定理与电磁场的能量动量张量.
电磁场电磁动量麦克斯未张力张量解读
f E J B
＝动量流入（率）＋系统本身动量消耗（率）
根据力学原理， f 可解释为电荷系统的机诫动量的体密度增量，既有
f E J B
dg p dt
d G f Gp dt
改写上式 —— 动量守恒转换定律
d T
S
d d g g dV G f Gp f p dt V dt
B, E
B2 T BB I 0 2 0 1
2 B 侧面受压力： dS T dS 20
B2 0 2 , E 20 2
上端面受拉力：
B2 B2 dS T dS B B dS dS 0 20 20 1
下端面受拉力：
B 0 2 , E 20 2
ˆ n
1 ˆˆ E 2 xx ˆˆ yy ˆˆ zz ˆˆ yy ˆˆ zz ˆˆ 0 E 2 xx ˆˆ Γ e 0 E 2 xx 2 2
作用在单位面元上的力（压强）为
ˆ Pe Γ n
0
2
ˆ cos y ˆ sin E2 x
（还有垂直于 n-E 平面的力）
0 2 ˆ 是对表面的正拉力 Pe E n 2 0 90 ˆE 当 时， n
Pe
即有垂直于电场方向的力又有平行于电场方向的力 P e 当 0 时， ˆ E Pe n
E
E
ˆ n
ˆ n
P e
0
2
ˆ 是对表面的正压力 E 2n
场方向
力方向
是通过这样的弹性媒质来传递。这种弹性媒质历史上称为以太媒质
电磁能动张量推导
电磁能动张量推导电磁能动张量是描述电磁场的能量和动量分布的物理量。
它可以通过从麦克斯韦方程组出发进行推导。
首先，我们回顾一下麦克斯韦方程组：1. 麦克斯韦第一方程（高斯定律）：∇·E = ρ/ε₀2. 麦克斯韦第二方程（法拉第电磁感应定律）：∇×E = -∂B/∂t3. 麦克斯韦第三方程（高斯磁定律）：∇·B = 04. 麦克斯韦第四方程（安培环路定理）：∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t其中，E是电场强度，B是磁感应强度，ρ是电荷密度，J是电流密度，ε₀是真空介电常数，μ₀是真空磁导率。
接下来，我们可以利用麦克斯韦方程组推导电磁能动张量。
首先考虑电磁场的能量密度，可以定义为：u = (ε₀/2)(E² + c²B²)其中，c是光速。
然后，我们考虑电磁场的动量密度，可以定义为：S = ε₀c²E×B根据能量和动量密度的定义，我们可以得到电磁能动张量的各个分量。
能量-能量分量（T00）：T00 = u = (ε₀/2)(E² + c²B²)能量-动量分量（T0i）：T0i = Sᵢ = ε₀c²(E×B)ᵢ动量-能量分量（Tj0）：Tj0 = S_j = ε₀c²(E×B)ⱼ动量-动量分量（Tij）：Tij = - (ε₀/2)(E² + c²B²)δij + ε₀c²EᵢEⱼ + ε₀c⁴BᵢBⱼ其中，δij是克罗内克δ符号。
通过以上推导，我们得到了完整的电磁能动张量的表达式。
这个张量描述了电磁场的能量和动量在空间中的分布情况。
七电磁场的动量能量守恒定律和动量守恒定律——物质运动形式转换
其中L 是单位张量，对任一矢量υ都有
υ • L = L •υ = υ
同理
1 2 (∇ • Β)Β + (∇ × Β) × Β = ∇ • (ΒΒ − J Β ) 2
力密度公式方括号部分可以化为一个张量J 的 散度
1 2 1 2 J = −ε 0 ΕΕ − ΒΒ + L (ε 0 Ε + Β ) µ0 µ0 2 1
gc = ω i
ω i 为入射波平均能量密度。上式的法向分量 为 ω i cos θ 。这部分动量实际上入射于导体表
面1/cosθ的面积上，则每秒入射于导体单位面 积的动量法向分量为
ω i cos 2 θ
在反射过程中，电磁波动量的变化率为上式 的两倍，由动量守恒定律，导体表面所受的 辐射压强为
P = 2ω i cos 2 θ
在导体外部，总电场为入射波电场Ei加上反 射电场E
Ε = Εi + Ε r
Ε = Ε i + Ε r + 2 Re(Ε i • Ε r )
2 2 2 ∗
上式最后一项是干涉项，它表现为导体表面外 强弱相间的能量分布。对空间各点取平均后贡 献为零。则在导体表面附近总平均能量密度 ω 等于入射波能量密度 ω i 加上反射波能量密 度 ω r 。在全部反射情形中即等于入射能量密度 的二倍。则由
得
∂g f+ = −∇ • J ∂t
把此式对区域V积分得
∫
V
d fdV + ∫ gdV = − ∫ ∇ • JdV = − ∫ dS • J V S dt V
右边是对区域边界的面积分，左边是内电荷系 统和电磁场的总动量变化率，因此右边表示由 V外通过界面S流进V内的动量流。把张量J 称 为电磁场的动量流密度张量，或称为电磁场应 力张量。
电磁场的动量和能量
电磁场的动量和能量凤阳二中张叶摘要：通过分析匀强磁场中平行板电容器内导体棒的运动，把电磁场的动量和能量这两个较为抽象的概念具体化。
运用这一简单的模型分析并论证了电磁场确具有动量和能量，且可与机械动量和动能相互转换，在转换过程中遵循守恒定律。
关键词：电磁场；动量；能量；平行板电容器引言电磁场作为物质存在的一种特殊形式，与实物一样，也具有能量、动量和角动量等基本属性，同样遵循能量守恒，动量守恒和角动量守恒等定律，它们既不能被创造，也不能被消灭，只能由一种形式转变成另一种形式。
