幂函数与函数变换

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幂函数与函数的图象变换

时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；直α线＝1
时，为过(0,0)点和(1,1)点的(1,1)
．
❖ (2减)当α<0时，幂函数图象总经过点，且在第一象限为函数．
❖ (3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除去(0,1)点)．
❖ 二、函数的图象与图象变换
❖ 1．画图
❖ 描点法
❖ (2)比较大小：0.80.7与0.70.8.
❖ 解析：(1)∵0<0.71.3<1,1.30.7>1， ∴0.71.3<1.30.7
❖ 考察幂函数y＝xm由(0.71.3)m<(1.30.7)m
❖ 知y＝xm为(0，＋∞)上的增函数，∴m>0.
❖ (2)指数函数y＝0.8x是减函数， ∴0.80.7>0.80.8
❖ 若(a＋1)－ <(3－2a)－，则a的取值范围是______．
❖ 解析：幂函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，函数值y>0；在(－∞，0)上也是减函数，函数值y<0.
❖ 答案：(
)∪(－∞，－1)
❖ [例2] 设x∈(0,1)时，函数y＝xp的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是 ________．
❖ 解析：(1)当p>0时，根据题意p<1， ∴0<p<1.
❖ (2)p＝0时，函数为y＝1(x≠0)，符合题意．
❖ (3)p<0时，在(0，＋∞)上过(1,1)点，函数为减函数，符合题意．
❖ 综上所述，p的取值范围(－∞，1).
❖ 解析：由幂函数图象特点， ❖ C1、C2对应n>0，C3、C4对应n<0 ❖ ∴曲线C1、C2、C3、C4对应n为2，，

函数的图像和变换

函数的图像和变换函数是数学中非常重要的概念，它描述了一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

在数学函数的图像和变换中，我们将探讨不同类型的函数以及它们在平面直角坐标系中的图像和变换。

一、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型，它的表达式可以写为y=ax+b，其中a和b为常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率方向和倾斜程度，常数b决定了直线与y 轴的交点。

