2015-2016学年吉林省吉林市毓文中学高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年吉林省吉林市毓文中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1]B．[0，1） C．（0，1]D．（0，1）2．（5.00分）过点（﹣l，3）且与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程是（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．2x+y﹣5=0 D．2x+y﹣1=03．（5.00分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣34．（5.00分）点P（3，﹣2，4）关于平面yOz的对称点Q的坐标为（）A．（﹣3，﹣2，4） B．（3，2，﹣4）C．（3，2，4）D．（﹣3，﹣2，﹣4）5．（5.00分）若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的表面积是（）A．3πB．3πC．6πD．9π6．（5.00分）若α、β是两个不重合的平面，①如果平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β；②如果平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么α∥β；③如果直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；④如果平面α内所有直线都与平面β平行，那么α∥β，下列命题正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5.00分）函数f（x）=a2x﹣1（a＞0且a≠1）过定点（）A．（1，1） B．（，0）C．（1，0） D．（，1）8．（5.00分）两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0之间的距离是（）A．B．C．D．9．（5.00分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π10．（5.00分）设实数x、y满足（x+2）2+y2=3，那么的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）11．（5.00分）定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+2）=﹣f（x）对所有实数x都成立，且在[﹣2，0]上单调递增，则下列成立的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b12．（5.00分）已知圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2=1，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=9．点M、N分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．2+4 B．9 C．7 D．2+2二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5.00分）经过点P（﹣2，﹣1）、Q（3，a）的直线l与倾斜角是45°的直线平行，则a的值为．14．（5.00分）函数y=log（2x﹣1）的定义域是．15．（5.00分）已知两定点A（﹣2，0）、B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹方程为．16．（5.00分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号）①线段BM的长是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．三、解答题：（17题8分，18、19题10分，20题12分，共40分）17．（8.00分）若a为正实数，函数f（x）=﹣x2+2ax+1，其中x∈[0，2]，求函数f（x）的最大值．18．（10.00分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D 是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．19．（10.00分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=1．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）若∠ABC=30°，求点B到平面ADE的距离．20．（12.00分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年吉林省吉林市毓文中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1]B．[0，1） C．（0，1]D．（0，1）【解答】解：∵M={x|x≥0}，N={x|x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}=[0，1），故选：B．2．（5.00分）过点（﹣l，3）且与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程是（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．2x+y﹣5=0 D．2x+y﹣1=0【解答】解：设与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程为2x+y+m=0，把点（﹣l，3）代入可得：﹣2+3+m=0，解得m=﹣1．∴要求的直线方程为：2x+y﹣1=0．故选：D．3．（5.00分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选：B．4．（5.00分）点P（3，﹣2，4）关于平面yOz的对称点Q的坐标为（）A．（﹣3，﹣2，4） B．（3，2，﹣4）C．（3，2，4）D．（﹣3，﹣2，﹣4）【解答】解：根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，可得点P（3，﹣2，4）关于平面yOz的对称点Q的坐标为：（﹣3，﹣2，4）．故选：A．5．（5.00分）若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的表面积是（）A．3πB．3πC．6πD．9π【解答】解：圆锥的母线长l=2，底面半径r=1，∴圆锥的表面积S=πrl+πr2=π×1×2+π×12=3π．故选：A．6．（5.00分）若α、β是两个不重合的平面，①如果平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β；②如果平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么α∥β；③如果直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；④如果平面α内所有直线都与平面β平行，那么α∥β，下列命题正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：若α∩β=l，则平面α内所有平行于l的直线都与β平面，故①错误，②错误；若α∩β=l，且a∥l，a⊄α，a⊄β，则l与平面α，平面β都平行，故，③错误；若平面α内所有直线都与平面β平行，则平面α内存在两条相交直线都与β平行，于是α∥β，故④正确．