2方程与不等式
二次方程不等式
二次方程不等式二次方程不等式一、基本概念二次方程不等式是指含有二次项的不等式，通常写成$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$ 的形式，其中 $a,b,c$ 是实数且 $a\neq 0$。
对于一般形式的二次方程不等式，我们可以通过求解对应的二次方程来确定其解集。
具体来说，我们可以先将不等式转化为相应的二次方程 $ax^2+bx+c=0$，然后求出该二次方程的根，最后利用根的位置关系来确定原不等式的解集。
二、求解方法1. 利用判别式求根对于一般形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
我们可以通过判别式的正负性来确定该二次方程的根情况：当 $\Delta>0$ 时，该二次方程有两个实数根；当 $\Delta=0$ 时，该二次方程有一个重实数根；当 $\Delta<0$ 时，该二次方程无实数根。
特别地，在求解二次方程不等式时，我们还需要注意以下几点：若要求解 $ax^2+bx+c>0$ 的情况，则需满足 $\Delta<0$ 或$\Delta=0$ 且 $a>0$；若要求解 $ax^2+bx+c<0$ 的情况，则需满足 $\Delta>0$ 且$a>0$。
2. 利用二次函数图像求解我们知道，一般的二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
对于二次方程不等式 $ax^2+bx+c>0$ 或$ax^2+bx+c<0$，我们可以通过分析对应的二次函数图像来确定其解集：当 $a>0$ 时，对应的二次函数图像开口向上。
此时，当函数值大于零时，即在抛物线上方时，原不等式成立；当函数值小于零时，即在抛物线下方时，原不等式不成立。
当 $a<0$ 时，对应的二次函数图像开口向下。
此时，当函数值小于零时，即在抛物线下方时，原不等式成立；当函数值大于零时，即在抛物线上方时，原不等式不成立。
第二讲方程与不等式-PPT
解得:m≤2
所以 3－m≠0
3m-1 (m+3)
又 ∵方程 △＝ (1)2 4 (3 m)＝m1－2 4
当m=2 时 △＝0, ∴方程有两个相等得就是实数根;
当m<2时 △<0, ∴方程无实数根。
例5、 已知关于x得方程mx2 14x 7 0 有两个
x x 实数根 1与 2,关于y 得方程 y2 2(n 1) y n2 2n 0
3
2
这时原方程转换成关于k得一元一次方程, 解得:k＝1。故选 (B)
例2、方程 x2 4x 2 得正根为
()
Ａ、2 6 Ｂ、 2 6 Ｃ、2 6 Ｄ、 2 6
解析:利用配方法或公式法求解得正根 x= －2＋ 6、
故选(D)
例3、 (2008江苏省苏州市)解不等式组:
x 3 0， 2(x 1) 3≥3x.
2
所以m= 4 2 (6) (4)2 =－8, 42
∵当n=0时,m=－6; 当n＝4时,m＝10、 ∴m得取值范围就是－8≤m<10、
例6、 (2007江苏扬州课改)为了加强公民得节水意识,合理利 用水资源,某市采用价格调控手段达到节水得目得、该市自 来水收费价格见价目表、
若某户居民月份用水 8m3,
第二讲方程与不等式
在求解方程时应灵活选用,值得注意得就是分式方程求解,验 根。
对于一元一次不等式(组)得求解,要熟练地掌握不等 式得基本性质,它就是不等式求解得基础,在解不等式(组) 时,若不等式两边同时乘以或除以同一个负数时不等号方向 要改变。而不等式组得解就是每个不等式解得公共部分,它常 通过数轴这一步骤来得到不等式解得。
价目表
则应收水费:
2 6 4 (8 6) 2元0、
二次方程与不等式的解法知识点总结
二次方程与不等式的解法知识点总结在数学学习中，二次方程与不等式是非常重要的概念和工具。
掌握它们的解法方法对于解决各类数学问题至关重要。
本文将对二次方程与不等式的解法进行总结，并介绍一些常用的技巧和注意事项。
一、二次方程的解法二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
在解二次方程时，我们可以通过以下几种方法来求解。
1. 完全平方公式法完全平方公式是求解一元二次方程最常用的方法之一。
假设给定的二次方程为ax² + bx + c = 0，其中a≠0。
根据完全平方公式，我们可以得到如下求解步骤：Step 1: 计算方程的判别式D = b² - 4ac。
Step 2: 判断判别式的值，如果D > 0，则方程有两个不相等的实数根；如果D = 0，则方程有两个相等的实数根；如果D < 0，则方程没有实数根。
Step 3: 根据判别式的结果，使用完全平方公式求解方程的根。
如果方程有两个实数根x₁和x₂，则根据完全平方公式可得：x₁ = (-b + √D) / 2ax₂ = (-b - √D) / 2a2. 因式分解法当二次方程可以进行因式分解时，我们可以使用因式分解法来求解方程的根。
假设给定的二次方程为ax² + bx + c = 0，其中a≠0。
通过因式分解，我们将方程转化为(x - p)(x - q) = 0的形式，其中p和q为实数。
这样，我们可以得到以下求解步骤：Step 1: 对方程进行因式分解，将其化简为(x - p)(x - q) = 0。
Step 2: 根据因式分解的结果，我们可以得到两个实数解x = p和x = q。
3. 公式法除了完全平方公式和因式分解法，我们还可以使用二次方程的根的公式来求解方程。
对于给定的二次方程ax² + bx + c = 0，其中a≠0，我们可以使用以下公式来求解：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)通过以上这些解法，我们可以灵活选择适合的方法来解决各种二次方程的问题。
专题(二) 方程、不等式的解法
(2)当 k＝1 时，原方程为 x2＋3x＋1＝0. ∵x1，x2 是该方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知 x1＋x2＝－3，x1x2＝1. ∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×1＝7.
3．解不等式：2x－1＞3x2－1，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得 4x－2＞3x－1. 解得 x＞1. 这个不等式的解集在数轴上表示如下：
4．解不等式组：25xx－≥－1>9－3（x，x＋1），并把它的解集在数轴上表示出来． 解：解不等式 2x≥－9－x，得 x≥－3. 解不等式 5x－1＞3(x＋1)，得 x＞2. 则不等式组的解集为 x＞2. 将解集表示在数轴上如下：
8．已知关于 x 的方程(x－3)(x－2)－p2＝0. (1)求证：无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根分别为 x1，x2，且满足 x21＋x22＝3x1x2，求实数 p 的值．解：(1)证明：∵(x－3)(x－2)－p2＝0，
∴x2－5x＋6－p2＝0. ∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝1＋4p2. ∵无论 p 取何值时，总有 4p2≥0， ∴1＋4p2＞0. ∴无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
2x＋y＝4，① (3)x－y＝－1；② 解：①＋②，得 2x＋y＋x－y＝4－1.解得 x＝1. 把 x＝1 代入①，得 2＋y＝4.解得 y＝2. ∴原方程组的解是xy＝ ＝12，.
