数学物理方法第11章(1)汇总
《高等数学》 各章知识点总结——第11章
1 第11章 曲线积分与曲面积分总结一、曲线曲面积分的计算1、L 的参数方程为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β), dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψϕψϕβα'+'=⎰⎰. 2、有向曲线L : x =ϕ(t ), y =ψ(t ), 参数t 单调地由α变到β时,: ⎰⎰'+'=+βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L )}()](),([)()](),([{),(),( 3、设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成, 函数P (x , y )及Q (x , y )在D 上具有一阶连续偏导数, 则有 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y Px Q)(, 其中L 是D 的取正向的边界曲线. 特别要注意曲线不封闭但Q Px y ∂∂-∂∂比较简单时补一曲线使其封闭的情况。
4、曲面∑由方程z =z (x , y )给出, ∑在xOy 面上的投影区域为D xy ,⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ),(),(1)],(,,[),,(225、曲面∑由方程z =z (x , y )给出的, ∑在xOy 面上的投影区域为D xy ,⎰⎰⎰⎰±=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(,其中当∑取上侧时, 积分前取“+”; 当∑取下侧时, 积分前取“-”.6、空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z Ry Qx P)(,其中∑取外侧。
特别要注意曲面不封闭面三重积分易计算时补一曲面的情况。
数学物理方法1-137页PPT文档
u u(x,t) u
T'
采用微元法来建立位移u满足的方程：
M'
'
把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。
ds
M
gds
在弦上任取一弧段 M M ，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
13
现在考虑弧段 M M ' 在t时刻的受力和运动情况。
根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的
质量乘以该方向上的运动加速度。
u
T'
在x方向弧段 M M ' 受力总和为
M'
'
TcosT'cos'
ds
M
由于弦只做横向运动，所以
gds
T
T c o s T 'c o s' 0 O
1
教材与参考书
教材：《数学物理方法——理论、历史与计算机》，郭玉 翠，大连理工大学出版社
《数学物理方法》第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等， 高教出版社，2019年
《实用偏微分方程》英文版第四版，（美）理查德.哈伯 曼，机械工业出版社，2019年
学时
32学时
2
对大家的要求
按时上课 课上记笔记，做标记 独立完成作业
4
主要内容
第一章 数学物理方程及其定解条件 §1.1 基本方程的建立 §1.2 定解条件 §1.3 定解问题的提法 §1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
第十一章：微积分
第十一章：微积分第一节微积分的准备工作众所周知，微积分是牛顿(I．Newton，1643—1727)和莱布尼茨(G．W．Leibniz，1646—1716)创立的．但如果把人类文明史上这一伟大成果仅仅归功于他们二人，就有失公允了．正如牛顿所说：“我所以有这样的成就，是因为我站在巨人们的肩上．”仅就发明微积分而言，属于他所谓“巨人”之列的，至少可以举出斯蒂文(S．Stevin，1548—1620)、开普勒(J．Kep －l er，1571—1630)、伽利略(G．Ga l i l ei，1564—1642)、卡瓦列里(B．Cava l ieri，1598—1647)、费马(P．de Fermat，1601—1665)、帕斯卡(B．Pasca l，1623—1662)、沃利斯(J．Wa ll is，1616—1703)、巴罗(I．Barrow，1630—1677)等光辉的名字．如果追根溯源，作为微积分基础的极限思想，甚至与古希腊的阿基米德(Archimedes)及中国三国时代的刘徽相联系，他们各自在自己的国土上，提出了计算圆周率的科学方法——割圆术，从而跨入极限领域．当然，微积分的直接准备工作还是从16世纪开始的，体现在微分和求积两个方面．一、求积理论的发展在16世纪，积分思想是围绕求积问题发展的，而计算物体重心是与求积有关的一个重要问题．微积分的先驱之一——斯蒂文，首先在这方面有了突破．他在1586年出版的《平衡的原理》(De Beghinse l en der weeghconst)一书中，用极限思想证明了三角形的重心落在中线上．如图11．1，AD是△ABC的一条中线．斯蒂文在△ABC内作一系列平行四边形，根据阿基米德证明过的对称原理，内接图形的重心应在中线上．当平行四边形的个数无限增加时，内接图形便无限接近△ABC，假定△ABD 与△ACD的“重量”不等，其差必为一常数．当平行四边形的个数增加到某一数值时，必使内接图形与△ABC的差小于任意给定常数，从而使△ABD 与△ACD之差小于所给常数．这就证明了△ABD与△ACD“重量”相等，即△ABC的重心落在中线上．显然，斯蒂文把三角形看成平行四边形和的极限，其中蕴含着积分思想的萌芽．开普勒进一步发展了求积中的极限方法，他把球看成是由无穷多个棱锥组成的，每个棱锥的顶点都在球心，底面在球的表面上，高等于球半径r．把这些棱锥的体积加起来，由棱锥体积公式立即得到开普勒的这一杰出思想，还体现在1615年发表的《测定酒桶体积的新方法》(Nova Stereometria do l iorum vinariorum)一书中．据说他对求积问题的兴趣，起源于对啤酒商的酒桶体积的怀疑．他在该书中讨论了许多旋转体的体积，其基本思想是化曲为直，即把曲线形看作边数无限多的直线形．例如，他把圆看作边数为无限的多边形，因此圆面积等于无穷多个等腰三角形面积之和，这些三角形的顶点在圆心，底在圆上，而高为半径r．显然，圆面积等于圆周长与半径的乘积之半．他对球体积公式的推导就是在此基础上发展而来的，著名的开普勒行星三定律中的第二定律——由太阳到行星的向径扫过的面积与经过的时间成正比，其推导过程也应用了这种求积方法．用无穷多个同维的无限小元素之和来确定曲边形面积和体积，这是开普勒求积术的核心，是他对积分学的最大贡献．他的许多后继者都吸取了这一精华．在《两种新科学》(全名是《关于两种新科学的论述与数学证明》，Discourses and Mathematica l Demonstrations Concerning Two New Sciences，1634)一书中，伽利略的求积方法与开普勒一脉相承．在处理匀加速运动问题时，他证明了在时间一速度曲线下的面积就是距离．如图11．2，假定物体以变速v=32t运动，则在时间OA内通过的距离就是面积OAB．伽利略所以得到这个结论，是因为他不仅把A′B′当作某个时刻的速度，而且把A′B′当作无穷小距离(即把A′B′看作速度与无穷短时间之积)．他认为由动直线A′B′组成的面积OAB必定是总的距离．因为AB是32t，OA是t，所以OAB的面积为16t2，即在时间t内走过的距离为16t2．结论显然是正确的，但推理不够严格．系统运用无限小元素来计算面积和体积，是通过伽利略的学生卡瓦列里实现的．从1635年发表的《不可分连续量的几何学》(Geometria Indivisibi l ibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota)一书可以看出，他不仅继承了开普勒与伽利略的思想，而且有明显的变革．第一，他不再把几何图形看作同维无穷小元素所组成，而是看作由维数较低的无穷小元素所组成，并把这些无穷小元素称为“不可分量”．例如，体积的不可分量是无数个平行的平面．第二，他建立起两个给定几何图形的不可分量之间的一一对应关系，若每对量的比都等于同一个常数，则他断定两个图形的面积或体积也具有同样比例．所谓卡瓦列里原理便是在此基础上提出的，下面，我们以他对球体积的推导为例，说明他是怎样通过不可分量的比较来求积的．如图11．3，设DHC是以O为圆心的半圆，ABCD是它的外切矩形．以OH为旋转轴，则正方形OHBC画出圆柱，三角形OHB画出圆锥，而弧HC画出半球面．用平行于底面的任意平面去截这些图形，则产生以G为圆心的半径分别为RG、FG和EG的圆，它们分别为圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在如下关系：OE2=GO2＋EG2即RG2＝FG2+EG2．所以πRG2＝πFG2＋πEG2．由于截面的任意性，所以圆柱体积等于半球与圆锥体积之和，设球半径为r，则大约在1636年，费马提出一种新的求积方法．他吸收了开普勒的同维无限小元素思想，又保留了卡瓦列里不可分量法在求积问题上的有效坐标为a，αa，α2a…的点(比例常数α＜1)，然后在这些点上作纵坐标，于是整个图形被分割成无数个小矩形(图11．4)，这些矩形的底边分别为(1-α)a，α(1-α)a，α2(1-α)a…于是，各矩形面积构成一个几何级数：其和为为使矩形和充分接近抛物线所围面积，须将矩形的宽无限缩小，即令α→1．为此，费马先令α=βq，则若α→1，则β→1，上式分子为q个1之和而分母为p＋q个1之和，显然，在费马辛勤耕耘的数学园地里，已经看得见定积分的曙光了．费马的思想与定积分的差距仅仅在于：第一，尚未抽象出定积分的概念；第二，还未建立一般的积分公式．与费马相比，帕斯卡的求积方法更为有效，因为他采取了略去无穷序列之和的高次项的方法(1654年)，这种思想对莱布尼茨和牛顿有很大影响．例如，帕斯卡在计算以曲线y=x2为一边的曲边三角形面积时，把由曲线y＝x2，x轴和直线x＝a围成图形的底分成n等分，于是得到n个矩形(图11．5)，他称这些矩形为“无穷小矩形”，用它们取d·d2+d·(2d)2+d·(3d)2＋…＋d(nd)2法证明了由一般曲线y＝x n，x轴和直线x＝a所围成的曲边梯形面积在牛顿和莱布尼茨之前，为发明微积分作准备工作最多的是英国的沃利斯．他的《无限算术》(Arithmetica Infinitorium，1655)一书，把不可分量法译成了数的语言，从而把几何方法算术化．他把几何中的极限方法转移到数的世界，首次引入变量极限的概念，他说：“变量的极限——这是变量所能如此逼近的一个常数，使得它们之间的差能够小于任何给定的量．”他使无限的概念以解析形式出现在数学中，从而把有限算术变成无限算术，为微积分的确立准备了必要的条件．牛顿便曾直接得益于《无穷算术》．我们从下面的例子可以清楚地看出沃利斯的思想特点．在求曲线y＝x n下的面积时，沃利斯不是直接去求，而是考虑该面积与横轴及过端点的纵线为边而成的矩形OABC(图11．