六年级奥数(组合图形的面积)ABC
小学奥数图形的面积
直线型面积计算（1）对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质：【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BA E BA【分析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴S S AEH BEH =V V ．同理，S S BFH CFH =V V ，S =S CGH DGH V V ，∴11S S 562822==⨯=阴影长方形ABCD （平方厘米）．［铺垫］你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴2个面积相等的三角形； ⑵3个面积相等的三角形； ⑶4个面积相等的三角形．［分析］ ⑴如右图，D 、E 、F 分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；CBAEA B CFCB A①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如BCD ACD S S ∆∆=； 反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD ．DC BA⑵如右图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点；答案不唯一；ED A BC FC BADGDA BC⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考．(5)(4)(3)(2)(1)【例 2】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？EDCB AEDC B A【分析】 连接CE ．∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S ∆∆=．又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ∆∆∆===．【例 3】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？ECBA 【分析】 ∵3CE AE =，∴4AC AE =,4ADC ADE S S ∆∆=;又∵2DC BD =,∴32BC DC =,361202ABC ADC ADE S S S ∆∆∆===（平方厘米）．［铺垫］如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？乙甲E CBAABCDE［分析］ 连接AD ．∵3BE =,6AE =，∴13BE AB =,13BDE ABD S S ∆∆=．又∵4BD DC ==,∴12ABD ABC S S ∆∆=,∴1136BDE ABD ABC S S S ∆∆∆==,∴15S S =乙甲．［拓展］如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，6AD =厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBAFE CBA［分析］ ∵F 是AC 的中点,∴12ABF ABC S S ∆∆=，同理12BEF ABF S S ∆∆=，∴111866442BEF ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=（平方厘米）．【例 4】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB A AB CDEF【分析】 本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）．连接AE 、CD ．∵S 1S 1S 1ABC ABC DBC ==V V V ，， ∴S 1DBC =V ．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．［拓展］如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH［分析］ 连接BD .设1DCB S S =V ，2DAB S S =V ∵CB BF =，∴2CDF CDB CDB CB BFS S S CB∆∆∆+==,又∵DC CG =,∴12CFG CDF S S S ∆∆==，同理22AEH S S ∆=， ∴2CFG AEH ABCD S S S ∆∆+=连接AC ，同理2HDG BEF ABCD S S S ∆∆+=∴5EFGH CFG AEH HDG BEF ABCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆=++++=，111355ABCD EFGH S S ==（平方米）．［拓展］如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F E D CA F ED CA［分析］ 连接对角线AE ．∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==X∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== ∴58BE DE DB DE DE -==，12CE FE CF EF EF -== ∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEF ADB ACF CBE S S S S S ∆∆∆∆=---=X ．［拓展］如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G［分析］ 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AED ABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V ，所以12AFD S =V ．因为16AFD ABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 5】 （第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．BC【分析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF FC =．所以A 到CD 的距离与E 到CD 的距离相等，即AE 与CD 平行，四边形ADCE 是平行四边形，阴影部分的面积=平行四边形ADCE 的面积的12，所以阴影部分的面积=乙的面积2⨯．从而阴影部分的面积23212.85=⨯=（平方厘米）．［拓展］如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．B［分析］ 因为BE EC =，2CF FD =，所以14ABE ABCD S S =V 四边形，16ADF ABCD S S =V 四边形．因为2AD BE =，所以2AG GE =，所以11312BGE ABE ABCD S S S ==V V 四边形，2136ABG ABE ABCD S S S ==V V 四边形．同理可得，18ADH ABCD S S =V 四边形，124DHF ABCD S S =V 四边形．因为12BCD ABCD S S =V 四边形，所以空白部分的面积111112()21224683ABCD ABCD S S =--++=四边形四边形，所以阴影部分的面积是13ABCD S四边形． 12:1:233=，所以阴影面积与空白面积的比是1:2．【例 6】 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．GFECB AGFECB A【分析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接BE ．（我们通过ABE V 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．）∵在平行四边形ABCD 中，12ABE S AB AB =⨯⨯V 边上的高，∴1S S 2ABG ABCD =V W （也就是等积变换的重要依据③的特殊情况）．同理，1S S 2ABE AEGF =V Y ，∴平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等．