方程与不等式的关系与转化
方程与不等式的关系与转化一、方程与不等式的定义知识点1：方程的定义方程是一个含有未知数的等式，其中等号两边的表达式相等。
方程的目的是找到使等式成立的未知数的值。
知识点2：不等式的定义不等式是一个含有未知数的数学表达式，其中等号被大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）或不等号（≠）代替。
不等式的目的是找到使表达式成立的未知数的范围。
二、方程与不等式的关系知识点3：方程与不等式的联系方程和不等式都是用来描述变量之间关系的数学工具。
方程是通过等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下相等；而不等式是通过不等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下不相等或不具有大小关系。
知识点4：方程与不等式的区别方程是通过等号表示两个表达式的相等关系，而不等式是通过不等号表示两个表达式的不相等关系或不具有大小关系。
方程的解是唯一的，而不等式的解集是一个范围。
三、方程与不等式的转化知识点5：方程转化为不等式将方程中的等号改为不等号，可以得到相应的不等式。
例如，将2x + 3 = 7转化为2x + 3 ≥ 7，得到的解是x ≥ 2。
知识点6：不等式转化为方程将不等式中的不等号改为等号，可以得到相应的一般方程。
例如，将3x - 5 < 8转化为3x - 5 = 8，解这个方程得到的解是x = 5/3。
知识点7：线性方程与一元一次不等式的转化线性方程和不等式可以通过解集的性质进行转化。
例如，解线性方程2x - 5 = 3，得到的解是x = 4/2。
相应的不等式是2x - 5 ≥ 3，解集是x ≥ 4/2。
四、方程与不等式的解法知识点8：线性方程的解法线性方程可以通过代数方法（如移项、合并同类项、系数化）求解。
例如，解方程3x + 4 = 19，可以得到x = 5。
知识点9：一元一次不等式的解法一元一次不等式可以通过同解原理和数轴法进行解法。
例如，解不等式2x - 5 > 3，可以得到x > 4。
方程与不等式的知识点梳理
方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。
也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
第2讲 方程（组）与不等式（组）
第2讲 方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么b c2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．【典例】例1如果3m ＝3n ，那么下列等式不一定成立的是（ ） A ．m ﹣3＝n ﹣3 B ．2m +3＝3n +2C ．5+m ＝5+nD ．m −3=n −3例2解方程：（1）2﹣3（x ﹣1）＝2（x ﹣2）； （2）．例3若方程12﹣3（x +1）＝7﹣x 的解与关于x 的方程6﹣2k ＝2（x +3）的解相同，求k 的值．例4若方程2（2x ﹣1）＝3x +1与关于x 的方程2ax ＝（a +1）x ﹣6的解互为倒数，求a 的值．例5我市某区为鼓励毕业大学生自主创业，经过调研决定：在2021年对60名自主创业的大学生进行奖励，共计奖励50万元．奖励标准是：大学生自主创业连续经营一年以上的给予5000元奖励；自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的，再给予1万元奖励．问：该区自主创业大学生中连续经营一年以上的和自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生分别有多少人？例6两辆汽车从相距80km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km /h ，半小时后两车相遇？ （1）两车的速度各是多少？ （2）两车出发几小时后相距20km ？【随堂练习】1．在下列方程的变形中，正确的是（ ） A ．由2x +1＝3x ，得2x +3x ＝1 B ．由25x =34，得x =34×52C ．由2x =34，得x =32D ．由−x+13=2，得﹣x +1＝62．解方程：（1）3x +2＝4（2x +3）； （2）﹣1．3．某同学在解关于y 的方程﹣＝1去分母时，忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y ＝10．（1）求a 的值； （2）求方程正确的解．4．已知关于x 的方程2（x ﹣1）＝3m ﹣1与3x ﹣2＝﹣4的解相同，求m 的值．5．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表：每月用水量 单价（元）不超过23立方米的部分 m 超过23立方米的部分m +1.1（1）某用户4月份用水10立方米，共交费26元，求m 的值；（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费82元，请问该用户5月份用水多少立方米？知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即242ab b ac -±-.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. （3）<0一元二次方程没有实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1若关于x 的方程（m +1）x |m |+1+x ﹣3＝0是一元二次方程，求m 的值．()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠221,2440)b b ac x b ac -±-=-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax 20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x例2解方程：9（x﹣1）2＝16（x+2）2．例3用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．例4若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，求k的取值范围．例5岳池县是电子商务百强县，某商店积极利用网络优势销售当地特产—西板豆豉．已知每瓶西板豆豉的成本价为16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．为了回馈广大顾客，该商店现决定降价销售（销售单价不低于成本价）．经市场调查反映：若销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶．（1）当销售单价降低1元时，每天的销售利润为元；（2）为尽可能让利于顾客，若该商店销售西板豆豉每天的实际利润为350元，求西板豆豉的销售单价．例6在学校劳动基地里有一块长40米、宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积为741平方米，小道的宽为多少米？【随堂练习】1．解方程：（1）（x﹣1）2﹣＝0；（2）2x2+8x﹣1＝0．2．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．3．惠友超市于今年年初以25元/件的进价购进一批商品．当商品售价为40元/件时，一月份销售了256件．二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了400件．（1）求二、三月份销售量的月平均增长率．（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价1元，销售量增加5件．当每件商品降价多少元时，商场获利4250元？4．如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．（1）这个无盖纸盒的长为cm，宽为cm；（用含x的式子表示）（2）若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，求x的值．知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1解方程：（1）＝﹣2．（2）＝．例2用换元法解方程(xx+1)2+5(x x+1)+6=0时，若设xx+1=t，则原方程可化为关于t的一元二次方程是．例3定义一种新运算“⊗”，规则如下：a⊗b＝，（a≠b2），这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3＝＝﹣．求x⊗（﹣2）＝1中x的值．例4疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人每小时搬运的原料比B型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．例5 2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，由于新冠疫情加重，当地加强了防控措施，对外出进行限制，小伟有更多的时间待在家里，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？例6要在规定天数内修筑一段公路，若让甲队单独修筑，则正好在规定天数内按期完成；若让乙队单独修筑，则要比规定天数多8天才完成．现在由乙队单独修筑其中一小段，用去了规定时间的一半，然后甲队接着单独修筑2天，这段公路还有一半未修筑．若让两队共同再修筑2天，能否完成任务？【随堂练习】1．用换元法解方程x−1x=3x x−1−2时，设x−1x=y ，换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为 ．2．解方程： （1）＝；（2）﹣3．3．若关于x 的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．4．虎林西苑社区在扎实开展党史学习教育期间，开展“我为群众办实事”活动，为某小区铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．5．某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动．已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天，求A、B两班每天各植树多少棵？知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1下列方程中，是二元一次方程的是（）A．xy＝2B．3x＝4y C．x+1y=2D．x2+2y＝4例2解方程组：（1）；（2）．例3已知方程组与有相同的解，求m 和n 值．例4糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？例5中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某种药材种植基地欲将一批150吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙两种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示：车型 甲 乙 运载量（吨/辆） 10 12 运费（元/辆）700720若全部中药材用甲、乙两种车型一次性运完，需支付运费9900元，问甲、乙两种车型各需多少辆？【随堂练习】1．如果3x 3m﹣2n﹣4y n﹣m+12＝0是关于x 、y 的二元一次方程，那么m 、n 的值分别为（ ） A ．m ＝2，n ＝3 B ．m ＝2，n ＝1C ．m ＝﹣1，n ＝2D ．m ＝3，n ＝42．如果方程组{ax −by =134x −5y =41与{ax +by =32x +3y =−7有相同的解，则a ，b 的值是（ ）A ．{a =2b =1B ．{a =2b =−3C ．{a =52b =1D ．{a =4b =−53．解方程组：．4．列二元一次方程组解应用题：小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？5．某市要在A ，B 两景区安装爱心休闲椅，它有长条椅和弧形椅两种类型，其中每条长条椅可以同时供3人使用，每条弧形椅可以同时供5人使用．