由繁化简解决高中数学抛物线问题的4大技巧

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由繁化简解决高中数学抛物线问题的4大技巧

由繁化简解决高中数学抛物线问题的4大技巧
抛物线，是高中数学中的额一个重要考点，也是一个比较复杂的点，很多同学在做题的时候都摸不着头脑，其实高中数学中的抛物线是可以简化的，今天，亿家教小编就来跟大家分享4个简化抛物线运算的方法。

高中数学中的抛物线看似很难，学会这4个方法就都可以简化，希望同学们能够好好看一看，学会着4种方法，就可以简单地解决抛物线问题了。

一、舍而不求的整体处理
在求抛物线的方程的时候，设而不求是一个非常常用的方法，特别是在遇到两曲线交点和相关点的问题的时候，这个时候先根据题意设出方程，再求解，就会简单很多。

二、点差法
点差法，经常用于直线与抛物线相交弦的中点问题，其实这种问题的解答方法非常多，但是点差法是最直接、简便的，不仅可以提高同学们的解题效率，而且还能够保障同学们的正确率。

接下来，就给大家举一个例子分析一下：
三、韦达定理
在高中数学中，抛物线射击到弦长、弦中点、曲线与直线交点以及原点为垂足的垂直问题的时候，用韦达定理的话，可以不用求交点坐标，这就可以少很多麻烦，也会减少很多出错的机会，因为很多同学在求交点坐标的时候，很容易犯一些小错误。

四、常数代换，化成齐次方程
在抛物线的题目中，如果涉及到弦的两端与原点连线的斜率问题的时候，同学们要将它化为其次方程，之后再根据题目求解，这样会节省很多步骤，也可以保障同学们的正确率。

以上就是小编总结的4个解决高中数学中抛物线问题的方法，这4个方法都是非常实用的，不仅可以帮助同学们简化解题过程，还能够提高同学们的正确率，希望同学们都能够掌握。

简解抛物线问题的六种途径

简解抛物线问题的六种途径一、回归定义例1已知点P(3，2)在抛物线y2＝4x的内部，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M，使|MP|＋|MF|有最小值，并求此最小值．解：过M作准线l的垂线MA，垂足有A，则由抛物线的定义有|MF|＝|MA|．∴|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MA|，显然当P、M、A三点共线时，即|MP|＋|MF|最小．此时，M点的坐标为(1，2)，最小值为4．二、巧设方程例2抛物线顶点在顶点，焦点在x轴，而且被直线y＝2x＋1所截得的弦长AB为求抛物线的方程．分析：此题仅焦点位置定，而开口未定，常规方法要分类讨论．其实可巧设方程y2＝ax(a≠0)而得简解．解：由题意，可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，将直线方程y＝2x＋1代入抛物线方程，并消去y，整理，得4x2＋(4－a)x＋1＝0．则x1＋x2＝44a-，x1x2＝41．再由弦长公式|AB|＝∴，即a2－8a－48＝0．解得a＝12或a＝－4．故所求的抛物线方程为y2＝12x，或y2＝－4x．三、设而不求例3 已知抛物线y 2＝－8x 的弦PQ 被点A (－1，1)平分，求弦PQ 所在的直线方程．解：设PQ 的端点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有21122288y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝－8(x 1－x 2)， ∴2121y y x x --＝－4，即P Qk ＝－4．故PQ 所在的直线方程为y －1＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋3＝0．四、运用性质抛物线y 2＝2px (p ＞0)的性质很多，特别是过焦点F 的弦AB 的性质非常重要，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有性质：①y 1y 2＝－p 2；②x 1x 2＝24p ；③1A F＋1B F＝2p等等．例4过抛物线y 2＝2px 焦点F 的一条直线与抛物线交于P ，Q 两点，过P 与抛物线顶点的直线交准线于M ，求证：MQ 平行于抛物线的对称轴．证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，则由结论，得y 2＝21py -．又焦点F (2p ，0)，准线x ＝－2p ，则OP 所在的直线方程为y ＝11y xx ．则得M 点的纵坐标为y 3＝－2p •11y x ，又x 1＝212y p，故y 3＝－121p y y p＝－21py ．∴y 2＝y 3．所以直线MQ 平行于抛物线的对称轴．五、选取特例特别是有关定值的抛物线问题，或是有关抛物线的选择题，常常可用此法．例5 过抛物线()02>=a axy 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p、q，则11pq+等于 ()(A)2a(B)12a(C) 4a(D)4a解：取直线PQ 平行于x 轴，则p ＝q ＝12a，则11p q+＝2p＝4a ，选(C)．六、运用向量例6 过抛物线yp x p 220=>()的焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，自A 、B 两准线作垂线，垂足分别为A B ''、，求证：∠=︒A F B ''90．解：抛物线的焦点F p ()20，，设A 、B 两点的纵坐标分别为y y 12，，易得y y p122=-，又A p yB p y '()'()--2212，，，，则F A p y P B p y '()'()→=-→=-，，，12，故F A F B p y y p p ''→⋅→=+=-=21222，则F A F B ''→⊥→，即∠=︒A F B ''90。