6)之比，即把横轴从0到a分为m等分，则曲线y=x n下的面积近似为：0n+1n+2n+…＋a n，而与此相比较的矩形面积为a n+a n+a n+……＋a n．它们的比为当m→∞时，上式的极限便是曲线下的面积与矩形面积之比．沃利斯分别考虑了n＝1，2，3，4，5，6的情况．当n＝2时，有任意给定的量．”如果项数趋于无限，则这个差将“趋于消失”，因此即显然，沃利斯已经接近现代意义的定积分了．二、微分方法的形成微分方法形成于对速度、切线和极值的研究．关于切线的新观点是伽利略首先提出的，他认为作斜抛运动的物体具有两个方向的速度——水平速度PQ和垂直速度PR，它们的合速度是以PQ和PR 为边的平行四边形的对角线PC(图11．7)，它代表了物体在P点运动的方向，即运动轨迹在P点的切线．在这一认识的基础上，伽利略的学生、意大利数学家托里切利(E．Torrice ll i，1608—1647)对切线作了进一步的研究．托里切利的方法可用现代数学语言叙述如下：设O是抛射体M的初始位置(图11．8)，M具有垂直下落的速度gt(g是重力加速度)及水平速度u，于是在瞬间t有可见动点M(即抛射体)的轨迹是抛物线．由于垂直速度与水平速度之比为再应用相似三角形的性质，可知M点的切线同抛物线对称轴的交点与顶点的距离为y．所以，只要由o点向上量出y，就很容易作出M点的切线了．不过这种方法只局限于力学范畴，不能适用于一般的曲线切线．同托里切利相比，费马的方法就普遍多了．在“求最大值和最小值的方法”(Methodus ad Disquirendam Maximamet Minimam，1637)一文中，费马求切线的方法大致如下：设PT是曲线在P点的切线(图11．9)，PQ⊥TQ．费马称TQ为次切线，只要知其长，便可确定T点，从而作出切线TP．为确定TQ，设QQ1为TQ的微小增量，其长为E(相当于今天的Δx)．∵△TQP∽△PRT1，费马认为，当E很小时，RT1同RP1几乎相等，因此有若改写成现在的符号，以f(x)代替QP，则上式变为这时，费马先用E同除分子和分母，然后再让E＝0，便得到TQ的数值．显然，他的方法已接近微分了，只是还未提炼出E→0的极限概念．数学史家伊夫斯(H．Eves)称费马的工作是“微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作．”①在同一篇论文中，费马还用类似的方法处理了如下的极值问题：分一个量为两部分，使它们的乘积最大．费马令B为给定的量，以A和B－A表示所求的两部分．他认为在E很小时，A－E与A几乎相等，所以他写成A(B-A)＝(A-E)[B-(A－E)]，即2AE-BE-E2=0．除以E后得2A-B-E=0．令E=0，得2A＝B，这便是所求的划分．从本质上来说，费马的方法等价于如果我们注意一下图11．9，就会发现一个含微小增量的三角形PRT，1它被莱布尼茨称为“微分三角形”，沿用至今．帕斯卡认真研究了这种三角形．在他的《戴东维尔的某些几何发现的信件》(Lettres de A．Dettonville contenant quelquesunes de ses inventions de gēomētrie，1659)①中正确指出，当区间(即PR)很小时，“弧可以代替切线”，因此可由微分三角形来决定切线．从微积分的观点来看，微分三角形即是由自变量增量Δx与函数增量Δy 为直角边所组成十分重要的．实际上，揭示微分三角形的实质就等于掌握微分概念．不过帕斯卡却忽视了微分三角形两边的商对于决定切线的重要性，所以没有击中微积分的要害．认识微分三角形两边之商对于决定切线的重要性的是英国的巴罗．在《几何讲义》(Lectiones geometricae，1670)一书中，巴罗叙述的方法大致如下：如图11．10，欲求给定曲线上P点的切线，令Q为曲线上点P的邻点，则△PTM与△PQR接近于相似．巴罗认为，当小三角形变得无限小时，则令QR＝e，RP＝a，若P的坐标是x和y，则Q的坐标是x－e和y-a．将这些值代入曲线方程，并略去e和a的二次以上的项，即可求出比值(x-e)3＋(y－a)3=r3，即x3－3x2e＋3xe2－e3＋y3－3y2a+3ya2-a3=r3．略去e和a的二次以上的项，得x3－3x2e+y3－3y2a=r3，即3x2e＝－3y2a．几何与微积分的关系，如果没有解析几何中的坐标观念和以方程表示曲线的理论，是不会产生微分概念的．巴罗的贡献不仅在于微分，还在于他首次认识到作切线与求积的互逆关系，这说明他已对微积分基本定理有了局部的认识．他的这项成果反映在《几何讲义》第十讲中．为方便起见，设y 轴和z 轴方向相反，并设f(x)为增函数．如图11．11，以曲线y ＝f(x)为一边的曲边梯形面积用z ＝A(x)表示．给定x 轴上的一点D(x 0，0)，设T 是x 轴上一点，使得巴罗断言：直线TF 与曲线z=A(x)只在点F(x 0，A(x 0))相接触，即TF 是z=A(x)的切线．从微积分的观点看，这相当于由z ＝标．这显然与微积分基本定理相符．不过，巴罗并没有用分析的方法定义斜率，也没有从理论上总结出微分与积分的互逆关系．他只用如下方法证明了他的结论．设x 1＜x 0，由I(x 1，A(x 1))作IL ∥x 轴，交TF 于K ．∴ LF ＝LK ·DE ．但LF ＝DF －PI ＝A(x 0)－A(x 1)＜DP ·DE(考虑到f(x)是增函数)，∴ LK ·DE ＜DP ·DE ，∴ LK ＜DP=LI ．即K 在I 的右边．同理可证x 1＞x 0时K 亦在I 的右边，所以直线TF 与曲线A(x)只有一个接触点F ．显然，巴罗的思想完全是以几何面貌出现的，所以还不能看作微积分的真正创始．综上所述，数学家们已经作了大量属于微积分范畴的工作．但如果说他们已经发明微积分，那就不合适了．因为微积分的产生需要三个不可或缺的条件：一是引入变化率的概念；二是建立具有普遍意义的微分和积分方法；三是确认微分与积分的互逆关系．但上述数学家的兴趣都在于今天说来应该算是微积分应用的那些方面——作切线、求面积、求体积等等．尽管在具体工作中一步步接近微积分，但谁也没有抽象出变化率这个微积分的基本概念，谁也没有建立起普遍适用的方法．巴罗虽然在几何问题中注意到作切线与求积的互逆关系，但并没有从理论上概括出微积分基本定理．至于其他数学家，则从未考虑过这种互逆关系．实际上，数学中的重大突破总是与许多人的辛勤工作分不开的．在此基础上需要一位杰出人物走那最后的，也是最关键的一步，这个人要能够从大量材料中清理出前人的有价值的思想，能够洞察问题的本质，给予理论上的概括和提高．在微积分方面，这个人就是牛顿．第二节牛顿的微积分一、牛顿传略1643年1月4日牛顿生于英国林肯郡的沃尔索普(Woo l sthorpe)村，父亲是一个农民，在牛顿出生前就死了．虽然母亲也希望他务农，但幼年的牛顿却在做机械模型和实验上显示了他的爱好和才能．例如，他做了一个玩具式的以老鼠为动力的磨和一架靠水推动的木钟．14岁时，由于生活所迫，牛顿停学务农，以后在舅父的帮助下又入学读书．1661年，不满19岁的牛顿考入剑桥大学的三一学院．1665年初，他在毕业前夕发现了二项式定理，同年获文学学士学位，并当了研究生．但不久便由于在伦敦流行鼠疫，剑桥大学关闭，牛顿只好回农村居住．在沃尔索普村的18个月里，牛顿发明了微积分，提出了万有引力定律，还研究了光的性质．牛顿一生的重大成就大都发韧于这期间．后来，他在追忆这段峥嵘的青春岁月时说：“当年我正值发明创造能力最强的年华，比以后任何时期更专心致志于数学和哲学(科学)．”①我们特别注意到，他于1666年10月写成的《流数后人加的)①是世界上第一篇微积分论文，它标志着这一学科的诞生．虽然论文直到本世纪才公开发表，但当时有抄本流传，牛顿的不少朋友和同事都看到过．1667年，瘟疫过去，牛顿又回到剑桥大学．第二年，他制成世界上第一架反射望远镜．由于他在科学上的出色成就，他的老师巴罗认为他的学识已超过自己，便于1669年10月主动把数学教授的职位让给他，于是牛顿开始了他三十年的大学教授生活．他在1669年写成《运用无穷多项方程的分析学》(De Ana l ysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，1711年发表)②，又于1671年写成《流数法和无穷级数(De Me－thodis Serierum et F l uxionum，1736年发表)③．这两篇论文同《流数简论》一起，奠定了微积分的理论基础．1672年，他当选为皇家学会会员，并第一次发表论文，内容是关于白色光的组成，引起广泛的兴趣和讨论．1675年，他将关于光的粒子说的论文送交皇家学会．1685年，他开始撰写《自然哲学的数学原理》(Phi l osophiae Natura l is Principia Mathematiˉca)．1687年，这部伟大著作刚刚写完，便由哈雷(E．Ha ll ey，1656—1742)出资发表，立即对整个欧洲产生了巨大影响．著名的牛顿力学三定律、万有引力定律及牛顿的微积分成果都载于此书．它成为科学史上的一个里程碑．1689年，牛顿代表剑桥大学进入议会．不久，牛顿的母亲病重，他彻夜不眠地守着她，但并没有能挽留母亲的生命．由于长简论》(The October 1666 Tract on F l uxions，题目是期的紧张工作及母亲病逝的精神打击，牛顿得了精神衰竭症，大约一年后才复原．1693年，牛顿写成他的最后一部微积分专著《曲线求积术》(De Ouadratura Curvarum)．1696年，牛顿被任命为造币厂督办，三年后当了厂长．从1665年到1696年，牛顿纯粹是一个科学家，为科学事业做出了许多卓越贡献．这以后的三十一年中，他一方面在官场服务，另一方面作为英国科学界的领袖而发挥作用．1703年，牛顿开始担任皇家学会会长，1704年发表了他的名著《光学》(Op－ticks，《曲线求积术》作为《光学》的附录同时发表，获得巨大成功．1705年被女皇封为爵士，得到了一生的最高荣誉．但他的研究重心却逐渐由科学转移到神学，晚年写了大量关于神学的文字．1727年3月31日，牛顿病逝于英国的肯辛顿．纵观牛顿的一生，他在科学上的最重要成就有三个：发明微积分、建立经典力学体系、提出光的性质的理论．其中任何一项成就都足以使他列入世界上的大科学家行列．但牛顿并不认为自己发现了真理的海洋，他在逝世前不久给朋友写的信中说：“我不知道世人怎样看待我；但我自己觉得，我不过像在一个海滨玩耍的小孩，为时而拾到一片比寻常更为莹洁的卵石，时而拾到一片更为美丽的贝壳而雀跃欢欣，而对于我面前的真理的海洋，却茫然无知．”二、《流数简论》《流数简论》表明，牛顿微积分的来源是运动学．1666年，他在坐标系中通过速度分量来研究切线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键．牛顿把曲线f(x，y)＝0看作动点的轨迹，动点的坐标x，y是时间的函数，而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线，所以曲线f(x，y)＝0的切线斜率所以牛顿便在后来称它们为流数①，实际上就是x和y对t的导数：而它们的比就是y对x的导数布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便．牛顿考虑的第一个问题是：给定x和y的关系f(x，y)＝0，求的次数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度(流数)之间的关系．若用子表示，则为它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法则．