初中数学竞赛题汇编代数部分
全国初中数学竞赛试题
全国初中数学竞赛试题【试题一】：代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长，且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证 \( a + b \geq c \)。
【试题二】：几何问题2. 给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。
在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \)，连接 \( OA \) 和 \( OB \)。
求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。
【试题三】：数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。
求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式，并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。
【试题四】：函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的最小值。
【试题五】：概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。
随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。
【试题六】：组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球，需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球。
求不同的放法有多少种。
【试题七】：逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中，有三个人分别说了以下的话：- 甲说：“乙是说谎者。
”- 乙说：“丙是说谎者。
”- 丙说：“甲和乙都是说谎者。
”如果三个人中只有一个人说谎，那么谁说的是真话？【试题八】：创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米，求这个正方体的表面积。
【试题九】：应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水，同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。
如果水池开始时是空的，求水池被填满的时间\( t \)。
【试题十】：综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，圆内接一个等边三角形。
初三代数竞赛试题及答案
初三代数竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 6x + 9 = 0的解？A. x = 3B. x = -3C. x = 1D. x = 6答案：A2. 计算表达式(a+b)(a-b)的结果是什么？A. a^2 - b^2B. a^2 + b^2C. 2abD. -a^2 + b^2答案：A3. 如果a和b是实数，且a^2 + b^2 = 0，那么a和b的值是什么？A. a = 0, b = 0B. a = 1, b = 1C. a = 0, b = 1D. a = 1, b = 0答案：A4. 已知x和y是正整数，且x + y = 10，x * y的最大值是多少？A. 30B. 36C. 40D. 45答案：B5. 计算下列哪个表达式的值等于1？B. (-1)^3C. (-1)^4D. (-1)^5答案：C6. 如果一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ = b^2 - 4ac小于0，那么这个方程有多少个实数解？A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个答案：A7. 计算下列哪个分数的值等于2？A. 1/(1/2)C. 1/(2/1)D. 2/(2/1)答案：B8. 已知x = 2是方程x^2 - 5x + 6 = 0的一个根，那么另一个根是什么？A. 2B. 3C. -3D. -2答案：B9. 计算下列哪个表达式的值等于-1？A. 1 - 2B. -1 + 2C. 1 + (-2)答案：D10. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是什么？A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：D二、填空题（每题4分，共40分）11. 计算表达式(2x + 3)(x - 1)的结果，并简化。
答案：2x^2 + x - 312. 已知a = 3，b = -2，计算a^2 - 2ab + b^2的值。
答案：1313. 如果一个数的立方等于8，那么这个数是什么？答案：214. 计算表达式(3/4) * (4/5)的结果。
初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
初中数学竞赛题汇编(代数部分2)
初中数学竞赛题汇编（代数部分2）江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答例1：已知a 2＋b 2＝6ab ，且a ＞b ＞0，求 。
解：由已知得 (a ＋b)2＝8ab ， (a －b)2＝4ab ，所以 ＝2，因a ＞b ＞0，所以a ＋b 、a －b 均为正数，故 ＝ 。
例2：计算 的值 。
解：因＝2， 所以 ＝ 。
例3：已知 ，求解：由已知得 2(a ＋b)2＝ab ，即 ＝－所以 ＝ ＝ 。
例4：已知 ， ，求 ＝？解：由 得 ，由 得 ，所以 ＝ ＋ ＝1。
例5：已知若abc =1，求证 。
分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。
可以充分利用abc=1，将它们化成同分母。
在1++a ab a 的分子、分母上同乘c ，化成1++=++c ca ca c ac abc ac ，将1++b bc b的分母1111=++++++++c ca c b bc b a ab a中的“1”换成abc 得cac abc b bc b ++=++11，然后再相加即可得证。
证明：∵ abc =1 ∴ = + = =1 。
