湖南省永州市2019届高三第一次模拟考试理科数学试题(含答案)

永州市2019年高考第一次模拟考试试卷

数学（理科）

命题人：王勇波（祁阳一中） 廖信亮（新田一中）

陶先国（蓝山二中） 杨迪虹（永州一中）

审题人：蒋 健（永州市教科院） 注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．考试结束后，只交答题卡．

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内．） 1．设集合A =｛x ∈Z|x 2－4x +3≤0｝，集合B ={2，3，4，5}，则A B =

A ．φ

B ．{2}

C ．{2，3}

D ．{2，3，4}

2．已知1

1z i

=

+（i 是虚数单位），则复数z 的模为 A ．12 B

C

D ． 2

3．若2x >，则4

2

x x +-的最小值为

A ．4

B ． 5

C ． 6

D ． 7

4． 已知数列{a n }满足a 2 =2，a n+1=1

2

a n ，则数列{a n }的前5项和S 5等于

A ．314

B ．

31

2

C ．31

D ．32

5．已知实数,x y 满足约束条件2402202--≥--≤≤⎧⎪

⎨⎪⎩

x y x y y ，则z x y =-的最小值

是

A ． －1

B ． 1

C ．2

D ．4

6．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的

“a MOD b ”表示a 除以b 的余数，若输入a ，b 的值分别为195，

52，则执行该程序输出的结果为 A ．13 B ．26 C ．39 D ．780

（第6小题图）

7．已知数列{a n }前n 项和为S n ，且a n =n ，令b n =12n

S ，则数列{b n }的前n 项和T n 为

A ．11-n

B ．111

-

+n C ．22-n

D ．221

-

+n

8．若函数cos 2sin =+f a x x x （）在区间63

ππ（，）单调递减，则实数a 的取值范围是 A ．1[)2

+∞， B ．1

()2

+∞，

C

．)6

+∞ D ．1

[)4

+∞，

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A ．364π-

B ．62π-

C ．64π-

D ．64

π+

10．已知函数f （x －1）（x ∈R ）是偶函数，且函数f （x ）的图象关于

点（1，0）成中心对称，当x ∈［－1，1］时，f （x ）=x －1，则f （2019）=

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．2

11．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AC ＝BC ＝3，AA 1

直线AA 1与平面A 1BC 所成角的正弦值是

A ．3

5

B ．34

C ．45

D ．43

12．已知双曲线C ：22

22100-=>>x y a b a b

（，）的右焦点F ，过点F 作其中一条渐近线的垂线，

垂足为M ，与另一条渐近线交于N ，若2=FN MF uu u r uuu r

，则双曲线的离心率为

A

B

C

D

．

第II 卷

本卷包括必考题和选考题，第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题 第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横

线上．） 13．

在3

2-

x （的展开式中，常数项是 ．

14．从3个男生、2个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是男生的概率是 ．

俯视图

侧视图

正视图（第9小题图）

15．椭圆是的圆的一个伸缩变换，椭圆C ′：222210+=>>x y a b a b （）是圆C ：22

221+=x y a a

作伸

缩变换'='=⎧⎪

⎨⎪⎩

x x

b y y a 得到的，我们说C ′与C 的纵伸缩比是b a ，横伸缩比是1，伸缩变换的

图形的面积比为伸缩比之积，圆C ：22

221+=x y a a

的面积是S ＝πa 2，设椭圆C ′：

2222

1(0)+=>>x y a b a b 的面积为S '，由S S

'＝1b

b a a ⨯=知S ′＝πab ．过点P （3，0）作直线l 与椭圆22142

+=x y 相交于点M ，N ，则△OMN （O 是坐标原点）的面积最大值是 ．

16．在△ABC 中，CA ＝2，CB ＝4，2⋅=-CA CB u u r u u r ，O 是△ABC 的外心，若=+CO xCA yCB u u u r u u r u u r

，

则x +y ＝ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，AB ＝8，点D 的BC 边上，且CD =2，

cos ∠ADC =17，cos ∠DAB =13

14

． （1）求角B ； （2）求AC 的长．

18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为长方形，AB ＝2BC ＝6，

点E 线段AB 的中点，PC ＝PD ＝PE

＝，点F 在线段

PC 上，且1

3=PF PC ；

（1）证明：AD PC ⊥；

（2）求二面角F －DE －C 的余弦值．

19．（本小题满分12分）如图，圆M ：x 2+(y －2)2=32，N （0，－2），

点P 是圆M 上的点，连接PN 交圆于点Q ，过N 作MQ 的平行线交MP 于E ．

（1）求证：｜ME ｜＋｜NE ｜为定值，并求动点E 的轨迹Γ的

方程； （2）点F （4，3），点A （1，0），过A 作直线l 交Γ于G ，H 两点，求证：直线FG ，FH 的斜率之和为定值．

E

D F

B A

P （第18小题图）

（第19小题图） D B A

（第17小题图）