1.2 牛顿运动定律及其应用

∫ห้องสมุดไป่ตู้
k − dt 0 m
t
∫
t
得
vx = (v0 ⋅ cosϕ) ⋅ e k − t m m g m vy = (v0 sinϕ + g)⋅ e − k k
kt − m
∫
再次积分
x
x0
dx = ∫ vx ⋅ dt
0
t
∫
y
得
mv0 cosϕ x= (1− e ) k k 2 − t m 0 sinϕ m g v m g m y =( t + 2 )⋅ (1− e ) − k k k
二、 牛顿第二定律 定量给出了运动状态的变化与所受外力之间的关系 定量给出了运动状态的变化与所受外力之间的关系 给出了运动状态的变化与所受外力
r r F = ma
牛顿第二定律的更准确表示: 牛顿第二定律的更准确表示:
r r r dp d(mv) F= = dt dt
这种表示无论是高速( 可变 还是低速运动都正确. 可变) 这种表示无论是高速( m可变)还是低速运动都正确.
三、牛顿第三定律(作用力与反作用力) 牛顿第三定律(作用力与反作用力) 作用力与反作用力大小相等、方向相反，作 作用力与反作用力大小相等、方向相反， 用在不同物体上。 牛顿定律只适用于惯性系。 用在不同物体上。 牛顿定律只适用于惯性系。
1.2.2 自然界中的力
一、自然界的基本力 从力的性质上说， 从力的性质上说，自然界只有四种基本的相互作用 1. 引力相互作用 2. 电磁相互作用 3. 强相互作用 4. 弱相互作用 一切质点之间 静止或运动电荷之间 强子之间，如质子、中子… 强子之间，如质子、中子… 存在于许多粒子间， 存在于许多粒子间，但仅在 粒子间的某些反应中才显现出
k − t m
y0
dy = ∫ vy ⋅ dt
0
t
得轨道方程: 消去 t , 得轨道方程 m g m2g kx x + 2 ln1− y = tanφ + kv0 cosφ m 0 cosφ v k
有一密度为ρ的细棒，长度为l，其上端用细线悬着， 例3. 有一密度为ρ的细棒，长度为 ，其上端用细线悬着， 下端紧贴着密度为ρ 的液体表面。现将悬线剪断， 下端紧贴着密度为ρ′ 的液体表面。现将悬线剪断，求细棒 恰好全部没入液体中时的沉降速度。设液体没有粘性。 恰好全部没入液体中时的沉降速度。设液体没有粘性。 在下落时细棒受两个力： 解： 在下落时细棒受两个力： 一是重力 G ，一是浮力 B 。 时刻， 当 t 时刻，棒的浸没长度为 x
的小球， 例：在液体中由静止释放一质量为m的小球，它在下 在液体中由静止释放一质量为 的小球 v v 是小球的速度。 沉时受到的液体阻力为 f = − k v ，v是小球的速度。 是小球的速度 设小球的终极速率为v 任意时刻t，小球的速率。 设小球的终极速率为 T，求：任意时刻 ，小球的速率。 dv 解： mg − F浮 − kv = ma = m kv dt F浮 mg − F浮 − kv T = 0 dv kv T − kv = ma = m mg dt v t dv k dv k = − dt ∫ v − vT = − m ∫ dt v v − vT m 0 0
r r 4 例 . 质 为 .25 kg的 点 受 F = t i (SI)的 用 量 0 质 ， 力 作 ， r r t = 0时 质 以 = 2j m 的 度 过 标 点 该 点 v /s 速 通 坐 原 ，
该 点 意 刻 位 矢 是 则 质 任 时 的 置 量 ： r r t r r F i = 4ti 解： a = = m 0.25 r r r t = 0 v0 = 2 jm r = 0 /s
∫
r r
r v r 2j
t r r dv = ∫ adt 0
t r r ∫0 dr = ∫0 vdt
