最新初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
教育部数学竞赛试题及答案
教育部数学竞赛试题及答案试题一：代数部分1. 计算下列表达式的值：\( (x^2 - 3x + 2) / (x - 1) \)，当\( x = 2 \)。
2. 解方程：\( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)。
3. 证明：对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，\( (a + b)^2 \leq2(a^2 + b^2) \)。
试题二：几何部分1. 已知三角形ABC中，角A为30度，角B为45度，求角C的度数。
2. 圆O的半径为5，点P在圆上，OP=3，求点P到圆心O的切线长度。
3. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
试题三：概率统计部分1. 抛掷一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
2. 从1到10的整数中随机选择一个数，求这个数是奇数的概率。
3. 一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
随机选择5名学生，求至少有3名男生的概率。
试题四：数论部分1. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( n^5 - n \) 总是能被30整除。
2. 求所有小于100的正整数，它们既是完全平方数，又是完全立方数。
3. 证明：不存在两个连续的完全平方数，它们的和是一个完全立方数。
答案：试题一：1. 将 \( x = 2 \) 代入表达式，得到 \( (2^2 - 3*2 + 2) / (2 -1) = 0 \)。
2. 解方程 \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)，使用公式 \( x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)，得到 \( x = \frac{-5 \pm\sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4} \)，即 \( x = -2 \)或 \( x = \frac{1}{2} \)。
3. 证明：\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \)，而 \( 2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2 \)，显然 \( 2ab \leq 2a^2 + 2b^2 \)，所以 \( (a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) \)。
全国初中数学竞赛试题
全国初中数学竞赛试题【试题一】：代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长，且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证 \( a + b \geq c \)。
【试题二】：几何问题2. 给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。
在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \)，连接 \( OA \) 和 \( OB \)。
求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。
【试题三】：数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。
求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式，并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。
【试题四】：函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的最小值。
【试题五】：概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。
随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。
【试题六】：组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球，需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球。
求不同的放法有多少种。
【试题七】：逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中，有三个人分别说了以下的话：- 甲说：“乙是说谎者。
”- 乙说：“丙是说谎者。
”- 丙说：“甲和乙都是说谎者。
”如果三个人中只有一个人说谎，那么谁说的是真话？【试题八】：创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米，求这个正方体的表面积。
【试题九】：应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水，同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。
如果水池开始时是空的，求水池被填满的时间\( t \)。
【试题十】：综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，圆内接一个等边三角形。
初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
初三代数竞赛试题及答案
