4.数学分析习题演练(第一册、第二册)【周敏强着紫皮】
200655104714983数学分析 试卷和答案
5.
四、应用题：利用定积分推导半径为R的球面的面积公式.（8分）
五、讨论下列反常积分级数的敛散性.（每小题4分，计12分）
Байду номын сангаас（1）讨论反常积分 的敛散性.
（2）讨论级数 的敛散性.
（3）讨论函数项级数 在 上一致收敛性.
六、求幂级数 的收敛域及和函数.（8分）
________________系______________班姓名_________________学号__________
-------------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线-------------------------------------------
1.
2.
3.
________________系______________班姓名_________________学号__________
-------------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线-------------------------------------------
8.函数列 在D上一致收敛于 的充分必要条件是________________________
____________________.
9.幂级数 的收敛半径R=______________.
10.函数 在 处的麦克劳林级数是___________________________________.
2004年数学四试题分析、详解和评注 数一至数四真题+详解
2004年数学四试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x ae xxx ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim 0=--→b x ae xxx ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x xxb x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.完全类似的例题见《数学复习指南》P36例1.60，P43第1(3)题，P44第2(10)题、 第6题，《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34，《数学四临考演习》P79第7题， 《考研数学大串讲》P12例17、19.(2) 设1ln arctan 22+-=x x xe e e y ，则1121+-==e e dx dyx .【分析】本题为基础题型，先求导函数即可.【详解】因为)1ln(21arctan 2++-=xxe x e y ，111222++-+='xx x x e e e e y ， 所以，1121+-==e e dx dy x . 【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导. 类似例题在一般教科书上均可找到.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可. 【详解】令x - 1 = t ， ⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.完全类似的例题见《数学复习指南》P96例4.17，《数学四临考演习》P61第2题， P68第15题，《考研数学大串讲》P41例14.（4） 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100001010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵, 则 =-220042A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003 ．【分析】 将B 的幂次转化为A 的幂次, 并注意到2A 为对角矩阵即得答案. 【详解】因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000100012A , P A PB 200412004-=.故E EP P P A P B ===--11002212004)(,=-220042A B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100030003.【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查．完全类似的例题可见《数学复习指南》P.291例2.13. (5) 设()33⨯=ija A 是实正交矩阵，且111=a ，Tb )0,0,1(=，则线性方程组b Ax =的解是 T)0,0,1(．【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果. 【详解】因为 b A x 1-=, 而且()33⨯=ij a A 是实正交矩阵, 于是 1-=A A T , A 的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-0011312111a a a b A b A x T.【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算．类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司) P.174例33.(6) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ 故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim 1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界； 如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4例1.10，《数学四临考演习》P51 第15题.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点.(B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以， 当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.完全类似的例题见《数学复习指南》P41例 1.70，《数学题型集粹与练习题集》P20例1.35.(9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点.[ C ]【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ， 当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. 故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. 完全类似的例题见《数学复习指南》P141例6.9，《考研数学大串讲》P96例5.(10) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.[ B ]【分析】先求分段函数f (x )的变限积分⎰=xdt t f x F 0)()(，再讨论函数F (x )的连续性与可导性即可.【详解】当x < 0时，x dt x F x-=-=⎰0)1()(；当x > 0时，x dt x F x==⎰01)(，当x = 0时，F (0) = 0. 即F (x ) = |x |，显然，F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. 故选(B).【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分. 对于绝对值函数：||0x x -在0x x =处 不可导；f (x ) =||0x x x n -在0x x =处有n 阶导数，则||)!1()(0)(x x n x f n -+=. 完全类似的例题见《数学复习指南》P95例4.15，《考研数学大串讲》P42例15. (11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f . (D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ； 另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.完全类似的例题见《数学复习指南》P130例5.8，《数学题型集粹与练习题集》P70例5.4. (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必须(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 从而选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型. 