故选：B．7．（5.00分）函数f（x）=a2x﹣1（a＞0且a≠1）过定点（）A．（1，1） B．（，0）C．（1，0） D．（，1）【解答】解：由2x﹣1=0得x=，则f（）=a0=1，∴函数f（x）=a2x﹣1（a＞0且a≠1）过定点（，1），故选：D．8．（5.00分）两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0之间的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0，所以m=6，所以两条平行线的距离为；故选：A．9．（5.00分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C．10．（5.00分）设实数x、y满足（x+2）2+y2=3，那么的取值范围是（）A．[﹣，]B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：如图所示：方程（x+2）2+y2=3表示：以（﹣2，0）为圆心，为半径的圆，代数式=的几何意义是：圆上的点与（0，0）连线的斜率，由图象可得，当直线y=kx与圆相切时，分别取到最大值和最小值，由得，k=，所以的取值范围是，故选：C．11．（5.00分）定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+2）=﹣f（x）对所有实数x都成立，且在[﹣2，0]上单调递增，则下列成立的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【解答】解：∵函数y=f（x）为偶函数，又∵f（x+2）=﹣f（x）对所有实数x都成立，∴函数以4为周期的周期函数又∵函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增∴函数f（x）在[0，2]上单调递减，，∵∴b＞c＞a故选：B．12．（5.00分）已知圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2=1，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=9．点M、N分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．2+4 B．9 C．7 D．2+2【解答】解：圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2=1的圆心E（1，﹣1），半径为1，圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=9的圆心F（4，5），半径是3．要使|PN|﹣|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值为|PF|+3，PM|的最小值为|PE|﹣1，故|PN|﹣|PM|最大值是（|PF|+3）﹣（|PE|﹣1）=|PF|﹣|PE|+4F（4，5）关于x轴的对称点F′（4，﹣5），|PN|﹣|PM|=|PF′|﹣|PE|≤|EF′|==5，故|PN|﹣|PM|的最大值为5+4=9，故选：B．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5.00分）经过点P（﹣2，﹣1）、Q（3，a）的直线l与倾斜角是45°的直线平行，则a的值为4．【解答】解：过点P（﹣2，﹣1），Q（3，a）的直线的斜率为：，倾斜角为45°的直线的斜率为1∵两直线平行，∴=1，解得：a=4故答案为：4．14．（5.00分）函数y=log（2x﹣1）的定义域是（，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则2x﹣1＞0，解得x＞，即函数的定义域为（，+∞），故答案为：（，+∞）15．（5.00分）已知两定点A（﹣2，0）、B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹方程为（x﹣2）2+y2=4．【解答】解：设点P（x，y），由题意：|PA|=2|PB|得：=2，整理得到点P的轨迹方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．故答案为：（x﹣2）2+y2=4．16．（5.00分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列命题正确的是①②④．（写出所有正确的命题的编号）①线段BM的长是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．【解答】解：①取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故①正确．②∵B是定点，∴M是在以B为球心，MB为半径的球上，故②正确，若③成立，则由DE⊥CE，可得DE⊥面A1EC∴DE⊥A1E，而这与DA1⊥A1E矛盾故③错误．④取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；故正确的命题有：①②④，故答案为：①②④．三、解答题：（17题8分，18、19题10分，20题12分，共40分）17．（8.00分）若a为正实数，函数f（x）=﹣x2+2ax+1，其中x∈[0，2]，求函数f（x）的最大值．【解答】解：f（x）对称轴x=a，①当0＜a＜2时，f（x）在[0，a]单调递增，在[a，2]单调递减，所以；…（4分）②当a≥2时，f（x）在[0，2]单调递增，所以f（x）max=f（2）=4a﹣3…（8分）18．（10.00分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D 是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．19．（10.00分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=1．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）若∠ABC=30°，求点B到平面ADE的距离．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥AB，∵四边形DCBE是矩形，∴CD⊥DE，DE∥BC．∴AC⊥DE．又AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，AC∩CD=C，∴DE⊥平面ACD．∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD（2）∵平面DCBE⊥平面ABC，DC⊂平面DEBE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴DC⊥AC，Rt△ACB中，AB=4，∠ABC=30°，则，Rt△ACD中，，由（1）DE⊥平面ADC，AD⊂平面ADC，∴DE⊥AD，∴，，由V B=V A﹣DBE，﹣ADE∴，解得d=20．（12.00分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．…（4分）（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…（14分）。