求解抛物线问题

求解抛物线问题抛物线问题是数学中常见的一类问题，涉及到对抛物线的性质和解析式的求解。

本文将介绍抛物线的定义、性质以及求解抛物线问题的具体步骤。

一、抛物线的定义和性质抛物线是平面几何中的二次曲线，其定义可以通过焦点和直线的方法阐述。

具体而言，抛物线是到焦点F和直线直线l的距离相等的点构成的曲线。

我们可以推导出抛物线的解析式方程为：y = ax^2 + bx + c其中a、b、c是常数，决定了抛物线的形状和位置。

抛物线的性质有：1. 抛物线关于y轴对称：即抛物线的左右两侧对称，对称轴为y轴。

2. 焦点和准线的关系：焦点到准线的距离等于焦距。

3. 直线与抛物线的交点：直线与抛物线交于两点，分别称为顶点和交点。

4. 顶点坐标：顶点的横坐标为-p/2a，纵坐标为c-p^2/4a。

5. 抛物线开口方向：当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

二、求解抛物线问题的步骤求解抛物线问题的一般步骤如下：1. 根据给定的信息，确定抛物线的形状和位置。

通常可以通过已知的焦点、顶点、交点等信息得到。

2. 列出方程。

根据已知的条件，可以建立一个关于a、b、c的方程，通过解方程可以确定抛物线的解析式。

3. 求解抛物线的解析式。

利用数学方法，如配方法、平方完成等，将方程转化为标准形式，从而得到抛物线的解析式。

4. 验证解析式的正确性。

将求解得到的解析式代入已知条件进行验证，确认解析式的准确性。

5. 利用抛物线性质解题。

根据抛物线的性质，可以进一步推导解决具体问题。

三、实例分析为了更好地理解求解抛物线问题的步骤，下面通过一个实例来进行分析。

假设有一道题目如下：一枚炮弹以45°角发射，起点和终点的水平距离为300米，求炮弹的最大高度。

解题步骤如下：1. 根据题目给出的信息，可以得知炮弹的发射角度为45°，水平距离为300米。

2. 假设炮弹的发射点为原点，炮弹的运动方程为y = ax^2 + bx + c。

高考数学复习点拨简解抛物线问题的三种途径

简解抛物线问题的三种途径一、回归定义例 1 点(32)P ，在抛物线24y x =的内部，F 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M ，使MP MF +最小，并求此最小值．解：过M 作准线l 的垂线MA ，垂足为A ，那么由抛物线的定义有MF MA =．MP MF MP MA +=+∴，显然当P M A ，，三点共线时，MP MF +最小．此时，M 点的坐标为(12)，，最小值为4．二、设而不求例2 抛物线28y x =-的弦PQ 被点(11)A -，平分，求弦PQ 所在的直线方程．解：设PQ 的端点1122()()P x y Q x y ，，，，那么有21122288y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，，两式相减得121212()()8()y y y y x x +-=--， ∴21214y y x x -=--，即4PQ k =-．故弦PQ 所在的直线方程为14(1)y x -=-+，即4x y ++=．三、运用向量例3 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线相交于A B ，两点，自A B ，向准线作垂线，垂足分别为A B ''，，求证：90A FB ''∠=°．证明：抛物线的焦点02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设A B ，两点的纵坐标分别为12y y ，，易得212y y p =-．又1222p p A y B y ⎛⎫⎛⎫''-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，那么12()()FA p y FB p y ''=-=-，，，，故222120FA FB p y y p p ''=+=-=·，那么FA FB ''⊥，即90A FB ''∠=°．。

高中数学抛物线解题方法总结归纳

圆锥曲线抛物线知识点归纳1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。

3抛物线标准方程的四种形式：特点：焦点在一次项的轴上，开口与“±2p ”方向同向4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。