相关知识要点见《数学复习指南》P.284-286.(13) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{, 若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A) 2αu . (B) 21αu - . (C) 21αu-. (D) αu -1. [ B ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(B).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. 见《数学复习指南》P.489分位数概念的注释.(14) 设随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布，且方差02>σ．令随机变量∑==ni i X n Y 11， 则(A) 212)(σn n Y X D +=+． (B) 212)(σnn Y X D +=-． (C) nσY X Cov 21),(=． (D) 21),(σY X Cov =． [ C ]【分析】 利用协方差的性质立即得正确答案..【详解】 由于随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布, 于是可得),(1)1,(),(11111∑∑====ni i n i i X X Cov n X n X Cov Y X Cov),(1),(11111X X Cov nX X Cov n n i i ==∑=211)(1σnX D n ==. 故正确答案为(C).【评注】本题是对协方差性质的考查, 属于基本题.相关知识点见《数学复习指南》P.454, 类似的例题可见《2004文登模拟试题》数三的第一套第23题.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 20xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 222020sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =30422044sin 212lim 2sin 41lim xxx x x x x x -=-→→. 346)4(21lim 64cos 1lim 22020==-=→→xx x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.完全类似的例题见《数学复习指南》P28例1.45. (16) (本题满分8分) 求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的 平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ， 由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ 所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P101例8.12(1)，《数学四临考演习》P16 第17题，《考研数学大串讲》P79例2. (17) (本题满分8分)设f (u , v )具有连续偏导数，且满足uv v u f v u f v u='+'),(),(. 求),()(2x x f e x y x -=所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分析】先求y '，利用已知关系uv v u f v u f v u='+'),(),(，可得到关于y 的一阶微分方程. 【详解】x v x ux x e x y x x f e x x f e x x f e y 222222),(),(),(2----+-='+'+-='， 因此，所求的一阶微分方程为x e x y y 222-=+'.解得 x dxx dx e C x C dx e e x e y 232222)31()(---+=+⎰⎰=⎰(C 为任意常数). 【评注】 本题综合了复合函数求偏导数与微分方程，但是，求偏导数与解微分方程都是基本题型.完全类似的例题见《数学复习指南》P243例11.11，《数学题型集粹与练习题集》P95例7.13、例7.14，《数学四临考演习》P3第16题，《考研数学大串讲》P76例14. (18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)； (II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR， 故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加. 【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dp dR d )1(-=，p E dQ dR d)11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). 这些公式在文登学校辅导材料系列之五《数学应用专题(经济类)》有详细的总结. 完全类似的例题见《数学复习指南》P255例12.4，《数学应用专题(经济类)》P2. (19) (本题满分9分)设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线y = F (x )之间的面积. 对任何t > 0，)(1t S 表示矩形-t ≤ x ≤ t ，0 ≤ y ≤ F (t )的面积. 求(I) S (t ) = S -)(1t S 的表达式；(II) S (t )的最小值.【分析】曲线y = F (x )关于y 轴对称，x 轴与曲线y = F (x )围成一无界区域，所以， 面积S 可用广义积分表示. 【详解】(I) 12202=-==+∞-∞+-⎰x x edx e S ，t te t S 212)(-=，因此t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞). (II) 由于t e t t S 2)21(2)(---='，故S (t )的唯一驻点为21=t ， 又t e t t S 2)1(8)(--=''，04)21(>=''eS ，所以，eS 11)21(-=为极小值，它也是最小值.【评注】本题综合了面积问题与极值问题，但这两问题本身并不难，属于基本题型.完全类似的例题见《数学复习指南》P143例 6.13，《数学题型集粹与练习题集》P80例6.11.(20) (本题满分13分)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++,14)4()2(3,022,0432143214321x x μx λx x x x x x x μx λx 已知T )1,1,1,1(--是该方程组的一个解，试求(Ⅰ) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ) 该方程组满足32x x =的全部解．【分析】 含未知参数的线性方程组的求解, 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形, 然后对参数进行讨论. 由于本题已知了方程组的一个解, 于是可先由它来(部分)确定未知参数.【详解】 将T )1,1,1,1(--代入方程组，得μλ=．对方程组的增广矩阵A 施以初等行变换, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1212)12(2001131012011422302112011λλλλλλλλλλA ，(Ⅰ) 当21≠λ时，有 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→2121100212101001001A ， 43)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,21,21,0(0-=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 Tη)2,1,1,2(--=，故方程组的全部解为T T k ηk ξξ)2,1,1,2()0,21,21,0(0--+-=+= (k 为任意常数)．当21=λ时，有 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000113102121101A ， 42)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,0,1,21(0-=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 T η)0,1,3,1(1-=，T η)2,0,2,1(2--=, 故方程组的全部解为T T T k k ηk ηk ξξ)2,0,2,1()0,1,3,1()0,0,1,21(2122110--+-+-=++=(21,k k 为任意常数)．