14.3因式分解(第2课时)
14.3因式分解(共4课时)
a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练____(_a_+_3_)_(a_–_3_)_____ ② 49 – n2 = _____(_7_+_n_)_(7_–_n_)_____ ③ 5s2 – 20t2 = ___5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)___ ④ 100x2 – 9y2 =_(1_0_x_+__3_y)_(_1_0_x_–_3_y_)
复习回顾
还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？
平方差公式： a ba b a2 b2
完全平方公式：aaa
bbb222
a aa
2
2 2
2ab 22aabb
bbb222
计 算
x 2x 2 __x_2___4__
： 5 a2 _a_2__1_0_a__2_5_
m 7 m 7 __m_2___14_m___4_9_
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
= x2 – (x3)2
= x2 (1–x4)
= (x+x3)(x–x3)
= x2 (1+x2)(1–x2)
① x2 + 4 ② – 4x2 + y2 ③ x4 – 1 ④ x2 – x6 ⑤ 6x3 – 54xy2 ⑥ (x+p)2 – (x–q)2
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
2020八年级数学上册第十四章14.3因式分解14.3.3公式法(二)备课资料教案
第十四章 14.3.3公式法（二）知识点1：利用完全平方公式分解因式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方,即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.归纳整理:利用完全平方公式分解因式时,必须具备以下几点:①首先利用完全平方公式分解因式的式子必须是三项式;②在三项式中必须含有两项是平方的形式,而且这两项的符号相同,另一项是写成平方项的两项的积的2倍;③当要分解的因式中含有公因式时,要先提出公因式,然后再利用公式法分解.知识点2：x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解一个含有一个字母的二次三项式,如x2+ax+b=0,若a=p+q,b=pq,则x2+ax+b可以分解为(x+p)(x+q)的形式,即x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),利用这个公式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.关键提醒:x2+(p+q)x+pq型的二次三项式的因式分解的关键是合理地将一次项系数拆成两个数的和,而常数项恰好又是这两个数的积,然后直接套用公式即可.考点1：利用完全平方公式法因式分解【例1】分解因式:(1)4x2-20x+25;(2) +ab+a2b2;(3)16(a+b)2+40(a2-b2)+25(a-b)2.点拨:(1)式中2x,5分别为公式中的a,b;(2)中ab,分别为公式中的a,b;(3)中将4(a+b)与5(a-b)看作公式中的a,b.解:(1)原式=(2x)2-2×2x×5+52=(2x-5)2;(2)原式=+2××ab+(ab)2=;(3)原式=[4(a+b)+5(a-b)]2=(4a+4b+5a-5b)2=(9a-b)2.考点2：因式分解的综合题【例2】把多项式x3-2x2+x分解因式结果正确的是( )A.x(x2-2x)B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1)D.x(x-1)2答案:D点拨：x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2,故选D.本题要进行多步因式分解,首先提取公因式,然后再用公式.。
14.3.2.2 运用完全平方公式分解因式(共10张PPT)
-6-
第2课时
运用完全平方公式分解因式
-7-
10.正方形的面积是9a2+12ab+4b2( a>0,b>0 ),求该正方形的边长.
解:∵9a2+12ab+4b2=( 3a+2b )2,
∴1<c<5,∴c=4.
( 2 )x4+y4+2x2y2=( x2+y2 )2.
∴正方形的边长为3a+2b.
∴1<c<5,∴c=4.
x-2y-2 )2=0,∴xy=4,y=2,
)假设不彻底,请直接写出因式分解的最后结果 ( x-2 )4 .
4
2 2
2 2 4 4
4
|xy-4|+( x-2y-2 )2=0,求x2+4xy+4y2的值.
下面是某同学对多项式(
x2-4x+2 )( x2-4x+6 )+4进行因式分解的过程.
( 3 )该多项式因式分解时,既运用了平方差公式,又运用了完全平分公式.
C.9-6( m-n )+( m-n )2=( 3-m-n )2
D.-a2-b2+2ab=-( a-b )2
7.9( a-b )2+12( a2-b2 )+4( a+b )2 因式分解的结果是
( A )
A.( 5a-b )2
B.( 5a+b )2
C.( 3a-2b )( 3a+2b )
D.( 5a-2b )2
B.3( x2-2x+1 )
C.3( x-1 )2
D.( 3x-1 )2
5.( 贺州中考 )将多项式2mx2-8mx+8m分解因式的结果是 2m( x-2 )2 .