③焦半径公式：（称为焦半径）是：02pPF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y或2(2,2)P pt pt5一般情况归纳：题型讲解（1）过点（－3，2）的抛物线方程为；y 2=－34x 或x 2=29y ，（2）焦点在直线x －2y －4=0y 2=16x 或x 2=－8y ，（3）抛物线的焦点坐标为；（4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为；或或.（5）已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是 )4,2(例2．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长．解：法一通法法二设直线方程为1y x =-， 1122(,)(,)A x y B x y 、，则由抛物线定义得1212||||||||||22p pAB AF FB AC BD x x x x p =+=+=+++=++，又1122(,)(,)A x y B x y 、是抛物线与直线的交点，由24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2610x x -+=，则126x x +=，所以||8AB =．例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=，又111||||2||AA BB MM +=，∴11||||2MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆的半径，且准线1l MM ⊥， ∴命题成立．（法二）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ，则1212||22p pAB x x x x p =+++=++，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211||()22r AB x x p ==++．M 1M点M 到准线2p x =-的距离120121()2222p x x p d x x x p +=+=+=++，∴圆M 与准线相切．例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长．解：设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112y px =，2222y px =，又||||OA OB =，所以22221122x y x y +=+，即221212()2()0x x p x x -+-=， 1212()(2)0x x x x p -++=．∵10x >，20x >，20p >，∴12x x =．由此可得12||||y y =，即线段AB 关于x 轴对称．因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=，所以113tan 303y x ==． ∵2112yx p=，∴123y p =，∴1||243AB y p ==．例5 A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点解：(1)设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴y 12y 22=4p 2x 1x 2,∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0,由此即可解得：x 1x 2=4p 2, y 1y 2=─4p 2 (定值)(2)直线AB 的斜率k=1212x x y y --=py p y y y 22212212--=212y y p+, ∴直线AB 的方程为y─y 1=212y y p+(x─p y 221),即y(y 1+y 2)─y 1y 2=2px, 由(1)可得 y=212y y p+(x─2p),直线AB 过定点C(2p,0) 例6．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y 轴的最小距离．解：抛物线焦点1(,0)4F ，准线l ：14x =-，设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是 1A 、1B 、1M ，设点00(,)M x y ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥，M1M A又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥，又101|4MM x =+，||3AB =，∴01342x +≥，所以054x ≥，即0x 的最小值是54．∴点M 到y 轴的最小距离是54，当且仅当AB 过点F 是取得最小距离例7 设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴证明直线AC 经过原点O分析：证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC =k OA 本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决证法一：设AB ：x =my +2p ，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0由韦达定理，得y A y B =－p 2，即y B =－Ay p2∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2p上， ∴C （－2p，y B ）则k OC =2p y B -=A y p 2=A Ax y =k OA 故直线AC 经过原点O证法二：如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D 则AD ∥EF ∥BC 连结AC 交EF 于点N ，则||||AD EN =||||AC CN =||||AB BF ，BCNF ||=||||AB AF ∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |， ∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |，即N 是EF 的中点从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A ·y B =－p 2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目例8 、已知抛物线，点A(2,3)，F 为焦点，若抛物线上的动点到A 、F 的距离之和的最小值为，求抛物线方程.N O CBD EF A y x分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。

探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧

探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧高中数学中，抛物线是一种非常重要的曲线，对于学习与应用数学都具有重要意义。

本文将对高中数学抛物线的解题方法与技巧进行详细探讨，帮助同学们更好地理解与掌握这一知识点。

一、了解抛物线的基本特征抛物线是一种平面曲线，具有对称轴、顶点、焦点等基本特征。

在解析几何中，常用的抛物线方程有三种形式。

顶点形式、一般形式与焦点形式。

不同形式的方程适用于不同的题型，因此学生需要熟练掌握它们的转换与运用。

二、求抛物线的焦点与顶点1.平移法求焦点。

通过将抛物线平移至标准位置（顶点为原点），可以简化求解焦点的过程。

平移法还可以被运用在其他抛物线的应用题中，如求凸面镜或抛物面的顶点与焦点位置等。

2.定义法求焦点。

对于给定的抛物线方程，可以利用定义法求解焦点。

定义法是以准线和焦点的定义出发，利用准线与焦点到平面上任意一点的距离和定义（如焦点到准线距离等于焦点到该点的距离）得到焦点的坐标。

3.判断抛物线的开口方向。

可以通过方程的二次项系数的符号来判断抛物线的开口方向。

当二次项系数大于零时，抛物线开口向上；当二次项系数小于零时，抛物线开口向下。

三、求抛物线与坐标轴交点通过解方程来求解抛物线与坐标轴的交点，这是很常见的题型。

有两种常用的方法。

1.因式分解法。

将抛物线的方程进行因式分解后，可以得到解析解或根的个数。

进一步，通过观察与分析，可以得出与坐标轴交点的具体坐标。

2.二次函数求根公式。

通过应用二次函数求根公式，可以得到抛物线与坐标轴交点的解析解。

需要注意的是，二次函数求根公式只适用于已经化为标准形式的抛物线。

四、求抛物线的切线与法线求抛物线的切线与法线是一类较难的题型，需要熟练掌握相关的知识与求解方法。

下面将介绍两种常见的方法。

1.切线与法线的斜率法。

通过斜率法可以求得切线与法线的斜率表达式。

具体而言，对于给定的抛物线方程，我们可以通过计算其导数来求得切线或法线的斜率表达式，然后利用该斜率表达式求解切线或法线的方程。

简化解析几何运算技巧专题

专题：简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技法一巧用定义，揭示本质以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ．2B ． 3C ．32D ．62[解析] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝2．所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62． [答案] D [方法点拨]本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点演练]抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22．答案：22对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2．又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12．又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1．[答案] D [方法点拨]本题设出A ，B 两点的坐标，却不需求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[对点演练]过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2．∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2．又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22．即椭圆C 的离心率e ＝22．答案：22某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] (2016·全国甲卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0． (1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4．因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2．将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0．解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127．因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449．(2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1，得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0．由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2．由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t ．由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2．t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0．因此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2．故k 的取值围是(32，2)． [方法点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点演练](2016·实战考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12|F 1F 2|·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12t 2＋14＋3t 2．而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327 ＝1227，所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2．利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．[典例] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝1[解析] 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0)．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1．[答案] B [方法点拨]本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．[对点演练]圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞3．[解] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2．① 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0．而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4．又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞3．法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1．因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2．②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞3．法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)，则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ． |AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1．又A (－a,0)，所以k AQ ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ ．从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ ＜a 1＋k 2AQ ，解得|k AQ |＜33．故|k |＝1|k AQ |＞3． [方法点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点演练](2016·市质量检测)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点，问RF 2―→·QF 2―→是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，则b ＝3t ，其中t ＞0，当△F 1PF 2面积取最大值时，点P 为短轴端点，因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 2(1,0)，A 1(－2,0)．设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，①y 1y 2＝－94＋3m 2，②直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2＋2(x ＋2)，则R⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2，F 2R ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 1x 1＋2，F 2Q ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 2x 2＋2，则F 2R ―→·F 2Q ―→＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝6y 1my 1＋3·6y 2my 2＋3＋9＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＋9将①②两式代入上式，整理得F 2R ―→·F 2Q ―→＝0，即F 2R ―→·F 2Q ―→为定值0．。