初三代数竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 6x + 9 = 0的解？A. x = 3B. x = -3C. x = 1D. x = 6答案：A2. 计算表达式(a+b)(a-b)的结果是什么？A. a^2 - b^2B. a^2 + b^2C. 2abD. -a^2 + b^2答案：A3. 如果a和b是实数，且a^2 + b^2 = 0，那么a和b的值是什么？A. a = 0, b = 0B. a = 1, b = 1C. a = 0, b = 1D. a = 1, b = 0答案：A4. 已知x和y是正整数，且x + y = 10，x * y的最大值是多少？A. 30B. 36C. 40D. 45答案：B5. 计算下列哪个表达式的值等于1？B. (-1)^3C. (-1)^4D. (-1)^5答案：C6. 如果一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ = b^2 - 4ac小于0，那么这个方程有多少个实数解？A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个答案：A7. 计算下列哪个分数的值等于2？A. 1/(1/2)C. 1/(2/1)D. 2/(2/1)答案：B8. 已知x = 2是方程x^2 - 5x + 6 = 0的一个根，那么另一个根是什么？A. 2B. 3C. -3D. -2答案：B9. 计算下列哪个表达式的值等于-1？A. 1 - 2B. -1 + 2C. 1 + (-2)答案：D10. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是什么？A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：D二、填空题（每题4分，共40分）11. 计算表达式(2x + 3)(x - 1)的结果，并简化。
答案：2x^2 + x - 312. 已知a = 3，b = -2，计算a^2 - 2ab + b^2的值。
答案：1313. 如果一个数的立方等于8，那么这个数是什么？答案：214. 计算表达式(3/4) * (4/5)的结果。
初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
初三代数竞赛试题及答案
初三代数竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若a、b、c为实数，且满足a+b+c=0，下列哪个选项是正确的？A. a^2 + b^2 + c^2 = 0B. ab + bc + ac = 0C. a^2 + b^2 = c^2D. a^3 + b^3 + c^3 = 3abc答案：B2. 已知x、y、z是实数，且x+y+z=1，下列哪个选项是正确的？A. x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1/3B. x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1/3C. x^2 + y^2 + z^2 = 1/3D. x^2 + y^2 + z^2 < 1/3答案：A3. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=6，下列哪个选项是正确的？A. 2b = a + cB. 3b = a + cC. 2b = 3D. b = 2答案：D4. 已知方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为x1和x2，下列哪个选项是正确的？A. x1 + x2 = 5B. x1x2 = 6C. x1 + x2 = 6D. x1x2 = 5答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 若a、b、c是等比数列，且a+b+c=14，b=4，则a和c的值分别为______和______。
答案：2，86. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1,3)和(2,0)，且对称轴为直线x=2，则a的值为______。
答案：-17. 若x、y、z是实数，且x+y+z=3，xy+yz+zx=3，则x^2+y^2+z^2的值为______。
答案：38. 已知方程x^2-6x+5=0的两个根为x1和x2，则(x1-3)(x2-3)的值为______。
答案：-4三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知a、b、c是等差数列，且a+c=10，b=5，求a、b、c的值。
解答：由题意可知，a、b、c是等差数列，且a+c=10，b=5。
由于a、b、c是等差数列，所以2b=a+c，即2*5=a+c=10。
七年级超难数学竞赛题带解析
七年级超难数学竞赛题带解析一、代数部分。
1. 已知a,b为有理数，且a + b√(2)=(1 - √(2))^2，求a^b的值。
- 解析：- 先将(1-√(2))^2展开，根据完全平方公式(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2，这里a = 1，b=√(2)，则(1-√(2))^2=1-2√(2)+2 = 3 - 2√(2)。
- 因为a + b√(2)=3 - 2√(2)，所以a = 3，b=-2。
- 那么a^b = 3^-2=(1)/(9)。
2. 若x^2 - 3x + 1 = 0，求x^4+(1)/(x^4)的值。
- 解析：- 由x^2 - 3x + 1 = 0，因为x = 0不满足方程，所以方程两边同时除以x得x-3+(1)/(x)=0，即x+(1)/(x)=3。
- 对x+(1)/(x)=3两边平方得(x +(1)/(x))^2=x^2+2+(1)/(x^2)=9，所以x^2+(1)/(x^2)=7。
- 再对x^2+(1)/(x^2)=7两边平方得(x^2+(1)/(x^2))^2=x^4 + 2+(1)/(x^4)=49，所以x^4+(1)/(x^4)=47。
3. 化简(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+·s+(1)/(2019×2020)。
- 解析：- 因为(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)。
- 所以原式=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+·s+((1)/(2019)-(1)/(2020))- 去括号后中间项都可以消去，得到1-(1)/(2020)=(2019)/(2020)。
4. 已知a^2 + b^2=6ab，且a>b>0，求(a + b)/(a - b)的值。