与实物不同的是，场作为弥漫在空间的一种特殊物质，不能被直接看到。
在教学过程中，由于场的概念较为抽象，而且电磁场的能量、动量和角动量又较难直接观测，给人一种看不见，摸不着的感觉，所以教师觉得不好教，学生觉得难以理解。
本文研究了一导体棒在处于匀强磁场中的平行板电容器内的运动这一较为简单的物理模型。
通过定性分析和定量计算，论证了电磁场的确具有动量和能量，它们不仅可以与机械动量和动能相互转换，而且在转换过程中满足动量守恒和能量守恒定律。
这一模型让初学者对电磁场的动量和能量有一个简单、直观的感受，从而能更好地理解电磁场及它的这两个重要物质属性。
1. 匀强磁场中的平行板电容器一个电容量为C ，两导体板相距为L 的平行板电容器，处在匀强磁场中。
磁场的方向与导体板平行，大小为B 。
将平行板电容器充电，使两极板所带的电量为 ±Q 0。
然后将一质量为m ，电阻为R ，长度为L的导体棒垂直放在电容器的两板之间。
开始的瞬间，导体棒中有电流000U Q I R CR==， 受到安培力000BLQ F BLI CR == 的作用开始加速运动，初始加速度为00BLQ a mCR=。
但导体棒上的电流导致电容器两极板上的电量减少，使得板间电场减小；另外，根据楞次定律，导体棒运动时产生感应电动势，电动势方向也与板间电场相反。
所以，导体棒上的电流会逐渐变小，安培力和加速度也随之减小。
高二物理竞赛课件：电磁场的能量、动量
• 电磁场与实物有相同点、也有差异？
［例 ］当电容器充电时，判断电容器内外坡印廷 矢量的方向(忽略边缘效应)
判断下面讲述是否正确:
I
① 坡印廷矢量S 沿导线中充电电
流的方向
② 坡印廷矢量S 处处沿半径方向
指向电容器的外部
③ 坡印廷矢量S 从正极板指向负
极板
I
④ 坡印廷矢量S 处处沿以电容器
中心对称轴为圆心的各圆周线的切线
的物质性.
（2）电磁场的物质性
实验证明：电磁场具有一切物质所具有的基本特征，如能 量、质量和动量等。
能量密度： 1 (DE BH )
2
动量密度： g 1 (DE BH )
c 2c
质量密度：
1
m c2 2c2 (DE BH )
能量和动量都是物质运动的量度，运动是物质的存在形式， 运动和物质是不可分割的.电磁场具有动量和能量，它是物质 的一种形态.随着科学技术的发展，“场”和“实物”之间的界限 日益消失.
但这种方法只适合有规则的简单的线圈回路.
“回路” ，要求这一回路还是单一的.没有与其他回 路发生交链.
“电流”I, ，通常是指线圈之间是彼此串接、并无 漏磁这先决条件前提下的线圈中的电流.
S E02
S
Hale Waihona Puke H2 01、理解位移电流的概念和全电流定律; 2、通过复习总结理解麦克斯韦方程组中各方程的物理意义; 3、理解电磁波的波性特征和基本性质，了解电磁波的产生与
传播条件; 4、理解电磁波能流密度的意义，并能应用坡印亭 矢量公式进
行分析计算; 5、了解电磁场的能量及其与电磁场动量的关系，了解电磁场
S
1 2
E
H
4 p02 32 20c3
电磁感应中的能量及动量问题课件
答案与解析
答案1
感应电动势E = BLv，其中B是磁场强度，L是导线在磁场中的有效长度，v是导线在磁场中的速 度。
解析1
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E与磁通量变化率成正比，即E = ΔΦ/Δt。当导线在均匀 磁场中运动时，磁通量Φ = BLx，其中x是导线在磁场中的位置。由于导线以速度v向右运动，磁
通量随时间变化，即ΔΦ/Δt = BLv。因此，感应电动势E = BLv。
答案2
感应电动势E = 2ωBS，其中B是磁场强度，S是线圈在磁场中的面积，ω是线圈旋转的角速度。
答案与解析
解析2
当矩形线圈在均匀磁场中旋转时，线圈中的磁通量随时间变化，产生感应电动势。线圈 在磁场中的面积S和线圈的匝数N决定了感应电动势的大小。因此，感应电动势E = N × 2ωBS。
械能向电能的转换。
变压器
总结词
变压器是利用电磁感应原理实现电压变 换的关键设备，广泛应用于输配电和工 业自动化等领域。
VS
详细描述
变压器由初级线圈、次级线圈和铁芯组成 。当交流电通过初级线圈时，产生变化的 磁场，该磁场在次级线圈中产生感应电动 势。通过调整初级和次级线圈的匝数比， 可以实现电压的升高或降低，满足不同用 电设备和输电线路的需求。
军事应用
电磁炮作为一种新型武器系统，具有高精度、高速度和高破 坏力的特点，在军事领域具有广泛的应用前景。
04
电磁感应的实际应用
交流发电机
总结词
交流发电机利用电磁感应原理，将机械能转换为电能，为现代电力系统提供源源不断的 电力。
详细描述
交流发电机由转子（磁场）和定子（线圈）组成，当转子旋转时，磁场与线圈之间发生 相对运动，从而在线圈中产生感应电动势。通过外部电路闭合，电流得以输出，实现机
电磁场的能量和动量
第六节
§
电磁场的守恒定律
6.1
电磁场和带电粒子间的能量守恒
电 有
电 互