2. 幂函数：幂函数是由形如y=x^n的表达式定义的函数，其中n为常数。

当n为正数时，幂函数的图像呈现递增或递减的曲线，曲线的陡峭程度取决于n的大小。

当n为负数时，曲线则在x轴正方向和y轴正方向之间交替。

3. 指数函数：指数函数由形如y=a^x的表达式定义，其中a为常数且大于0且不等于1。

指数函数的图像是一条通过点(0,1)的递增曲线，沿着x轴正方向迅速上升。

4. 对数函数：对数函数是指满足y=log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。

对数函数的图像是一条递增曲线，曲线的陡峭程度由底数a的大小决定。

5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

这些函数的图像是关于坐标轴对称的波动曲线。

二、函数的图像变换函数的图像可以通过一系列变换实现形状、位置或大小的改变。

以下是常见的函数图像变换：1. 平移：通过在函数表达式中加上常数c，可以使得函数图像沿着x轴或y轴平移。

例如，对于线性函数y=x+1，如果我们在函数表达式中加上常数1，则函数图像整体上移1个单位。

2. 反转：通过对函数表达式中的x或y取相反数，可以使函数图像在x轴或y轴方向上发生反转。

例如，对于线性函数y=x，如果我们将函数表达式中的x替换为-x，则函数图像将在y轴上对称。

3. 缩放：通过在函数表达式中乘以常数d，可以实现函数图像的缩放。

如果d大于1，则函数图像会在坐标轴方向上拉伸；如果d介于0和1之间，则会在坐标轴方向上收缩。

幂函数的变化规律与应用

幂函数的变化规律与应用幂函数是高中数学中重要的一种函数类型，具有广泛的应用。

本文将探讨幂函数的变化规律以及在实际问题中的应用。

一、幂函数的定义与基本性质幂函数的定义为：f(x) = x^a，其中x为自变量，a为常数。

幂函数的变化规律与常数a的正负相关，下面分别进行讨论。

1.1 正整数幂函数（a>0）当a为正整数时，幂函数可以表示为多项式的形式，曲线呈现出特定的变化规律。

例如，对于幂函数f(x) = x^2，随着x的增大，f(x)的值也增大，但增速逐渐减小。

当x为负数时，幂函数的值同样为正。

同样地，对于其他正整数幂函数，其变化规律与二次函数类似，只是曲线的开口方向、附过的顶点位置等会有所不同。

1.2 负整数幂函数（a<0）当a为负整数时，幂函数的变化规律与正整数幂函数相似，但曲线的性质有所不同。

例如，对于幂函数f(x) = x^(-1)，随着x的增大，f(x)的值逐渐减小。

当x为负数时，幂函数的值同样为负。

1.3 非整数幂函数（a为有理数但不为整数）当a为有理数但不为整数时，幂函数的变化规律稍显复杂。

通常情况下，我们需要借助计算工具来获得特定取值下幂函数的函数值。

二、幂函数的应用幂函数在现实生活中有广泛的应用，可以观察到幂函数与许多量的关系。

2.1 金融领域中的复利计算复利计算是金融领域中极为重要的一种应用，其中幂函数的变化规律被广泛运用。

通过复利的计算公式：A = P(1+r/n)^(nt)，其中A为最终金额，P为本金，r为年利率，n为每年计算的次数，t为贷款（投资）的年限。

可以看出，幂函数在复利计算中起到了关键的作用。

2.2 物理学中的力与功的计算在物理学中，幂函数被广泛应用于力与功的计算当中。

根据功的定义，F为力，s为力的方向上的位移，功W = Fs。

当力的大小与位移的变化存在幂函数关系时，利用幂函数的特性可以更加准确地计算出功。

2.3 生态学中的物种多样性研究在生态学中，研究物种多样性与面积之间的关系是一项重要的课题。

高考数学幂函数知识点总结

高考数学幂函数知识点总结一、幂函数的定义和性质幂函数是数学中一种常见的函数形式，它的定义形式为y = ax^n，其中a和n都为实数，x为自变量，y为因变量。

幂函数在数学中扮演着重要的角色，广泛应用于自然科学和工程技术领域。

下面我们来总结一些幂函数的重要性质和应用。

1. 幂函数的定义域和值域：幂函数y = ax^n的定义域为实数集R，值域则取决于a和n 的取值范围。

当a>0时，n为整数时，函数的值域为正实数集R+；当a<0时，n为奇数时，函数的值域为负实数集R-。

2. 幂函数的奇偶性：当n为偶数时，函数为偶函数；当n为奇数时，函数为奇函数。

具体而言，当n为偶数时，对于任意x，有f(-x)=f(x)；当n为奇数时，对于任意x，有f(-x)=-f(x)。

3. 幂函数的图像变换：幂函数y = ax^n在平面直角坐标系中的图像变换与参数a和n的取值相关。

当a>1时，函数图像沿y轴方向压缩，当0<a<1时，函数图像沿y轴方向拉伸；当n>1时，函数图像在原点左侧上升，当0<n<1时，函数图像在原点右侧上升。

4. 幂函数的极限：当a>1时，幂函数在正无穷大时趋于正无穷大；当0<a<1时，幂函数在正无穷大时趋于0。

若n>0，幂函数在负无穷大时趋于正无穷大；若n<0，幂函数在负无穷大时趋于0。

二、幂函数的常见应用幂函数因为其特殊的形式和性质，在科学和工程中有广泛的应用。

以下是幂函数在一些具体问题中的运用。

1. 物质的增长和衰减：在生物学和经济学中，常常需要研究物质的增长和衰减过程。

幂函数可用来描述这种过程。

例如，生物种群的增长可以用幂函数进行建模，其中a表示种群的初始数量，n表示增长率。

同样，经济学中的人口增长、环境污染以及经济发展等问题也可以利用幂函数进行分析。

2. 各种规律的描述：幂函数可以应用于描述一些规律和现象。

例如，光的强度随距离的关系、金融领域中财富分布的不平等系数、能量消耗与功率之间的关系等都可以用幂函数来表达。

指数函数对数函数幂函数公式整理

指数函数对数函数幂函数公式整理指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要概念，它们的表达式与性质在数学中有着广泛的应用。

在本文中，我将对这三种函数进行公式整理，以便更好地理解它们的特点和相互关系。

首先，我们先来了解指数函数的相关公式。

指数函数的一般形式为f(x)=a^x，其中a为常数，a>0且a≠1、指数函数具有以下常见的性质：性质1：指数函数的定义域为所有实数，即(-∞,+∞)。

性质2：当a>1时，指数函数是增函数；当0<a<1时，指数函数是减函数。

性质3：当x趋向于正无穷时，指数函数趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，指数函数趋向于0；当x=0时，指数函数的值为1性质4：指数函数与对数函数是互为反函数的关系，即a^logₐ(x) = x，logₐ(a^x) = x。

性质5：指数函数的平移变换公式为：f(x)=a^(x-h)+k，其中(h,k)为平移的向量。

接下来，我们来整理对数函数的公式。

对数函数的一般形式为f(x)= logₐ(x)，其中a为常数，a>0且a≠1、对数函数具有以下常见的性质：性质1：对数函数的定义域为x>0，值域为所有实数，即(−∞,+∞)。

性质2：当0<x<1时，对数函数是负数；当x>1时，对数函数是正数。

性质3：对数函数与指数函数是互为反函数的关系，即logₐ(a^x) = x，a^logₐ(x) = x。

性质4：对数函数的平移变换公式为：f(x) = logₐ(x-h) + k，其中(h, k)为平移的向量。

最后，我们整理一下幂函数的公式。

幂函数的一般形式为f(x)=x^a，其中a为常数。

幂函数具有以下常见的性质：性质1：幂函数的定义域为所有实数，即(-∞,+∞)。

性质2：当a>1时，幂函数是增函数；当0<a<1时，幂函数是减函数。

性质3：当x趋向于正无穷时，幂函数的值趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，a为正数的幂函数的值趋向于0，a为负数的幂函数的值趋向于正负无穷；当x=0且a>0时，幂函数的值为1性质4：幂函数的平移变换公式为：f(x)=(x-h)^a+k，其中(h,k)为平移的向量。

幂函数及函数图像变换(教师)

