第3章平面应力和平面应变
弹性力学-平面应力-平面应变问题
平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
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04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。
1 平面应力和平面应变
x y v 0 y xy v u 0 x y
由(a)、(b)可求得：
x u 0
(a) (b) (c)
df1 ( y ) dy
积分(e) ，得：
df 2 ( x) dx (d)
(e)
u f1 ( y ) v f 2 ( x)
1 v2 v x ( x y) E2 1 v 1 v v y ( y x) E 1 v 2(1 v) xy xy E
注：
（16）
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
（15）
—— 平面应力问题的 物理方程
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
yz
zx
注： (1)
E xy xy 2(1 v)
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（15）
（9）
未知量数： x , y , xy , x , y, xy , u , v
方程数： 8个 8个
结论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
z z t 0 2 zx z t 0
y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x ( x, y) y y ( x, y ) xy yx xy ( x, y)
x
xy
试述平面应力问题和平面应变问题的特点。
试述平面应力问题和平面应变问题的特点。
平面应力问题和平面应变问题是固体力学中的两个重要概念，用于描述材料在二维平面内受力和变形的行为。
它们具有以下特点：
平面应力问题特点：
1.二维平面：平面应力问题假设材料在一个平面内受力，即只考虑材料在平
面内的应力分布，忽略沿垂直于该平面的应力分量。
2.平行应力：在平面应力问题中，只考虑平行于平面的应力分量，即沿着平
面的两个方向上的应力分量。
3.垂直应力：由于假设材料在平面外的应力分量为零，因此平面应力问题中
不考虑垂直于平面的应力分量。
4.线性弹性：平面应力问题通常基于线性弹性理论，即假设材料的应力-应
变关系是线性的。
平面应变问题特点：
1.二维平面：与平面应力问题类似，平面应变问题假设材料在一个平面内变
形，只考虑材料在平面内的应变分布，忽略垂直于该平面的应变分量。
2.平行应变：平面应变问题中，只考虑平行于平面的应变分量，即沿着平面
的两个方向上的应变分量。
3.垂直应变：与平面应力问题不同，平面应变问题中考虑垂直于平面的应变
分量。
4.线性弹性：平面应变问题通常基于线性弹性理论，假设材料的应力-应变
关系是线性的。
这些问题的特点使得对材料在二维平面内受力和变形行为进行简化和分析成为可能。
它们在工程学和材料科学中有广泛的应用，例如在结构力学、材料设计和应力分析中的应用。
弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
1
0
对 1 0
称
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z
midas有限元理论-3 平面应力单元&平面应变单元
For triangular element
fi
(ξ
,η
)
=
1 2 1 4
(1+η ) (1+ ξiξ
)
(1
−
η
)
for i = 3 for i = 1, 2
For quadrilateral element
fi
(ξ
,η
)
=
1 4
(1+
ξiξ
)
(1
+
ηiη)
for i = 1, 2,3, 4
σ = Dε = DBq
where, D is the elasticity matrix defining mechanical properties of the material. Also, the matrix D is the
only difference that distinguishes plane stress elements from plain strain elements in finite element
∂v ∂x
=
∂x 0
∂ ∂y
∂
0
∂x
∂ u
∂y
v
=
0
∂
∂
∂x
∂y
0
∂ f1
∂y
0
∂
∂x
0 f1
f2 0
0 ... fn
f2
0
u1
v1
0
平面应力问题和平面应变问题
平面应力问题和平面应变问题
平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。
首先，平面应力是指施加在平面上的外力，它以牛顿力/
千克为单位来表示。
应力分为正应力和负应力，当施加的外力为正时，应力也是正的，反之亦然。