例6：已知bc=ad ，求证：ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd证明：因bc=ad ，所以 由比例的性质得……① ……② ……③ ①×②×③得 ， 所以ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd∴ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd 。
例7：已知x=by+cz ，y=cz+ax ，z=ax+by ，且x+y+z ≠0，. 证明：1111=+++++cc b b a a 证明：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=(3) (2)(1) by ax z ax cz y cz by x (2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax ，所以xz y x a x x z y a 21 2++=+-+=则 所以 z y x x z y a a ++-+=+1 同理可得，z y x y z x b b ++-+=+1，z y x z y x c c ++-+=+1 所以 1111=++++=+++++zy x z y x c c b b a a 例8：已知x 、y 、z 满足关系式1=+++++y x z x z y z y x ， 证明：0222=+++++yx z x z y z y x 证明：将已知等式分别乘以x 、y 、z 得111++++++++c ca c b bc b a ab a 1++c ca ca 1+++c ca c ca c ++1111++++c ca cca ()()()()b d ad c d c d b c b a b a 22-+=-+x yx xz x z xy z y x =+++++2 ① y yx yz x z y z y xy =+++++2 ② z yx z x z yz z y xz =+++++2③ ①+②+③ 得zy x y x yz y x xz x z yz x z xy z y xz z y xy y x z x z y z y x ++=+++++++++++++++++)()()(222所以z y x z y x yx z x z y z y x ++=++++++++222 即：0222=+++++yx z x z y z y x 例9：试用关于（x-1）的各次幂表示多项式322435x x x -+-。
全国各地初中数学竞赛专题大全《代数式 》真题强化训练(附解析)
全国九年级数学竞赛《代数式》专题大全（竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）3535+- ）． A 10B 2C 5D ．22．（2021·全国·九年级竞赛）已知12,12m n ==22(714)(367)8m m a n n -+⋅--=，则a 的值等于（ ）． A ．5-B ．5C ．9-D ．93．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 的平均数是M ，a ，b 的平均数是N ，N 与c 的平均数是P ．若a b c >>，则M 与P 的大小关系是（ ）． A ．M P =B ．M P >C ．M P <D ．不能确定4．（2021·全国·九年级竞赛）设644686681088101009898100S =+++++S =（ ）A ．15B 52C 72D 72-二、填空题5．（2021·全国·九年级竞赛）计算2222004200312004200220042004+=+______．6．（2021·全国·九年级竞赛）计算321.3450.345 2.69 1.345 1.3450.345⨯⨯--⨯=____．7．（2021·全国·九年级竞赛）实数,x y 满足21,2540x y x xy x y ≥≥--++=，则x y +=_______． 8．（2021·全国·九年级竞赛）已知32323232x y -+=+-，那么22y x x y +=_______．9．（2021·全国·九年级竞赛）92939899929398a a aa a a a a a aa a+=++++__，其中0a >．10．（2021·全国·九年级竞赛）若实数,,x y z 满足371,4102005x y z x y z ++=++=，则分式3200420042004x yx y z+++值为__________．11．（2021·全国·九年级竞赛）已知3131a -=+4325654a a a a -+-+=________． 12．（2021·全国·九年级竞赛）计算1111068178288961028++++=⨯+⨯+⨯+⨯+___________．13．（2021·全国·九年级竞赛） 1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_______．三、解答题14．（2021·全国·九年级竞赛）某同学计算2222244()244x x x x x x x --+÷+--其中“2006x =，时把“2006x =错抄成“2006x ，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么?15．（2021·全国·九年级竞赛）计算3331999100099919991000999--⨯⨯．16．（2021·全国·九年级竞赛）已知1111111112581120411101640+++++++=，求111111112581120411101640---+--++的值． 17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：22223273x xy y xz yz z ---+-． 18．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2222()(3)2a b x c a b x c -++-． 19．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：33(1)(3)4(35)x x x +++-+． 20．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：42199619951996x x x +++． 21．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：4224x x y y ++．22．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222()()x x a a x a x a ++++． 23．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2()4()()c a b c a b ----． 24．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3223x x xy y y ----．