高中导数的知识归纳和题型总结
导数知识点各种题型归纳方法总结
导数知识点各种题型归纳方法总结导数知识点和题型总结一、导数的定义：1.函数y=f(x)在x=x处的导数为f'(x)=y'|x=x=lim(Δy/Δx)，其中Δy=f(x+Δx)-f(x)。
2.求导数的步骤：①求函数的增量：Δy=f(x+Δx)-f(x)；②求平均变化率：Δy/Δx；③取极限得导数：f'(x)=lim(Δy/Δx)，其中Δx→0.二、导数的运算：1.基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：① C'=0（C为常数）；② (xn)'=nxn-1；③ (1/x)'=-1/x^2；④ (ex)'=ex；⑤ (sinx)'=cosx；⑥ (cosx)'=-sinx；⑦ (ax)'=axlna（a>0，且a≠1）；⑧ (lnx)'=1/x；⑨ (loga x)'=1/(xlna)（a>0，且a≠1）。
2.导数的运算法则：法则1：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)（和与差的导数等于导数的和与差）；法则2：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（前导后不导相乘+后导前不导相乘）；法则3：[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号）。
3.复合函数y=f(g(x))的导数求法：①换元，令u=g(x)，则y=f(u)；②分别求导再相乘，y'=g'(x)·f'(u)；③回代u=g(x)。
题型：1.已知f(x)=1/x，则lim(Δy/Δx)，其中Δx→0，且x=2+Δx，f(2)=1/2.答案：C。
2.设f'(3)=4，则lim(f(3-h)-f(3))/h，其中h→0.答案：A。
导数题型总结(12种题型)
导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。
2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a+431.导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)[ )()(x g x f ]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
高中数学函数与导数常考题型归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳题型一 : 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般观察两类题型：(1)谈论函数的单调性、极值、最值，(2) 利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例 1】已知函数 f ( x) ＝ln x＋ a(1 －x).(1)谈论 f ( x) 的单调性；(2)当 f x有最大值，且最大值大于a－2时，求实数a的取值范围.( )21解(1) f ( x) 的定义域为 (0 ，＋∞ ) ， f ′( x) ＝x－ a.若 a≤0，则 f ′ ( x) ＞0，因此 f ( x) 在 (0 ，＋∞ ) 上单调递加 .1若 a＞0，则当 x∈ 0，a时， f ′( x) ＞0；当x∈1，＋∞ 时， f ′x＜，a()011因此 f ( x) 在 0，a上单调递加，在a，＋∞ 上单调递减 .综上，知当 a≤0时， f ( x) 在(0 ，＋∞ ) 上单调递加；当 a＞0 时， f ( x) 在 0，1上单调递加，在1，＋∞ 上单调递减 .a a(2)由 (1) 知，当 a≤0时， f ( x) 在(0 ，＋∞ ) 上无最大值；1111当 a＞0 时， f ( x) 在 x＝a处获取最大值，最大值为 f a＝ln a＋ a 1－a＝－ ln a＋ a－ 1.因此f1＞a－2等价于lna＋ a－＜a2 1 0.令g( a) ＝ln a＋a－1，则 g( a) 在(0 ，＋∞ ) 上单调递加，g(1) ＝0.于是，当 0＜a＜1 时， g( a) ＜0；当a＞1 时， g( a) ＞ 0.因此，实数 a 的取值范围是 (0 ， 1).【类题通法】 (1) 研究函数的性质平时转变成对函数单调性的谈论，谈论单调性要先求函数定义域，再谈论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2) 由函数的性质求参数的取值范围，平时依照函数的性质获取参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则能够直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能够直接解出的超越型不等式时，如求解 ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解 .【变式训练】 已知 a ∈ R ，函数 f ( x) ＝ ( － x 2＋ax)e x ( x ∈ R ， e 为自然对数的底数 ).(1) 当 a ＝2 时，求函数 f ( x) 的单调递加区间；(2) 若函数 f ( x) 在 ( － 1，1) 上单调递加，求实数 a 的取值范围 .解 (1) 当 a ＝ 2 时， f ( x) ＝( －x 2＋2x)e x ，因此 f ′(x) ＝ ( － 2x ＋2)e x ＋( － x 2＋2x)e x＝ ( － x 2＋2)e x .令 f ′(x)>0 ，即 ( －x 2＋2)e x >0，由于 e x >0，因此－ x 2＋ 2>0，解得－ 2<x< 2.因此函数 f ( x) 的单调递加区间是 ( － 2， 2).(2) 由于函数 f ( x) 在( －1， 1) 上单调递加，因此 f ′(x) ≥0对 x ∈( － 1，1) 都成立，由于 f ′(x) ＝ ( － 2x ＋a)e x ＋( － x 2＋ax)e x＝－ x 2＋( a －2) x ＋a]e x ，因此－ x 2＋ ( a －2) x ＋ a]e x ≥0 对 x ∈( － 1， 1) 都成立 .由于 e x >0，因此－ x 2＋( a － 2) x ＋a ≥0对 x ∈( － 1， 1) 都成立，x 2＋2x（x ＋1）2－ 1即 a ≥ x ＋1 ＝x ＋11＝ ( x ＋1) －x ＋1对 x ∈( － 1，1) 都成立 .11令 y ＝( x ＋ 1) －x ＋1，则 y ′＝ 1＋（x ＋1）2>0.1因此 y ＝( x ＋1) － x ＋ 1在( －1，1) 上单调递加，因此 y<(1 ＋1) －1 3 3 1＋1 ＝ . 即 a ≥ .223因此实数 a 的取值范围为 a ≥2.题型二 : 利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题实质上同属一个问题，它们之间可相互转变，这类问题的观察平时有两类： (1) 谈论函数零点或方程根的个数； (2) 由函数零点或方程的根求参数的取值范围 .m【例 2】设函数 f(x) ＝ ln x ＋x，m∈R.(1)当 m＝e(e 为自然对数的底数 ) 时，求 f ( x) 的极小值；x(2) 谈论函数 g( x) ＝f ′(x) －3零点的个数 .e解(1) 由题设，当 m＝e 时， f ( x) ＝ln x＋x，x－ e定义域为 (0 ，＋∞ ) ，则 f ′(x) ＝x2，由f′(x)＝0，得x＝e.∴当 x∈(0 ， e) ， f ′ ( x) ＜ 0， f ( x) 在 (0 ，e) 上单调递减，当 x∈(e，＋∞ ) ， f ′( x) ＞0，f ( x) 在(e ，＋∞ ) 上单调递加，e∴当 x＝e 时， f ( x) 获取极小值 f (e) ＝ln e ＋e＝2，∴f ( x) 的极小值为 2.x 1 m x(2) 由题设 g( x) ＝ f ′(x) －3＝x－x2－3( x＞0) ，1令g( x) ＝0，得 m＝－ x3＋ x( x＞0).31 3设φ( x) ＝－3x ＋x( x＞0) ，则φ′(x) ＝－ x2＋ 1＝－ ( x－1)( x＋1) ，当x∈(0 ， 1) 时，φ′( x) ＞0，φ ( x) 在(0 ， 1) 上单调递加；当x∈(1 ，＋∞ ) 时，φ′( x) ＜0，φ ( x) 在(1 ，＋∞ ) 上单调递减 .∴x＝ 1 是φ ( x) 的唯一极值点，且是极大值点，因此 x＝1 也是φ ( x) 的最大值点 .2∴ φ( x) 的最大值为φ(1) ＝3.又φ(0) ＝ 0，结合 y＝φ( x) 的图象 ( 如图 ) ，2可知①当 m＞3时，函数 g( x) 无零点；2②当 m＝3时，函数 g( x) 有且只有一个零点；2③当 0＜m＜3时，函数 g( x) 有两个零点；④当 m≤0时，函数 g( x) 有且只有一个零点 .2综上所述，当 m＞3时，函数 g( x) 无零点；2当 m＝3或 m≤0时，函数 g( x) 有且只有一个零点；2当 0＜m＜3时，函数 g( x) 有两个零点 .【类题通法】利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转变成方程根的问题，利用方程的同解变形转变成两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决 .【变式训练】函数 f ( x) ＝( ax2＋ x)e x，其中 e 是自然对数的底数， a∈R.(1)当 a>0 时，解不等式 f ( x) ≤0；(2)当 a＝0 时，求整数 t 的所有值，使方程 f ( x) ＝ x＋ 2 在 t ，t ＋1] 上有解 .解(1) 由于 e x>0， ( ax2＋x)e x≤ 0.∴ax2＋ x≤0. 又由于 a>0，1因此不等式化为x x＋a≤ 0.1因此不等式 f ( x) ≤0的解集为－a，0 .(2)当 a＝0 时，方程即为 xe x＝x＋2，由于 e x>0，因此 x＝0 不是方程的解，2x因此原方程等价于 e －x－ 1＝0.x2令h( x) ＝e －x－1，x2由于 h′(x) ＝ e ＋x2>0 对于 x∈( －∞， 0) ∪(0 ，＋∞ ) 恒成立，因此 h x 在 －∞， 0) 和 (0，＋∞ )内是单调递加函数，( ) (又 h＝ － ，h2h － ＝－3－1，(1) e 3<0(2) ＝e －2>0， (3)e3<0h －2) ＝－ 2，( e >0因此方程 f x ) ＝x ＋ 有且只有两个实数根且分别在区间， 和－ ，－ 2]上，因此整数 t 的所有值( 21 2] 3为 { － 3， 1}.题型三 : 利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式观察，以中高档题为主，突出转变思想、函数思想的观察，常有的命题角度： (1) 证明简单的不等式； (2) 由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题 .【例 3】设函数 f ( x) ＝ e 2x －aln x.(1) 谈论 f ( x) 的导函数 f ′(x) 零点的个数；2 (2) 证明：当 a ＞0 时， f ( x) ≥2a ＋aln .axa(1) 解 f( x) 的定义域为 (0 ，＋∞ ) ， f ′( x) ＝ 2e 2－x ( x ＞0).当 a ≤0时， f ′x ＞ ，f ′ x 没有零点.( )( )2xa当 a ＞0 时，设 u( x) ＝e ， v( x) ＝－ x ，由于 u x ＝ 2x 在 (0 ，＋∞ 上单调递加， v x ＝－ a 在 (0，＋∞ ) 上单调递加，因此f ′(x 在 (0，＋( ) e ) ( ) x)∞) 上单调递加 .a1又 f ′(a) ＞0，当 b 满足 0＜b ＜ 4且 b ＜4时， f ′( b) ＜ 0( 谈论 a ≥1或 a ＜1 来检验 ) ，故当 a ＞0 时， f ′( x) 存在唯一零点 .(2)证明 由 (1) ，可设 f ′(x 在 (0 ，＋∞ 上的唯一零点为 x 0，当 x ∈(0 ， x 0 时， f ′ x ＜ ；) ) ) ( ) 0当 x ∈(x 0 ，＋∞ ) 时， f ′( x) ＞0.故 f ( x) 在(0 ， x 0 ) 上单调递减，在 ( x 0，＋∞ ) 上单调递加，因此当 x ＝ x 0 时， f ( x) 获取最小值，最小值为 f ( x 0 )a由于 2e2x 0－ x 0＝0，因此 f ( x 0 ) ＝ a＋ 2ax 0＋aln 2 2a ≥2a ＋ aln .x 0a22故当 a ＞0 时， f ( x) ≥2a ＋ aln a .【类题通法】 1. 谈论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类谈论函数的单调性、极值；第三步：依照零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2. 证明不等式的答题模板第一步：依照不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：依照最值证明不等式 .【变式训练】 已知函数 f ( x) ＝ax ＋ln x( a ∈R).(1) 若 a ＝2，求曲线 y ＝f ( x) 在 x ＝1 处的切线方程；(2) 求 f ( x) 的单调区间；(3) 设 g( x) ＝x 2－2x ＋2，若对任意 x 1∈ (0 ，＋∞ ) ，均存在 x 2∈0，1] 使得 f ( x 1)< g( x 2) ，求 a 的取值范围 .1解(1) 由已知得 f ′(x) ＝ 2＋ x ( x>0) ，因此 f ′(1) ＝2＋1＝3，因此斜率 k ＝ 3. 又切点为 (1 ， 2) ，所以切线方程为 y － 2＝ 3( x － 1) ，即 3x － y － 1＝ 0，故曲线 y ＝ f ( x) 在 x ＝1 处的切线方程为 3x －y －1＝0.1 ax ＋1(2) f ′(x) ＝ a ＋ x ＝ x ( x>0) ，①当 a ≥0时，由于 x>0，故 ax ＋1>0， f ′ ( x)>0 ，因此 f ( x) 的单调增区间为 (0 ，＋∞ ).1②当 a<0 时，由 f ′(x) ＝0，得 x ＝－ a .11在区间 0，－ a 上， f ′( x )>0 ，在区间 －a ，＋∞ 上， f ′( x)<0 ，因此函数 f ( x) 的单调递加区间为0，－ 1 ，单调递减区间为 1.a － ，＋∞ a(3) 由已知得所求可转变成 f ( x) max <g( x) max ，g( x) ＝( x －1) 2＋1，x ∈0， 1] ，因此 g( x) max＝2，由(2) 知，当 a≥0时， f ( x) 在(0 ，＋∞ ) 上单调递加，值域为 R，故不吻合题意 .a时， f x在 0，－1上单调递加，在1x的极大值即为最大值，当<0－，＋∞ 上单调递减，故 f( )a a( )11是f －a＝－ 1＋ln －a＝－ 1－ln( －a) ，1因此 2>－1－ln( －a) ，解得 a<－e3.。