(Ⅱ) 当21≠λ时，由于32x x =，即 k k -=+-2121，解得 21=k ， 故方程组的解为T T T ξ)1,0,0,1()2,1,1,2(21)0,21,21,1(-=--+-= ．当21=λ时， 由于32x x =，即121231k k k =--， 解得 212141k k -=，故方程组的全部解为 T T T k k ξ)2,0,2,1()0,1,3,1)(2141()0,0,1,21(22--+--+-=T T k )2,21,21,23()0,41,41,41(2---+-=， (2k 为任意常数)．【评注】：(1) 含未知参数的线性方程组的求解是历年考试的重点, 几乎年年考, 务必很好掌握.完全类似的例题可见《数学复习指南》P.341例4.9, 《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.161例10, 以及文登数学辅导班上讲授的例子.(2) 对于题(Ⅱ), 实际上就是在原来方程组中增加一个方程, 此时新的方程组当21≠λ时有惟一解, 当21=λ时有无穷多解. (3) 在题(Ⅱ)中，当21=λ时，解得12221k k -=，方程组的全部解也可以表示为T T k ξ)4,1,1,3()1,0,0,1(1-+-=， (1k 为任意常数)．(21) (本题满分13分)设三阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值．若T α)0,1,1(1=, T α)1,1,2(2=, T α)3,2,1(3--=, 都是A 的属于特征值6的特征向量．(Ⅰ) 求A 的另一特征值和对应的特征向量；(Ⅱ) 求矩阵A ．【分析】 由矩阵A 的秩为2, 立即可得A 的另一特征值为0. 再由实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交可得相应的特征向量, 此时矩阵A 也立即可得.【详解】 (Ⅰ) 因为621==λλ是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个．由题设知T α)0,1,1(1=，T α)1,1,2(2=为A 的属于特征值6的线性无关特征向量．又A 的秩为2，于是0||=A ，所以A 的另一特征值03=λ．设03=λ所对应的特征向量为T x x x α),,(321=，则有 01=ααT，02=ααT，即⎩⎨⎧=++=+,02,032121x x x x x得基础解系为Tα)1,1,1(-=，故A 的属于特征值03=λ全部特征向量为T k αk )1,1,1(-= (k 为任意不为零的常数)．(Ⅱ) 令矩阵),,(21αααP =，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0661AP P ，所以1066-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3131313231311100661******** ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=422242224．【评注】 这是一个有关特征值和特征向量的逆问题, 即已知矩阵的部分特征值和特征向量,要求另一部分特征值, 特征向量和矩阵. 这在历年考研题中还是首次出现．但几乎原题可见《数学复习指南》P.362例5.8, 《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.186例15和例16, 以及文登数学辅导班上讲授的例子. (22) (本题满分13分)设A ,B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ， 于是 61)|()()(==B A P AB P B P ， 则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ，32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )， 即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ．方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ， 即Z【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型．原题可见《数学复习指南》P.434例 2.36, 《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.240例3, 以及文登数学辅导班上讲授的例子. (23) (本题满分13分)设随机变量X 在区间)1,0(上服从均匀分布，在)10(<<=x x X 的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求(Ⅰ) 随机变量X 和Y 的联合概率密度； (Ⅱ) Y 的概率密度； (Ⅲ) 概率}1{>+Y X P ．【分析】正确理解已知条件, 即条件密度是求解本题的关键. 【详解】 (Ⅰ) X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他，，，010,1)(x x f X在)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他，，，00,1)|(|x y x x y f X Y当10<<<x y 时，随机变量X 和Y 的联合概率密度为 xx y f x f y x f X Y X 1)|()(),(|== 在其它点),(y x 处，有0),(=y x f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<<<=．x y x y x f 其他，，010,1),((Ⅱ) 当10<<y 时，Y 的概率密度为⎰⎰-===+∞∞-1ln 1),()(y Y y dx xdx y x f y f ； 当0≤y 或1≥y 时，0)(=y f Y ．因此 ⎩⎨⎧<<-=．y y y f Y 其他，，010,ln )((Ⅲ) ⎰⎰⎰⎰->+==>+xx Y X dy xdx dxdy y x f Y X P 112111),(}1{ 2ln 1)12(121-=-=⎰dx x ．【评注】本题考查了二维连续型随机变量的边缘概率密度, 条件概率密度, 联合概率密度的相互关系，以及二维连续型随机变量取值于一个区域的概率的计算，属于综合性题型． 原题可见《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.242例5, 以及文登数学辅导班上讲授的例子.。
数学分析选讲习题答案。我们学校自己编的《数学分析选讲》讲义习题解答,不要乱评论。OK？
27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.
Burkill, J.C., and Burkill,H., A Second Course in Mathematical Analysis, London, Cambridge, 1970. Gelbaum, B., Problems in Analysis, New York, Springer-Verlag, 1982. Klambauer, G., Problems and Propositions in Analysis, New York, Marcel Dekker, 1979. Lang, S., Undergraduate Analysis, New York, Springer-Verlag, 1983. Pö lya, G. and Szegö , G., Problems and Theorems in Analysis, Vol.1, Berlin, Springer-Verlag, 1972. Smith, K. T., Primer of Modern Analysis, New York, Springer-Verlag, 1983. Stromberg, K.R., An Introduction to Classical Analysis, Belmont, Wadsworth, 1981. Van Rooij, A. C. M., and Schikhof, W. H. A Second Course on Real Functions, London, Cambridge, 1982. Lewin, J. W., Amer. Math. Monthly, 93(1986), 395 397.
< 1 (x12 + x1+ 1) | x n 1 | ,极限为 1. 7 n n n 14. 由平均不等式, 1 kak n !( ak )1 / n . n k 1 k 1 15. 由 F (1, y) = ½ f (y 1) = ½ y2 y + 5 得 f (t ) = t + 9, 故 xn+1 =
985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答
