如何区分平面应力与平面应变问题
如何区分平面应力与平面应变问题
如何区分平面应力与平面应变问题
如何区分平面应力与平面应变问题
平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念。
ﻫ平面应力:只在平面内有应力,与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。
ﻫ平面应变:只在平面内有应变,与该面垂直方向的应变可忽略,例如水坝侧向水压问题。
具体说来：ﻫ平面应力是指所有的应力都在一个平面内,如果平面是OXY平面,那么只有正应力σx,σy，剪应力τｘy(它们都在一个平面内）,没有σz,τyz，τｚx。
平面应变是指所有的应变都在一个平面内,同样如果平面是OＸY平面,则只有正应变εx，εy和剪应变γxy,而没有εz,γyz，γzx。
举例说来：ﻫ平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体,横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变;柱体的两端受固定约束。
平面应力问题讨论的弹性体为薄板,薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。
薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。
而且薄板的两个表面不受外力作用.
1 / 1。
弹性力学-平面应力-平面应变问题
平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
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04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。
1 平面应力和平面应变
x y v 0 y xy v u 0 x y
由(a)、(b)可求得：
x u 0
(a) (b) (c)
df1 ( y ) dy
积分(e) ，得：
df 2 ( x) dx (d)
(e)
u f1 ( y ) v f 2 ( x)
1 v2 v x ( x y) E2 1 v 1 v v y ( y x) E 1 v 2(1 v) xy xy E
注：
（16）
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
（15）
—— 平面应力问题的 物理方程
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
yz
zx
注： (1)
E xy xy 2(1 v)
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（15）
（9）
未知量数： x , y , xy , x , y, xy , u , v
方程数： 8个 8个
结论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
z z t 0 2 zx z t 0
y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x ( x, y) y y ( x, y ) xy yx xy ( x, y)
x
xy
平面问题分为平面应力和平面应变问题
201330131867张伟
若干平面问题汇总
平面问题分为平面应力和平面应变问题，平面应力问题的特征：尺寸方面，一个方向的尺寸远小于另外两个方向的尺寸；受力方面，外力平行于板面且不沿厚度方向变化。
平面应变问题的特征：尺寸方面，一个方向的尺寸远大于另外两个方向的尺寸;受力方面，外力平行于横截面且不沿长度方向变化。
不同的材料有不同的弹性模量，泊松比，其本构关系也不同。
相容方程的推导可知物体必须变形满足几何方程，且各个应变分量是互相关联的。
应力相容方程建立在应变相容方程的基础上，常体力下的相容方程是应力相容方程的一种特例。
应力函数的相容方程是建立在平衡微分方程的基础上，该方程又叫双重调和方程。
由单纯的几何方程推导出来应变相容方程，然后加上物理方程，发展成了应力相容方程。
由单纯的平衡微分方程推导出了双重调和方程。
平面问题的解法有位移法，应力法，混合法。
在体力为常量，用应力法求解平面问题的方法有逆解法和半逆解法。
逆解法先设定Ф函数，求应力分量，验算是否满足边界条件，不满足就修改Ф函数，直到满足。
半逆解法根据问题，实际状况，假定部分应力分量的函数形式，然后积分求出应力函数，回代求出全部应力分量，，验算是否满足边界条件，不满足就重新假定应力分量函数，直到满足。
圣维南原理：较小的面力的影响效应产生在接触范围域内，远离这个域，效应会降低到忽略不计。
、
工程科研方法：有限元法，实验法，解析法。
平面应力问题和平面应变问题
平面应力问题和平面应变问题
平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。
首先，平面应力是指施加在平面上的外力，它以牛顿力/
千克为单位来表示。
应力分为正应力和负应力，当施加的外力为正时，应力也是正的，反之亦然。
应力的大小由施加的外力的大小决定，如果外力越大，应力越大，反之亦然。
其次，平面应变是指在应力作用下物体的形变，它以百分比表示，一般用“δ”表示。
应变可以分为正应变和负应变，正
应变表示物体受力时膨胀，负应变表示物体受力时压缩，应变的大小与应力的大小成正比，如果应力越大，应变也越大，反之亦然。