［拓展］如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？A BGC E F DABGCEF D［分析］ 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG .（我们通过ABG V 把这两个长方形和正方形联系在一起）．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯V 边上的高，∴1S S 2ABG ABCD =V W （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，1S S 2ABG EFGB =V ．∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=（厘米）．【例 7】 如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，求图中三角形BFD 的面积为多少平方厘米？HGFED C BAHG FED C BA【分析】 连接CF ．∵BD ，CF 都是正方形的对角线∴45DBC FCE ∠=∠=︒，BD ∥CF ．∴BFD ∆与BCD ∆同底等高，11010502BFD BCD S S ∆∆==⨯⨯=(平方厘米) ．【例 8】 （03年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．AA【分析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD （见右上图），可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428⨯÷=．［拓展］（小学数学夏令营五年级组试题）如图，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，已知三角形AFH 的面积为6平方厘米，求三角形CDH 的面积．［分析］ 通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用“四边形ABCD 和四边形DEFG 是正方形”这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形HDC 与三角形AFH 面积相等，也是6平方厘米．【例 9】 如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若1ADE S =V ，求BEF V 的面积．AB CDEFABCDEF［分析］ 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想.连接AC ．∵AB ∥CD ，∴ADE ACE S S =V V ． 同理AD ∥BC ，∴ACF ABF S S =V V ．又ACF ACE AEF S S S =+V V V ，ABF BEF AEF S S S =+V V V ，∴ ACE BEF S S =V V ，即 1BEF ADE S S ==V V ．【例10】 （小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，ABCD 是74⨯的长方形，DEFG 是102⨯的长方形，求三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差． 【分析】 直接求出三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差，不太容易做到．如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了．法1：连结BE （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上三角形BEO ，则原来的问题转OA BCD E F G OA BC D E FG法2：连结CF （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上三角形CFO ，则原来的问题转化为求三角形BCF 与三角形ECF 的面积之差．所求为4(107)22(107)23⨯-÷-⨯-÷=．法3：延长BC 交GF 于H （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上梯形COFH ，则原来的问题转化为求三角形BHF 与矩形CEFH 的面积之差． 所求为(42)(107)22(107)3+⨯-÷-⨯-=．法4：延长AB ，FE 交于H （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上梯形BHEO ，则原来的问题转化为求矩形BHEC 与直角三角形BHF 的面积之差．所求为4(107)(42)(107)23⨯--+⨯-÷=．【例11】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？BE【分析】 三角形ABC 的面积+三角形CDE 的面积(133549)+++=长方形面积+阴影部分面积；又因为三角形ABC 的面积=三角形CDE 的面积12=长方形面积，所以可得：阴影部分面积13354997=++=．1． 如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【分析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S =V V ，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯=V V Y (平方厘米)．2． 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？A BCD EA BCDE【分析】 连接BE .∵13AE EC = ∴13ABE ABC S S ∆∆=.又∵15AD AB =∴11515ADE ABE ABC S S S ∆∆∆==，∴1515ABC ADE S S ∆∆==.3． 两个正方形组成右图所示的组合图形．已知组合图形的周长是52厘米，4DG =厘米，求阴影部分的面积．A【分析】 组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG 部分重合了．用组合图形的周长减去DG ，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于(524)316-÷=（厘米）．又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长(164)210=+÷=（厘米），小正方形边长(164)26=-÷=（厘米）．阴影部分面积410266238BDG BFG S S =+=⨯÷+⨯÷=V V （平方厘米）．HO A BCD E FGH OA B CD E FG4． 在右图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积．［分析］ 因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10平方厘米，所以平行四边形ABCD 的面积等于10821050⨯÷+=平方厘米．5． 右图中，4CA AB ==厘米，三角形ABE 比三角形CDE 的面积大2平方厘米，求CD 的长．ABCD E 【分析】 连结CB ．三角形DCB 的面积为44226⨯÷-=平方厘米，6243CD =⨯÷=厘米．直线型面积计算（2）在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDOba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．模型三：相似三角形性质：GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形【例 9】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【分析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 10】 (2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB ∥CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB V 与BOC V 的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OABCD 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOB BOC S S a ab ==V V ，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOB DOC S S a b ===V V ，所以49DOC S =V (平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为25353549144+++=(平方厘米)．