量纲分析法原理
数学模型与数学建模 第4章 量纲分析法
K m
K
原方程变形为
dV AV F0 X dT
优点：
1. 减少了参数的个数； 2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系. 例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的 一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量 纲
ds 例4.1.1 [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt [加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律 m1m 2 f K 2 r 中的引力常数K的量纲为
量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变
模型中的各物理量： f , l , h, v , , , g 原型中的各物理量： f , l , h, v, , , g 有
l , v , lv ) f l v ( h lg 2 2
fl v
当无量纲量
l h
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量
纲一致的,即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.
2. 无量纲化方法减少参数个数.
例4.1.2 非线性震荡运动方程
2
dx m Kx C F 2 dt dt
d x
或
5.2 量纲分析
1、量纲分析指数法
（1）柏金汉姆法（π定理法）（E.Buckingham） 柏金汉姆法（ 定理法） E.Buckingham） 列出影响现象的各个参量 f(x1、x2、x3…xn)=0 确定k个量纲彼此独立物理量为重复变量 确定k 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 其它物理量量纲用重复变量量纲的幂积形式表示 量纲用重复变量量纲
5.2
量纲分析
原理:1、 原理:1、量纲和谐性原则 :1 2、 Π定理 重点： 重点：量纲分析法
5.2.1 量纲和谐性
量纲和谐性原则 任何一个完整的物理方程， 各项量纲必定是和谐的。 任何一个完整的物理方程，其各项量纲必定是和谐的。 量纲必定是和谐的 量纲分析法的物理本质在于描述现象的微分方程中各项量纲的 一致性。 一致性。 量纲和谐性原则应用: 量纲和谐性原则应用: 可检验方程的正确性。 可检验方程的正确性。 物理量单位换算。 物理量单位换算。工程计算时常采用的经验公式中系数往往 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定，使用时单位制 时采取某一单位制（早期许多采用英制）确定， 改变，要注意单位系数换算。 改变，要注意单位系数换算。 推导相似准数和准数方程
5.2.4 量纲分析法
应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法， 应用量纲理论寻找相似准数和准数方程的方法，称为量纲 分析法。 分析法。 基本思路： 基本思路： 1、列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 列出影响该现象的全部物理量及待求物理量（因变量）， 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 将因变量与其他物理量之间的关系写成一般的不定函数式。 2、根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 根据量纲理论，求出因变量和自变量的关系。 3、再通过量纲分析和适当的组合，将上述不定函数式改写 再通过量纲分析和适当的组合， 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 为无量纲数群之间的关系式，即准数方程（准则方程）。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 量纲分析法分指数法和矩阵法两大类。 指数法和矩阵法两大类
第一节-量纲分析方法
第一节量纲分析方法量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。
利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。
1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。
按照国家标准（GB3101—93），物理量•的量纲记为dim•，国际物理学界沿用的习惯记为[•]。
实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。
系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。
工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。
绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。
绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。
其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。