最后，平面应力和应变之间的关系是对称的，它们的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系
是线性的，也就是说，如果应力增加一倍，应变也会增加一倍。
总之，平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。
应力和应变之间的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系是线性的，应力增加一倍，应变也会增加一倍。
平面应力问题和平面应变问题的基本方程中
平面应力问题和平面应变问题的基本方程中嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个非常有趣的话题——平面应力问题和平面应变问题的基本方程。
别担心，我会用最简单的语言来解释这个话题，让你轻松理解。
让我们来看看什么是平面应力问题和平面应变问题吧。
平面应力问题，就是指在一个平面内，物体受到的力分布不均匀，导致物体内部产生应力。
而平面应变问题呢，就是指在一个平面内，物体的形状发生变化，导致物体内部产生应变。
这两个问题看似复杂，但其实它们都是由一个基本方程组成的。
这个基本方程就是什么呢？嘿嘿，让我慢慢告诉你。
这个方程叫做胡克定律，它是由英国科学家胡克在18世纪发现的。
胡克定律告诉我们，一个物体受到的应力与其形变成正比，与材料的弹性模量成反比。
换句话说，一个物体受到的应力越大，它的形变就越大；而材料的弹性模量越大，它所能承受的应力就越大。
那么，我们如何运用胡克定律来解决平面应力问题和平面应变问题呢？这里我就给大家举个例子吧。
假设我们有一个矩形板子，它的长度是L,宽度是W,材料是弹性模量为E的金属。
现在我们在板子的四个角上分别施加了40牛顿的力，让板子发生形变。
我们想要知道板子发生了多大的形变。
我们需要计算出板子受到的总应力。
因为我们在四个角上分别施加了40牛顿的力，所以总应力就是40 * 4 = 160牛顿。
接下来，我们要用胡克定律来计算板子的形变。
根据胡克定律，我们可以得到：$\Delta L = F times E \div (A * L)$$\Delta W = F \times E \div (A * W)$其中，$\Delta L$表示板子的长度变化，$\Delta W$表示板子的宽度变化，F表示施加在板子上的力，E表示板子的弹性模量，A表示板子的面积。
将已知的数据代入公式，我们就可以得到：$Delta L = 160 times E \div (4 * A) = 40E \div A$$\Delta W = 160 \times E div (4 * A) = 40E \div A$所以，板子的长度和宽度分别发生了$40E \div A$的形变。
什么是平面应变与平面应力
平面应变与平面应力
人们所感受到的，认知到的物质世界是三维的，然而在工程分析中，通常采用合理的二维近似以节省资源。
在众多仿真求解软件中也常常采用二维近似计算。
例如ABAQUS标准分析中的Plane Strain 和Plane Stress单元既是分别采用的平面应变和平面应力的近似假设。
在Plane Strain单元类型中，相关单元的3方向应变E33均为0；在Plane Stress单元类型中，相关单元的3方向应变S33均为0。
上述单元的应力，应变也取决于如下本构方程中的相关假设。
本构方程
在线弹性假设下，胡克定律可以专门用于平面应变和平面应力。
三维胡克定律的完整形式如下：
其中，E 是杨氏模量，ν是泊松比，G是剪切模量。
平面应变
平面应变的情况比较简单，从三维公式中删除三个为零的应变分量就是平面应变状态。
通俗来讲，只有平面内有应力，与该面垂直的方向的应力可忽略（如，薄板拉压）。
平面应力
对于平面应力可以使用来消除，从而得到
横向应变(即厚度变化)计算为：。
通俗来讲，只有平面内有应变，与该面垂直的方向的应变可忽略（如，坝体侧向水压）。
平面应力和平面应变
N lm( 2 1 )
σ1 与 σ2 分别为最大和最小应力。
结论
（4）最大、最小剪应力 由
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
z z t 0 2 zx z t 0
y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x ( x, y) y y ( x, y ) xy yx xy ( x, y)
x
xy
y yx
yx x
y
dx dy ds
斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：
xy
B
YN
cos( N , x) l cos( N , y) m
由微元体平衡： Fx 0, x dy 1 yx dx 1 X N ds 1 0
dx ds m dy ds l
建立边界条件：
（1）应力边界条件； （2）位移边界条件；
O §3-2 平面问题基本方程
P
y
x
yx A
X
x
y
xy
D
x x dx x
Y C
B
yx
yx y
xy
dy
xy x
d
dy
y
y y
xy
xy x
dx
§ 3.2.1 平衡微分方程
2 2
y
xy N
B YN
N
s
N
（5）
（1）运用了剪应力互等定理： xy 说明： （2） N 的正负号规定
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
（6） —— 任意斜截面上应力计算公式
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
