第一节 量纲分析方法
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是科学研究和工程实践中一种常用的方法，用于简化和分析复杂的物理方程。
通过引入合适的量纲和无量纲量，可以减少物理方程的数量和复杂性，从而更容易理解和应用。
量纲是衡量物理量的属性，可以理解为物理量的尺度或单位。
常见的量纲有长度、质量、时间、温度等。
在科学领域，量纲的统一是一项基本原则，它要求所有参与物理方程运算的物理量必须具有相同的量纲。
例如，在牛顿定律中，质量的量纲是质量，加速度的量纲是长度除以时间的平方，力的量纲是质量乘以加速度。
无量纲量是指除去量纲后的物理量。
通过合适的变量代换和无量纲化操作，可以将含有多个物理量的复杂方程转化为只涉及少数几个无量纲量的简化形式。
这样做的好处是降低了方程的复杂性，使得我们可以更清晰地理解和研究方程的行为。
量纲分析法的基本思想是通过量纲的统一和无量纲化的技巧，将物理方程从具体的数值问题转化为一般的函数关系问题。
这样一来，可以用较少的实验和计算来研究和验证一类问题的特性，从而节省时间和资源。
量纲分析法在研究新领域的物理学问题、模拟和优化工程设计等方面发挥了重要作用。
量纲分析法的步骤通常包括以下几个方面：第一步是选择物理量，并通过其量纲建立物理方程。
在建立方程时，需要确保所选物理量之间的关系是正确的，并符合基本的物理定律。
第二步是确定主要影响因素，即哪些物理量对方程起主导作用。
对于复杂的问题，这一步可能会需要经验和专业知识的支持。
第三步是进行量纲分析，即将方程中的各个物理量转化为无量纲形式。
这一步需要根据物理量的量纲关系进行变量代换和无量纲化运算。
第四步是根据无量纲方程进行简化和分析。
通过缩小问题的数量级和去除复杂的单位，我们可以更容易地理解方程，并得到问题的一般解。
第五步是进行数值模拟和实验验证。
通过选择合适的数值和实验条件，我们可以验证和应用无量纲方程，并得到具体问题的解。
总的来说，量纲分析法是一种简化和分析物理方程的有效方法。
通过量纲的统一和无量纲化的技巧，我们可以将复杂的问题转化为一般的函数关系问题，从而更容易理解和应用。
流体力学4-1.2量纲分析.
若某一物理过程包含n个物理量 f (q1 q 2 q3 q n ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量）则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲项 所表达的关系式来描述
2、解题步骤
F ( 1 n m ) 0
1）确定关系式 根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各 个物理量及其关系式
对于不可压缩流体运动， 任一物理量 q的量纲 [q］都 可用3个基本量纲的指数乘积形式表示
[q] M L T
分 类
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0 面积［A]= 速度 ［v] =LT –1 加速度 ［a] = LT –2 运动粘滞系数[ν]= L2T-1 L2
q1 q2 q3
1 1 1
qnБайду номын сангаас
a n 3 bn 3 cn 3 q1 q2 q3
q1 q2 q3
2 2
2
4）满足π为无量纲项， 定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci 5）整理方程式
1、简单表述：
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲 都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成 立。
2、重要性
一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方 程或经验公式的正确性和完整性 根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数 可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组织实验 过程、整理实验成果提供理论指导
C RJ
1 1/ 6 C R n
[C ] L T
0.5
1
m /s
n作为无量纲量处理P106
6
0.5
[n] L1/ 3T 1
流体力学-量纲化分析详解
解得：c2=0，b2=0，a2=1 对3： 解得：c3=1，b3=1，a3=1
第五步：归纳上述得：
，
，
故有关系式：G(1，2，3)=0
因为要求的是压强降p，故此可解出：
而函数 G1 的具体确定可通过试验进行。
流体力学里有几类主要问题：如封闭管道内的流动，带有自由表面的流动（如 河流），没有任何接触面的流动（如喷雾），以及通过物体的绕流（如飞行中的 飞机）等。而表征这些流动的无量纲参数将是非常有意义的。
1.1 量纲分析的提出
现代工程的流体力学问题，往往是十分复杂的。例如飞机与船舶的流体动力特性、 河流的水动力学特性等等。如何解决这些问题？途径有：
（a）进行原型的观察与测量，这需要耗费大量的资金及时间，以及人力与 设备。不仅如此，有时这种测量是无法做到的，例如在十二级台风中怎么到海上 去测量船舶的流体动力特性？同时，原型的实测有时是不符需求的，例如建造一 艘巨型的航空母舰，我们不能等建成之后才知道它的性能，很多产品必须在建成 之前能预见它的性能。
