专题一：恒成立与存在性问题(精简型)

专题一：恒成立与存在性（精简型）
一、 恒成立之常用模型及方法一：分离参数法-----在指定的区间下对不等式作等价变形，将参数“a ”与变量“x ”左右分离开------
模型------
αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。

口诀：大就大其最大，小就小其最小，即最终转换求函数最值
例1已知322)(2
+-=ax x x f ，若(],2,1∈x ()0f <x 恒成立，求a 的取值范围.
例2 已知0l <-ax nx ，在定义上恒成立，求a 的取值范围.
二、恒成立之常用模型及方法二：（构造）函数利用函数图象（性质）分析法------此法关键在函数的构造上，常见于两种----一分为二
或和而为一，另一点充分利用函数的图象来分析，即体现数形结合思想 例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≤-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.
例4若不等式2
log 0m x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
内恒成立，则实数m 的取值范围
三、存在性之常用模型及方法：常见方法两种，一直接法同上恒成立，二
间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可
例5已知322)(2
+-=ax x x f ，若存在(],2,1∈x 使得()0f <x 成立，求a 的取值范围.
四、其它常用模型及方法：
1.设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则
()()x g x f min min ≥
2.设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则
()()x g x f max max ≤
3.设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥
4.设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤
5.若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；
6.若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；
7.设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则
()f x 在[]b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。

即：M ⊆N 。

8.设函数()x f ，对任意的[]b a x ,∈，使得
m x f <)(恒成立，则
.
9.设函数()x f ，对任意的[]b a x ,∈，使得m x f x f ≤-)()(21恒成立，则 .
五、巩固训练
1.设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(2
3
．
的取值范围
求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.
,3)()1(-∞=
2.已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2
+4x ，其中k 为实数。

（1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；
（3）对任意x 1、x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围。

（4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围；
3.已知函数3
2
()1f x x ax x =+++，a ∈R .（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函
数()f x 在区间2
133⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
内是减函数，求a 的取值范围． 4.已知
是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a 的取值范
围是
5. 已知函数f(x)=⎩⎨⎧(3-a)x-3 x ≤7a
x-6 x>7, 数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N *
),且数列{a n }是递增数列,
则实数a 的取值范围是
6.函数F （x ）=log2（a x
x ++12
3)在定义域上F （x)≥4恒成立，求a 的取值范围
7. 设函数x x a x f 4)(2+-+-=,a ax x g +=)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,试求实数a 的取值范围. 8.若不等式1
42x
x a +--≥0在[1，2]上恒成立，则a 的取值范围为 ．
9.若对于任意1a ≤，不等式2
(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围
10.f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间⎝
⎛⎭
⎪⎫－1
2
，0上单调递增，则a 的取值范围是
11.已知函数f x a x x ()l n ()=+-2
21（a 为实数） （I ）若f x ()在x =-1
处有极值，求a 的值； （II ）若f x ()在]23[--，上是增函数，求a 的取值范围。

12．设函数2
()ln f x x x ax =++. （Ⅰ）若1
2
x =
时，()f x 取得极值，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围； 13．设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+.
（Ⅰ）求f (x )的单调区间；
（Ⅱ）若当1[1,1]x e e
∈--时，不等式f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围；
14.设函数432
()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．
（Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围例 15.不等式)4(x x ax -≤
在]3,0[∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围。

16.已知两函数2
)(x x f =，m x g x
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得
()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为
17.设函数b x x a x h ++=
)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4
1
[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．
18.已知()2ln b f x ax x x
=-+在1x =与1
2x =处都取得极值. 函数2()=2+g x x mx m -，
若对任意的11[,2]2x ∈，总存在21
[,2]2
x ∈，使得、122()()ln g x f x x ≥-，求实数m 的取
值范围。

19. 已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．
（1）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，
对x ∀∈
),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；
20.已知函数()()3
2
2
,.f x x ax bx a
a b R =+++∈（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值为
10。

求b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值。