★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的； ★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播） ◆ 电磁场的能量密度ω = ω (x, t)：单位体积的能量 ◆ 电磁场的能流密度S = S (x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向 ★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ = f · v dV + d dt ω dV
◆ 其中场对带电粒子所作功率： f · v dV
d ◆ 场的能量增加率： dt
ω dV
第六节
§
电磁场的守恒定律
6.1
电磁场和带电粒子间的能量守恒
电 有
电 互
★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的； ★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播） ◆ 电磁场的能量密度ω = ω (x, t)：单位体积的能量 ◆ 电磁场的能流密度S = S (x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向 ★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ = f · v dV + d dt ω dV
◆ 其中场对带电粒子所作功率： f · v dV
第六节
§
电磁场的守恒定律
6.1
电磁场和带电粒子间的能量守恒
电 有
电 互
★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的； ★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播） ◆ 电磁场的能量密度ω = ω (x, t)：单位体积的能量 ◆ 电磁场的能流密度S = S (x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向 ★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ = f · v dV + d dt ω dV
11-12电磁场的能量和动量
4
E H 如果系统内充 w εE μH t t 满各向同性的线 t 1 1 ε (E E) μ (H H ) 性介质，则有 2 t 2 t D = E, B = H 1 2 1 ( E H 2 ) t 2 2 系统电磁场 1 1 1 1
束截面积 的乘积, 所以该激光束的能流密度为
P 2.0 109 -2 14 -2 S W m 6 . 4 10 W m Σ 3.14 (1.0 103 ) 2 1 2 S c E 根据 2 0 0 可求电矢量峰值为
2S 2 6.4 1014 -1 8 -1 E0 V m 6 . 9 10 V m c 0 8.85 10 12 3.0 10 8
磁矢量的峰值为
1 6.9 10 8 B0 E 0 T 2.3T 8 c 3.0 10
12
(2) 因为镜面对激发束是全反射的，镜面所受到 的光压为
1 1 p E0 H 0 E 0 B0 c c 0 6.9 108 2.3 3.0 108 4 3.14 107
物体的动量改变量为 G =( g 入 g 反 ) ct ,
大小为 G =( g 入 + g 反 ) ct ,
G F ( g 入 g 反 ) c . 受冲力大小 t
物体表面所 物体表面所受电磁波的压强为
1 F p c ( g 入 g 反) ( S 入 S 反 ) c
2
* 电磁场具有动量密度(单位体积内的动量)
1920年列别捷夫的光压实验证明电磁场 与实物间有动量传递，并满足守恒定律
w p 2c c
电磁场具有统一性，相对性。有物质的一切重要 属性。具有能量、动量，
电磁场的能量和动量
运动速度为
dr v , dt
J v
带电体受电磁场的洛伦兹力（力密度）
f J V
在 dt 间隔内，力对体元 dV 所做元功： fdV dr
f v dVdt E v v B v dVdt E JdVdt
1 w D H B 2
四、电磁场能量的传输
电磁场的能量不在导体中传播而是在场中传播
E H J S
思考题：导线的作用？ 能否不用导线来传递能量？
机动
目录
上页
下页
返回
结束
三、电磁能量的传输
在电磁波情形中，能量在场中传播是容易理解的。在输
电线路情形中，即直流电或低频交流电情况下，电磁能 量也是通过电磁场传播的，可能不好理解，但这恰是电 磁能传输的实质。
D H J t
பைடு நூலகம்
w D B 令： E H , S EH t t t
dA E J dV f v dV V dt V
W wdV
电磁场对整个带电体单位时间所做功（功率）：
dA E JdV f vdV V v dt
电磁场对物体所做功转化为物体的机械能或转化为 热能（改变速度或焦耳热）
3、电磁场能量守恒公式
dW f vdV dt s S d 单位时间流入V 内的电磁能量等于 电磁场单位时间对V 内带电粒子做 的功与V 内电磁场能量的增加率与
电磁能动张量推导
电磁能动张量推导1. 引言电磁理论是物理学中的重要分支，它描述了电荷和电流之间的相互作用以及由此产生的电磁场。