（列二元一次方程组解答） （1）市政府现在要为B 景区购买长条椅120条，弧形椅80条，若购买一条长条椅和一条弧形椅的价格共360元，为B 景区购买共花费了32800元，求长条椅和弧形椅的单价分别为多少元？（2）现决定从某公司为A 景区采购两种爱心休闲椅共400条，且正好可让1400名游客同时使用，求A 景区采购的长条椅和弧形椅分别为多少条？知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜； （2）若＞，＞0则＞ （或＞ ）； a b a c c b a b c ac bc c a cb（3）若＞，＜0则 ＜ （或＜ ）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号 、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.a b c ac bc c a cb ax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x【典例】例1如果a ＜b ，c ＜0，那么下列不等式中成立的是（ ） A ．a +c ＞b +c B ．ac ＜bcC ．ac 2＞bc 2D ．ac +1＞bc +1例2解不等式10−x 3≤2x +1，并在数轴上将解集表示出来．例3解不等式组{2x −2≤xx +2＞−12x −1，并把解集在数轴上表示出来．例4已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？例5为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元． （1）甲、乙两种工具每件各多少元？（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？【随堂练习】1．若a ＞﹣1，则下列各式中错误的是（ ） A ．6a ＞﹣6 B ．a 2＞−12C ．a +1＞0D ．﹣5a ＜﹣52．解不等式： （1）x +1＞2x ﹣4； （2）−2x−13＞4．3．解不等式组﹣2≤7x−53+2＜5，并在数轴上表示出它的解集．4．某街道组织志愿者活动，选派志愿者到小区服务．若每一个小区安排4人，那么还剩下78人；若每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人．求这个街道共选派了多少名志愿者？5．“端午节”将至，某商家预测某种粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种400个，乙种200个，需要用2800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要4500元．（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？（2）该商家准备2500元全部用来购买甲乙两种粽子，计划销售每个甲种粽子可获利3元，销售每个乙种粽子可获利5元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于1900元，那么商家至少应购进甲种粽子多少个？综合运用1．若关于x 的方程x+m 3=x −m2与方程3+4x ＝2（3﹣x ）的解互为倒数，求m 的值．2．解方程： （1）x−12=4x 3；（2）5x+13−2x−16=1．3．解不等式组{3−2(x −1)＜3x 1−x−13≥0，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．4．已知方程x 2﹣（k +1）x +k ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．5．某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？6．假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km的乡村敬老院．（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度．（2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？7．某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：里程数（千米）时间（分钟）车费（元）小聪3109小明61817.4（1）求x，y的值；（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从三水荷花世界打车到大旗头古村，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．8．我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？。
第二章一元二次函数、方程和不等式
<
������������.故该结论错误.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
课堂篇 探究学习
反思感悟 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不 等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采 用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题 中经常采用这种办法.
一二三四
课前篇 自主预习
3.做一做
若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是
.
解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5.
答案:x2-1>2x-5
一二三四
课前篇 自主预习
三、重要不等式 1.∀a,b∈R,a2+b2与2ab大小有何关系? 提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0恒成立,所以a2+b2≥2ab. 2.填空 ∀a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
(4)由1������
>
1������,可知1������
−
1 ������
=
������������-������������>0.因为
a>b,所以
b-a<0,于是
ab<0.
又因为 a>b,所以 a>0,b<0.故该结论正确.
(5)依题意取
a=-2,b=-1,则������������
=
1 2
,
������������=2,显然������������
2.1 等式性质与不等式性质
-1-
二次方程与二次不等式
二次方程与简单不等式一、知识回顾：1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式△＝ ．当△＞0时，方程有 ；当△＝0时，方程有 ；当△＜0时，方程 ．2．当方程ax 2＋bx ＋c ＝0有二根x 1，x 2时，x 1＋x 2＝ ；x 1x 2＝ ．3．当方程ax 2＋bx ＋c ＝0有二根x 1，x 2时，其因式分解式方程可写为 ．4．函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为 ，顶点坐标为 ．5．用十字相乘法解下列方程：①x 2－2x －15＝0；②x 2＋3x －28＝0；③x 2－4x －21＝0；④x 2＋5x －36＝0；⑤x 2－6x －16＝0；⑥x 2＋12x －28＝0二、二次项系数不是1的一元二次方程用十字相乘法来解：①2x 2－3x －2＝0；②3x 2＋5x －12＝0；③2x 2－7x －30＝0；④5x 2－12x －9＝0练习：①4x 2－5x －6＝0；②8x 2－14x －15＝0；③6x 2－29x ＋28＝0；④12x 2－8x －15＝0三、二次函数解不等式 设y ＝ax 2＋bx ＋c1．当a ＞0时，判别式△与ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0的解之间的关系如下若△＞0，如图一，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ＜x 1或x ＞x 2}，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，若△＝0，如图二，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ≠x 1}，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为Φ，若△＜0，如图三，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R ，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为Φ．2．当a ＜0时，若△＞0，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 ，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为 ，若△＝0，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 ，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为 ，若△＜0，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 ，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为 ．3．解不等式①x 2－2x －4＜0；②－2x 2＋3x ＋3＜0，③3x 2－2x －1＞0；④x 2－x ＋2＞0巩固练习：①x 2－2x －24＞0；②2x 2－5x －2＜0；③2x 2－2x ＋3＜0；④6x 2－5x －6＞0四、简单高次不等式和分式不等式：1．分式不等式：ax ＋b cx ＋d≥0等价于(ax ＋b )(cx ＋d )≥0且cx ＋d ≠0 思考：（1）ax ＋b cx ＋d＜0等价于 ． （2）(ax ＋b )(ex ＋f )cx ＋d≤0等价于 ． 2．简单高次不等式的解法——穿根法一般步骤(1)把不等式变形为一边是一次因式的积或是不能分解的二次式与一次因式的积，另一边是0的形式．(2)将各因式的x 得系数全部变为1．(3)将各因式等于0的根标在数轴上，从右上方向左下方穿线，奇穿偶不穿．(4)注意等价变形过程中的每个根的等号是否成立例一：解不等式①(x －1)(x 2－5x ＋6)＞0；②x －22x －5≤0；③(x ＋1)(x －3)2x －3≥0；④(x －1)2(x ＋2)(x －3)≥0．例二：解关于x 的不等式①(x －1)(x －2)(x －a )＞0；②ax －1x ＋1＞0练习：解不等式①2x 3－x 2－15x ＞0；②(x ＋4)(x ＋5)2(2－x )3＜0；③(x －3)(x ＋2)(x －1)2(x－4)＞0；④(x －1)(x －2)2(x －3)(x －4)≤0；⑤(x －1)(x －a )2x －5≥0五、简单绝对值不等式基本内容：|x |＜a 等价于－a ＜x ＜a ；|x |＞a 等价于x ＜－a 或x ＞a ．知识扩充：|ax ＋b |＜m 等价于－m ＜ax ＋b ＜m ；|cx ＋d |＞n 等价于cx ＋d ＜－n 或cx ＋d ＞n ． |ax ＋b |＜cx ＋d 等价于－(cx ＋d )＜ax ＋b ＜cx ＋d ；|ax ＋b |＞cx ＋d 等价于ax ＋b ＞cx ＋d 或ax ＋b ＜－(cx ＋d )．例题：解不等式①|2x －1|＜5；②|3－x 2|＜2；③|x 2－2|＜2x ＋6；④|5x ＋2|＞x 2＋2练习：①|2x －1|＜x ＋1；②|x ＋1|＞x 2－1；③|3x ＋5|＜2x ＋9；④|ax －1|＜8巩固练习：1．不等式x 2－x －6x －1＞0的解集是( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞3} B ．{x |x ＜－2或1＜x ＜3}C ．{x |－2＜x ＜1或x ＞3}D ．{x |－2＜x ＜1或1＜x ＜3}2．