高中数学导数知识点归纳总结及例题
高中数学导数知识点归纳总结及例题导数考试知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量y f(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)称为函数y f(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极限x xf(x0x)f(x0)y存在，则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做lim x0x x0xlim记作f’(x0)或y’|x x0，即f’(x0)=limy f(x)在x0处的导数，f(x0x)f(x0)y. lim x0x x0x注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.②以知函数y f(x)定义域为A，y f’(x)的定义域为B，则A与B关系为A B.2. 函数y f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：⑴函数y f(x)在点x0处连续是y f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y f(x)在点x0处可导，那么y f(x)点x0处连续.事实上，令x x0x，则x x0相当于x0.1于是limf(x)limf(x0x)lim[f(x x0)f(x0)f(x0)] x x0x0x0 lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)x f(x0)]lim lim limf( x0)f’(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0x xy|x|，当x＞0时，x x⑵如果y f(x)点x0处连续，那么y f(x)在点x0处可导，是不成立的. 例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为y y y不存在. 1；当x＜0时，1，故lim x0x x x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f’(x0)，切线方程为y y0f’(x)(x x0).4. 求导数的四则运算法则：(u v)’u’v’y f1(x)f2(x)...fn(x)y’f1’(x)f2’(x)...fn’(x) (uv)’vu’v’u(cv)’c’v cv’cv’（c为常数）vu’v’u u(v0) 2v v’注：①u,v必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设f(x)2sinx22，g(x)cosx，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和xx f(x)g(x)sinx cosx在x0处均可导.5. 复合函数的求导法则：fx’((x))f’(u)’(x)或y’x y’u u’x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f’(x)＞0，则y f(x)为增函数；如果f’(x)＜0，则y f(x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f’(x)=0，则y f(x)为常数.注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）= 0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必2要条件.②一般地，如果f（x）在某区间(sinx)cosx (arcsinx)’1 x2(xn)’nxn1（n R）(cosx)’sinx (arccosx)’ 1x2 1’11’(arctanx)II. (lnx)(logax)logae xxx21’(ex)’ex (ax)’axlna (arccotx)’III. 求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)’1x2 1 (x a1)(x a2)...(x an)1.②形如y(x a1)(x a2)...(x an)或y两(x b1)(x b2)...(x bn)x边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如y xx这类函数，如y xx取自然对数之后可变形为lny xlnx，对两边y’1lnx x y’ylnx y y’xxlnx xx. 求导可得yx 3导数中的切线问题例题1：已知切点，求曲线的切线方程曲线y x33x21在点(1，1)处的切线方程为（）例题2：已知斜率，求曲线的切线方程与直线2x y40的平行的抛物线y x2的切线方程是（）注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2x b，代入y x2，得x22x b0，又因为0，得b1，故选Ｄ．例题3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．求过曲线y x32x上的点(1，1)的切线方程．例题4：已知过曲线外一点，求切线方程1求过点(2，0)且与曲线y相切的直线方程．x4练习题：已知函数y x33x，过点A(016) ，作曲线y f(x)的切线，求此切线方程．看看几个高考题1.（2009全国卷Ⅱ）曲线y x在点1,1处的切线方程为2x 122.（2010江西卷）设函数f(x)g(x)x，曲线y g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y2x1，则曲线y f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为3.（2009宁夏海南卷）曲线y xe2x1在点（0,1）处的切线方程为。
高中数学导数题型分类非常全
导数1.导数公式：'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =-'()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a = 2.运算法则：'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+ '''2()u u v uv v v-= 3.复合函数的求导法则：（整体代换）例如：已知2()3sin (2)3f x x π=+，求'()f x 。
4.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。
5.导数的几何意义：导数就是切线斜率。
6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内，若'()0f x >，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若'()0f x <，则()f x 在[,]a b 内是减函数。
【题型一】求函数的导数 1(1)ln x y x = (2)2sin(3)4y x π=- (3)2(1)x y e x =- (4)3235y x x =-- (5)231x x y x -=+ (6)2211()y x x x x =++ 2.已知物体的运动方程为223s t t=+（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为 。
【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用）3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。
4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程是 。
5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+，则点P 的坐标是 。
导数知识点总结及例题
导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。
这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。
对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。
1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。
例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。
这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。
1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。
也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。
二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。
例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。
2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。
我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。
导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。
这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。
三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。
高中导数题所有题型及解题方法
高中导数题所有题型及解题方法一、导数的概念1.1 导数的定义•导数的定义公式：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ•导数表示函数在某一点的变化率1.2 导数的几何意义•函数图象在某一点的切线斜率•函数图象在某一点的局部线性近似二、导数的基本运算法则2.1 基本导数公式•常数函数：d dx (C)=0•幂函数：d dx (x n)=nx n−1•指数函数：ddx(a x)=a x ln(a)2.2 函数和、差、积、商的导数•和的导数：(u+v)′=u′+v′•差的导数：(u−v)′=u′−v′•积的导数：(uv)′=u′v+uv′•商的导数：(uv)′=u′v−uv′v2,其中v≠02.3 复合函数的导数•复合函数的求导公式：如果y=f(u)及u=g(x), 则dy dx =dy dududx三、导数的应用3.1 函数的单调性•若f′(x)>0，则函数f(x)在该区间上单调递增•若f′(x)<0，则函数f(x)在该区间上单调递减3.2 函数的极值与最值•极大值：若f′(x0)=0，且f″(x0)<0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极大值•极小值：若f′(x0)=0，且f″(x0)>0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极小值3.3 函数的拐点•拐点：若f″(x0)=0，则f(x)在x0处的图像有拐点3.4 函数的图像•函数图象的基本性质–若f′(x)>0，则函数的图像上的点随x的增大而上升–若f′(x)<0，则函数的图像上的点随x的增大而下降–若f″(x)>0，则函数的图像在该区间上凹–若f″(x)<0，则函数的图像在该区间上凸四、基础导数题型4.1 求导数•题型1：求函数的导数y=f(x)•题型2：求函数的高阶导数y(n)=f(x)4.2 高阶导数应用•题型1：求函数的极值和拐点•题型2：求函数在某点的切线方程•题型3：求函数的图像4.3 求解极值问题•题型1：求一定范围内函数的极大值和极小值•题型2：求满足一定条件的函数极值4.4 函数的单调性•题型1：判断函数的单调区间•题型2：填空题，填写使函数单调递增或递减的区间五、综合题型5.1 数学建模•题型1：利用导数求解实际生活中的问题5.2 物理应用•题型1：利用导数求解物理问题，如速度、加速度等5.3 函数的变化率•题型1：求函数在某点的变化率•题型2：求函数在某段区间的平均变化率六、总结本篇文章主要介绍了高中阶段导数相关的内容，包括导数的基本定义、几何意义、基本运算法则，以及导数在函数的单调性、极值与最值、图像以及物理应用中的运用。
(整理)导数应用的题型与解题方法.