14.3.2因式分解完全平方公式课件八年级数学人教版上册
a
b
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
利用公式把某些具有特殊 形式(如平方差式，完全平 方式等)的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做 公式法因式分解.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
判断下列各式是完全平方式吗？
a2 4a 22 (a 2)2
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例4 计算：
(1) 1002–2×100×99+99²；
解：(1)原式=(100–99)² =1.
(2) 342＋34×32＋162.
(2)原式＝(34＋16)2 ＝2500.
利用完全平方 公式分解因式， 可以简化计算.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
2a(x y)2
先纳总结 巩固提升 小结回顾
例2 因式分解
（2） 16a4 8a2b2 b4 解：原式 (4a2 )2 2 4a2 b2 (b2 )2
(4a2 b2 )2 [(2a b)(2a b)]2 (2a b)2 (2a b)2
因式分解 步骤方法
先提公因式→一提 再用公式→二用 继续分解→三查
例2 因式分解
（5） ( p 1)( p 4) p 解：原式 p2 4 p p 4 p
p2 4p 4 ( p 2)2
无提无公式， 展开合并 再观察。
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例3 已知: a2+b2+2a–4b+5=0，求 2a2+4b–3的值.
解：∵a2+b2+2a–4b+5=0
∴ 2a2+4b–3
人教版数学八年级上册说课稿《14-3因式分解》(第2课时)
人教版数学八年级上册说课稿《14-3因式分解》（第2课时）一. 教材分析《14-3因式分解》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课是在学生已经掌握了整式的加减、乘法运算以及平方差公式的基础上进行教学的。
因式分解是初中学段数学的重要内容，也是后续学习代数式求值、解一元二次方程等知识的基础。
因式分解的意义在于将一个多项式转化为几个整式的乘积形式，这有助于简化运算，也便于找出多项式的根。
教材中通过引入多项式乘法，引导学生发现因式分解的方法，并逐步总结出常用的因式分解公式。
通过本节课的学习，学生将能够掌握因式分解的基本方法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整式的运算和平方差公式有一定的了解。
但是，因式分解作为一种基本的数学技巧，对学生来说还是有一定难度的。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解因式分解的意义，掌握常用的因式分解方法，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力和团队合作精神。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解因式分解的意义，掌握常用的因式分解方法。
2.教学难点：如何引导学生发现因式分解的方法，并能够灵活运用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动的教学方法，通过引导学生发现问题、分析问题、解决问题的方式，让学生在实践中掌握因式分解的方法。
同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习整式的加减、乘法运算和平方差公式，为学生引入因式分解的概念。
2.讲解：讲解因式分解的意义和常用的因式分解方法，引导学生发现和总结规律。
因式分解-人教版-数学八年级第十四章14.3第二课时-教案
第十四章整式的乘法和因式分解14.3 因式分解第二课时14.3.2 公式法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]掌握用平方差公式分解因式的方法，熟练运用平方差公式分解因式。
[2]会辨认完全平方式。
[3]掌握用完全平方公式分解因式的方法，熟练运用平方差公式分解因式。
1.2过程与方法：[1]通过对比学过的乘法公式，逆向思考出因式分解的方法，发展学生的逆向思维能力。
1.3 情感态度与价值观：[1]在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。
[2]让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]公式法分解因式。
2.2 教学难点[1]正确分别完全平方式，防止误用公式法。
[2]正确对应两个公式中的平方中的a和b。
3 专家建议学生刚刚学习过乘法公式，这一节属于对之前知识的进一步应用。
教师在教学过程中应该耐心面对学生的错误，并多举出实例使学生正确运用乘法公式进行因式分解4 教学方法观察思考——概念介绍——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好，上节课我们学习了因式分解的概念，还有用于因式分解的提公因式法，下面我们先来做几道小题，看看大家有没有忘掉，请大家看投影。
【生】（看投影回答问题）【师】提公因式法只是用来因式分解的一种方法，今天我们继续学习另外用于因式分解的方法。
【板书】第十四章整式的乘法和因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法6.2 新知介绍[1]平方差公式法【师】大家下面看投影（给出两个多项式：x2−4，y2−25），观察多项式，它们有什么特点？【生】多项式可以看成两个数的平方差的形式。
【师】没错，那大家回忆之前的平方差公式，你能把这些多项式分解因式吗？【生】我们学过平方差公式，现在给出的是平方差公式的右边，而平方差公式的左边就是因式分解的结果。
【师】没错。
整式的乘法和因式分解是反向的变形，因此，我们可以把平方差公式等号两边互换位置，就能得到：a2-b2 =(a+b)(a-b)。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第14章 整式的乘法与因式分解公式法(第2课时)教案
第十四章整式的乘法与因式分解14.3因式分解14.3.2公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式:a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32.解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是()（出示课件15）A.11B.9C.–11D.–9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b)·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a–4b+5=0，求2a 2+4b–3的值.（出示课件23）师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b–2)2=01020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩∴2a 2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a 2＋1B．a 2–6a＋9C．x 2＋5yD．x 2–5y 2.把多项式4x 2y–4xy 2–x 3分解因式的结果是()A．4xy(x–y)–x 3B．–x(x–2y)2C．x(4xy–4y 2–x 2)D．–x(–4xy＋4y 2＋x 2)3.若m＝2n＋1，则m 2–4mn＋4n 2的值是________．4.若关于x 的多项式x 2–8x＋m 2是完全平方式，则m 的值为_________．