- 解析：- 因为a^2 + b^2 = 6ab，所以(a + b)^2=a^2+2ab + b^2=8ab，(a - b)^2=a^2-2ab + b^2 = 4ab。
初中数学竞赛试卷代数
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列代数式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2abB. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 - 2abC. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 2abD. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2ab2. 如果x + y = 5，xy = 6，那么x^2 + y^2的值是（）A. 19B. 21C. 25D. 293. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 2x + 1C. 5x - 2 = 5x + 3D. 4x + 1 = 2x + 54. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 12，那么a^2 + b^2 + c^2的值是（）A. 36B. 48C. 60D. 725. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象开口向上，且顶点坐标为（-2，3），则a的取值范围是（）B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0二、填空题（每题5分，共25分）6. 若m^2 - 4m + 3 = 0，则m的值为______。
7. 若a^2 - b^2 = 18，且a + b = 6，则ab的值为______。
8. 若x^2 - 4x + 4 = 0，则x的值为______。
9. 若一个等差数列的前三项分别为2，5，8，则这个数列的通项公式是______。
10. 若二次函数y = -x^2 + 2x + 1的对称轴方程是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解下列方程组：x + 2y = 73x - 4y = 112. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，求：（1）该数列的通项公式；（2）该数列的前10项和。
13. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），且顶点坐标为（1，-4），求该二次函数的解析式。
最新初中数学代数式难题汇编附答案(1)
最新初中数学代数式难题汇编附答案(1)一、选择题1．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是（ ）A ．110B ．158C ．168D ．178【答案】B【解析】根据排列规律，10下面的数是12，10右面的数是14，∵8=2×4−0，22=4×6−2，44=6×8−4，∴m =12×14−10=158.故选C.2．下列各运算中，计算正确的是( )A ．2a•3a ＝6aB ．(3a 2)3＝27a 6C ．a 4÷a 2＝2aD ．(a+b)2＝a 2+ab+b 2【答案】B【解析】试题解析：A 、2a •3a =6a 2，故此选项错误；B 、（3a 2）3=27a 6，正确；C 、a 4÷a 2=a 2，故此选项错误；D 、（a+b ）2=a 2+2ab +b 2，故此选项错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识，正确化简各式是解题关键．3．下列各计算中，正确的是( )A ．2323a a a +=B ．326a a a ⋅=C ．824a a a ÷=D ．326()a a =【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的就是同底数幂的计算法则【详解】解：A 、不是同类项，无法进行合并计算；B 、同底数幂乘法，底数不变，指数相加，原式=5a ；C 、同底数幂的除法，底数不变，指数相减，原式=6a ；D 、幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，原式=6a .【点睛】本题主要考查的就是同底数幂的计算法则.在运用同底数幂的计算的时候首先必须将各幂的底数化成相同，然后再利用公式来进行计算得出答案.同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方法则，底数不变，指数相乘.在进行逆运算的时候很多同学容易用错，例如：m n m n a a a +=+等等.4．下列计算正确的是（ ）A ．a 2+a 3=a 5B ．a 2•a 3=a 6C ．（a 2）3=a 6D ．（ab ）2=ab 2【答案】C【解析】试题解析：A.a 2与a 3不是同类项，故A 错误；B.原式=a 5，故B 错误；D.原式=a 2b 2，故D 错误；故选C.考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．5．下列运算正确的是（ ）A ．21ab ab -=B 3=±C ．222()a b a b -=-D ．326()a a =【答案】D【解析】【分析】主要考查实数的平方根、幂的乘方、同类项的概念、合并同类项以及完全平方公式.【详解】解：A 项，2ab ab ab -=，故A 项错误；B 3=，故B 项错误；C 项，222()2a b a ab b -=-+，故C 项错误；D 项，幂的乘方，底数不变，指数相乘，32236()a a a ⨯==.故选D【点睛】本题主要考查：（1）实数的平方根只有正数，而算术平方根才有正负.（2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+.6．下列运算或变形正确的是（ ）A ．222()a b a b -+=-+B ．2224(2)a a a -+=-C ．2353412a a a ⋅=D ．()32626a a =【答案】C【解析】【分析】 根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方计算法则解答．【详解】A 、原式中的两项不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=（a-1）2+2，故本选项错误；C 、原式=12a 5，故本选项正确；D 、原式=8a 6，故本选项错误；故选：C ．