设集合A ＝{x|x ＞3}，B ＝{x |x －1x －4＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．Φ B ．{x |3＜x ＜4} C ．{x |－2＜x ＜1} D ．{x |x ＞4}3．不等式2－x 4＋x＞0的解集 ． 4．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是{x|x ＜－1或x ＞－12}，则a ＝ ． 5．不等式x －1x＞0的解集为( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ＜－1或0＜x ＜1} C ．{x |x ＞－1} D ．{－1＜x ＜0或x ＞1}6．若集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |2x ＋13－x＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜－12或2＜x ＜3} B ．{x |2＜x ＜3} C ．{x |－12＜x ＜2} D ．{x |－1＜x ＜－12} 7．不等式x －1x≥2的解集为( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |x ≥－1} C ．{x |x ≤－1} D ．{x |x ≤－1或x ＞0}8．已知集合A ＝{x||x －a |≤1}，B ＝{x |x 2－5x －6≥0}，若A ∩B ＝Φ，则实数a 的取值范围是 ．9．若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是{x |x ＞2}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2＞0的解集为( ) A ．{x |x ＜－1或x ＞2} B ．{x |－1＜x ＜2}C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |x ＜－2或x ＞2}10．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x|－2＜x ＜1}，则不等式cx 2＋bx ＋a ＞c (2x －1)＋b 解集为( )A ．{x |－2＜x ＜1}B ．{x |－1＜x ＜2}C ．{x |x ＜12或x ＞2}D ．{x |12＜x ＜2} 11．不等式|x －2x |＞x －2x的解集是( ) A ．{x |0＜x ＜2} B ．{x |x ＜0} C ．{x |x ＞2} D ．{x |x ＜0或x ＞2}12．已知U ＝R ，集合M ＝{x||x －1|≤2}，则C U M ＝( )A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |－1≤x ≤3}C ．{x |x ＜－1或x ＞3}D ．{x |x ≤－1或x ≥3}13．不等式|x ＋1x －1|＜1的解集为( ) A ．{x |0＜x ＜1或x ＞1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |－1＜x ＜0} D ．{x |x ＜0}14．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 得取值范围是 ．15．①解不等式3x －5x 2＋2x －3≤2；②已知k ＜1，求不等式k (x －1)x －2＞1的解集．。
不等式与方程综合二
一、知识要点 1．一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。
它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里kay y kbx x 3.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。
它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0）解不等式的根据是不等式的同解原理。
4．不等式的基本性质和同解原理1.不等式的基本性质(1) 互换性 如果a ＞b ，那么b ＜a(2) 传递性 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3) 平移性 如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4) 伸缩性 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
5．解一元一次不等式的步骤（1）去分母（根据不等式性质2或3）； （2）去括号（根据整式运算法则）； （3）移项（根据不等式基本性质1）； （4）合并同类项（根据整式的运算法则）； （5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）；6．不等式组及其解集几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。
第二章 一元二次函数 、 方程和不等式(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背(新教材)
第二章一元二次函数、方程和不等式（公式、定理、结论图表）1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的比较大小文字语言数学语言等价条件a－b是正数a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是负数a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．4．等式的性质(1)性质1如果a＝b，那么b＝a；(2)性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性质4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝b c .5．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n＞b n＞0(n∈N，n≥2)．6．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．7.已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S24.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．8．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．9．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．10．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．11．三个“二次”的关系|b提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则>0，＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 12．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式思考1：x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．13．(1)不等式的解集为R (或恒成立)的条件设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c若ax 2＋bx ＋c ≤k 恒成立⇔y max ≤k 若ax 2＋bx ＋c ≥k 恒成立⇔y min ≥k14.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．<解题方法与技巧>1．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.典例1：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.典例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e(a－c)2＞e(b－d)2.[思路点拨]可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以1(a－c)2(b－d)2，得1(a－c)2＜1(b－d)2.又e＜0，∴e(a－c)2＞e(b－d)2.3.对基本不等式的理解2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正典例3：给出下面四个推导过程：①∵a、b为正实数，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a·a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－ 2.其中正确的推导为()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[解]①∵a、b为正实数，∴ba、ab为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a·a＝4是错误的．③由xy＜0，得xy、yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后，为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]4.利用基本不等式比较大小1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.典例4：(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是()A．a＋b≥2ab B.ba＋a b ≥2C.a2＋b2ab ≥2ab D.2aba＋b≥ab(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac[解](1)由a＋b2≥ab得a＋b＝2ab，∴A成立；∵ba＋ab≥2ba·ab＝2，∴B成立；∵a2＋b2ab≥2abab＝2ab，∴C成立；∵2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴D不一定成立．(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋.]5.利用基本不等式证明不等式1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．典例5：已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c>9.[思路点拨]看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明]∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9.6.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；典例6：(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12(1－2x )的最大值．[思路点拨](1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解](1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－－4x 3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵0<x<12，∴1－2x>0，∴y＝14×2x(1－2x)≤14×＝14×14＝116∴当且仅当2x＝1－2xx＝14时，y max＝116.7.利用基本不等式求条件最值1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．f(x)＝ax(b－ax)型．典例7：已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．