导数应用的题型与解题方法一、专题概述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
二、知识整合1．导数概念的理解．2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3．要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。
熟练以后，可以省略中间过程。
若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
三、例题分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(l i m 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
导数知识点各种题型归纳方法总结
导数的基础知识一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx-=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'m mn n m x x n -==③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'xxe e = ⑥()'ln (0,1)xxa a a a a =>≠且； ⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x = 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '， 即有()00V f t '=。
高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧
高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧知识总结一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f （x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即。
二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四. 推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1) 找出两类事物的相似性或一致性；(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3) 一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
高考导数题型及解题方法总结
高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。
方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。
题型2过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。
方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。
例已知函数f（x）=x 3﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。
将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。
（答案：m 的范围是()2,3--）题型3求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。
方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。
（)(,22x f x ）；建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。
（答案02=--e y x e ）二．单调性问题题型1求函数的单调区间。
求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。
分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3)在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4)在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。
【精品】导数知识点与常见题型精华总结
1 x ln x ，若函数 f ( x ) 在 1, 上为增函数，求正实数 a 的取值范 ax
围 （注：f(x)为区间上增函数，即 f’(x)0 在区间上恒成立，进而分离变量转化为最值问题， 利用单调性法、图象法、导数法求出新函数最值，得出所求范围）
a2 ， g x x ln x ，其中 a 0 ．若对任意的 x1 , x2 1 ，e（ e x 为自然对数的底数）都有 f x1 ≥ g x2 成立，求实数 a 的取值范围
A． 3 B． 5 C． 2 D． 4 注：这类问题，我们可从题目中展现出来的“切线”字眼来把握题型 做题方法一般是：首先求出切点坐标（一般情况下，题目会给出切点横坐标，代入原函数就 可以求出纵坐标） ，求不出就设；其次求出原函数的导数，代入切点的横坐标计算切线的斜 率（若给出了切线方程，其实就给出了切线的斜率，从而也可得出导数在对应切点横坐标处 的值） ，最后根据直线的点斜式写切线的方程，并化简 题型四：导数求单调区间或判断单调性、求极值、求最值
2 3
2 3
2 处的导 3
2．已知函数 f ( x) x 3 x.
3
（1）求曲线 y f ( x ) 在点 x 2 处的切线方程； （2）若过点 A(1, m ) ( m 2) 可作曲线 y f ( x ) 的三条切线，求实数 m 的取值范围
题型六：给出函数单调性的恒成立问题以及其它恒成立问题 1．已知函数 f ( x )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
t
O
t
O
t O
t
A． B． C． D． 注：导数体现的就是“率”，函数改变率越来越大（如此体的加速，这些需要我们的理解） 就代表导数是增函数，此时原函数的图象下凹，反之，若函数改变率越来越小就带代表导数 是减函数，此时原函数的图象上凸 题型三：导数的切线问题 1．设函数 f ( x) g ( x) x 2 ，曲线 y g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y 2 x 1 ， 则曲线 y f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为( )
导数题型总结知识点高中
导数题型总结知识点高中一、导数的定义导数是用来描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点附近的平均变化率，即函数值随自变量变化的速率。
导数的定义是在数学上对于函数在某一点的极限定义，即：设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是存在有限的数f'(a)，使得当x趋近a时，有f'(a)=lim(Δx→0)(f(a+Δx)-f(a))/Δx其中f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，Δx表示自变量的增量。
函数在x=a处可导的充分必要条件是该点的左导数和右导数存在且相等。
根据导数的定义，我们可以知道函数在某一点处的导数表示函数在该点处的变化率，在数学上导数的定义还包括相邻导数之间的关系。
在这里我们不再详细阐述，下面我们将重点讨论导数的性质。
二、导数的性质1. 导数的代数运算性质导数具有线性性质，即导数的和等于导数的和，导数的积等于导数的积，导数的常数倍等于常数乘以导数。
具体而言，设函数y=f(x)，g(x)分别在点x=a处可导，c为常数，则有：(a) (f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)(b) (cf(x))' = cf'(x)2. 复合函数的导数设函数y=f(u)，u=g(x)两个函数都可导，则复合函数y=f(g(x)) 在点x处的导数为f'(u)·g'(x)，即：(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)3. 反函数的导数设函数y=f(x)在区间I上有反函数x=g(y)，如果f'(x)存在且不等于0，则g'(y)=1/f'(g(y))。
导数的代数运算性质和复合函数的导数是导数计算的重要基础，对于学生来说，熟练掌握这些性质对于计算导数是非常有帮助的。
三、导数的计算为了更好地理解导数的计算，我们将分别从常用函数的导数、隐函数和参数方程的导数、高阶导数和导数的应用等方面进行详细的讲解。
导数专题的题型总结
导数专题的题型总结一、导数的概念与运算题型1. 求函数的导数- 题目：求函数y = x^3+2x - 1的导数。
- 解析：- 根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，对于y = x^3+2x - 1。
- 对于y = x^3，其导数y^′=(x^3)^′ = 3x^2；对于y = 2x，其导数y^′=(2x)^′=2；对于y=-1，因为常数的导数为0，所以y^′ = 0。
- 综上，函数y = x^3+2x - 1的导数y^′=3x^2+2。
2. 复合函数求导- 题目：求函数y=(2x + 1)^5的导数。
- 解析：- 设u = 2x+1，则y = u^5。
- 根据复合函数求导公式y^′_x=y^′_u· u^′_x。
- 先对y = u^5求导，y^′_u = 5u^4；再对u = 2x + 1求导，u^′_x=2。
- 所以y^′ = 5u^4·2=10(2x + 1)^4。
二、导数的几何意义题型1. 求切线方程- 题目：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
- 解析：- 对y = x^2求导，根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，可得y^′ = 2x。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2×1=2。
- 由点斜式方程y - y_0=k(x - x_0)（其中(x_0,y_0)=(1,1)，k = 2），可得切线方程为y - 1=2(x - 1)，即y = 2x-1。
2. 已知切线方程求参数- 题目：已知曲线y = ax^2+3x - 1在点(1,a + 2)处的切线方程为y = 7x + b，求a和b的值。
- 解析：- 先对y = ax^2+3x - 1求导，y^′=2ax + 3。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2a+3。
- 因为切线方程为y = 7x + b，所以切线斜率为7，即2a + 3=7，解得a = 2。
(完整版)高中导数经典知识点及例题讲解
§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为ΔyΔx＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则ΔyΔx＝________，表示函数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率.1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1答 案2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.如何理解Δx ，Δy 的含义Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．2．求平均变化率的步骤求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，π2]上的平均变化率为sin π2－sin0π2－0＝2π.在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.典例剖析题型一求函数的平均变化率例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求t＝0到t＝1的平均速度．分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔSΔt就可以得到平均速度．解(1)由于v＝St＝3t－t2t＝3－t.∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1∴v＝ΔSΔt＝21＝2.∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝( )A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx.∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3答案D题型二平均变化率的快慢比较例2 求正弦函数y＝sin x在0到π6之间及π3到π2之间的平均变化率．并比较大小．分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．解设y＝sin x在0到π6之间的变化率为k1，则k 1＝sinπ6－sin0π6－0＝3π.y ＝sin x 在π3到π2之间的平均变化率为k 2，则k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－32π6＝32－3π.∵k 1－k 2＝3π－32－3π＝33－1π>0，∴k 1>k 2.答：函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且3π>32－3π.变式训练2 试比较余弦函数y ＝cos x 在0到π3之间和π3到π2之间的平均变化率的大小．解 设函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率是k 1，则k 1＝cos π3－cos0π3－0＝－32π.函数y ＝cos x 在π3到π2之间的平均变化率是k 2，则k 2＝cosπ2－cos π3π2－π3＝－3π.∵k 1－k 2＝－32π－(－3π)＝32π>0，∴k 1>k 2.∴函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π2之间的平均变化率．题型三 平均变化率的应用例3 已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs ―→ΔsΔt解 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4ΔtΔt＝4＋Δt .变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，该质点在[2,2＋Δt ](Δt >0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．解 质点在[2,2＋Δt ]上的平均速度为v －＝s 2＋Δt －s 2Δt＝[2＋Δt 2＋1]－22＋1Δt＝4Δt ＋Δt2Δt＝4＋Δt .又v －≤5，∴4＋Δt ≤5. ∴Δt ≤1，又Δt >0，∴Δt 的取值范围为(0,1]. § 1.1 函数的单调性与极值 1.1.2 导数的概念自学引导1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数f (x )在某一点x 0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x 0处的导数.课前热身1.瞬时速度．设物体的运动方程为S ＝S (t )，如果一个物体在时刻t 0时位于S (t 0)，在时刻t 0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)．那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的________，即v ＝S t 0＋Δt －S t 0Δt.当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻t 0的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻t 0的速度，当Δt →0时，这个平均速度的极限v ＝lim Δt →0ΔS Δt ＝lim Δt →0S t 0＋Δt －S t 0Δt就是物体在时刻t 0的速度即为________． 2．导数的概念．设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，这个常数A 就是函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.用符号语言表达为f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝________1.平均速度 瞬时速度 答 案2.lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.求瞬时速度的步骤(1)求位移增量ΔS ＝S (t ＋Δt )－S (t )；(2)求平均速度v ＝ΔS Δt；(3)求极限limΔt→0ΔSΔt＝limΔt→0S t ＋Δt－S tΔt；(4)若极限存在，则瞬时速度v＝limΔt→0ΔS Δt.2．导数还可以如下定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.3．对导数概念的理解(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：①limΔx→0ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；②limΔx→0ΔyΔx不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．(3)Δx称为自变量x的增量，Δx可取正值也可取负值，但不可以为0.(4)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x)＝limx→x0f x－f xx－x与定义中的f′(x0)＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx意义相同．4．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率：ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx；(3)取极限，得导数：f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.典例剖析题型一物体运动的瞬时速度例1 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．分析先求出Δs，再用定义求ΔsΔt，当Δt→0时的极限值．解∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t＋Δt)2－(v0t0－12gt2)＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12g·Δt.∴当Δt→0时，ΔsΔt→v0－gt0.故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.规律技巧瞬时速度v是平均速度v在Δt→0时的极限.因此，v＝limΔt→0v＝limΔt→0ΔsΔt.变式训练1 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝5t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度。