但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。
此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。
而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如：速度v = ds/dt 量纲：[]V =1LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2[]a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LT MLT --==压强P = F/S 量纲： 22[]P MLTL --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此时记为[][]1e π==。
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
量纲分析法
L, T ;
而
[x] L [t] T [r] L [v] LT 1 [g] LT 2
所谓无量纲化是指，对(3.18)式中的 x 和 t 分别构造且有相同的参数组合 xc 和 tc ，使得
新变量
x x x0
t t t0
为无量纲量，其中 xc , tc 称为特征尺度或参考尺度；把方程（3.18）化为 x 对
q L M T I N J
量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体 的例子，再给出量纲分析的一般方法。
例 3—1： 单摆运动，质量为 m 的小球系在长度为 l 的线的一端，线的另一端固定， 小球偏离平衡位置后，在重力 mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期 t 的表达式。
--------------（3.2）
由量纲齐次原则应有 （3.3）
1 2
0 3
0
23 1
---------------
解得：1 0 ,
2
1 2
,
3
1 2
,
代入（3．1）得
t
l g
-------
（3.4） （3.4）式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，
lv Fr ; 称为 Reynold 数，记为 Re , 因此（3.10）又可写为
f l 2v2 ( l h , Fr, Re)
------------------（3.11） 4. 下面我们利用物理模拟进一步确定航船在水中的阻力。
设: f、l、h、v、、、g 和 f 、l、h、v、 、、g 分别表示模型和原型中
第9章 量纲分析
量纲的分类：基本量纲 导出量纲
基本量纲是一组具有独立性的量纲。在 水力学领域中有三个基本量纲：[ L ] ， [ T ]， [ M ]。
导出量纲由基本量纲组合或推导出来的 量纲。如加速度的量纲 [a]=LT-2 ；力的量 纲 [F]=[ma]=MLT-2
可知p / v2与其余三个无量纲数有关，那么
p/v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re)
p/g= p/= (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re)
令= F2( /d, 1/Re) p/= (l/d)(v2/2g)
这就是达西公式， 为沿程阻力系数， 表示了等直圆管中流动流体的压降与 沿程阻力系数、管长、速度水头成
1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4
将上述表达式写成量纲形式 [1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T （1） [2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0
（2） [3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0
（3） [4]=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0
所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 → 4= -1
T: -2-4=0 → 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 → 4= 0 所以 4= p / v2 因此，所解问题用无量纲数表示的方程为
F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0
至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。 由上式
有量纲量和无量纲量
水力学中任何物理量C的量纲可写成 [C]=[ M ][ L ][ T ]
流体力学4-1.2量纲分析
D 1 a1 b1 c1 d
2
d
a2 b2 c2
12
按π项无量纲，决定各基本量指数
阻力
1 1
[ D] [ ] [d ] [ ]
a1 b1
c1
1 3 c1
M LT
2
LT
1
1 a1
L M L
力[F ]= MLT-2 应力[p]= M L-1T-2 动力粘滞系数[μ]=ML-1T-1
4
二、无量纲量
2、产生途径
[q] M L T
1、定义 当量纲公式中各量纲指数α=β=γ=0时，