在研究电磁场时，我们常常需要考虑其能量和动量的表达方式。
本文将介绍如何推导出电磁场的能动张量，以及该张量在描述电磁场能量和动量时的应用。
2. Maxwell方程组为了推导出电磁场的能动张量，我们首先需要回顾一下Maxwell方程组。
Maxwell 方程组描述了电磁场在时空中的行为，它包括四个方程：2.1 麦克斯韦方程•高斯定律：∇⋅E=ρε0•高斯安培定律：∇⋅B=0•法拉第电磁感应定律：∇×E=−∂B∂t•安培环路定律：∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t其中，E表示电场，B表示磁场，ρ表示电荷密度，J表示电流密度，ε0表示真空介电常数，μ0表示真空磁导率。
3. 能动张量的定义能动张量是描述物质系统中能量和动量分布的数学工具。
对于电磁场而言，能动张量被定义为：Tμν=ε0(EμEν−12δμνE2)+1μ0(BμBν−12δμνB2)其中，上标μ和ν代表时空坐标（取值为0、1、2、3），Eμ和Bν分别代表电场和磁场在时空中的四个分量。
4. 推导过程接下来我们将推导出能动张量的表达式。
首先考虑麦克斯韦方程中的第一个方程——高斯定律。
由高斯定律可得：∇⋅E=ρε0将电场的四个分量展开，可得：∂E0∂x0+∂E1∂x1+∂E2∂x2+∂E3∂x3=ρε0根据张量的性质，我们可以将上式写成矩阵形式：∂Eμ∂xμ=ρε0接下来考虑能动张量中与电场相关的部分。
根据定义，我们有：T00=ε0(E0E0−12δ00E2)+1μ0(B0B0−12δ00B2)将T00展开，并利用麦克斯韦方程中的第三个方程，可得：T00=ε0(E0E0−12δ00E2)+1μ0(BμBν−12δ00μ0ε0(∇×E)μ(∇×E)ν)化简上式，并利用麦克斯韦方程中的第四个方程，可得：T00=ε0(E0E0−12δ00E2)+1μ0(B0B0−12δ00μ0ε0(μ0J+μ0ε0∂E∂t)μ(μ0J+μ0ε0∂E∂t)ν)继续化简上式，并利用麦克斯韦方程中的第二个方程，可得：T00=ε0(E i E i−12δij E i E j)+1μ0(B i B i−12δijμ0ε0(∇×E)i(∇×E)j)将上式推广到所有的分量，可得能动张量的表达式：Tμν=ε0(EμEν−12δμνEαEα)+1μ0(BμBν−12δμνμ0ε0(∇×E)α(∇×E)α)5. 应用能动张量在描述电磁场能量和动量时起到了重要的作用。
电磁场的能量与动量
电磁场的能量与动量电磁场是我们日常生活中非常常见的一种物理现象。
它是由电荷之间的相互作用而产生的，并且具有能量与动量。
本文将从电磁场的能量起源、能量守恒、电磁场的动量以及动量守恒等方面进行论述，探讨电磁场的本质以及其在物理学中的重要性。
首先，我们来探讨电磁场的能量起源。
根据电磁场的本质，电磁场的能量主要来源于电荷的运动。
在电磁场中，电荷通过与电场和磁场的相互作用来获得能量并进行运动。
这种相互作用可以将电荷周围的能量转化为电磁场的能量。
例如，当一个电荷在电场中受力运动时，它将从电场中获得能量。
这种能量可以通过电流传输到其他位置，并且在传输过程中会形成磁场。
这样，我们可以看到电磁场的能量来源于电荷的运动和与电场、磁场的相互作用。
其次，电磁场的能量守恒是一个重要的物理学原理。
根据能量守恒定律，能量在一个系统中是不会凭空消失或者产生的，而是会以不同形式进行转化。
在电磁场中，能量转化显得尤为重要。
当电磁场中的电荷运动时，其周围的电磁场会随着电荷的运动而发生变化。
这种变化会导致能量的转化。
例如，在一个电磁波传播的过程中，电磁波在空间中会携带有电场能量和磁场能量。
在传播的过程中，电场能量和磁场能量之间会相互转化。
这样，在整个过程中，能量的总量保持不变。
接着，我们来讨论电磁场的动量。
与能量一样，动量也是一个重要的物理学量。
在电磁场中，电荷运动会导致电磁场的变化，进而产生动量。
首先，电荷本身具有动量。
当电荷在电磁场中运动时，由于电场和磁场的相互作用，电荷会发生受力并加速运动。
根据牛顿第二定律，电荷的加速度与作用力成正比，并且与电荷的质量反比。
因此，可以说电荷在电磁场中具有动量，并且动量的变化与作用力的大小和方向有关。
同时，电磁场本身也具有动量。
当电磁波在空间中传播时，它们会携带有动量。
由于电磁波是电场和磁场在空间中以波动形式传播的结果，因此它们携带有电场动量和磁场动量。
电场动量和磁场动量的大小与电磁波的振幅有关。
动力学、动量和能量观点在磁场中的应用