应力的大小由施加的外力的大小决定，如果外力越大，应力越大，反之亦然。
其次，平面应变是指在应力作用下物体的形变，它以百分比表示，一般用“δ”表示。
应变可以分为正应变和负应变，正
应变表示物体受力时膨胀，负应变表示物体受力时压缩，应变的大小与应力的大小成正比，如果应力越大，应变也越大，反之亦然。
最后，平面应力和应变之间的关系是对称的，它们的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系
是线性的，也就是说，如果应力增加一倍，应变也会增加一倍。
总之，平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。
应力和应变之间的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系是线性的，应力增加一倍，应变也会增加一倍。
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
平面应力问题的定义
平面应力问题的基本假设
假设弹性体是连续的，没有空隙或裂缝。
假设弹性体的材料性质在空间中是均匀的，即各向同性。
假设弹性体的材料性质在不同方向上相同。
假设弹性体的变形是微小的，即变形前后的形状和尺寸变化不大。
连续性
均匀性
各向同性
小变形
解析法
01
通过数学公式和定理求解弹性力学问题的精确解。适用于简单形状和边界条件的平面应力问题。
平面问题的定义
02
CHAPTER
平面应力问题
在弹性力学中，平面应力问题是指应变场和应力场在二维平面上变化的问题。这类问题通常涉及到薄板、薄壳等二维结构，其厚度相对于结构的尺寸较小，可以忽略不计。
平面应力问题
平面应力问题具有对称性，即应变和应力在垂直于平面的方向上为零。同时，由于结构厚度较小，平面应力问题通常只考虑平面内的应变和应力分量，忽略垂直于平面的分量。
弹性力学简介
平面问题是指弹性物体在平面内的变形问题，其中物体与平面平行或与平面垂直。
平面应变问题是指物体在平行于平面的方向上发生变形，而垂直于平面的方向上变形较小或忽略不计。
平面问题可以分为平面应变问题和平面应力问题两类。
平面应力问题是指物体在垂直于平面的方向上发生变形，而平行于平面的方向上变形较小或忽略不计。
03
CHAPTER
平面应变问题
平面应变问题
模拟 aword/noun like "bleepileysing前进 on how toilet b. The first time you feel that there is a word-like "bleepilexamples the first time you具有重要的 first time you feel that there is a word's a word-like "bleepilexamples[c. The first time you feel that there is a word's a word-like b. The first time you feel that there is a word's a word's a word-like "bleepilexamples the first time you's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a way toilet's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's
弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
得
x
1
E
1 x
y
y
1
E
1 y
x
xy
1 G
x
y
21
E
xy
平面应变问题
应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有
x
E(1) (1)(12)
x
1y
y
E(1) (1)(12)
1x
y
xy
E
2(1)
xy
E(1) (1)(12)
12 2(1)
xy
由上面的分析可知，独立的应力分量只有 σx、σy 和xy
??2???????????????????1?zyxxe???????????1111??2???????????????????1?zyxye???????????1111???2????????e?e?e??1e???????1?????????????zyxz??????????111??xyxy????12??yzyz????12??zxzx????12若令???????????t?zxyzxyzyx??????tzxyzxyzyx??????代表应变列阵和应力列阵则应力应变关系可写成矩阵形式可写成矩阵形式?????????d其中??d??22???????????????????????????????????11????????11??2????????????221000111111111称对e????????????????1??1??2??22100000210000称为弹性矩阵弹性矩阵由弹性常数e和决定
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