【点睛】此题考查单项式的乘法，因式分解，解题关键在于熟记计算法则.7．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ）A ．（11，3）B ．（3，11）C ．（11，9）D ．（9，11） 【答案】A【解析】 试题分析：根据排列规律可知从1开始，第N 排排N 个数，呈蛇形顺序接力，第1排1个数；第2排2个数；第3排3个数；第4排4个数根据此规律即可得出结论．解：根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，所以58在第11排；偶数排从左到右由大到小，奇数排从左到右由小到大，所以58应该在11排的从左到右第3个数．故选A ．考点：坐标确定位置．8．计算 2017201817(5)()736-⨯ 的结果是（ ） A ．736- B ．736 C ．- 1 D ．367【答案】A【解析】根据积的乘方的逆用进行化简运算即可．【详解】2017201817(5)()736-⨯ 20172018367()()736=-⨯ 20173677()73636=-⨯⨯ 20177(1)36=-⨯ 736=- 故答案为：A ．【点睛】本题考查了积的乘方的逆用问题，掌握积的乘方的逆用是解题的关键．9．若2m ＝5，4n ＝3，则43n ﹣m 的值是( )A ．910B ．2725C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】根据幂的乘方和同底数幂除法的运算法则求解．【详解】∵2m ＝5，4n ＝3，∴43n ﹣m =344n m =32(4)(2)n m =3235=2725 故选B.【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解题关键.10．若（x +1）（x +n ）＝x 2+mx ﹣2，则m 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2【答案】A【解析】【分析】先将(x+1)(x+n)展开得出一个关于x 的多项式，再将它与x 2+mx-2作比较，即可分别求得m ，n 的值．解：∵(x+1)(x+n)=x 2+(1+n)x+n ，∴x 2+(1+n)x+n=x 2+mx-2，∴12n m n +=⎧⎨=-⎩， ∴m=-1，n=-2．故选A ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则以及类比法在解题中的运用．11．下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．22a a a -=C ．632a a a ÷=D ．236()a a =【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘除法公式，合并同类项，以及幂的乘方公式逐项计算得到结果，即可作出判断．【详解】A 、235a a a ⋅=，不符合题意；B 、22a 和a 不是同类项，不能合并，不符合题意；C 、633a a a ÷=，不符合题意；D 、236()a a =，符合题意，故选：D ．【点睛】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．图为“L ”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（ ）A ．2ab c -B ．() ac b c c +-C ．() bc a c c +-D ．2ac bc c +-【答案】A【解析】【分析】根据图形中的字母，可以表示出“L”型钢材的截面的面积，本题得以解决．【详解】解：由图可得，“L”型钢材的截面的面积为：ac+（b-c ）c=ac+bc-c 2，故选项B 、D 正确，或“L”型钢材的截面的面积为：bc+（a-c ）c=bc+ac-c 2，故选项C 正确，选项A 错误， 故选：A ．【点睛】本题考查整式运算的应用，解答本题的关键是理解题意，掌握基本运算法则，利用数形结合的思想解答．13．下列计算正确的是（ ）A ．23a a a ⋅=B ．23a a a +=C ．()325a a =D ．23(1)1a a a +=+【答案】A【解析】【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，单项式乘多项式以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．【详解】A 、a•a 2=a 3，故A 选项正确；B 、a 和2a 不是同类项不能合并，故B 选项错误；C 、（a 2）3=a 6，故C 选项错误；D 、a 2（a+1）=a 3+a 2，故D 选项错误．故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法，单项式乘多项式以及幂的乘方的知识，解题的关键是熟记法则．14．下列运算正确的是A ．32a a 6÷=B ．()224ab ab =C ．()()22a b a b a b +-=-D ．()222a b a b +=+【答案】C【解析】根据整式的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则和平方差公式，完全平方公式逐一计算作出判断：A 、322a a 2a ÷=，故选项错误；B 、()2224ab a b =，故选项错误；C 、选项正确；D 、()222a b a 2ab b +=++，故选项错误．故选C ．15．下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．222()ab a b =C ．()325a a =D ．224a a a += 【答案】B【解析】【分析】根据积的乘方运算法则和同底数幂的运算法则分别计算即可解答．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，故A 错误；B. 222()ab a b =，正确；C. ()326a a =，故C 错误；D. 2222a a a +=，故D 错误．故答案为B ．【点睛】本题主要考查了积的乘方和同底数幂的运算运算法则，掌握并灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．16．