15 武汉大学
39
15.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
16 华中科大 2012 年数学分析试题解析
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7.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13 大连理工大学
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13.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
14 电子科技大学
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华东师大数学分析习题解答1
《数学分析选论》习题解答第 一 章 实 数 理 论１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ∉=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=⊂∞→n n n a S a lim ,}{使；（２）存在严格递减数列ξ=⊂∞→n n n a S a lim ,}{使．证明如下：（１） 据假设，ξ>∈∀a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'∃>ε∀a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1Λ==εn n n 相应地S a n ∈∃,使得Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ．因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞→n n a lim .（２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取Λ,3,2,,1min 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+ξ=ε-n a n n n ，就能保证Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □２．证明§1.3例６的（ⅱ）．证 设B A ,为非空有界数集，B A S ⋃=，试证：{}B A S inf ,inf m in inf =．现证明如下．由假设，B A S ⋃=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有{}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥⇒≥．另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有S A S x inf inf inf ≥⇒≥；同理又有S B inf inf ≥．由此推得{}B A S inf ,inf m in inf ≤．综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □３．设B A ,为有界数集，且∅≠⋂B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤⋂； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥⋂． 并举出等号不成立的例子．证 这里只证（２），类似地可证（１）．设B A inf ,inf =β=α．则应满足：β≥α≥∈∈∀y x B y A x ,,,有．于是，B A z ⋂∈∀，必有{}βα≥⇒⎭⎬⎫β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ⋂的一个下界．由于B A ⋂亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥⋂成立．上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设)4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=⋂⋃==B A B A 则，这时3)(inf ,0inf ,2inf =⋂==B A B A 而，故得{}{}B A B A inf ,inf m ax inf >⋂． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集{}B b A a b a c B A ∈∈+==+,，证明：（１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．证 这里只证（２），类似地可证（１）．由假设，B A inf ,inf =β=α都存在，现欲证β+α=+)(inf B A ．依据下确界定义，分两步证明如下：１）因为,,,,β≥α≥∈∈∀y x B y A x 有所以B A z +∈∀，必有β+α≥+=y x z ．这说明B A +β+α是的一个下界．２）B y A x ∈∈∃>ε∀00,,0，使得2,200ε+β>ε+α>y x ．从而ε+β+α>+∈+=∃)(,0000z B A y x z 使得，故B A +β+α是的最大下界．于是结论 B A B A inf inf )(inf +=+ 得证． □５．设B A ,为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集{}B b A a ab c AB ∈∈==,，证明：（１）B A AB sup sup )sup(⋅=； （２）B A AB inf inf )(inf ⋅=． 证 这里只证（１），类似地可证（２）．⎪⎩⎪⎨⎧⋅≤≤≤=≥≥∈∈∃∈∀,sup sup ,sup ,sup ,,)0,0(,,)(B A c B b A a ab c b a B b A a AB c 且使由于因此B A sup sup ⋅是AB 的一个上界．另一方面，B b A a ∈∈∃>ε∀00,,0，满足ε->ε->B b A a sup ,sup 00，故)(000AB b a c ∈=∃，使得εε-+-⋅>])sup sup ([sup sup 0B A B A c ．由条件，不妨设0sup sup >+B A ，故当ε足够小时，εε-+=ε'])sup sup ([B A 仍为一任意小正数．这就证得B A sup sup ⋅是AB 的最小上界，即 B A AB inf inf )(inf ⋅= 得证． □*６．证明：一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性．证 用反证法．倘若有某个完备有序域F 不具有阿基米德性，则必存在两个正元素F ∈βα,，使序列}{αn 中没有一项大于β．于是，}{αn 有上界（β就是一个），从而由完备性假设，存在上确界λ=α}sup{n ．由上确界定义，对一切正整数n ，有α≥λn ；同时存在某个正整数0n ，使α-λ>α0n ．由此得出α+<λ≤α+)1()2(00n n ，这导致与0>α相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性． □７．试用确界原理证明区间套定理． 证 设{}],[n n b a 为一区间套，即满足：0)(lim ,1221=-≤≤≤≤≤≤≤≤∞→n n n n n a b b b b a a a ΛΛΛ．由于{}n a 有上界k b ，{}n b 有下界k a （+∈N k ），因此根据确界原理，存在{}{}β≤α=β=α且,inf ,sup n n b a ．倘若β<α，则有Λ,2,1,0=>λ=α-β≥-n a b n n ，而这与0)(lim =-∞→n n n a b 相矛盾，故ξ=β=α．又因Λ,2,1,=≤β=α≤n b a n n ，所以ξ是一切],[n n b a 的公共点．对于其他任一公共点Λ,2,1,],[=∈ηn b a n n ，由于∞→→-≤η-ξn a b n n ,0 ，因此只能是η=ξ，这就证得区间套{}],[n n b a 存在惟一公共点． □８．试用区间套定理证明确界原理．证 设S 为一非空有上界的数集，欲证S 存在上确界．为此构造区间套如下：令 ],[],[011M x b a =，其中M S S x ,)(0∅≠∈Θ为S 的上界．记2111b a c +=，若1c 是S 的上界，则令],[],[1122c a b a =；否则，若1c 不是S 的上界，则令],[],[1122b c b a =．一般地，若记2nn n b a c +=，则令 Λ,2,1,,,],[,,],[],[11=⎩⎨⎧=++n S c b c S c c a b a n n n n nn n n 的上界不是的上界当是．如此得到的{}],[n n b a 显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点ξ即为S 的上确界．