高考数学专题13 抛物线解答题解法荟萃(解析版)

专题13 抛物线解答题解法荟萃一．【学习目标】1.掌握抛物线的定义；2.掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握抛物线方程的求法；4.掌握直线与抛物线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。

二．【知识点】 1．抛物线的定义平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离______的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程、图形及几何性质标准y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)方程图形焦点 )0,2(p F 准线x ＝p 2范围 ① x ≥0，y ∈R ② x ≤0，y ∈R③ x ∈R ，y ≥0 ④ x ∈R ，y ≤0对称轴 ⑤________ ⑥_________ 顶点 O (0，0) O (0，0) 离心率 e ＝1e ＝1开口⑦____ ⑧____⑨____ ⑩____3.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点)0,2(pF 的距离|PF |＝x 0＋p 2.三．【方法总结】1.求抛物线标准方程的实质是求p 值，常用的方法是待定系数法，若开口不定时，可以设抛物线方程为y 2＝mx(m≠0)或x 2＝ny(n≠0).2.利用抛物线定义可知，抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质，应用起来非常方便.如：已知AB 是抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点(如图)，可以证明：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB|＝x 1＋x 2＋p.(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)以AF(或BF)为直径的圆与y 轴相切. (6)∠CFD ＝90°. 四．【题型方法】（一）抛物线的轨迹方程（二）定点问题（三）直线与抛物线涉及的面积问题（四）直线与抛物线中涉及的角的问题（五）定值问题（六）范围问题（七）抛物线与向量的综合（八）最值问题五．【题型举例】（一）抛物线的轨迹方程例1. 已知曲线()2C:2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。

要想抛物线数学高考题取得满分，必须要掌握这四点！

要想抛物线数学高考题取得满分，必须要掌握这四点！
1
抛物线的标准方程与几何性质
2
字母p的几何意义
抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p/2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助。

用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用。

由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y 的系数除以4，再确定焦点位置即可。

涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物
线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解。

典型例题1：
3
利用待定系数法
求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式。

研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用。

4
设置方程
典型例题2：
—end—。

抛物线问题解决中的一些技巧

抛物线问题解决中的一些技巧抛物线是三大圆锥曲线之一，在高考中占有重要的地位。

求解抛物线问题我们应掌握一些解题的技巧，从而使得我们的解题更简洁、思路更清晰。

一、正确选用标准方程例1、求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点(24)P --，的抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线有两种情形：（1）设抛物线22(0)y px p =>，将(24)P --，代入得4p =．故标准方程为28y x =-；（2）设抛物线22(0)x py p =->，将(24)P --，代入得12p =，故标准方程为2x y =-．所以满足条件的抛物线的标准方程为28y x =-或2x y =-．点评：求圆锥曲线的标准方程，关键是确定类型，设出方程，待定系数法是常用方法之一。

本题应结合图形，分析出两种情形，避免漏解。

练习1：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,3)M m -到焦点距离为5，求m 的值。

解：设抛物线方程为22(0)x py p =->，准线方程：2p y =∵点M 到焦点距离与到准线距离相等，∴532p=-+，解得：4p =，∴抛物线方程为28x y =-。

把(,3)M m -代入得：m =±二、合理使用定义例2、已知点(32)P ，在抛物线24y x =的内部，F 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M ，使MP MF +最小，并求此最小值．解：过M 作准线l 的垂线MA ，垂足为A ，则由抛物线的定义有M F M A =．MP MF MP MA +=+∴，显然当P M A ，，三点共线时，MP MF +最小．此时，M 点的坐标为(12)，，最小值为4．点评：抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离（动点到焦点的距离与动点到准线的距离）的互化．在解题中，应正确合理地使用定义，同时应注意“看到准线想焦点，看到焦点想准线”。

练习2：已知动点M 的坐标满足方程，则动点M 的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 以上都不对解：由题意得：，即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离。

高考数学复习简化解析几何运算的若干方法和技巧

2008高考数学复习简化解析几何运算的若干方法和技巧众所周知，运算复杂是成功解答解析几何的最大障碍之一；若在解题时选择的方法不恰当，又不注意探求优化解题过程、降低运算量的方法和技巧，则很容易陷入繁冗的运算而不能自拔，导致解题失败。