如果已知力 F 和物体质量 M 的量纲，那么加速度 a 的量纲必须满足上述公 式。即 F、M、a 中的二个可以自由选择，而第三个则必须根据已选定的二个物 理量量纲按照其间存在的定律推导出来。由此可见，在物理量中有些量的量纲是 基本的可以独立取定，而另外一些物理量的量纲则是根据物理定律推导出来的。 前者称为基本单位，后者称为导出单位。
在国际单位制(SI)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温 度、物质的量、 发光强度的量纲符号分别是 L、M、T、I、Q、N 和 J。
力学中基本单位的量纲有两个系统：
（1）表征长度的量纲[L]；时间的量纲[T]；质量的量纲[M]。（2）表征力 的量纲[F]；时间的量纲[T]；长度的量纲[L]。为了应用方便，根据第一个基本 单位的量纲系统将力学中经常遇见的一些物理量的量纲列表如下：
第一讲 1关于量纲分析法
t、m、l、g、θ
给出。 单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, θ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
t = λ m α 1 l α 2 g α 3 (1)
α1, α2, α3 为待定系数，λ为无量纲量 为待定系数，
(1)的量纲表达式 的量纲表达式
α1 α 2 +α 3
l
假设： 、不考虑空气阻力； 假设：1、不考虑空气阻力； 2、忽略地球自转对单摆运动的影响； 、忽略地球自转对单摆运动的影响； 3、摆线是刚体，在摆动中无形变； 、摆线是刚体，在摆动中无形变； 4、摆轴部分没有摩擦。 、摆轴部分没有摩擦。
m mg
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有： 在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2 对无量纲量α，[α]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 量纲分析 利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
例:单摆运动 求摆动周期 t 的表达式 单摆运动
第一讲 关于量纲分析法
量纲分析法是二十世纪初，一些物理学家提出的一种 量纲分析法是二十世纪初， 在物理领域建立数学模型的办法。 在物理领域建立数学模型的办法。 所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上，利用物 所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上， 理量的量纲所提供的信息， 理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次原则来确定 物理量之间的关系。 物理量之间的关系。 量纲，即物理量的单位， 量纲，即物理量的单位，如速度的量纲就是 m/s
量纲分析法
L, T ;
而
[x] L [t] T [r] L [v] LT 1 [g] LT 2
所谓无量纲化是指，对(3.18)式中的 x 和 t 分别构造且有相同的参数组合 xc 和 tc ，使得
新变量
x x x0
t t t0
为无量纲量，其中 xc , tc 称为特征尺度或参考尺度；把方程（3.18）化为 x 对
q L M T I N J
量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体 的例子，再给出量纲分析的一般方法。
例 3—1： 单摆运动，质量为 m 的小球系在长度为 l 的线的一端，线的另一端固定， 小球偏离平衡位置后，在重力 mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期 t 的表达式。
--------------（3.2）
由量纲齐次原则应有 （3.3）
1 2
0 3
0
23 1
---------------
解得：1 0 ,
2
1 2
,
3
1 2
,
代入（3．1）得
t
l g
-------
（3.4） （3.4）式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，
lv Fr ; 称为 Reynold 数，记为 Re , 因此（3.10）又可写为
f l 2v2 ( l h , Fr, Re)
------------------（3.11） 4. 下面我们利用物理模拟进一步确定航船在水中的阻力。
设: f、l、h、v、、、g 和 f 、l、h、v、 、、g 分别表示模型和原型中
量纲分析
第一节量纲分析方法1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J 速度v = ds/dt 量纲： = 加速度a = dv/dt 量纲： 力F = ma 量纲： 压强P = F/S 量纲：实际中，也有些量是无量纲的，比如等，此时记为。
有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。
模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。
机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。
使用无量纲量来描述客观规律。
在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。
