圆与相似三角形复习知识点说课讲解

圆中的基本图形和常见数学思想

2、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍；

3、半径、弦心距、弓形高、弦长四者的关系;

4、直径所对的圆周角是直角

这个图形中涵盖了：

1、圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角,

2、相似关系；

3、割线定理

这个图形中涵盖了:

1、弦切角等于所夹弧所对的圆周角,

2、相似关系；

3、切割线定理

这个图形中涵盖了:

1、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，并且到三角形三个顶点的距离相等

这个图形中涵盖了:

1、从圆外引圆的两条切线，切线长相等。

2、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，并且到三角形三条边的距离相等

3、三角形的面积和周长、内切圆半径三者的关系，

4、三角形两条内角角平分线组成的夹角与第三个内角的关系

这个图形中涵盖了:

1、同弧所对的圆周角相等，

2、相似关系，

3、相交弦定理

这个图形中涵盖了：

1、直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径

2、相似关系，射影定理，

3、直角三角形的外心在斜边的中点

4、直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半

这个图形中涵盖了:

1切线长定理

2、连心线垂直平分公共弦

3、圆的对称性

这个图形中涵盖了

等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、等边三角形的边长三者的比例关系。

这个图形中涵盖了

正方形的内切圆半径、外接圆半径、正方形的边长三者的比例关系。

这个图形中涵盖了

正六边形的内切圆半径、外接圆半径、正六边形的边长三者的比例关系。

添加辅助线.圆中常见辅助线有

1. 已知直径时，常构造直径所对的圆周角.

2. 连接半径或者作弦心距，构造直角三角形，为用垂径定理或者勾股定理创造条件.

3. 与切线有关的问题也常常连接圆心和切点，构造直角三角形.

4. 两圆的问题中常常连接两个圆心或者连接两圆的交点.

5. 需要转化角度的时候，常作弦构造同弧所对的圆周角

2 圆中常用的数学方法有

1.设未知数建构方程，或者引入参数，构造直角三角形，相似三角形，利用勾股定理，三角函数，比例线段解决问题，这不仅仅是解决圆中计算题常用的方法，其实也是解决几何问题

常用的方法。

利用全等三角形利用相似三角形或者全等三角形

找中间量找中间量

利用冋弧或者等弧利用互余或者互补的角转化」

利用中点或者中位线利用冋弧或者等弧

利用线段的垂直平分线利用平行线的性质」

利用对称性利用角平分线或者对顶角的性质

3.另还有分类讨论的思想，从特殊到- -般的思想，数形结合的思想等。

其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆.

相似三角形与圆

似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、 角相等问题的重要方法，尤其在圆中，相似三角形有着极其重要的作用

•

1、相似三角形的性质

相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长 之比等于相似

比，面积之比等于相似比的平方

2、相似三角形的判定方法

(1) 三边对应成比例的两个三角形相似

(2) 两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似 (3) 两组角对应相等的两个三角形相似

4、由相似三角形得到的几个常用定理

定理1平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似

3、相似三角形中几个的基本图形

亠 AD BD 或 =—

AE CE

定理2平行切割定理

如图，D, E 分别是DABC 的边AB,AC 上的点,

过点A 的直线交DE,BC 于M ,N ，若DE // MN , 则叫列

ME NC

定理3 (平行线分线段成比例定理)

如图，若

l i // 1

2 // 1

3，则

AB = BC =AC

A B = B € • • )

AC

B

N

两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例

A / 11

B /

12

C / 13

如图，若DE // BC ,则如

AB

C

定理4 （角平分线性质定理）如图，AD,AE分别是

DABC的内角平分线与外角平分线,

DB = EB = AB DC = EC = AC

定理5射影定理

直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似

定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在O O中，T弦AB、CD相交于点P ,

••• PA PB PC PD

定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O O中，•••直径AB CD ,

2

•- CE AE BE

定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在O O中，••• PA是切线，PB是割线

2

• PA2 PC PB

定理9 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与

圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在O O中，••• PB、PE是割线

PC PB PD PE

D

A

D

O

P