幂函数及函数图像变换知识点1 幂函数 1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上；（3）当2,2α=-时，幂函数是；当11,1,3,3α=-时，幂函数是．（4）任何幂函数都不过象限；（5）当0α>时，幂函数的图象过． 3．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从到分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于对称．考向一幂函数的定义【例1】►讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5y x = （2）43y x-= （3）54y x =（4）35y x-=（5）12y x-=分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增．（4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减．【训练1】比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5 解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- （3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<考向二二次函数的图像和性质【例2】►（2010大连一模）函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．(1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式．解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1 综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2 t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.【训练2-1】 ►(2010·安徽)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．[审题视点] 分类讨论a ＞0，a ＜0.解析若a ＞0，则bc ＞0，根据选项C 、D ，c ＜0，此时只有b ＜0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，选项D 有可能；若a ＜0，根据选项A ，c ＜0，此时只能b ＞0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，与选项A 不符合；根据选项B ，c ＞0，此时只能b ＜0，此时二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＜0，与选项B 不符合．综合知只能是选项D.答案 D【训练2-2】（2011沈阳模拟）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1； x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.考向三幂函数的图象和性质【例3】►已知幂函数f (x )＝223m m x -- (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32.【训练3】已知幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值．解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．知识点2 函数图像 (1)平移变换①水平平移：y ＝f (x ±a )(a ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到．②竖直平移：y ＝f (x )±b (b ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到． (2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称． ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．由对称变换可利用y ＝f (x )的图象得到y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象．①作出y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象；②作出y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象． (3)伸缩变换①y ＝af (x )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)或缩(a ＜1时)到原来的a 倍，横坐标不变．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)或缩(a ＞1时)到原来的1a 倍，纵坐标不变． (4)翻折变换①作为y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象；②作为y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象．考向一作函数图象【例1】►分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1； (4)y ＝x ＋2x －1.[审题视点] 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x ≥1)，－lg x (0＜x ＜1).图象如图①.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2＋2x －1 (x ＜0).图象如图③.(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图④.【训练1-1】作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝sin|x|；(3)y＝|log2(x＋1)|.解(1)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，如图②所示．(3)首先作出y＝log2x的图象c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象c2，再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即为所求图象c3：y＝|log2(x＋1)|.如图③所示(实线部分)．【训练1-2】把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是()A．y＝(x－3)2＋3B．y＝(x－3)2＋1C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x－1)2＋1解析：把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案：C考向二函数图象的识辨【例2】►函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是()．[审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象，可根据函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断．解析 f (x )＝1＋log 2x 的图象由函数f (x )＝log 2x 的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数g (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y 轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．综上所述，排除A ，B ，D.故选C. 答案 C【训练2-1】 (2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．解析当x ＞0时，2x ＝x 2有两根x ＝2,4；当x ＜0时，根据图象法易得到y ＝2x 与y ＝x 2有一个交点，则y ＝2x －x 2在R 上有3个零点，故排除B 、C ；当x →－∞时，2x →0.而x 2→＋∞，故y ＝2x －x 2＜0，故选A. 答案 A【训练2-2】(2011·郑州模拟)若函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )．考向三函数图象的应用【例3】►已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [审题视点] 作出函数图象，由图象观察．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1， x ∈(1，3)，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．(2)由图象可知，y ＝f (x )与y ＝m 图象，有四个不同的交点，则0＜m ＜1， ∴集合M ＝{m |0＜m ＜1}．【训练3】 (2010·湖北)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )．A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22]C ．[1－22，3]D ．[1－2，3]解析在同一坐标系下画出曲线y ＝3－4x －x 2(注：该曲线是以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆不在直线y ＝3上方的部分)与直线y ＝x 的图象，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y 轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点；注意到与y ＝x 平行且过点(0,3)的直线的方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x ＋b 与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y ＝3上方的部分)，有|2－3＋b |2＝2，b ＝1－2 2.结合图形可知，满足题意的只有C 选项．答案 C基础练习：1．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C2．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3.答案 A3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析由⎩⎪⎨⎪⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，fb ＝b ，b >1，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2.答案 C 5．(人教A 版)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析 y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．答案 C6．(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝⎛⎭⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )解析本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题．当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上．答案 D7．函数y ＝1－1x －1的图象是( )．解析将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象．答案 B8．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )．A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)解析 y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0，f (x )，x ＜0.答案 C9．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.。

