湖南省永州市2019届高三第一次模拟考试理科数学试题(含答案)

永州市2019年高考第一次模拟考试试卷数学（理科）命题人：王勇波（祁阳一中） 廖信亮（新田一中）陶先国（蓝山二中） 杨迪虹（永州一中）审题人：蒋 健（永州市教科院） 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．考试结束后，只交答题卡．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内．） 1．设集合A =｛x ∈Z|x 2－4x +3≤0｝，集合B ={2，3，4，5}，则A B =A ．φB ．{2}C ．{2，3}D ．{2，3，4}2．已知11z i=+（i 是虚数单位），则复数z 的模为 A ．12 BCD ． 23．若2x >，则42x x +-的最小值为A ．4B ． 5C ． 6D ． 74． 已知数列{a n }满足a 2 =2，a n+1=12a n ，则数列{a n }的前5项和S 5等于A ．314B ．312C ．31D ．325．已知实数,x y 满足约束条件2402202--≥--≤≤⎧⎪⎨⎪⎩x y x y y ，则z x y =-的最小值是A ． －1B ． 1C ．2D ．46．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“a MOD b ”表示a 除以b 的余数，若输入a ，b 的值分别为195，52，则执行该程序输出的结果为 A ．13 B ．26 C ．39 D ．780（第6小题图）7．已知数列{a n }前n 项和为S n ，且a n =n ，令b n =12nS ，则数列{b n }的前n 项和T n 为A ．11-nB ．111-+n C ．22-nD ．221-+n8．若函数cos 2sin =+f a x x x （）在区间63ππ（，）单调递减，则实数a 的取值范围是 A ．1[)2+∞， B ．1()2+∞，C．)6+∞ D ．1[)4+∞，9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．364π-B ．62π-C ．64π-D ．64π+10．已知函数f （x －1）（x ∈R ）是偶函数，且函数f （x ）的图象关于点（1，0）成中心对称，当x ∈［－1，1］时，f （x ）=x －1，则f （2019）=A ．－2B ．－1C ．0D ．211．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AC ＝BC ＝3，AA 1直线AA 1与平面A 1BC 所成角的正弦值是A ．35B ．34C ．45D ．4312．已知双曲线C ：2222100-=>>x y a b a b（，）的右焦点F ，过点F 作其中一条渐近线的垂线，垂足为M ，与另一条渐近线交于N ，若2=FN MF uu u r uuu r，则双曲线的离心率为ABCD．第II 卷本卷包括必考题和选考题，第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题 第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上．） 13．在32-x （的展开式中，常数项是 ．14．从3个男生、2个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是男生的概率是 ．俯视图侧视图正视图（第9小题图）15．椭圆是的圆的一个伸缩变换，椭圆C ′：222210+=>>x y a b a b （）是圆C ：22221+=x y a a作伸缩变换'='=⎧⎪⎨⎪⎩x xb y y a 得到的，我们说C ′与C 的纵伸缩比是b a ，横伸缩比是1，伸缩变换的图形的面积比为伸缩比之积，圆C ：22221+=x y a a的面积是S ＝πa 2，设椭圆C ′：22221(0)+=>>x y a b a b 的面积为S '，由S S'＝1bb a a ⨯=知S ′＝πab ．过点P （3，0）作直线l 与椭圆22142+=x y 相交于点M ，N ，则△OMN （O 是坐标原点）的面积最大值是 ．16．在△ABC 中，CA ＝2，CB ＝4，2⋅=-CA CB u u r u u r ，O 是△ABC 的外心，若=+CO xCA yCB u u u r u u r u u r，则x +y ＝ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，AB ＝8，点D 的BC 边上，且CD =2，cos ∠ADC =17，cos ∠DAB =1314． （1）求角B ； （2）求AC 的长．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为长方形，AB ＝2BC ＝6，点E 线段AB 的中点，PC ＝PD ＝PE＝，点F 在线段PC 上，且13=PF PC ；（1）证明：AD PC ⊥；（2）求二面角F －DE －C 的余弦值．19．（本小题满分12分）如图，圆M ：x 2+(y －2)2=32，N （0，－2），点P 是圆M 上的点，连接PN 交圆于点Q ，过N 作MQ 的平行线交MP 于E ．（1）求证：｜ME ｜＋｜NE ｜为定值，并求动点E 的轨迹Γ的方程； （2）点F （4，3），点A （1，0），过A 作直线l 交Γ于G ，H 两点，求证：直线FG ，FH 的斜率之和为定值．ED FB AP （第18小题图）（第19小题图） D B A（第17小题图）20．（本小题满分12分）某城市的美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下： 美团外卖的底薪90元，每单提成m 元；百度 外卖的底薪120元，每日前40单无提成，超出 40单的部分每单提成6元．现从两公司各随机 抽取50名“骑手”，跟踪30天，考察他们的 每天的派送单数，得出两公司的“骑手”的人 平均派送单数情况如右条形图：（1）求百度外卖公司的“骑手”日工资y （单位：元）与送餐单数n 的函数关系； （2）若将频率视为概率，回答以下问题：①记百度外卖的“骑手”日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； ②要使美团“骑手”的日工资期望值与百度外卖的“骑手”日工资期望值相等，求m 的值（精确到0.1）．21．（本小题满分12分）函数f （x ）=x 2+m ln （x +1）． （1）当4m =-时，求函数f （x ）的单调减区间；（2）若函数f （x ）有两个极值点x 1、x 2，且x 1＜x 2，求21f x x （）的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标4π，），曲线C 1的极坐标方程为cos 4πρθ-=a （），且曲线C 1过点A ，曲线C 2的极坐标方程为2cos ρθ=-．