实际上，这个式子牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明(1)式的．他认为，作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同，“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为x和y，那么到下一时刻所描绘的线段就是x＋xo和y＋yo．”牛顿用x＋xo和y＋yo代替f(x，y)＝0中的x和y，于是有按二项式展开并略去o的二次以上(含二次)的项，得除以o后便得到(1)式．作为一个实例，可把y＝x n写成f(x，y)＝y－x n的形式，由(1)式推出的代数式)．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：其中A表示曲线y=f(x)下的面积．从《流数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：设y表示曲线f(x)下的面积abc(图11．13)，并把它看作垂平行移动，描绘出面积x和y，它们随时间而增加的速度是be和bc，”显然，be＝1而bc=f(x)．因此，牛顿认为面积y随时间的变化率是这显然等价于(2)式，就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．他把求积问题看作求变化率的逆过程，即把y看作f(x)的积分(不定积分)．牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积y＝在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出变量代换法，它变量z＝1＋x n，其流数比为分，设z＝f(x)，得到这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为类似地，牛顿在积分中也采用了代换法，并在稍后的著作中总结出代换积分公式．这个问题将在下面讨论．《流数简论》中，牛顿还导出函数的积和商的微分法则．设y=u(x)·v(x)，则由计算流数之比的基本法则得到至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列出．由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提出微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分．不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的．三、《运用无穷多项方程的分析学》(下简称《分析学》)在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为z＝ax m，其中m是有理数．他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示．由曲线、x轴、y 轴及x＋o处纵坐标所围成的面积用z＋oy表示(图11．14)，其中oy是面积的瞬，于是有z+oy＝a(x＋o)m．根据二项式定理考虑到z＝ax m，并用o去除等式两边，得略去仍然含o的项，得xy=max m-1．这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式，或者说是面积z在点的变化率线为y=max m－1；反之，若曲线是y＝max m－1，则它下面的面积是z=ax m．在这里，牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法，而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用现代符号表出)(ax m)′＝max m-1；在证明了面积的导数是y值，并断言逆过程是正确的以后，牛顿给出下面的法则：若y值是若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：(x)+f2(x)＋…+f n(x)]dx=∫f1(x)dx∫[f1(x)dx+…+∫f n(x)dx．＋∫f2他对如下的积分性质也有明确认识：∫af(x)dx ＝a∫f(x)dx．他利用上述知识得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题．在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如然后对这个无穷级数逐项积分，得他说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了．y＝1-x2＋x4－x6＋x8－ (1)y＝x-2－x-4＋x-6-x-8＋ (2)他说，当x很小时，应该用(1)式，若x较大就必须用(2)式了．可见他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有提出收敛的概念．同《流数简论》相比，《分析学》的另一项理论进展表现在定积分上．牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和，这种观念与现代是接近的．为了求某一个区间的确定的面积即定积分，牛顿提出如下方法：先求出原函数，再将上下限分别代入原函数而取其差．这就是著名的牛顿—莱布尼茨公式，是他与莱布尼茨各自独立发明的．若采用现代数学符号，该公式可表述为：若F(x)是f(x)在区间[a，b]中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题，所以它是十分重要的．《分析学》中还有其他一些出色的成果，例如，书中给出求高次方程近似根的方法(即牛顿法)，导出正弦级数及余弦级数，等等．到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法．不过他在概念上仍有不清楚的地方．第一，他的无穷小增量o是不是0？牛顿认为不是．既然这样，运算中为什么可以略去含o的项呢？牛顿没有给出合乎逻辑的论证．第二，牛顿虽然提出变化率的概念，但没有提出一个普遍适用的定义，只是把它想象成“流动的”速度．牛顿自己也认为，他的工作主要是建立有效的计算方法，而不是澄清概念，他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证．”①牛顿的态度是实事求是的．四、《流数法和无穷级数》(下简称《流数法》)这是一部内容广泛的微积分专著，是牛顿在数学方面的代表作．在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论．从书中可以看出，牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段．他把随时间变化的量，即以时间为自变量的函数称为流量，以字母表的后几个字母v，x，y，z来表示；把流量的变化速度，即变化率称为流数，以表保留，并且仍用o表示．他在书中明确表述了他的流数法的理论依据，说：“流数法赖以建立的主要原理，乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量②，都可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式下产生的．”又说：“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题③的，这就是假定一个量可以无限分割，或者可以(至少在理论上说)使之连续减小，直至……比任何一个指定的量都小．”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的，他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题．第一类：已知流量的关系求它们的流数之比，即已知y＝f(x)或例如书中的问题1：如果流量x和y之间的关系是x3－ax2+axy－y3=0，求它们的流数之比．程中的x和y，得展开后利用x3－ax2＋axy－y3＝0这一事实再把余下的项除以o，得至此牛顿说：“我们已假定o是无限微小，它可以代表流动量的瞬，所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有．因此我把它们丢掉，而剩下从表面看，这种方法与《流数简论》中的方法一致．所不同的是，。
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12.1傅里 叶变换
1
12.2傅里 叶变换法
2
12.3拉普 拉斯变换
3
12.4拉普拉 斯变换法
4
第三篇数学物理方程
第13章格林函数法
03
＊13.3格林函数法
在波动问题中的应
用
02
＊13.2格林函数法 在输运问题中的应
用
01
＊13.1格林函数法 在稳定场问题中的
应用
第三篇数学物理方程
第14章保角变换法
02 第17章Z变换
＊17.1Z变换的定义及其性质 ＊17.2用Z变换求解差分方程
03 第18章小波变换
＊18.1从傅里叶变换，加博变换到小波 变换 ＊18.2连续小波变换的性质
第四篇数学物理 方法的若干新兴 分支
06 参考文献
参考文献
07 附录
附录
1. 附录A微分算符▽的若干常用公式 2. 附录B几种常用的常系数常微分方程的解 3. 附录C广义积分与积分主值 4. 附录D二阶线性齐次常微分方程w″（z）＋p（z）w′（z）＋q（z）w（z）
数学物理方法（第四版）(汪德新)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01 前言
前言
02 第一篇复变函数导论
第一篇复变函数导 论
第1章复变函数与解析函数 第2章复变函数的积分 第3章解析函数的级数表示 第4章留数定理及其应用 第5章解析延拓多值函数及其黎曼面
第一篇复变 函数导论
第1章复变函数与解析函 数
6.3勒让德多项式的正交性与完备 性
6.2勒让德多项式的微分与积分表 达式母函数与递推公式
6.4关联勒让德方程与关联勒让德 函数
第二篇特殊函数场论与狄拉克δ函数
电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter11
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11.3.2 达朗贝尔公式的物理意义 由上面的讨论我们得到了自由弦振动泛定方程 的通解（11.3.4）为
u(x,t) F1(x at) F2(x at)
即定解问题的解可以表示为两个函数 F1(x at), F2(x at) 之 和，而这两个函数的具体形式完全由初始条件来确 定．为了阐述达朗贝尔公式的物理意义, 实际上只需 阐明这两个函数 F1(x at), F2(x at) 的物理意义就行了．
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
xat
( )d
2
2a xat
(11.3.9)
当函数(x) 是二次连续函数，函数 (x) 是一次连续可微
的函数时，(11.3.9)式即为无界弦自由振动定解问题的
解，表达式(11.3.9)称为达朗贝尔(D.Alembert)公式.