则［q］= 1，此时q为无量纲数，即为纯数 由两个具有相同量纲的物理量相比得到 线应变ε=⊿l/l 相对粗糙度ks/d 水力坡度J=hf /l 底坡i 几个有量纲量乘除组合得到 1 2/gh ，弗劳德数 Fr =v d ( LT ) L 雷诺数
16
进行量纲分析，则有 a1 = 0 ， a2 = 1 ， a3 = 0 ， a4 = 2 ， b1= 0， b2= 1， b3 = 1， b4 = - 1， c1 = 0 c2 = 1 c3 = 0 c4 = 0
1 h f / L
ks gd F ( , Re, , 2 ) 0 L d
基本量纲：具有独立性，不能由其他量纲推导出来 导出量纲：可由基本量纲导出的量纲 力学的基本量纲体系[M- L-T]: 取质量M，长度L、时间T。 七种量纲构成所有物理量 （对应国际单位制中m 、kg、s、A、K、mol、cd ） [ F ]= MLT -2 3 ［A］= L2 ［ρ］= ML-3
4、量纲公式:
1 b1
量纲分析法
量纲数 j j n k , n，并代入变量的量纲组成量纲关系式。
如在该问题中，有：
4 h A1 d A2 A3
5
g B1
d B2 B3
步骤 5：对量纲关系式中的每一个基本量纲令等式两边的幂
量纲分析法
一、量纲
1. 量纲的定义 是用来描述物体或系统物理状态的可测量性质，如长度、质量、速度、 加速度。 2. 基本量纲
彼此无关的量纲，如长度、质量和时间。 3. 导出量
最终要用基本量纲的组合来确定的量纲，如速度、加速度、动量等。 国际单位制中基本量纲为：
[L]、[t]、[M]、[T]。
二、量纲分析法—π定理
为无量纲的量，所以有
ML1T 2 L x LT 1 y ML3 z M z Lx y3zT y
z 1, y 2, x 0
p
2
同理有，分别有：
ML1T 1 L x4 LT 1 y4 ML3 z4 M L T z4 x4 y4 3z4 y4
2
2g
hf
P
g
2
g
f 1 , l , Re d d
莫迪图
hf
Re ， l
dd
2
2g
例题： 在层流情况下，流过一小等边三角形截面的孔（边长为 b
，孔长为 L )的体积流量 Q 为动力粘性系数 、单位长度上的压降
p / L 及 b 的函数。试将此关系写成无因次式。在其他条件不变的
z4 1, y4 1, x4 1
4
(最新整理)关于量纲分析法
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t ml g 1 2 3 (1)
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量 (1)的量纲表达式
[t][m ]1[l]2[g]3 T M LT 1 2 3 2 3
t2l1g F()0
(t l/g)
Pi定理 (Buckingham) 设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量
纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
n
[q] X, aij
j
i
j1,2, ,m
i1
量纲矩阵记作 A{aij}nm, 若ranAkr
需要平衡的地方：频繁订货则c1增加而储存费降低，T小；减少 订货次数则c1减少而储存费增加，T大。
构造模型
记q(t)为t时刻货物的存量，具体形式为：
q(t)=Q-rt，
0tT且Q=rt
考虑一个定货周期的总费用：
q
T
cc1c2 0 q(t)dt
Q
c1c21 2rT 2c1c21 2QTr
从此模型不难看出，当T= 0 时总费用最低。 T 2T
一、量纲齐次原则
物理量的量纲
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 时间 t 的量纲记 T=[t]
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1
量 纲
加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
动力学中 基本量纲 L, M, T
导出量纲
国际单位制SI制的基本量
量纲分析和相似理论
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是求解物理问题的一种常用方法，它是建立在物理量之间存在着量纲关系的基础上的。
我们都知道，物理量是有量纲的，例如长度有米（m）、质量有千克（kg）等等。
物理量之间可能存在着各种复杂的关系，但是它们之间的量纲关系却是简单明了的。
在这个基础上，我们可以通过对物理量之间的量纲关系进行分析，得到大致的物理规律和关系式。
量纲分析法的应用范围广泛，可以用于求解机械、电学、热学等方面的问题。
特别是对于那些难以通过精确计算求得解析解的问题，量纲分析法常常能够给出很好的近似解。
量纲和单位的概念在进一步介绍量纲分析法之前，我们需要先了解一下量纲和单位的概念。
量纲是指物理量所具有的性质或特征。
例如，长度、质量、时间等都是物理量的量纲。
一般来说，我们用中括号表示一个物理量的量纲，例如$[L]$表示长度的量纲，$[M]$表示质量的量纲。
单位是指用来度量某一物理量的标准。
对于同一物理量，不同的国家或文化可能使用不同的单位。
例如，长度可以使用米、英尺、码等作为单位，质量可以使用克、千克、磅等作为单位。
物理量之间的量纲关系物理量之间的量纲关系非常重要，因为它们是建立任何物理公式或关系式的基础。
对于任意一个物理量，我们都可以通过对其进行基本量的组合或者一些次幂等数学运算，得到它的量纲式。