由于上述区间套的特征是：对任何+∈Νn ，n b 恒为Ｓ的上界，而n a 则不为S 的上界，故S x ∈∀，有n b x ≤，再由ξ=∞→n n b lim ，便得ξ≤x ，这说明ξ是S 的一个上界；又因ξ=∞→n n a lim ，故ε-ξ>∃>ε∀n a ,0，由于n a 不是S 的上界，因此ε-ξ更加不是S 的上界．根据上确界的定义，证得S sup =ξ．同理可证，若S 为非空有下界的数集，则S 必有下确界． □ ９．试用区间套定理证明单调有界定理．证 设{}n x 为递增且有上界M 的数列，欲证{}n x 收敛．为此构造区间套如下：令],[],[111M x b a =；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套{}],[n n b a ，使n a 不是{}n x 的上界，n b 恒为{}n x 的上界．由区间套定理，],[n n b a ∈ξ∃，且使ξ==∞→∞→n n n n b a lim lim ．下面进一步证明 ξ=∞→n n x lim ．一方面，由∞→≤k b x k n 取,的极限，得到Λ,2,1,lim =ξ=≤∞→n b x k k n ．另一方面，ε-ξ>∈∃>ε∀+K a K 使,,0Ν；由于K a 不是{}n x 的上界，故K N a x >∃；又因{}n x 递增，故当N n >时，满足N n x x ≥．于是有N n x x a n N K >ξ≤<<<ε-ξ,，这就证得ξ=∞→n n x lim ．同理可证{}n x 为递减而有下界的情形． □ 10*．试用区间套定理证明聚点定理．证 设S 为实轴上的一个有界无限点集，欲证S 必定存在聚点．因S 有界，故0>∃M ，使得M x ≤，S x ∈∀．现设],[],[11M M b a -=，则],[11b a S ⊂．然后用逐次二等分法构造一区间套{}],[n n b a ，使得每次所选择的],[n n b a 都包含了S 中的无限多个点．由区间套定理，],[n n b a ∈ξ∃，n ∀．最后应用区间套定理的推论，,0>ε∀当n 充分大时，使得],[n n b a );εξ⊂(U ；由于],[n n b a 中包含了S 的无限多个点，因此);(εξU 中也包含了S 的无限多个点，根据聚点定义，上述ξ即为点集S 的一个聚点． □ 11*．试用有限覆盖定理证明区间套定理．证 设{}],[n n b a 为一区间套，欲证存在惟一的点Λ,2,1,],[=∈ξn b a n n ． 下面用反证法来构造],[11b a 的一个无限覆盖．倘若{}],[n n b a 不存在公共点ξ，则],[11b a 中任一点都不是区间套的公共点．于是，∈∀x ],[11b a ，使,],[n n b a ∃],[n n b a x ∉．即);(x x U δ∃与某个],[n n b a 不相交（ 注：这里用到了],[n n b a 为一闭区间 ）．当x 取遍],[11b a 时，这无限多个邻域构成],[11b a 的一个无限开覆盖：{}],[);(11b a x x U H x ∈δ=．依据有限覆盖定理，存在],[11b a 的一个有限覆盖：{}H N i x U U H i x i i ⊂=δ==,,2,1);(~Λ，其中每个邻域N i b a U ii n n i ,,2,1,],[Λ=∅=⋂．若令{}N n n n K ,,,max 21Λ=，则N i b a b a i i n n K K ,,2,1,],[],[Λ=⊂，从而N i U b a i K K ,,2,1,],[Λ=∅=⋂． （Ж） 但是Y Ni iU 1=覆盖了],[11b a ，也就覆盖了],[K K b a ，这与关系式（Ж）相矛盾．所以必定存在Λ,2,1,],[=∈ξn b a n n ．（有关ξ惟一性的证明，与一般方法相同．） □１２．设S 为非空有界数集．证明：S S y x Sy x inf sup ||sup ,-=-∈．证 设η<ξ=η=ξ且,sup ,inf S S （ 若η=ξ，则S 为单元素集，结论显然成立 ）．记{}Sy x y x E ∈-=,||，欲证ξ-η=E sup ．首先，S y x ∈∀,，有ξ-η≤-⇒η≤ξ≥||,y x y x ，这说明ξ-η是E 的一个上界．又因2,0ε-η>ε∀ ⎪⎭⎫ ⎝⎛ε+ξ2不再是S 的上()下界，故S y x ∈∃00,，使ε-ξ-η≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫ε+ξ<ε-η>)(||220000y x y x , 所以ξ-η是E 的最小上界，于是所证结论成立． □１３．证明：若数集S 存在聚点ξ，则必能找出一个各项互异的数列{}S x n ⊂，使ξ=∞→n n x lim ．证 依据聚点定义，对S U x ⋂εξ∈∃=ε);(,1111ο．一般地，对于⎭⎬⎫⎩⎨⎧-ξ=ε-1,1m in n n x n ，Λο,3,2,);(=⋂εξ∈∃n S U x n n ．如此得到的数列{}S x n ⊂必定满足：Λ,3,2,||||11=≠⇒ξ-<ξ---n x x x x n n n n ；ξ=⇒∞→→<ξ-∞→n n n x n n x lim )(01||． □ 41*．设S 为实轴上的一个无限点集．试证：若S 的任一无限子集必有属于S 的聚点，则（１）S 为有界集；（２）S 的所有聚点都属于S ．证 （１）倘若S 无上界，则对1111,,1M x S x M >∈∃=使；一般地，对于{}Λ,3,2,,,,max 1=>∈∃=-n M x S x x n M n n n n n 使．这就得到一个各项互异的点列{}∞=⊂∞→n n n x S x lim ,使．S 的这个无限子集没有聚点，与题设条件相矛盾，所以S 必有上界．同理可证S 必有下界，故S 为有界集．（２）因S 为有界无限点集，故必有聚点．倘若S 的某一聚点S ∉ξ0，则由聚点的性质，必定存在各项互异的数列{}0lim ,ξ=⊂∞→n n n x S x 使．据题设条件，{}n x 的惟一聚点0ξ应属于S ，故又导致矛盾．所以S 的所有聚点都属于S ． □51*．证明：{}{}n n a a ∉ξ=sup ，则必有ξ=∞→n n a lim ．举例说明，当上述ξ属于{}n a 时，结论不一定成立．证 利用§1.3 例4，{}{}n n a a k ⊂∃，使ξ=∞→k n n a lim ，这说明ξ是{}n a 的一个聚点．又因ξ又是{}n a 的上界，故{}n a 不可能再有比ξ更大的聚点．所以ξ是{}n a 的上极限．当{}n a ∈ξ时，结论不一定成立．例如，1,111sup ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 显然不是⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的上极限． □61*．指出下列数列的上、下极限：（１）{}n)1(1-+； （２）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12)1(n n n； （３）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧πnn 3cos； （４）⎭⎬⎫⎩⎨⎧π+4sin 12n n n ；（５）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧π+n n n sin 12． 解（１）0lim ,2lim ,0,2122==≡≡∞→∞→-n n n n k k a a a a 故．（２）)(211412,21142122∞→-→---=→+=-k k k a k ka k k ，故21lim ,21lim -==∞→∞→n n n n a a ． （３）)(13cos211∞→≤π≤←n n nn， 故 1lim lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n a a a ．（４）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=+⋅--=+-=+=+++=+⋅=π+=.38,18,12222,8,12,4,0,28,12,38,18,12224sin 12k k n n nk n n n k n k n n n k k n n n n n n a n故2lim ,2lim -==∞→∞→n n n n a a ． （５）)(sin )1(sin 1222∞→π→ππ⋅+π=π+=n nn nn nn n a n ，故π===∞→∞→∞→n n n n n n a a a lim lim lim ． □71*．设{}n a 为有界数列，证明：（１）1lim )(lim =-=-∞→∞→n n n n a a ； （２）n n n n a a ∞→∞→-=-lim )(lim ．证 由)(sup )(inf ,)(inf )(sup k nk k nk k nk k nk a a a a ≥≥≥≥-=--=-，令∞→n 取极限，即得结论（１）与（２）． □81*．设0lim >∞→n n a ，证明：（１）nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim； （２）nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim；（３）若11limlim =⋅∞→∞→n n n n a a ，或11lim lim =⋅∞→∞→nn n n a a ，则{}n a 必定收敛．证 由)(sup 11inf ,)(inf 11sup k nk k n k kn k k n k a a a a ≥≥≥≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，令∞→n 取极限，即得结论（１）与（２）．若11limlim =⋅∞→∞→n n n n a a ，则由（１）立即得到 n n n n a a ∞→∞→=lim lim ，因此极限n n a ∞→lim 存在，即得结论（３）．类似地，若11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a ，则由（２）同样可证得（３）． □。