平面应力和平面应变
x xy
y
x
yx
xy
y
x
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另
两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。
水坝
—— 近似认为无限长
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。
由应变dr?u?drrdn????drdrrdn????或???22drdrrdn???????22dyyvdxxvdydyyudxxdx??????????两边同除以dr2得222?????????????????????????????dydrvydxdrvxdydrdydruydxdruxdxdrxyopxynvup1n1drrd?21???????????????dyvdxvdydyudxudxn?2211????????????????????????????????u?u?????????xvlyvmyumxul化开上式并将yvxuvyuxn????????的二次项略去有xvlmyvmylmxln?????????????2212212?122??????????????????????xvyulmyvmxulml2222222xvlmyvmyulmxuln???????????????2212212?122xyyxnlmml???????2211y?x?xy?1xoo2
N l 2 x m2 y 2lm xy （5）
xy N
B YN
N sN
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy （6） —— 任意斜截面上应力计算公式
试比较平面应力和平面应变问题的异同点
试比较平面应力和平面应变问题的异同点下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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平面应变问题和平面应力问题的异同点
平面应变问题和平面应力问题的异同点1. 前言在我们讨论材料力学时，平面应变和应力这两个概念就像两个兄弟，性格各异却又密不可分。
想象一下，平面应变就像个爱静的书呆子，而平面应力则是那个热爱社交的朋友。
今天就来聊聊这两个家伙的异同，看看他们在我们生活中是怎么“打交道”的。
2. 平面应变问题2.1 定义与特征首先，平面应变问题指的是在某些条件下，材料在某个平面上的变形情况。
简单来说，就是我们常见的“拉伸”和“压缩”情景。
想象一下，像橡皮泥被捏扁了，表面看起来光滑，但内部却可能发生了复杂的变形。
在这种情况下，材料的某一方向的变形被假设为零，这样我们就能简单地处理问题。
2.2 应用场景说到应用，这平面应变可不简单！它常常出现在一些工程问题中，比如桥梁、隧道建设等，特别是在大规模的结构中。
想象一下，一个大桥的承重结构，所有的力都集中在某个平面上，这时应变问题就浮出水面了。
工程师们可得好好研究这个问题，才能保证桥梁的安全性。
3. 平面应力问题3.1 定义与特征转到平面应力问题，哎呀，这家伙可就热闹多了！它主要讨论在一个平面内的应力状态，简单来说，就是材料受到的各种力作用下的反应。
想象你在拥挤的地铁里被挤来挤去，那种“被压力包围”的感觉就是平面应力的典型表现。
这个时候，虽然我们也考虑了材料的厚度，但更关注的是在某个面上的力的分布。
3.2 应用场景在实际应用中，平面应力同样是不可或缺的。
很多时候，我们在设计零件，比如汽车车身或飞机机翼时，就会用到这个概念。
设计师们可得深思熟虑，确保在高速行驶时，这些材料能承受得住压力，绝不能让人有“毛毛的感觉”。
4. 异同点总结4.1 相似之处好啦，现在我们来看看这两个概念的相似之处。
首先，平面应变和应力都涉及到材料如何在外力作用下变形或反应，都是力学的基础。
其次，它们都为工程师提供了重要的分析工具，帮助他们设计出安全可靠的结构，真是一对“亲密无间”的兄弟。
4.2 不同之处不过，这两者的不同也挺明显的。
《弹性力学教学课件》2-1平面应力和平面应变问题
数学模型的比较
平面应力问题
需要建立三个方向的应力分量，即$sigma_{x}$、$sigma_{y}$ 和$tau_{xy}$，以及三个方向的应变分量，即$epsilon_{x}$、 $epsilon_{y}$和$gamma_{xy}$。
平面应变问题
需要建立两个方向的应变分量，即$epsilon_{x}$、 $epsilon_{y}$和$gamma_{xy}$，以及三个方向的应力分量， 即$sigma_{x}$、$sigma_{y}$和$tau_{xy}$。
04
弹性力学在工程中的应用
弹性力学在建筑领域的应用
结构设计
建筑结构中的梁、柱、板等构件 的受力分析，需要考虑弹性力学 的基本原理，以确保结构的稳定 性和安全性。
地震工程
地震工程中，建筑物的抗震设计 需要利用弹性力学的基本原理， 研究地震作用下的结构响应和破 坏机制。
弹性力学在机械领域的应用
机械零件设计
机械零件如轴承、齿轮、弹簧等的受 力分析，需要考虑弹性力学的基本原 理，以确保零件的稳定性和可靠性。
疲劳寿命预测
弹性力学在机械领域中广泛应用于疲 劳寿命预测，通过分析材料的应力分 布和应变历程，预测零件的疲劳寿命。
弹性力学在航空航天领域的应用
飞机结构分析
飞机结构中的机翼、机身等部件的受力分析，需要考虑弹性力学的基本原理，以确保飞机的安全性和稳定性。