5.把下列多项式因式分解.(1)x 2–12x+36;(2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3)y 2+2y+1–x 2;6.计算：(1)38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327.分解因式:(1)4x 2＋4x＋1；(2)13x 2–2x＋3.小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8.(1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b 2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a 3b＋2a 2b 2＋ab 3的值．小聪:小明:参考答案：1.B2.B3.14.±45.解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6.解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17.解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2 (2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28.解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
苏科版数学八年级上册第十四章14.3.2公式法
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第1课时运用平方差公式因式分解学习目标：1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．重点：运用平方差公式进行因式分解.难点：综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.一、知识链接1.什么叫多项式的因式分解?2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？它们有什么关系？① a(x+y)=ax+ay；①ax+ay=a(x+y)3. 20162+2016 能否被2016整除？4.计算：（1）（a+5）（a－5）=___________；（2）（4m+3n）（4m－3n）=___________．二、新知预习试一试：观察以上计算结果，并根据因式分解与整式乘法是互逆运算，分解下列因式：（1）a2－25=___________；（2）16m2－9n=___________．做一做：分解因式a2－b2=____________.要点归纳：a2－b2=____________.即两个数的平方差，等于这两个数的_____与这两个数的______的________.三、自学自测填一填：(1)(a＋2)(a－2)＝_____________；a2－4=___________；(2)(5＋b)(5－b)＝______________;25－b2=___________；(3)(x＋4y)(x－4y)=______________;x2－16y2=___________.四、我的疑惑_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________一、要点探究探究点1：用平方差公式分解因式想一想：观察平方差公式a2－b2=（a+b）（a－b），它的项、指数、符号有什么特点？要点归纳：(1)左边是____次____项式，每项都是____的形式，两项的符号相反.(2)右边是两个多项式的____，一个因式是两数的____，另一个因式是这两个数的____．练一练：下列各式中，能用平方差公式分解因式的有()①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2；⑤1－14a2b2；⑥x2－4.A．2个B．3个C．4个D．5个方法总结:能用平方差公式分解因式的多项式具有以下特征：两数是平方，减号在中央．例1：分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.例2：分解因式：(1)5m2a4－5m2b4；(2)a2－4b2－a－2b.方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．例3：已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.例4：计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.针对训练1.下列因式分解正确的是( )A ．a 2＋b 2＝(a ＋b)(a ＋b)B ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)C ．－a 2＋b 2＝(－a ＋b)(－a －b)D ．－a 2－b 2＝－(a ＋b)(a －b)2.因式分解：(1)a 2－125b 2； (2)x －xy 2；(3)(2x ＋3y)2－(3x －2y)2； (4)3xy 3－3xy ；3.用简便方法计算：8.192×7－1.812×7.4.已知：|a-b-3|+（a+b-2）2=0，求a 2-b 2的值．二、课堂小结当堂检测 运用平方差公式分解因式 公式：a 2-b 2=______________.步骤：1.一提：提______；二套：套______；三查：检查每一个多项式是否都不能再分解因式.1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋92.分解因式(2x+3)2-x2的结果是（）A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（）A．-21 B．21 C．-10 D．104.把下列各式分解因式：(1) 16a2-9b2=_________________;(2) (a+b)2-(a-b)2=_________________;(3) 9xy3-36x3y=_________________;(4) -a4+16=_________________.5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____________.6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．8. (1)992-1能否被100整除吗？(2)n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除？第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时运用完全平方公式因式分解学习目标：1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．重点：掌握用完全平方公式分解因式.难点：灵活应用各种方法分解因式.一、知识链接1．前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？2．(1) 填一填：在括号内填上适当的式子，使等式成立：①(a＋b)2＝________；②(a－b)2＝________.③a2＋________＋1＝(a＋1)2；④a2－________＋1＝(a－1)2.（2）想一想：①你解答上述问题时的根据是什么？②第(1)①②两式从左到右是什么变形？第(1)③④两式从左到右是什么变形？二、新知预习1．观察完全平方公式：____________＝(a＋b)2；_____________＝(a－b)2完全平方公式的特点：左边：①项数必须是________；②其中有两项是________；③另一项是________．右边：________________________________________________.