25．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2222x yz axyz yz xy xz az ++---． 26．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：54323331x x x x x -+---+．27．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()22223()(2)6()(2)3()2x y a b m n xy a b m n xy a b m n ++-++++⋅+．28．（2021·全国·九年级竞赛）比较两数20082009491491A +=+与20092010491491B +=+的大小29．（2021·全国·九年级竞赛）若,,a b c 为整数且99991a bc a-+-=，求c a a b b c -+-+-的值．30．（2021·全国·九年级竞赛）若0a b c abc ++=≠，计算222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)b c c a a b bc ca ab ------++的值． 31．（2021·全国·九年级竞赛）已知有理数,,a b c 均不为0，且0a b c ++=，设a b c x b cc aa b=+++++，试求代数式19992000x x -+的值． 32．（2021·全国·九年级竞赛）计算：199719992001(19971999)(19972001)(19992001)(19991997)(20011997)(20011999)------．33．（2021·全国·九年级竞赛）计算：999998998999998999999998⨯-⨯． 34．（2021·全国·九年级竞赛）若56789012345678901235,67890123456789012347A B ==，试比较A 与B 的大小．35．（2021·全国·九年级竞赛）计算444444444411111135989944444111112469910044444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 36．（2021·全国·九年级竞赛）计算下列分式的值：(252)(472)(692)(8112)(199419972)(142)(362)(582)(7102)(199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+．37．（2021·全国·九年级竞赛）已知代数式31519972ax by ++=，当2x =时，4y =-；当14,2x y =-=-时，求代数式33244986ax by -+的值． 38．（2021·全国·九年级竞赛）计算： （1）2222123n +++⋯+； （2）3333123n +++⋯+．39．（2021·全国·九年级竞赛）计算： （1）()1223341n n ⨯+⨯+⨯+⋯++；（2）()123234345()12n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋯+++． 40．（2021·全国·九年级竞赛）如果2|2|(2)0a ab -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(2006)(2006)ab a b a b a b ++++++++++的值．41．（2021·全国·九年级竞赛）计算22222222123991100500022005000330050009999005000++++=-+-+-+-+_________．42．（2021·全国·九年级竞赛）若21321n n a a a a a a d --=-==-=，则称12,,,n a a a …是等差数列，d 叫的公差．证明：（1）()11n a a n d +-=；① （2）1121()1(1)22n n n a a a a a na n n d ++++==+-．② 43．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：32222()()()3a b c a a c b a b c abc +-+-++-． 44．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：32()2772f x x x x =-+-． 45．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2231032x xy y x y --++-．46．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内分解因式：()()()()11359x x x x -+++-． 47．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222444222a b b c c a a b c ++---．48．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：22242(1)2(1)(1)y x y x y +-++-．49．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()()()()23222336x y x y y x y x x y -++---+． 50．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：4444444()()()()a b c a b b c c a a b c ++-+-+-++++．竞赛专题2 代数式解析一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）3535+- ）． A 10B 2C 5D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解法一 设3535x =+-2(35)2(35)(35)(35)6222x =-+-=-⨯=．解法二 原式62562522+-=222(5)251(5)25122++-+=22(51)(51)22+-=5151222+-=故选：B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）已知12,12m n ==22(714)(367)8m m a n n -+⋅--=，则a 的值等于（ ）． A ．5- B ．5C ．9-D ．9【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：()2212,21m m m -=∴-=．