人教A版高中数学必修五正弦定理和余弦定理以及其应用教案
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讲义一 正弦定理和余弦定理以及其应用
知识与技能:
掌握正弦定理和余弦定理,并能加以灵活运用。
一、知识引入与讲解:
Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用:
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
sin sin a
b
A B =sin c
C ==2R
例1.(1)、已知∆ABC 中,∠A 060=
,a =求sin sin sin a b c A B C
++++ (=2) (2)、已知∆ABC 中,sin :sin :sin 1:2:3A B C =,求::a b c (答案:1:2:3)
Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用:
例2.(1)、在∆ABC
中,已知=a
c 060=B ,求b 及A (
=b 060.=A )
(2)、在∆ABC 中,已知80a =,100b =,045A ∠=,试判断此三角形的解的情况。
例3.在∆ABC 中,已知7a =,5b =,3c =,判断∆ABC 的类型。
分析:由余弦定理可知 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆
(注意:是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆)
解:222753>+,即222a b c >+, ∴ABC 是钝角三角形∆。
练习: (1)在∆ABC 中,已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =,判断∆ABC 的类型。
(2)已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =,判断∆ABC 的类型。
(答案:(1)ABC
是钝角三角形∆;(2)∆ABC 是等腰或直角三角形)
例4.在∆ABC 中,060A =,1b =,面积为2,求sin sin sin a b c A B C ++++的值 分析:可利用三角形面积定理111sin sin sin 222
S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin a
b A B =sin c
C ==sin sin sin a b c A B C
++++ 解:由1sin 2
2S bc A ==得2c =,则2222cos a b c bc A =+-=3,即a 从而
sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A
== 例题5、某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处,观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。公路的走向是M 站的北偏东40︒。开始时,汽车到A 的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A 的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远,才能到达M 汽车站?
解:由题设,画出示意图,设汽车前进20千米后到达B 处。在∆ABC 中,
AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得 cosC=BC AC AB BC AC ⋅-+2222=31
23, 则sin 2C =1- cos 2C =231
432, sinC =31
312, 所以 sin ∠MAC = sin (120︒-C )= sin120︒cosC - cos120︒sinC =
62335 在∆MAC 中,由正弦定理得 MC =AMC MAC AC ∠∠sin sin =2
3
31⨯62335=35 从而有MB= MC-BC=15 答:汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站。
练习题:1、判断满足下列条件的三角形形状,
(1)、acosA = bcosB ( 等腰三角形或直角三角形)
(2)、sinC =B A B
A cos cos sin sin ++ (直角三角形)
2、如图,在四边形ABCD 中,∠ADB=∠BCD=75︒,∠ACB=∠BDC=45︒,DC=3,求:
(1) AB 的长 (2)、求四边形ABCD 的面积
解(1)因为∠BCD=75︒,∠ACB=45︒,所以
∠ACD=30︒ ,
又因为∠BDC=45︒,所以 ∠DAC=180︒-(75︒+ 45︒+ 30︒)=30︒,所以 AD=DC=3 在∆BCD 中,∠CBD=180︒-
(75︒+ 45︒)=60︒,所以︒75sin BD = ︒60
sin DC ,BD = ︒︒60sin 75sin 3= 226+ 在∆ABD 中,AB 2=AD 2+ BD 2-2⨯AD ⨯BD ⨯cos75︒= 5,所以得 AB=5
(2) S ABD ∆=2
1 ⨯AD ⨯BD ⨯sin75︒=4323+ 同理, S BCD ∆= 433+ 所以四边形ABCD 的面积S=4
336+