动力学、动量和能量观点在电学中的应用电磁感应中的动量和能量的应用1.应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量.如在导体棒做非匀变速运动的问题中，应用动量定理可以解决牛顿运动定律不易解答的问题.2.在相互平行的水平轨道间的双棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒所受的安培力等大反向，合外力为零，若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒，解决此类问题往往要应用动量守恒定律.类型1动量定理和功能关系的应用例1如图1所示，两根电阻不计的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，导轨上端接电阻R，宽度相同的水平条形区域Ⅰ和Ⅱ内有磁感应强度为B、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场，其宽度均为d，Ⅰ和Ⅱ之间相距为h且无磁场.一长度为L、质量为m、电阻为r的导体棒，两端套在导轨上，并与两导轨始终保持良好的接触，导体棒从距区域Ⅰ上边界H处由静止释放，在穿过两段磁场区域的过程中，流过电阻R上的电流及其变化情况相同，重力加速度为g.求：(1)导体棒进入区域Ⅰ的瞬间，通过电阻R的电流大小与方向.(2)导体棒通过区域Ⅰ的过程，电阻R上产生的热量Q.(3)求导体棒穿过区域Ⅰ所用的时间.(2018·甘肃天水模拟)如图2所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动.先固定a，释放b，当b的速度达到10 m/s时，再释放a，经过1 s后，a的速度达到12 m/s，g取10 m/s2，则：(1)此时b的速度大小是多少？(2)若导轨足够长，a、b棒最后的运动状态怎样？类型2动量守恒定律和功能关系的应用1.问题特点对于双导体棒运动的问题，通常是两棒与导轨构成一个闭合回路，当其中一棒在外力作用下获得一定速度时必然在磁场中切割磁感线，在该闭合电路中形成一定的感应电流；另一根导体棒在磁场中通过时在安培力的作用下开始运动，一旦运动起来也将切割磁感线产生一定的感应电动势，对原来电流的变化起阻碍作用.2.方法技巧解决此类问题时通常将两棒视为一个整体，于是相互作用的安培力是系统的内力，这个变力将不影响整体的动量守恒.因此解题的突破口是巧妙选择系统，运用动量守恒(动量定理)和功能关系求解.(2017·湖南长沙四县三月模拟)足够长的平行金属轨道M、N，相距L＝0.5 m，且水平放置；M、N左端与半径R＝0.4 m的光滑竖直半圆轨道相连，与轨道始终垂直且接触良好的金属棒b和c可在轨道上无摩擦地滑动，两金属棒的质量m b＝m c＝0.1 kg，接入电路的有效电阻R b＝R c＝1 Ω，轨道的电阻不计.平行水平金属轨道M、N处于磁感应强度B＝1 T的匀强磁场中，磁场方向与轨道平面垂直向上，光滑竖直半圆轨道在磁场外，如图3所示，若使b棒以初速度v0＝10 m/s开始向左运动，运动过程中b、c不相撞，g取10 m/s2，求：(1)c棒的最大速度；(2)c棒达最大速度时，此棒产生的焦耳热；(3)若c棒达最大速度后沿半圆轨道上滑，金属棒c到达轨道最高点时对轨道的压力的大小.如图4所示，平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接，导轨电阻不计.质量分别为m和12m的金属棒b和c静止放在水平导轨上，b、c两棒均与导轨垂直.图中de虚线往右有范围足够大、方向竖直向上的匀强磁场.质量为m的绝缘棒a垂直于倾斜导轨静止释放，释放位置与水平导轨的高度差为h.已知绝缘棒a滑到水平导轨上与金属棒b发生弹性正碰，金属棒b进入磁场后始终未与金属棒c发生碰撞.重力加速度为g.求：(1)绝缘棒a与金属棒b发生弹性正碰后分离时两棒的速度大小；(2)金属棒b进入磁场后，其加速度为其最大加速度的一半时的速度大小；(3)两金属棒b、c上最终产生的总焦耳热.如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为a（a﹤L）的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v﹤v0)，那么线圈（）A完全进入磁场中时的速度大于（v0+v）/2B完全进入磁场中时的速度等于（v0+v）/2C完全进入磁场中时的速度小于（v0+v）/2D以上情况均有可能如图所示,在水平面上有两条导电导轨MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向里，磁感应强度的大小为B ，两根完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直。
电磁场电磁动量__麦克斯未张力张量ppt课件
回顾：电磁场的能量和能流密度
电磁场对物质（介质）做功的功率密度： ♨ A v B v B v A v A v B v
f v v v E v v v B v v v v v E v J v E v
H E vv H v Dtv H v Ev B v E v E v D v H v @ H v Sv E wv E v D tv
显然，容易，好！ 还可能更容易！
张力张量表示式
电设、磁Er张量Exˆ对,，称曲面sΓr的e=法Ev向Ev矢12量Enˆ2ItnxxˆsΓrnm=yyˆHvHv12H2IEtr
s Γ re 0 E 2 x ˆ x ˆ 1 2 E 2 x ˆ x ˆ y ˆ y ˆ z ˆ z ˆ 2 0 E 2 x ˆ x ˆ y ˆ y ˆ z ˆ z ˆ nˆ
♨ w0E2B2 0
0 E 2 e v E e v E 1 0 B 2 e v B e v B 1 2 0 E 2 1 0 B 2 e v E e v E e v B e v B e v k e v k