导数常见题型及知识点分析（名师总结）
导数常见题型及知识点分析（名师总结）第⼀部分：导数的运算法则及基本公式应⽤重难点归纳1深刻理解导数的概念，了解⽤定义求简单的导数y表⽰函数的平均改变量，它是Δx 的函数，⽽f ′(x 0)表⽰⼀个数值，即f ′(x )=xyx ??→?lim0，知道导数的等价形式()()(lim)()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=?-?+→?→? 2求导其本质是求极限，在求极限的过程中，⼒求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键3对于函数求导，⼀般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应⽤，⽽且要特别注意求导法则对求导的制约作⽤，在实施化简时，⾸先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误4 复合函数求导法则，像链条⼀样，必须⼀环⼀环套下去，⽽不能丢掉其中的⼀环必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合⽽成的，分清其间的复合关系典型题例⽰范讲解例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω命题意图本题3个⼩题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的⽅法，以及抽象函数求导的思想⽅法这是导数中⽐较典型的求导类型知识依托解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数错解分析本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错技巧与⽅法先分析函数式结构，找准复合函数的式⼦特征，按照求导法则进⾏求导22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解y =µ3,µ=ax －b sin 2ωx ,µ=av －byv =x ,y =sin γγ=ωxy ′=(µ3)′=3µ2·µ′=3µ2(av －by )′=3µ2(av ′－by ′)=3µ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法⼀设y =f (µ),µ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′µµ′v ·v ′x =f ′(µ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法⼆y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·2x =12+x x f ′(12+x )例2利⽤导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C nn ,(n ∈N *)命题意图培养考⽣的思维的灵活性以及在建⽴知识体系中知识点灵活融合的能⼒知识依托通过对数列的通项进⾏联想，合理运⽤逆向思维由求导公式(x n )′=nx n －1,可联想到它们是另外⼀个和式的导数关键要抓住数列通项的形式结构错解分析本题难点是考⽣易犯思维定势的错误，受此影响⽽不善于联想技巧与⽅法第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导解(1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1); 当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n =xx x n --+11,两边都是关于x 的函数，求导得(x +x 2+x 3+…+x n)′=(xx x n --+11)′即S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+ (2)∵(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n,两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n x n －1,令x =1得，n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,即S n =C 1n +2C 2n +…+n C n n =n ·2n －1学⽣巩固练习1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1D 22经过原点且与曲线y =59++x x 相切的⽅程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x+y =0C x +y =0或25x －y =0D x －y =0或25x－y =03若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________4设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的⽅程 6求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y 7有⼀个长度为5 m 的梯⼦贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚14 m 时，梯⼦上端下滑的速度8求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1 ,(x ≠0,n ∈N *) 参考答案1解析y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1答案B2解析设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =00x y ,另⼀⽅⾯，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x , 故y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0 得x 0(1)=－3, x 0 (2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53),从⽽得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )=251)515(42-=+-- , 由于切线过原点，故得切线l A :y =－x 或l B :y =25x答案A3解析根据导数的定义f ′(x 0)=kx f k x f k ---+→)()]([(lim 000(这时k x -=?)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---?-=--∴→→→x f k x f k x f kx f k x f k x f k x f k k k答案－14解析设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！答案n ! 5解设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2) 对于C 1y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线⽅程为 y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①对于C 2y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线⽅程为 y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4,解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0∴直线l ⽅程为y =0或y =4x －4 6解(1)注意到y ＞0,两端取对数，得 ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2x x xe x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1?+-=?+-?+-+-=?+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='?∴(2)两端取对数，得ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |),两边解x 求导，得 31)1(31)1(131)1(131)111(311xx x x y x x y x x x x y y --=?-?='∴-=---='?7解设经时间t 秒梯⼦上端下滑s ⽶,则s =5－2925t -,当下端移开14 m 时，t 0=157341=?,⼜s ′=－21(25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t29251t-, 所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157?-?=0875(m/s)8解(1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1),当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1 =21)1()1(1x nx x n n n -++-+,两边同乘以x ,得x +2x 2+3x 2+…+nx n=221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导，得S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2xn -1=322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++第⼆部分：⽤导数求切线⽅程的四种类型求曲线的切线⽅程是导数的重要应⽤之⼀，⽤导数求切线⽅程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的⼀点，则以P 的切点的切线⽅程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平⾏于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线⽅程为0x x =．下⾯例析四种常见的类型及解法．类型⼀：已知切点，求曲线的切线⽅程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代⼊点斜式⽅程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线⽅程为（）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线⽅程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因⽽选Ｂ．例2已知曲线C y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的⽅程及切点坐标解由l 过原点，知k =00x y(x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0,∴00x y =x 02－3x 0+2y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2⼜k =00x y,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23由x ≠0,知x 0=23∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83∴k =00x y =－41∴l ⽅程y =－41x 切点(23，－83)类型⼆：已知斜率，求曲线的切线⽅程此类题可利⽤斜率求出切点，再⽤点斜式⽅程加以解决．例3 与直线240x y -+=的平⾏的抛物线2y x =的切线⽅程是（）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --=Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线⽅程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利⽤?法加以解决，即设切线⽅程为2y x b =+，代⼊2y x =，得220x x b --=，⼜因为0?=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上⼀点，求切线⽅程过曲线上⼀点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即⽤待定切点法．例4 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线⽅程．解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线⽅程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．⼜知切线过点(11)-，，把它代⼊上述⽅程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线⽅程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x--+=-+，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728??-，为切点的直线．这说明过曲线上⼀点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可⽤待定切点法．类型四：已知过曲线外⼀点，求切线⽅程此类题可先设切点，再求切点，即⽤待定切点法来求解．例5 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线⽅程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|．∴切线⽅程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--．⼜已知切线过点(20)，，把它代⼊上述⽅程，得020011(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的⼀点，但在解答过程中却⽆需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的⾼效性．例6 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线⽅程．解：曲线⽅程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满⾜30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的⽅程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线⽅程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型⼀或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．第三部分：导数的应⽤最⼤值与最⼩值⼀、教学内容导数的应⽤最⼤值与最⼩值⼀般地，在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最⼤值与最⼩值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不⼀定有最⼤值与最⼩值，例如xx f 1)(=在),0(∞+内的图象连续，但⽆最⼤值和最⼩值。