（1）求a 的值及曲线C 2的直角坐标方程；（2）求曲线C 2上的点到曲线C 1的距离的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数1=+f x x （）． （1）解不等式：2f x x ≤（）； （2）若不等式2f x a x --≥（）的解集为非空集合，求a 的取值范围．永州市2019年高考第一次模拟考试试卷数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）1～5 CBCAB 6～10 ABACD 11～12 CA 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．6 14．71015． 16．75三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）1cos 7ADC ∠=Q ，13cos 14DAB ∠=， sin ADC ∴∠=sin DAB ∠=， ………… 2分 cos cos()B CDA DAB =∠-∠Q ，cos B ∴=cos cos CDA DAB ∠∠sin sin CDA DAB +∠∠ …………… 4分 cos B ∴=113714714⨯+12=，且(0,)B π∈， 3B π∴=． …………………………………………………………………… 6分 （2）在ABD ∆中，由正弦定理可得，sin sin AB ADBDA B=∠，7AD ∴=． ………………………………………………………… 9分 在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos AC DC AD AD DC ADC =+-⋅⋅∠7AC ∴= ． ………………………………………………………… 12分 18．（本小题满分12分） 解：（1）取DC 的中点O ，连接,DO OE ，PD PC =Q ， PO DC ∴⊥，且3PO = ， ………………………… 2分易证222PE PO OE =+ ，FP D CB APO OE ∴⊥且DC OE O ⋂=，PO ABCD ∴⊥面．PO AD ∴⊥ ． ………………………………………………………… 4分AD DC ⊥Q ，且DC PO O ⋂=，AD PDC ∴⊥面 且PC PDC ⊂面 ，AD PC ∴⊥ ． ……………………………………………………… 6分（2）建立如图所示的空间直角坐标系易知面ABCD 的法向量1(0,0,1)n =u r ，(0,3,0),(3,0,0),(0,1,2)D E F -Q ，，(3,3,0),(0,4,2)DE DF ∴==u u u r u u u r，………（8分） 设面DEF 的法向量2(,,)n x y z =u u r，22330420n DE x y n DF y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩u u r uuu r u u r uuu r，可得2(1,1,2)n =-u u r ， ………………… 10分1212cos 3n n n n θ⋅∴===⋅u r u u r u r u u r．…………… 12分 19．（本小题满分12分）（1） 证明：｜MP ｜＝｜MQ ｜，∠MPQ ＝∠MQP ，NE//MQ ，∠ENP ＝∠MQP ＝∠MPQ ，｜ EP ｜＝｜EN ｜，｜ME ｜＋｜NE ｜＝｜ME ｜＋｜EP ｜＝｜MP｜＝，动点E的轨迹Γ的方程是：22148x y +=（x ≠0）；……………………………… 5分注：没写出x ≠0也不扣分．（2）设直线l 的方程：y =k (x －1)与椭圆22148x y +=联立方程，消去y 得2222(1)8x k x +⨯-=，2222(2)280k x k x k +-+-=，422244(2)(8)24640k k k k ∆=-⨯+⨯-=+>，设G （11,x y ），H （22,x y ），知12,x x 是上述方程的两根，（第19小题图）有2212122228,22k k x x x x k k -+=⋅=++， …………………………… 8分 1212121233334444FG FH y y kx k kx k k k x x x x ------+=+=+----121212122(53)()8(3)4()16kx x k x x k x x x x -++++=-++222222222(8)(53)28(3)(2)1848284216(2)924k k k k k k k k k k k --+⨯++++===--⨯+⨯++，…………………… 10分若设直线l 的斜率不存在，求得G （1，H （1，，显然有2FG FH k k +==． ………………………………………… 11分 故直线FG ，FH 的斜率之和为定值2． ………………………………………… 12分20．（本小题满分12分）解：(1)120,40,6120,40,n n N y n n n N**⎧≤∈=⎨->∈⎩． …………………………………………… 3分（2） 由条形图知，百度外卖的送餐单数为38，40时，X =120，频数为4+5=9，频率为933010=．送餐单数为42时，X =132，频数为7，频率为730； 送餐单数为44时， X =144，频数为8，频率为830=415； 送餐单数为46时，X =156，频数为6，频率为61305=； X 的可能值为120，132，144，156，则X 的分布列为374168212013214415610301555EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………… 7分 记美团外卖每日的送餐单数为ξ，日工资为Y 元，则9090Y m m ξξ=+⨯=+，(90)90EY E m m E ξξ=+=+⨯，68655125384042444630303030303E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 所以1256829035EY m =+=，求得m ≈1.1． ………………………………………12分 （m 值在1.0～1.2间都不扣分）21．（本小题满分12分）解：（1）依题意知函数定义域为()1,-+∞，………………………………………… 1分()21m f x x x '=++2221x x m x ++=+， ………………………………………… 2分 当4m =-时，令2224()01x x f x x +-'=≤+，得：21x -≤≤，又x >－1，故函数()f x 的单调减区间(1,1]-． ………………………………… 5分 注：单调减区间写成(1,1)-也可。