［铺垫］梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B CD［分析］ 根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOB BOC S S ab b ==V V ，可以求出:2:3a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AOD BOC S S a b ===V V ．通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．【例 11】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABC DOH GA B C D O【分析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种“不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个“不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==， ∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．【例 12】 在边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，2DF FC =．求四边形ABGD 的面积．ABCDE FGABCDE FG【分析】 题目要求四边形ABGD 的面积，可以发现这个四边形是个“不良四边形”，需要对它进行改造．通常在一个四边形中画辅助线，会想到画对角线，又注意到E 、F 都是三等分点，如果连接EF ，因为EF ∥BD ，则可以构造一个梯形，从而应用梯形蝴蝶定理快速求解．因为2BE EC =，2DF FC =，所以:3:1BD EF =．根据梯形蝴蝶定理可以知道，等腰梯形BDFE 四部分面积比为1:3:3:9；而等腰梯形BDFE 的面积为：111141122339⨯⨯-⨯⨯=，所以9113394BDG BDFE S S =⨯=+++V ，得11311244ABGD ADB BDG S S S =+=⨯⨯+=V V ．【例 13】如图，正方形ABCD 面积为1，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．【分析】 因为M 是AD 边上的中点，所以12AM =，可得34AMCB S =梯形，由于:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=V V V V （）（），所以阴影部分面积占梯形面积的22412249+=+++，所以341493S =⨯=阴影．【例 14】如图，在长方形ABCD 中，6AB =，2AD =，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．DD【分析】 如图，连接DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为26322⨯÷÷=．由于:1:3EF DC =，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEO EFO S S =V V ，所以34DEO DEF S S =V V ，而2DEF ADE S S ==V V ，所以32 1.54DEO S =⨯=V ，阴影部分的面积为2 1.5 3.5+=．相似三角形性质【例 7】 在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO V 的面积是ABO V 面积的几倍？ABCDO EFABCO【分析】 连接BC ，易知OA ∥EF ，根据相似三角形性质，可知::OB OD AE AD =，且::1:2OA BE DA DE ==，所以CDO V 的面积等于CBO V 的面积；由1124OA BE AC ==可得3CO OA =，所以3CDO CBO ABO S S S ==V V V ，即CDO V 的面积是ABO V 面积的3倍．【例 8】 如图，线段AB 与BC 垂直，已知4AD EC ==，6BD BE ==，那么图中阴影部分面积是多少？A BCDA BDA BD【分析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO ，则图形关于BO 对称，有ADO CEO S S =V V ，DBO EBO S S =V V ，且:4:62:3ADO DBO S S ==V V ． 设ADO V 的面积为2份，则DBO V 的面积为3份，直角三角形ABE 的面积为8份．因为610230ABE S =⨯÷=V ，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415÷⨯=．解法二：连接DE 、AC ．由于4AD EC ==，6BD BE ==，所以DE ∥AC ，根据相似三角形性质，可知::6:103:5DE AC BD BA ===，根据梯形蝴蝶定理，()()22:::3:35:35:59:15:15:25DOE DOA COE COA S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以()():1515:915152515:32ADEC S S =++++=阴影梯形，即1532ADECS S=阴影梯形； 又11101066=3222ADEC S =⨯⨯-⨯⨯梯形，所以151532ADEC S S ==阴影梯形．【例 9】 右图中正方形的面积为1， E 、F 分别为AB 、BD 的中点，13GC FC =．求阴影部分的面积．AB EABE【分析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作FH 垂直BC 于H ，GI 垂直BC 于I ．根据相似三角形性质，::1:3CI CH CG CF ==，又因为CH HB =，所以:1:6CI CB =，即():61:65:6BI BC =-=，所以115522624BGE S =⨯⨯=V ．【例10】 如图，长方形ABCD 中，E 为AD 的中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，OE 垂直AD 于E ，交AF 于O ，已知5AH cm =，3HF cm =，求AG ．ABC DEFGHO【分析】 由于AB ∥DF ，利用相似三角形性质可以得到::5:3AB DF AH HF ==，又因为E 为AD 中点，那么有:1:2OE FD =， 所以3:5:10:32AB OE ==，利用相似三角形性质可以得到::10:3AG GO AB OE ==， 而()()1153422AO AF cm ==⨯+=，所以()104041313AG cm =⨯=．【例11】 ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿平方厘米．BB【分析】 注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．设G 、H 分别为AD 、DC 的中点，连接GH 、EF 、BD ．可得1=4AED ABCD S S V 平行四边形，对角线BD 被EF 、AC 、GH 平均分成四段，又OM ∥EF ，所以23::2:344DO ED BD BD ==，()()::32:31:3OE ED ED OD ED =-=-=，所以 11117263434AEO ABCD S S =⨯=⨯⨯=V 平行四边形(平方厘米)，212ADO AEO S S =⨯=V V (平方厘米)．同理可得6CFM S =V 平方厘米，12CDM S =V 平方厘米． 所以 366624ABC AEO CFM S S S --=--=V V V (平方厘米)， 于是，阴影部分的面积为24121248++=(平方厘米)．