无界弦自由振动定解问题的解称为达朗贝尔解.
uut(t
a x,0)
2u
xx
0, 0 x x,ut x,0
x,
0
x
u0,t 0
(13.4.4) (13.4.5) (13.4.6)
由于端点固定，所以有u(0,t) 0. 为了使用无界的达
朗贝尔公式，故需要把半无界问题延拓为无界问题来
处理，即必须把 u(x,t) 、 (x) 和(x) 延拓到整个无界区
假设方程的行波解具有下列形式
u(x, y) F(y x)
(11.2.2)
代入方程即得
a2F(y x) bF(y x) cF(y x) 0
需要求方程的非零解，故
F(x x) 0
a2 b c 0
(11.2.3)
(i) b2 4ac 0，对应于双曲型方程，式（11.2.3）有两
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。
解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。
证明：1230;zz ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。
1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。
即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
.17.证明：三角形内角和等于π。
证明：有复数的性质得：3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。
数学物理方法课程十五
Pn
(x)
1
2n2i
可以证明：y0(x),y1(x)的收敛半径为1；y0(x) , y1(x) 在x =±1发散。
因为-1≤x≤1，因而，勒让德方程的任一个解都 不可能在x =1和x = -1有限。但数理方程的解
要求有限，相应的就要求勒让德方程的解在一切 方向0≤θ≤π,即在x 的闭区间[-1,1]上保持有限，而 级数解不可能满足这个要求。“解在区间[-1,1]的 两端 x = ±1 保持有限”，称为自然边界条件。
u(r, )
1 r2
r
r 2
u r
1
r 2 sin
s in
u
0
u(r,
)
n0
Cn
r
n
Dn
1 r n1
Pn
(cos
)
三、勒让德多项式的微分形式及积分形式
1、勒让德多项式的微分表达式
Pn (x)
1 2n n!
dn dxn
(x2
1)n
—洛德利格斯公式
2、勒让德多项式的积分形式：
因而应舍去，而当n为非整数时，y0(x), y1(x) 为
无穷级数，且在 x=±1处发散，因而应舍去。
总之，勒让德方程和自然边界条件( y(x)在
x=±1处有限)构成本征值问题，它决定了分离 变数过程中所引入的常数必须取下列数值。
高考数学一轮复习 第11章 算法、复数、推理与证明 1合情推理与演绎推理课件 文
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④类比结构：如三角形内切圆与三棱锥内切球． (2)四个原则 ①长度类比面积； ②面积类比体积； ③平面类比空间； ④和类比积，差类比商．见典例． 2．类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
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(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出 一个明确的命题(猜想)．
3．常见类比推理题型的求解策略 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注 意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应 元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等 等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应 线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
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3．小题热身
(1)(2018·厦门模拟)已知圆：x2＋y2＝r2上任意一点(x0，
y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比以上结论，有双曲线
x2 a2
－by22＝1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为__xa_02x_－__y_b0_2y_＝__1_．
经典 题型冲关 (jīngdiǎn)
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题型1 类比推理
典例 已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过
点P的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两
边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝
p y
，所以过点P的切
线的斜率k＝
p y0
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方法技巧 归纳推理问题的常见类型及解题策略
大学物理答案第11章
第十一章 恒定磁场11－1 两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R ＝2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感强度大小r R B B 、满足（ ）（A ） r R B B 2= （B ） r R B B = （C ） r R B B =2 （D ）r R B B 4=分析与解 在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比21==R r n n r R 因而正确答案为（C ）.11－2 一个半径为r 的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量 为（ ）（A ）B r 2π2 （B ） B r 2π（C ）αB r cos π22（D ） αB r cos π2题 11-2 图分析与解 作半径为r 的圆S ′与半球面构成一闭合曲面，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，即穿进半球面S 的磁通量等于穿出圆面S ′的磁通量；S B ⋅=m Φ．因而正确答案为（D ）．11－3 下列说法正确的是（ ）（A ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 （B ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C ） 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零（D ） 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可能为零 分析与解 由磁场中的安培环路定律，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和必定为零.因而正确答案为（B ）．11－4 在图（ａ）和（ｂ）中各有一半径相同的圆形回路L1 、L2 ，圆周内有电流I1 、I2 ，其分布相同，且均在真空中，但在（ｂ）图中L2 回路外有电流I3 ，P 1 、P 2 为两圆形回路上的对应点，则（ ）（A ） ⎰⎰⋅=⋅21L L d d l B l B ，21P P B B =（B ） ⎰⎰⋅≠⋅21L L d d l B l B ，21P P B B = （C ） ⎰⎰⋅=⋅21L L d d l B l B ，21P P B B ≠ （D ） ⎰⎰⋅≠⋅21L L d d l B l B ，21P P B B≠题 11-4 图分析与解 由磁场中的安培环路定律，积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回路的积分；但同样会改变回路上各点的磁场分布．因而正确答案为（C ）．11－5 半径为R 的圆柱形无限长载流直导体置于均匀无限大磁介质之中，若导体中流过的恒定电流为I ，磁介质的相对磁导率为μｒ （μｒ＜1），则磁介质内的磁化强度为（ ） （A ）()r I μr π2/1-- （B ） ()r I μr π2/1- （C ） r I μr π2/- （D ） r μI r π2/分析与解 利用安培环路定理可先求出磁介质中的磁场强度，再由M ＝（μｒ－1）H 求得磁介质内的磁化强度，因而正确答案为（B ）．11－6 北京正负电子对撞机的储存环是周长为240 m 的近似圆形轨道，当环中电子流强度为8 mA 时，在整个环中有多少电子在运行？ 已知电子的速率接近光速. 分析 一个电子绕存储环近似以光速运动时，对电流的贡献为c I e I /Δ=，因而由lNec I =，可解出环中的电子数.解 通过分析结果可得环中的电子数10104⨯==ecIlN 11－7 已知铜的摩尔质量M ＝63.75 ｇ·mol －1，密度ρ ＝8.9 g · cm －3，在铜导线里，假设每一个铜原子贡献出一个自由电子，（1）为了技术上的安全，铜线内最大电流密度26.0A mm m j -=⋅ ，求此时铜线内电子的漂移速率v d ；（2） 在室温下电子热运动的平均速率是电子漂移速率v d 的多少倍？