试比较平面应力和平面应变问题的异同点
试比较平面应力和平面应变问题的异同点下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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平面应变问题和平面应力问题的异同点
平面应变问题和平面应力问题的异同点1. 前言在我们讨论材料力学时，平面应变和应力这两个概念就像两个兄弟，性格各异却又密不可分。
想象一下，平面应变就像个爱静的书呆子，而平面应力则是那个热爱社交的朋友。
今天就来聊聊这两个家伙的异同，看看他们在我们生活中是怎么“打交道”的。
2. 平面应变问题2.1 定义与特征首先，平面应变问题指的是在某些条件下，材料在某个平面上的变形情况。
简单来说，就是我们常见的“拉伸”和“压缩”情景。
想象一下，像橡皮泥被捏扁了，表面看起来光滑，但内部却可能发生了复杂的变形。
在这种情况下，材料的某一方向的变形被假设为零，这样我们就能简单地处理问题。
2.2 应用场景说到应用，这平面应变可不简单！它常常出现在一些工程问题中，比如桥梁、隧道建设等，特别是在大规模的结构中。
想象一下，一个大桥的承重结构，所有的力都集中在某个平面上，这时应变问题就浮出水面了。
工程师们可得好好研究这个问题，才能保证桥梁的安全性。
3. 平面应力问题3.1 定义与特征转到平面应力问题，哎呀，这家伙可就热闹多了！它主要讨论在一个平面内的应力状态，简单来说，就是材料受到的各种力作用下的反应。
想象你在拥挤的地铁里被挤来挤去，那种“被压力包围”的感觉就是平面应力的典型表现。
这个时候，虽然我们也考虑了材料的厚度，但更关注的是在某个面上的力的分布。
3.2 应用场景在实际应用中，平面应力同样是不可或缺的。
很多时候，我们在设计零件，比如汽车车身或飞机机翼时，就会用到这个概念。
设计师们可得深思熟虑，确保在高速行驶时，这些材料能承受得住压力，绝不能让人有“毛毛的感觉”。
4. 异同点总结4.1 相似之处好啦，现在我们来看看这两个概念的相似之处。
首先，平面应变和应力都涉及到材料如何在外力作用下变形或反应，都是力学的基础。
其次，它们都为工程师提供了重要的分析工具，帮助他们设计出安全可靠的结构，真是一对“亲密无间”的兄弟。
4.2 不同之处不过，这两者的不同也挺明显的。
解释平面应力和平面应变状态
1. 脆性断裂：断裂前，材料未发生明显的宏观塑性变形的断裂，或指断裂应力低于材料屈服强度的断裂2. 包申格效应：是指金属材料经预先加载产生少量塑性变形（残余应力小于4％），而后再同向加载，规定残余伸长应力（屈服强度、弹性极限）增加，反向加载，规定残余伸长（屈服强度、弹性极限）应力降低的现象。
3. 应力状态软性系数：应力状态中最大切应力和最大正应力的比值4. 刚度：在弹性变形范围内，构件抵抗变形的能力。
5.热疲劳：由周期变化的热应力或热应变引起的材料破坏称为热疲劳。
6.蠕变：材料在长时间的恒温、恒载荷作用下缓慢地产生塑性变形的现象。
7.疲劳强度：在指定疲劳寿命下，材料能承受的上限循环应力。
8.断裂韧度：裂纹失稳扩展的临界状态所对应的应力场强度因子称为材料的断裂韧度9.技术磁化：铁磁材料在外加磁场的作用下所产生的磁化称为技术磁化。
10.允带：电子可以具有的能级所组成的能带称为允带。
1. 韧性：是指材料在断裂前吸收塑性变形功和断裂功的能力。
4.松弛稳定性：材料抵抗应力松弛的能力称为松弛稳定性。
7.低温脆性：材料随着温度下降，脆性增加，当其低于某一温度时，材料由韧性状态变为脆性状态，这种现象为低温脆性。
8.解理断裂：材料在拉应力的作用下原于间结合破坏，沿一定的结晶学平面(即所谓“解理面”)劈开的断裂过程。
6. 破损安全：构件内部即使存在裂纹也不导致断裂的情况。
7.平面应力：只在一个平面内存在应力的现象。
10. △K th ：疲劳裂纹扩展的门槛值，表征材料阻止疲劳裂纹开始扩展的能力1. 解释形变强化的概念，并阐述其工程意义。
答：材料进入塑性变形阶段后，随着变形量增大，形变应力不断提高的现象称为形变强化。
（2分）形变强化是金属材料最重要的性质之一，其工程意义在于：1）形变强化可使材料或零件具有抵抗偶然过载的能力，阻止塑性变形的继续发展，保证材料安全。
2）形变强化是工程上强化材料的重要手段，尤其对于不能进行热处理强化的材料，形变强化成为提高其强度的非常重要的手段。
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
弹性力学与材料科学、计算科学、生物学等学科的交叉融合，为解决 复杂工程问题提供了新的思路和方法。
数值模拟与计算
随着计算机技术的进步，数值模拟和计算在弹性力学领域的应用越来 越广泛，能够更精确地模拟和预测材料的力学行为。
多尺度分析
从微观到宏观的多尺度分析方法，能够更好地理解材料的微观结构和 宏观性能之间的关系。
它们简化了问题的复杂性，使得 弹性力学成为一种实用的工程工 具。
02
基本假设的局限性
03
限制条件的考虑
在某些情况下，这些假设可能不 成立，例如在处理非均匀、非各 项同性或大变形问题时。
在应用弹性力学时，必须考虑这 些限制条件，以确保结果的准确 性和可靠性。