练习5． (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ABCDO【分析】 根据蝴蝶定理，ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积，所以35AO CO =，又1AO =，所以53CO =．6． 如图，梯形ABCD 中，AOB ∆、COD ∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．ODC BA 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，22::4:9AOB ACOD S S a b ==V V ，所以:2:3a b =，2:::3:2AOD AOB S S ab a b a ===V V ，31.2 1.82AOD COB S S ==⨯=V V ，1.2 1.8 1.82.77.5ABCD S =+++=梯形．7． 已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影部分的面积．【分析】 已知:2:1AF FC =，且EF ∥BC ，利用相似三角形性质可知::2:3EF BC AF AC ==，所以23EF BC =，且:4:9AEF ABC S S =V V ．又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么12EG BC =，12::3:423EG EF ==，所以:1:4GF EF =，可得:1:8CFG AFE S S =V V ，所以:1:18CFG ABC S S =V V ，那么18CFG a S =V ．8． 在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【分析】 根据相似三角形性质可知::1:2EF AF BE AD ==，所以33ABE BEF S S ==V V (平方厘米)，那么412ABCD ABE S S ==W V (平方厘米)．。
举一反三--六年级奥数面积计算(2)
14、如图，∠1＝15度，圆的周长 是62.8厘米，平行四边形的面积为 100平方厘米。求阴影部分的面积 （得数保留两位小数）。
组合图形的面积(2)
15、如图所示，三角形ABC的面积是 31.2平方厘米，圆的直径AC＝6厘米， BD∶DC＝3∶1。求阴影部分的面积。
16、如图所示，求阴影部分的面积 （单位：厘米。得数保留两位小数）。
组合图形的面积(2)
17、如图所示，求阴影部分的面积 （单位：厘米。得数保留两位小数）。
18、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
6、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
组合图形的面积(2)
7、计算下面图形中阴影部分的面积 （ （单位：厘米，正方形边长4）。
组合图形的面积(2)
9、如图，两圆半径都是1厘米，且 图中两个阴影部分的面积相等。求 长方形ABO1O的面积。
六年奥数——举一反三 面积计算（二）
组合图形的面积(2)
1、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
2、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
组合图形的面积(2)
3、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
4、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
组合图形的面积(2)
5、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
10、圆的周长为12.56厘米，AC两 点把圆分成相等的两段弧，阴影部 分(1)的面积与(2)的面积相等，求平 行四边形ABCD的面积。
组合图形的面积(2)
11、如图，直径BC＝8厘米，AB＝AC， D为AC的中点，求阴影部分的面积。
六年级奥数题圆及组合图形(含分析答案解析)
ED C B A 六年级奥(Ao)数题圆及组合图形(含分析答案解析)一、填空(Kong)题1.算(Suan)出圆内正方形的面积为 .2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影(Ying)部分面积是 平(Ping)方厘米.3.一个(Ge)扇形圆心角,以扇形的半(Ban)径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 .4.如图所(Suo)示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数)5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米..积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积为 .6厘米27.扇形的面积是31.4平方厘(Li)米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度(Du).8.图中扇(Shan)形的半径OA =OB =6厘(Li)米., AC 垂(Chui)直OB 于(Yu)C ,那么(Me)图中阴影部分的面积是 平方厘米.9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米.二、解答题11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率)6 CB AO 4512 15 2012.如图,半(Ban)圆S 1的面积(Ji)是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那(Na)么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米?13.如图,已知(Zhi)圆心是O ,半(Ban)径r =9厘(Li)米,,那么(Me)阴影部分的面积是多少平方厘米?14.右图中4个圆的圆心是正方(Fang)形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?S 2S 1 CB A0 1 2———————————————答(Da) 案——————————————————————1. 18平(Ping)方厘米.由图示可知,正方形两条对角线的长都是6厘米(Mi),正方形由两个面积相等的三角形构成.三角形底为6厘米,高为3厘米,故正方形面积为(平(Ping)方厘米).2. 1.14平方厘(Li)米.由图示可知,图中(Zhong)阴影部分面积为两个圆心角为的扇形面积(Ji)减去直角三角形的面积.即(平方厘(Li)米).3. 125.6平方厘米.由已知条件可知圆的半径的平方为120平方厘米.故扇形面积为(平方厘米).4. 3.09厘米.边结BE 、CE ,则BE=CE=BC=1(厘米),故三角形BCE 为等边三角形.于是.BE=CE=(厘米).于是阴影部分周长为(厘米).5. 32.8厘米.从图中可以看出阴影部分①加上空白部分的面积是半圆的面积,阴影部分②加上空白部分的面积是三角形ABC 的面积.又已知①的面积比②的面积小28平方厘米,故半圆面积比三角形ABC 的面积小28平方厘米. 半圆面积为(平方厘米),三角形ABC 的面积为628+28=656(平方厘米).BC 的长为(厘米).⌒⌒A10DCB OE 6.平方(Fang)厘米.将(Jiang)等腰直角三角形补成一个正方形,设正方形边长为x 厘米,则圆(Yuan)的半径为厘(Li)米.图中阴影部分面积是正方形与圆的面积之差的,于(Yu)是有,解(Jie)得.故等腰直(Zhi)角三角形的面积为(平方厘(Li)米).7..扇形面积是圆面积的,故扇形圆心角为的即72.8. 5.13.三角形ACO 是一个等腰直角三角形,将AO 看作底边,AO 边上的高为(厘米),故三角形ACO 的面积为(平方厘米).而扇形面积为(平方厘米),从而阴影部分面积为14.13-9=5.13(平方厘米).9. 142.75.由正方形周长是20厘米,可得正方形边长也就是圆的半径为(厘米).图形总面积为两个圆面积加上正方形的面积,即(平方厘米).10. 90平方厘米.图中阴影部分的面积是从两个以直角三角形直角边为直径的半圆及一个直角三角的面积和中减去一个以直角三角形斜边为直径的半圆的面积即(平方厘米).11. 如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形AED 的面积减去正方形BEDO 的面积再加上圆面积的.三角(Jiao)形AED 的面(Mian)积是;正方(Fang)形面积是,圆面(Mian)积的41是(Shi),故阴影部分面积(Ji)为:（平方厘(Li)米）.12. 由已知半(Ban)圆S 1的面积是14.13平方厘米得半径的平方为(平方厘米),故半径为3厘米,直径为6厘米.又因圆S 2的面积为19.625平方厘米,所以S 2半径的平方为(平方厘米),于是它的半径为2.5厘米,直径为5厘米. 阴影部分面积为(平方厘米).13. 因OA=OB ,故三角形OAB 为等腰三角形,即 , 同理,于是.扇形面积为:(平方厘米).14. 正方形可以分割成两个底为2,高为1的三角形,其面积为(平方厘米).正方形内空白部分面积为4个41圆即一个圆的面积与正方形面积之差,即 (平方厘米),所有空白部分面积为平方厘米. 故阴影部分面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差,即为 (平方厘米).。
