基于常微分方程的城市交通网络分析

浙江理工大学学报,第26卷,第1期,2009年1月

Journal of Zhejiang Sci2Tech U niversity

Vol.26,No.1,J an.2009

文章编号:167323851(2009)0120070207

基于常微分方程的城市交通网络分析

吴正志,胡觉亮,丁佐华

(浙江理工大学数学计算与软件工程中心,杭州310018)

摘　要:首先建立城市交通网络的连续Petri网模型,用一组常微分方程来描述其语义,每个常微分方程描述交通流量的变化,交通流量可由介于0和1之间的数值来度量,此度量值显示交通堵塞的程度。针对不同的交通流速分析了各路段交通流量状况,适当调整信号灯的点火速率可以缓解城市交通阻塞问题。最后着重分析了某路段发生事故时对其它路段交通流量的影响。该方法的好处在于在做系统分析时,可避开状态爆炸问题。

关键词:性能分析;连续Petri网;常微分方程;城市交通

中图分类号:TP302.7 文献标识码:A

0　引　言

随着交通需求的持续增长,加强对交通网络的管理变得非常重要。由于环境、经济等资源的限制,不能仅依靠扩展道路、新建道路等方式来解决。因此建立合适的交通模型并进行分析控制是很有必要的。控制城市交通流的方法通常是交通信号控制,即通过改变道路绿时长度来控制信号交叉口、调节交通流,主要目标是缩短车辆等待时间和交叉口等待队列长度。

Pet ri网提供了一种以图形和数学为基础的形式化建模方法,特别是在并发、资源共享和同步方面备受关注[1]。然而,Pet ri网在可达性分析时,尽管存在一些简化方法[2],但还会遇到状态爆炸问题[3]。解决此问题的方法之一是引入连续Petri网(CPN)[425],这种方法尽管以付出某些分析的可能性为代价,但它避免了由离散系统继承而来的状态爆炸问题,并且我们可以借助于连续动态系统理论和方法。笔者运用连续Pet ri 网建立交通网络模型,将连续Pet ri网的语义定义为一组常微分方程,每个微分方程描述了交通流量的变化,交通流量用介于0到1的数值进行度量,此度量值显示了交通堵塞的程度。适当调整信号灯的变换速率可以缓解城市交通阻塞问题,并且某路段发生事故也可以用此模型来模拟。

1　连续Petri网模型

笔者将使用连续Pet ri网建立城市交通网络模型。下面给出关于连续Petri网的几个定义:

定义1　状态(state)被定义为某时刻一组变量的值被改变。

定义2　状态度量(state measure)被定义为一段时间内状态可达到的程度。

定义3　事件(event)被定义为系统的一种活动,并引起系统状态的改变。

在笔者的Pet ri网模型中,库所表示状态,即交通流所处状态;变迁表示事件,即交通流左转或右转等;库所中的标识作为状态度量,表示交通流量阻塞状况。

定义4　连续Pet ri网形式化定义为一个五元组CP N=,其中,P={p1,…,p n}

收稿日期:2008-04-29

基金项目:国家高新技术研究及发展规划(863)项目(2006AA01Z165)

作者简介:吴正志(1982-　),男,山东青岛人,硕士研究生,主要从事软件测试、Petri Net s方面的研究。

是非空的有限库所集合;T ={t 1,…,t m }是非空的有限变迁集合;A pre ={p →t}是连接库所和变迁的有向弧集合;A post ={t →p}是连接变迁和库所的有向弧集合;v :T →R +是为每个变迁赋予点火速率的映射。

定义5　假设m i :[0,∞)→R +,(i =1,…,n )是映射的一个集合。连续Pet ri 网的标识定义为映射m i :

[0,∞

)→(m 1,…,m n ),m (τ)=(m 1(τ),…,m n (τ)),m i 对应于库所p i 。定义6　标识连续Pet ri 网定义为二元组(N ,M 0),其中N 是连续Pet ri 网,M 0=(m 1(0),…,m n (0))是初始标识集合。

假设信号灯线程和交通流线程上均仅有一个库所的初始状态度量值为1。

不同的点火规则可能导致不同的Pet ri 网语义。本文使用如下规则,如果某个变迁的所有输入库所中的标识不为0,则此变迁能被激活,只有被激活的变迁才能被点火,并假设变迁被激活后立即点火。假设p 1和

p 2是变迁t 的两个输入库所,它们的标识分别为m 1(τ

)和m 2(τ),v (t )是变迁t 的点火速率,则变迁t 的输出速率为v (t )×m 1(τ

)×m 2(τ)。2

　微分方程模型

图1　建立微分方程的Petri 网模型

基于连续Pet ri 网语义,每个库所的标识都对应于

一个常微分方程。

a )一个库所到一个库所。如图1(a )所示,库所p

将从库所p 1获得标识。假定库所p 和p 1的标识分别为

m 和m 1,变迁t 1和t 的点火速率分别为d 1和d ,则m 的

标识表示为:

m ′

(τ)=d 1m 1(τ)-dm (τ)b )两个库所到一个库所。如图1(b )所示,库所p 从p 1和p 2获得标识。假定库所p 1、p 2和p 的标识分别为m 1、m 2和m ,变迁t 1和t 的点火速率分别为d 1和d ,则m 的标识表示为:

m ′

(τ)=d 1m 1(τ)m 2(τ)-dm (τ)c )一个库所到两个库所。如图1(c )所示,库所p 从p 1中获取标识,但需要得到p 2中的标识才能继续执行。假定p 1、p 2和p 的标识分别为m 1、m 2和m ,变迁t 1和t 的点火速率分别为d 1和d 。则m 的标识表示为:

m ′

(τ)=d 1m 1(τ)-dm (τ)m 2(τ)d )两个库所到两个库所。如图1(d )所示,库所p 从p 1和p 3中获取标识,但需要得到p 2中的标识才能继续执行。假定p 1、p 2、p 3和p 的标识分别为m 1、m 2、m 3和m ,变迁t 1和t 的点火速率分别为d 1和d 。则m 的标识表示为:

m ′

(τ)=d 1m 1(τ)m 3(τ)-dm (τ)m 2(τ)3

　模型分析

图2　交互库所不属于任何回路

当系统到达稳定状态时,不管点火速率如何选择,线程上的每个状

态都可用0到1之间的数值进行度量,它表示一定时间内交通阻塞的程

度,且任意时刻每条线程上所有状态的状态度量值之和总为1。但是点

火速率的不同会影响相应状态度量值的大小,因此可以用改变信号灯

的变换速率的方法来缓解城市交通阻塞问题。

对于线程间的交互库所,如果它不与任何线程构成回路,其状态度

量值不一定在0到1之间。例如,某系统含有两条线程,m 4是其中一条

线程的输入库所,并且是另一条线程的输出库所,如图2所示。初始状

态度量值分别为m 1=m 5=1,m 2=m 3=m 4=m 6=0,点火速率d 1

=d 2=d 3=d 4=d 5=1。经过100个时间单位后各状态度量值如下:17第1期吴正志等:基于常微分方程的城市交通网络分析