Laplace拉氏变换公式表

Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。

2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。

3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。

4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。

5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。

6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。

7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。

8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。

9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。

10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。

Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。

12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。

13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。

14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。

三角函数的幂函数变换

三角函数的幂函数变换三角函数是数学中非常重要的一类函数，而幂函数是另一类常见的函数。

在数学中，我们常用幂函数的变换来描述和解决问题，而三角函数的幂函数变换就是将三角函数表达式转化为幂函数的表达式，从而简化计算和求解的过程。

一、正弦函数的幂函数变换正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，常用来描述周期性的变化。

我们来看一下正弦函数的幂函数变换。

1. 正弦函数的定义：正弦函数可以表示为y = sin(x)，其中x为自变量，y为函数值。

正弦函数的值在[-1, 1]之间波动，且具有周期性。

2. 正弦函数的幂函数变换：通过幂函数变换，我们可以将正弦函数表达式转化为幂函数的形式，从而简化计算过程。

正弦函数的幂函数变换公式为： sin(x) = (e^ix - e^(-ix))/(2i)其中i为虚数单位，e为自然对数的底数。

通过这个幂函数变换公式，我们可以将正弦函数的计算转化为幂函数的计算，从而更方便地进行求解。

二、余弦函数的幂函数变换余弦函数也是三角函数中的一种，常用来描述周期性变化。

下面我们来看一下余弦函数的幂函数变换。

1. 余弦函数的定义：余弦函数可以表示为y = cos(x)，其中x为自变量，y为函数值。

余弦函数的值同样在[-1, 1]之间波动，具有周期性。

2. 余弦函数的幂函数变换：通过幂函数变换，我们可以将余弦函数的表达式转化为幂函数的形式，便于计算和求解。

余弦函数的幂函数变换公式为： cos(x) = (e^ix + e^(-ix))/2同样，其中i为虚数单位，e为自然对数的底数。

通过这个幂函数变换公式，我们可以将余弦函数的计算转化为幂函数的计算，简化计算过程。

三、正切函数的幂函数变换正切函数是三角函数中的另一种常见函数，用来描述角度的斜率。

我们来看一下正切函数的幂函数变换。

1. 正切函数的定义：正切函数可以表示为y = tan(x)，其中x为自变量，y为函数值。

正切函数的值在整个实数集上变化，具有周期性。

求解幂函数问题

求解幂函数问题幂函数是数学中常见的一类函数，它的表达式为y = ax^b，其中a和b为常数，而x为自变量。

通过求解幂函数问题，我们可以探讨幂函数的性质、图像、导数等相关内容。

本文将以求解幂函数问题为主题，探讨幂函数在数学中的应用和解决方法。

一、幂函数的定义和性质幂函数是指具有幂次关系的函数，其中底数为自变量，指数为常数。

幂函数的一般形式可以表示为y = ax^b，其中a和b为常数。

幂函数具有以下性质：1. 当b为正数时，幂函数图像随着自变量的增大而增大，当x趋于无穷大时，y也会趋于无穷大；反之，当x趋于零时，y也会趋于零。

2. 当b为负数时，幂函数图像随着自变量的增大而减小，且在x轴正半轴上有一个铅直渐近线；当x趋于无穷大时，y趋于零；反之，当x趋于零时，y趋于正无穷大。

3. 当b为零时，幂函数变为常数函数，其图像为一条水平直线。

二、幂函数的图像和变换幂函数的图像在平面直角坐标系中呈现出不同的形状。

根据底数a和指数b的取值，幂函数的图像可以表现出上升或下降的趋势，也可以经过平移、伸缩等变换。

具体变换方法如下：1. 平移：将幂函数的图像上下左右移动，可以通过替换函数中的自变量实现。

例如，函数y = (x+1)^2与y = x^2相比，后者的图像经过右移1个单位。

2. 伸缩：将幂函数的图像沿x轴或y轴方向进行拉伸或压缩，可以通过改变指数b的值实现。

当b>1时，图像在y轴方向上变窄，当0<b<1时，图像在y轴方向上变宽。

3. 翻转：将幂函数的图像相对于x轴或y轴进行镜像翻转，可以通过改变底数a的正负号实现。

当a<0时，图像相对于x轴进行翻转；当a>0时，图像不发生翻转。

三、求解幂函数问题的方法1. 求导数：通过求导数可以得到幂函数的导数，从而研究其变化率和极值点等性质。

对于幂函数y = ax^b，其导数可以表示为dy/dx = abx^(b-1)。

利用导数，我们可以研究幂函数在定义域内的单调性、凹凸性和拐点等。

幂函数和函数图像的变换

1幂函数和函数图像的变换（一）幂函数：（二）主要方法：1．熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象． 2．作图(1)描点法作图步骤： ①确定定义域； ②化简解析式；③确定函数图象的特殊点； ④讨论函数的性质； ⑤描点连线．（2）图像的变换 1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称；（2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称；（3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称；（4）函数1()y f x -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称；（5）函数()y f x =的图像与函数)2(x a f y -=的图像关于直线a x =称.3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x=的图像中的每一点纵坐标不2变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． 5. 具有对称性的抽象函数：①函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()x b f x a f -=+，则()x f 是关于直线2b a y +=对称的函数.②函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()x b f x a f --=+，则()x f 是关于点⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 对称的函数.（三）例题分析：1.函数y=f(x)的图象如下,那么下列对应错误的是( )解析:y=f(|x|)是偶函数,图象关于y 轴对称,故B 错误.答案:B2.设函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是下面的()解析:由y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,知y=f(x)·g(x)为奇函数,又在x=0处无定义. 答案:D3.先作与函数 12y lgx=-的图象关于原点对称的图象,再将所得图象向右平移2个单位得图象C1,又y=f(x)的图象C2与C1关于y=x 对称,则y=f(x)的解析式是()A.y=10xB.y=10x－2 C.y=lgx D.y=lg(x－2)3答案:A4.函数f(x)=log a |x|+1(0<a<1)的图象大致为()解析:作出函数y=log a x(0<a<1)的图象,然后保留y 轴右侧不变,再将y 轴右侧对称到左侧,得y=loga|x|,再将所得图象向上平移一个单位,点(1,0)和(-1,0)变化为(1,1)和(-1,1),故A 正确. 答案:A5.()()21,[1,0),f x 1,[0,1],.x x x x ∈+-⎧=⎨+⎩已知则下列函数的图象错误的是[解析]f(x)的图象如图所示,f(x-1)的图象由f(x)的图象向右平移1个单位; f(-x)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称; 由y=f(|x|)的奇偶性可知,保留f(x)在 y 轴右侧的图象,左侧图象由右侧图象关于y 轴对称得到;|f(x)|的图象是将f(x)图象在x 轴下方部分关于x 轴翻转180°,其余部分不变,故D 错. [答案]D6.若直线y=2a 与函数y=|ax-1|(a>0且a ≠1)的图象有2个公共点,求a 的取值范围.402a 1,a 10,.2⎛ ∈⎪<<⎫⎝⎭由图知所以7．函数1()f x x x=-的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称解析：∵f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f (－x )＝1()x x ---＝1()x x--＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，它的图象关于原点对称．答案：C8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：∵f (x )是[－5,5]上的奇函数， ∴f (x )的图象关于原点对称，由图象知f (x )<0的解集是{x |－2<x <0或2<x ≤5}．答案：{x |－2<x <0或2<x≤5}。

幂函数、图像变换,零点(一、二)

15-16．幂函数、图像变换、零点【知识要点归纳】一．幂函数1.幂函数的定义：一般地，形如（x R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，n 是常数2.请在同一坐标系下画出y=x,y=21x ,y=x 2,y=x -1,y=x 3的图象，并填写下表。

3.总结幂函数图像的画法4.幂函数的性质二．函数图像的四种变换规律 1.平移变换：2.翻折变换：3.对称变换：4.伸缩变换：三．函数的零点1.定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