现介绍几种简化解析几何运算过程的方法和技巧，供大家参考。

一、巧用定义对于涉及圆锥曲线的焦点、准线有关的问题，若能恰当地利用圆锥曲线的定义，则能收到其他方法技巧所无法达到的效果。

例1 给定A(-2,2), 已知点B 是椭圆1162522=+y x 上的动点，F 是左焦点，当|AB|+53 |BF|取最小值时，求点B 的坐标。

解：如图1，由题意可知：a=5, b=4, c=3, e=c a =35 ,左准线方程为：x=-253 ,过B 点作左准线的垂线，垂足为N ，过点A 作左准线的垂线，垂足为M ，由椭圆的定义可知：|BN|=1e |BF|=53|BF|,于是，|AB|+53|BF|=|AB|+|BN| ≥|AN| ≥|AM|,当且仅当点B 是AM 与椭圆的交点时取等号，此时B(235-, 2)。

所以，当|AB|+53 |BF|取最小值时，点B 的坐标为B(235-, 2)。

评注：本题运用了椭圆的第二定义，真正发挥了定义的解题功能，达到了优化解题的目的。

二、巧用数形结合数形结合是解析几何的基本思想，它是在深刻分析方程或已知条件中的几何性质之下，以形助数的方法，往往使问题简捷、清晰地得以解决。

例2 椭圆14922=+y x 的焦点为F 1，F 2。

点P 为其上的一个动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 的横坐标的取值范围。

解：设以原点O 为圆心，OF 1（值 5 ）为半径的圆与椭圆14922=+y x 交一于A ，B ，C ，D （如图2），易求得其横坐标分别是553±.由此可知：当点P 在椭圆弧AB 和CD 上，即在圆x 2+y 2=5内部，那么∠F 1PF 2是钝角，故有.553553<<-p x 评注：本题若直接设椭圆上一点的横坐标，利用余弦定理来解，其运算量较大；现巧妙地借助于形，不但减少解题运算量，也给人一种耳目一新之感。

简解抛物线问题的六种途径

简解抛物线问题的六种途径一、回归定义例1已知点P(3，2)在抛物线y2＝4x的内部，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M，使|MP|＋|MF|有最小值，并求此最小值．解：过M作准线l的垂线MA，垂足有A，则由抛物线的定义有|MF|＝|MA|．∴|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MA|，显然当P、M、A三点共线时，即|MP|＋|MF|最小．此时，M点的坐标为(1，2)，最小值为4．二、巧设方程例2抛物线顶点在顶点，焦点在x轴，而且被直线y＝2x＋1所截得的弦长AB为求抛物线的方程．分析：此题仅焦点位置定，而开口未定，常规方法要分类讨论．其实可巧设方程y2＝ax(a≠0)而得简解．解：由题意，可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，将直线方程y＝2x＋1代入抛物线方程，并消去y，整理，得4x2＋(4－a)x＋1＝0．则x1＋x2＝44a-，x1x2＝41．再由弦长公式|AB|＝∴，即a2－8a－48＝0．解得a＝12或a＝－4．故所求的抛物线方程为y2＝12x，或y2＝－4x．三、设而不求例3已知抛物线y2＝－8x的弦PQ被点A(－1，1)平分，求弦PQ所在的直线方程．解：设PQ 的端点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有21122288y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝－8(x 1－x 2)， ∴2121y y x x --＝－4，即PQ k ＝－4．故PQ 所在的直线方程为y －1＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋3＝0．四、运用性质抛物线y 2＝2px (p ＞0)的性质很多，特别是过焦点F 的弦AB 的性质非常重要，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有性质：①y 1y 2＝－p 2；②x 1x 2＝24p ；③1AF ＋1BF＝2p 等等．例4过抛物线y 2＝2px 焦点F 的一条直线与抛物线交于P ，Q 两点，过P 与抛物线顶点的直线交准线于M ，求证：MQ 平行于抛物线的对称轴．证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，则由结论，得y 2＝21p y -．又焦点F (2p ，0)，准线x ＝－2p，则OP 所在的直线方程为y ＝11y x x ．则得M 点的纵坐标为y 3＝－2p •11y x ，又x 1＝212y p，故y 3＝－121py y p＝－21p y ．∴y 2＝y 3．所以直线MQ 平行于抛物线的对称轴．五、选取特例特别是有关定值的抛物线问题，或是有关抛物线的选择题，常常可用此法．例5 过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则11p q+等于( ) (A)2a(B)12a(C) 4a (D)4a解：取直线PQ 平行于x 轴，则p ＝q ＝12a ，则11p q +＝2p＝4a ，选(C)．六、运用向量例6 过抛物线y px p 220=>()的焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，自A 、B 两准线作垂线，垂足分别为A B ''、，求证：∠=︒A FB ''90．解：抛物线的焦点F p()20，，设A 、B 两点的纵坐标分别为y y 12，，易得y y p 122=-，又A p yB py '()'()--2212，，，，则 FA p y PB p y '()'()→=-→=-，，，12，故FA FB p y y p p ''→⋅→=+=-=212220，则FA FB ''→⊥→，即∠=︒A FB ''90。

探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧

探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧【摘要】抛物线作为高中数学中重要的几何图形之一，其解题方法与技巧至关重要。