1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。
2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。
即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。
当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。
②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。
③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。
要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。
量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是一种工程数学方法，用于处理含有多个变量的物理问题。
这种方法非常有用，因为在实际应用中，我们通常需要考虑许多不同的变量和参数，这些参数可能具有不同的单位和量纲，使得问题变得复杂和难以处理。
利用量纲分析法，可以将各个参数转换为无量纲形式，从而简化问题并提高计算精度。
1. 什么是量纲首先，我们需要明确什么是量纲。
量纲是一个物理量所具有的度量属性，通常包括基本量纲，比如长度、时间、质量、电流等等。
每个量纲都有一个标准单位，比如米、秒、千克、安培等等。
通过组合不同的基本量纲和单位，我们可以得到其他物理量的单位和量纲。
比如速度可以表示为长度/时间，加速度可以表示为长度/时间^2。
在处理物理问题时，量纲是非常重要的，因为它们决定了各个物理量之间的关系和单位的选择。
2. 如何运用量纲分析法量纲分析法是一种基于量纲的数学方法，用于研究变量之间的关系和有效参数的数量。
在使用这种方法时，我们需要将所有涉及的物理量和参数转换为无量纲形式，然后通过比较各个无量纲参量的数量级和变化趋势来分析问题。
这种方法可用于许多不同的物理问题，例如流体力学、热传递、电路分析等等。
下面我们以流体力学为例来讲解量纲分析法的应用过程。
首先，我们考虑一个典型的流体力学问题：水从一根直管中流出的速度是多少？公司设计师可以运用以下方程式解决此题: v = (P1 - P2) / ρL其中v是水的速度，P1和P2是入口和出口处的压力，ρ是水的密度，L是管道长度。
我们观察到这个公式涉及四个参数，每个参数都有自己的单位和量纲。
在使用量纲分析法时，我们需要将它们都转换为无量纲形式。
我们可以定义以下五个无量纲参量：F1 = v L / νF2 = (P1 - P2) / (0.5ρv^2)F3 = D / LF4 = ε/ D其中，ν是水的动力粘度，D是管道的直径，ε是管道壁面粗糙度。
这里表示F1 代表惯性力，F2 代表压力力，F3 代表管道长度比，F4 代表管道细度等无量纲参量。
量纲分析法
量纲分析法3、量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
3.1 量纲齐次原则与Pi定理许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。
例如在动力学中，把长度l, 质量和时间的tm量纲作为基本量纲，记为,1,2,,,,; 而速度的量纲可表示为. v,LT,f,MLT,,,,,,l,L,m,M,t,Tv，力f在国际单位制中，有7个基本量:长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的,量，它们的量纲分别为L、M、T、I、、J、和N;称为基本量纲。
任一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，,,,,,,, ,,q,LMTI,NJ量纲齐次性原则:用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。
量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系;先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。
l例3—1: 单摆运动，质量为的小球系在长度为的线的一端，线的另一端固定，小m球偏离平衡位置后，在重力作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期的表达式。
mgtt,m,l,g解:在这个问题中有关的物理量有设它们之间有关系式,,,312t,,mlg ---------------(3.1) 1其中为待定常数，入为无量纲的比例系数，取(3(1)式的量纲表达式有 ,,,,,23,,,,，,,2,,1232331T,MLT 整理得: --------------(3.2) ,,,,,,,,t,mlg 由量纲齐次原则应有,,0,1,,,，,0 ---------------(3.3) ,23,,2,,13,11l,,0,,,,,,,,解得: 代入(3(1)得 -------(3.4) t,,123g22(3.4)式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi定理，定理:设n个物理量之间存在一个函数关系 x,x,？？,x12n--------------(3.5) ，，fx,x,？？,x,012n为基本量纲，m,n。
量纲分析法
量纲分析法
量纲分析法是一种评估数据确实性的有效方法。