(完整word版)六年级奥数练习(阴影面积)
六年级奥数练习题（圆和组合图形）1、算出圆内正方形的面积为多少2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是多少平方厘米.3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是多少？4.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是(平方厘米).5.三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. AB长40厘米, BC长厘米.6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积为 .7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是度.8.图中扇形的半径OA=OB=6厘米.45=∠AOB, AC垂直OB于C,那么图中阴影部分的面积是平方厘米.)14.3(=π9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是平方厘米.10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是平方厘米.12.如图,半圆S1的面积是14.13219.625平方厘米.那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米?13.如图,已知圆心是O,半径r=9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?)14.3(≈π13、如图,求阴影部分的面积 .14、大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积大平方厘米.15、在一个半径是4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是平方厘米.(π取3.14,结果精确到1平方厘米)16、如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是厘米.)14.3(=π2 1 2112217.下图中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形的面积是300平方米，草坪的面积是多少平方米？17、已知:ABCD是正方形, ED=DA=AF=2厘米,阴影部分的面积是 .18、如图:阴影部分的面积是多少?四分之一大圆的半径为r.(计算时圆周率取722)19、已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴影部分的面积.20.如图{图在下面}两个连在一起的轮轴，已知小轮的半径是3分米，当这个小轮转3圈时，大轮正好转一圈，21.3只蜜蜂分别沿着阴影部分的边缘飞1次，那只蜜蜂飞过的路线最长？（3个正方形的边长都为4m）23.将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如图放置,求阴影部分的周长24.求阴影部分的面积E DC BAGF25.一个圆环外直径是内直径的二分之三倍，圆环面积150cm，求外圆的面积26.一个长方形的面积是20平方厘米，如果在这个长方形里画一个最大的半圆形，这个半圆形是多少平方厘米？因为这个半圆的直径是长方形的长，半径是宽，说明长方形的长是宽的2倍。
六年级奥数举一反三-组合图形面积计算小学
六年级奥数举⼀反三-组合图形⾯积计算⼩学组合图形⾯积计算（⼀）⼀、知识要点在进⾏组合图形的⾯积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由⼏个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
⼆、精讲精练【例题1】求图中阴影部分的⾯积（单位：厘⽶）。
圆的⾯积。
【思路导航】如图所⽰的特点，阴影部分的⾯积可以拼成14＝28.26（平⽅厘⽶）62×3.14×14答：阴影部分的⾯积是28.26平⽅厘⽶。
练习1：1．求下⾯各个图形中阴影部分的⾯积（单位：厘⽶）。
2．求下⾯各个图形中阴影部分的⾯积（单位：厘⽶）。
3．求下⾯各个图形中阴影部分的⾯积（单位：厘⽶）。
【例题2】求图中阴影部分的⾯积（单位：厘⽶）。
【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了⼀个新的图形（如图所⽰）。
从图中可以看出阴影部分的⾯积等于⼤扇形的⾯积减去⼤三⾓形⾯积的⼀半。
3.14×2144－4×4÷2÷2＝8.56（平⽅厘⽶）答：阴影部分的⾯积是8.56平⽅厘⽶。
练习2：1．计算下⾯图形中阴影部分的⾯积（单位：厘⽶）。
2．计算下⾯图形中阴影部分的⾯积（单位：厘⽶，正⽅形边长4）。
3．计算下⾯图形中阴影部分的⾯积（单位：厘⽶，正⽅形边长4）。
【例题3】如图19－10所⽰，两圆半径都是1厘⽶，且图中两个阴影部分的⾯积相等。
求长⽅形ABO1O的⾯积。
【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空⽩部分相等。
⼜因为图中两个阴影部分的⾯积相等，所以扇形的⾯积等于长⽅形⾯积的⼀半（如图19－10右图所⽰）。
所以3.14×12×1/4×2＝1.57（平⽅厘⽶）答：长⽅形长⽅形ABO1O的⾯积是1.57平⽅厘⽶。
练习3：1．如图所⽰，圆的周长为12.56厘⽶，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）的⾯积与阴影部分（2）的⾯积相等，求平⾏四边形ABCD的⾯积。
数学-奥数竞赛-小学六年级奥数--面积计算
二、精讲精练
【例题3】在图中, 正方形的边长是10厘米, 求图中阴影部分的面积。 【思路导航】解法一:先用正方形的面积减去一个整圆的面积, 得空部分的
一半（如图所示）, 再用正方形的面积减去全部空白部分。 空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3．14＝21．5（平方厘米） 阴影部分的面积：10×10－21．5×2＝57（平方厘米） 解法二:把图中8个扇形的面积加在一起, 正好多算了一个正方形（如图所
练习3: 3.求下面各图形中阴影部分的面积（单位:厘米）。
二、精讲精练
【例题4】在正方形ABCD中, AC＝6厘米。求阴影部分的面积。
【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知, 这样扇形的半径 也就不知道。但我们可以看出, AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根 据等腰直角三角形的对称性可知, 斜边上的高等于斜边的一半（如图 所示）, 我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积, 进而求出正方形 ABCD的面积, 即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出, 但可以求 出半径的平方, 也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
3．14×（30×2）×1/4－30＝17．1（平方厘米）
答：阴影部分的面积是17．1平方厘米。
二、精讲精练
