正弦、余弦函数的图象 说课稿 教案 教学设计

正弦函数、余弦函数的图象

●三维目标 1．知识与技能

(1)利用单位圆中的三角函数线作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象，明确图象的形状． (2)根据关系cos x ＝sin(x ＋π

2

)，作出y ＝cos x ，x ∈R 的图象．

(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题． 2．过程与方法

(1)通过利用单位圆中的三角函数线作出正弦函数、余弦函数的图象的过程，让学生体验、理解数形结合这一重要思想方法．

(2)通过“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象，使学生理解并掌握这一个作函数简图的基本方法．

(3)引导学生利用正弦函数与余弦函数的联系，由正弦曲线，通过图象变换作出余弦曲线，使学生学会用联系的观点思考问题．

3．情感、态度与价值观

通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神． ●重点、难点

重点：正弦、余弦函数图象的作法．

难点：正弦函数、余弦函数图象间的关系、图象变换及其应用． ●教学建议 1．问题引入

为了使学生对研究的问题和方法先有一个概括性的认识，教科书在本节开头用了一段引导性语言．教学中应当对这段话给予充分重视，可以先引导学生回顾《数学1》中研究过哪些函数性质，然后说明可以在过去研究函数的经验的指导下研究三角函数的性质，并要特别注意思考三角函数的特殊性——周而复始的变化规律．

为了使学生对三角函数图象有一个直观的认识，教科书利用单摆做简谐振动的实验引出正弦函数、余弦函数的图象．教学中，可以让学生亲自动手做实验，也可以由教师做演示实验，只要学生能够对正弦曲线、余弦曲线有一个直观的印象就算达到目的．另外，由于受实验条件及操作过程的影响，得到的图象很可能是不标准的．

2．正弦函数的图象

在简谐振动试验的基础上，教学中应先介绍用正弦线作比较精确的正弦函数图象的方法，才能从图象上观察到某些点是关键点，再讲“五点法”作简图．

3．余弦函数的图象

可以引导学生利用正弦函数与余弦函数的联系，在正弦曲线的基础上，利用图象变换作

出余弦曲线，也可以用“五点法”作简图．

●教学流程

1．用描点法画y＝sin x在[0,2π]上的图象如何操作？难点是什么？

【提示】列表取值、描点、连线、难点在取值．

正弦函数y＝sin x，x∈R的图象和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

你认为哪些点是y＝sin x，x∈[0,2π]图象上的关键点？

【提示】最高点、最低点及图象与x轴的三个交点．

类型1用“五点法”作三角函数的图象

例1用“五点法”作出下列函数的简图．

(1)y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]

(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]

【思路探究】在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．

【自主解答】列表：

x 0

π

2

π

3π

2

2π

sin x 010－10

1＋2sin x 131－1 1

在直角坐标系中描出五点(0,1)，(

π

2，3)，(π，1)(

3π

2，－1)，(2π，1)，然后用光滑曲线顺

次连接起来，就得到y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象．

(2)列表：

x 0

π

2

π

3

2

π2π

cos x 10－10 1

2＋cos x 3212 3

规律方法

1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、

画余弦函数

图象的五点

(0,1)(

π

2,0)

(π，－1)(

3π

2,0)

(2π，1)

与x轴的交点．

2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．

变式训练

画出y＝2sin x，x∈[0,2π]的简图．

【解】按五个关键点列表：

x 0π

2

π

3π

2

2π

2sin x 020－20

描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示．

类型2利用“图象变换”作三角函数的图象例2利用图象变换作出下列函数的简图．

(1)y＝1－cos x；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．

【思路探究】对(1)先作出y＝cos x的图象，然后利用对称作出y＝－cos x的图象，最后向上平移1个单位即可；对(2)先画出y＝sin x在[0,4π]上的图象，然后把x轴下方的部分翻到x轴的上方即可．

【自主解答】(1)作出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，并作出其关于x轴的对

称图形，得y＝－cos x，x∈[0,2π]的图象，然后向上平移一个单位，得y＝1－cos x的图象(如图①所示)．

(2)作y ＝sin x ，x ∈[0,4π]的图象，并将x 轴下方的部分翻转到x 轴上方(原x 轴上方的部分不变)，得y ＝|sin x |的图象(如图②所示)．

规律方法

函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数f (－x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，－f (x )与f (x )的图象关于x 轴对称，－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，f (|x |)的图象关于y 轴对称．

变式训练

作出y ＝1－sin 2x 的图象．

【解】 y ＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝|cos x |. 作出y ＝cos x (x ∈R )的图象， 由于y ＝|cos x |的图象关于y 轴对称．

∴把y ＝cos x (x ∈R )的图象位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方(原x 轴上方部分保留)得y ＝|cos x |的图象(如图所示)．

类型3

正弦(余弦)函数图象的应用

例3 写出不等式sin x ≥1

2

的解集．

【思路探究】 解答本题可利用数形结合，分别画出y ＝sin x 和y ＝1

2的图象，通过图象

写出不等式的解集．

【自主解答】 在同一坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象以及直线y ＝1

2.

由函数的图象知， sin π6＝sin 56π＝12

.