分析 一个铜原子的质量A N M m /=,其中N A 为阿伏伽德罗常数，由铜的密度ρ 可以推算出铜的原子数密度m ρn /=根据假设，每个铜原子贡献出一个自由电子，其电荷为e ，电流密度d m ne j v = ．从而可解得电子的漂移速率v d ．将电子气视为理想气体，根据气体动理论，电子热运动的平均速率em kTπ8=v 其中k 为玻耳兹曼常量，m e 为电子质量．从而可解得电子的平均速率与漂移速率的关系．解 （1） 铜导线单位体积的原子数为M ρN n A /=电流密度为j m 时铜线内电子的漂移速率14A s m 1046.4--⋅⨯===eN M j ne j m m d ρv （2） 室温下（T ＝300 Ｋ）电子热运动的平均速率与电子漂移速率之比为81042.2π81⨯≈=edd m kTv v v 室温下电子热运动的平均速率远大于电子在恒定电场中的定向漂移速率．电子实际的运动是无规热运动和沿电场相反方向的漂移运动的叠加．考虑到电子的漂移速率很小，电信号的信息载体显然不会是定向漂移的电子．实验证明电信号是通过电磁波以光速传递的． 11－8 有两个同轴导体圆柱面，它们的长度均为20 m ，内圆柱面的半径为3.0 mm ，外圆柱面的半径为9.0 mm.若两圆柱面之间有10 μA 电流沿径向流过，求通过半径为6.0 mm 的圆柱面上的电流密度．题 11-8 图分析 如图所示是同轴柱面的横截面，电流密度j 对中心轴对称分布．根据恒定电流的连续性，在两个同轴导体之间的任意一个半径为r 的同轴圆柱面上流过的电流I都相等，因此可得rlI j π2=解 由分析可知，在半径r ＝6.0 mm 的圆柱面上的电流密度2m A μ3.13π2-⋅==rlIj 11－9 如图所示，已知地球北极地磁场磁感强度B 的大小为6.0×10－5T ．如设想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的，此电流有多大？ 流向如何？解 设赤道电流为I ，则由教材第11－4节例2 知，圆电流轴线上北极点的磁感强度()RIRR IR B 24202/32220μμ=+=因此赤道上的等效圆电流为A 1073.12490⨯==μRBI 由于在地球地磁场的Ｎ 极在地理南极，根据右手螺旋法则可判断赤道圆电流应该是由东向西流，与地球自转方向相反．题 11-9 图11－10 如图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a 、b 两点，并与很远处的电源相接.求环心O 的磁感强度．题 11-10 图分析 根据叠加原理，点O 的磁感强度可视作由ef 、be 、fa 三段直线以及acb 、a d b 两段圆弧电流共同激发．由于电源距环较远，0=ef B ．而be 、fa 两段直线的延长线通过点O ，由于0Idl r ⨯=，由毕奥－萨伐尔定律知0be fa ==B B ．流过圆弧的电流I 1 、I 2的方向如图所示，两圆弧在点O 激发的磁场分别为21101π4r l I μB =,22202π4r l I μB = 其中l 1 、l 2 分别是圆弧acb 、a d b 的弧长，由于导线电阻R 与弧长l 成正比，而圆弧acb 、a d b又构成并联电路，故有2211l I l I =将21B B 、叠加可得点O 的磁感强度B ． 解 由上述分析可知，点O 的合磁感强度0π4π42220211021=-=-=r l I μr l I μB B B 11－11 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，它们在点O 的磁感强度各为多少？题 11-11 图分析 应用磁场叠加原理求解．将不同形状的载流导线分解成长直部分和圆弧部分，它们各自在点O 处所激发的磁感强度较容易求得，则总的磁感强度∑=iB B 0.解 （ａ） 长直电流对点O 而言，有0d =⨯rl I ，因此它在点O 产生的磁场为零，则点O 处总的磁感强度为1/4 圆弧电流所激发，故有RIμB 800=B 0 的方向垂直纸面向外．（ｂ） 将载流导线看作圆电流和长直电流，由叠加原理可得RIμR I μB π22000-=B 0 的方向垂直纸面向里．（c ） 将载流导线看作1/2 圆电流和两段半无限长直电流，由叠加原理可得RIμR I μR I μR I μR I μB 4π24π4π4000000+=++=B 0 的方向垂直纸面向外．11－12 载流导线形状如图所示（图中直线部分导线延伸到无穷远），求 点O 的磁感强度B ．题 11-12 图分析 由教材11－4 节例题2的结果不难导出，圆弧载流导线在圆心激发的磁感强度RαI μB π40=，其中α为圆弧载流导线所张的圆心角，磁感强度的方向依照右手定则确定；半无限长载流导线在圆心点O 激发的磁感强度R IμB π40=，磁感强度的方向依照右手定则确定.点O 的磁感强度O B 可以视为由圆弧载流导线、半无限长载流导线等激发的磁场在空间点O 的叠加. 解 根据磁场的叠加 在图（ａ）中，k i k k i B RI μR I μR I μR I μR I μπ24π4π44000000--=---= 在图（ｂ）中，k i k i i B RI μR I μR I μR I μR I μπ41π14π44π4000000-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=---= 在图（c ）中，k j i B RIμR I μR I μπ4π4830000---= 11－13 如图(a)所示，载流长直导线的电流为I ，试求通过矩形面积的磁通量．题 11-13 图分析 由于矩形平面上各点的磁感强度不同，故磁通量Φ≠BS ．为此，可在矩形平面上取一矩形面元d S ＝l d x ，如图（ｂ）所示，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为x l xId π2d d 0μ=⋅=ΦS B矩形平面的总磁通量ΦΦ⎰=d解 由上述分析可得矩形平面的总磁通量⎰==Φ211200lnπ2d π2d dd d Ilx l xIμμ 11－14 已知10 mm 2裸铜线允许通过50 A 电流而不会使导线过热．电流在导线横截面上均匀分布．求导线内、外磁感强度的分布.题 11-14 图分析 可将导线视作长直圆柱体，电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场必然呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上的各点，B 大小相等、方向与电流成右手螺旋关系．为此，可利用安培环路定理，求出导线表面的磁感强度．解 围绕轴线取同心圆为环路L ，取其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理，有∑⎰=⋅=⋅I μB 0πr 2d l B在导线内r ＜R ， 2222ππRIr r R I I ==∑，因而 202πR IrμB =在导线外r ＞R ，I I =∑，因而rIμB 2π0=磁感强度分布曲线如图所示．11－15 有一同轴电缆，其尺寸如图（ａ）所示．两导体中的电流均为I ，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑．试计算以下各处的磁感强度：（1） r ＜R 1 ；（2） R 1 ＜r ＜R 2 ；（3） R 2 ＜r ＜R 3 ；（4） r ＞R 3 ．画出B －r 图线．题 11-15 图分析 同轴电缆导体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称，取半径为r 的同心圆为积分路径，πr 2d ⋅=⋅⎰B l B ，利用安培环路定理∑⎰=⋅I μ0d l B ，可解得各区域的磁感强度．解 由上述分析得r ＜R 122101ππ12πr R μr B =⋅ 21012πR Ir μB =R 1 ＜r ＜R 2I μr B 022π=⋅rI μB 2π02=R 2 ＜r ＜R 3()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⋅I R R R r I μr B 22232203ππ2π 2223223032πR R r R r I μB --= r ＞R 3()02π04=-=⋅I I μr B04=B磁感强度B （r ）的分布曲线如图（ｂ）．11－16 如图所示，N 匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上．求通入电流I 后，环内外磁场的分布．题 11-16 图分析 根据右手螺旋法则，螺线管内磁感强度的方向与螺线管中心轴线构成同心圆，若取半径为r 的圆周为积分环路，由于磁感强度在每一环路上为常量，因而πr 2d ⋅=⋅⎰B l B依照安培环路定理∑⎰=⋅I μ0d l B ，可以解得螺线管内磁感强度的分布．解 依照上述分析，有∑=⋅I μr B 02πr ＜R 102π1=⋅r B01=BR 2 ＞r ＞R 1NI μr B 022π=⋅rNI μB 2π02=r ＞R 202π3=⋅r B 03=B在螺线管内磁感强度B 沿圆周，与电流成右手螺旋．若112R R R <<- 和R 2 ，则环内的磁场可以近似视作均匀分布，设螺线环的平均半径()1221R R R +=，则环内的磁感强度近似为 RNIμB 2π0≈11－17 电流I 均匀地流过半径为R 的圆形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过图中所示剖面的磁通量．