导数的极值与最值题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第6讲导数的极值与最值题型总结【考点分析】考点一：函数的驻点若()00='x f ，我们把0x 叫做函数的驻点．考点二：函数的极值点与极值①极大值点与极大值：函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值，其中0x 叫做函数的极大值点②极小值点与极小值：函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值，其中0x 叫做函数的极小值点考点三：求可导函数()f x 极值的步骤①先确定函数()f x 的定义域；②求导数()f x '；③求方程()0f x '=的根；④检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注意：可导函数()x f 在0x x =满足0()0f x '=是()x f 在0x 取得极值的必要不充分条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.考点四：函数的最值一个连续函数在闭区间[]b a ,上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。
求函数最值的步骤为：①求()y f x =在[]b a ,内的极值（极大值或极小值）；②将()y f x =的各极值与()a f 和()b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【题型目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：根据极值、极值点求参数的值题型三：根据极值、极值点求参数的范围题型四：利用导数求函数的最值（不含参）题型五：根据最值求参数题型六：根据最值求参数范围【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点【方法总结】利用导数求函数极值的步骤如下：（1）求函数()f x 的定义域；（2）求导；（3）解方程()00f x '=，当()00f x '=；（4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值；【例1】(2022石泉县石泉中学)函数()2x x f x e=的极小值为()A ．0B ．1eC ．2D ．24e 【答案】A【解析】由()2x xf x e=，得()()()2222x xxx x x xe x e f x e e ---'==，当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x <或2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以当0x =时，函数()2x x f x e=取得极小值，极小值为()000f e ==.故选：A.【例2】(2021·河南新乡市)已知函数()ln f x x ax =-的图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则()f x 的极大值为()A ．ln 21--B ．ln 21-+C ．1-D ．1【答案】A【解析】因为()ln f x x ax =-，所以1()f x a x'=-，又因为函数()f x 在图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，所以(1)1f a b =-=--，(1)11f a ='-=-，解得2a =，1b =.由112()2x f x x x-'=-=，102x <<，()0f x '>，12x >，()0f x '<，知()f x 在12x =处取得极大值，11ln 1ln 2122f ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭.故选：A.【例3】若函数2()x f x e ax a =--在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞【答案】B【解析】由()2()x xf x e ax a f x e a'=--⇒=-因为2()x f x e ax a =--在R 上有小于0的极值点，所以()0xf x e a ='-=有小于0的根，由x y e =的图像如图：可知()0xf x e a ='-=有小于0的根需要01a <<，所以选择B【例4】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数()sin ,()e xxf x xg x =-为()f x 的导函数．(1)判断函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；【答案】(1)存在；极小值【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对()g x '求导后，判断()g x '的单调性，结合零点存在性定理可得结果；【解析】(1)由()sin ex x f x x =-，可得2e e 1()cos cos (e )e x x x x x xg x x x --=-=-，则2e (1)e 2π()sin sin ,0,(e )e 2x x x x x x g x x x x ----⎛⎫'=+=+∈ ⎪⎝⎭，令2()sin e x x h x x -=+，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2e (2)e 3()cos cos 0(e )e x x x x x x h x x x ---'=+=+>，所以()h x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()g x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为π2π2π2(0)20,102eg g -⎛⎫''=-<=+> ⎪⎝⎭，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x '>单调递增，所以当0x x =时，函数()g x 取得极小值．【例5】（2022·江苏苏州·模拟预测）函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；【答案】(1)极大值，12π-；极小值，1-；【分析】（1）由题可得()14f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，进而可得；【解析】(1)∵()sin cos f x x x x =--，∴()1cos sin 1cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+' ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，可得2x π=-，或0x =，∴,2x ππ⎛⎫∈-- ⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '<单调递减，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，∴2x π=-时，函数()f x 有极大值(122f ππ-=-，0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =-；【题型专练】1.已知e 为自然对数的底数，设函数()x xe x f =，则A ．1是()x f 的极小值点B ．﹣1是()x f 的极小值点C ．1是()x f 的极大值点D ．﹣1是()x f 的极大值点【答案】B 【解析】【详解】试题分析：，当时，，当时，，当时，，所以当时，函数取得极小值，是函数的极小值点，故选B.考点：导数与极值2.（2022福建省福建师大附中高二期末多选）定义在R 的函数()f x ，已知()000x x ≠是它的极大值点，则以下结论正确的是（）A ．0x -是()f x -的一个极大值点B ．0x -是()f x -的一个极小值点C ．0x 是()f x -的一个极大值点D ．0x -是()f x --的一个极小值点【答案】AD【解析】()000x x ≠是()f x 的极大值点，就是存在正数m ，使得在00(,)x m x -上，()0f x '>，在00(,)x x m +上，()0f x '<．设()()g x f x =-，()()g x f x ''=--，当00x x x m -<<-+时，00x m x x -<-<，()0f x '->，()0g x '<，同理00x m x x --<<-时，()0g x '>，∴0x -是()f x -的一个极大值点，从而0x -是()f x --的一个极小值点，0x 是()f x -的一个极小值点．不能判定0x -是不是()f x -的极值点．故选：AD.3.（2022江西高三期中（文））已知函数()ln f x a x ax =+，2()2g x x x =+，其中a R ∈.（1）求函数()()()h x f x g x =+的极值；（2）若()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()()2212,0B x g x xx <<处的切线互相垂直，求21x x -的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）1.【解析】（1）函数2()ln (2)h x a x x a x =+++的定义或为(0,)+∞，2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=，若0a ≥，()0h x '>恒成立，此时()h x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；若0a <时，()0h x '=，解得2a x =-，当02ax <<-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ax >-时，()0h x '>，()h x 单调递增.∴当2a x =-时，()h x 有极小值2ln 224a a ah a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）()22g x x '=+，则()()1222221x x ++=-，其中，120x x <<，1222022x x ∴+<<+，且()121141x x =--+，210x -<<，()212211141x x x x ∴-=++≥+，当且仅当21(1,0)2x =-∈-时取等号，∴当212x =-，132x =-时，21x x -取最小值1.题型二：根据极值、极值点求参数的值【方法总结】解含参数的极值问题要注意：①()00f x '=是0x 为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；②若函数()y f x =在区间(,)a b 内有极值，那么()y f x =在(,)a b 内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．【例1】(2022全国课时练习)若函数()2()1xf x x ax e =--的极小值点是1x =，则()f x 的极大值为()A ．e -B ．22e -C ．25e -D ．2-【答案】C【解析】由题意，函数()2()1x f x x ax e =--，可得2()(2)1x f x e x a x a '⎡⎤=+---⎣⎦，所以(1)(22)0f a e '=-=，解得1a =，故()2()1x f x x x e =--，可得()())1(2xf x ex x '=+-，则()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()f x 的极大值为2(2)5f e --=．故选：C.【例2】(2021·全国课时练习)若函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，则a=__________．【答案】2【解析】由2322()()2f x x x a x ax a x ==--+可得22()34f x x ax a '=-+，因为函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，所以2(2)1280f a a '=-+=，解得2a =或6a =，若2a =，则2()384(2)(32)f x x x x x '=-+=--，当2,3x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以函数()f x 在2x =处取得极小值，符合题意；当6a =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，当(),2x ∈-∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当()2,6x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当()6,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以函数在2x =处取得极大值，不符合题意；综上：2a =.故答案为：2.【例3】（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（）A ．-1B ．2C ．-3D ．4【答案】B 【解析】【分析】对()f x 求导，由函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()0f a ¢=，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，对()f x 求导，求单调区间及极大值，由()f x 的极大值为4，列方程得解.【详解】解：()()()e xf x x a x b =--()2e x x ax bx ab =--+，所以()()()22e e x x f x x a b x ax bx ab '=--+--+()2e 2x x a b x ab a b ⎡⎤=+--+--⎣⎦因为函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()()()2e 2e 0a af a a a b a ab a b a b '⎡⎤=+--+--=-=⎣⎦，所以a b =，()()2e x f x x a ∴=-，()()()()22e 222=e 2x x f x x a x a a x ax a '⎡⎤=+-+----⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()0f x '=，得=x a 或=2x a -，当()2x a ∈-∞-，时，()0f x '>，所以()f x 在()2a -∞-，单调递增，当()2x a a ∈-，时，()0f x '<，所以()f x 在()2a a -，单调递增，当()x a ∈∞，+时，()0f x '>，所以()f x 在()a ∞+，单调递增，所以()f x 在=2x a -处有极大值为()22e ==44a f a --，解得=2a ，所以=2b .故选：B 【题型专练】1．设函数()23ln 2f x x ax x =+-，若1x =是函数()f x 是极大值点，则函数()f x 的极小值为________【答案】ln 22-【解析】函数()2313ln '()222f x x ax x f x ax x =+-⇒=+-1x =是函数()f x 是极大值点则131'(1)20124f a a =+-=⇒=()213113ln '()04222f x x x x f x x x =+-⇒=+-=1x =或2x =当2x =时()f x 的极小值为ln 22-故答案为：ln 22-2．（2023全国高三专题练习）已知函数()ln 1xf x ae x =--，设1=x 是()f x 的极值点，则a =___，()f x 的单调增区间为___.【答案】1e()1,+∞【解析】由题意可得：()1xf x ae x'=-1x = 是()f x 的极值点()110f ae ∴=-='1a e⇒=即()1ln 1x f x ex -=--()11x f x e x-⇒-'=令()0f x '>，可得1x >()f x ∴的单调递增区间为()1,+∞3．（2023河南省实验中学高二月考）函数1sin sin 33y a x x =+在3x π=处有极值，则a 的值为（）A ．6-B ．6C ．2-D ．2【答案】D【解析】cos cos3,y a x x +'=由3|0x y π=='得，cos cos 0,2,3a a ππ+==选D.点睛：函数()f x 在点3x π=处由极值，则必有()0,3f π'=但要注意()0,3f π'=3x π=不一定是()f x 的极值点.