第一节 量纲分析方法

第一节量纲分析方法

量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。

1.1量纲

当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。按照国家标准（GB3101—93），物理量•的量纲记为dim•，国际物理学界沿用的习惯记为[•]。

实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如：

速度v = ds/dt 量纲：[]V =1

LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2

[]a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LT MLT --==

压强P = F/S 量纲： 22[]P MLT

L --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此

时记为[][]1e π==。 有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。机理模型的

深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。使用无量纲量来描述客观规律。在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。

要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。

1.2 量纲齐次原则

当用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必

须保持量纲的一致性，这种性质称为量纲齐次性。当方程中各项具有相同的量纲时，这个方程被称为是量纲齐次的，也只有具有相同量纲的量才可以作比较或相加、减，由此可知，物理定律必须是量纲齐次的。根据量纲齐次原理，可以有下面的量纲分析法的基本定理。

定理（BUCKINGHAM PI ）设有m 个物理量12,,,m q q q 满足某定律：12(,,

)0m f q q q =， 12,,

,n X X X 是基本量纲().n m ≤j q 的量纲可以表示为1[](1,2,,).ij n a j i i q X j m ===∏矩阵,()ij n m A a =称为量纲矩阵，

若A 的秩rankA=r,可设线性齐次方程组0(AY Y =是m 维向量），有m r -个基本解为

12(,,

,)(1,2,,).m T k k k k y y y y k m r ==- 则1k j m y k j

j q π==∏为m r -个相互独立的无量纲的量，

且有12(,,,)0m r F πππ-=与12(,,

,)0m f q q q =等价，

其中F 为一未知函数。 1.3量纲分析的一般步骤

（1）将与问题有关的物理量（变量或常量）收集起来，记为12,,,m q q q ，根据问题的物理意义确定基本量纲，记为12,,,n X X X ().n m ≤

（2）写出j q 的量纲1[](1,2,

,).ij n a j i

i q X j m ===∏ （3）设12,,,m q q q 满足关系1

j m y j j q π==∏，其中j y 为

待定的，π为无量纲的量，因此1

[]1j m a

j j X π===∏，于是10(1,2,

,)m i ij j j a a y i n ====∑.

（4）解线性方程组10(1,2,

,)m ij j j a y i n ===∑，矩阵

,()ij n m A a =称为量纲矩阵，若A 的秩rankA=r,则线性齐次方程组有m r -个基本解为12(,,,)(1,2,,).m T k k k k y y y y k m r ==-

（5）记1k j m y k j

j q π==∏，则(1,2,,)k k m r π=-为

无量纲的量.

（6）由12(,,

,)0m r F πππ-=解出物理规律.