题 11-17 图分析 由题11－14 可得导线内部距轴线为r 处的磁感强度()202πR Irμr B =在剖面上磁感强度分布不均匀，因此，需从磁通量的定义()S B d ⎰=r Φ来求解．沿轴线方向在剖面上取面元ｄS ＝l ｄr ，考虑到面元上各点B 相同，故穿过面元的磁通量ｄΦ＝B ｄS ，通过积分，可得单位长度导线内的磁通量⎰=Sr B Φd解 由分析可得单位长度导线内的磁通量4πd 2π0020Iμr R Ir μΦR==⎰11－18 已知地面上空某处地磁场的磁感强度40.410T B -=⨯，方向向北．若宇宙射线中有一速率715.010m s -=⨯v 的质子，垂直地通过该处．求：（1）洛伦兹力的方向；（2） 洛伦兹力的大小，并与该质子受到的万有引力相比较．题 11-18 图解 （1） 依照B F ⋅=v q L 可知洛伦兹力L F 的方向为B ⊥v 的方向，如图所示． （2） 因B ⊥v ，质子所受的洛伦兹力N 102.316-⨯==B F v q L在地球表面质子所受的万有引力N 1064.126p -⨯==g m G因而，有101095.1/⨯=G F L ，即质子所受的洛伦兹力远大于重力．11－19 霍尔效应可用来测量血流的速度，其原理如图所示．在动脉血管两侧分别安装电极并加以磁场．设血管直径为d ＝2.0 mm ，磁场为B ＝0.080 T ，毫伏表测出血管上下两端的电压为U H ＝0.10 mV ，血流的流速为多大？题 11-19 图分析 血流稳定时，有H qE B q =v由上式可以解得血流的速度． 解 依照分析m/s 63.0===dBU B E HH v 11－20 带电粒子在过饱和液体中运动，会留下一串气泡显示出粒子运动的径迹．设在气泡室有一质子垂直于磁场飞过，留下一个半径为3.5 cm 的圆弧径迹，测得磁感强度为0.20 Ｔ，求此质子的动量和动能．解 根据带电粒子回转半径与粒子运动速率的关系有m /s kg 1012.121⋅⨯===-ReB m p vkeV 35.222==mp E k11－21 从太阳射来的速度为0.80×108m/ｓ 的电子进入地球赤道上空高层范艾伦辐射带中，该处磁场为4.0 ×10－7Ｔ，此电子回转轨道半径为多大？ 若电子沿地球磁场的磁感线旋进到地磁北极附近，地磁北极附近磁场为2.0 ×10－5Ｔ，其轨道半径又为多少？ 解 由带电粒子在磁场中运动的回转半径高层范艾伦辐射带中的回转半径m 101.1311⨯==eB m R v地磁北极附近的回转半径m 2322==eB m R v11－22 如图（ａ）所示，一根长直导线载有电流I 1 ＝30 A ，矩形回路载有电流I 2 ＝20 A ．试计算作用在回路上的合力．已知d ＝1.0 cm ，b ＝8.0 cm ，l ＝0.12 m ．题 11-22图分析 矩形上、下两段导线受安培力F 1 和F 2 的大小相等，方向相反，对不变形的矩形回路来说，两力的矢量和为零．而矩形的左右两段导线，由于载流导线所在处磁感强度不等，所受安培力F 3 和F 4 大小不同，且方向相反，因此线框所受的力为这两个力的合力．解 由分析可知，线框所受总的安培力F 为左、右两边安培力F 3 和F 4 之矢量和，如图（ｂ）所示，它们的大小分别为d lI I μF π22103=()b d l I I μF +=π22104故合力的大小为()N 1028.1π2π2321021043-⨯=+-=-=b d lI I μd l I I μF F F 合力的方向朝左，指向直导线．11－23 一直流变电站将电压为500kV 的直流电，通过两条截面不计的平行输电线输向远方．已知两输电导线间单位长度的电容为3.0×10－11F ·m －1，若导线间的静电力与安培力正好抵消．求：（1） 通过输电线的电流；（2） 输送的功率．分析 当平行输电线中的电流相反时，它们之间存在相互排斥的安培力，其大小可由安培定律确定．若两导线间距离为d ，一导线在另一导线位置激发的磁感强度dIμB π20=,导线单位长度所受安培力的大小BI F B =．将这两条导线看作带等量异号电荷的导体，因两导线间单位长度电容C 和电压U 已知，则单位长度导线所带电荷λ＝CU ，一导线在另一导线位置所激发的电场强度dελE 0π2=，两导线间单位长度所受的静电吸引力λE F E =．依照题意，导线间的静电力和安培力正好抵消，即0=+E B F F从中可解得输电线中的电流．解 （1） 由分析知单位长度导线所受的安培力和静电力分别为d I μBI F B π220==dεU C λE F E 022π2== 由0=+E BF F 可得dεU C d I μ02220π2π2=解得A 105.4300⨯==μεCUI （2） 输出功率W 1025.29⨯==IU N11－24 在氢原子中，设电子以轨道角动量π2/h L =绕质子作圆周运动，其半径为m 1029.5110-⨯=a ．求质子所在处的磁感强度．h 为普朗克常量，其值为s J 1063.634⋅⨯-分析 根据电子绕核运动的角动量π20h a m L ==v 可求得电子绕核运动的速率v ．如认为电子绕核作圆周运动，其等效圆电流v/π20a e T e i ==在圆心处，即质子所在处的磁感强度为02a i μB =解 由分析可得，电子绕核运动的速率π2ma h=v其等效圆电流2020π4/π2ma he v a e i ==该圆电流在圆心处产生的磁感强度T 5.12π82202000===ma heμa i μB 11－25 如图[a]所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为μr （μr ＜1），导体的磁化可以忽略不计．沿轴向有恒定电流I 通过电缆，内、外导体上电流的方向相反．求：（1） 空间各区域内的磁感强度和磁化强度；*（2） 磁介质表面的磁化电流．题 11-25 图分析 电流分布呈轴对称，依照右手定则，磁感线是以电缆对称轴线为中心的一组同心圆．选取任一同心圆为积分路径，应有⎰⋅=⋅r H d π2l H ，利用安培环路定理⎰∑=⋅fI d l H求出环路内的传导电流，并由H μB =，()H μM r 1-=，可求出磁感强度和磁化强度．再由磁化电流的电流面密度与磁化强度的关系求出磁化电流．解 （1） 取与电缆轴同心的圆为积分路径，根据磁介质中的安培环路定理，有∑=fπ2I r H对r ＜R 1221f ππrR I I =∑ 得2112πR IrH =忽略导体的磁化（即导体相对磁导率μr =1），有01=M ，21012πR IrμB =对R 2 ＞r ＞R 1I I=∑f得rI H 2π2=填充的磁介质相对磁导率为μr ，有()r I μM r 2π12-=，rI μμB r 2π02= 对R 3 ＞r ＞R 2()()2223223ππR r R R I I I f -⋅--=∑ 得()()222322332πR R r r R I H --= 同样忽略导体的磁化，有03=M ，()()2223223032πR R r r R I μB --= 对r ＞R 30=-=∑I I If得04=H ，04=M ，04=B（2） 由r M I s 2π⋅=，磁介质内、外表面磁化电流的大小为()()I μR R M I r si 12π112-=⋅= ()()I μR R M I r se 12π222-=⋅=对抗磁质（1r μ<），在磁介质内表面（r ＝R 1 ），磁化电流与内导体传导电流方向相反；在磁介质外表面（r ＝R 2 ），磁化电流与外导体传导电流方向相反．顺磁质的情况与抗磁质相反．H （r ）和B （r ）分布曲线分别如图（ｂ）和（c ）所示．。
第十一章-无穷级数(习题及解答)
2.若 ，则下列级数中肯定收敛的是( )．
； ；
； ．答 .
3.设级数(1) 与(2) ，则( )．
级数(1)、(2)都收敛； 级数(1)、(2)都发散；
级数(1)收敛，级数(2)发散； 级数(1)发散，级数(2)收敛．答 .
4.设级数(1) 与(2) ,则( ).
； ；
； ．答 .
二、填空题
1. 是以 为周期的函数， 傅里叶级数为 ．
答： 其中
2. 是以 为周期的偶函数， 傅里叶级数为 ．
答：
3. 是以 为周期的奇函数， 傅里叶级数为 ．
答：
4.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
5.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
6.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
在区间 上正交； 以上结论都不对．答 .
2.函数系
在区间 上正交； 在区间 上不正交；
不是周期函数； 以上结论都不对．答 .
3.下列结论不正确的是( )．
； ；
； ．答 .
4. 是以 为周期的函数，当 是奇函数时，其傅里叶系数为( )．
； ；
； ．答 .
5. 是以 为周期的函数，当 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．
一、单项选择题
1.级数 与 满足 ,则( )．
若 收敛,则 发散； 若 发散,则 发散；
若 收敛,则 发散； 若 收敛,则 未必收敛．答 .
2.下列结论正确的是( )．
收敛，必条件收敛； 收敛，必绝对收敛；
发散，则 必条件收敛；
收敛，则 收敛．答 .
2.下列级数中，绝对收敛的是( )．
; ；
； ．答 .
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
数学物理方法：第十一章-格林函数法-2
dS a2 sin d d
u(r,,) a
4
2 0
0
r2
f ( ,)(a2 r2 ) a2 2ra cos
3/2
sin
d
d
z r1,r
根据夹角 cos ?