成人教育数学分析复习题及参考答案
山东师范大学成人高等教育《数学分析》课程复习题A参考答案在试卷后（7月无纸化考试）一、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1 . 若(,)f x y 在点(0, 0)的两个偏导数存在，则(,)f x y 在点(0, 0) （ ） （A ）连续且可微；（B ）连续但不一定可微； （C ）可微但不一定连续；（D ）不一定可微也不一定连续.2. 函数2221zy x u ++=在点)1,1,1(处最大方向导数为（ ）．（A ）21； (B) 31； (C)１； (D)31．3. 设D 由y y x 222=+围成的圆域，则二重积分DI dxdy ==⎰⎰（）．（A ）π2； (B)4π ； (C)π； (D) 2π． 4. 圆弧1=r 以外而圆弧θcos 2=r 以内的图形的面积等于（ ）． (A)216+π； (B)233-π； (C)216-π； (D)233+π．5. 函数x y x y x z 9332233-++-=的极小值点是（ ）（A ）)0,1( （B ）)2,1( （C ）)0,3(- （D ）)2,3(-二、 填空题（每小题3 分，共 15 分）1、函数)ln(22x y yx z -+=的定义域为 。
2、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f .3、 二元函数225z x y =--的极大值点是 。
4、 设2223z x xy y =+-，则2zx y∂=∂∂ 。
5、 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=y xx y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分=)1,1(df。
三、 简答题（每小题10 分，共20 分）1、叙述二元函数()f P 关于集合D 在点0P 连续的定义。
2、叙述高斯公式。
四、 计算题（每小题 8 分，共 40 分）1、求二重极限 11lim222200-+++→→y x y x y x .2、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2.3、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.4、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .5、计算二重积分22()Dxy dxdy+⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.五、 证明题（共10 分）设)(22y x f y z -=,其中)(u f 为可导函数, 证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.山东师范大学成人高等教育《数学分析》课程复习题A 答案六、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）D B C D A二、填空题（每小题3 分，共 15 分） 1、{}22(,),1x y y x y x >-≠2、2(1)1x y y -+3、 (0,0)4、 35、=)1,1(dfdy dx 21-七、 简答题（每小题10 分，共20 分）1、叙述二元函数()f P 关于集合D 在点0P 连续的定义。
绍兴文理学院2002学年第一学期数学系数学与应用数学专业《数学分析(一)》期末试卷
绍兴文理学院2002学年第一学期 数学 系 数学与应用数学 专业《数学分析(一)》期末试卷(考试内容：数列极限；函数极限；连续性；导数与微分；导数的应用；微分中值定理)一．单项选择(共15分，每小题3分) 1．若数列{n a }收敛，则数列{n a } （ ）A. 收敛；B. 发散；C. 单调；D. 有界；2．0=x 是函数x x f ln 1)(= 的（ ）A. 连续点；B. 可去间断点；C. 跳跃间断点； D .第二类间断点； 3．设=≠−=;0 ,0;0 ,21sin )(2x x arctgx xx x f 则 （ ）A.)0('f 不存在;B.0)0('=f ;C.2)0('−=f ;D.1)0('=f ;4．设]1 ,1[−∈x ，以下函数中，满足Rolle 定理条件的是 ( ) A.=≠= ;0 ,1;0 ,sin )(x x xxx f B.)21)(21()(+−=x x x f ; B. C.x x f =)(; D. 2ln )(x x f =;5．设)(x f 在0=x 的某邻域内可导，0)0('=f ,x x f x )('lim 0→=21, 则)0(f ( )A. 是)(x f 的极小值;B. 是)(x f 的极大值；C. 不是)(x f 的极值；D. 不能判断是否为)(x f 的极值；二．填空题(共16分，每小题4分)6．∞→n lim 1(sin +n n sin −)= （ ）7．设0 ,0>>b a , 则 +→0lim x a x x b=（ ） 8．设 21)sin 1(x e y −=, 则 =dy （ ） 9．函数 x x y ln = 在),0(+∞的最大值与最小值为（ ）三．解答题(共42分)10．用定义证明：5lim →x 2552−−x x =101. （6分）11．求极限：x x n x x x n a a a 1210lim +++→L ，0>i a , n i ,,2,1L =.（8分）12．设 ,cos 2x x y = 求)50(y （8分） 13．作函数 )1(4)3(2−−=x x y 的图像。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十八章
第十八章 隐函数定理及其应用一、证明题1.证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当 时,有2.设tgx y u =,x sin y v =.证明:当2x 0π<<,y>0时,u,v 可以用来作为曲线坐标;解出x,y 作为u,v 的函数;画出xy 平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算()()y ,x v ,u ∂∂和()()v ,u y ,x ∂∂并验证它们互为倒数.3.将以下式子中的(x,y,z)变换成球面从标()ϕθ,,r 的形式:2221z u y u x u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∆, 2222222zu y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆. 4.证明对任意常数ρ,ϕ,球面2222z y x ρ=++与锥面2222z tg y x ⋅ϕ=+是正交的.5.试证明:函数()y ,x F 在点()000y ,x P 的梯度恰好是F 的等值线在点P 0的法向量(设F 有连续一阶偏导数).6.证明:在n 个正数的和为定值条件x 1+x 2+x 3+…+x n =a 下,这n 个正数的乘积x 1x 2x 3…x n 的最大值为n nha .并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算术中值.≤⋅⋅⋅⋅n n 21x x x nx x x n 21+⋅⋅⋅++二、计算题1．方程 能否在原点的某邻域内确定隐函数 或 .2.方程 在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函数.3.求下列方程所确定的隐函数的偏导数:(1)x+y+z= ,求Z 对x,y 的一阶与二阶偏导数;(2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求 , 和 .4.设f 是一元函数,试问应对f 提出什么条件,方程2f(xy)= f(x)+f(x)在点(1,1)的邻域内就能确定出唯一的y 为x 的函数?1.试讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+2z y x 2z y x 22y 在点(1,－1,2)的附近能否确定形如x=f(z),y=g(z)的隐函数组.5.