要点归纳：把a²+______+b²和a²-______+b²这样的式子叫作完全平方式.2．乘法公式完全平方公式与因式分解完全平方公式的联系是________．把乘法公式逆向变形为：a2＋2ab＋b2＝________； a2－2ab＋b2＝________.要点归纳：用完全平方公式因式分解，即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.三、自学自测1．下列式子为完全平方式的是( )A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2 C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．若x2＋6x＋k是完全平方式，则k＝________．3.填空：(1)x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²(2)m² -6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )²(3)a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )²4.分解因式：a2－4a＋4＝________．四、我的疑惑_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________二、要点探究探究点1：完全平方式例1：如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )A . 11 B. 9 C. -11 D. -9变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．探究点2：用完全平方公式进行因式分解议一议：(1)将一个多项式因式分解的一般步骤是什么？(2)应注意的事项有哪些？(3)分解因式的方法有哪些？要点归纳：（1）利用公式把某些具有特殊形式（如__________，__________等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（2）分解因式应根据多项式的特征，有公因式的一般先提_________,再套用公式，没有公因式的，则直接套用公式.分解因式应注意最后的结果中，多项式的每一个因式均不能再继续分解.例2：因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.例3：简便计算.(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.方法总结：在较为复杂的有理数运算中，通常要先观察式子的特征，利用因式分解将其变形，转化为较为简单的运算.例4：已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．.方法总结：此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质求出未知数的值，然后代入，即可得到所求代数式的值．例5：已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．1.下列式子中为完全平方式的是( )A．a2＋b2B．a2＋2a C．a2－2ab－b2D．a2＋4a＋42.若x2＋mx＋4是完全平方式，则m的值是________．3．分解因式：(1)y2＋2y＋1； (2)16m2－72m＋81.4．分解因式：(1)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9； (2)4xy2－4x2y－y3.A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________.5.把下列多项式因式分解.（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2.6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. （2）20142-2014×4026+20132.7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)2123 3x x-+.小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．。
课件《因式分解》精品PPT课件_人教版2
十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
人教版数学八年级上册教学设计《14-3因式分解》(第2课时)
人教版数学八年级上册教学设计《14-3因式分解》（第2课时）一. 教材分析《14-3因式分解》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课的主要内容是利用提公因式法分解因式。
学生在之前的学习中已经掌握了整式的乘法，包括提公因式法和多项式乘以多项式，为本节课的学习打下了基础。
本节课的内容对于学生来说具有一定的挑战性，需要他们能够灵活运用已学的知识，发现并总结因式分解的规律。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固和掌握因式分解的方法。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于整式的乘法有一定的了解。
他们在学习过程中，需要通过实例和练习，将已学的知识转化为自己的能力，从而理解和掌握因式分解的方法。
同时，八年级的学生正处于青春期的转折点，思维活跃，好奇心强，对于新知识有较强的求知欲，但也容易注意力不集中，需要教师通过丰富的教学手段和方法，激发他们的学习兴趣，引导他们积极参与课堂活动。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的概念，能够运用提公因式法分解因式。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳，培养学生发现和总结规律的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生积极参与课堂活动，合作学习的良好习惯，增强学生对数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：掌握因式分解的概念，能够运用提公因式法分解因式。
2.难点：发现并总结因式分解的规律，能够灵活运用提公因式法分解因式。
五. 教学方法采用问题驱动法、引导发现法、合作交流法等教学方法，引导学生积极参与课堂活动，通过观察、分析、归纳，发现和总结因式分解的规律，提高学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：准备好相关的教学材料，如PPT、黑板、粉笔等。
2.学生准备：预习相关内容，了解整式的乘法，准备参与课堂活动。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT或黑板，展示因式分解的定义和提公因式法，让学生初步了解因式分解的方法。
14.3《因式分解 公式法》(二)
a 2ab b a b 2 2 2 a 2ab b a b
2 2 2
完全平方式
熟知公式特征！ 用公式法正确分解因式关键是什么？ 完全平方式 a2 ±2a b + b2 = （ a ± b ） 2
(一数) 2 ± 2(一数)(另一数)+(另一数)2=(一数±另一数)2
- 版权所有-
3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。
解：由x +4x+y -2y+5=(x +4x+4)+(y -2y+1) =(x+2) +(y-1) =0得 x+2=0,y-1=0 ∴x=-2,y=1
-y -1 2 2 2 2 2 2
1 ∴x =(-2) = 2
- 版权所有-
分解因式：
1. x 8x 16
2
=-(x+4)
2
2. 4 x 2 x y 2 4 x x y =(3x+y)2
3.