r r
sin
cos e x
sin
sin ey
cos ez
r r
sin
cos ex
sin
sin
e y
cos
dS
如果认为格林函数满足第二类齐次边界条件
G n
0
则可以得到
u(r) V G(r,r)(r)dr 0 G(r,r) f (r)dS
这表面是看没有什么问题，但在物理上不自洽！原因是：在第二类齐次
边界条件下，点源的格林函数方程的解不存在！
对方程
2G(r, r) (r r) / 0
两边进行积分，可以得到：
3/2
r
a r
1 r r1
a r2r ra2 cos r2r2 a4 2rra2 cos
3/ 2
r
o
G
r
G r
ra
4 0 a
a2 r2
r2 a2 2ra cos
3/ 2
u(r) 1
4 a
f ( ,)
a2 r2
r2 a2 2ra cos
3/2 dS
u(r) f (r )
这时，可以令格林函数满足第一类齐次边界条件，即
G(r,r) 0
这样有：
u
(r)
V
G
(r,
r)
(r)dr
0
G
(r,
r)
u(r) n
大学物理第11章习题答案
第11章 电磁感应11.１ 基本要求 １理解电动势的概念。
２掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律，能熟练地应用它们来计算感应电动势的大小，判别感应电动势的方向。
３理解动生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的动生电动势。
４理解感生电场、感生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的感生电动势。
５理解自感现象和自感系数的定义及物理意义，会计算简单回路中的自感系数。
６理解互感现象和互感系数的定义及物理意义，能计算简单导体回路间的互感系数。
７理解磁能（磁场能量）和磁能密度的概念，能计算一些简单情况下的磁场能量。
８了解位移电流的概念以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义。
11.２ 基本概念１电动势ε：把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所作的功，即Wqε=２动生电动势：仅由导体或导体回路在磁场中的运动而产生的感应电动势。
３感生电场k E ：变化的磁场在其周围所激发的电场。
与静电场不同，感生电场的电 场线是闭合的，所以感生电场也称有旋电场。
４感生电动势：仅由磁场变化而产生的感应电动势。
５自感：有使回路保持原有电流不变的性质，是回路本身的“电磁惯性”的量度。
自感系数L ：//m L I N I =ψ=Φ６自感电动势L ε：当通过回路的电流发生变化时，在自身回路中所产生的感应电动势。
７互感系数M ：211212M I I ψψ== ８互感电动势12ε：当线圈２的电流2I 发生变化时，在线圈１中所产生的感应电动势。
９磁场能量m W ：贮存在磁场中的能量。
自感贮存磁能：212m W LI =磁能密度m w ：单位体积中贮存的磁场能量22111222m B w μH HB μ===１０位移电流：D d d I dt Φ=s d t∂=∂⎰DS ，位移电流并不表示有真实的电荷在空 间移动。
但是，位移电流的量纲和在激发磁场方面的作用与传导电流是一致的。
１１位移电流密度：d t∂=∂D j 11.３ 基本规律１电磁感应的基本定律：描述电磁感应现象的基本规律有两条。
(完整word版)数学物理方法总结(改)(word文档良心出品)
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+ 则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+不定积分法 上面已有v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ϕϕ=+=+⎰. 上式对x 求导有2'()vy x xϕ∂=+∂,而由C-R 条件可知 '()0x ϕ=, 从而 ()x C ϕ=.故 v=2xy+C.222()(2)f z x y i x y C z i C=-++=+第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有()0lf z dz =⎰.复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inll i f z dz f z dz =+=∑⎰⎰.式中l 为区域外边界线,诸i l 为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inll i f z dz f z dz ==∑⎰⎰.柯西公式 1()()2lf z f dz iz απα=-⎰n 次求导后的柯西公式 ()1!()()2()n n l n f fz d i z ζζπζ+=-⎰第三章 幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-++-+∑其中0a ,1a ,2a ,3a ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1k k k kk k kk a z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- 则 2010200............kk a a z z a z z a z z +-+-++-+收敛,200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.若极限1lim /k k k a a +→∞存在,则可引入记号R,1limkk k a R a →∞+=,于是,若0z z R -<,则 200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.2.若0z z R ->,则后项与前项的模之比的极限11010l i m l i m 1k k k k k k kk a z z aR a a z z +++→∞→∞->=-,即说明20102000()()()......()......k k k k k a z za a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑发散.例题: 求幂级数2461.....z z z -+-+的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得 1l i m1kk k a R a →∞+== 故 246211......1z z z z -+-+=+ (1z <). 泰勒级数展开 设f(z)在以0z 为圆心的圆R C 内解析,则对圆内的任意z 点,f(z)可展为幂级数,0()()kkk f z a z z ∞==-∑,其中1()010()1()2()!R n k k C f z f a d iz k ζζπζ+==-⎰,1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆.例题: 在00z =的领域上将()zf z e =展开 解答: 函数()zf z e =的各阶导数()()n z fz e =,而()()0()(0)1k k f z f ==.则ze 在00z =的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!k kzk z z z z z z e k k ∞==++++++=∑. 双边幂级数212010010220......()()()()......a z z a z z a a z z a z z ----+-+-++-+-+洛朗级数展开 设f(z)在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkk f z a z z ∞=-∞=-∑.其中101()2()k k Cf a d iz ζζπζ+=-⎰, 积分路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1: 在1z <<∞的环域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数.解答: 22222460211111111......111kk z z zz z z z z ∞=⎛⎫===+++ ⎪-⎝⎭-∑ 例题2: 在01z =的领域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数. 解答: 由题意得21111()()1211f z z z z ==---+ 则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kk k z z z z ∞=-===--+-++∑ (12z -<) 故 01111()(1)()2142k kk z f z z ∞=-=---∑.第四章 留数定理留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点1b ,2b ,……,n b 解析,在闭区域B 上除1b ,2b ,……, n b 外连续,则11()2R e ()2nj lj f z d z i s f b i aππ-===∑⎰. 其中,1111Re ()lim{[()()]}(1)!j m m j j m z b d a sf b z b f z m dz---→==--. 推论1: 单极点的留数为000Re ()lim[()()]z z sf z z z f z →=-.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z 点解析,0z 是Q(z)的一阶零点(0()0Q z =).0()0P z ≠,则000000()()'()()()Re ()lim()lim ()'()'()z z z z P z z z P z P z P z sf z z z Q z Q z Q z →→+-=-==. 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用 类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.作自变量代换 ix z e =.则式子变为111(,)22z z z z z dzI R iz--=+-=⎰.例题: 计算 202cos dxI xπ=+⎰.解答: 21201122cos 41(2)2z z dxdz dzI i i z z xz zz π-====-=-+++++⎰⎰⎰,Z的单极点为1,22z ==- 则221Re (22241z s i z z z π→--=+=++, 由于2-1z =内.故 I =. 类型二()f x dx ∞-∞⎰.积分区间是(,)-∞∞;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面及实轴上→∞时,zf(z)一致地0→.则式子可以变为()2I f x d x i π∞-∞==⎰{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题: 计算21dx x ∞-∞+⎰. 解答: 21dzI z ∞-∞=+⎰的单极点为1,2z i =±.21Re ()2lim()1z i sf i i z i z ππ→=-=+,故21dxx π∞-∞=+⎰.类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰,积分区间是[0,]+∞;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面或实轴上→∞,F(z)及G(z)一致地0→.则式子可以变为0()c o s {()}i m xF x m x d x i F x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和;()s i n {()}i m x G x m x d x G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和. 若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re ()Re ()f x dx isf z isf z ππ∞-∞=+∑∑⎰在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzF x e或()imxG x e.第五章 Fourier 变换傅里叶级数 周期为2l 的函数f(x)可以展开为级数01()(c o s s i n )k kk k x k x f x a a b llππ∞==++∑. 其中,{1()cos1()sin lk lk lk l k a f d l lk b f d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰, k δ={2(0)1(0)k k =≠.注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可. 复数形式的傅里叶级数 ()k xilkk f x c eπ∞=-∞=∑其中 *1()[]2k x i l lk l c f e d lπξξ-=⎰. 傅里叶积分 0()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰傅里叶变换式 {1()()cos 1()()sin A f d B f d ωξωξξπωξωξξπ∞-∞∞-∞==⎰⎰复数形式的傅里叶积分{*()()()()[]i xi x f x F e d F f x e dx ωωωωω∞-∞∞-∞==傅里叶变换的性质(1) 导数定理 F [f ’(x)]=iwF(w)(2) 积分定理 F [()()x f d ξξ⎰]=1()F w iw(3) 相似性定理 F [f(ax)]=1()wF a a(4) 延迟定理 F [0()f x x -]=0()iwx e F w -(5) 位移定理 F [0()iw xef x ]=0()f w w -(6) 卷积定理 若F [1()f x ]=1()F w ,F [2()f x ]=2()F w ,则 F [1()f x *2()f x ]=122()()F w F w π. 其中1212()*()()()f x f x f f x d ξξξ∞-∞=-⎰称为1()f x 和2()f x 的卷积.δ函数()x δ={0(0)(0)x x ≠∞=.()bax dx δ=⎰{0(,0,0)1(a<0<b)a b <>都或都.δ函数的一些性质1. ()x δ是偶函数.()()'()'()x x x x δδδδ-=-=-2. ()()xH x t dt δ-∞==⎰{0(0)1(0)x x <>.3.00()()()f t d f t τδττ∞-∞-=⎰.第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()ptf p f t e dt ∞-=⎰拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则 1121122()()()()c f t c f t c f pc fp ++. (2) 导数定理 '()()(0)f t p f p f -.(3) 积分定理1()td p ϕττ⎰L [()p ϕ]. (4) 相似性定理 1()()p f at f p a . (5) 位移定理 ()()te f t f p λλ-+.(6) 延迟定理 00()()pt f t t e f p --. (7) 卷积定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则1212()*()()()f t f t f p f p , 其中12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰称为1()f t 和2()f t 的卷积.第七章 数学物理定解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20tt xx u a u -=或220tt u a u -∆=或230tt u a u -∆=.