第一章复习题解答(数学分析)

第一章复习题 一.填空

1、数集,...}2,1:)1({=-n n

n

的上确界为 1 ，下确界为 -1 。 2、 =∈-=E R x x x E

sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ;

3、)(lim 2

n n n n -+∞

→ = _______

1

2

________。 4、设数列}{n a 递增且 a a n n =∞

→lim （有限）. 则有a = {}sup n a .

5. 设,2

12,21221

2n n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim 1 二． 选择题

１、设)(x f 为实数集R 上单调增函数，)(x g 为R 上单调减函数，则函数 ))((x g f 在R 上( B )。

Ａ、是单调递增函数; Ｂ、是单调递减函数; Ｃ、既非单调增函数，也非单调减函数 ; Ｄ、其单调性无法确定. 2、在数列极限的“δε-”极限定义中,ε与δ的关系是（ B ）

A 、 先给定ε后唯一确定δ;

B 、 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一;

C 、 先给定δ后确定ε;

D 、 δ与ε无关.

3、设数列{}(0,1,2,...)n n a a n ≠=收敛,则下列数列收敛的是（ D ） A 、}1

{

2n

a ； B 、}1{a

n

； C 、 }1{a n ； D 、}{n a . 4. 若数列}{n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ B ） (A) 必不存在； (B) 至多只有有限多个；

(C) 必定有无穷多个； (D) 可能有有限多个，也可能有无穷多个. 5．设a x n n =∞

→||lim ，则 （ D ）

(A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞

→lim ；

(C) a x n n -=∞

→lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。

6. 设}{n x 是无界数列，则 （ D ） (A) ∞=∞

→n n x lim ； (B) +∞=∞

→n n x lim ；

(C) -∞=∞

→n n x lim ； (D) 存在}{n x 的一个子列}{k n x ，使得∞=∞

→k n k x lim

7.设数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列}{n n y x （ D ）

(A) 收敛； (B) 发散；

(C) 是无穷大； (D)可能收敛也可能发散。

8. {n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n

c ，则

（ B ）

A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；

B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；

C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；

D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；

9. “对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有ε2||≤-a x n ”是数列}{n x 收敛于a 的（ C ）

(A) 充分条件但非必要条件； (B) 必要条件但非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件。 10. 设2

sin

π

n n x n =，则数列}{n x 是 （ D ） (A) 收敛列； (B) 无穷大； (C) 发散的有界列； (D) 无界但不是无穷大

三．写出下列各式精确的分析定义 1． lim n n a a →∞

≠

00000,0,,

n N n N a a εε∃>∀>∃>-≥

2．根据柯西准则叙述lim n n a →∞

存在的充要条件

0,0,,,

n m N n m N a a εε∀>∃>∀>-<

四．计算题

1．)1(lim 33n n n -+∞

→

解：0n n →∞

==

2.22212

lim(

)12

n n

n n n n

→∞

+++

+++

解:因为22222(1)

(1)

12

22

12

1

n n n n n

n n n n n n n ++≤++

+≤+++++ 22(1)(1)1

lim

lim 2()2(1)2

n n n n n n n n n →∞→∞++==++

由敛迫原理得：22212

1

lim()12

2

n n n n n n →∞

+++

=

+++

3.312lim n n

n

→∞+++

解：2212(1)1lim lim 22

n n n n n n n →∞→∞++++==

4.n 当2>n 时，

11

121<-

所以11

1lim =-

∞

→n n n

.

5.552221

lim .1

n n n n n →∞+--+ 解：5

455245

21

2221lim lim 21111n n n n n n n n n n

→∞→∞+

-+-==-+-+ 6.21lim 1.4n

n n →∞⎛

⎫+ ⎪⎝⎭

解：12

241211lim 1lim 144n

n n n e n n →∞→∞⎛⎫

⎛

⎫⎛⎫+=+= ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