06 弹性力学的发展趋势和未 来研究方向
弹性力学的发展趋势
非线性力学
随着工程结构的复杂性和非线性特征的增加，非线性力学的研究越来 越受到重视，为解决复杂工程问题提供了新的理论和方法。
未来研究方向
新材料和新结构的力学行为
智能材料的力学行为
研究新型材料和复杂结构的力学行为，探 索其性能优化和设计方法。
研究智能材料的响应机制和调控方法，探 索其在传感器、驱动器和自适应结构等领 域的应用。
生物医学中的弹性力学问题
研究生物组织的力学行为和生理功能，探 索其在生物医学工程和再生医学等领域的 应用。
环境与可持续发展的弹性力学问 题
研究环境因素对材料和结构的影响，探索 其在环保和可持续发展等领域的应用。
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材料力学性能的测试
材料弹性模量的测定
通过实验测定材料的弹性模量，可以了解材料的力学性能，为工程设计和材料选择提供依据。
平面应力与平面应变对材料断裂的影响
平面应力与平面应变在应力集中问题上的应用
实验应力集中分析方法
1、电学方法 ▪ ①电阻应变计法；②电容应变计法 2、光学方法 ▪ ①光弹性法；②云纹法；③云纹干涉法；④全息干涉法 ⑤散斑干涉法； ⑥焦散线法；⑦光纤传感技术；⑧数字图像处理技术 3、声学方法 ▪ ①声弹性法；②声发射技术； ③声全息法 4、其他方法 ▪ ①脆性涂层法； ②X射线应力测定法； ③比拟法
平面应力与平面应变对材料断裂的影响
刘先龙 材料学13级
基本概念：
弹性体变形以后，这三个线段的长度以及它们之间的直角都 将有所改变。线段的每单位长度的伸缩称为正应变，线段之 间的直角的改变称为剪应变。
作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。 所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又 称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。 面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体 之间的接触力等。 只受到平行于xy面的三个应力分量，即 σx ，σy ，τxy ，这种 问题就称为平面应力问题（εz一般不等于零,可由σx 及σy求得， 在分析问题时不必考虑。） 由于对称(任一横截面都可以看做对称面)，所有各点都只会 有x和y方向的位移而不会有z方向的位移．即w=0。这种问题 称为平面应变（位移）问题。 z （ x y）
平面应变状态是实际工程结构中最危险的工作状态
斜面应力分析
yx
y
y
A px
x
cos(N , x) l ,cos(N , y) m,
p px py
由∑Y=0， ∑X=0得：
x
xy
P
τN
B
σN
py
p
n
px xl xym
第3章 平面应力和平面应变
P
σy τ yx
dx dy ds
x
A XN
的关于坐标轴的方向余弦： 斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：
τ xy
B YN
cos(N, x) = l cos(N, y) = m
由微元体平衡： 由微元体平衡： ∑Fx = 0, σ xdy ×1τ yxdx ×1+ X N ds ×1 = 0
dx = ds m dy = ds l
因为任一横截面均可视为对称面， 因为任一横截面均可视为对称面，则有 平面。 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 —— 平面位移问题
w≡ 0
εz ≡ 0 γ zy = γ yz ≡ 0 γ zx = γ xz ≡ 0
εx = εx (x, y) —— 平面应变问题 ε y = ε y (x, y) γ xy = γ yx = γ xy (x, y)
如图所示三种情形，是否都属平面问题？ 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？ 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， ）、边界条件 问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求： σ x ,σ y ,τ xy
y
τ xy τ N
B
dx dy ds
A XN
σN
s
N
YN
求解得： 求解得：
m σ σ x = l τ yx
τ yx m = l σ σ y
σ x σ y 2 +τ xy 2
2
X N = lσ x + mτ yx YN = mσ y + lτ xy
平面应力和平面应变
平面应力和平面应变1． 平面应力在三维应力分布中，如果作下列假定无关与z 、、xy y x yz xz z τσσττσ0=== 1-1就得到了平面应力问题。
这种情况发生在薄板边界处受到平行于板面、并且沿厚度均匀分布的力作用的时候如图。
这时，在板的上下表面处，z σ、xz τ、yz τ为零（z 为板的法向），并认为沿着整个厚度方向它们也等到于零（因为厚度很小）。