假设物体在平面内的应力分量与垂直于平面的应力分量相比很小，因此可以忽略不 计。
平面应变问题的求解方法
基于弹性力学的基本方程，建 立平面应变问题的数学模型。
利用边界条件和初始条件，求 解数学模型中的未知量。
常用的求解方法包括有限元法、 有限差分法和变分法等数值计 算方法，以及解析法等理论计 算方法。
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
弹性力学与材料科学、计算科学、生物学等学科的交叉融合，为解决 复杂工程问题提供了新的思路和方法。
数值模拟与计算
随着计算机技术的进步，数值模拟和计算在弹性力学领域的应用越来 越广泛，能够更精确地模拟和预测材料的力学行为。
多尺度分析
从微观到宏观的多尺度分析方法，能够更好地理解材料的微观结构和 宏观性能之间的关系。
它们简化了问题的复杂性，使得 弹性力学成为一种实用的工程工 具。
02
基本假设的局限性
03
限制条件的考虑
在某些情况下，这些假设可能不 成立，例如在处理非均匀、非各 项同性或大变形问题时。
在应用弹性力学时，必须考虑这 些限制条件，以确保结果的准确 性和可靠性。
06 弹性力学的发展趋势和未 来研究方向
弹性力学的发展趋势
非线性力学
随着工程结构的复杂性和非线性特征的增加，非线性力学的研究越来 越受到重视，为解决复杂工程问题提供了新的理论和方法。
未来研究方向
新材料和新结构的力学行为
智能材料的力学行为
研究新型材料和复杂结构的力学行为，探 索其性能优化和设计方法。
研究智能材料的响应机制和调控方法，探 索其在传感器、驱动器和自适应结构等领 域的应用。
生物医学中的弹性力学问题
研究生物组织的力学行为和生理功能，探 索其在生物医学工程和再生医学等领域的 应用。
环境与可持续发展的弹性力学问 题
研究环境因素对材料和结构的影响，探索 其在环保和可持续发展等领域的应用。
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材料力学性能的测试
材料弹性模量的测定
通过实验测定材料的弹性模量，可以了解材料的力学性能，为工程设计和材料选择提供依据。
第3章 平面应力和平面应变
P
σy τ yx
dx dy ds
x
A XN
的关于坐标轴的方向余弦： 斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：
τ xy
B YN
cos(N, x) = l cos(N, y) = m
由微元体平衡： 由微元体平衡： ∑Fx = 0, σ xdy ×1τ yxdx ×1+ X N ds ×1 = 0
dx = ds m dy = ds l
因为任一横截面均可视为对称面， 因为任一横截面均可视为对称面，则有 平面。 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 —— 平面位移问题
w≡ 0
εz ≡ 0 γ zy = γ yz ≡ 0 γ zx = γ xz ≡ 0
εx = εx (x, y) —— 平面应变问题 ε y = ε y (x, y) γ xy = γ yx = γ xy (x, y)
如图所示三种情形，是否都属平面问题？ 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？ 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， ）、边界条件 问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求： σ x ,σ y ,τ xy
y
τ xy τ N
B
dx dy ds
A XN
σN
s
N
YN
求解得： 求解得：
m σ σ x = l τ yx
τ yx m = l σ σ y
σ x σ y 2 +τ xy 2
2
X N = lσ x + mτ yx YN = mσ y + lτ xy
2.1 平面应力和平面应变
v
dy y
A B
u u dy 反映任一点的位移与该点应变间的关系， y
是弹性力学的基本方程之一。
v v dy y
（2）当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 不能确定u、v。 （∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。） （ 3）
பைடு நூலகம்
x , y , ， xy
弹性力学的平面问题
要点 —— 建立平面问题的基本方程
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方
程；边界条件的描述等
一
平面应力问题与平面应变问题
x
t
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
b
z
y
a
y
t a, t b —— 平板
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
非平面问题
平面应力问题
平面应变问题
√
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求： x , y , xy
x , y , xy
u, v
—— 仅为 x y 的函数 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系；—— 平衡微分方程 （2）几何学关系： 形变与位移间的关系； —— 几何方程 （3）物理学关系： 形变与应力间的关系。 —— 物理方程