已知多项式x -a 与x 2+2x -1的乘积中不含x 2项，则常数a 的值是（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-2【答案】C【解析】分析：先计算（x ﹣a ）（x 2+2x ﹣1），然后将含x 2的项进行合并，最后令其系数为0即可求出a 的值．详解：（x ﹣a ）（x 2+2x ﹣1）=x 3+2x 2﹣x ﹣ax 2﹣2ax +a=x 3+2x 2﹣ax 2﹣x ﹣2ax +a=x 3+（2﹣a ）x 2﹣x ﹣2ax +a令2﹣a =0，∴a =2．故选C ．点睛：本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．17．按如图所示的运算程序，能使输出y 的值为1的是（ ）A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝﹣1 C．a＝1，b＝3 D．a＝4，b＝2【答案】A【解析】【分析】根据题意，每个选项进行计算，即可判断．【详解】解：A、当a＝3，b＝2时，y＝12a-＝132-＝1，符合题意；B、当a＝﹣3，b＝﹣1时，y＝b2﹣3＝1﹣3＝﹣2，不符合题意；C、当a＝1，b＝3时，y＝b2﹣3＝9﹣3＝6，不符合题意；D、当a＝4，b＝2时，y＝12a-＝142-＝12，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查有理数的混合运算，代数式求值等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．18．下面的图形都是由同样大小的棋子按照一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形有6颗棋子，第③个图形有15颗棋子，第④个图中有28颗棋子，…，则第6个图形中棋子的颗数为（）A．63 B．64 C．65 D．66【答案】D【解析】【分析】根据图形中棋子的个数找到规律，从而利用规律解题．【详解】解：∵通过观察可以发现：第1个图形中棋子的个数为()11211=⨯⨯-；第2个图形中棋子的个数为()62221=⨯⨯-；第3个图形中棋子的个数为()153231=⨯⨯-；第4个图形中棋子的个数为()284241=⨯⨯-；L L第n 个图形中棋子的个数为()21n n -∴第6个图形中棋子的个数为()626166⨯⨯-=．故选：D【点睛】本题考查了图形变化规律的问题，能找出第n 个图形棋子的个数的表达式是解题的关键．19．在很小的时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2019时对应的指头是（ ）（说明：数1、2、3、4、5对应的指头名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）A ．食指B ．中指C ．小指D ．大拇指【答案】B【解析】【分析】 根据题意，观察图片，可得小指、大拇指所表示的数字的规律，及其计数的顺序，进而可得答案．【详解】解：∵大拇指对的数是1+8n ，小指对的数是5+8n ．食指、中指、无名指对的数介于它们之间．又∵2019是奇数，201925283=⨯+，∴数到2019时对应的指头是中指．故选：B ．【点睛】此题主要考查了数字变化类，只需找出大拇指和小指对应的数的规律即可．关键规律为：大拇指对的数是1+8n ，小指对的数是5+8n ．食指、中指、无名指对的数介于它们之间．20．下列运算正确的是( )A ．2235a a a +=B ．22224a b a b +=+()C ．236a a a ⋅=D ．2336()ab a b -=- 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂乘法法则、积的乘方法则逐一进行计算即可得.【详解】A. 235a a a +=，故A 选项错误；B. 222244a b a ab b +=++()，故B 选项错误；C. 235a a a ⋅=，故C 选项错误；D. 2336()ab a b -=-，正确，故选D.【点睛】本题考查了整式的运算，涉及了合并同类项、完全平方公式、积的乘方等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.。
九年级数学竞赛题
九年级数学竞赛题一、代数部分1. 一元二次方程竞赛题题目：已知关于公式的一元二次方程公式有两个实数根公式和公式。
（1）求实数公式的取值范围；（2）当公式时，求公式的值。
解析：（1）对于一元二次方程公式，判别式公式。
在方程公式中，公式，公式，公式，因为方程有两个实数根，所以公式。
展开公式得公式，即公式，解得公式。
（2）由公式可得公式。
根据韦达定理，在一元二次方程公式中，公式，公式。
对于方程公式，公式，公式。
当公式时，即公式，解得公式，但公式不满足公式（由（1）得），舍去。
当公式时，即公式，那么公式，由（1）中公式，解得公式。
2. 二次函数竞赛题题目：二次函数公式的图象经过点公式，且与公式轴交点的横坐标分别为公式、公式，其中公式，公式，求公式的取值范围。
解析：因为二次函数公式的图象经过点公式，所以公式，则公式。
二次函数与公式轴交点的横坐标是方程公式的根，由韦达定理公式，公式。
设公式，因为公式，公式，当公式时，公式；当公式时，公式；当公式时，公式。
将公式代入公式，公式中：由公式得公式，化简得公式，即公式。
由公式得公式，化简得公式，即公式，公式。
所以公式，则公式，解得公式。
二、几何部分1. 圆的竞赛题题目：在公式中，弦公式与弦公式相交于点公式，公式、公式分别是弦公式、公式的中点，连接公式、公式，若公式，公式的半径为公式。
（1）求证：公式是等边三角形；（2）求公式的长（用公式表示）。
解析：（1）连接公式、公式。
因为公式、公式分别是弦公式、公式的中点，根据垂径定理，公式，公式。
在四边形公式中，公式，公式，根据四边形内角和为公式，可得公式。
又因为公式（半径），公式、公式分别是弦公式、公式的中点，所以公式，公式。
在公式中，公式，公式（同圆中，弦心距相等则弦相等的一半也相等），所以公式是等边三角形。
（2）设公式与公式交于点公式，公式与公式交于点公式。
在公式中，公式，公式，公式，则公式。
同理，在公式中，公式。
因为公式是等边三角形，公式，在公式中，公式，公式，则公式，所以公式。
初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
讲解初中数学竞赛试题及答案
讲解初中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题通常涵盖代数、几何、数论和组合等数学领域。