[解]∵x＞0，y＞0，8x＋1 y＝1，∴x＋2yx＋2y)＝10＋xy＋16yx≥10＋2xy·16yx＝18，＋1y＝1，＝16yx，＝12，＝3时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.8.利用基本不等式解决实际问题1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．时，可用函数的单调性求解典例8：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解]设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．x ＋3y ＝18，x ＝3y ，＝4.5，＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝－32y ＝32y (6－y )．∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．9.不等式恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：(1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)转化法求参数范围已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，则(1)y≥k恒成立⇒y min≥k即m≥k；(2)y≤k恒成立⇒y max≤k即n≤k.典例9：已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．[思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解]设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x＝－a2<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.。
初中数学知识归纳二元一次方程组与不等式
初中数学知识归纳二元一次方程组与不等式初中数学知识归纳：二元一次方程组与不等式在初中数学学习中，二元一次方程组和不等式是我们必须要掌握的重要内容。
本文将对这两个概念进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、二元一次方程组二元一次方程组由两个含有两个未知数的方程组成，一般形式为：{ax + by = cdx + ey = f}其中a、b、c、d、e、f为已知的实数，x、y为未知数。
1. 解的概念解即是满足方程组中所有方程的变量值，使方程组中的等式成立。
对于二元一次方程组，它可能有唯一解、无解或者无穷解三种情况。
2. 解的求解方法（1）消元法：通过将方程组中的一方程乘以适当因子，使得两个方程中的某一未知数系数相等或当前系数可消去。
（2）代入法：将方程组中的一方程解出其中一个未知数，再代入另一个方程中去求解。
（3）等式法：将方程组两个方程相加或相减，消去一个未知数，再求解另一个未知数。
3. 实际应用二元一次方程组在日常生活和实际问题中有广泛应用。
例如，通过解决方程组可以计算某商品的单价和数量，或者找到两架飞机的速度等。
二、不等式不等式是数学中的一种表达式形式，表示两个数或表达式的大小关系。
不等式有三种基本形式：大于（>）、小于（<）和大于等于（≥）。
1. 解的概念不等式中的解是使不等式成立的取值范围。
对于一元不等式，解可以用数轴表示；对于多元不等式，解可以用数平面或空间中的区域表示。
2. 不等式的性质（1）加减性质：对不等式两边同时加或减一个数，不等号方向不改变。
（2）乘除性质：对正数乘除不等式两边，不等号方向不改变；对负数乘除不等式两边，不等号方向改变。
3. 实际应用不等式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，通过解决不等式可以求解某个数的范围或满足某种条件的取值范围。
综上所述，初中数学知识中的二元一次方程组和不等式是我们必须要掌握的重要内容。
通过对二元一次方程组的解法和不等式的性质的学习，我们可以更好地理解和应用这些知识。
初中数学一元二次方程和一元二次不等式的区别
初中数学一元二次方程和一元二次不等式的区别一元二次方程和一元二次不等式都是数学中与二次项相关的概念，它们之间存在一些区别：1.定义：o一元二次方程是一个包含一个未知数的方程，且未知数的最高次数为2。
例如，x^2 - 3x + 2 = 0。
o一元二次不等式则是一个包含一个未知数的不等式，且未知数的最高次数为2。
例如，x^2 - 3x +2 > 0。
2.解的性质：o一元二次方程有解的条件是判别式Δ=b²-4ac≥0。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ=0时，方程有两个相等的实数解；当Δ<0时，方程没有实数解。
o一元二次不等式的解集是一个区间或区间的并集，取决于不等式的形式和二次函数的图像。
通过解相应的一元二次方程，可以确定不等式的解集。
3.解的个数：o一元二次方程最多有两个解（实数解或复数解）。
o一元二次不等式的解集可能包含无数个解，也可能没有解，这取决于不等式的形式。
4.应用场景：o一元二次方程常用于解决与二次曲线相关的问题，如抛物线的顶点、与坐标轴的交点等。
o一元二次不等式则更多用于描述某些物理量或经济量之间的关系，如温度、速度、成本等。
5.求解方法：o一元二次方程通常通过因式分解法、公式法或配方法来求解。
o一元二次不等式则可以通过分析二次函数的图像，结合不等式的性质来求解。
总的来说，一元二次方程和一元二次不等式都是二次项相关的数学概念，但它们在定义、解的性质、解的个数、应用场景和求解方法上有所不同。
一元二次方程主要关注方程的解，而一元二次不等式则关注满足不等式的解集。
初中数学知识点二次函数的方程与不等式
初中数学知识点二次函数的方程与不等式初中数学知识点：二次函数的方程与不等式二次函数在初中数学中是一个重要的知识点，它在数学中的应用非常广泛。
本文将介绍二次函数的方程与不等式，让我们一起来深入了解这个知识点。
一、二次函数的方程二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
为了求解二次函数的方程，我们需要先将其转化为标准形式。
标准形式为f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
求解二次函数的方程的一般步骤如下：1. 将二次函数转化为标准形式；2. 判断顶点坐标(h, k)并记录；3. 根据顶点坐标和对称性质，解出方程的根；4. 根据所求得的根，画出函数的图像。
举个例子，假设我们有二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，我们按照上述步骤来求解方程：1. 将函数转化为标准形式：f(x) = (x + 1)^2 + 0；2. 根据标准形式，顶点坐标为(-1, 0)；3. 根据顶点坐标和对称性质，方程的根为x = -1；4. 根据所求得的根，我们可以在坐标系中以(-1, 0)为顶点画出函数的图像。
二、二次函数的不等式求解二次函数的不等式时，我们需要先将其转化为标准形式，然后利用图像的特征来解决问题。
解决二次函数的不等式的一般步骤如下：1. 将二次函数转化为标准形式；2. 判断顶点坐标(h, k)并记录；3. 根据顶点坐标和对称性质，确定函数的凹凸性；4. 根据图像的凹凸性和所给条件，判断不等式的解集。
继续上面的例子，假设我们有二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，并求解不等式f(x) > 0：1. 将函数转化为标准形式：f(x) = (x + 1)^2 + 0；2. 根据标准形式，顶点坐标为(-1, 0)；3. 根据顶点坐标和对称性质，函数是开口向上的，也就是凹函数；4. 根据图像的凹性和不等式f(x) > 0，我们可以判断当x < -1或x > -1时，不等式成立。
2023年上海市16区数学中考二模专题汇编2 方程与不等式(39题)含详解
专题02方程与不等式（39题）一．选择题（共4小题）1．（2023•浦东新区二模）一元二次方程的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根2．（2023•静安区二模）某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为x元，那么下列方程正确的是（）A．B．C．D．．3．（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．x2+1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣bx+1＝0（b为常数）D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）4．（2023•松江区二模）下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2+x+1＝0C．+1＝0D．二．填空题（共22小题）5．（2023•徐汇区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．6．（2023•静安区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，那么c的取值范围为．7．（2023•金山区二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于．8．（2023•崇明区二模）不等式组的解集是．9．（2023•金山区二模）不等式组的解集是．10．（2023•闵行区二模）已知关于x的方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为．11．（2023•嘉定区二模）如果方程，那么x＝．12．（2023•松江区二模）不等式组的解集是．13．（2023•黄浦区二模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0无实数根，那么k的取值范围是．14．（2023•金山区二模）方程的解是．15．（2023•闵行区二模）方程＝x的根是．16．（2023•杨浦区二模）方程的解是．17．（2023•静安区二模）方程＝x的解是．18．（2023•浦东新区二模）方程的根是x＝．19．（2023•崇明区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是．20．（2023•徐汇区二模）方程组的解是．21．（2023•宝山区二模）如果关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，那么k＝．22．（2023•浦东新区二模）不等式组的解集是．23．（2023•虹口区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是．24．（2023•静安区二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有人．25．（2023•虹口区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．26．（2023•闵行区二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为．三．解答题（共13小题）27．（2023•嘉定区二模）解方程组：．28．（2023•闵行区二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．29．（2023•松江区二模）解方程组：．30．（2023•浦东新区二模）解方程：﹣＝131．（2023•金山区二模）解方程组：．32．（2023•徐汇区二模）求不等式组的整数解．33．（2023•宝山区二模）解方程组：．34．（2023•黄浦区二模）解方程组：．35．（2023•杨浦区二模）解不等式组并求出它的正整数解．36．（2023•崇明区二模）解方程组：．37．（2023•虹口区二模）某商店以20元/千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图中线段AB所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？38．