w e v E e v E e v B e v B w e v E e v E e v B e v B e v k e v k w e v k e v k c g v e v k
能量的概念不断地扩充，保持能量转换并守恒的信念 ❖ 动能 ❖ 势能（保守力场中可以用动能转换过来的 “东西”，机械能） ❖ 热能（宏观的机械能（消失后）转换产生的 “效应” ，内能） ❖ 电磁能（其他能量通过与电磁力相互作用而显现出 “效应” ，场能形式）
用动量守恒的概念将 “动量” 的概念赋予电磁场 ❖ 电磁场对物质的作用力体现了动量的变化 ❖ 若动量守恒成立，电磁场的动量概念可以确立 ❖ 场是空间分布的，因此有动量密度、动量流密度的概念
电磁场的动量和动量流
∫ ∫ ∫ 5）电动力学中动量守恒定律的积分形式
G f dV +
G
∂g dV = −
>>
∇ ⋅T dV
G f
+
G ∂g
=
>>
−∇ ⋅ T
∂t
V
V ∂t
V
∫ ∫ ∫ G
f
dV
+
d
G
>> G
−
Ez
∂Ez ∂x
⎤G ⎥ex ⎦
=
⎡ ⎢E ⎣
y
⎜⎜⎝⎛
∂Ex ∂y
−
∂Ey ∂x
⎟⎟⎠⎞ +
Ez
⎜⎛ ⎝
∂Ex ∂z
−
∂Ez ∂x
⎟⎞⎥⎤eG ⎠⎦
x
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G
f = ε0
G ∇⋅E
G E+
G ∇×E
G ×E
+
1
μ0
GG
GG
∇⋅B B+ ∇×B ×B
bx by bz
等式左边的 x 分量：
[( ) ] [( ) ( ) ] G G
G
GG
∇× E × E x = ∇× E y Ez − ∇× E z Ey ex
=
⎢⎡⎜⎛ ⎣⎝
∂Ex ∂z
−
∂Ez ∂x
⎟⎞ ⎠
Ez
− ⎜⎜⎝⎛
∂Ey ∂x
−
∂Ex ∂y
⎟⎟⎠⎞E
y
⎤G ⎥ex ⎦
电磁场的能量与动量传递
电磁场的能量与动量传递介绍电磁场是由电荷的运动引起的一种物理现象，它包含着能量和动量的传递。
电磁场的能量与动量传递是电磁学的基本原理之一，它在现代科学和技术中起着重要作用。
电磁场的能量传递电磁场中的能量传递是通过电磁波的传播实现的。
电磁波是由振荡的电场和磁场相互作用而产生的能量传递的方式。
当电荷做振荡运动时，电场和磁场交替地变化，从而形成了电磁波。
电磁波在空间中传播，携带着能量。
这种能量传递是以波动形式存在的，可以通过光、无线电和微波等形式来观察和利用。
电磁场的动量传递除了能量传递，电磁场还可以传递动量。
动量是质量和速度的乘积，而电磁场中的电磁波具有动量，这是由于电场和磁场相互作用而产生的。
当电磁波与物体相互作用时，它们可以传递动量给物体，从而改变物体的运动状态。
这种动量传递在一些实际应用中非常重要，例如激光加工和光推动飞船等。
电磁场的能量和动量守恒定律电磁场的能量和动量在传递过程中遵循能量和动量守恒定律。
根据能量守恒定律，能量既不能被创造也不能被摧毁，只能在不同形式之间进行转化和传递。
当电磁波通过空间传播时，它的能量会随着距离的增加而逐渐减弱，最终被吸收或散射。
根据动量守恒定律，物体在相互作用过程中，动量的总改变量为零。
当电磁波与物体相互作用时，它们的动量可以在物体和电磁场之间进行交换，但总的动量守恒。
电磁场的应用电磁场的能量和动量传递在现代科学和技术中有广泛的应用。
在通信领域，无线电波和光纤传输是电磁波传递能量的常见方式。
无线电和电视的广播、手机通信以及互联网的数据传输都依赖于电磁场的能量传递。
此外，激光加工利用激光的动量传递来加工材料，而光推动飞船则利用太阳光的动量传递实现航天飞行。
总结电磁场的能量和动量传递是电磁学的重要内容。
电磁波通过电场和磁场的相互作用携带和传递能量和动量。
电磁场的能量和动量传递遵循能量和动量守恒定律，能量可以在不同形式之间转化和传递，动量在相互作用过程中守恒。
这一原理在通信、激光加工和航天等领域有着广泛的应用。
电磁场的动量
p3
S1T13
S
2T23
S3T33
写成矢量式：P S T
这就是经过面元ΔS流出旳动量。所以，经过闭合曲
面流出旳总动量为
T ds
S
张量 T 旳分量Tij 旳意义是经过垂直于i 轴旳单位面积
流过旳动量j 分量。
二、Maxwell stress tensor进一步讨论
为了对Maxwell应力张量旳进一步了解，下面讨论电场 中旳几种特殊面上旳力。
2) 若面法线方向旳单位矢量n垂直于电场E，则单位面积上旳
电磁力为
P电磁
nT
n [0 (EE
1 2
E 2I )]
n
0
EE
1 2
0n
E
2I
1 2
0E
2n
其中用到 n E 0 , n I n
成果表白单位面积上旳电磁力P电磁沿单位面积旳法线方向， 与电场方向垂直，负号阐明是压力，故垂直于电场线方向
Maxwell应力张量旳分量物理含义：
z C
△S
O
A
y B
x
设ABC为一面元ΔS，这面元旳三个分量为三角形OBC、
OCA和OAB旳面积，OABC是一种体积元△V，
z
经过界面OBC单位面积流入
C
体内旳动量三个分量为：
T11、 T12 、 T13 ；
△S
经过界面OCA单位面积流入
O
体内旳动量三个分量为： A
(
E
)