又22(1)2,21n n n -=-=，所以()()7378a +-=，即9a =-．故选：C ．3．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 的平均数是M ，a ，b 的平均数是N ，N 与c 的平均数是P ．若a b c >>，则M 与P 的大小关系是（ ）． A ．M P = B ．M P >C ．M P <D ．不能确定【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解 依题意2,,3224a b c a b N c a b c M N P ++++++====，2()()1212a b c a c b c M P +--+--==． 因a b c >>，故0M P ->，即M P >．故应选B 4．（2021·全国·九年级竞赛）设644686681088101009898100S =+++++S =（ ）A ．15B 52C 72D 72-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 (2)2n n n n +++(2)(2)n n n n +++22(2)n nn n+-=+1(),4,6,8,,10022n n n ==⋯+， 所以112466881098100S ⎡⎤⎛=++++⎢⎥ ⎝⎣⎦124100=1111()22105=-=． 故选：A ． 二、填空题5．（2021·全国·九年级竞赛）计算2222004200312004200220042004+=+______． 【答案】12 【解析】 【分析】 【详解】解：令20042003a =，则原式22222111(1)(1)2(1)2a a a a a ++===-+++．故答案为：12．6．（2021·全国·九年级竞赛）计算321.3450.345 2.69 1.345 1.3450.345⨯⨯--⨯=____． 【答案】 1.345- 【解析】 【分析】 【详解】解：令 1.345,0.345a b ==，则1a b -=．于是，原式32222(2)a b a a ab a a ab b =⨯⨯--=--+ 2() 1.345a a b a =--=-=-．故答案为： 1.345-．7．（2021·全国·九年级竞赛）实数,x y 满足21,2540x y x xy x y ≥≥--++=，则x y +=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】解：因1x y ≥≥，由题意得222254(1)(1)440(2)0x x y x x x x x x -+=-≤-⇒-+≤⇒-≤．又2(2)0x -≥，从而2x =．代入2254(1)x x y x -+=-得2y =，所以4x y +=． 故答案为：4．8．（2021·全国·九年级竞赛）已知32323232x y -+=+-，那么22y x x y +=_______．【答案】970 【解析】【详解】解：因为221,(32)(32)10xy x y =+=+=，所以 332222y x y x x y x y ++= 222()()()x y x xy y xy +-+=22()()3()x y x y xy xy ⎡⎤++-⎣⎦=221010311⎡⎤-⨯⎣⎦=970=．故答案为：970．9．（2021·全国·九年级竞赛）92939899929398a a aa a a a a a aa a+=++++__，其中0a >．【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】 解：令18a x 则原式24616294969169x x x x x x x x x x x x =++++++++ 357753357111111111111x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++++ 753775533111111111111x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11114=+++=．故答案为：4．10．（2021·全国·九年级竞赛）若实数,,x y z 满足371,4102005x y z x y z ++=++=，则分式3200420042004x yx y z +++值为__________．【答案】14007- 【解析】 【分析】解：由题意得方程组2(3)()1,3(3)()2005,x y x y z x y x y z ++++=⎧⎨++++=⎩解出32004,4007,x y x y z +=⎧⎨++=-⎩所以3312004200420042004()4007x y x y x y z x y z ++==-++++．故答案为：14007-． 11．（2021·全国·九年级竞赛）已知3131a -=+4325654a a a a -+-+=________． 【答案】3 【解析】 【分析】 【详解】解：因231(31)2331a --===+22(2)(3)a -=，即2410a a -+=，于是，应用带余除法得432225654(41)(1)33a a a a a a a a -+-+=-+-++=．故答案为：3．12．（2021·全国·九年级竞赛）计算1111068178288961028++++=⨯+⨯+⨯+⨯+___________．【答案】805119800【解析】 【分析】 【详解】 解:因为[]2(4)(2)1111(6)868(2)(4)2(2)(4)a a a a a a a a a a +-+===⋅=++++++++111()(0,1,2,,96)224a a a -=++，所以原式111111111111111()()()()()2242352462969829799=-+-+-++-+-11111111149328051()()()2981002239910021009919800+-=+--=+=． 故答案为：805119800． 13．（2021·全国·九年级竞赛） 1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_______．【答案】9110【解析】【详解】 解:原式111111111(1)(3)(3)(5)(5)(7)(7)(9)(9)2612203042567290=+--++--++--++--++11111111112612203042567290=+++++++++11111111111223344556677889910=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111111111111(1)()()()()()()()()223344556677889910=+-+-+-+-+-+-+-+-+-191111010=+-=． 故答案为：9110． 三、解答题14．