例如，对于单位长度的物理量，我们可以用基本物理量长度$L$表示它，那么它的量纲式为：$$[L]^1$$同理，对于单位速度$v$，由速度的定义可以得到：$$[L]^1\text{T}^{-1}其中，T表示时间的量纲。
通常情况下，我们将同一物理量的所有单位转化为相同的标准单位后，再进行量纲关系的分析。
例如，对于长度这一物理量，我们选用标准单位米（m）作为计量单位，则长度的量纲为$[L]$，而英尺的长度则可以表示为$0.3048\text{m}$。
量纲分析的基本原理和步骤量纲分析的基本原理是“对等量纲式进行运算时，只能加减，不能乘除”。
量纲分析
量纲分析量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。
物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。
被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所选用的单位。
例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。
我们可以说这是块大小为1平方公里的地，也可以说这是块大小为1000000平方米的地。
离开了单位，仅根据数值我们无法判断一块地的大小。
单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。
然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统一性。
我们把这种统一性称为量纲。
单位：物理量的大小；量刚：物理单位的种类。
m 、cm、mm 长度类用L表示分、小时、秒时间类用T表示公斤、克质量用M表示一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。
例如，测量长度可以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，量刚只能用L来表示。
通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，无单位的物理量的量纲记为1。
一个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。
基本量的量纲称为基本量纲，互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导出来量纲。
在国际单位制中有7个基本量纲：质量[M]、长度[L]、时间[T] 、电流[I]、热力学温度[Θ]、物质的量[N]、发光强度[J]其他量的量纲可以由基本量纲导出。
导出量纲：可用基本量纲推导出来的量纲例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么面积的量纲为L2，速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2。
量纲分析法2篇
量纲分析法2篇量纲分析法是一种常用于理论计算、实验设计和模型推导的方法，可用于确定物理量之间的关系和理论公式中未知参数的数量和单位。
本文将从量纲的基本概念、量纲分析的原理和步骤、应用和局限性等方面进行介绍。
一、量纲的基本概念物理量是指可测量和可表示的物理现象或性质。
测量物理量需要确定其数量和单位，量纲是指物理量的单位所表示的测量属性或特征。
量纲可分为基本量纲和导出量纲两类。
基本量纲是指用于表示国际单位制或其它量制基本单位的物理量，如长度、质量、时间、温度等；导出量纲是指通过基本量纲和其它导出量纲经过一定的运算和组合所得到的物理量，如速度、加速度、密度、功率等。
二、量纲分析的原理和步骤量纲分析的原理是基于物理量之间的数量关系和单位关系。
在同一物理学体系中，物理量之间的关系可以通过数量式和等式表达，单位关系可以用换算式表示。
在分析物理问题时，可以通过量纲分析确定物理量之间的关系和未知参数的数量和单位。
量纲分析的步骤如下：（1）选择适当的基本量纲：根据具体问题选择基本量纲。
（2）列出问题中的物理量：根据问题陈述列出涉及的物理量。
（3）建立物理量的数量关系：根据问题陈述以及物理学原理建立物理量的数量关系。
（4）建立物理量的单位关系：根据国际单位制或其他量制建立物理量的单位关系。
（5）将物理量的数量关系和单位关系进行联立，消去公式中多余的量纲（基本量纲和导出量纲），并利用未知参数的量纲关系，求出未知参数的数量和单位。
三、应用和局限性量纲分析法广泛应用于理论分析、实验设计和模型推导等领域。
其主要优点是简单实用，能够快速确定物理量之间的关系和未知参数的数量和单位，为进一步研究和分析提供了重要的基础。
但是，量纲分析法也存在一些局限性，如物理量的表达式必须是线性的或近似线性的，未知参数的数量必须较少，物理量之间的数量关系和单位关系必须明确，不能处理非线性关系和复杂的物理问题等。
综上所述，量纲分析法是一种常用的物理方法，它通过建立物理量的数量关系和单位关系，能够快速确定物理量之间的关系和未知参数的数量和单位，为物理研究提供了重要的基础。
流体流动-第七次课(湍流摩擦阻力损失,管路计算)
例 已知某水平输水管路的管子规格为
管长为 138 m ，管子相对粗糙度
若该管路能量损失
H f 5.1 m
98 3.5 m m
0.0001 ， d
,求水的流量为若
干？水的密度为 1000kg m3 ，粘度为1厘泊。
解： 设： 0.02
2dH f g l u2 Hf u g d 2g l
又
15 Ws V s 1000 4.17 kg / s 3600
故
N e Ws We 13815w .