它使用量纲来组织，比较，分
析和制定多个变量的关系。
通过量纲分析确定数据的完整性和准确性，从而辅助决策。
首先，量纲分析方法用于分析具有多个变量之间相关联的参数。
例如，在政策
决策中，通过检测多个因素对决策产生的不同影响，可以帮助政策制定者快速准确地分析经济变量之间的关系，以及各方面决策相互依赖的关系。
其次，量纲分析法有助于改进决策的质量，准确判断决策的结果。
有效地分析
参与决策的因素及它们之间的联系将有利于长期可持续的决策过程，同时也有助于更准确地估算决策的结果，以便更真实、切实地反映未来的情况，给出准确的决策支持。
最后，量纲分析在一定程度上有助于诊断问题及其原因，准确认识决策过程环境，更好地判断多变量关系。
例如，在数据分析领域，可以利用量纲分析技术对数据进行研究，以提供虚假数据的分析指标，这样可以有效地判断一组数据的准确性和有效性。
量纲分析法是准确分析数据的有效工具，是快速实施合理科学决策的重要支撑。
通过量纲分析法，可以组织，比较，分析多个变量相互依赖的动态关系，从而辅助决策改进决策质量，更准确地预测决策结果，以及诊断问题及其原因。
量纲分析法
量纲分析法在我们探索自然科学和工程技术的广阔领域时，量纲分析法宛如一把神奇的钥匙，帮助我们解开复杂现象背后的神秘面纱。
它不是某种高深莫测的魔法，而是一种基于物理量基本性质的强大工具，让我们能够在看似混沌的世界中找到秩序和规律。
那么，究竟什么是量纲分析法呢？简单来说，量纲就是物理量的单位类别。
比如长度的量纲是米（m），时间的量纲是秒（s），质量的量纲是千克（kg）。
而量纲分析法，就是通过研究物理量的量纲之间的关系，来揭示物理现象的内在规律。
为了更好地理解量纲分析法的重要性，让我们先来思考一个简单的例子。
假设我们要研究一个物体自由下落的运动。
我们知道，影响物体下落速度的因素可能有物体的质量、下落的高度以及重力加速度。
那么，这些因素之间到底存在着怎样的定量关系呢？如果我们盲目地进行实验或者复杂的数学推导，可能会陷入无尽的迷茫。
但量纲分析法却能为我们指明方向。
我们先写出速度 v、质量 m、高度 h 和重力加速度 g 的量纲：速度v 的量纲是长度除以时间，即 L/T；质量 m 的量纲是 M；高度 h 的量纲是 L；重力加速度 g 的量纲是长度除以时间的平方，即 L/T²。
接下来，我们假设速度 v 与质量 m、高度 h 和重力加速度 g 之间存在一个函数关系 v ＝ f(m, h, g)。
根据量纲分析的原理，这个函数关系必须在量纲上是和谐的，也就是说，等式两边的量纲必须相同。
我们可以通过量纲的运算来推测这个函数的形式。
假设 v 与 m 的 a次方、h 的 b 次方、g 的 c 次方成正比，那么可以写出 L/T ＝ M^a ×L^b × L/T²^c 。
经过量纲的运算和分析，我们可以得出 a ＝ 0，b ＝ 1/2 ，c ＝ 1/2 。
于是，我们得到 v 与 h 和 g 的关系为 v ∝ √（gh) 。
这只是量纲分析法的一个简单应用，但已经足以展现它的强大威力。
在更复杂的物理问题中，比如流体力学中的湍流现象、热传递过程等，量纲分析法同样能够发挥重要作用。
3.1量纲分析法
m
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
量纲分析示例： （水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差 管道两端 管道长l, 流速v, 粘性系数, 选取物理量 压பைடு நூலகம்差 p 密度重力加速度g。
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
3.3 无量纲化方法
无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可以 减少参数，简化某些数学问题。
例1：简化常微分方程
未定
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力 3 f1 l13 g1 1 ( 1, 2 ) f l g ( 1 , 2 ) 可得原 已知模 v s 型船所 v1 , s1 型船所 , 2 2 1 2 1 l12 受阻力 g1l1 l 受阻力 gl
m-r 个无量纲量
s qj
j 1
m
ysj
g l v 1 2 l 2 s g 1l 3 1 f 3
1 2 1 2
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
V2 W p1V1 ln V I V
2
V1 成无量纲项，才能进行对数运算。
量纲齐次原则
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是求解物理问题的一种常用方法，它是建立在物理量之间存在着量纲关系的基础上的。
我们都知道，物理量是有量纲的，例如长度有米（m）、质量有千克（kg）等等。
物理量之间可能存在着各种复杂的关系，但是它们之间的量纲关系却是简单明了的。
在这个基础上，我们可以通过对物理量之间的量纲关系进行分析，得到大致的物理规律和关系式。
量纲分析法的应用范围广泛，可以用于求解机械、电学、热学等方面的问题。
特别是对于那些难以通过精确计算求得解析解的问题，量纲分析法常常能够给出很好的近似解。
量纲和单位的概念在进一步介绍量纲分析法之前，我们需要先了解一下量纲和单位的概念。
量纲是指物理量所具有的性质或特征。
例如，长度、质量、时间等都是物理量的量纲。
一般来说，我们用中括号表示一个物理量的量纲，例如$[L]$表示长度的量纲，$[M]$表示质量的量纲。