下面是一个模拟的初中数学竞赛试题及其答案的讲解。
题目一：代数问题题目：已知 \( a, b \) 为正整数，且满足 \( a^2 - b^2 = 1 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的所有可能值。
答案：根据题目中的等式 \( a^2 - b^2 = 1 \)，我们可以将其转换为 \( (a+b)(a-b) = 1 \)。
因为 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数，所以 \( a+b \) 和 \( a-b \) 也必须是正整数，并且它们的乘积为1。
考虑到正整数的性质，可能的组合只有 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)或 \( (2, 1) \)。
对于 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)，显然不可能，因为 \( a+b \) 和\( a-b \) 不能同时为1。
对于 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \)，我们可以得到 \( a =\frac{3}{2} \) 和 \( b = \frac{1}{2} \)，但这不是正整数，所以不符合题意。
因此，我们考虑 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \) 或 \( (4, 3) \)。
对于 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \)，我们可以得到 \( a = 2.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这同样不是正整数。
对于 \( (a+b, a-b) = (4, 3) \)，我们可以得到 \( a = 3.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这也不是正整数。
但是，如果我们考虑 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \) 的整数解，我们可以得到 \( a = 2 \) 和 \( b = 1 \)，这满足题目要求。
讲解：这个问题考察了平方差公式的应用，通过将等式转换为\( (a+b)(a-b) = 1 \) 并考虑正整数的性质来找到可能的解。
2024数学竞赛预赛试题
2024数学竞赛预赛试题很抱歉呀，2024年的数学竞赛预赛还没发生呢，我可没办法直接写出它的试题。
不过我可以给你出几道类似数学竞赛预赛风格的题目哦。
一、代数部分1. 已知a + b = 5，ab = 3，求a^3+b^3的值。
- 嘿这题呢，我们先得知道a^3+b^3=(a + b)(a^2-ab + b^2)，然后a^2+b^2=(a + b)^2-2ab。
- 因为a + b = 5，ab = 3，那么a^2+b^2=5^2-2×3 = 25 - 6=19。
- 所以a^3+b^3=(a + b)(a^2-ab + b^2)=5×(19 - 3)=5×16 = 80。
2. 解方程(2x)/(x - 1)+(3)/(1 - x)=1。
- 哟呵，这里分母有x - 1和1 - x呢，1 - x=-(x - 1)。
- 方程就可以化为(2x)/(x - 1)-(3)/(x - 1)=1。
- 通分得到(2x - 3)/(x - 1)=1。
- 两边同乘x - 1，得到2x - 3=x - 1。
- 移项可得2x - x=3 - 1，解得x = 2。
二、几何部分1. 在三角形ABC中，∠ A = 60^∘，AB = 3，AC = 4，求三角形ABC的面积。
- 这时候就想到三角形面积公式S=(1)/(2)absin C啦。
- 这里a = AB = 3，b = AC = 4，∠ C=∠ A = 60^∘，sin60^∘=(√(3))/(2)。
- 那么三角形ABC的面积S=(1)/(2)×3×4×(√(3))/(2)=3√(3)。
2. 已知圆O的半径为5，弦AB = 8，求圆心O到弦AB的距离。
- 哈哈，这就用到圆的性质啦。
- 我们设圆心O到弦AB的距离为d，半径r = 5，弦长AB = 8。
- 根据垂径定理，((AB)/(2))^2+d^2=r^2。
- 因为AB = 8，所以(AB)/(2)=4。
初中代数竞赛试题及答案
初中代数竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项是方程2x - 3 = 7的解？A. x = 5B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：A2. 如果一个数的平方等于其本身，那么这个数是：A. 0或1B. 0或-1C. 1或-1D. 0或2答案：A3. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) - (2x^2 - 4x + 3)A. x^2 - 2x - 2B. x^2 + 2x - 2C. x^2 - 6x + 4D. x^2 + 6x - 4答案：A4. 一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式为：A. b^2 - 4acB. b^2 + 4acC. a^2 - 4bcD. a^2 + 4bc答案：A5. 一个数列的前三项为2, 4, 8，那么第四项是：A. 16B. 32C. 64D. 128答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个数的立方等于其本身，这个数是______。
答案：0, 1, -17. 一个等差数列的前三项为3, 7, 11，那么第五项是______。
答案：198. 一个等比数列的前两项为2, 8，那么第三项是______。
答案：329. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是______。
答案：510. 一个二次方程的系数为a = 1, b = -6, c = 9，那么这个方程的判别式是______。
答案：0三、解答题（每题10分，共60分）11. 解方程：3x^2 - 5x - 2 = 0。
答案：x = (5 ± √(5^2 - 4 * 3 * (-2))) / (2 * 3) = 2, 1/3 12. 计算数列的通项公式：数列的前三项为1, 4, 9，求第n项的公式。