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为20t xx u a u -=或20t u a u -∆=.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u ∆=.(4) 以上方程中x u 意为ux∂∂,xx u 意为22u x ∂∂.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件 初始”位移” 0(,,,)(,,)t u x y z t x y z ϕ==, 初始”速度” 0(,,,)(,,)t t u x y z t x y z ψ==. 边界条件 第一类边界条件 (,)(,)u r t f M t ∑=第二类边界条件(,)u f M t n∑∂=∂第三类边界条件 ()(,)uu Hf M t n ∑∂+=∂ 衔接条件 00(0,)(0,)u x t u x t -=+00(0,)(0,)()x x Tu x t Tu x t F t +--=-.(T 为张力) 达朗贝尔公式 定界问题 达朗贝尔公式 11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰. 其中0()t u x ϕ==,0()tt u x ψ==.()x -∞<<∞第八章 分离变数法泛定方程 20tt xx u a u -=(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成2''()''()()()T t X x a T t X x λ==-). ''()()0X x X x λ+=在不同的边界条件下解不同.边界条件(1) {(0)0()0X X l == , X(x)的解为 {2()()sinn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=1,2,3……(2) {'(0)0()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()cosn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(3) {(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()sinn n k l k X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2…… (4) {'(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {2()()cosn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=0,1,2……T(t)的方程在有n 且n=0时的解为 ()T t At B =+; 在0n ≠时的解为()sincos n a n aT t A t B t l lππ=+; 在有k 的情况下为(21)(21)()sincos 22k a k aT t A t B t l lππ++=+. 初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 22220d R dRm R d d ρρρρ+-=. 解法为做代换t e ρ=.第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 0u ∆=(1) 球坐标系下 2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂. 分解为 2222(1)0R R r r l l R r r ∂∂+-+=∂∂ 其解为 11()ll R r Cr D r+=+. 和22211(sin )(1)0sin sin Y Y l l θθθθθϕ∂∂∂+++=∂∂∂(球方程,(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ) 球方程又可以分离为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2……和 22222(1)2[(1)]01d d m x x l l dx dx x ΘΘ--++-Θ=- (连带勒让德方程).(2) 柱坐标系下 2222211()0u u u z ρρρρρϕ∂∂∂∂++=∂∂∂∂.分解为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为{2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 ''0Z Z μ-=和 22221()0d R dR m R d d μρρρρ++-=. 当0μ=时,Z=C+Dz,()R ρ={ln (0)/(1,2,3......)m m E F m E F m ρρρ+=+=; 当0μ>时,()Z z De =+,方程R 转换为 22222()0d R dR x x x m R dx dx++-=(x =,m 阶贝塞尔方程). 当0μ<时,()Z z C D =+,方程R 转换为22222()0d R dR x x x m R dx dx +-+=(x =,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 20v k v ∆+=.在00x =的领域上l 阶勒让德方程的解为 0011()y x a y a y =+ 其中 2402()(1)(2)()(1)(3)1...2!4!(22)(24)...()(1)(3)...(21)......(2)!k l l l l l l y x x k l k l l l l l k x k -+--++=+++-----+++-++ 35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)...3!5!(21)(23)...(1)(2)(4)...(2)......(21)!k l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=+++-----++++++第十章 球函数高次项l x 的系数 2(2)!2(!)l l l a l = (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为2(2)(1)()(1)k k k k a a k l k l +++=-++,则 22(22)!(1)!2()!(2)!l n l l n a n l n l n --=---.则勒让德多项式为 [/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!l kl k l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑.[/2]l ={/2()(1)/2()l l l l -为偶数为奇数. ()1o P x =1()cos P x x θ==2211()(31)(3cos 21)24P x x θ=-=+ 3311()(53)(5cos33cos )28P x x x θθ=-=+ 42411()(35303)(35cos 420cos 29)864P x x x θθ=-+=++…… 勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=3234x x ++展开为广义傅里叶级数.解答: 3234x x ++=00112233()()()()f P x f P x f P x f P x +++ = 23012311(31)(53)22f f x f x f x x ++-+- 则有 02142f f -=, 13332f f -=, 2302f =, 3522f =. 故有3234x x ++=0132144()()()55P x P x P x ++. 例题2: 在半径0r r =的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件02cos r r u θ==. 解答: 边界条件与ϕ无关,故选择球坐标,则有10(,)()(c o s )l l l l l l B u r A r P r θθ∞+==+∑. 又有自然边界条件 0r u =有限故0l B =.则有(,)(c o s )ll ll u r A r P θθ∞==∑. 而02202012cos (cos )()()33l l lr r l u A r P x P x P x θθ∞======+∑,则 22200121(,)(c o s )(c o s )33l l l l u r A r P r P r θθθ∞===+∑.。
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行波法
达朗贝尔公式
u x,t x at x at 1
x
at
d
2
2a xat
分离变量法（又称为本征函数展开法）是解 偏微分方程定解问题最常用的重要方法．
其基本思想是把偏微分方程分解为几个常 微分方程，其中有的常微分方程带有附加 条件从而构成本征值问题．
11.1 分离变量理论 11.1.1 偏微分方程变量分离及条件
故得
（11.2.7）
注意：
边界条件是齐次的，才得出（11.2.７）这样简单的结 论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件．
第二步：求解本征值（或称为固有值）问题
上面推导的方程
（11.2.5） （11.2.7）
定义：
本征值
不 能任意取，只能根据边界条件（11.2.7）取某
些特定值。 本征函数
11.2直角坐标系中的分离变量法
11.2.1 分离变量法介绍
例11.2.1：具体考虑长为 由振动 泛定方程
，两端固定的均匀弦的自
（11.2.１）
边界条件
（11.2.２）
初始条件
（11.2.３）
【解】
用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：
第一步：分离变量
变量分离形式的试探解 代入（11.2.１）和（11.2.２）
C2er2x C2 xerx
y
e
x
(C1
cos
x
C2
sin
x)
求解（11.2.5），将
三种可能逐一加以分析
（１）
（11.2.5）的解为
和
由（11.2.７）确定，即有
由此解出
（２）、
被排除 方程（11.2.5）的解是
和
由（11.2.7）确定，即Βιβλιοθήκη 解出也被排除．（３）
（11.2.5）的解
和
由（11.2.7）确定，即
对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该 具备什么条件？ 对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程
（11.1.1）
通过适当的自变量变换转化为下列标准形式：
(11.1.2)
假设 （11.1.2）的解有下列分离的形式 (11.1.3)
其中
分别是单个变量的二次可微函数。 代入 (11.1.2)即有
(11.1.4)
上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为 ，从而得到两个常微分方程
由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分 齐次方程，总是能实施变量分离
但对于变系数的二阶偏微分齐次方程
需要满足一定的条件，即必须找到讨论2 中适当的 函数才能实施变量分离．
11.1.2 边界条件可实施变量分离的条件
一维的情形（设在边界点
不同 （11.2.5）所对应的解
本征值问题 求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函 数问题
附录: 二阶常系数微分方程：
y'' py' qy 0
特征方程： r2 pr q 0
根的三种情况：
r1
r1
r2
r2
r
r i
得常系数微分 方程的通解：
y y
C1er1x C1erx
第三步：先求特解，再叠加求出通解
对于每一个本征值 ，由方程（11.2.4）求出相应的
（11.2.10）
方程的解：
A B 其中 和 是待定常数．
（11.2.11）
（11.2.9）和（11.2.11）代入到解
得到变量分离形式的特解
（11.2.11）
线性叠加后的解
（11.2.13）
这就是满足(11.2.1)和条件（11.2.2）的通解
讨论: 1. 常系数偏微分方程
若（11.1.4）的系数均为常数，并分别用小写的
代表
，将方程两边同
除以XY, 则
要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖
于x,也不依赖于y的常数，记为 ，从而得到
两个常微分方程
2. 变系数偏微分方程
对于变系数函数 ，假设存在某一个函数
后变为可分离的形式
，使得方程除以
第十－章 分离变量法解一维有界定解问题 本章中心内容
用分离变量法求解一维有界问题；
本章基本要求
掌握有界弦的自由振动解及其物理意义
着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题
问题的引入
uutt
x,
a 2u xx
0
x
ut x,0 x
x ,t 0 x x
定解问题的泛定方程变为
要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t, 也不依赖于x的常数，不妨设常数为
偏微分方程分离成两个常微分方程:
(11.2.4) (11.2.5)
由齐次边界条件有
X (0)T (t) 0
X
(l)T
(t)
0
T (t) 0
(11.2.6)
否则得零解，对于齐次微分方程是无意义． 我们所谓的求解是指的求出非零解
第四步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数 初始条件(11.2.3)确定叠加系数
（11.2.14）
可确定待定系数:
(11.2.15)
至此，定解问题（11.2.1）-(11.2.3)的解已经求出
注意：
分离变量法是有条件的，会受到一定的限制
(1)第一个限制：变系数的二阶线性偏微分 方程并非总能实施变量分离
所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相
的差异，由初始条件决定，而圆频率
与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率．
中最小的一个
称为基频，
相应的
如
，则仍然解出
只剩下一种可能性：
C1 0,sin l 0
l nπ
n
n2π2 l2
(n 1,2,3,)
（11.2.8）
nπx
与 n 对应的函数为 X n (x) C2 sin l
（11.2.9）
（11.2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族．
常数 的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作 本征函数．方程（11.2.5）和条件（11.2.7）则构成 本征值问题或固有值问题．
(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解， 不一定是分离变量的乘积形式
11.2.2. 解的物理意义
特解 (11.2.11) 改写为
(11.2.16)
驻波
振幅:
nπx Nn sin l
频率: n
初位相: n
波节:
波腹:
n为1,2，3的驻波形状
图11.1
于是我们也可以说解
是由一系列频率不同
（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的．
处），常见的
三类边界条件为 第一类边界条件
第二类边界条件
第三类边界条件
假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界 条件为齐次的：
求定解问题的不恒等于零的解
须
因此得
可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离 出单变量未知函数的边界条件．此外，进行 分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐 标系，球坐标系以及柱坐标系．