本文首先介绍了抛物线的基本概念和重要性，引出了对其解题方法的探讨。

在详细介绍了抛物线的标准方程、性质，以及与直角坐标系的关系，还重点讲解了利用抛物线的对称性和焦点性质解题的方法。

通过实例的讲解，读者更容易掌握抛物线的解题技巧。

在结论部分总结了抛物线的解题方法与技巧，强调了对抛物线知识的掌握对高中数学学习的重要性。

本文旨在帮助读者更深入地理解抛物线，提高解题效率，为高中数学学习提供有力的支持。

【关键词】抛物线、高中数学、解题方法、技巧、标准方程、焦点、对称性、实例、知识重要性1. 引言1.1 介绍抛物线的基本概念抛物线是平面解析几何学中的一种二次曲线，其形状像一个开口朝下或朝上的弧线。

抛物线的定义可以通过几何或代数的方式进行描述。

在几何意义上，抛物线是平面上到定点距离相等的点的轨迹，这个定点被称为焦点，而至定直线距离相等的点的轨迹被称为准线。

在代数意义上，抛物线可以用标准的二次方程表示，一般形式为y=ax^2+bx+c。

其中a、b、c为常数，且a不等于0。

抛物线在数学中有着重要的地位和广泛的应用。

在几何学中，抛物线是一种常见的曲线，出现在许多几何问题中。

在物理学中，抛物线是描述自由落体运动的基本曲线。

在工程学和建筑领域中，抛物线的曲线形状也被广泛应用，比如拱形结构和天桥设计等。

对抛物线的理解和掌握对于理解数学和应用数学都具有重要意义。

在高中数学学习中，抛物线是一个重要的章节，掌握抛物线的基本概念和解题方法是非常重要的。

接下来我们将探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧，希望能够帮助学生更好地理解和运用这一知识点。

1.2 重要性和应用背景抛物线作为数学中重要的几何曲线之一，在高中数学中占据着重要的地位。

它不仅仅是一种几何形状，更是一种具有丰富数学内涵和实际应用的数学工具。

在现代科学和工程领域，抛物线被广泛运用于各种实际问题的建模和解决。

高中数学抛物线解题技巧

高中数学抛物线解题技巧抛物线是高中数学中一个重要的概念，也是解题中经常出现的题型。

掌握抛物线的解题技巧，对于高中数学的学习非常重要。

本文将介绍一些常见的抛物线解题技巧，并通过具体题目进行说明，帮助读者更好地理解和应用这些技巧。

一、求抛物线的顶点坐标抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，是抛物线的最重要的特征之一。

求抛物线的顶点坐标可以通过平移变换的方法来实现。

具体步骤如下：1. 将抛物线的方程表示为标准形式：y = ax^2 + bx + c。

2. 利用平移变换的性质，将方程中的x项系数消去，即将方程化为形如y = a(x - h)^2 + k的形式。

3. 通过比较系数，求出顶点坐标为(h, k)。

例如，给定抛物线y = 2x^2 + 4x + 1，我们可以按照上述步骤求出其顶点坐标：1. 将方程表示为标准形式：y = 2x^2 + 4x + 1。

2. 利用平移变换的性质，将方程化为形如y = 2(x - h)^2 + k的形式。

3. 比较系数，得到2(x - h)^2 + k = 2x^2 + 4x + 1。

展开并整理得到2x^2 + 4hx -2h^2 + k = 2x^2 + 4x + 1。

4. 比较常数项和一次项的系数，得到4h = 4和-2h^2 + k = 1。

5. 解方程组，得到h = 1和k = -1。

6. 因此，抛物线的顶点坐标为(1, -1)。

通过这个例子，我们可以看到，通过平移变换的方法可以快速求出抛物线的顶点坐标，这是解题中常用的一种技巧。

二、求抛物线与坐标轴的交点抛物线与坐标轴的交点也是解题中常见的问题。

我们可以通过方程的根来求解。

具体步骤如下：1. 将抛物线的方程表示为标准形式：y = ax^2 + bx + c。

2. 将方程中的y置为0，得到一个二次方程ax^2 + bx + c = 0。

3. 利用求根公式或配方法，解出方程的根。

例如，给定抛物线y = x^2 - 4x + 3，我们可以按照上述步骤求出抛物线与坐标轴的交点：1. 将方程表示为标准形式：y = x^2 - 4x + 3。

(整理版)破解抛物线问题“五法”