2.零点存在性定理：如果函数y = f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0那么，函数y = f (x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根3.求零点的方法：【经典例题】例1:画出下列函数图像（1）73y x=；（2）y＝32x；（3）y＝13x－；（4）y＝43x；（5）y＝x25例2：幂函数273235()(1)t tf x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.例3：若f(x)＝x1－n2＋2n＋3(n∈Z)的图像在[0，＋∞]上单调递增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．例4：直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .例5.下列区间中，函数()f x =ln(2)x ∣-∣在其上为增函数的是（A ）（-,1∞] （B ）41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）)30,2⎡⎢⎣（D ）[)1,2例6：函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）例7：函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)例8：已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.例9：已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为；函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .例10：已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n =x n n n N ∈+∈则 .【课堂练习】1.如图所示，曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象，已知n 取±2、±21四个值，则相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为 . 答案 2，21，-21，-22.若集合A ＝{y |y ＝x 13 ，－1≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．[－1,1]C ．∅D ．{1}[答案]D3.函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是（）．Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 答案：Ｂ．4.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x ≥0），则(){}20x f x ->= （）（A ）{}24x x x <->或（B ）{}04 x x x <>或（C ）{}06 x x x <>或（D ）{}22 x x x <->或答案：B5.已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞答案：C 易错点：极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a +≥,从而错选D, 【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+b=1a a+又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a a=+1由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞ 6.用表示a ，b 两数中的最小值。

幂函数与函数的图像变换

第六节幂函数与函数的图像变换重点难点重点：①幂函数的定义、图象与性质．②函数图象三种基本变换规则．难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关系．②利用基本变换规则作函数图象知识归纳一、幂函数的定义和图象1．定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3，12，－1,0，－12，－2时的幂函数 2．图象：(只作出第一象限图象)幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出．幂函数y＝xα(α∈R)的图象如下表：α＝qpα<00<α<1α>1p、q都是奇数p为奇数，q为偶数α＝qpα<00<α<1α>1p为偶数，q为奇数3.性质：(1)当α>0时，幂函数图象都过点和点；且在第一象限都是函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的(2)当α<0时，幂函数图象总经过点，且在第一象限为函数．(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．二、函数的图象与图象变换1．画图描点法①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域)；④列对应值表(尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．2．识图绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线，正、负值区间等都是识图的重要方面，要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来确定这些参数．3．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．4．有关结论若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形．误区警示1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开来，前者将y ＝f(x)位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y ≥0.比如y＝|sin x|与y＝sin|x|.2．由函数y＝f(x)的图象变换成y＝g(x)的图象，变换顺序为①→②时，由y＝g(x)的图象变换成y＝f(x)的图象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.3．在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种情况：α>0，α＝0和α<0.幂函数的图象一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴相交时，交点一定是原点．一、数形结合的思想函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数形结合借助于图象与函数的对应关系研究函数的性质，应用函数的性质．其本质是：函数图象的性质反映了函数关系；函数关系决定了函数图象的性质．二、解题技巧1．图形变换方法作图是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特征，熟练地进行平移、伸缩、对称变换．(1)平移变换①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到．(2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称．③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．④y ＝f －1(x )与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称．⑤y ＝|f (x )|的图象可将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．⑥y ＝f (|x |)的图象可将y ＝f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x ＜0的图象．(3)伸缩变换①y ＝Af (x )(A ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到． 2．图象对称性的证明(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C 1与C 2的对称性，即要证明C 1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C 2上，反之亦然．3．由于幂函数y ＝x α当α<0时，图象不过坐标原点，故有关幂函数y ＝x α(α<0)的单调性问题，一定要重视分区间讨论．幂函数的定义[例1]幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为________．幂函数的单调性[例2] (1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，求m 的范围．(2)比较大小：0.80.7与0.70.8.分析：(1)中两个数的指数相同，故可视作幂函数y ＝x m 在x 取x 1＝0.71.3与x 2＝1.30.7时的两个函数值用单调性讨论．(2)中两个数底数不同，指数也不同，可借助中间量0.80.8(或0.70.7)，用指数函数y ＝0.8x 与幂函数y ＝x 0.8的单调性解决．下列各式中正确的是( )幂函数图象的分布规律[例3] 幂函数y ＝x m 2＋3m (m ∈Z)的图象如右图所示，则m 的值为( )A ．－3<m <0B ．－1C ．－2D ．－1或－2函数y ＝x 13 的图象是()函数f (x )＝x ＋1x图象的对称中心为( ) A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(1,0)D ．(1,1)幂函数图象与性质的综合应用已知幂函数f (x )＝x m 2－6m ＋5 (m ∈Z)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则f (x )的解析式为________．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5数形结合的思想[例5] 方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数是( )A ．2B ．3C ．1D ．4已知f (x )是以2为周期的偶函数．当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，那么在区间[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R 且k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－12，0)C ．(－13，0)D ．(－14，0)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x ≥2， x －1 3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．据解析式作函数的图象[例6] 作出下列函数的图象(1)y ＝x 3|x |； (2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝|log 2x －1|; (4)y ＝2|x －1|.y ＝|x -13 |的图象为( )设函数f (x )＝ax ＋b x 2＋c的图象如图，则a ，b ，c 满足()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a一、选择题1．在下列四个函数①y ＝x 13 ②y ＝x 12 ③y ＝x －2 ④y ＝x 0中，为偶函数的是( )A ．①B ．①③C ．③④D ．①②③④2.已知函数①y ＝3x ；②y ＝ln x ；③y ＝x －1；④y ＝x 12 .则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是()A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②2．要将函数y ＝1＋x －1的图象变换成幂函数y ＝x 12 的图象，需要将y ＝1＋x －1的图象( )A ．向左平移一个单位，再向上平移一个单位B ．向左平移一个单位，再向下平移一个单位C ．向右平移一个单位，再向上平移一个单位D ．向右平移一个单位，再向下平移一个单位4.设a ∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且该函数为奇函数的所有a 值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,35.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题6.幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x的值是______．7.幂函数(p ∈Z)为偶函数，且f (1)<f (4)，则实数p ＝________.三、解答题 8.已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)且幂函数g (x )＝x m 2－m －2(m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．。