题型三：根据极值、极值点求参数的范围【例1】（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．()2,-+∞C ．()2,+∞D ．()2,2-【答案】A 【解析】【分析】求出()f x '，分0a ≥，2a <-，20a -<<，2a =-分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.【详解】()()()()()22224224222x a x a x x a a f x x a x x x+---+'=+--==，()0x >若0a ≥时，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<；则()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当2a <-时，由()0f x '>可得02x <<或x a >-；由()0f x '<可得2x a <<-所以在()0,2上单调递增；在()2,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极大值，满足条件.当20a -<<时，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >；由()0f x '<可得2a x -<<所以在()0,a -上单调递增；在(),2a -上单调递减，在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，不满足条件.当2a =-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增.此时()f x 无极值.综上所述：2a <-满足条件故选：A【例2】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（）A ．()2,2-B ．(-C ．⎡-⎣D ．[]22-,【答案】D 【解析】【分析】求()()222e x x a f x x a ⎡⎤++++⋅⎣⎦'=，由分析可得()2220y x a x a =++++≥恒成立，利用0∆≤即可求得实数a 的取值范围.【详解】由()()22e xx a f x x =++⋅可得()()()()222e 2e 22e x x xx a x ax x a x f a x ⎡⎤=+⋅+++⋅=++++⋅⎣⎦'，e 0x >恒成立，()222y x a x a =++++为开口向上的抛物线，若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则()2220y x a x a =++++≥恒成立，所以()()22420a a ∆=+-+≤，解得：22a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[]22-,，故选：D.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数()(ln )xe f x a x x x=--在(0,1)内有极值，则实数a 的取值范围是（）A ．(,)e -∞B ．(0,)eC ．(,)e +∞D ．[),e +∞【答案】C 【解析】【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.【详解】由()(ln )x e f x a x x x=--得，21111()()(1)(1)()x x e f x e a a x x x x x '=---=--，因函数()(ln )x e f x a x x x=--在(0,1)内有极值，则(0,1)x ∈时，()0xef x a x '=⇔=有解，即在(0,1)x ∈时，函数()xe g x x=与直线y=a 有公共点，而1()(10x e g x x x'=-<，即()g x 在(0,1)上单调递减，(0,1),()(1)x g x g e ∀∈>=，则a e >，显然在x e a x =零点左右两侧()'f x 异号，所以实数a 的取值范围是(,)e +∞.故选：C 【点睛】结论点睛：可导函数y ＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．【例4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，若2x =是()f x 的极小值点，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】根据导函数的正负，对a 分类讨论，判断极值点，即可求解.【详解】由()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦得()()()12e x f x ax x '=--，令()()()()()12e 0120x f x ax x ax x '=-->⇒-->，若0a <，则()()11202ax x x a -->⇒<<，此时在12x a <<单调递增，在12,x x a><单调递减，这与2x =是()f x 的极小值点矛盾，故舍去.若0a =，可知2x =是()f x 的极大值点，故不符合题意.若102a >>，()()11202,ax x x x a -->⇒<>，此时()f x 在12,x x a <>单调递增，在12x a<<单调递减，可知2x =是()f x 的极大值点，故不符合题意.当12a >，，()()11202,ax x x x a -->⇒><，此时()f x 在12,x x a ><单调递增，在12x a>>单调递减，可知2x =是()f x 的极小值点，符合题意.若12a =，()f x 在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.综上可知：12a >故选：B【例5】（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数()sin f x ax x =+，()0,πx ∈．(1)当1a =时，过()0,1做函数()f x 的切线，求切线方程；(2)若函数()f x 存在极值，求极值的取值范围．【答案】(1)1y x =+，(2)()0,π【解析】【分析】（1）设切点，再根据导数的几何意义求解即可；（2）求导分析导函数为0时的情况，设极值点为0x 得到0cos a x =-，代入极值再构造函数()cos sin h x x x x =-+，求导分析单调性与取值范围即可(1)由题，当1a =时，()sin f x x x =+，()1cos f x x '=+，设切点为()000,sin x x x +，则()001cos f x x '=+，故切线方程为()()0000sin 1cos y x x x x x --=+-，又切线过()0,1，故()00001sin 1cos x x x x --=-+，即000sin cos 10x x x --=，设()sin cos 1g x x x x =--，()0,πx ∈，则()sin 0g x x x '=>，故()g x 为增函数.又sin cos 102222g ππππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故000sin cos 10x x x --=有唯一解02=x π，故切点为,122ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，斜率为1，故切线方程为122y x ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即1y x =+；(2)因为()cos f x a x '=+，()0,πx ∈为减函数，故若函数()f x 存在极值，则()0f x ¢=在区间()0,πx ∈上有唯一零点设为0x ，则0cos 0a x +=，即0cos a x =-，故极值()000000sin cos sin f x ax x x x x =+=-+，设()cos sin h x x x x =-+，()0,πx ∈，则()sin 0h x x x '=>，故()h x 为增函数，故()()()0h h x h π<<，故()0h x π<<，即()()00,f x π∈，故极值的取值范围()0,π【点睛】本题主要考查了过点的切线问题，同时也考查了利用导数研究函数的极值问题，需要根据题意设极值点，得到极值点满足的关系，再代入极值构造函数分析，属于难题【例6】（2022·天津·耀华中学二模）已知函数()ln (0)xae f x x x a x=+->.(1)若1a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在两个极小值点12,x x ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)+∞，(2)1(0,)e【解析】【分析】（1）当1a =时，求得2(1)(e )()x x x f x x '--=，令()e xm x x =-，利用导数求得()0m x >，进而求得函数的单调区间；（2）求得2(1)(())x x xx a e ef x x -'=-，令()e x x u x =，结合单调性得到()e 1u x ≤，进而得到10e ex x <≤，分1e a ≥和10ea <<，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.(1)解：当1a =时，函数e ()ln xf x x x x =+-，可得221(1)(1)()()1x x e e f x x x x x x x -'+--=-=，令,())(0,x m x e x x -∈=+∞，可得()e 10x m x '=->，所以函数()m x 单调递增，因为()(0)1m x m >=，所以()0m x >，当(0,1)x ∈时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，即函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.(2)解：由函数()ln ,(0,)xae f x x x x x =+-∈+∞，可得22(()(1)())1(),0x x xe ae x x ef x x x x x a x --'==->-，令()e xx u x =，可得()1e x u x x='-，所以函数()u x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()e1u x ≤，当0x >时，可得e 1x >，所以10e ex x <≤，①当1ea ≥时，0e x xa -≥，此时当(0,1)x ∈时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以函数()f x 的极小值为()1e 1f a =-，无极大值；②当10e a <<时，()()0e e e1,1a a a u a a u a =<==>，又由()u x 在(),1a 上单调递增，所以()f x ¢在(),1a 上有唯一的零点1x ，且11e x xa =，因为当e x >时，令()2ln g x x x =-，可得()2210x g x x x-'=-=<，又因为()0e e 2g =-<，所以()0g x <，即2ln x x <，所以112ln a a<，所以2212ln 11ln2ln 1(ln )1aa a u a a a ea==⋅<，e 1(1)u a =>，因为()u x 在(1,)+∞上单调递减，所以()f x ¢在21(0,ln )a 上有唯一的零点2x ，且22e x x a =，所以当1(0,)x x ∈时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当1(,1)x x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当2(1,)∈x x 时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以函数()f x 有两个极小值点，故实数a 的取值范围为1(0,)e.【题型专练】1．（2022贵州遵义·高三）若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点则实数a 的取值范围是（）A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】321()53f x x ax x =-+- ,2()21f x x ax '∴=-+，由函数321()53f x x ax x =-+-无极值点知，()0f x '=至多1个实数根，2(2)40a ∴∆=--≤，解得11a -≤≤，实数a 的取值范围是[1,1]-，故选：B2.（2022湖南湘潭·高三月考（理））已知函数2()e 2x f x ax ax =-+有两个极值点，则a 的取值范围是（）A ．(,)e +∞B ．,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,e +∞D ．2,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】因为2()e 2x f x ax ax =-+有两个极值点，所以()0f x '=有两个不同实数根，所以220x e ax a -+=有两个不同实数根，所以()21xe a x =-有两个不同实数根，显然0a ≠，所以112x x a e -=有两个不同实数根，记()1xx g x e -=，()2x x g x e -'=，当(),2x ∈-∞时()0g x '>，当()2,x ∈+∞时()0g x '<，所以()g x 在(),2-∞上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()()2max 12g x g e==，又因为(],1x ∈-∞时，()0g x ≤；当()0,2x ∈时，()210,g x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当[)2,x ∈+∞时，()210,g x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以当112x x a e-=有两个不同实数根时2110,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22a e >，所以22e a >，故选：D.3.若函数2()2ln f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．12a >B ．102a -<<C ．12a <D ．102a <<【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，由导函数有两个零点可得实数a 的取值范围.【详解】∵2()2ln f x x x a x =-+有两个不同的极值点，∴222()2202a x x af x x x-+'=-+==在(0,)+∞有2个不同的零点，∴2220x x a -+=在(0,)+∞有2个不同的零点，∴Δ4800a a =->⎧⎨>⎩，解得102a <<．故选：D.4.（2020·辽宁高三月考）已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________.【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭[)5,-+∞【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<.()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---,设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭,22()0a h a a'-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-.因此t 的取值范围是[)5,-+∞故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞5.（2022·江苏南通·高二期末）若x ＝a 是函数2()()(1)f x x a x =--的极大值点，则a 的取值范围是（）A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ．1a ≥【答案】A 【解析】【分析】求导后，得导函数的零点2,3a a +，比较两数的大小，分别判断在x a =两侧的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在x a =处取到极大值，即可求得a 的范围．【详解】解：2()()(1)f x x a x =--，Rx ∈()()(32)f x x a x a '∴=---令()()(32)0f x x a x a '=---=，得：2,3a x a x +==当23a a +<，即1a <此时()f x 在区间(,)a -∞单调递增，2(,)3a a +上单调递减，2(,)3a ++∞上单调递增，符合x ＝a 是函数()f x 的极大值点，反之，当23a a +>，即1a >，此时()f x 在区间2(,3a +-∞单调递增，2(,)3a a +上单调递减，(,)a +∞上单调递增，x ＝a 是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当23a a +=，即1a =，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在R x ∈上单调递增，无极值点.综上得：1a <.故选：A.6.（2020·江苏盐城·高三期中）若函数()21ln 2f x x b x ax =++在()1,2上存在两个极值点，则()39b a b ++的取值范围是_______.【答案】814,16⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为()()21ln 02f x x b x ax x =++>，所以()2b x ax bf x x a x x++'=++=，设()2g x x ax b =++，因为函数()f x 在()1,2上存在两个极值点，所以()f x '在()1,2上存在两个零点，所以()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12,x x 且12x x ≠，所以根据韦达定理有：1212x x ax x b+=-⎧⎨⋅=⎩，故()23939b a b b ab b++=++()()21212121239x x x x x x x x =⋅-⋅++⋅()()22112233x x x x =--，因为()11,2x ∈，所以221113993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，222223993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，由于12x x ≠，所以()()22112281334,16x x x x ⎛⎫--∈⎪⎝⎭.故答案为：814,16⎛⎫⎪⎝⎭.7.(2018年北京高考题)设函数()()23132e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦。