破解抛物线问题“五法〞1、定义法抛物线是一种重要的圆锥曲线，解题中活用它的定义，常常能收到事半功倍之效.例1动点P 到点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求动点P 的轨迹方程. 解析：此问题的条件可转化为“动点P 到定点F(4,0)和它到定直线x=-4的距离相等〞.由抛物线的定义可知, 动点P 的轨迹是以F(4，0)为焦点、定直线x=-4为准线的抛物线. 显然,8,42==p p , 动点P 的轨迹方程是.162x y = 2、取特殊位置动点、动直线、动弦、动角、动轨迹常常是抛物线问题中出现的动态图形，利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助我们迅速解决某些选择题或填空题. 例2设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，那么OA 与OB 的数量积为〔〕 A.43 B.43- C.3 D.－3解析：对动直线AB ，取其垂直于x 轴的特殊位置，即线段AB 为抛物线的通径(如图1). 由于焦点F 的坐标为)0,21(，那么A )1,21(-B )1,21(，于是OA . OB=)1,21(- .)1,21(=.43141-=- 可知，答案B 正确3、巧设方程确定抛物线的方程是一类重要的题型，在许多情况下，假设恪守常规，不但过程繁琐，运算量大，对于有些问题甚至还可能陷入困境．假设能根据题目的特点，采用相应的设法，那么可到达避繁就简的目的．例3 抛物线的顶点为原点，焦点在x 轴上，且被直线1y x =+所截的弦长为解：设抛物线的方程为2y ax =〔0a ≠，那么有21y ax y x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2(2)10x a x +-+=，设弦AB 的端点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，那么122x x a +=-，121x x ===解得1,a =-或5a =所以所求抛物线方程为2y x =-或25y x =．.4、整体相减法涉及到抛物线上假设干个动点的问题，我们常常由点的坐标满足抛物线的方程而得到假设干个方程，将这假设干个方程实施整体相减，往往能帮助我们顺利解题.例4求抛物线y x 22-=中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.解析：设斜率为2的平行弦〔动弦〕的两个端点A 、B 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，中点M 的坐标为),(y x . 那么2221212,2y x y x -=-=.两式整体相减得，()()()2121212y y x x x x --=-+. 显然,21x x ≠ ∴2121212x x y y x x --⋅-=+. 而,2,2212121x x x x x y y =+=--∴42-=x , .02=+x 联立y x 22-=与02=+x 解得，.2-=y 因此抛物线y x 22-=中斜率为2 的平行弦的中点的轨迹方程是)2(02-<=+y x .5、向量法由于平面向量在直角坐标系下可以用坐标表示，这就为用向量法处理抛物线问题提供了可能性. 对于某些抛物线问题，假设能活用平面向量知识求解，往往十分简捷, 给人以耳目一新之感.例5 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)是抛物线x 2=2py(p ＞0)上的两点，且OA ⊥OB(O 为原点). 求证：x 1x 2=－4p 2，y 1y 2 = 4p 2.证明：如图2，∵x 12= 2py 1, x 22= 2py 2,∴y 1= px 221, y 2= p x 222. o ∴OA=(x 1,y 1)=(x 1, px 221), OB=(x 2, y 2)=(x 2, p x 222). (图2) ∵OA ⊥OB ，∴OA ·OB=0，即 x 1x 2+241p(x 1x 2)2=0, 而x 1x 2≠0， ∴x 1x 2= －4p 2. 进而y 1y 2=241p (x 1x 2)2=4p 2. 以上介绍了破解抛物线问题的五种方法. 解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法, 有时候还需要几种方法融为一体, 共同发挥作用.。