幂函数图像与性质

幂函数的周期性
幂函数性质：周期性是指函数在一定周期内重复
出现的性质。
幂函数周期：幂函数的周期与其指数有关，当指数为正整数时，幂函数具有周期
性。
周期计算：幂函数的周期可以通过将指数除以自变量来计算，得到的结果即为函
数的周期。
周期性特点：幂函数的周期性具有一些特点，例如当指数为偶数时，函数图像关于y轴对称；当指数为奇数时，函数图像关于原
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左到右下降
幂函数应用：在数学、物理、工程等领域有
广泛应用
幂函数定义域和值域
值域：y>0
定义域：x属于R
定义：幂函数f(x)=x^a，其中a为实数
性质：幂函数图像在第一象限，随着a的增大，函数图
像从右上至左下逐渐上升
02
幂函数图像
幂函数图像特点
幂函数图像在第一象限内单调递增
幂函数图像在第二象限内单调递减
幂函数图像在y 轴两侧对称
幂函数图像在x 轴上无交点
幂函数图像与x轴关系
当a>0时，幂函数图像与x轴有交点
当a=0时，幂函数图像与x轴只有一个交点
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当a<0时，幂函数图像与x轴无交点
幂函数图像与x轴交点的个数和位置与a的取值有关
幂函数图像与y轴关系
当x>0时，幂函数图像位于第一象限
04
幂函数的应用
幂函数在数学领域的应用
幂函数在微积分中的应用幂函数在求解方程中的应用幂函数在概率论中的应用幂函数在复数分析中的应用
幂函数在物理领域的应用
力学：描述物体的运动规律，如加速度与速度的关系。光学：解释光的干涉和衍射现象，如杨氏双缝干涉实验。电磁学：解释电磁波的传播规律，如无线电信号的传输。量子力学：描述微观粒子的运动状态，如波函数的形式。