r r r 2 v − 2 j = 2t i r r r 2 v = 2t i + 2 j r r 2 3 r = t + 2t j 3
例5.一根不可伸长的轻绳跨过固定在O点的水平光滑细 . 一根不可伸长的轻绳跨过固定在 点的水平光滑细 两端各系一个小球。 球放在地面上 球放在地面上， 球被拉到水 杆，两端各系一个小球。a球放在地面上，b球被拉到水 平位置， 且绳刚好伸直。从这时开始将b球自静止释放 球自静止释放。 平位置 ， 且绳刚好伸直 。 从这时开始将 球自静止释放 。 设两球质量相同。 设两球质量相同。 球未离地） 球未离地 求：(1) b球下摆到与竖直线成θ角时的 (a球未离地） 球下摆到与竖直线成 角时的v (2) θ = ？a 球刚好离开地面。 球刚好离开地面。 分析b运动 分析 解： (1)分析 运动 a球离开地面前 做半径为 lb 球离开地面前b做半径为 球离开地面前 的竖直圆周运动。 的竖直圆周运动。 O a
1. 2
牛顿运动定律及其应用
1.2.1 牛顿运动定律 1.2.2 自然界中的力 1.2.3 牛顿运动定律的应用 1.2.4 非惯性系与惯性力 作业： 、 、 作业：1-5、1-6、1-18、1-19、1-21、1-22 、 、 、
1.2.1 牛顿运动定律
（Newton′s laws of motion) ′ 一、牛顿第一定律（惯性定律） 牛顿第一定律（惯性定律） 任何物体如果没有力作用在它上面， 任何物体如果没有力作用在它上面，都将保 持静止的或作匀速直线运动的状态。 持静止的或作匀速直线运动的状态。 1. 定义了惯性参考系 惯性系---在该参照系中观察, 惯性系---在该参照系中观察,一个不受力作用的物 ---在该参照系中观察 体将保持静止或匀速直线运动状态不变. 体将保持静止或匀速直线运动状态不变. 2. 定义了物体的惯性和力 惯性---物体本身要保持运动状态不变的性质. 惯性---物体本身要保持运动状态不变的性质. 物体本身要保持运动状态不变的性质 力---迫使一个物体运动状态改变的一种作用. --迫使一个物体运动状态改变的一种作用. 迫使一个物体运动状态改变的一种作用
G = 6.67×10−11 N⋅ m2 / kg2
2、 重力 、
地球附近的物质所受的地球引力
v v P = mg
m M P ≅G 2 = m , g R
方向竖直向下
M g =G 2 R
M：地球质量 ： R：地球半径 ：
3、弹力 、 作用在相互接触的物体之间， 作用在相互接触的物体之间，与物体的形变 相联系，是一种弹性恢复力。 相联系，是一种弹性恢复力。 O x (1) 弹簧的弹力 f = −kx x>0 f<0 x (2) 正压力 N , 支持力， 支持力， x<0 x 垂直于接触面指向对方 f>0 (3) 张力 T，内部的弹力 r 4、摩擦力 、 (1) 滑动摩擦力 (2) 静摩擦力 5、流体阻力 、
dvy dt
r r f = −kv
y
分量式
m
= −m − kv y g
r r f v0
φ
m
dvx k = − dt vx m
r mg
r v
x
o
分离变量
k = − dt m m + kv y g
kdv y
vx
分别积分
∫ ∫
k = − dt g 0 m vy0 m + kv y
dvx = vx0 vx vy kdv y
y
N = 3ρg(l − y)
v2 = 2g(l − y)
例2: 有阻力的抛体问题 . 己知: 质量为m的炮弹 以初速度v 的炮弹,以初速度 己知 质量为 的炮弹 以初速度 0与水平方向成仰角φ r r 射出. 若空气阻力与速度成正比, 射出 若空气阻力与速度成正比 即 f = −kv 求: 运动轨道方程 y（x）= ? （ ） y r 二维空间的变力情况. 解: 二维空间的变力情况. r f m v0 1.选 为研究物体. 1.选 m 为研究物体. 2.建坐标 2.建坐标 xoy.