N Ne
1727w 1.727kw
第六节
管路计算是
连续性方程： 柏努利方程:
管路计算
A1u1 A2u2
z1 g
p1
2 u1 2
W z2 g
适用范围：
Re 3000
粗糙管
（1）顾毓珍公式：
0.7543 0.01227 Re 0.38
适用范围： Re 3 103 ~ 3 106
粗糙管
（2）尼库拉则公式：
1
2 lg
d
1.14
适用范围：达到完全湍流
莫狄图
Re 曲线
(1) 层流区
64 l u2 hf hf u Re d 2
pB g
2 uB 2g
h fAB
h
fAB
hf 1 hf 2
注意：并联管路阻力损失不具有加和性，绝不能将
并联的各管段的阻力全部加在一起作为并联管路的能
量损失。
l u2 8lV 2 hf d 2 2d 5
量纲分析方法的基本原理是定理
量纲分析方法的基本原理是定理量纲分析方法的基本原理是Π定理。
设所选取的单位制中基本量的数目为m，它们是，物理量Q的量纲式为（1）对上式取对数，则有（2）若是m维空间的“正交基矢”，则就是“矢量”ln[Q]在基矢量上的投影，或者说是它的“分量”。
于是，量纲式可以简写为。
所谓几个物理量的量纲独立，是指无法用它们幂次的乘积组成无量纲量。
用矢量语言表达，就是代表它们量纲的“矢量”线性无关。
在m维的空间内最多有m个彼此线性无关的矢量。
m个矢量（i =1,2, …,m）线性无关的条件是它们组成的行列式不等于0：（3）P定理表述为设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量,而我们所选取的单位制中有m个基本量（n>m），则由此可组成（n-m ）个无量纲的量，在物理量之间存在的函数关系式（4）可表示成相应的无量纲形式（5）或者把解出来：（6）n=m的情况下，有两种可能：若的量纲彼此独立，则不能由它们组成无量纲的量；若不独硫还可能组成无量纲的量。
运用P定理作量纲分析示范如下：在力学问题中，选取质量（M）、长度（L）、和时间（T）作为基本物理量，故m=3。
例1:设一均匀细棒，长度为l，质量为m。
求绕过中点O的转轴的转动惯量 J(如右图)。
解：转动惯量的量纲式为,任意形状的转动惯量可写为, 代表一组能确定其几何形状的无量纲参量，如长方形的两边长之比；三角形的底与高之比，对于几何形状相似的物体，函数是等同的，对于那些只用一个特征长度即可完全确定的几何形体，如正方体，长方体，立方体，圆，球……等，退化为一个未知常数，用k表示。
所以,对细棒,转动惯量J可以写成（7）已知平行轴定理（8）(这里是物体对通过其质心的某个特定轴的转动惯量，d是将此转轴平行移动距离。
)设式（7）中的J代表细棒的，即过质心o并垂直于棒的转轴的转动惯量。
将转轴移至端点，则, 按（8）式（9）设想棒平均分成两段，每段质量为，长度为 ,按（9）式, 两段绕同一转轴的转动惯量之和应等于总转动惯量,即: ,∴∴ 由（7）式得, 由（9）式得例2.; 由开普勒第三定律推论万有引力的性质。
量纲分析法
最纲分析法量纲分析法在流体力学和模型试验等领域被广泛应用，成为一种有效的研究手段。
量纲分析常用于：（1）物理量量纲的推导；（2）根据量纲和谐原理，校核由理论分析推导出的代数形式方程各项因次是否正确；（3）量纲分析基于表达自然现象的物理规律，不取决于所用量纲的单位，因而，在表达这些规律的公式中，可用无量纲组合的形式来表示，从而使方程形式简化；（4）用于确定模型实验的相似条件，指导整理实验资料、把无量纲数组合整理成含有待定系数的函数式，这个函数式可将模型参数换算、推广至原型，其中待定系数由实验确定。
在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一种称瑞利（Rayleigh）法，适用于比较简单的问题；另一种称定理，是一种具有普遍性的方法。
一、瑞利法瑞利法的基本原理是某一物理过程同n个物理量有关其中的某个物理量可表示为其它物理量的指数乘积（9-3）写出量纲式为=K·dim()dimqi将量纲式中各物理量按式（9-1）表示为基本量纲的指数乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定指数，就可得出表达该物理过程的方程式。