导数知识梳理
导数知识梳理（一） 基本知识1、 导数定义2、 导数的几何意义已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．3、 导数运算及运算法则求y=xx sin 2的导数； 4、 单调区间、极值、最值的步骤与方法（1）函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( )A. )2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D. ),2(+∞（2）已知某质点的运动方程为32(),s t t bt ct d =+++下图是其运动轨迹的一部分，若1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()3s t d <恒成立，求d 的取值范围. 5、定积分 函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 A.32 B. 1 C. 2 D.12（二） 典型例题导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例1．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围．例2. 已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点． 例3．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．（三） 习题训练1、设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围； ⑵若函数()f x x a =在处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性2、已知函数()ln a f x x x=+． ⑴当0a <时，求函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 在[]1,e 上的最小值是3,2求a 的值． 3、已知函数2()1f x x =-与函数()ln (0)g x a x a =≠． ⑴若()f x ，()g x 的图象在点()1,0处有公共的切线，求实数a 的值；⑵设()()2()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值．4、已知函数()ln f x x a x =+，其中a 为常数，且1a -≤．⑴当1a =-时，求()f x 在2[e ,e ]（e 2.71828=）上的值域；⑵若()e 1f x -≤对任意2[e ,e ]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围5、已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． ⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．6、已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >． ⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（四） 函数选择训练1、设a=0.32，b=20.3，c=log 20.3则它们的大小关系为（ ）A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<c<a2、如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图像的交点，那么称这个点为"好点".下列四个点)2,2(),21,21(),2,1(),1,1(4321P P P P 中，"好点"有（ ）个A. 1B.2C.3D.43、已知函数[]2,1,log 2)(2∈+=x x x f ，则函数)()(2x f x f y +=的值域为（ ） A.[]5,4 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡211,4 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡213,4 D.[]7,4 4、下面的说法正确的是（ ）A.若)(0'x f 不存在，则曲线)(x f y =在点()()00,x f x 处没有切线.B.若曲线)(x f y =在点()()00,x f x 处有切线，则)(0'x f 必存在.C.若)(0'x f 不存在，则曲线)(x f y =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在.D.若曲线)(x f y =在点()()00,x f x 处没有切线，则)(0'x f 有可能存在.5、在函数x x y 4613-=的图像上，其切线的倾斜角小于4π的点中，横坐标为整数的点有（ ）A.7B.5C.4D.26、若函数f(x)的反函数为f )(1x -,则函数f(x-1)与f )1(1--x 的图象可能是 （ ）7、方程322670(0,2)x x -+=在内根的个数为( )A 、0B 、-1C 、1D 、38、定义在R 上的函数的图像关于点（-34，0）成中心对称且对任意的实数x 都有f （x ）=-f （x+32）且f （-1）=1，f （0）=-2，则f （1）+f （2）+……+f （2010）=（ ） A ．0 B ．-2 C ．-1 D ．-49、（理）设f (x )=|2－x 2|，若0＜a ＜b 且f (a )=f (b )，则a +b 的取值范围是（ ）A ．(0，2)B ．(0,2)C ．(0,4)D ．(0，22)10、（理）如果函数f （x ）= 13x 3+12ax 2+284a -x 在x=1处的切线恰好在此处穿过函数图像则a=（ ）A ．3B ．-1C ．-2D ．0【答案与解析】1、A 本题考查中介法和单调性法比较大小，log 20.3<0，而其他两个都大于零，至于a 和b ，构造中介0.30.3或22，然后分别利用指数函数和幂函数的单调性比较，例如20.3>0.30.3>0.322、B 设指数函数和对数函数分别为)1,0(log ),1,0(≠>=≠>=b b x y a a a y b x .若为"好点"，则)1,1(1P 在x a y =上，得1=a 与1,0≠>a a 矛盾；)2,1(2P 显然不在x y b log =；)21,21(3P 在x y a y b x log ,==上时41,41==b a ，易得)2,2(4P 也为"好点" 3、B 由x x x x f x f y 22222log 34log 2log 2)()(+=+++=+=，注意到为使得)()(2x f x f y +=有意义必有212≤≤x 得21≤≤x ，从而2114≤≤y . 4、C （理）曲线在()()00,x f x 处有导数，则切线一定存在，但有切线，切线的斜率可能不存在，即导数不存在.5、D 由x x y 4613-=得4212'-=x y ，切线的倾斜角小于4π，则142102<-≤x ，所以3,1082±=<≤x x ，即点⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-215,3,215,3两点的切线倾斜角小于4π. 6、C 函数 f(x-1)是由f （x ）向右平移一个单位得到，f )1(1--x 由f 1()x - 向右平移一个单位得到，而f （x ）和f 1()x -关于y=x 对称，从而f(x-1)与f )1(1--x 的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x-1 7、C （理）令32/2()267 ()612f x x x f x x x =-+=-，则＝)2(6-x x由//()020 ()002f x x x f x x 得或由得，又(0)70 (2)10f f ==-，8、A 由f （x ）=-f （x+32）得f （x ）＝f （x ＋3）即周期为3，由图像关于点（-34，0）成中心对称得f （x ）+f （-x-32）=0，从而-f （x+32）=- f （-x-32），所以f （x ）= f （-x ）。
高考导数问题常见题型总结
一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1． 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 22．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P Θ所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。
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高中导数的知识归纳和题型总结一、基本概念1. 导数的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数.()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)0x )(x f y =x 0x x ∆y )()(00x f x x f y -∆+=∆xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00)(x f y =0x x x ∆+0xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =))(,(0x f x )(x f y =))(,(0x f x )(0'x f ).)((0'0x x x f y y -=-法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 2.复合函数的导数形如)]([x f y ϕ=的函数称为复合函数.法则： [()]()*()f x f x ϕμϕ'''=.三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数)(x f y =在某个区间),(b a 可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 在此区间上为减函数.（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常函数.2．函数的极点与极值：当函数在点处连续时，①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.3．函数的最值：一般地，在区间],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值.函数)(x f 在区间上的最值],[b a 值点处取得。
只可能在区间端点及极 求函数)(x f 在区间上最值],[b a 的一般步骤：①求函数)(x f 的导数，令导数0)('=x f 解出方程的跟②在区间],[b a 列出)(),(,'x f x f x 的表格，求出极值及)()(b f a f 、的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值4．相关结论总结：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.)(x f 0x 0x )('x f )('x f )(0x f 0x )('x f )('x f )(0x f导数题型总结1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法-----结合图像分析5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）.例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <(0)0302(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩解法二：分离变量法：∵ 当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立,当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立 等价于233x m x x x->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3()h x x x=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立变更主元法再等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩2b a ∴-=例2：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---01a <<Q令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +- 当x=3a 时，)(x f 极大值=b. （Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立①则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a≤⎧⎨≥-⎩ 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a = 01,a <<Q 12a a a a +>+=（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题.22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数.∴max min ()(2)2 1.()(1)4 4.g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于(2)44,4 1.(1)215g a a a a g a a a +=-+≤⎧≤≤⎨+=-+≥-⎩解得 又,10<<a ∴.154<≤a 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 例3：已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-， 326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++>（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.解：（Ⅰ）/2()32f x x ax =+∴/(1)31f b a ⎧=-⎨=+⎩， 解得32a b =-⎧⎨=-⎩ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减，又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴()f x 的值域是[4,16]-（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2t h x f x g x x t x x =-=-++-∈2x a = []1,2a a ++思路1：要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥-分离变量 思路2：二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m , n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a , b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围． 解：)14()1(41)(2++++='a x a x x f . （Ⅰ）∵ ()f x '是偶函数，∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，341)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x . 