单位是指用来度量某一物理量的标准。
对于同一物理量，不同的国家或文化可能使用不同的单位。
例如，长度可以使用米、英尺、码等作为单位，质量可以使用克、千克、磅等作为单位。
物理量之间的量纲关系物理量之间的量纲关系非常重要，因为它们是建立任何物理公式或关系式的基础。
对于任意一个物理量，我们都可以通过对其进行基本量的组合或者一些次幂等数学运算，得到它的量纲式。
例如，对于单位长度的物理量，我们可以用基本物理量长度$L$表示它，那么它的量纲式为：$$[L]^1$$同理，对于单位速度$v$，由速度的定义可以得到：$$[L]^1\text{T}^{-1}其中，T表示时间的量纲。
通常情况下，我们将同一物理量的所有单位转化为相同的标准单位后，再进行量纲关系的分析。
例如，对于长度这一物理量，我们选用标准单位米（m）作为计量单位，则长度的量纲为$[L]$，而英尺的长度则可以表示为$0.3048\text{m}$。
量纲分析的基本原理和步骤量纲分析的基本原理是“对等量纲式进行运算时，只能加减，不能乘除”。
第一讲 1关于量纲分析法
第一讲 1关于量纲分析法量纲分析法是一种解决物理、化学和工程问题的方法，它可以通过分析问题中的物理量的量纲关系，将问题简化，较为准确地估算出某些物理量的数量关系。
量纲是描述物理量的属性的量，它体现在物理量的单位上。
例如，长度的单位是米，质量的单位是千克，时间的单位是秒等等。
在物理、化学和工程问题中，一个物理量的单位需要严格保持一致，因为这个单位可以影响到任何计算结果的准确性。
量纲分析方法可以帮助工程师和科学家在一些情况下，快速地估算某些物理量的数量关系，而不必依靠实验数据或进行复杂的计算。
使用该方法需要首先确定问题中哪些物理量是重要的，然后将它们表示成独立的基本物理量的乘积形式，例如，长度、质量和时间。
接下来，将这些物理量进行量纲分析，确定它们之间的关系，得到以基本物理量的某些函数表示的量纲方程。
该方程描述了物理量之间的数量关系，并且可以用来估算未知的物理量。
例如，当需要知道管道中水流速度的数量关系时，可以使用量纲分析方法来估算它的大小，而不必测量或计算它。
量纲分析法的一个重要应用是在建立数学模型时的物理量选择和相似性问题。
例如，当设计一个飞机模型时，需要考虑到飞机原型中的物理量之间的相似性关系，这可以通过使用量纲分析方法来实现。
该方法还可以帮助工程师和科学家预先估算某些物理量的变化范围，这对于解决实际问题非常有用。
总之，量纲分析法是工程和科学领域中重要的方法之一，它可以帮助工程师和科学家更快速地解决问题。
它的应用范围非常广泛，包括飞机设计、渗透透过、化学反应等等。
然而，该方法仅仅是一个审慎预估的工具，它必须与实验和计算相结合，以确定物理量之间的真实关系。
量纲分析法原理
量纲和谐原理我们经常遇到许多物理量，如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。
它们的名称、记号和量纲如表所示。
表1 流体力学中常见物理量的量纲速度v 表示单位时间内所经历的距离，它的单位是[米/秒]。
距离是长度l ，它的量纲是[L ]，而时间t 的量纲是[T ]，故速度v 的量纲是[1LT -]。
动量是质量m 和速度v 之积。
质量的量纲是[M ]，故动量的量纲是[1MLT -]。
如果我们选定三个相对对立的，例如长度l 的量纲[L ]、时间t 的量纲[T ]、质量m 的量纲[M ]为基本量纲，那么其他物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。
如表5-1中所示，例如，加速度a 的量纲可表示为[2LT -]，力F 的量纲可表示为[2LMT -]。
当我们把一些物理量进行组合、分析或作比较时，用量纲表示就比较便利。
如果我们要写出一个流体微团的运动方程F ma =∑式子左边是作用在微团的各力和，它可以包括：重力W 、压力P 、粘滞τ、力弹性力E等；右边是微团的惯性力ma。
于是得到+++W P E ma t =（5-1）上式中的每项都是力，所以各项的量纲都是[2LMT -]。
又如，关于理想流体的伯努利方程2++=2v p z H g gr 表示流管中三项能头之和保持常数，即等于总能头H 。
每项的单位都是米，故它们的量纲都是[L]。
不仅如此，在力学上任何有物理意义的方程或关系式，每一项的量纲必定相同。
这称为力学方程的量纲和谐性原理，又称为“量纲齐次性规律”。
量纲和谐原理是由傅里叶1822年提出来的，它是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念，也是量纲分析法的理论基础，并可具体表达成：只有相同类型的物理量才能相加减，也就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小；不同类型的物理量相加减没有任何意义。
例如，速度可以和速度相加减，但绝不可以加上粘性系数或压力。
当然，相同量纲和不同单位的物理量之间是可以相互加减和比较大小的，因为只要将其单位稍加换算即可完成。
量纲分析法
最纲分析法量纲分析法在流体力学和模型试验等领域被广泛应用，成为一种有效的研究手段。
量纲分析常用于：（1）物理量量纲的推导；（2）根据量纲和谐原理，校核由理论分析推导出的代数形式方程各项因次是否正确；（3）量纲分析基于表达自然现象的物理规律，不取决于所用量纲的单位，因而，在表达这些规律的公式中，可用无量纲组合的形式来表示，从而使方程形式简化；（4）用于确定模型实验的相似条件，指导整理实验资料、把无量纲数组合整理成含有待定系数的函数式，这个函数式可将模型参数换算、推广至原型，其中待定系数由实验确定。
