高中导数的知识归纳和题型总结

高中导数的知识归纳和题型总结

一、基本概念

1. 导数的定义：

设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数.

()f x 在点0x 处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为

3．基本常见函数的导数:

①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;

⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x

'=. 二、导数的运算

1.导数的四则运算：

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦

常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)

0x )(x f y =x 0x x ∆y )()(00x f x x f y -∆+=∆x

x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00)(x f y =0x x x ∆+0x

x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =))(,(0x f x )(x f y =))(,(0x f x )(0'x f ).)((0'0x x x f y y -=-

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的

积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦

. 2.复合函数的导数

形如)]([x f y ϕ=的函数称为复合函数.法则： [()]()*()f x f x ϕμϕ'''=.

三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数)(x f y =在某个区间),(b a 可导，

如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；

如果'f 0)(

（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常函数.

2．函数的极点与极值：当函数在点处连续时，

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；

②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.

3．函数的最值：

一般地，在区间],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值.函数)

(x f 在区间上的最值],[b a 值点处取得。

只可能在区间端点及极 求函数)(x f 在区间上最值],[b a 的一般步骤：①求函数)(x f 的导数，令导数0)('=x f 解出方程的跟②在区间],[b a 列出)(),(,'x f x f x 的表格，求出极值及)()(b f a f 、的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值

4．相关结论总结：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

)(x f 0x 0x )('x f )('x f )(0x f 0x )('x f )('x f )(0x f

导数题型总结

1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元

3、根分布

4、判别式法-----结合图像分析

5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

（2）端点处和顶点是最值所在

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立

此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令0)('=x f 得到两个根；

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）.

例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数

m 是常数，432

3()1262

x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；

（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.

解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32

()332

x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，

则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <