 3sin 2sin sin +++

1.2复变函数

（一）复变函数的定义

对于复平面的点集E ，它的每个点z 都有一个或多个点ψ通过确定的关系与之对应。则称ψ为z 的复变函数，记作：ψ= f (z ), z ∈E E 叫做定义域。 （二）区域的概念

在解析函数论中，函数的定义域一般不是点集，而是满足一定条件的点集，称为区域，用B 表示。

邻域：以某点z0为圆心,以任意小的正实数为半径的圆的内部，称为0z 的邻域。 内点：若0z 及其邻域均属于点集E ，则称为该点集的内点。 外点：若0z 及其邻域均不属于点集E ，则称为该点集的外点。

边界点：若在0z 的每个邻域内，既有属于E 得点，也有不属于E 的点，则称0z 为该点集的边界点，它既不是E 的内点，也不是E 的外点，边界点的全体称为边界线。 区域是指满足下列两个条件的点集： 1. 全由内点组成；

2. 具有连通性，即点集的任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全部属于该点

集。

（三）典型例题 求解方程2sinz =

1.3导数

（一）导数的概念

设函数(z)f =ω是在区域B 上定义的单值函数，即对于B 上的每一个Z 值，有且只有一个

ω值与之相对应。若在B 上的某点z ，极限z

z z z lim z lim

z 0z ∆∆+=∆∆∆→∆）

（—）（f f ω存在，并

且与0z →∆的方式无关，则称f (x )在z 点可导。

（二）柯西黎曼方程

柯西-黎曼方程在直角坐标系下的C-R 条件，是复变函数可导的必要条件⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y u x v y v x u

柯西-黎曼方程在极坐标系下的C-R 条件，是复变函数可导的必要条件⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧∂∂=∂∂∂∂=∂∂θρρθρu v v u 1-

函数f (z )可导的充分必要条件：f (z )的偏导数y

v

x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,存在且连续，并满足C-R 条件。 （三）典型例题

试从极坐标系中的柯西黎曼方程中⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧∂∂=∂∂∂∂=∂∂θ

ρρθρu v v u 1-消去u 或者v 。

（四）人物传记

1.柯西:法国数学家，他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他首创性的工作是关于单复变函数论，阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。他还在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。

2.黎曼：德国数学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。

1.4解析函数

（一）解析函数的定义

若函数f (z )在z0点及其邻域上处处可导，则f (z )在z0点解析。又若f (z )在区域B 上每点都解析，则f (z )是区域B 上的解析函数。 （二）解析函数的性质

1.若函数f (z )=u+iv 在区域B 上解析，则u(x,y)=1C ,v(x,y)=2C ,是B 上的两组正交曲线组。

2.若函数f (z )=u+iv 在区域B 上解析，则u ，v 均为B 上的调和函数。 （三）典型例题

已知解析函数()z f 的实部()y x u ,或者虚部()y x v ,，求该解析函数。 1.y e u x

sin =；

2.xy y x u +-=2

2

，()00=f ；

2.1复变函数的积分

（一）复变函数积分的定义

设在复数平面的某分段光滑曲线l 上定义了连续函数f (z )，在l 上取一系列分点z0（即起点A ）, z1 , z2,…, zn （即终点B ），把l 分成n 个小段，在每个小段[zk-1,zk]上任取一点ξk ，作 和得

k k n

z f f ∆=∑∑==)(z z 1

k 1k k

n

1

k k

ζζ）—（

）（—

当n →∞且每小段都无限缩短时，如果这个和的极限存在，且其值与各个ξk 的选取无关，则这个和为函数f(z)沿曲线l 从A 到B 的路积分，记作

⎰l

dz z f )(=⎰⎰++-l

l

dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u ),(),(),(),(

（二）复变函数积分的性质 1.常数因子可以移到积分号外；

2.和积分等于积分和；

3.反转路径，积分反号；

4.全路径上的积分等于各段积分之和

一般来说，复变函数积分值不仅依赖于起点和终点，同时还与积分路径有关。

2.2柯西定理

（一）单连通区域的情况

单通区域：在其中做任何简单的闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点。也可以认为是一根闭合曲线围成的区域。

单连区域柯西定理：如果函数f (z )在闭单通区域B 上解析，则沿B 上的任一分段光滑闭合曲线l ，有

⎰=l

dz z f 0)(

证明如下

⎰⎰⎰++-=l

l

l

dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f ),(),(),(),()(，

由于f (z )在B 上解析，因而有

y

v

x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,在B 上连续，

Z 0(A)