土体本构模型

应变也可用三个主应变分量表示，矩阵形式
i 1 2 3 T
§1.应力和应变
3. 八面体应力和应变
将坐标系的三个轴顺着三个主应力方向放， 分别以1，2，3表示，如图5-2所示。再对这个坐标 系的8个挂限分别作等倾面。8个挂限的等倾面围成 了一个正八面体。这些等倾面叫八面体面。 根据力的平衡关系可以推得正八面体面上的正应力 和剪应力分别为
x y z xy yz zx T
§1.应力和应变
（2）张量表示法
如果某些量依赖于坐标轴的选取，并且，当 座标变换时，它们的变换具有某种指定的形
ij
式，则这些量总称为张量。一点的应力分量 就总称为应力张量。
图5-1
ij
yxx
xy y
xz yz
ij
zx zy z
接近
OCT
1 3
1 2
3
OCT
2 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
§1.应力和应变
4. 球应力、偏应力及相应应变
在土体本构模型理论中，常常也用球应力、偏应力以及μ或θ作为 应力分量。
球应力也称为平均正应力以p表示
p
1 3
1
2
3
1 3
(
x
y
z
)
偏应力又叫广义剪应力，以q表示
相应地，也有应变罗德参数
＝
2
2－1－ 1－ 3
3
图5-3
§1.应力和应变
5. 应力不变量
不随坐标轴的选取而改变
第一应力不变量： 第二应力不变量：
I1 1 2 3
I 2 1 2 2 3 3 1
第三应力不变量：
I 3 1 2 3
此外，还有下面两个偏应力不变量，它们须与第一应力不变量Ｉ１
个）应力分量来表示，即3个正应力分量
，3个剪应力分量
写
成矩阵 x形,式y 为, z
xy , yz , zx
x y z xy yz zx T
应力偏量
x p
y p
z p xy
yz
T xz
偏应力
源自文库一）应力和应变分量的几种表示方法 1.一般分量
（1）矩阵或向量表示法 图5－1中表示了单元体上的这6个应力分量。相应地，也有6个应变分量， 以矩阵表示为
在进行公式推导时，一般尽量用一种表示方法：矩阵或张 量，不宜混用
§1.应力和应变
（2）张量表示法
偏应力张量
Sij
x
yx
p
zx
xy y p
zy
xz yz
z p
注意：在进行公式推导时，一般尽量用一种表示方法：矩阵或张量，不宜 混用
§1.应力和应变
注意：
在弹性力学中，法向应力和应变以拉为正，压 为负；而土体一般不能受拉，土力学中讨论的地基 应力、土压力等，都是以压为正，拉为负。因此， 土力学中，应力应变分量的正负规定就与弹性力学 相反，即正面上的负向应力为正，负面上的正向应 力为正。不仅正应力如此，剪应力也如此，以保持 一致，并能套用弹性力学公式。
2＝ 3
1 3
§1.应力和应变
可以推知相应的应变分量
体积应变： 偏应变：
s
v
2 3
1
2
3
(1 2 )2 ( 2 3 )2 (1 3 )2
样其的中变形，表s有示了复杂受力状态下的剪切变形。对于轴对称三轴试
2＝ 3
v 1 2 3
s
2 3
1
3 1
v
3
§1.应力和应变
图5-2
OCT
1 3
1 2
3
OCT
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
§1.应力和应变
OCT
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
剪应力τOCT作用在八面体面上还有个方向问题。这决定于中主应力
大主应力 还是小2主应力 。
1
3
与应力相应，还有八面体面上的应变，正应变和剪应变分别为
本构关系：材料的应力~应变(~时间)关系
本构模型：反映材料的应力－应变(－时间)关系的数学模型，即数学表 达式。当然，这种数学表达式可能很复杂，而且包括一系列的数学表达 式。
E
(一）应力和应变分量的几种表示方法 1.一般分量
（1）矩阵或向量表示法
土体中一点的应力状态，可以用处于该点的正六面体单元的表面上的6个（9
§1.应力和应变
2. 主应力应变分量
在正六面体单元中可以找到3个互相垂直的面，其上剪应力为0， 只作用有正应力。这样的面叫正应力面，所作用的正应力叫主应力。 3个面上的主应力按大小排列，分别为大主应力 、中主应力 和 小主应力 。
1
2
3
应力状态表示方法之一：主应力＋方向余弦 主应力与坐标轴的选择无关，
J相2 结16 合1 形 2 成2 三 2个独3 2 立 的3 应1力2 分量：
J3
1 27
2 1
2
3 2 2
3
1 2 3
1
2
第二偏应力不变量 ： 第三偏应力不变量 ：
表示一点应力状态的方法？？
§1.应力和应变
（二）应力空间和应力路径
1．应力和应变空间
为了表示应力状态，表示各应力分量的数值，常常以应力分量为坐标轴形 成一个空间，叫做应力空间。该空间内的一点的几个坐标值就是相应的应力 分量。
球应力和偏应力，以及相应的应变分量，实际上与八面体应力和应 变是等效的，仅仅是系数不同。但在分析能量时，要简单得多。可以 推得：
体积变形能 ： 形变能 ：
Wv p v
Ws q s
§1.应力和应变
对于一组确定的p和q，可以有许多种主应力分量的组合，解是 不确定的。因此，要有第三个分量。第三个分量常取应力罗德
如果应力分量取三个主应力 ， 和 ，以三个主应力分量为坐标轴构
成一个直角坐标系，叫主应力空间。这个空1间内一2 点有三3个坐标值，就代表
了实际土体中一点的某种应力状态。图5-4中的M点代表了应力状态 ， 和。
（Lode）参数
＝
2－ 3 － 1
1－ 3
2
＝
2
2－ 1－ 1－ 3
3
式中 2－， 3 1， 2 为 1三个应3 力摩尔圆的直径，见图5-3
还有一个参数b也反映了中主应力接近大主应力的程度。
若 2＝， b1 =1；若
,b=20＝ 3
b 2 3 1
1 3
2
§1.应力和应变
q 1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
注意：此式也可用6个应力分 量表示
注意：这里的偏应力和Sij的区别，建议这里不用偏应力
§1.应力和应变
p 和q也可以用八面体应力来表示，如下
p＝
OCT
q
3 2
OCT
ｑ反映了复杂应力状态下受剪的程度，因此常用来表示剪应力。当 时，如轴对称的三轴仪试样受力情况，ｑ＝