（2021·全国·九年级竞赛）某同学计算2222244()244x x x x x x x --+÷+--其中“2006x =，时把“2006x =错抄成“2006x ，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么? 【答案】见解析． 【解析】 【分析】 【详解】解：令2,2a x b x =+=-，则2222,4,44a b x x ab x x b +=-=-=-，于是 原式222224()441()()()b b a b ab a ab ab ab a b a b x -+=+÷=⨯==++．故把“2006x =错写成“2006x =了，计算结果仍然是正确的．15．（2021·全国·九年级竞赛）计算3331999100099919991000999--⨯⨯．【答案】3． 【解析】 【分析】 【详解】解：设1999,1000a b ==，则原式222333()()()()33()()a b a ab b a b a b a b ab ab a b ab a b ab⎡⎤-++-----⎣⎦====--．16．（2021·全国·九年级竞赛）已知1111111112581120411101640+++++++=，求111111112581120411101640---+--++的值． 【答案】131164-． 【解析】 【分析】 【详解】解：记111111112581120411101640a =---+--++，则11111111111111111()()25811204111016402581120411101640a +=---+--++++++++++222221111101640110820=++=+ 211653310820820164=+==， 331311164164a ∴=-=-． 故所求原式的值为131164-． 17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：22223273x xy y xz yz z ---+-． 【答案】()()232x y z x y z +--+ 【解析】 【分析】 【详解】解 因为所以，原式()()232x y z x y z =+--+．18．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2222()(3)2a b x c a b x c -++-．【答案】[]2222()(3)2()2[()]a b x c a b x c a b x c a b x c -++-=-++-【解析】 【分析】 【详解】解 因为()2a b c-()()2()()(3)a b ca b c c a b c a b +-+⋅+-⋅-=+所以[]2222()(3)2()2[()]a b x c a b x c a b x c a b x c -++-=-++-．19．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：33(1)(3)4(35)x x x +++-+． 【答案】22(4)(1)x x ++ 【解析】 【分析】 【详解】 解 令(1)(3)22x x y x +++==+，则原式[]33(1)(1)43(2)5y y y =-++--+3264(31)y y y =+-- 32(32)y y =-+332[(2)3(2)]y y =+-+22[(2)(24)3(2)]y y y y =+-+-+ 22(2)(21)y y y =+-+ 22(2)(1)y y =+- 22(4)(1)x x =++．20．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：42199619951996x x x +++． 【答案】22(1)(1996)x x x x ++-+ 【解析】 【分析】 【详解】解 设1996a =，则19951a =-，于是 原式4242(1)(1)x ax a x a x x a x x =++-+=-+++ 22(1)(1)(1)x x x x a x x =-+++++2(1)[(1)]x x x x a =++-+22(1)(1996)x x x x =++-+．21．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：4224x x y y ++． 【答案】2222()()x xy y x xy y ++-+ 【解析】 【分析】 【详解】解 为了能使用公式2222()aab b a b ++=+，我们将中间项22x y 拆成22222x y x y -，于是原式22222222()2()x x y y x y =++- 2222()()x y xy =+-2222()()x xy y x xy y =++-+．22．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222()()x x a a x a x a ++++． 【答案】222()x ax a ++ 【解析】 【分析】 【详解】解法一 原式222222[()()]x x a a x a a x =++++ 22222()()x a x a a x ++=+ 222222()(2)x a x ax a a x =++++ 222222()2()()x a ax x a ax =++++ 222()x a ax =++ 222()x ax a =++．解法二 原式22222[()]()x x a a a x a =++++ 22222(22)()x x ax a a x a =++++ 2222()2()[()]x x a x a a x a =++++⋅ 22[()]x a x a =++ 222()x ax a =++．23．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2()4()()c a b c a b ----． 【答案】2(2)a c b +- 【解析】 【分析】 【详解】解法一 原式222(2)4()c ca a ab b ac bc =-+---+ 222(2)(44)4c ca a ab bc b =++-++ 22()4()(2)a c b a c b =+-++ 2(2)a c b =+-．解法二 原式2[()()]4()()c b a b c b a b =---+-- 22()2()()()4()()c b c b a b a b c b a b =----+-+--22()2()()()c b c b a b a b =-+--+- 2[()()]c b a b =-+- 2(2)a c b =+-．24．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3223x x xy y y ----． 