答案：an = n^213. 已知一个等差数列的前三项为2, 5, 8，求这个数列的通项公式。
答案：an = 2 + 3(n - 1) = 3n - 114. 已知一个等比数列的前两项为3, 9，求这个数列的通项公式。
中数学竞赛试题及答案
中数学竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：已知\( a \), \( b \), \( c \) 是一个二次方程 \( ax^2 +bx + c = 0 \) 的根，且 \( a \), \( b \), \( c \) 均为正整数。
若 \( a + b + c = 14 \)，求所有可能的 \( a \), \( b \), \( c \) 的值。
答案：根据韦达定理，我们知道对于二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，\( a \), \( b \), \( c \) 之间的关系可以表示为 \( b = -(a + c) \)，\( ac = c \)。
由于 \( a + b + c = 14 \)，我们可以得到 \( a + c - (a + c) + c = 14 \)，即 \( 2c = 14 \)，所以\( c = 7 \)。
接下来，由于 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数，且\( a + b = 7 \)，我们可以找到所有可能的 \( a \) 和 \( b \) 的组合：\( (1, 6) \), \( (2, 5) \), \( (3, 4) \)。
因此，可能的\( a \), \( b \), \( c \) 的值分别为：\( (1, 6, 7) \), \( (2, 5, 7) \), \( (3, 4, 7) \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，AB 是斜边。
如果 AC = 5，BC = 12，求斜边 AB 的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
即 \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)。
将已知的值代入公式，我们得到\( AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)。
因此，\( AB =\sqrt{169} = 13 \)。
试题三：组合问题题目：有 5 个不同的球和 3 个不同的盒子，每个盒子至少放一个球。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
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初中数学竞赛题汇编
（代数部分1）
江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答
例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1
∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3
又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4
∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11
例2已知
解：设，则
u＋v＋w＝1……①……②
由②得即 uv＋vw＋wu＝0
将①两边平方得
u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1
即
例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…
+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0
例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①
将①两边同乘以100，得
…②
②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设
＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，
所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，
所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：
例7：化简（1）；（2）
（3）；（4）；
（5）；
（6）。
解：（1）方法1
方法2 设，两边平方得：
由此得
解之得或
所以。
（2）
（3）
（4）设，两边平方得：
由此得解之得
所以＝＋1＋
（5）设则所以
（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：
即x3－6x－40＝0
将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0
因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4
所以＝4
例8：
解：用构造方程的方法来解。
设原式为利用根号的层数是无限的特点，
有，两边平方得即
继续两边平方得x4－4x2＋4＝2＋x，即x4－4x2－x＋2＝0，
左边分解因式得(x＋1)(x－2)(x2＋x－1)＝0 求得x1＝－1，x2＝2，
x3＝。
因0＜x＜2，所以x＝－1、x＝2、x＝应舍去，
所以x＝即＝。
例9：设的整数部分为x，小数部分为y，试求
的值。
解：
而所以x＝2，y＝
因此
＝。
例10：已知x＋y＋z＝3a (a≠0，且x、y、z不全相等)，求
的值。
解：设x－a＝u，y－a＝v，z－a＝w，则
＝且有已知有u＋v＋w＝0，将u＋v＋w＝0两边
平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝0 由于x、y、z不全相等，
所以u、v、w不全为零，所以u2＋v2＋w2≠0，故
＝＝
例11：已知x＝求的值。
解：
所以x－4＝－(x－4)2＝3，x2－8x＋13＝0 ，
所以，原式分子x4－6x3－2x2＋18x＋23
＝(x4－8x3＋13x2)＋(2x3－16x2＋26x)＋(x2－8x＋13)＋10