在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一种称瑞利（Rayleigh）法，适用于比较简单的问题；另一种称定理，是一种具有普遍性的方法。
一、瑞利法瑞利法的基本原理是某一物理过程同n个物理量有关其中的某个物理量可表示为其它物理量的指数乘积（9-3）写出量纲式为=K·dim()dimqi将量纲式中各物理量按式（9-1）表示为基本量纲的指数乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定指数，就可得出表达该物理过程的方程式。
用瑞利法求力学方程，在有关物理不超过4 个，待求的量纲指数不超过3个时，可直接根据量纲和谐条件，求出量纲指数，建立方程。
二、定理定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉（Buckingham）1915年提出，又称为布金汉定理。
定理指出，若某一物理过程包含n个物理量，即其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量构成的（n-m）个无量纲项所表达的关系式来描述，即（9-4）由于无量纲项用表示，定理由此得名。
定理可用数学方法证明。
定理的应用步骤：（1）找出物理过程有关的物理量（2）从n个物理量中选取m个基本量，不可压缩流体运动通常选取速度以及密度、特征长度三个基本量。
（3）基本量依次与其余物理量组成项………（4）满足为无量纲项，定出各项基本量的指数a、b、c。
《量纲分析》课件
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公式分析：通过分析物理量之间的 关系，确定其量纲
量纲分析的优点：可以快速、准确 地确定物理量的量纲，提高计算效 率
参数分析法
基本概念：量纲分析是一种数学方法，用于分析物理量之间的关系 应用领域：广泛应用于物理学、化学、生物学等领域 基本步骤：确定物理量之间的关系，建立方程组，求解未知参数 优点：可以简化复杂的物理问题，提高解决问题的效率
图形分析法
基本概念：量纲分 析是一种通过图形 表示物理量之间的 关系的方法
应用领域：广泛应 用于物理学、化学、 生物学等领域
优点：直观、易于 理解，便于分析物 理量之间的关系
步骤：确定物理量 之间的关系，画出 图形，分析量纲关 系，得出结论
Байду номын сангаас
量纲分析的应用
在物理建模中的应用
量纲分析可以帮助我们理解物理量之间的关系，从而建立更准确的物理模型。 在流体力学中，量纲分析可以帮助我们理解流体的流动特性，从而建立更准确的流体力学模型。 在热力学中，量纲分析可以帮助我们理解热力学定律，从而建立更准确的热力学模型。 在电磁学中，量纲分析可以帮助我们理解电磁场的特性，从而建立更准确的电磁学模型。
精度和误差的影响
量纲分析无法 准确预测实际 测量的精度和
误差
量纲分析无法 考虑测量过程 中的系统误差
和随机误差
量纲分析无法 预测测量结果
的不确定性
量纲分析无法 考虑测量仪器 的精度和稳定 性对测量结果
的影响
主观因素的影响
量纲分析依赖于人的主观判断 和经验
量纲分析可能受到人的主观偏 见和认知偏差的影响
量纲分析的重要性
量纲分析是科 学研究中不可 或缺的工具， 可以帮助我们 理解和解释物
(完整版)第一节量纲分析方法
第一节量纲分析方法量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。
利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。
1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。
按照国家标准（GB3101—93），物理量•的量纲记为dim•，国际物理学界沿用的习惯记为[•]。
实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。
系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。
工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。
绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。
绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。
其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。
但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。
此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。
而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如：速度v = ds/dt 量纲：[]V =1LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2[]a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LT MLT --==压强P = F/S 量纲： 22[]P MLTL --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此时记为[][]1e π==。