ax 2a x a
2 2
3
=a(x+a)
2
- 版权所有-
把下列各式因式分解
解:原式=ax (x2-1)
=ax (x+1)(x-1)
（有公因式，先提公因式。） （因式分解要彻底。） - 版权所有-
课前复习：
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
(a b) a 2ab b
2
2
2
(a b) a 2ab b
2
2
2
- 版权所有-
-(x-y)
2
2
14.3.2 公式法 - 第二课时 运用完全平方公式因式分解
解：原式＝[a－(b＋c)]2＝(a－b－c)2.
师生活动：学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解
1.学生独立思考、合作交流，在前面学习利用平方差公式分解因式的经验的基础上，总结利用完全平方公式分解因式的经验．
经历对例题和变式的探究过程，加深因式分解的一般解题步骤，达到巩固知识的目的，培养学生分析问题、解决问题的能力.
课前预学任 务（前提测评内容）
上节课我们学习了运用平方差公式分解因式，同学们能解决下面的题目吗？
因式分解：81a4－16.
情境导入
出示目标
导学活动预设
教师活动
学生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入因式：
(1)m2－8mn＋16n2；(2)a2－2ab＋b2.
“以学为主’有效课堂范式”之课堂导学设计预案
课 题
14.3.2运用完全平方公式因式分解
授课时间
年 月 日
星 期
第 节
课标及教材解读
在学习本节课之前，已经学过了因式分解的有关概念和方法，特别是学过了运用平方差公式分解因式与本节课有类似之处，为本节课打下了基础．运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为后面分解二次三项式奠定了一定的基础．教学时注意类比平方差公式分解因式得出完全平方公式分解因式的意义，并分析完全平方式的特点．
(2)－x2＋4xy－4y2＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.
方法归纳：运用完全平方公式分解因式，被分解的多项式必须满足三个特点：(1)多项式为三项式；(2)其中有两项是平方项且符号相同；(3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍．
14.3 因式分解 第2课时 用平方差公式分解因式
(2)是4的倍数．理由：∵
＝8k＋4＝4(2k＋1)，∵k为非负整数，∴4(2k＋1)是4
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1、聪明的人有长的耳朵和短的舌头。 ——弗莱格 2、重复是学习之母。 ——狄慈根 3、当你还不能对自己说今天学到了什么东西时，你就不要去睡觉。 ——利希顿堡 4、人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。 ——B.V 5、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 ——洛 克 6、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。 ——阿卜· 日· 法拉兹 7、学习是劳动，是充满思想的劳动。 ——乌申斯基 8、聪明出于勤奋，天才在于积累 －－华罗庚 9、好学而不勤问非真好学者。 10、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 11、人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废 －茅以升 12、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦 －－屠格涅夫 13、成功＝艰苦劳动＋正确方法＋少说空话 －－爱因斯坦 14、不经历风雨，怎能见彩虹 －《真心英雄》 15、只有登上山顶，才能看到那边的风光。 16只会幻想而不行动的人，永远也体会不到收获果实时的喜悦。 17、勤奋是你生命的密码，能译出你一部壮丽的史诗。 1 8．成功，往往住在失败的隔壁！ 1 9 生命不是要超越别人，而是要超越自己． 2 0．命运是那些懦弱和认命的人发明的！ ２1．人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ ２2．世界上大部分的事情，都是觉得不太舒服的人做出来的． ２3．昨天是失效的支票，明天是未兑现的支票，今天才是现金． ２4．一直割舍不下一件事，永远成不了! ２5．扫地，要连心地一起扫！ ２6．不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力． ２7．当你停止尝试时，就是失败的时候． ２8．心灵激情不在，就可能被打败． ２9．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ ３0．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． ３1．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． ３2．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． ３3．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 ３4．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． ３5．为成功找方法，不为失败找借口． ３6．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 ３7．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ ３8．不一定要做最大的，但要做最好的． ３9．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ ４0．成功是动词，不是名词！ 20、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。