列表如下：可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f . （Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，∴21()(1)(41)04f x x a x a '=++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法 则221(1)4(41)204a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤. 综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a . 例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围.子集思想解：（I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++-1、20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立当且仅当1x =-时取“=”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增.2、12120,()0,1,1,,a f x x x a x x '>==-=-<当时由得且单调增区间：(,1),(1,)a -∞--+∞单调增区间：(1,1)a --（II ）当()[0,1],f x Q 在上单调递增 则[]0,1是上述增区间的子集：1、0a =时，()(,)f x -∞+∞在单调递增 符合题意2、[]()0,11,a ⊆-+∞，10a ∴-≤ 1a ∴≤综上，a 的取值范围是[0，1].2、题型二：根的个数问题题1 函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点，即方程根的个数问题 解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；'第三步：解不等式（组）即可.例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1） 求实数k 的取值范围；（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立（分离变量法）即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：由于02<，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k综上，所求k 的取值范围为31-<k根的个数知道，部分根可求或已知.例7、已知函数 （1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由.解：（1）∵的图像过原点，则(0)00f c =⇒= 2()32f x ax x '=+-， 又∵是的极值点，则(1)31201f a a '-=--=⇒=-2()32(32)(1)0f x x x x x '∴=+-=-+=3()(1)2f x f =-=极大值 222()()37f x f ==-极小值 （2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，等价于()()f x g x =有含1x =-的三个根，即：1(1)(1)(1)2f g d b -=-⇒=-- 3221112(1)222x x x bx x b ∴+-=---整理得： 即：3211(1)(1)022x b x x b ---+-=恒有含1x =-的三个不等实根 3211()(1)(1)022h x x b x x b =---+-=有含1x =-的根， 则()h x 必可分解为(1)()0x +=二次式，故用添项配凑法因式分解，3x 22x x +-211(1)(1)022b x x b ---+-= 2211(1)(1)(1)022x x b x x b ⎡⎤+-++--=⎢⎥⎣⎦ 221(1)(1)2(1)02x x b x x b ⎡⎤+-++--=⎣⎦ 321()22f x ax x x c =+-+1x =-()f x ()f x ()f x 21()2g x bx x d =-+b ()g x ()f x 1x =-b ()f x 1x =-()f x ()g x ()f x 1x =-23 f '十字相乘法分解：[]()21(1)(1)(1)102x x b x b x +-+--+= 211(1)(1)(1)022x x b x b ⎡⎤+-++-=⎢⎥⎣⎦ 3211(1)(1)022x b x x b ∴---+-=恒有含1x =-的三个不等实根 等价于211(1)(1)022x b x b -++-=有两个不等于-1的不等实根. 2211(1)4(1)04211(1)(1)(1)022b b b b ⎧∆=+-⨯->⎪⎪⇒⎨⎪-+++-≠⎪⎩(,1)(1,3)(3,)b ⇒∈-∞-⋃-⋃+∞ 题2 切线的条数问题，即以切点0x 为未知数的方程的根的个数例7、已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．（1）由题意得：2'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4-∴4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③由①②③联立得：169a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴32()69f x x x x =-+-（2）设切点Q (,())t f t ，,()()()y f t f t x t -=-232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+-222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m -232(3129)(1)26m t t t t =-+--+-32()221290g t t t t m =--+-=令22'()66126(2)0g t t t t t =--=--=， 求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根.需：(1)0(2)0g g ->⎧⎨<⎩23129016122490m m --++->⎧⇒⎨--+-<⎩1611m m <⎧⇒⎨>-⎩ 故：1116m -<<；因此所求实数m 的范围为：(11,16)-题3 已知()f x 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法 例8、解：函数的定义域为R （Ⅰ）当m ＝4时，f (x )＝ 13x 3－72x 2＋10x ，()f x '＝x 2－7x ＋10，令()0f x '> ， 解得5,x >或2x <.令()0f x '< ， 解得25x <<可知函数f (x )的单调递增区间为(,2)-∞和（5，＋∞），单调递减区间为()2,5． （Ⅱ）()f x '＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6,要使函数y ＝f (x )在（1，＋∞）有两个极值点,()f x '⇒＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6=0的根在（1，＋∞） 根分布问题：则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;3 1.2m m f m m m ⎧⎪∆=+-+>⎪'=-+++>⎨⎪+⎪>⎩， 解得m ＞3例9、已知函数23213)(x x a x f +=，)0,(≠∈a R a （1）求)(x f 的单调区间；（2）令()gx＝14x 4＋f （x ）（x ∈R ）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围． 解：（1）)1()(2'+=+=ax x x ax x f当0>a 时，令0)('>x f 解得01>-<x a x 或，令0)('<x f 解得01<<-x a，所以)(x f 的递增区间为),0()1,(+∞--∞Y a ，递减区间为)0,1(a-.当0<a 时，同理可得)(x f 的递增区间为)10(a -，，递减区间为),1()0,(+∞--∞aY .（2）432113)42(g a x x x x =++有且仅有3个极值点⇒223(1())ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有3个根，则0x =或210x ax ++=，2a <- 方程210x ax ++=有两个非零实根，所以240,a ∆=->2a ∴<-或2a >而当2a <-或2a >时可证函数()y g x =有且仅有3个极值点其它例题：1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 解：（Ⅰ）32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-Q令'()f x =0,得[]1240,2,13x x ==∉-因为0>a ，所以可得下表：因此)0(f 必为最大值,∴50=）（f 因此5=b ， (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-Q ，即11516)2(-=+-=-a f ，∴1=a ，∴ .52(23+-=x x x f ）（Ⅱ）∵x x x f 43)(2-='，∴0(≤+'tx x f ）等价于0432≤+-tx x x ，令x x xt t g 43)(2-+=，则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时，求实数x 的取值范围，为此只需⎩⎨⎧≤≤-0)10)1(（g g ，即⎩⎨⎧≤-≤-005322x x x x ，解得10≤≤x ，所以所求实数x 的取值范围是[0，1]. 2、（根分布与线性规划例子） 已知函数322()3f x x ax bx c =+++ (Ⅰ) 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, 求)(x f 的解析式；(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值时, 设点(2,1)M b a -+所在平面区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分,求直线L 的方程.解： (Ⅰ). 由2()22f x x ax b '=++, 函数()f x 在1=x 时有极值 ,∴ 220a b ++= ∵ (0)1f = ∴ 1c = 又∵ ()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, ∴ (0)3f b '==- 故 12a = ∴ 3221()3132f x x x x =+-+ (Ⅱ) 解法一: 由2()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即0220480b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩令(,)M x y , 则 21x b y a =-⎧⎨=+⎩∴ 12a y b x =-⎧⎨=+⎩∴20220460x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩故点M 所在平面区域S 为如图△ABC, 易得(2,0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3(0,)2E -, 2ABC S ∆=同时DE 为△ABC 的中位线, 13DEC ABED S S ∆=四边形∴ 所求一条直线L 的方程为: 0x =另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y kx =,它与AC,BC 分别交于F 、G, 则 0k >, 1S =四边形DEGF由 220y kx y x =⎧⎨++=⎩ 得点F 的横坐标为: 221F x k =-+由 460y kx y x =⎧⎨++=⎩ 得点G 的横坐标为: 641G x k =-+∴OGE OFD S S S ∆∆=-四边形DEGF 61311222214121k k =⨯⨯-⨯+⨯=+ 即 216250k k +-=解得: 12k =或 58k =- (舍去) 故这时直线方程为: 12y x = 综上,所求直线方程为: 0x =或12y x =(Ⅱ) 解法二: 由2()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即0220480b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩令(,)M x y , 则 21x b y a =-⎧⎨=+⎩∴ 12a y b x =-⎧⎨=+⎩ ∴ 20220460x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,易得(2,0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3(0,)2E -, 2ABC S ∆=同时DE 为△ABC 的中位线, 13DECABED S S ∆=四边形∴所求一条直线L 的方程为: 0x =另一种情况由于直线BO 方程为: 12y x =, 设直线BO 与AC 交于H , 由 12220y xy x ⎧=⎪⎨⎪++=⎩ 得直线L 与AC 交点为: 1(1,)2H -- ∵ 2ABC S ∆=, 1112222DEC S ∆=⨯⨯=,11222211122H ABO AOH S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=AB∴ 所求直线方程为: 0x = 或12y x =3、（根的个数问题）已知函数32f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示.（Ⅰ）求c d 、的值；（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y 110+-=，求函数f ( x )的解析式；（Ⅲ）若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根，求实数a 的取值范围.解：由题知：2f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+（Ⅰ）由图可知，函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1f '= 0得332c 320d a b a b =⎧⎨++--=⎩⇒⎩⎨⎧==03c d （Ⅱ）依题意 ()2f '= – 3 且f ( 2 ) = 5124323846435a b a b a b a b +--=-⎧⎨+--+=⎩解得a = 1 , b = – 6所以f ( x ) = x 3 – 6x 2 + 9x + 3（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax 3 + bx 2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a ＞0 )()x f '= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b 由()5f '= 0⇒b = – 9a①若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当满足f ( 5 )＜8a ＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a ＜7a + 3⇒111＜a ＜3所以 当111＜a ＜3时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根 4、（简单切线问题）已知函数23)(ax x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数23()()3bxg x f x a=-+． （Ⅰ） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；（Ⅱ） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．（1）∵f′(x)= 3/a 2 •x2，∴由 3/a 2 •x2=3得x=±a ， 即切点坐标为（a ，a ），（-a ，-a a ）∴切线方程为y-a =3（x-a ），或y+a =3（x+a ）整理得3x-y-2a =0或3x-y+2a =0，解得a a=±1，∴f （x ）=x3．∴g （x ）=x3-3bx+3 ∵g′（x ）=3x2-3b ，g （x ）在x=1处有极值，∴g′（1）=0， 即3×12-3b=0，解得b=1，∴g （x ）=x3-3x+3 （2）∵函数g （x ）在区间[-1，1]上为增函数， ∴g′（x ）=3x2-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立，∴b≤0， 又∵b2-mb+4≥g （x ）在区间[-1，1]上恒成立， ∴b2-mb+4≥g （1）即b2-mb+4≥4-3b ，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0， 则m≥b+3在b ∈（-∞，0）上恒成立 ∴m≥3．故m 的取值范围是[3，+∞）。