E
( EE
)
1
(E
E
)
(
EE
)
1
(E
2
I)
2
2
( EE
第4讲 电磁场的能量与动量
第四讲 电磁场的能量与动量
4.2 电荷系统的动量和能量
根据作用力等于动量的时间变化率，有 v v v dv d v dG p (4 − 2) F = m = ( mv ) = dt dt dt 式中Gp为带电粒子的动量，由(4-1)和(4-2)，有 r v v v dG p = q ( E + v × B) (4 − 3) dt 另一方面，带电粒子的动能
r r F = qE
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第四讲 电磁场的能量与动量
[Ampere定律]恒定电流元受到磁场作用力
r r r dF = J × Bdv 若电荷为连续分布，其密度为ρ，则电荷系统单位体 积所受的力密度为 r r r r f = ρE + J × B (4 − 1)
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
−∫
s
第四讲 电磁场的能量与动量
注意：频域Poyinting定理不是时域 Poynting 定 理Fourier变换而来，而是对应于一个周期内能 量的平均值。
σ = σ ∗ = 0，ε = ε ∗，μ = μ∗
Im ( wm ) = 0， ( we ) = 0 Im (4 − 15)
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
电磁能动张量推导
电磁能动张量推导
（最新版）
目录
1.电磁能动张量的概念
2.电磁能动张量的推导过程
3.电磁能动张量的应用
正文
一、电磁能动张量的概念
电磁能动张量是电磁场理论中的一个重要概念，它用于描述电磁场的能量和动量。
电磁能动张量包含了电磁场的能量密度、能量流密度和动量密度等物理量，是研究电磁场相互作用和运动的重要工具。
二、电磁能动张量的推导过程
电磁能动张量的推导过程主要基于电磁场的基本方程和能量守恒定律。
具体来说，首先从电磁场的基本方程中得出电磁场的能量密度和能量流密度，然后根据能量守恒定律得出动量密度。
最后，将这三个物理量组合起来，就可以得到电磁能动张量。
具体的推导过程较为复杂，需要涉及到张量分析和高等数学的知识，这里就不详细展开了。
三、电磁能动张量的应用
电磁能动张量在电磁场理论中有广泛的应用，它可以用于研究电磁波的传播、电磁场的相互作用和电磁场的运动等。
例如，在电磁波的传播过程中，电磁能动张量可以用来描述电磁波的能量和动量如何随着空间的变化而变化。
在电磁场的相互作用和运动中，电磁能动张量可以用来描述电磁场的能量和动量的转换和守恒。
第1页共1页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∂L ∂xµ
δxµ
+
∂δxµ ∂xµ
L(x)
=
d4x ∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
+ ∂µ(Lδxµ)
=
d4x ∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
+
Lδxµ
(11)
因此
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
+
Lδxµ
=0
(12)
特别地，对于 global 的连续对称性变换，(1),(2) 可用 global 的无穷小 参数 改写为：
(29)
此外守恒荷也没有改变：
Pν ≡
d3x T 0ν = d3x (Θ0ν + ∂ρχρ0ν )
=
d3x (Θ0ν + ∂0χ00ν + ∂iχi0ν )
= d3x Θ0ν
(30)
其中 χ00ν 是由于反对称性为零，而 χi0ν 只要在无穷远处足够快地衰减， 由高斯定理可知它的面积分也为零。
这样引入的对称张量 T µν 称为能量动量张量。
− gµν
L
=
−F µρ∂ν Aρ +
1 4
gµν
FαβF αβ
(37)
显然第一项对于 µ, ν 不对称。考虑到规范对称性，需设法将 ∂νAρ 凑成场 强张量的形式：
− F µρ∂ν Aρ = −F µρ(∂ν Aρ − ∂ρAν ) − F µρ∂ρAν
=
−F
µρF
ν ρ
−
F
µρ∂ρAν
=
−F
µρF
Lδxµ
(15)
由于 的任意性，因此我们得到了流守恒方程即 Noether 定理：
0 = ∂µjµ ,
jµ
≡
∂
∂L (∂µφa)
δφa
+
Lδxµ
(16)
3
2 内部对称性
对于场 φa(x) 的内部对称性，有
δxµ = 0
(17)
因此这时 Noether 守恒流为
jµ
=
∂L ∂(∂µφa)
δφa
(18)
∂L ∂φa
−
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
=0
(9)
由变换(1)可得
d4x
=
det
∂(x µ) ∂ (xν )
d4x =
1
+ ∂δx0
∂δx∂1x+∂x...∂1∂δxx11
··· ··· ...
··· ··· · · · d4x
...
...
...