＝x2(x2－8x＋13)＋2x(x2－8x＋13)＋(x2－8x＋13)＋10＝10，原式分母x2－8x＋15＝(x2－8x＋13)＋2＝2，
所以＝＝5 。
例12：已知＝＝
求的值
解：方法1 当a＋b＋c≠0时，据等比定理有
＝＝
＝＝1
由此得a＋b－c＝c，b＋c－a＝a，c＋a－b＝b
所以＝＝8。
当a＋b＋c＝0时，＝＝－1。
方法2 设＝＝＝k，则
a＋b＝(k＋1)c…①，b＋c＝(k＋1)a…②，c＋a＝(k＋1)b…③，
①＋②＋③得2(a＋b＋c)＝(k＋1) (a＋b＋c)，
即(a＋b＋c) (k－1)＝0，
故k＝1或a＋b＋c＝0，以下同上。
例13：计算…+
解：…+
＝+ + …+
＝( )+( )+( )+…
+ ( )
＝+ + +…+
＝＝。
例14：分解因式（1）x3－9x＋8；（2）(x2＋x＋1)(x2＋x＋2)－12；。
（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)；（4）x2+3xy+2y2+4x+5y+3。
解：（1）方法1：x3－9x＋8=x3－9x－1＋9=(x3－1)－9x＋9
=(x－1)(x2＋x＋1)－9(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)方法2：x3－9x＋8=x3－x－8x＋8=(x3－x)+(－8x＋8)
=x(x＋1)(x－1)－8(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)
方法3：x3－9x＋8=9x3－8x3－9x＋8=(9x3－9x)+(－8x3＋8) =9x(x＋1)(x－1)－8(x－1)(x2＋x＋1)
=(x－1)(x2＋x－8)
方法4：x3－9x＋8=x3－x2＋x2－9x＋8
=(x3－x2)＋(x2－9x＋8)=x2(x－1)＋(x－8)(x－1)
=(x－1)(x2＋x－8)
（2）设x2+x=y，则(x2+x+1)(x2+x+2)-12=(y+1)(y+2)-12
=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)
（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则
(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]
= (u2-v)2-4v(u2-2v) = u4-6u2v+9v2 = (u2-3v)2
=(x2+2xy+y2-3xy)2 = (x2-xy+y2)2
（4）方法1：设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)
=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有
解之得m=3，n=1．
所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
方法2：x2+3xy+2y2+4x+5y+3
x y 常数
1 1 1
1 2 3
即= (x+y+1) (x+2y+3) ．
例15：化简
解：因这个代数式的特性时轮换对称式，只要对其中的一项进行变形，然后再对其他项进行轮换即可。
所以
＝( －)＋( －)＋( －)＝0 。
例16：已知证明a2＋b2＋c2＝(a＋b－c)2。
证明（分析法）：因(a＋b－c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ca
所以要证a2＋b2＋c2＝(a＋b－c)2
只要证ab＝ac＋bc 只要证c(a＋b)＝ab
只要证（因为也为a、b、c都不为0）
即
最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．
例17：已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．证明：由已知可得 a4+b4+c4+d4-4abcd=0，
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，
所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．
因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，
所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，
所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．
又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，
所以a＝b，c=d．
所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，
所以a＝c．故a=b＝c=d成立．
例18：m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0
有两个不相等的正整数根．
解：首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．
用求根公式可得
由于x 1，x 2是正整数，
所以m-1=1，2，3，6； m+1=1，2，3，4，6，12， 解得m=2．这时x 1=6，x 2=4．
例19：己知 a+ ， a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1。
证明：由己知得：a-b= ， 所以 bc = ，
同理得 ca = ， ab = ， 所以 ab ·bc ·ca ＝ × × ＝1，即a 2b 2c 2=1。
例20：己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a 、b 、c 是常数），
求证：b 2－4ac=0
证明：设 ax 2+bx+c ＝(mx+n)2，m 、n 是常数，
则 ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2
根据恒等式的性质得
所以 b 2－4ac ＝(2mn)2－4m 2n 2=0
a c c
b b 111
+=+=bc c b b c -=-11b a c
b --c
b a
c --a c b
a --a c
b a --b a
c b --c b a c --。