2018秋人教版八年级数学上册作业课件：14.3.2.2 运用完全平方公式分解因式 (共22张PPT)
D 12．下列各式分解因式错误的是( ) A．9－6(x－y)＋(x－y)2＝(3－x＋y)2 B．4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2＝(a＋2b)2 C．(a＋b)2－2(a＋b)(a－c)＋(a－c)2＝(b＋c)2 D．(m－n)2－2(m－n)＋1＝(m－n＋1)2
13．在实数范围内分解因式： (1)x3－2x＝__x_(_x_＋___2_)_(x_－____2_)_______； (2)x4－6x2＋9＝__(x_＋____3_)_2(_x_－___3_)_2____．
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．3 因式分解 14.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式分解因式
知识点1：完全平方公式
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．下列二次三项式是完全平方公式的是( )
A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16
C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16
2．已知x2＋16x＋k是完全平方公式，则常数k等于( A ) A．64 B．48 C．32 D．16
11．已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为14. (1)求此长方形的面积； (2)求ab3＋2a2b2＋a3b的值． 解：(1)∵a＋b＝8，∴a2＋2ab＋b2＝64，∵a2＋b2＝14，∴ab＝25， 答：长方形的面积为25 (2)ab3＋2a2b2＋a3b＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ ab(a＋b)2＝25×82＝1600
易错提示： 1．对完全平方公式的特征理解不透而出错． 2．分解不彻底而出错．
9．分解因式： (1)9＋12m＋4m2； 解：原式＝(3＋2m)2 (2)4x2＋y2－4xy； 解：原式＝(2x－y)2 (3)(a＋b)2－6(a＋b)＋9. 解：原式＝(a＋b－3)2
八年级上册 14.3因式分解(3个课时)
理解平方差公式
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什
么？
（1） x2+y2；
×
（2） x2 -y2；
√
（3） -x2+y2； √
（4） -x2 -y2． ×
理解平方差公式
（1）平方差公式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项 式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．
（1） a2 - 1 b2； 25
（3） -1+36b2；
（2）9a2 -4b2； （4）（2 x+y）2 -（x+2 y）2．
综合运用平方差公式
例2 分解因式： （1）x4 -y 4；（2）a3b-ab.
解：（1） x4 -y4 =（x2+y2）（x2 -y2） =（x 2 +y 2）（x+y）（x-y）；
解：（2） -x2+4xy-4 y2 =-（x2 -4xy+4 y2） =-（x-2 y）2．
应用完全平方式
练习1 将下列多项式分解因式： （1） x2+12x+36； （2） -2 xy-x2 -y 2； （3） a 2 + 2a+1； （4）4x2 -4x+1．
综合运用完全平方式
例2 分解因式： （1）3ax 2+6axy+3ay2 ； （ 2）（a+b）2-1（2 a+b）+36 ．ห้องสมุดไป่ตู้
应用完全平方式
例1 分解因式： （1） 16x2+24x+9 ； （ 2）-x2+4xy-4 y 2 ．
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课
时
学 试一试：举一个要同时用两种方
练
法进行因式分解的多项式。
1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提 出这个公因式．
2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考 虑用公式分解因式．
3．第一步分解因式以后，如果所含的多项式
倍 速
还可以继续分解， 则需要进一步分解因式．直 到每个多项式因式都不能分解为止．
倍 速 课 时 学 练
例1 分解因式： （1）4x2-9
（2）(x+p)2-(x+q)
倍 速 课 时 学 练
例2 分解因式:
(1)x4-y4;
(2) a3b – ab.
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样 就可以利用平方差公式进行因式分解 了.(2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再 进一步分解.
14.3因式分解 ——平方差公式
人教新课标
问题1：你能将a2-b2分解因式吗？
a2-b2=(a+b)(a-b)．
如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接
倍 速 课
写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运 用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解
时
因式
学
练
观察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、 符号有什么特点？
课
时
学
练
倍 速 课 时 学 练
倍 解:(1) x4-y4
速
课 时
= (x2+y2)(x2-y2)
学 练
= (x2+y2)(x+y)(x-y)
(2) a3b-ab =ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1).
练一练：把下列各式分解因式 (1) (2a b)2 (2a b)2
(2)1 6a4 1
倍 速
(3)2b2 8