1
+
∂δx3 ∂x3
=
1
+
∂δxµ ∂xµ
F
µρF
ν ρ
(40)
这样引入的能量动量张量 T µν 即是是关于 µ, ν 对称而且规范不变的。
6
5 思考题
以下思考题可作为课外小论文，如果做得深入的话也可作为本科毕业论文 题目。请在教师指导下选做。
• 试求解在时空转动（即 Lorentz 变换）下的守恒流。
• 试求解 Dirac-Maxwell 理论的能量动量张量。
xµ → xµ = xµ + δxµ
(13)
φa(x) → φa(x) = φa(x) + δφa(x)
(14)
注意(13),(14)中 δxµ , δφa(x) 不再是无穷小量，只有 才是无穷小量。这 时(12)成为
0
=
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa + L
δxµ
=
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
+
ν ρ
−
∂ρ(F
µρ
Aν
)
(38)
最后一步应用了
Maxwell
方程(32)。显然
F
µρF
ν ρ
是关于
µ, ν
对称的，将
上式代入(37)，得
Θµν
=
1 4
gµν
FαβF αβ
−
F
µρ
F
ν ρ
− ∂ρ(F µρAν)
(39)
因此，可令
T µν
≡
Θµν
+ ∂ρ(F µρAν)
=
1 4
gµν
FαβF αβ
−
L = LDirac + Le.m. + Lint
=
ψ¯(iγµ∂µ
−
m)ψ
−
1 4
Fµν
F
µν
−
eAµψ¯γµψ
(41)
• 试求解 Higgs-Maxwell 理论的能量动量张量。 • 试求解 Einstein-Maxwell 理论的能量动量张量。 • 试求解 Yang-Mills 理论的能量动量张量。 • 试求解 Einstein-Yang-Mills 理论的能量动量张量。
xµ → xµ = xµ + δxµ
(1)
φa(x) → φa(x) = φa(x) + δφa(x)
(2)
是对称的，即作用量 S 保持不变：
S = d4xL(x) = d4x L (x )
(3)
其中拉氏量
L(x) ≡ L φa(x), ∂µφa(x)
(4)
1
记
δL(x) ≡ L (x) − L(x)
δφa
+
∂
∂L (∂µφa)
δ∂µφa
=
∂L ∂φa
δφa
+
∂
∂L (∂µφa)
∂µδφa
=
∂L ∂φa
δφa
+
∂µ
∂
∂L (∂µφa
)
δφa
− ∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
=
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
+
∂L ∂φa
−
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
=
∂µ
∂L ∂(∂µφa)
δφa
(8)
这里我们应用了场的运动方程：
3 时空平移不变性与能量动量张量
考虑 global 的时空平移变换：
xµ → x µ = xµ − µ
(19)
若 φa(x) 在时空平移下不变，则有
φa(x) = φa(x ) = φa(x − )
(20)
因此
φa(x) = φa(x + ) = φa(x) + µ∂µφa(x)
(21)
由(19),(21)可得
Noether 定理与电磁场的能量动量张量
中山大学《电动力学》课程专题扩展讨论教案
张宏浩 （中大理工学院）
Contents
1 Noether 定理
1
2 内部对称性
4
3 时空平移不变性与能量动量张量
4
4 电磁场的能量动量张量
5
5 思考题
7
1 Noether 定理
我们以经典场 φa(x) 为例推导 Noether 定理。若体系对于以下无穷小连续 变换
d4x
(10)
2
其中我们最后一步只保留了 O(δx) 阶。 现在，由(3)得
0 = d4x L (x ) − d4xL(x)
=
d4x
1
+
∂δxµ ∂xµ
L (x ) −
d4xL(x)
=
d4x
L
(x
)
−
L(x)
+
∂δxµ ∂xµ
L
(x
)
=
d4x
∆L(x)
+
∂δxµ ∂xµ
L(x)
=
d4x
δL(x)
+
4 电磁场的能量动量张量
对于自由电磁场，拉氏量为
L
=
−
1 4
Fµν
F
µν
,
Fµν ≡ ∂µAν − ∂ν Aµ
(31)
Maxwell 方程可表示为：
∂µF µν = 0
(32)
5
若电磁势 Aµ(x) 在时空平移变换下保持不变：
Aµ(x) = Aµ(x ) = Aµ(x − )
(33)
则由(26)可得守恒流为
Θµν
=
∂L ∂(∂µAρ)
∂
ν
Aρ
− gµν
L
(34)
由
FαβF αβ = (∂αAβ − ∂βAα)(∂αAβ − ∂βAα)
= 2 (∂αAβ)(∂αAβ) − (∂αAβ)(∂βAα)
(35)
可得
∂(FαβF αβ) ∂(∂µAρ)
=
4F µρ
(36)
因此
Θµν
=
∂
∂L (∂µAρ
)
∂ν
Aρ
∂ν
φa
− gµν
L
(26)
一般情况下， Θµν 不是对称张量。为了得到对称的张量 T µν = T νµ ，可以 对 Θµν 添加一个4-散度：
T µν = Θµν + ∂ρχρµν
(27)
其中 χρµν 是对前两个指标反对称的任意张量：
χρµν = −χµρν
(28)
这使得流守恒方程保持不变：
∂µT µν = ∂µΘµν + ∂µ∂ρχρµν = ∂µΘµν = 0
(5)
∆L(x) ≡ L (x ) − L(x)
(6)
则
∆L(x) = L (x ) − L(x)
= L (x ) − L (x) + L (x) − L(x)