练习5: 1.如图所示, 平行四边形的面积是100平方厘米, 求阴影部分的面积。
二、精讲精练
练习5:
2．如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB，三角形ABC的面积是45平方 厘米，求阴影部分的面积。
练习4:
2.如图所示, 图形中正方形的面积是50平方厘米, 分别求出每个图形 中阴影部分的面积。
二、精讲精练
练习4:
3.如图所示, 正方形中对角线长10厘米, 过正方形两个相对的顶点以 其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试, 你能想 出几种办法）。
举一反三--六年级奥数面积计算(1)
组合图形的面积(1)
13、图中BO=2DO，阴影部分 的面积是4平方厘米，求梯形 ABCD的面积是多少平方厘米？
14、如图，正方形ABCD的边长 是12厘米，CE=4厘米。求阴影 部分的面积。
组合图形的面积(1)
15、图中三角形ABC的面积是 36平方厘米，AC长8厘米，DE 长3厘米，求阴影部分的面积 （ADFC不是正方形）。 16、有两种自然的放法将正 方形内接于等腰直角三角形。 已知等腰直角三角形的面积 是36平方厘米，两个正方形 的面积分别是多少？
六年奥数——举一反三 面积计算（一）
组合图形的面积(1)
1、已知右面的两个正方形边长 分别为6分米和4分米，求图中阴 影部分的面积。
2、如图，这个长方形的长是9厘 米，宽是8厘米，A和B是宽的中 点，求长方形内阴影部分的面积。
组合图形的面积(1)
3、右图是两个相同的直角三 角形叠在一起，求阴影部分的 面积。（单位：厘米）
4、如图，长方形长18厘米， 宽12厘米，AE、AF两条线段 把长方形面积三等分，求三 角形AEF的面积。
组合图形的面积(1)
5、如图，三角形ABC的面积是 24平方厘米，且DC=2AD，E、 F分别是AF、BC的中点，那么 阴影部分的面积是多少？
6、如图，三角形ABC的面积是 90平方厘米，EF平行于BC， AB=3AE，那么三角形甲、乙、 丙的面积各是多少平方厘米？
组合图形的面积(1)
7、在等腰梯形ABCD中，AD=12 厘米，高DF=10厘米。三角形 CDE的面积是12平方厘米。求梯 形面积。
8、如图，三角形EDF的面积比三 角形ABE的面积大6平方厘米，已 知长方形ABDC的长和宽分别为6 厘米、4厘米，DF的长多少厘米？
组合图形的面积——小学奥数专题
组合图形的面积(一)例1一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？练习一1、求四边形ABCD的面积。
（单位：厘米）2、已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。
3、有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。
如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。
求原来梯形的面积。
例2正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。
求中间长方形的面积。
练习二1、已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
2、如下图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。
3、求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。
例3四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。
三角形CDH的面积是多少平方厘米？1、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。
2、下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。
3、下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？例4下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？练习四1、如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。
2、在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（单位：厘米）3、图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。
求平行四边形的面积。
例5图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。
练习五1、如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。
求AH长多2，图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。
图形奥数题
六年级奥数:组合图形面积的计算1、求阴影部分的周长：2、现有两根圆木，横截面直径都是2分米，如果它们用铁丝捆在一起两端各捆一圈（接头不计）那么应准备多长的铁丝？3、求阴影部分的周长（每个圆的半径都是2厘米）4、求图中外圆的周长：单位：厘米5、求图中阴影部分的周长：（单位：厘米）6、求图中阴影面积？7、已知阴影部分的面积是300平方厘米，求圆的面积。
8、图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。
9、图中平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分面积。
10、有一个半圆形零件，周长是20.56厘米，求这个半圆形零件的面积。
12、图中三角形ABC的边长为6厘米的正三角形，求阴影部分面积13、计算阴影部分面积。
（单位：厘米）14、求图中正方形面积与圆的面积之比15、图中圆的面积是942平方分米，那么正方形的面积是多少？如果正方形的面积是360平方厘米，那么圆的面积是多少？16、求图中阴影面积（单位：厘米） 17、求图中阴影面积（单位：厘米）18、求图中阴影面积（单位：厘米）19、如图，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米。
∠ABC=30º，求图中阴影面积（得数保留两位小数）20、如图：三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC=6厘米，BD：DC=3:1，求图中阴影面积？21、在直角三角形ABC中，AB=6cm，BC=8cm，AB⊥BC。
分别是两条直角边的中点为圆心，以边长一半为半径画两个半圆交斜边与D，求图中的阴影面积？22、一个大圆内有3个大小不等的小圆（如图），这些小圆的圆心在大圆的同一直径上，连同大圆在内，每相邻的两个圆相切，已知大圆的周长是20厘米，求这2个小圆的周长之和是多少？23、大雪后的早晨，军军和爸爸踏着积雪，一前一后沿着一个圆形水池从同一起点朝同一方向跑步锻炼。
爸爸每步跑50CM，军军每步跑30CM，雪地上的脚印有时重合，跑完一圈，共留下1099个脚印。
六年级上册奥数试题：第20讲 组合图形的计算 全国通用(含答案)
第20讲组合图形的计算知识网络组合图形是由一些基本图形如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆和扇形等组合而成的图形。
在本讲中，主要介绍长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形组合而成的图形。
组合图形的计算，指的是与组合图形的面积、周长等有关的问题的计算。
对五种基本图形，首先要熟记它们面积的基本公式：。
重点·难点组合图形的计算是以上述几种基本图形为基础的。
这几种基本图形的一些酝酿性质的恰当运用是本讲的重点。
这些基本性质包括：等底等高的两个三角形面积相等；等底的两个三角形面积比等于高之比；等高的两个三角形面积比等于底之比。
这三条性质都是三角形的性质，它们同样适用于平行四边形和长方形。
学法指导在求组合图形的面积时，可用一些比较常用的方法，如：直接法、相加法和相减法、翻转法、等积移位法、重叠法。
最终的目的是将这些图形转化成我们熟悉的简单规则图形的和或差。
同时，也可以构造图形，利用面积的关系来解一些代数题，如关于线段成比例等问题。
经典例题[例1]有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？思路剖析先求出边长再求面积是一般解法，我们可以利用割补拼凑的方法利用图像来比较直观地求解本题。