【答案】22()(1)x xy y x y ++-- 【解析】 【分析】 【详解】解原式3322()()x y x xy y =--++ 2222()()()x y x xy y x xy y =-++-++ 22()(1)x xy y x y =++--．25．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2222x yz axyz yz xy xz az ++---． 【答案】()()xy z ax xz y -+- 【解析】 【分析】 【详解】解法一 原式2222()()()axyz az x yz xz yz xy =-+-+-()()()az xy z xz xy z y xy z =-+---()()xy z ax xz y =-+-．解法二 原式2222()()x yz axyz xy yz xz az =+-+--()()xy xz az y z xz az y =+--+- ()()xy z xz az y =-+-．26．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：54323331x x x x x -+---+． 【答案】42(31)(1)x x x -+-【解析】 【分析】 【详解】解法一 原式5432(3)(3)(31)x x x x x =-+--- 4(31)(31)(31)x x x x x =-+---- 42(31)(1)x x x =-+-．解法二 原式5342(333)(1)x x x x x =+-+--+ 42423(1)(1)x x x x x =+--+- 42(31)(1)x x x =-+-．27．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()22223()(2)6()(2)3()2x y a b m n xy a b m n xy a b m n ++-++++⋅+．【答案】()()()32421xy a b m n ax bx my ny +++--+ 【解析】 【分析】 【详解】解 原式()()()()32221xy a b m n x a b y m n =+++-++⎡⎤⎣⎦()()()32421xy a b m n ax bx my ny =+++--+．28．（2021·全国·九年级竞赛）比较两数20082009491491A +=+与20092010491491B +=+的大小【答案】A B > 【解析】 【分析】 【详解】解 设200849n =，则2009201024949,4949n n ==，于是()2222224949111491(1)(491)491491(491)49981n n A n n n n B n n n n n +++++++=÷==>1+++++， 所以A B >．29．（2021·全国·九年级竞赛）若,,a b c 为整数且99991a b c a-+-=，求c a a b b c -+-+-的值．【答案】2，见解析． 【解析】 【分析】 【详解】解：因,,a b c 均为整数，故,a b c a --均为非负整数，由99991a b c a-+-=，只能得0,1a b c a -=-=或者1,0a b c a -=-=．当0,1a b c a -=-=时，,1a b b c a c =-=-=，这时1012c a a b b c -+-+-=++=． 当1,0a b c a -=-=时，,1c a b c b a =-=-=，这时0112c a a b b c -+-+-=++=． 故总有2c a a b b c -+-+-=．30．（2021·全国·九年级竞赛）若0a b c abc ++=≠，计算222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)b c c a a b bc ca ab ------++的值． 【答案】4． 【解析】 【分析】 【详解】 解：原式111b c c a a bbc ca ab bc c b ca a c ab b a=--++--++--+ 11()()()c b c c a a b ab bc ca bc ca ab a b c+++=++-+++++． 由0a b c abc ++=≠得1111,1,1,1b c c a a bbc ca ab bc ca ab a b c+++++==-=-=-， 代入上式得原式()()()()11114bc ca ab ab bc ca ⎡⎤⎣=--+-+-+++=⎦．31．（2021·全国·九年级竞赛）已知有理数,,a b c 均不为0，且0a b c ++=，设a b c x b cc aa b=+++++，试求代数式19992000x x -+的值． 【答案】1902． 【解析】 【分析】 【详解】解：因,,a b c 均不为0，且0a b c ++=，故,,a b c 中或两正一负，或两负一正，且,,a b c b c a c a b +=-+=-+=-，所以1a b c x abc=++=---．于是1999200019920001902x x -+=-+=． 32．（2021·全国·九年级竞赛）计算：199719992001(19971999)(19972001)(19992001)(19991997)(20011997)(20011999)------．【答案】0．【分析】 【详解】解：令1997,1999,2001a b c === 原式()()()()()()a b ca b a c b c b a c a c b =++------()()()()()()a b c b a c c a b a b a c b c ---+-=---0()()()ab ac ab bc ac bca b a c b c --++-==---．33．（2021·全国·九年级竞赛）计算：999998998999998999999998⨯-⨯． 【答案】1997 【解析】 【分析】 【详解】解：设999,998a b ==，则1997,1a b a b +=-=，于是原式()()636310101010a b b a b a a b =⨯+⨯+-⨯+⨯+22a b =-()()199711997a b a b =+-=⨯=．34．（2021·全国·九年级竞赛）若56789012345678901235,67890123456789012347A B ==，试比较A 与B 的大小．【答案】A B >，见解析． 【解析】 【分析】 【详解】解：设5678901234,6789012345x y ==，则1(2)(1)202(2)(2)x x x y y x x yA B y y y y y y ++-+--=-==>+++． 所以A B >．35．