（2023•黄浦区二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？39．（2023•嘉定区二模）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；（2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．专题02方程与不等式（39题）一．选择题（共4小题）1．（2023•浦东新区二模）一元二次方程的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】先计算Δ＝b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（﹣1），得到Δ＞0，然后根据△的意义进行判断即可．【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（﹣1）＝12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．2．（2023•静安区二模）某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为x元，那么下列方程正确的是（）A．B．C．D．．【分析】根据每行驶1千米纯燃油费用与纯用电费用间的关系，可得出每行驶1千米纯燃油的费用为（x+0.6）元，利用行驶路程＝总费用÷每行驶1千米所需费用，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元，且每行驶1千米纯用电的费用为x元，∴每行驶1千米纯燃油的费用为（x+0.6）元．根据题意得：＝．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．3．（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．x2+1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣bx+1＝0（b为常数）D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）【分析】先计算4个方程的根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况，从而可对各选项进行判断．【解答】解：A．Δ＝02﹣4×1＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以A选项不符合题意；B．Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；C．Δ＝b2﹣4×1＝b2﹣4，当b＝0时，Δ＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；D．Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0时，则方程有两个不相等的实数解，所以CD项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．（2023•松江区二模）下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2+x+1＝0C．+1＝0D．【分析】利用根的判别式判断A、B，利用二次根式的性质判断C，利用解分式方程判断D．【解答】解：方程x2+2x+1＝0的根的判别式Δ＝3＞0，故选项A中方程有实数根；方程x2+x+1＝0的根的判别式Δ＝﹣3＜0，故选项B中方程无实数根；∵≥0，∴选项C中方程无实数根；方程＝无解，故选项D中方程无实数根；故选：A．【点评】本题主要考查了无理方程、分式方程、一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式、无理方程及分式方程的解法是解决本题的关键．二．填空题（共22小题）5．（2023•徐汇区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＞﹣1．【分析】根据“关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．【解答】解：根据题意得：Δ＝4+4m＞0，解得：m＞﹣1，故答案为：m＞﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．6．（2023•静安区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，那么c的取值范围为c ＜．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4c＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4c＞0，解得c＜，即c的取值范围为c＜．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．7．（2023•金山区二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于．【分析】根据根的判别式的意义得到32﹣4m＝0，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4m＝0，解得m＝．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．（2023•崇明区二模）不等式组的解集是1≤x＜3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由x﹣1≥0得：x≥1，由2x﹣3＜x得：x＜3，则不等式组的解集为1≤x＜3，故答案为：1≤x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（2023•金山区二模）不等式组的解集是﹣2≤x＜1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由3x﹣2＜x得：x＜1，由≤x+1得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，故答案为：﹣2≤x＜1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10．（2023•闵行区二模）已知关于x的方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为4．【分析】由题意得，Δ＝42﹣4m＝0，计算求解即可．【解答】解：由题意得，Δ＝42﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0．11．（2023•嘉定区二模）如果方程，那么x＝2．【分析】先移项得到＝1+x，再把方程两边平方得到x+7＝（1+x）2，接着解一元二次方程，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：﹣x＝1，移项，得＝1+x，两边平方，得x+7＝（1+x）2，整理得x2+x﹣6＝0，解得x1＝2，x2＝﹣3，检验：当x＝2时，方程左边＝﹣2＝1＝右边，则x＝2为原方程的解；当x＝﹣3时，方程左边＝﹣（﹣3）＝5≠右边，则x＝﹣3不是原方程的解；所以原方程的解为x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程，应注意验根．12．（2023•松江区二模）不等式组的解集是﹣3＜x＜2．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x＜2，则不等式组的解集为：﹣3＜x＜2．故答案为：﹣3＜x＜2．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．13．（2023•黄浦区二模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0无实数根，那么k的取值范围是k＞．【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k＝0无实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＜0，即（﹣3）2﹣4×1×k＜0，解得k＞．故答案为：k＞．【点评】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程根与判别式Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．14．（2023•金山区二模）方程的解是﹣1．【分析】先把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入公分母进行检验即可．【解答】解：原方程可化为：﹣＝0，去分母得，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，当x＝1时，x﹣1＝0，故x＝1是原分式方程的增根，当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2，故x＝﹣1是原分式方程的根．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是解分式方程，解答此类题目时要先把分式方程化为整式方程，在解得未知数的值时一定要验根．15．（2023•闵行区二模）方程＝x的根是x＝2．【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程得到x1＝2，x2＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x2＝﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x＝2．【解答】解：方程两边平方得，x+2＝x2，解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，经检验x2＝﹣1是原方程的增根，所以原方程的根为x＝2．故答案为：x＝2．【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．16．（2023•杨浦区二模）方程的解是x＝0．【分析】把方程两边平方去根号后求解．【解答】解：两边平方得：x＝x2，解方程的：x1＝0，x2＝1，检验：当x1＝0时，方程的左边＝右边＝0，∴x＝0为原方程的根当x2＝1时，原方程不成立，故舍去．故答案为：x＝0．【点评】本题主要考查解无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．注意，最后把解得的x的值代入原方程进行检验．17．（2023•静安区二模）方程＝x的解是x＝1．【分析】本题要先平方化简后才能求出x的值．【解答】解：＝x，两边都平方得x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，∴x＝1．【点评】本题要先平方化简后，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．才能求出x的值．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．18．（2023•浦东新区二模）方程的根是x＝11．【分析】先把方程两边平方得到一元一次方程，再解一元一次方程，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：＝3，两边平方，得x﹣2＝9，解得x＝11，检验：当x＝11时，左边＝＝3＝右边，则x＝11是原方程的解，所以原方程的解为x＝11．故答案为：11．【点评】本题考查了无理方程：解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程，应注意验根．19．（2023•崇明区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是m≥﹣1．【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）≥0，解得m≥﹣1，即m的取值范围是m≥﹣1．故答案为：m≥﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．