应力状态只须用仅与x 、y 有关的x σ、y σ、xy τ来描述，称为平面应力情况。
此时，这三个应力分量与z 无关，即沿着板厚度保持不变。
平面应力问题的所有方程可以从相应的三维方程并结合式1-1得到：平衡方程 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y y xy x xy x f y x f y x σττσ 1-2 边界条件 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=--y xy xy x m l Y m l X σττσ 1-3 应变--位移方程 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=x v y u y v x u xy y x γεε 1-4 应力--应变方程 ()()⎪⎭⎪⎬⎫=-=-=G E v E v xy xy x y y y x x τγσσεσσε 1-5 这里()v E G +=12是剪切模量，在结构的矩阵分析中，常把1-5式写成矩阵形式。
即()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x v v E τσσγεε1201011称对 1-6 或者，反之用应变表示应力，则有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x v v vE γεετσσ21010112称对 或记： {}[]{}εσD = 1-7其中： []⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21010112v v v E D 称对 1-8 协调方程 y x x y xy y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 1-9 此外，还必须注意下面两点：1） 在平面应力状态中0=z σ，而0≠z ε，事实上有()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==+-=00yz xzy x z E v γγσσε 2）平面应力假定下，方程式1-1是违背了某些协调条件的。
3-3 平面问题和轴对称问题
2
1 2
(1
3)
平面变形时的应力莫尔圆
金属塑性成形原理
平面应力问题与平面应变问题的相同及区别
相同：Z方向不存在切应力。即 τxz 和 τyz 均为零。 区别：见表
Z方向应力分量 Z方向位移分量
正应变分量
平面应力问题
z 0 w0
x
1 E
( x
-
xy
x
y
y
0
金属塑性成形原理
平面应力状态下任意斜微分面上的正应力、切应力和主应力均可从(3-32)、
（3-33）、（3-35）[Page 75]各式中求得。
由于σ3＝0， 所以平面应力状态下的主切应力为
τ
12
1
2
2
(
x
2
y
)2
2 xy
23
2
2
31
1
2
σ2
σ3
2β2
τmax
A(σx ,τxy)
σα
与σ正方向夹角为150 °。
τα 60o 150o
该截面上的正应力和切应力分别为：
120o O
σ
30sin(150) 25.98MPa
30cos(150) 15MPa
y(0,-30)
金属塑性成形原理
2）主应力 max x y
min
2
x
y
2
2
2 x
30 MPa
30
2
0
0
0 0
0
x y
2 0
0
0
x
2
y
纯切应力状态
或
ij
1
0
0
3
0 0
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
y 面， 面）， n
边长 AB ds, PB lds , PA mds.
2、平面问题中一点的应力状态 x
35
yx yx
y
y y
A
几何参数：
cos(N , x) l ,cos(N , y) m,
xx
xy xy
P P
τN
B py
xy 设AB面面积=ds， PB面积=lds， p σN x PA面积=mds。
z 0, 本题中： zx , zy 0
zx , zy 0.
故只有 ε x , ε y , γ xy ，
ox
z
且仅为 f x, y 。
故为平面应变问题。
y
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
§2－2
平衡微分方程
平衡微分方程--表示物体内任一点
的微分体的平衡条件。
x
y yz
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
u,,
第二章
平面应力问题和平面应变问题
zx
z xz x
x xy ij = yx y
当 d x, d y 0 时，得切应力互等定理,
xy yx .
(c)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
说明
对平衡微分方程的说明：
⑴ 代表A中所有点的平衡条件，
因位（ x ，）∈A； y ⑵ 适用的条件--连续性，小变形； ⑶ 应力不能直接求出； ⑷ 对两类平面问题的方程相同。
第二章