（2021·全国·九年级竞赛）计算444444444411111135989944444111112469910044444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 【答案】120201【解析】 【分析】解：注意到4422222111()()442a a a a a a +=++-=+- 221111()()(1)[(1)]2222a a a a a a a a ⎡⎤=-+++=-+++⎢⎥⎣⎦，于是原式111111011223349899991002222221111111223344599100100101222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 101121202011001012⨯+==⨯+． 36．（2021·全国·九年级竞赛）计算下列分式的值：(252)(472)(692)(8112)(199419972)(142)(362)(582)(7102)(199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+．【答案】998． 【解析】 【分析】 【详解】解：注意到()()()3212a a a a ++=++，所以 原式(34)(56)(78)(910)(1112)(19951996)199699811)(19941995)2⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯．37．（2021·全国·九年级竞赛）已知代数式31519972ax by ++=，当2x =时，4y =-；当14,2x y =-=-时，求代数式33244986ax by -+的值． 【答案】1998． 【解析】 【分析】 【详解】解：当2x =时，4y =-，代入31519972ax by ++=，得821992a b -=，即4996a b -=．所以当14,2x y =-=-时，有3324498612349863(4)4986399649861998ax by a b a b -+=-++=--+=-⨯+=．故所求代数式的值为1998． 38．（2021·全国·九年级竞赛）计算：（1）2222123n +++⋯+； （2）3333123n +++⋯+．【答案】（1）1(1)(21)6n n n ++；（2）2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】 【详解】解:（1）因为2[(1)1](1)(1,2,),k k k k k k k n =+-=+-=⋯，于是由公式⑦和③得2222123n +++⋯+()()()()1212323431n n n =⨯-+⨯-+⨯-+⋯++-⎡⎤⎣⎦ ()()1223341123n n n ⎡⎤⎣⎦=⨯+⨯+⨯+⋯++-+++⋯+ 11(1)(2)(1)32n n n n n =++-+ []1(1)2(2)36n n n =++- 1(1)(21)6n n n =++， 故22221123(1)(21)6n n n n ++++=++． ⑧（2）因为3[(1)(2)32]k k k k k =++-- ()()()12311k k k k =++-++⎡⎤⎣⎦()()()1231k k k k k k =++-++，于是由公式③和⑦得 3333123n +++⋯+()()()123312123432323453343=⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯++⋯()()()1231n n n n n n +++-++⎡⎤⎣⎦[123234345(1)(2)]3[122334(1)](123)n n n n n n =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++++-⨯+⨯+⨯++++++++111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)432n n n n n n n n n =+++-⨯++++ []1(1)(2)(3)4(2)24n n n n n =+++-++ 2221(1)(1)42n n n n +⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦， 或因32[(1)(2)32](1)(2)32k k k k k k k k k k =++--=++--， 于是由公式⑦，⑧和③得 33312n +++()()22212331212343222[(1)(2)22]n n n n n =⨯⨯-⨯-⨯+⨯⨯-⨯-⨯++++-- ()222[123234(1)(2)]3122(12)n n n n n =⨯⨯+⨯⨯++++-+++-+++111(1)(2)(3)3(1)(21)2(1)462n n n n n n n n n =+++-⨯++-⨯+ [](1)(2)(3)2(21)44n n n n n +=⨯++-+- 222(1)(1)42n n n n ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦， 故23333(1)1232n n n +⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦． ⑨ 39．（2021·全国·九年级竞赛）计算： （1）()1223341n n ⨯+⨯+⨯+⋯++；（2）()123234345()12n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋯+++．【答案】（1）1(2)(1)3n n n ++；（2）1(3)(2)(1)4n n n n +++．【解析】 【分析】 【详解】解:（1）因为11(1)[(2)(1)](1)[(1)(2)(1)(1)](1,2,,)33k k k k k k k k k k k k k n +=+--+=++--+=，所以()1223341n n ⨯+⨯+⨯+⋯++[]1111(321210)(432321)(543432)(2)(1)(1)(1)3333n n n n n n =⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++++-+-1(2)(1)3n n n =++． （2）因为()()12k k k ++[]1(3)(1)(1)(2)4k k k k k =+--++ 1[(3)(2)(1)(2)(1)(1)](1,2,,)4k k k k k k k k k n =+++-++-=…， 所以 ()()12323434512n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋯+++ 111(43213210)(54324321)(65435432)444=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+[]1(3)(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n n ++++-++-1(3)(2)(1)4n n n n =+++． 