量纲分析方法
v = C gh
其中常数 C 可以通过实验测定出来。 例 2. 单摆的周期
(3)
质量 m 的小球系在长度为 l 的线的一端， 偏离平衡位置后小球在重力 mg 的作用下做往复摆动， 求小球的摆动周期 t。 分析 这个问题中出现的物理量有 t, m, l, g，不计空气阻力时可以假设它们之间有关系式
t ∼ mα l β g γ
量纲分析方法
倪致祥主讲
为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。物理对象的定量化需要有单位和数 值，单位是作为度量标准的某个物理量。被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所 选用的单位。例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。我们可以说这是 块大小为 1 平方公里的地，也可以说这是块大小为 1000000 平方米的地。离开了单位，仅根据数值 我们无法判断一块地的大小。单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也 可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的， 它们之间可以相互换算，具有某种统一性。我们把这种统一性称为量纲。 一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。例如，测量长度可 以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，但是决不能用公斤或吨为单位。不同量纲的物理量之间有 但是并没有原则性错误； 本质的区别， 相互不能换算。 说一根木头长度为 2×10−16 光年虽然很不合适， 如果说一根木头长度为 100 公斤，就要让人笑掉大牙。 通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为 L，时 间的量纲记为 T，质量的量纲记为 M，无单位的物理量的量纲记为 1。一个具体的物理对象往往要有 许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。 基本量的量纲称为基本量纲，其他量的量纲可以由基本量纲导出。例如，我们取基本的量纲为 L、T 和 M，那么面积的量纲为 L2，速度的量纲为 LT−1，加速度的量纲为 LT−2。 由于物理量是有量纲的，因此用数学公式来描述任何一个客观规律时，等式两边的量纲必须一 致，这个要求称为量纲一致原则。根据量纲一致原则和牛顿第二运动定律，我们可以导出力的量纲 为 MLT−2。在量纲一致的原则下，问题中物理量之间关系的分析称为量纲分析。量纲分析是应用物 理理论解决实际问题的一个有力工具，可以用来合理地组合变量从而简化问题的处理，导出新知识 和获得新信息。下面我们来看几个典型的例子： 例 1. 真空中自由落体的速度 设物体的释放高度为 h，自由降落的落地速度为 v，不失一般性，我们假定 v 与物体的质量 m、 重力加速度 g 和 h 有关，即 v＝v ( m, g, h ) 不做实验，你能求出上述关系式的具体形式吗？ (1)
量纲分析法
,
v1
,
1
,
g1
~原型船的参数
(f1未知，其他已知)
1 1,
2
2
f1 f
l13 1 l3
(
1
)
f1
l1 l
3
f
结论：按一定尺寸比例造模型船，量测 f， 可算出 f1 ~ 物理模拟
量纲分析法的评注
• 物理量的选取
(…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的
[g ] M 0L1T 2
T M L y1 y2 y3 LT 2 y4 M 0L0T 0
M L T y2 y3 y4 y12 y4 M 0L0T 0
y2 0
y3
y4
0
y1 2 y4 0
基本解 y
( y1, y2 , y3, y4 )T
量纲齐次原则
描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲
S
(t)
S0
vt
1 2
at
2
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中 基本量纲 M, L, T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2
= ML-3 , [] = ML-1T-1, [g] = LT-2
1 0 0 1 1 0 M
A
1
1
1 3 1
1
L
2 0 1 0 1 2 T
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第一节量纲分析方法
量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。
利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。
1.1量纲
当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。
按照国家标准（GB3101—93），物理量•的量纲记为dim•，国际物理学界沿用的习惯记为[•]。
实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。