第二章函数2-6幂函数与函数的图象变换

第2章第6节一、选择题1．(文)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 由f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴α<0y ＝x －2＝1x 2是偶函数，y ＝x －12＝1x ，在定义域(0，＋∞)上是非奇非偶函数，y ＝x －1是奇函数，∴α＝－1，∴选A.(理)幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“区域”是( )A ．⑧，③B ．⑦，③C ．⑥，①D ．⑤，①[答案] D2．(09·福建)下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x[答案] A [解析] ∵y ＝1x 的定义域为(0，＋∞)．故选A.3．(文)(09·安徽)设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )[答案] C[解析] 解法一：当x >b 时，y >0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿过偶次不穿可知，只有C 正确，故选C.解法二：∵y ＝(x －a )2(x －b )，a <b ，∴x >b 时，y >0，排除A 、B ；a <x <b 时，y <0，排除D ，故选C.(理)(2010·山东日照一中)函数y ＝ln1|2x －3|的大致图象为( )[答案] A[解析] 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D 项．当x >32时，函数为减函数，当x <32函数为增函数，所以选A.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4 x ≤1x 2－4x ＋3 x >1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] B[解析] 由图象易知有3个交点．器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()[答案] B[解析]由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时间t的增加，容器中水面的高度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐渐变小，故选B.(理)(2010·东营质检)函数y＝|x|与y＝x2＋1在同一坐标系的图象为()[答案] A[解析]由y＝x2＋1得，y2－x2＝1(y≥1)，它表示焦点在y轴上的等轴双曲线的上支，它以y＝±x的其渐近线，故选A.6．(2010·山东泰安质检)定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①f (0)＝1；②f (－1)＝1；③若x >0，则f (x )<0；④若x <0，则f (x )>1.其中正确的命题是( ) A ．②③ B ．①④ C ．②④D ．①③[答案] B[解析] 将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象．∵在y ＝f (x ＋1)的图象上，当x <－1时，f (x )>1，∴在y ＝f (x )的图象上，当x <0时，f (x )>1，∵y ＝f (x ＋1)的图象过点(－1,1)，∴f (0)＝1，故选B.7．(2010·温州十校联考)函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( )A ．2 B.23 C.13D ．1[答案] B[解析] 由题可知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[13，3]，[1,3]，[13，1]，所以b －a的最小值为23.故选B.8．(2010·湖南理，8)有min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值，若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[答案] D[解析] 如图，要使f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t ＝1.9．若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象分别如图，则f (x )·g (x )的图象可能是( )[答案] C[解析] 由f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可知f (x )·g (x )为奇函数，x ∈(－3,0)时，f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (x )>0，故选C.10．(文)(2010·山东济南、芜湖十二中)函数y ＝x |x |·a x (a >1)的图象的基本形状是( )[答案] A[解析] 当x >0时，y ＝a x (a >1)为增函数，当x <0时，y ＝－a x (a >1)，为减函数，故选A.(理)(2010·山东省实验中学)设函数f (x )＝ax ＋bx 2＋c的图象如图，则a 、b 、c 满足( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a[答案] D[解析] f (x )的图象关于y 轴对称，∴a ＝0，∵y ＝x 2＋c 在(0，＋∞)上单增，又f (x )＝bx 2＋c 在(0，＋∞)上单减，且f (x )定义域为R ，∴b >0，c >0，又f (0)＝bc>1，∴b >c ，故选D.二、填空题11．(文)(2010·通州市模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．[答案] 2[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴12＝2α，∴α＝－1， ∴f (x )＝x －1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2.(理)(2010·芜湖十二中)幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是______．[答案] 13[解析] ∵f (x )＝x α过点⎝⎛⎭⎫－2，－18，∴(－2)α＝－18，∴α＝－3.由f (x )＝27得，x －3＝27，∴x ＝13.12．函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，x 0所在区间是(a ，b )，a 、b 为相邻的整数，则a ＋b ＝______.[答案] 3[解析] ∵y 1＝x 3单调增，y 2＝⎝⎛⎭⎫12x －2单调减，当x ＝1时，y 1＝1，y 2＝2，y 1<y 2；当x ＝2时，y 1＝8，y 2＝1，y 1>y 2，∴两函数图象交点坐标x 0∈(1,2)，故a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3.13．若f (x )＝ax ＋2x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．[答案] a >1[解析] f (x )＝ax ＋2x ＋2＝a (x ＋2)＋2(1－a )x ＋2＝2(1－a )x ＋2＋a .∵f (x )在(－2，＋∞)上为增函数， ∴1－a <0，即a >1.14．(2010·常德市调研)设P 表示使幂函数y ＝xc 2－5c ＋6在(0，＋∞)上是增函数的c 的集合；Q 表示不等式|x －1|＋|x －2c |>1对任意x ∈R 恒成立的c 的集合，则P ∩Q ＝________.[答案] (－∞，0)∪(1,2)∪(3，＋∞)[解析] ∵幂函数y ＝xc 2－5c ＋6在(0，＋∞)上是增函数，∴c 2－5c ＋6>0，即P ＝(－∞，2)∪(3，＋∞)，又不等式|x －1|＋|x －2c |>1对任意x ∈R 恒成立， ∴|2c －1|>1，∴c >1或c <0，即Q ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，∴P ∩Q ＝(－∞，0)∪(1,2)∪(3，＋∞)．三、解答题15．已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －135.(1)证明f (x )是奇函数，并求其单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，并由此概括一个涉及函数f (x )，g (x )的对所有非零实数x 都成立的不等式，并证明．[解析] (1)证明：因为f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )13－(－x )－135＝－x 13－x －135＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．设x 1<x 2，x 1，x 2∈(0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝x 131－x －1315－x 13－x －1325＝15(x 131－x 131)(1＋1x 131·x 132)，因为x 131－x 132<0,1＋1x 131·x 132>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)经过计算可得f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)g (3)＝0，由此可得对所有非零实数x 都成立的一个等式是f (x 2)－5f (x )g (x )＝0.证明如下：f (x 2)－5f (x )g (x )＝x 23－x －235－5·x 13－x －135·x 13＋x －135＝15(x 23－x －23)－15(x 23－x －23)＝0.16．(文)(北京丰台)已知函数g (x )＝(a －2)x (x >－1)，函数f (x )＝ln(1＋x )＋bx 的图象如图所示．(1)求b 的值；(2)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间． [解析] (1)f ′(x )＝11＋x ＋b ，由题图可知f ′(－0.5)＝0⇒b ＝－2. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－2x －(a －2)x ＝ln(1＋x )－ax .F ′(x )＝11＋x－a .令F ′(x )＝11＋x －a >0，因为x ＋1>0，所以ax <1－a .当a >0时，F ′(x )>0⇒－1<x <1a－1，故函数F (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a－1，单调减区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞. 当a ≤0时，F ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，故函数F (x )的单调增区间是(－1，＋∞)；综上所述：当a >0时，函数F (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a －1，单调减区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞.当a ≤0时，函数F (x )的单调增区间是(－1，＋∞)．(理)(2010·山东滨州质检)已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)且幂函数g (x )＝xm 2－m －2(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )； ③f (x )<g (x )．[解析] (1)设f (x )＝x α，∵f (x )的图象过点(2，2)， ∴2＝(2)α，∴α＝2，∴f (x )＝x 2；又g (x )＝xm 2－m －2的图象与x 轴、y 轴都无公共点， ∴m 2－m －2≤0，∴－1≤m ≤2.∵m ∈Z ，∴m ＝0或±1或2，当m ＝0或1时，g (x )＝x－2是偶函数，图象关于y 轴对称，当m ＝－1或2时，y ＝x 0也满足，故g (x )＝x －2或g (x )＝x 0.(2)若g (x )＝x 0＝1，则由f (x )>g (x )得，x 2>1，∴x >1或x <－1.故x >1或x <－1时，f (x )>g (x )，x ＝±1时，f (x )＝g (x )，－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )．若g (x )＝x －2，则由f (x )>g (x )得，x 2>1x2，∴x 4>1，∴x >1或x <－1，故当x >1或x <－1时，有f (x )>g (x )；当x ＝±1时，f (x )＝g (x )；当－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )．综上知，x >1或x <－1时，f (x )>g (x )；x ＝±1时，f (x )＝g (x )；－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )． 17．(文)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋122.(1)求f (1)的值； (2)证明a >0，c >0；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. [解析] (1)对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立，当x ＝1时，f (1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f (1)≤⎝⎛⎭⎫1＋122＝1， ∴1≤f (1)≤1，∴f (1)＝1.(2)证明：∵f (1)＝1，f (－1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝1， a －b ＋c ＝0，∴b ＝12∴a ＋c ＝12.∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立， ∴ax 2－12x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎨⎧a >0Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0ac ≥116，∴c >0，故a >0，c >0.(3)证明：∵a ＋c ＝12，ac ≥116，由a >0，c >0及a ＋c ≥2ac ，得ac ≤116，∴ac ＝116，当且仅当a ＝c ＝14时，取“＝”．∴f (x )＝142＋12x ＋14.∴g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m x ＋14＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]．∵g (x )在[－1,1]上是单调函数，∴2m －1≤－1或2m －1≥1，∴m ≤0或m ≥1.(理)如图所示，定义在区间D 上的函数f (x )，如果满足：对∀x ∈D ，∃常数A ，都有f (x )≥A 成立，则称函数f (x )在D 上有下界，其中A 称为函数的下界．(1)试判断函数f (x )＝x 3＋48x在(0，＋∞)上是否有下界？并说明理由；(2)已知某质点的运动方程为S (t )＝at －2t ＋1，要使在t ∈[0，＋∞)上的每一时刻，该质点的瞬时速度是以12为下界的函数，求实数a 的取值范围．[分析] 第(1)问可以转化为求函数在指定区间上是否有最小值，若有最小值，此最小值就是下界值；第(2)问转化为不等式恒成立的问题进行解决即可，也就是转化为最值来解决．[解析] (1)由f (x )＝x 3＋48x 得，f ′(x )＝3x 2－48x 2＝3x2x 4－16)，当x ∈(0，＋∞)时，由f ′(x )＝0得，x ＝2是f (x )的极小值点，也是惟一的极小值点，所以x ∈(0，＋∞)时，f min (x )＝f (2)＝32，即函数f (x )＝x 3＋48x在(0，＋∞)上有下界，下界是32.(2)在t ∈[0，＋∞)上的每一时刻，该质点的瞬时速度v ＝S ′(t )＝a －1t ＋1，依题意得对∀t ∈[0，＋∞)有a －1t ＋1≥12，即a ≥1t ＋1＋12对∀t ∈[0，＋∞)恒成立．所以a ≥32。