用瑞利法求力学方程，在有关物理不超过4 个，待求的量纲指数不超过3个时，可直接根据量纲和谐条件，求出量纲指数，建立方程。
二、定理定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉（Buckingham）1915年提出，又称为布金汉定理。
定理指出，若某一物理过程包含n个物理量，即其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量构成的（n-m）个无量纲项所表达的关系式来描述，即（9-4）由于无量纲项用表示，定理由此得名。
定理可用数学方法证明。
定理的应用步骤：（1）找出物理过程有关的物理量（2）从n个物理量中选取m个基本量，不可压缩流体运动通常选取速度以及密度、特征长度三个基本量。
（3）基本量依次与其余物理量组成项………（4）满足为无量纲项，定出各项基本量的指数a、b、c。
量纲分析法原理
量纲和谐原理我们经常遇到许多物理量，如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。
它们的名称、记号和量纲如表所示。
表1 流体力学中常见物理量的量纲速度v 表示单位时间内所经历的距离，它的单位是[米/秒]。
距离是长度l ，它的量纲是[L ]，而时间t 的量纲是[T ]，故速度v 的量纲是[1LT -]。
动量是质量m 和速度v 之积。
质量的量纲是[M ]，故动量的量纲是[1MLT -]。
如果我们选定三个相对对立的，例如长度l 的量纲[L ]、时间t 的量纲[T ]、质量m 的量纲[M ]为基本量纲，那么其他物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。
如表5-1中所示，例如，加速度a 的量纲可表示为[2LT -]，力F 的量纲可表示为[2LMT -]。
当我们把一些物理量进行组合、分析或作比较时，用量纲表示就比较便利。
如果我们要写出一个流体微团的运动方程F ma =∑式子左边是作用在微团的各力和，它可以包括：重力W 、压力P 、粘滞τ、力弹性力E等；右边是微团的惯性力ma。
于是得到+++W P E ma t =（5-1）上式中的每项都是力，所以各项的量纲都是[2LMT -]。
又如，关于理想流体的伯努利方程2++=2v p z H g gr 表示流管中三项能头之和保持常数，即等于总能头H 。
每项的单位都是米，故它们的量纲都是[L]。
不仅如此，在力学上任何有物理意义的方程或关系式，每一项的量纲必定相同。
这称为力学方程的量纲和谐性原理，又称为“量纲齐次性规律”。
量纲和谐原理是由傅里叶1822年提出来的，它是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念，也是量纲分析法的理论基础，并可具体表达成：只有相同类型的物理量才能相加减，也就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小；不同类型的物理量相加减没有任何意义。
例如，速度可以和速度相加减，但绝不可以加上粘性系数或压力。
当然，相同量纲和不同单位的物理量之间是可以相互加减和比较大小的，因为只要将其单位稍加换算即可完成。
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量纲与谐原理
我们经常遇到许多物理量,如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。
它们的名称、记号与量纲如表所示。
表1 流体力学中常见物理量的量纲
速度表示单位时间内所经历的距离,它的单位就是[米/秒]。
距离就是长度l ,它的量纲就是[L ],而时间t 的量纲就是[T ],故速度v 的量纲就是[1LT -]。
动量就是质量m 与速度v 之积。
质量的量纲就是[M ],故动量的量纲就是[1MLT -]。
如果我们选定三个相对对立的,例如长度l 的量纲[L ]、时间t 的量纲[T ]、质量m 的量纲[M ]为基本量纲,那么其她物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。
如表5-1中所示,例如,加速度a 的量纲可表示为[2LT -],力F 的量纲可表示为[2LMT -]。