求下列方程组所确定的隐函数组的导数:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=++axy x a z y x 222222, 求x y ∂∂,x z ∂∂; (2)⎪⎩⎪⎨⎧=--=--0xu v y 0yv u x 2222, 求x u ∂∂,x v ∂∂,y u ∂∂,y v ∂∂. (3)()()⎩⎨⎧-=+=y v ,x u g v y v .ux f u 2, 求x u ∂∂,x v ∂∂. 6.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数:(1)⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,v cos u e y ,v sin u e x u u 求y x y x v ,v ,u ,u ; (2)⎪⎩⎪⎨⎧+==+=3322v u z v u y ,v u x ,求x z .7.设函数z=z(x,y)由方程组v u e x +=,v u e y -=,uv z =(u,v 为参量)所定义的函数,求当u=0,v=0时的dz.8.设u,v 为新的自变量变换下列方程:(1)()()0y z y x x z y x =∂∂--∂∂+,设22y x ln u +=, xy arctg v =; (2)0y z y x z x 222222=∂∂-∂∂,设x y u =,y x v =. 9.设函数u=u(x,y)由方程组u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0所确定,求x u ∂∂和yu ∂∂.10.设2r x u =,2r y v =,2rz w =,其中222z y x r ++=, (1)试求以u,v,w 为自变量的反函数组;(2)计算()()z ,y ,x w ,v ,u ∂∂. 11.求平面曲线23232a y x =+()0a >上任何一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.12.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面:(1)t sin a x 2=,t cos sin b y =,t cos c z 2=在点4t π=; (2)9z y 3x 2222=++.222y x 3z +=,在点(1,－1,2).13.求下列曲线在所示点处的切平面与切线:(1)0e y z x 2==-,在点(1,1,2); (2)1c z b y a x 222222=++,在点(3a ,3b 3c ). 14.求曲面上过点21z 3y 2x 222=++的切平面,使它平行于平面0z 6y 4x =++.15.在曲线x=t,2t y =,3t z =上求出一点,使曲线在此点处的切线平行于平面x+2y+z=4.16.求函数222z y x x u ++=在点M(1,2,－2)处沿曲线x=t,2t 2y =,4t 2z -=在该点切线方向上的方向导数. 17.确定正数λ,使曲面λ=x yz 与椭球面++2222b y a x 1cz 22=在某一点相切. 18.求曲面x z y x 222=++的切平面,使其垂直于平面2z 21y x =--和2z y x =--. 19.求两曲面F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0的交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程.20.应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值:(1)f(x,y)=22y x +,若x+y-1=0(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c 4(其中x,y,z,t>0,c>0);(3)f(x,y,z)=xyz,若222z y x ++=1,x+y+z=0.21.(1)求表面积一定而体积最大的长方体.(2)求体积一定而表面积最小的长方体.22.(1)求空间一点()000z ,y ,x 到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.(2)求原点到二平面1111d z c y b x a =++, ++y b x a 22 22d z c =的交线的最短距离.23.设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数,求()n 21x ,,x ,x f ⋅⋅⋅=∑=n1k k k x a 在限制条件1x x x 2n 2221≤+⋅⋅⋅++ 下的最大值. 24.求函数 ()n 21x ,,x ,x f ⋅⋅⋅=2n 2221x x x +⋅⋅⋅++ 在条件∑==n 1k k k 1x a,()n ,,2,1k ,0a k ⋅⋅⋅=> 下的最小值.三、考研复习题1.方程()222x 1x y --=0在那些点的邻域内可唯一地确定连续可导的隐函数y=()x f ?2.设函数f(x)在区间(a,b)内连续,函数()y ϕ在区间(c,d)内连续,而()0y >ϕ'.问在怎样的条件下,方程()()x f y =ϕ能确定函数y=()()x f 1-ϕ.并研究例子:(Ⅰ)siny+shy=x;(Ⅱ)x sin e 2y -=-. 3.设f(x,y,z)=0,z=g(x,y),试求dx dy ,dxdz . 4.已知G 1(x,y,z),G 2(x,y,z),f(x,y)都是可微的, g i (x,y)= G i (x,y, f (x,y)),(i=1,2) 证明: ()()y ,x g ,g 21∂∂=2z2y 2x 1z 1y 1x y x G G G G G G 1 f ,f --. 5.设x=f(u,v,w),y=g(u,v,w),z=h(u,v,w).求x u ∂∂,y u ∂∂,zu ∂∂. 6.试求下列方程所确定的函数的偏导数x u ∂∂,y u ∂∂: (1)x 2+u 2=f(x,u)+g(x,y,u)(2)u=f(x+u,yu)7.据理说明:在点(0,1)近傍是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y).满足f(0,1)=1,g(0,1)=－1,且()[]3y ,x f +xg(x,y)-y=0, ()[]3y ,x g +yf(x,y)-x=0.8.设()0000u ,z ,y ,x 满足方程组()()()()u F z f y f x f =++()()()()u G z g y g x g =++()()()()u H z h y h x h =++这里所有的函数假定有连续的导数.(1)说出一个能在该点邻域内确定x,y,z 作为u 的函数的充分条件;(2)在f(x)=x.,g(x)=x 2,h(x)=x 3的情形下,上述条件相当于什么?9.求下列由方程所确定的陷函数的极值:(1)1y 2x y 2x 22=++(2)()()222222y x a y x -=+,(a>0)10.设f=F(x)和一组函数()v ,u x ϕ=,()v ,u y φ=,那么由方程()()()v ,u F v ,u ϕ=ϕ可以确定函数v=v(u).试用u,v ，du dv ，22du v d 表示dx dy ，22dx y d . 11.试证明:二次型()z ,y ,x f =Fx y 2Ezx 2Dyz 2Cz By Ax 222+++++在单位球面 1z y x 222=+上的最大值和最小值恰好是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ΦC D E D B F E F A 的最大特征值和最小特征值.12.设n 为自然数,0y ,x ≥,用条件极值方法证明:2y x nn + ()2y x n+≥ 13.求出椭球22ax +22b y +22c z =1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积. 14.设()0000z ,y ,x P 是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点,F 在U(p 0)可微,且为n 次齐次函数.证明:此曲面在P 0处的切平面方程为()0x P XF +()0y P yF +()0z P ZF =n.。
学历自考模拟试卷-《数学分析II》期末考查试卷【附答案】
x
3xdx +
y x cos ydy （5 分）
M0M
0
0
＝ 3 x2 + x sin y （6 分）（说明：原函数可以直接观察得出！） 2
五、应用题（7 分）
一页长方形白纸，要求印刷面积占 Acm2 ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为： a + b = h cm,左部与右部宽度之和为： c + d = r cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)， 使它的面积最小.