20．（2023•徐汇区二模）方程组的解是，．【分析】由①得出（x﹣y）（x﹣2y）＝0，求出x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，由③和②组成两个二元一次方程组，求出两方程组的解即可．【解答】解：，由①得：（x﹣y）（x﹣2y）＝0，x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，由③和②组成两个二元一次方程组：，，解得：，，所以原方程组的解是，．故答案为：，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．21．（2023•宝山区二模）如果关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，那么k＝﹣1．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣k）＝0，解得：k＝﹣1，∴k的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．22．（2023•浦东新区二模）不等式组的解集是x＞4．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x＞6，得：x＞3，解不等式x﹣2＞2，得：x＞4，则不等式组的解集为x＞4，故答案为：x＞4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．23．（2023•虹口区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤4．【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：根据题意得：Δ＝16﹣4k≥0，解得：k≤4．故答案为：k≤4．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．24．（2023•静安区二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有25人．【分析】设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意得：，解得：，即大和尚有25人，故答案为：25．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．25．（2023•虹口区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．【分析】根据题意可知：x株需要6210文，（x﹣1）株的运费＝一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．【解答】解：设这批椽的数量为x株，由题意可得：，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．26．（2023•闵行区二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为．【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，根据“拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设清酒x斗，醑酒y斗，依题意得：，故答案为：．【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组、数字常识等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．三．解答题（共13小题）27．（2023•嘉定区二模）解方程组：．【分析】先用完全平方公式把方程②左边因式分解，得（x﹣y）2＝4，从而推得x﹣y＝±2，再分类讨论，即可求解．【解答】解：由②得（x﹣y）2＝4，∴x﹣y＝±2，当x﹣y＝2时，得x＝2+y④，把④代入①得2+y﹣3y＝5，∴﹣2y＝3，∴y＝﹣，把y＝﹣代入④得x＝2﹣＝，∴是原方程组的一个解，当x﹣y＝﹣2时．得x＝y﹣2⑤，把⑤代入①得（y﹣2）﹣3y＝5，∴﹣2y＝7，∴y＝，把y＝代入⑤得x＝﹣2＝∴是原方程组的一个解，所以原方程组的解为：，．【点评】本题考查了二次二元方程组，关键是将二元二次方程组转化为二元一次方程组．28．（2023•闵行区二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别解两个不等式得到x≥﹣3和x＜1，则利用大小小大中间找确定不等式组的解集为﹣3≤x＜1，然后利用数轴表示其解集．【解答】解：，解①得x≥﹣3，解②得x＜1，所以不等式组的解集为﹣3≤x＜1，用数轴表示为：【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．29．（2023•松江区二模）解方程组：．【分析】先变形②得出x+y＝2，x+y＝﹣2，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：由方程②得：（x+y）2＝4，x+y＝2，x+y＝﹣2，即组成方程组或，解这两个方程组得：或，即原方程组的解为：或．【点评】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．30．（2023•浦东新区二模）解方程：﹣＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或x＝﹣4，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．31．（2023•金山区二模）解方程组：．【分析】由②得出（x﹣y）2＝4，求出x﹣y＝±2③，由③和①组成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：，由②，得（x﹣y）2＝4，x﹣y＝±2③，由③和①组成两个二元一次方程组：，，解得：，，所以方程组的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．32．（2023•徐汇区二模）求不等式组的整数解．【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可得出答案．【解答】解：，解不等式①得：x＜8，解不等式②得x≥，∴不等式组的解集为≤x＜8，则不等式组整数解有2、3、4、5、6、6、7．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．33．（2023•宝山区二模）解方程组：．【分析】由②得出y＝2x﹣5③，把③代入①得出4x2﹣（2x﹣5）2＝15，求出x，再把x＝2代入③求出y即可．【解答】解：，由②得：y＝2x﹣5③，把③代入①，得4x2﹣（2x﹣5）2＝15，解得：x＝2，把x＝2代入③，得y＝﹣1，所以方程组的解是．【点评】本题考查了解高次方程组，能把方程组转化成4x2﹣（2x﹣5）2＝15是解此题的关键．34．（2023•黄浦区二模）解方程组：．【分析】变形方程组中的②，用含y的代数式表示x，代入①得关于y的一元二次方程，先解一元二次方程求出y，再代入③求出x．【解答】解：由②，得x＝y+1③，把③代入①，得（y+1）2﹣2y2﹣y＝﹣1，整理，得y2﹣y﹣2＝0，解这个方程，得y1＝2，y2＝﹣1．把y1＝2，y2＝﹣1代入③，得x1＝3，x2＝0．∴原方程组的解为，．【点评】本题考查了解方程组，掌握一元二次方程和方程组的解法是解决本题的关键．35．（2023•杨浦区二模）解不等式组并求出它的正整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．【解答】解：解不等式①得：x≤，解不等式②得：x＞，所以不等式组的解集为＜x≤，则不等式组的正整数解为1，2，3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．36．（2023•崇明区二模）解方程组：．【分析】由②得出（x+2y）（x﹣y）＝0，求出x+2y＝0或x﹣y＝0③，由③和①组成两个二元一次方程组，，求出方程组的解即可．【解答】解：，由②，得（x+2y）（x﹣y）＝0，x+2y＝0或x﹣y＝0③，由③和①组成方程组，，解得：，，所以原方程组的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把解高次方程组转化成解二元一次方程组是解此题的关键．37．（2023•虹口区二模）某商店以20元/千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图中线段AB所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出y与x的函数表达式；（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将（20，60），（80，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x的函数表达式为为y＝﹣x+80．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣x+80）＝800，整理得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60．答：销售单价应定为每千克40元或60元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．38．（2023•黄浦区二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？【分析】（1）根据购买衣服及鞋子的原价，结合商场给出的两种促销活动，可分别求出选择两种促销活动需支付的费用，比较后可得出结论；（2）当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二，设裤子的价格为x元，则选择优惠活动一需支付（600+0.5x）元，选择优惠活动二需支付0.8（600+x）元，根据选择优惠活动二更省钱，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）选择优惠活动一需支付费用为600+500×0.5＝850（元）；选择优惠活动二需支付费用为（600+500）×0.8＝880（元）．∵850＜880，∴她选择优惠活动一会更划算；（2）当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二，理由如下：设裤子的价格为x元，则选择优惠活动一需支付（600+0.5x）元，选择优惠活动二需支付0.8（600+x）元，根据题意得：600+0.5x＞0.8（600+x），解得：x＜400，∴当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．39．（2023•嘉定区二模）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；（2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．【分析】（1）根据列车提速前所用的时间﹣提速后所用的时间可得到t的值；。
中考数学复习分类精品课件：第二单元《方程与不等式》
；
(2)已知 A，B 两件服装的成本共 500 元，鑫洋服装店老板分别以 30% 和 20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利 130 元，问 A，B 两件 服装的成本各是多少元？
解：设 A 服装的成本为 x 元，根据题意，得 30%x＋20%(500－x)＝130.解得 x＝300. 则 500－x＝200. 答：A，B 两件服装的成本分别为 300 元，200 元．
的关系；
(2)设：设关键未知数(可设直接或间接未知数)；
(3)列：根据题意寻找⑲ 等量关系
列方程(组)；
(4)解：解方程(组)；
(5)验：检验所解答案是否正确，是否符合题意和实际情况；
(6)答：规范作答，注意单位名称．
2．常见的应用题类型及基本数量关系：
常见类型
基本数量关系
路程＝速度×时间
相遇
行
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离.