O
P
x
x yx X 0 x y （2） xy y Y 0 x y
y
yx A
X
y
x
xy
D
x x dx x
Y C
平面应力和平面应变
O
x
2
1
P
dy
dx ds
A
y
N
N
B
sN
由 Nl2xm 2y2lm x
Nl m (y x) (l2 m 2)x
Nl21m22 l2(12)2
Nlm (21)
σ1 与 σ2 分别为最大和最小应力。
（4）最大、最小剪应力
由 Nlm (21)
l2m2 1 m(1l2)
Nl 1l2(21) Nl2l4(21)
y
a
y
zyzt 0 各点都有：
zy 0
2
由剪应力互等定理，有
zxxz0
zy
yz
0
y
结论： 平面应力问题只)
xyyxxy(x,y)
x xy
y
x
yx xy
x
y
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另 两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。
—— 近似认为无限长
水坝
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。
约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
(3) 变形特征
滚柱
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
若某一斜面上 N 0 ，则该斜面上的正应
力 N 称为该点一个主应力 ；
当 N 0 时，有 N s
X Y N
N
l m
lxmyxl mylxym
O
y
x
yx
x
P
dy
平面应力和平面应变
—— 平面位移问题
z 0 zy yz 0 zx xz 0
x x (x, y)
水坝
y y (x, y)
—— 平面应变问题
xy yx xy (x, y)
(1)平面应变问题中 z 0 但是， z 0 z ( x y )
O
y x
yx
yx
y
xy
y
P D
yxA
X
x
x
x
dx
xyB
Y
C
xy
xy
x
dx
dy
y
y
y
dy
xy dx
x
BC面：
y
y
y
dy
yx
yx
y
dy
注： 这里用了小变形假定，以变形前 的尺寸代替变形后尺寸。
x O
—— 几何方程
（3）物理学关系：
形变与应力间的关系。
—— 物理方程
建立边界条件： （1）应力边界条件； （2）位移边界条件；
§3-2 平面问题基本方程
x
O
y yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
d
y
y
y
dy
（1）主应力
若某一斜面上 N 0 ，则该斜面上的正应
第3章 平面应力和平面应变
zy z t 0 各点都有：
z 0
zx 0 zy 0
y
a
y
2
由剪应力互等定理，有
zx
xz
0
zy
yz
0 y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x (x, y) y y (x, y) xy yx xy (x, y)
x xy
y
x
yx
xy
y
x
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另
两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。
水坝
—— 近似认为无限长
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。
约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
(3) 变形特征
滚柱
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
O
x
2
1
P
dy
dx ds
A
y
N
N
B
sN
由 N l 2 x m2 y 2lm xy
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
N l 21 m2 2
l 2 (1 2 ) 2
N lm( 2 1)
σ1 与 σ2 分别为最大和最小应力。
（4）最大、最小剪应力
由 N lm( 2 1)
xy dy
y
P
x xy D B
yx dy
y dx 1
yxA
X
x
x
x
dx
Y
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如何区分平面应力与平面应变问题
平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念。
平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。
平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。
具体说来：
平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有
σz，τyz，τzx。
平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。
举例说来：
平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。
薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。
而且薄板的两个表面不受外力作用.。