当我们把一些物理量进行组合、分析或作比较时,用量纲表示就比较便利。
如果我们要写出一个流体微团的运动方程
F ma =∑v v
式子左边就是作用在微团的各力与,它可以包括:重力W v 、压力P v 、粘滞τv
、力弹性力E
v 等;右边就是微团的惯性力ma v。
于就是得到
+++W P E ma t =v v v v v
(5-1)
上式中的每项都就是力,所以各项的量纲都就是[2
LMT -]。
又如,关于理想流体的伯努利方程
2
++=2v p z H g g
r 表示流管中三项能头之与保持常数,即等于总能头H 。
每项的单位都就是米,故它们的量纲
都就是[L]。
不仅如此,在力学上任何有物理意义的方程或关系式,每一项的量纲必定相同。
这称为力学方程的量纲与谐性原理,又称为“量纲齐次性规律”。
量纲与谐原理就是由傅里叶1822年提出来的,它就是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念,也就是量纲分析法的理论基础,并可具体表达成:只有相同类型的物理量才能相加减,也就就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小;不同类型的物理量相加减没有任何意义。
例如,速度可以与速度相加减,但绝不可以加上粘性系数或压力。
当然,相同量纲与不同单位的物理量之间就是可以相互加减与比较大小的,因为只要将其单位稍加换算即可完成。
一个量纲齐次性的方程,可以化为无量纲方程,只要用方程中的任意一项除其她各项。
例如,在式(5-1)中,用惯性力项遍除其她各项,于就是各项都变成无量纲量,而各无量纲量之与
等于1,即
+++1W P E
ma ma ma ma
τ=v v v v v v v v 由以上讨论可见,运用量纲可以更明显地指出物理量的性质。
不同量纲的物理量不能相加减,但它们可以根据某种需要进行乘除,从而导出另一量纲的物理量。
量纲与谐原理可以用来检验新建方程或经验公式的正确性与完整性,也可以用来确定公式中物理量的未知指数,还可以用来建立有关方程式。
对于量纲齐次的方程,只要用方程的任一项量纲去除其余各项,就可以使方程的每一项都变成无量纲量,方程变为无量纲方程。
量纲分析就就是基于物理方程具有与谐原理,通过量纲分析与计算,将原来含有较多物理量的方程转化为含有比原物理量少的无量纲方程,使得为研究这些变量关系而进行的实验大大简化。
量纲分析法原理
在量纲与谐原理基础上发展起来的量纲分析法分为瑞利法与p 定理白金汉定理法。
为了简单地说明量纲分析法,我们先来讨论理论力学中熟悉的单摆周期,其关系式为
=2t π
(5-2) 假设,我们先前只见过单摆的物理现象,而还不知这个表明单摆周期的关系式时,可以根据与摆动有关的物理量,用量纲法进行如下探索。
现把有关物理量与它们的量纲列出如表所示。
表2 单摆摆动相关的物理量及其量纲
假设t 与其余变量之间的关系,可以写成下一函数形式,即
=t 常量l m g αβγ
⨯⋅⋅ (5-3) 其中的指数αβ、与γ,就是待定的未知数。
式中的变量用它们的量纲代替后,得到量纲关系式
(
)
2
+2T=L M LT =L M T g
a b
a g
b g --鬃鬃
由于上式的左边可以写成001L M T ,故有
001+2L M T =L M T a g b g -鬃
但一个具有物理意义的关系式,其各项的基本量纲必然相同,或者说,就是满足量纲的齐次性条件的。
于就是,上式两边的每个量纲的指数必然相同,即
L: +=0a g ,
M: 0β=, T : 21γ-=
解这些方程后得
1=2α
1=2
γ-
代入式(5-3),即得出
=t 常量12
12l
g -⨯⋅
或
常量 在解中没有说明这个无量纲常量之值,故还得由实验来决定。
在实验中,用摆长不同的摆,测量它们摆动的时间。
我们发现,只要摆幅小,若测得摆动的时间各为123t t t 、、……,杆的长度各为123l l l 、、……,将得出不变的结果,即
t t t …=2π 以此代入上式得到
π (5-4) 可见,上式与按运动基本原理导出的式(5-2)完全一样。
求解上式的过程说明,量纲分析法就是个通过分析工程问题中各有关量的量纲,利用量纲齐次性条件,探索描述问题方程的有效方法。