(2)面积问题常见图形：
(3)利润问题； (4)握手问题．
7．(1)某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元．已知两 次降价的百分率都为 x，那么 x 满足的方程是 100(1－x)2＝81 ；
(2)某机械厂七月份营业额为 1 000 万元，第三季度总的营业额为 3 990 万元．设该厂八、九月份平均每月的营业额增长率为 x，那么 x 满足的方程 是1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3 990 ．
3．解下列方程： (1)2(x＋3)＝5x； 解：去括号，得 2x＋6＝5x. 移项，得 2x－5x＝－6. 合并同类项，得－3x＝－6. 系数化为 1，得 x＝2.
(2)x＋2 1－2＝x4. 解：去分母，得 2(x＋1)－8＝x. 去括号，得 2x＋2－8＝x. 移项，得 2x－x＝8－2. 合并同类项，得 x＝6.
二次方程与二次不等式的根的关系求解
二次方程与二次不等式的根的关系求解二次方程与二次不等式是数学中重要的概念，它们的根之间有着密切的关系。
在本文中，我们将探讨二次方程与二次不等式的根的求解方法，并解释它们之间的联系。
一、二次方程的求解二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$，其中$a\neq 0$。
我们可以使用求根公式来解二次方程。
求根公式如下：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$通过求根公式，我们可以得到二次方程的两个根。
其中，$\sqrt{b^2-4ac}$ 称为判别式，它可以反映二次方程的根的性质：1. 当判别式 $b^2-4ac>0$ 时，方程有两个不相等的实数根；2. 当判别式 $b^2-4ac=0$ 时，方程有两个相等的实数根；3. 当判别式 $b^2-4ac<0$ 时，方程没有实数根，但有复数根。
二、二次不等式的求解二次不等式的一般形式为：$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中$a\neq 0$。
我们可以通过以下步骤来求解二次不等式：1. 将二次不等式转化为二次方程，即将不等式中的等号改为等号；2. 解二次方程，得到方程的两个根；3. 根据二次方程的根的性质，判断不等式的解集。
当二次不等式为$ax^2+bx+c>0$时，根据二次方程的根的性质可得：1. 当判别式 $b^2-4ac>0$ 时，方程有两个不相等的实数根。
此时解集为$x<x_1$ 或 $x>x_2$；2. 当判别式 $b^2-4ac=0$ 时，方程有两个相等的实数根。
此时解集为$x\neq x_0$；3. 当判别式 $b^2-4ac<0$ 时，方程没有实数根。
此时解集为$x\in R$。
当二次不等式为$ax^2+bx+c<0$时，根据二次方程的根的性质可得：1. 当判别式 $b^2-4ac>0$ 时，方程有两个不相等的实数根。
高中数学必修第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
1 不等关系及其表示
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等
式表示不等用不等式表示。
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
连接起来的式子
1 不等关系及其表示
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速；40 Τℎ；
设该路段行驶的汽车速度为，则0 < ≤ 40
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋
> ⇒− >0
− + − >0
> ⇒− >0
⇒− >0⇒ >
如果传递的时候两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递
不过去的.只有两个不等式都带等号，等号才能传递过去.例如：
如果a ≥ b且 > ，那么只能得到 > ，无法得到 ≥ ；
如果a > b且 ≥ ，那么只能得到 > ，无法得到 ≥ ；
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：
因为∀a, b∃R, a − b
2
≥ 0,当且仅当a = b时，等号成立.所以a2 + b2 ≥ 2ab
因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
+ ≥ ，当且仅当 = 时，等号成立.
≥ ⇔ − ≥ ； < ⇔ − ≤
要用到关于两个实数大小关系的基本事实.
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初三毕业会考总复习资料-2
方程（组）与不等式（组）
班级： 姓名：
一、 填空题：
1、 方程2x-8=4的解是：
2、 方程组：⎩⎨⎧=+=+7
2113y x y x 的解是：
3、 不等式：124>-x 的解集是：
4、 若关于x 的一元二次方程0)1()12(2=-+++k x k kx 有实数根，
则k 的取值范围是：
5、 已知：m 、n 是方程03522=--x x 的两根，则
=+n m 11
6、 分式方程
32311+=-x x 的解是：
7、 若不等式组⎩⎨
⎧>>m x x 3的解集是3>x ，则m 的取值范围是：
8、 不等式组⎩⎨⎧≤->-2
111x x 的解集是：
二、 选择题：
9、若⎩⎨⎧==2
1y x 是关于x 、y 的二元一次方程13=-y ax 的解，则a 的值为（ ）
A 、-5
B 、-1
C 、2
D 、7
10、用配方法解方程0142
=++x x ，配方后的方程是( )
A 、3)2(2=+x
B 、3)22(2=x
C 、 5)2(2=-x
D 、5)2(2=+x
11、一元二次方程x x =2的根是（ ）
A 、1
B 、0
C 、0和1
D 、-1和0
12、已知关于x 的一元二次方程02
=+-c bx x 的两个根分别为2,121-==x x ，则b 、c 的值分别为（ ）
A 、b= -1，c=2
B 、b= -1，c=-2
C 、b=1，c=2
D 、b= 1，c= -2
13、若关于x 的方程0)2(22=+++a x a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是（
） A 、1≥a B 、1≤a C 、 1-≤a D 、1-≥a
14、已知:⎩⎨⎧=+=+8234
2b
a b a ，则a+b 的值是（ ）
A 、3
B 、 38
C 、2
D 、1
15、若方程323-=--x m
x x 有增根，则m 的值为（ ）
A 、m=5
B 、 m=1
C 、m= -1
D 、m=3
16、已知：b a <，下列式子不成立的是（ ）
A 、a+1<b+1
B 、 3a<3b
C 、b a 21
21
->- D 、如果c<0，那么c
b
c a <
三、解答题：
17、（5分）解方程：121
31
2=+--x x
18、（5分）解方程组：⎩⎨⎧=+=+15
2y x y x
19、（5分）解方程：09)3(2=--x 20、5分）解方程：
x
x x -=--2224
21、(6分)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥+>+)
1(6)5(2031x x x
四、 应用题：
22、（8分）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，问李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植多少亩？
22、（8分）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约为5000万人次，2011年公民
出境旅游总人数约为7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率。
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
23、（10分）某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：
若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问要工厂有哪几种生产方案，哪种方案获利最大？最大利润是多少？。