第3章远期与期货定价

两式消除掉S后，
（3.3）
仍然采用无套利定价法给支付已知现金收益资产的远 期合约定价 。构建如下两个组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke –r (T-t) 的 现金 。
组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限 为从当前时刻到现金收益派发日 、本金为I 的负债。
组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 在组合B中，由于标的证券的现金收益刚好可以用 来偿还负债的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等 于一单位标的证券。 因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即
为：Ke-r（T－t）er（T－t）=K
在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来
一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一
单位标的资产。根据无套利原则：终值相等，则其现值
一定相等，这两种组合在t时刻的价值必须相等。
即：
f+ Ke-r（T－t）=S
f=S－Ke-r（T－t）
（3.1）
该公式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于
标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现 Ser（T－t）-K的利润。
远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格 之间的关系。
设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交 割的远期价格, r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻 到期的无风险利率。对于无收益资产而言，从无收益 资产的现货-远期平价公式可知,
入格F，市场上就存在 着套利机会。
注意，这里所谓的完美市场，就是我们在本章第一节中所 讨论的基本假设成立的市场。
通俗地说，由于远期价格是A未来可获得的现金收入， 一个合理的远期价格应使得A现在出售现货和未来出售 远期所获得的确定性收入相等，无风险利率 r 实际上反 映了A现在不出售而在未来出售标的资产所承担的确定 性成本。推而广之，I 和q 则反映了A现在不出售而在未 来出售标的资产所能获得的确定性收益，因此应该从其 收到的远期价格中扣减。 我们可以用持有成本（Cost-of-Carry）的概念来概括远 期价格与现货价格的关系。持有成本的基本构成如下：
6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这 意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和 空头地位。
本章将要用到的符号主要有：
T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。 t：现在的时间，单位为年。变量T 和t 是从合约生效之 前的某个日期开始计算的，T-t 代表远期和期货合约中 以年为单位的距离到期的剩余时间。
(3.4) 从组合的角度考虑，式（3.4）说明一单位支付已知 现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和 (I+Ke –r (T-t))单位无风险负债构成。
根据远期价格的定义，我们可从式
中
求得：
（3.5）
这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。式 （3.5）表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标 的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。
持有成本＝保存成本＋无风险利息成本－标的资产在合 约期限内提供的收益
举例来说，不支付红利的股票没有保存成本和收益，所 以持有成本就是利息成本 r ；股票指数的资产红利率为 q，其持有成本就为 r-q；货币的收益率为rf ，所以其持 有成本是 r-rf；对黄金和白银等投资性商品而言，若其 存储成本与现货价格的比例为u，则其持有成本就为r＋ u；依此类推。
。
如果
，即交割价格低于远期理论价格。则
套利者可以进行反向操作：借入标的资产卖掉，得到现
金收入S以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为K
的远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收入
，同时付出现金F换得一单位标的证券，用于归还标的
证券的原所有者，并把该标的证券在T-t期间的现金收
益的终值
同时归还原所有者。这样，该套利者
例如，为了给无收益资产的远期合约定价，我们构建如 下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的 现金；
组合B：一单位标的资产。
组 合 A
远期 合约
现金
组 合 标的资产
B
在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，
投资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因
－ 在远期合约签订以后，交割价格已经确定，远 期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定等于交割 价格。
类似地，在期货合约中，我们定义期货价格（Futures Prices）为使得期货合约价值为零的理论交割价格。
但值得注意的是，对于期货合约来说，一般较少谈及“ 期货合约价值”这个概念。基于期货的交易机制，投资 者持有期货合约，其价值的变动来源于实际期货报价的 变化。由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因 此期货合约价值在每日收盘后都归零。