（3 分）
L = (x − r)(y − h) − A = 0.
于是有
x = r , 1+
y = h , 1+
= − 1+
Ah r
（5
分）
根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的.（7 分）
x = Ar + r, y = Ah + h. （6 分）
h
r
3
= ar cos , y
= br sin
（3
分），则
D
可表示为： 0
2 , 0 r
1（4
分），所以，
S =
2
d
1abrdr （5 分），所以 S = ab （7 分）.
0
0
4、计算第二型曲面积分： I
=
S
1 dxdy ，其中 S 是椭球面 x2
z
a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1 的外侧
解：由题意，目标函数与约束条件分别为 S = xy 与 x r, y h, (x − r)(y − h) = A. （1 分）作 Lagrange 函数 L = xy + [(x − r)(y − h) − A], （2 分）则有
数学分析(I)(期中摸拟)答案
1广东商学院试题参考答案及评分标准2010—2011学年第1学期课程名称 数学分析（1）（期中模拟） 课程代码 101015 课程负责人 洪勇--------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- ---------一．填空题（每小题2分，共20分）1、x x 21- 2、 ε≥-a a n 3、a 4、 215、 4 二．选择题（每小题2分，共10分）1、 （C ）2、 （D ）3、 （D ）4、 （Ｂ）5、 （Ａ）三．计算题（每小题6分，共48分）1．解： 222)21(])21[(lim )(lim xx x x n n n n xn x x n x x n x n -+-+=-+-∞→∞→ (4分)x e = （6分）2．解：由斯铎兹定理，有22212)1(lim )2(1lim--=++∞→∞→n n na na a a n n n nn （4分） a n na n n 2112lim=-=∞→ （6分）3．解：由于233+=x dx dy ，故有 （2分） nnn n n n x n x dx y d )23()!1(3)1()233(1)1(+--=+=--. （6分）4．解： ])[(])([)()('+'='x f x x f xe ef ee f y （2分） )()()()()(x f e e f ee ef x f x x f x x'+'=)()()()()(x f e e f e e f x f x x f x x '+'=+ （6分）5．解：由于2221)23(11)23(2x x f xx x x f y +-+-+-'-=' （3分）22221)1()23()23()1(2xx x xf x f x ++---'+-=（5分）所以 dx xx x xf x f x dy 2221)1()23()23()1(2++---'+-= （6分）６．解：由于0→x 时，x x 3~3sin ，22~2cos 1x x -，于是 （3分）22220222092)1(lim 3sin )2cos 1)(1(lim xx x x x x x x x x +=-+→→ （4分） 921lim 92220=+=→x x x （6分）7．解： xx x xx x x x x x x x x 1)1(ln 11limln )1(ln 1lim )11ln 1(lim 111-+-=---=--→→→ （4分）212ln 1lim )1(ln 1lim11=+=-+-=→→x x x x x x x （6分）8．解： 由于t t txx te xt t t f sin )sin 1(lim )(-∞→=-= （3分） 所以 )c o s s i n ()(s i n s i nt t t te et f t t t t --+='--tt e t t t t sin 2)cos sin 1(---= （6分）四．应用题（8分）1．解：设)1,(2t t P P -=。
数学分析一期末考试题
数学分析一期末考试题
学号 姓名
一、 叙述题：
1、 用δε-语言叙述A x f x x =-→)(lim 0 （A 为定数）
2、 叙述Rolle 中值定理，并举出下列例子： ① 第一个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； ② 第二个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； ③ 第三个条件不成立，结论成立的例子；
二、计算题：
3、 求极限)122(lim n n n n ++-+∞
→ ； 4、 求极限x n x
-∞→-)21(lim ； 5、 求)1ln()(x x f +=的带Peano 型余项的Maclaurin 公式；
6、 求x
x x x n sin tan lim 0
--→； 三、研究函数
7、 =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧+=0 x 10 x
00 22 x x x 在0=x 处的左，右极限和极限； 四、研究函数
8、 求数集{}22 x x s =的上、下确界，并依定义加以验证；
五、证明题：
9、 用定义证明： 35lim 22
=+→x n ； 10、 证明：()()())()()(x g o x g o x g o =+ (0x x →)
11、 设)(x f 定义在区间Ⅰ上，若存在常数L ，'x ∀,∈''x Ⅰ,有
'''''')()(x x L x f x f -≤-
证明：)(x f 在Ⅰ上一致连续；
12、 设函数)(x f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明 )()(2)()(lim ''20
a f h a f h a f h a f h =--++→ .。
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