系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。
工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。
绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。
绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。
其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。
但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。
此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。
而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如：
速度v = ds/dt 量纲：[]V =1
LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2
[]a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LT MLT --==
压强P = F/S 量纲： 22[]P MLT
L --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此
时记为[][]1e π==。
有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。
模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。
机理模型的
深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。
使用无量纲量来描述客观规律。
在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。
1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。
2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。
即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。
当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。
②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。
③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。
要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。
量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。
1.2 量纲齐次原则
当用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必
须保持量纲的一致性，这种性质称为量纲齐次性。
当方程中各项具有相同的量纲时，这个方程被称为是量纲齐次的，也只有具有相同量纲的量才可以作比较或相加、减，由此可知，物理定律必须是量纲齐次的。
根据量纲齐次原理，可以有下面的量纲分析法的基本定理。
定理（BUCKINGHAM PI ）设有m 个物理量12,,,m q q q 满足某定律：12(,,
)0m f q q q =， 12,,
,n X X X 是基本量纲().n m ≤j q 的量纲可以表示为1[](1,2,,).ij n a j i i q X j m ===∏矩阵,()ij n m A a =称为量纲矩阵，
若A 的秩rankA=r,可设线性齐次方程组0(AY Y =是m 维向量），有m r -个基本解为
12(,,
,)(1,2,,).m T k k k k y y y y k m r ==- 则1k j m y k j
j q π==∏为m r -个相互独立的无量纲的量，
且有12(,,,)0m r F πππ-=与12(,,
,)0m f q q q =等价，
其中F 为一未知函数。
1.3量纲分析的一般步骤
（1）将与问题有关的物理量（变量或常量）收集起来，记为12,,,m q q q ，根据问题的物理意义确定基本量纲，记为12,,,n X X X ().n m ≤
（2）写出j q 的量纲1[](1,2,
,).ij n a j i
i q X j m ===∏ （3）设12,,,m q q q 满足关系1
j m y j j q π==∏，其中j y 为
待定的，π为无量纲的量，因此1
[]1j m a
j j X π===∏，于是10(1,2,
,)m i ij j j a a y i n ====∑.
（4）解线性方程组10(1,2,
,)m ij j j a y i n ===∑，矩阵
,()ij n m A a =称为量纲矩阵，若A 的秩rankA=r,则线性齐次方程组有m r -个基本解为12(,,,)(1,2,,).m T k k k k y y y y k m r ==-
（5）记1k j m y k j
j q π==∏，则(1,2,,)k k m r π=-为
无量纲的量.
（6）由12(,,
,)0m r F πππ-=解出物理规律.。