lb
b
分析b受力, 分析 受力,选自然坐标系 受力 当b 球下摆到与竖直线成 θ 角时
2
O
lb
b
v a F = T − mgcosθ = m (1) n lb F = mgsinθ = mdv (2) t dt dv dv ds dv 由(2) 式得 gsinθ = = ⋅ = v dt ds dt ds
∴∫ vdv = ∫ gsinθ(ds) = ∫ gsinθ(−lbdθ )
0 0
π
2
θ
r T
r mg
v
s
θ
∴v = 2lb gcosθ
(3)
N
(2) 分析 运动 分析a运动 当 T = mg 时，a 球刚好离地
T
a mg
2
2lb gcosθ v 1 g g 由（）式 Fn = m − m cosθ = m = m lb lb
r v1 r r N1
fk = µk N fsmax = µs N
r v2
fk1
r N2
F r fk2
r F r fs
作用在流体中的运动物体上
1.2.3 牛顿定律的应用 v v 解题步骤 ∑Fi = ma
1.认物体(确定研究对象)； .认物体(确定研究对象) 一般采用隔离体法. 即把系统中的几个物体分别研究。 一般采用隔离体法 即把系统中的几个物体分别研究。 2. 看运动 分析研究对象的运动状况, 分析研究对象的运动状况 , 并确定各研究对象运动 状况之间的联系(约束条件) 状况之间的联系(约束条件). 3. 分析力 找出研究对象所受的全部外力,画出受力图 找出研究对象所受的全部外力, 外力 4. 列方程 列出牛顿定律方程. 根据需要选择适当的坐标系,将力 列出牛顿定律方程 根据需要选择适当的坐标系 将力 和加速度沿坐标轴分解, 列出沿各坐标轴方向的方程. 和加速度沿坐标轴分解 列出沿各坐标轴方向的方程 5. 解方程，对结果作必要讨论。 解方程，对结果作必要讨论。
φ
o
r mg
r v
t =0 时,
x=0 , y=0 vx 0=v0 cosφ , vy 0=v0 sinφ
x
r 力 m 重 ： g 3.分析受力 分析受力: 3.分析受力: r r 阻 ： 力 f = −kv
列方程: 列方程:
r r r f + mg = ma
dvx m = −kvx dt
力的强度（相邻质子间）： 力的强度（相邻质子间）： 强相互作用 ≈ 10 4N，电磁相互作用 ≈ 10 2 N ， ， 弱相互作用≈ 引力相互作用≈ 弱相互作用≈ 10 -2 N ， 引力相互作用≈ 10-34 N 。
二、常见的力 1、万有引力 、 一切质点之间
m m2 f =G 12 r
万有引力定律: 万有引力定律 -- 万有引力恒量
O
lb
b
r θ T r r T mg a r mg
⇒ g − gcosθ = 2gcosθ
1 θ = cos 3
−1
长为L，质量为M。在距A端 例：一均匀细棒AB长为 ，质量为 。在距 端 d 一均匀细棒 长为 处有一个质量为 m 的质点 P，如图所示，求：细 ，如图所示， 间的引力。 棒与质点 P 间的引力。 解：设细棒的线密度为λ
低速时质量不变
r r r d(mv ) r dv F= =m = ma dt dt
同时受几个外力作用 注意： 注意： 上式的瞬时性
v v ∑Fi = ma
矢量性
分量形式
{
直角坐标系
∑Fix = max i ∑Fiy = may i ∑Fiz = maz
i
{
自然坐标系
v2 ∑Fin = man = m R i dv ∑Fit = mat = m dt i
dm M λ= = dl L
O P d x
A
dm dx L
B
x
任选微元dm，其与质点P的引力为 任选微元 ，其与质点 的引力为 mλdx mdm df = G 2 = G x x2 d+L m M mλdx
f=
∫G
d
x
2
=G
d(d + L)
若 L << d,
m M f =G 2 d
与平方反比定律一致。 与平方反比定律一致。
dp d(m ) v N − ρgl = = dt dt d(ρyv) dy dv l y = = ρ(v + y ) dt dt dt O dv dy = a= −g =v dt dt N = ρgl + 2ρ(l − y)g − ρyg 2 N = ρgl +ρ(v − yg)
链条的下落.swf
F = G − B = ρS lg− ρ′Sxg
dv dx （ l − ρ′x） = m ρ Sg v= dt dt ρ Sgdx = m vdv （ l − ρ′x）
ρ
l
O
G B
x
ρ′
x 2ρ lg− ρ′ lg
∫（ρl − ρ′x）Sgdx = ∫0mvdv = Sρl∫0vdv 0
l
v
v
v=
ρ
例１：一柔软绳长 l，线密度 ρ，一端着地开始自 ， 由下落，下落的任意时刻，给地面的压力为多少？ 由下落，下落的任意时刻，给地面的压力为多少？ 解：建坐标 以整个绳子为研究对象，分析受力， 以整个绳子为研究对象，分析受力， 设任意时刻t, t,绳给地面的压力为 设任意时刻t,绳给地面的压力为 N