为了证明无收益资产的现货-远期平价定理 ，我们用反 证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。
若K>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格的终值
。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r 借入S现
金，期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时
卖出一份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻
，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金
消费性资产则是指那些投资者主要出于消费目的而持
有的资产，如石油、铜、农产品等。对于消费性资产
从直觉上理解，假设标的资产无收益，投资者A计划出售
一单位标的资产，以下两种方法应该是等价的：
1.在当前t时刻卖出一份远期价格为F的远期合约[1]，合约到
期T时刻交割必定能获得F；
2.在当前t时刻立刻出售获得S，并以无风险利率r贷出，这
样在T时刻可以获得确定性收入
。
由于t时刻两种投资的价值都为S，T时刻的两种确定性收
因此在t时刻两个组合的价值也应相等，即：
（3.6） 根据远期价格的定义，我们可根据式（3.6）算出支付已 知收益率资产的远期价格：
（3.7） 这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价公式。 式（3.7）表明，支付已知收益率资产的远期价格等于按 无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻 的终值。
为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下 的：
1．没有交易费用和税收。 2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 。
3．远期合约没有违约风险。 4．允许现货卖空。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动， 从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有 套利机会下的均衡价格。
在T时刻可实现无风险利润
。
为了给支付已知收益率资产的远期定价，我们可以构建
如下两个组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为
的现
金；
组合B：
单位证券并且所有收入都再投资于该证
券，其中q 为该资产按连续复利计算的已知收益率。
组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 组合B由于获得的红利收入全部都再投资于该证券，拥 有的证券数量随着获得红利的不断发放而增加，所以在 时刻T，正好拥有一单位标的证券。
标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一
单位无收益资产远期合约多头等价于一单位标的资产多
头和Ke-r（T－t）单位无风险负债的资产组合。
由于远期价格就是使远期合约价值为零的交割价格 ， 即当 =0时， = 。据此可令式（3.1）中的 =0，则
(3.2)
这就是无收益资产的现货-远期平价定理（SpotForward Parity Theorem），或称现货期货平价定理（ Spot-Futures Parity Theorem）。
第3章远期与期货定价
远期价值是指远期合约本身的价值。关于远期 价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种 情形。
－ 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而 且合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约 ，多空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合 约时等于零。
－ 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变 化，多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化 而变化。
3. 存在卖空限制的时候，因为卖空会给经纪人带来很大 风险，所以几乎所有的经纪人都扣留卖空客户的部分所 得作为保证金。假设这一比例为X，那么均衡的远期和 期货价格区间应该是：
如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间应该 是：
完全市场可以看成是
的特殊情况。
本书的讨论焦点是金融标的资产的衍生产品，金融标的 资产属于投资性资产。
远期价格是指使远期合约签订时价值为零的交割价格。 远期价格是理论上的交割价格。关于远期价格的讨论也 要分远期合约签订时和签订后两种情形。
－ 一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交 割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等于这个理 论上的远期价格，该远期合约价值对于多空双方来说就 都不为零 ，实际上隐含了套利空间。
所以，如果我们用c表示持有成本，远期价格就为:
（3.8）
相应地：
（3.9）
1. 存在交易成本的时候，假定每一笔交易的费率为Y， 那么不存在套利机会的远期价格就不再是确定的值， 而是一个区间：
2. 借贷存在利差的时候，如果用rb表示借入利率，用rl 表示借出利率，对非银行的机构和个人，一般是rb>rl 。这时远期和期货的价格区间为：
所谓投资性资产是指投资者主要出于投资目的而持有的 资产，如股票、债券等金融资产和黄金、白银等资产。
－ 由于投资性资产的投资决策不受消费等其他目的的影响，
投资者所关注的是金融资产中所蕴涵的风险收益特征而非金融产品 本身，因此标的资产及其期货之间存在高度的可替代性，只要相对 价格水平不合理，投资者随时可在这两者之间进行转换。所以，在 这样的市场上，只要没有其他的制度制约套利行为，期货的定价就 成为一个纯粹的风险收益问题，相应地无套利原则和持有成本模型 就成为远期定价的基本原理。
反证法来证明：