解答如图1所示，将两个正方形的一个顶点对齐，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形。
由于两个正方形的周长相差20厘米，从而它们的每边相差，即图2中长方形的宽是5厘米。
又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为55平方厘米，从而长方形的长为55÷5=11厘米。
由图中可知，长方形的长是直角梯形的上底和下底的和；长方形的宽是直角梯形的上底和下底的差，从而小正方形的长为（11-5）÷2=3（厘米）。
所以小正方形的面积为3×3=9（平方厘米）。
[例2]如图3所示，将△ABC的各边都延长1倍到，得到一个新的，如果△ABC的面积为10，求△的面积。
六年级奥数-面积计算
面积计算（一）专题简析：计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。
这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。
有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。
例题1。
已知图18－1中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连接DF ，可知S △AEF =S △EDF （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。
因为BD=23 BC ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。
又因为AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。
因此，S △ABC ＝5 S △DCF 。
由于S △ABC ＝8平方厘米，所以S △DCF ＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习11、 如图18－2所示，AE ＝ED ，BC=3BD ，S △ABC ＝30平方厘米。
求阴影部分的面积。
2、 如图18－3所示，AE=ED ，DC ＝13 BD ，S △ABC ＝21平方厘米。
求阴影部分的面积。
3、 如图18－4所示，DE ＝12AE ，BD ＝2DC ，S △EBD ＝5平方厘米。
求三角形ABC 的面积。
AB CFD E18－2ABCFE D18－1 ABCFED 18－3CB D EF 18－4例题2。
两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？【思路导航】已知S △BOC 是S △DOC 的2倍，且高相等，可知：BO ＝2DO ；从S △ABD 与S △ACD相等（等底等高）可知：S △ABO 等于6，而△ABO 与△AOD 的高相等，底是△AOD 的2倍。
六年级奥数第18. 面积计算(一)
第18讲面积计算（一）一、知识要点计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。
这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。
有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。
二、精讲精练【例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=2BC，3求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=2BC，所以S△BDF＝2S△DCF。
又因为AE＝ED，3所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。
由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习1：1．如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。
求阴影部分的面积。
2．如图所示，AE=ED，DC＝1BD，S△ABC＝21平方厘米。
求阴影部分的3面积。
3．如图所示，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。
求三角形ABC的面积。
【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。
所以△AOD的面积为6÷2＝3。
六年级奥数题：圆和组合图形(含分析答案)
圆和组合图形（后面有答案分析）一、填空题1.算出圆内正方形的面积为 .2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是平方厘米.3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 .4.如图所示,以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是厘米.(保留两位小数)5.三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28长厘米.6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度.8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14.3(=π9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米.45二、解答题11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π)12.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米?13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?)14.3(≈π14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?———————————————答 案——————————————————————1. 18平方厘米.由图示可知,正方形两条对角线的长都是6厘米,正方形由两个面积相等的三角形构成.三角形底为6厘米,高为3厘米,故正方形面积为1822136=⨯⨯⨯(平方厘米).2. 1.14平方厘米.由图示可知,图中阴影部分面积为两个圆心角为45的扇形面积减去直角三角形的面积.即14.12122236045214.32=⨯⨯-⨯⨯⨯(平方厘米).3. 125.6平方厘米.由已知条件可知圆的半径的平方为120平方厘米.故扇形面积为6.12536012012014.3=⨯⨯(平方厘米).4. 3.09厘米.边结BE 、CE ,则BE=CE=BC=1(厘米),故三角形BCE 为等边三角形.于是60=∠=∠BCE EBC .BE=CE=045.136060214.3=⨯⨯(厘米).于是阴影部分周长为09.312045.1=+⨯(厘米).5. 32.8厘米.从图中可以看出阴影部分①加上空白部分的面积是半圆的面积,阴影部分②加上空白部分的面积是三角形ABC 的面积.又已知①的面积比②的面积小28平⌒ ⌒方厘米,故半圆面积比三角形ABC 的面积小28平方厘米.半圆面积为6282124014.32=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯(平方厘米),三角形ABC 的面积为628+28=656(平方厘米).BC 的长为8.32402656=÷⨯(厘米).6. 13937平方厘米. 将等腰直角三角形补成一个正方形,设正方形边长为x 厘米,则圆的半径为2x 厘米.图中阴影部分面积是正方形与圆的面积之差的81,于是有282114.322⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-x x ,解得1332002=x .故等腰直角三角形的面积为1393721133200=⨯(平方厘米).7. 72.扇形面积是圆面积的511574.31=÷,故扇形圆心角为360的51即72.8. 5.13.三角形ACO 是一个等腰直角三角形,将AO 看作底边,AO 边上的高为3262=÷=÷AO (厘米),故三角形ACO 的面积为93621=⨯⨯(平方厘米).