幂函数与指数函数的像变化

幂函数与指数函数的像变化在数学中，幂函数和指数函数是两类经常出现的函数类型。

幂函数以底数为常数、指数为变量的形式呈现，而指数函数则是以欧拉常数e为底数、以变量为指数的函数形式。

本文将探讨幂函数和指数函数之间的像变化特点。

一、幂函数的像变化幂函数的一般形式为y=x^n，其中n为常数，x为变量。

幂函数的像变化特点与幂函数的指数n的奇偶性密切相关。

1. 当n为正数时，幂函数的像变化与变量x的取值关系如下：a) 当x>0时，函数值y=x^n呈现递增的趋势，即随着x的增大，y 的值也逐渐增大。

b) 当x<0时，函数值y=x^n的奇偶性取决于幂指数n的奇偶性。

若n为奇数，函数值y=x^n为负数，即随着x的增大，y的值逐渐减小；若n为偶数，函数值y=x^n为正数，即随着x的增大，y的值逐渐增大。

c) 当x=0时，函数值y=x^n为0，即函数在x轴上取得唯一的零点。

2. 当n为负数时，幂函数的像变化与变量x的取值关系如下：a) 当x>0时，函数值y=x^n呈现递减的趋势，即随着x的增大，y 的值逐渐减小。

b) 当x<0时，函数值y=x^n的奇偶性取决于幂指数n的奇偶性。

若n为奇数，函数值y=x^n为负数，即随着x的增大，y的值逐渐减小；若n为偶数，函数值y=x^n为正数，即随着x的增大，y的值逐渐增大。

c) 当x=0时，函数值y=x^n为无穷大或无穷小的极限值。

二、指数函数的像变化指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为常数，x为变量。

指数函数的像变化特点与底数a的大小和指数x的正负性密切相关。

1. 当底数a大于1时，指数函数的像变化与变量x的取值关系如下：a) 当x>0时，函数值y=a^x呈现递增的趋势，即随着x的增大，y的值逐渐增大。

b) 当x<0时，函数值y=a^x呈现递减的趋势，即随着x的增大，y 的值逐渐减小。

c) 当x=0时，函数值y=a^0为1，即函数在y轴上取得唯一的定值。

幂函数的图像变换

函数图像的变换1、探讨函数k a x y )(+=，b x y k +=与k x y =的图像之间的关系。

2、会用图像的变换方法作一些复杂的图像并探究其性质。

1、要想得到函数362+-=x x y 的图像，应该怎样平移函数2x y =得到？总结：平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a > 或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；（2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；（3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像在x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴的上方。

（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像当0≥x 的图像做出关于y 轴对称的图像。

例题1、已知x x f 1)(=，21)(-=x x g 和21)(--=x x x h 。

（1）说明这三个函数图像之间的关系；（2）在同一坐标系中作出这三个函数的图像；（3）求出这三个函数的定义域、值域，并判断函数的奇偶性、单调性。

演练：利用幂函数图像，画出下列函数图像。

（1）122222++++=x x x x y（2）1)2(35--=x y例题2、已知函数x x x f +=3)(（1）试求函数的零点，并作出图像。

幂函数及图像变换

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象．
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Hale Waihona Puke 第二章函数已知 P 为圆 x2 ＋ (y － 1)2 ＝ 1 上任意一点 ( 原点 O 除外 ) ，
直线 OP 的倾斜角为 θ 弧度，记 d ＝ |OP|. 在图中的坐标系中，画出以(θ，d)为坐标的点的轨迹大致图形．
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第二章
函数
一般幂函数图象的形状特征及其分布．
对于幂函数y＝xα(α∈R)，当α＝1时，y＝x的图象是直
线；当 α ＝ 0 时， y ＝ x0 ＝ 1(x≠0) 的图象是直线 ( 不包括 (0,1) 点)．其它一般情况的图象如下表：
难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关系． ②利用基本变换规则作函数图象
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第二章
函数
知识归纳一、幂函数的定义和图象 1．定义：形如 y＝xα 的函数叫幂函数(α 为常数) 1 1 要重点掌握 α＝1,2,3，，－1,0，－，－2 时的幂函数 2 2 2．图象：(只作出第一象限图象)
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第二章
函数
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幂函数与图像变换

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第二章
函数
⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变． ⑥y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象． (3)伸缩变换 ①y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到． ②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横 1 坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到． a
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第二章
函数
(3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个
单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图(3)． (4)先作出y＝2x 的图象，保留x≥0部分，再关于y轴对称得到y＝2|x|图象，然后右移一个单位，即得y＝2|x－1|的图
难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关系． ②利用基本变换规则作函数图象
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第二章
函数
知识归纳一、幂函数的定义和图象 1．定义：形如 y＝xα 的函数叫幂函数(α 为常数) 1 1 要重点掌握 α＝1,2,3，，－1,0，－，－2 时的幂函数 2 2 2．图象：(只作出第一象限图象)
②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向
上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到． (2)对称变换 ①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称． ②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．