苏教版数学高二-2.4素材简化抛物线运算的几种数学思想

简化抛物线运算的几种数学思想赵春祥抛物线问题的求解特点是以代数方法解决几何问题，由于求解思路清晰，这类问题容易形成“入手容易”，又由于运算量大，不仅影响解题速度，也极容易出错，因此又易形成“答对困难”的情景．因此，在解题中，尽量减少运算则成为迅速、准确解题的关键．就此，本文谈一下简化抛物线问题运算量的几种数学思想．一、补集思想有些抛物线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错．如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的．例1 k 为何值时，直线L ：y －1 = k(x －1)不能垂直平分抛物线y 2= x 的某弦．弦被直线垂直平分，就是弦的两个端点关于直线对称．“不能”的反面是“能”．因此，此题可转化为解决问题的补集：“k 为何值时，直线L ：y －1 = k(x －1)能垂直平分抛物线y 2= x 的某弦”．解：设I = { k | k ∈ R }，A = { k |直线L 垂直平分抛物线y 2= x 的某弦}．若直线L 垂直平分抛物线的弦AB ，且A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2)，则y 21= x 1，y 22= x 2．上述两式相减得 (y 1－y 2)( y 1+ y 2) = x 1－x 2，即－k 1= 2121x x y y --=211y y + ．又设M 是弦AB 的中点，且M(x 0， y 0)，则 y 0=221y y +=－2k．因为点M 在直线L 上，所以x 0=21－k1．由于M 在抛物线的内部，所以y 20＜x 0，即 (－2k )2 ＜21－k1⇒ k k k 423+-＜0 ，⇒ kk k k )22)(2(2+-+＜0 ，⇒ －2＜k ＜0 ．故原命题中k 的取值范围是 k ≤－2 或 k ≥0 ．例2 两个不同的点P 、Q 在曲线y = x 2上移动，不管如何选择其位置，它们总不能关于直线 y = m( x －3 )对称，求m 的范围．从不能的角度考虑，需分别讨论各种情况，比较麻烦．用补集思想解题就达到了删繁就简的目的．解：设I = { m | m ∈R }，A = { m | P 、Q 关于直线 y = m( x －3 )对称}．若m = 0，显然曲线y = x 2上没有关于直线 y = 0对称的点．当m ≠0 时，设抛物线上的两点(x 1，x 21)，B(x 2，x 22)关于直线 y = m( x －3 )对称，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---+=+．m x x x x x x m x x 1,]3)(21[)(21212221212221⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=+．m x x x x m x x 1,)6(21212221 消去x 2得 2 x 21+m x 12+21m+ 6m + 1 = 0 ，由△= (m 2)2－8(21m+ 6m + 1)＞0，得 (2m + 1)(6m 2－2m + 1)＜0， ∵6k 2－2k + 1＞0恒成立，∴2m + 1＜0，即m ＜－21，∴A ={ m | m ＜－21＝，故当m ≥－21时满足题设条件．二、方程思想把抛物线问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在抛物线试题中经常使用．例3 如图，设A 和B 为抛物线y 2= 4px (p ＞0)上原点以外的两个动点．已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹．解：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，当AB 与y 轴不平行时，设直线AB 的方程是y = kx + b (b ≠0)，联立方程组⎩⎨⎧-==②y kx b ①px y .,42 ①×②并整理，得by 2－4pxy + 4pkx 2= 0，又因为x ≠0，则b·(x y )2－4p·x y+ 4pk = 0，③由韦达定理，得11x y ·22x y =bpk 4，又因为k OA ·k OB =11x y ·22x y =－1，则b =－4pk ，即直线AB 的方程是y = k(x －4p)．④联立④与直线OM 的方程y =－k1x ，消去k 便得到点M(x ，y)的坐标适合方程(x －2p)2+ y 2= 4p 2 (x ≠0)． ⑤当AB 与y 轴平行时，点M(4p ，0)的坐标也适合方程⑤．总之，点M 的轨迹是以点(2p ，0)为圆心，以2p 为半径的圆(去掉坐标原点)．评析：将方程①、②转化成一元二次方程③，是上述解题过程的关键．三、函数思想对于曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便．例4 在x O y 平面上给定一曲线y 2－2x = 0，⑴设点A 的坐标为(32，0)，求曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|．⑵设点A 的坐标为(a ，0)，a ∈R ，求曲线上点到点A 距离的最小值．解：⑴设P(x ，y)为曲线上任意一点，则y 2= 2x (x ≥0)，|PA|2= (x －32)2+ y 2= x 2－34x +94+ 2x = (x +31)2+31，所以，当x = 0时，|PA|取得最小值32．⑵设P(x ，y)为曲线上任意一点，同理有|PA|2= (x －a)2+ y 2= [x －(a －1)]2+ (2a －1) (x ≥0)，① 当a ≥1时，在x = a －1≥0处，|PA|取得最小值12-a ． ② 当a ＜1时，在x = 0处，|PA|取得最小值(a －1)2+ 2a －1．评析：解题方向是建立目标函数，然后转化为以a 为自变量的二次函数在闭取间上的最值问题．例5 过抛物线y 2= 4x 的焦点F 的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，直线l 的斜率为k ．⑴试用k 表示点M 的坐标；⑵若直线l 的斜率k ＞2，且点M 到直线l '：3x + 4y + m = 0的距离为51，试确定实数m 的取值范围．解：⑴设直线方程y = k(x －1)，代入y 2= 4x ，得k 2x 2－(2k 2+ 4)x + k 2= 0，k ≠0，设A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，则1x +2x =22)2(2k k +，1y +2y =k 4，∴M(1 +22k ，k2)． ⑵∵M 到l 的距离d =51|3 +26k+k 8+ m|，∴|3 +23k +k 8+ m| = 1，从而m =－26k －k 8－2或m =－26k －k 8－4，令t =k 1，k ＞2，则0＜t ＜21．这时m =)(t f =－6t 2－8t －2或m =)(t f =－6t 2－8t －4，∴－215＜m ＜－2或－219＜m ＜－4，因此m 的取值范围是(－219，－2)．评析：此例中已知k 的范围，求m 的范围，k 不易用m 表示，构造不等式又比较困难，但m 易用k 表示，从而产生一函数关系是式，把问题转化为求函数的值域，使问题获解．四、参数思想处理抛物线问题，可以通过引入参变量替换，使许多相关或不相关的量统一在参变量下，其妙处在于减少未知量的个数或转化原命题的结构，以达到简化解题过程的目的．例6 已知直线l 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A(－1，0)和点B(0，8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．解：依题意，设抛物线C 的方程为：y 2= 2px (p ＞0)．直线l 的方程为：y = kx ，点A(－1，0)、B(0，8) 关于l 的对称点为P(a ，b)，Q(c ，d)，于是可得：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+-=-=--=+⑥pc d ⑤pa b ④kc d ③a k b ②k c d ①k a b .2,2,8,)1(,18,1122方程组中6个未知量a 、b 、c 、d 、p 、k ，用代换的形式消去前5个变量．由①、③得： a =1122+-k k ，b =－122+k k ；由②、④得：c =1162+k k ，d =18822+-k k ；由⑤、⑥得：22db =c a，⑦把a 、b 、c 、d 全代入⑦，整理可得：k 2－k －1 = 0，解得：k 1=251+，k 2=251-．但由pc d 22=和p ＞0知c ＞0，而k 2=251-时，c =1162+k k＜0，所以k 2=251-应舍去．当k =251+时，则直线l 的方程为y =251+x ．将k =251+代入c =1162+k k ，d =18822+-k k 和pc d 22=，求得p =552．所以直线方程为y =251+x ，抛物线方程为y 2=554x ．。

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高中数学中的抛物线看似很难，学会这4个方法就都可以简化，希望同学们能够好好看一看，学会着4种方法，就可以简单地解决抛物线问题了。

由繁化简解决高中数学抛物线问题的4大技巧