而扇形面积为13.1436045614.32=⨯⨯(平方厘米),从而阴影部分面积为14.13-9=5.13(平方厘米).9. 142.75.由正方形周长是20厘米,可得正方形边长也就是圆的半径为5420=÷(厘米).图形总面积为两个43圆面积加上正方形的面积,即 75.1425243514.322=+⨯⨯⨯(平方厘米).10. 90平方厘米.图中阴影部分的面积是从两个以直角三角形直角边为直径的半圆及一个直角三角的面积和中减去一个以直角三角形斜边为直径的半圆的面积即()902114.3)220(2115122114.3)216(2114.3212222=⨯⨯÷-⨯⨯+⨯⨯÷+⨯⨯÷ (平方厘米).11. 如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形AED 的面积减去正方形BEDO 的面积再加上圆面积的41. 三角形AED 的面积是21)210()21010(⨯÷⨯÷+;正方形面积是2)210(÷,圆面积的41是2)210(14.341÷⨯⨯,故阴影部分面积为: 22)210(14.341)210(21)210()21010(÷⨯⨯+÷-⨯÷⨯÷+ 125.32625.19255.37=+-=（平方厘米）.12. 由已知半圆S 1的面积是14.13平方厘米得半径的平方为914.3213.14=÷⨯(平方厘米),故半径为3厘米,直径为6厘米.又因圆S 2的面积为19.625平方厘米,所以S 2半径的平方为25.614.3625.19=÷(平方厘米),于是它的半径为2.5厘米,直径为5厘米. 阴影部分面积为55)56(=⨯-(平方厘米).13. 因OA=OB ,故三角形OAB 为等腰三角形,即w,同理150=∠AOC ,于是602150360=⨯-=∠BOC .扇形面积为:39.42914.3360602=⨯⨯(平方厘米).14. 正方形可以分割成两个底为2,高为1的三角形,其面积为 221221=⨯⨯⨯(平方厘米). 正方形内空白部分面积为4个41圆即一个圆的面积与正方形面积之差,即 2212-=-⨯ππ(平方厘米),所有空白部分面积为)2(2-π平方厘米. 故阴影部分面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差,即为 8)2(22412=-⨯-⨯⨯ππ(平方厘米).。
六年级奥数第18讲 面积计算(一)
六年级奥数第18讲面积计算（一）一、知识要点计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手。
这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的。
有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径。
二、精讲精练【例题1】已知如图,三角形ABC的面积为8平方厘米,AE＝ED,BD=2/3BC,求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形,但三角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连接DF,可知S△AEF=S△EDF（等底等高）,采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=2/3BC,所以S△BDF＝2S△DCF。
又因为AE＝ED,所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。
因此,S△ABC＝5 S△DCF。
由于S△ABC＝8平方厘米,所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米）,则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习1：1．如图,AE＝ED,BC=3BD,S△ABC＝30平方厘米。
求阴影部分的面积。
2．如图所示,AE=ED,DC＝1/3BD,S△ABC＝21平方厘米。
求阴影部分的面积。
3．如图所示,DE＝1/2AE,BD＝2DC,S△EBD＝5平方厘米。
求三角形ABC的面积。
【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,如图所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少？【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍,且高相等,可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6,而△ABO与△AOD的高相等,底是△AOD的2倍。
组合图形的面积教学设计
《组合图形的面积》教学设计六年级奥数班姜绍林教学内容：六年级奥林匹克数学——《组合图形的面积（二）》教学目标：1、通过观察、操作研究图形的特征，进一步发展学生的空间观念。
2、通过仔细观察、认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，找到图中隐蔽条件与已知条件和要求的问题的关系。
引导学生掌握良好的思考方法，促进学生思维能力的提高。
3、使学生进一步掌握组合图形的结构特征和阴影面积的求解方法，提高学生解决问题的能力。
让学生体验成功，树立学好数学的信心，感受数学的应用价值。
2、创设问题情景，激发学生学习兴趣。
教学重点：求组合图形的方法。
教学难点：组合图形中阴影面积求解。
教具准备：展台、课件教学时数：2课时教学过程：一、复习常用的几何基本公式：长方形面积= 正方形面积= 三角形面积= 梯形面积=平行四边形面积= 圆的面积= 扇形面积= 学生通过回忆，梳理已学过的知识，激发兴趣，体验学习成功。
二、求组合图形面积的常用方法：1、加减法：根据图形组合的形式，用几个图形的面积和与差的方式来求组合图形面积。
2、割补法：将不规则的组合图形经过分割切拼补充成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
3、旋转平移法：将不规则图形或几个图形经过旋转、平移之后成为一个或几个规则图形，然后再进行面积的计算。
4、放大法：通常是求两个不规则图形的面积差或是已知两个规则图形的面积差，一般把这两个图形经过放大（即加上同一个图形），使他们变成两个规则图形，在解答。
5、设元法：对于面积计算的关键部分，我们需要通过中介来求面积，这时可以设一个未知数，通过加减运算求出面积，而并不要求出所设字母的具体数值。
6、辅助线法：求部分图形面积时，需要借助其他图形作中介，这个中介图形需要添加辅助线段才能得到。
通过求组合图形面积方法的介绍，让学生根据图形的特征，选择合理的解题方法，提高解决问题的能力。
三、新授：1、例1 求下图阴影部分的面积（单位：厘米）思路分析：根据图形特点，通过旋转，阴影部分的面积可以拼成一个怎样的图形？（一个14圆的面积） 所以，62×3.14×14=28.26（平方厘米） 答：阴影面积是28.26平方厘米。
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阴影部分面积专题练习
一、求下列各图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）
2、下图中长方形的长是6厘米，宽是5厘米，求阴影部分的面积。
3、如图长方形的面积是45平方厘米，宽是5厘米，求阴影
部分的面积。
4、如图，两个大小不等的正方形拼成一个图形，已知小正方
形的边长是4厘米，阴影部分的面积是30平方厘米，求空白部分
的面积是多少？
5、将直角三角形ABC向右平移6厘米，再向下平移1.5厘米，得到一个图形如图，已知三角形的底边BC长16厘米，求阴影部分的面积。
长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形EFGO的面积为______．
解答:根据容斥关系：四边形EFGO的面积=三角形AFC+三角形DBF-白色部分的面积,三角形AFC+三角形DBF=长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-70=50所以四边形EFGO的面积=60-50=10
如图，已知边长为5的额正方形ABCD和边长为的正方形CEFG共顶点C，正方形CEFG绕点C旋转60°，连接BE、DG，则ΔBCE的面积与ΔCDG的面积比是_____.
几何图形面积答案：
将ΔCDG绕点C逆时针旋转900，得到ΔCBH,这样点E、C、H在同一直线上，且CE=CG=CH，所以ΔBCE的面积=ΔBCH的面积=ΔCDG的面积，所求面积比为1：1。