注：用类似方法可以证明： 123(1)234(1)345(1)k k k k k ⨯⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯+⨯1(2)(1)(2)(1)()(1)211k n n n n k n k n k k ++++++-=⋅+⨯+-⨯⨯⨯+．⑦40．（2021·全国·九年级竞赛）如果2|2|(2)0a ab -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(2006)(2006)ab a b a b a b ++++++++++的值．【答案】20072008【解析】 【分析】 【详解】解: 由()220,20a ab ≥-≥-，且2|2|(2)0a ab -+-=，得2|2|(2)0a ab -=-=，解得2,1a b ==． 又1(2)(1)11((1,2,,2006)()()(2)(1)12k k k k k b k k k k k +-+==-=++++++，所以原式1111111112007()()()()11223342007200820082008=-+-+-++-=-=． 41．（2021·全国·九年级竞赛）计算22222222123991100500022005000330050009999005000++++=-+-+-+-+_________． 【答案】99 【解析】 【分析】 【详解】解：因为2222(100)1005000(100)100(100)5000k k k k k k -+-+---+ 2222222222(100)2100100(100)(100)2100(100)100k k k k k k k k -=+⎡⎤⎡⎤+-⨯+-+--⨯-+⎣⎦⎣⎦ []22222222(100)2(100)(100)(100)100k k k k k k -=+=+--+--． （*） 记22222222129899110050002200500098980050009999005000S =++++-+-+-+-+， 则将S 中求和顺序反过来写有22222222999821999900500098980050002200500011005000S =++++-+-+-+-+，将两式对应项相加，并利用等式（*）得22222221992982110050009999005000220050009898005000S ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪-+-+-+-+⎝⎭⎝⎭22222222982991299989800500022005000999900500011005000⎛⎫⎛⎫+++=⨯ ⎪ ⎪-+-+-+-+⎝⎭⎝⎭， 所以99S =．故答案为：9942．（2021·全国·九年级竞赛）若21321n n a a a a a a d --=-==-=，则称12,,,n a a a …是等差数列，d 叫的公差．证明：（1）()11n a a n d +-=；①（2）1121()1(1)22n n n a a a a a na n n d ++++==+-．② 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】【详解】证明：（1）()()()112132111(1)n n n n a a a a a a a a a d d d a n d --=+-+-++-=++++=+-个．（2）因为111(1),()k n k a a k d a a n k d +-=+-=+-，故1111(1)()2(1)(1,2,3,,)k n k a a a k d a n k d a n d k n +-+=+-++-=+-=．令121n n n S a a a a -=++++，又将和式中顺序反过来写有121n n n S a a a a -=++++．两式对应项相加，并利用121321n n n n a a a a a a a a --+=+=+==+得()()()()()12132112n n n n n n S a a a a a a a a n a a --=++++++++=+， 所以[]1111()11(1)(1)222n n n a a S n a a n d na n n d +==++-=+-． 注：在②中令k a k =或()211,2,,k a k k n =-=⋯，我们分别得到(1)1232n n n +++++=③ 2135(21)n n ++++-=④公式②、③、④在许多求和问题中要用到，应当记住这些公式．43．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：32222()()()3a b c a a c b a b c abc +-+-++-．【答案】()()()a b a c a b c +-+-【解析】【分析】【详解】解 将题中多项式看成a 的多项式，记为()f a ，并按a 的降幂整理为：322222()2()(3)f a a b c a b bc c a b c bc =+-+-+-+．因为322222()2()(3)0f b b b c b b bc c b b c bc -=-+---+-+=，故()f a 有因式a b +．由综合除法： 2222222212()32120b c b bc c b c bc b bb bc b c bc b c bc c --+-+---+---+ 所以2()()(2)()()()()f a a b a b c a c b c a b a c a b c ⎡⎤=++---=+-+-⎣⎦．1c -1()2b cc b c b c--+-=-44．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：32()2772f x x x x =-+-．【答案】(1)(21)(2)x x x ---【解析】【分析】【详解】解 若()0q f p =，则()f x 有因式q x p-，且p 只可能为3x 系数2的因数：1,2,q ±±只能是常数项2-的因数：1,2±±，故q p 只可能为11,2,2±±±．又()127720f =-+-=，于是1是()f x 的一个根，从而1x -是()f x 的一个因式．由综合除法：277212522520---- 故2()(1)(252)(1)(21)(2)f x x x x x x x =--+=---．21-121(1)(2)25-⨯-+-⨯=-45．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2231032x xy y x y --++-．【答案】()()5221x y x y --+-【解析】【分析】【详解】解 先用十字相乘法对22310x xy y --分解因式：因为（Ⅰ）15-1(5)23121⨯-+⨯=-所以22310(5)(2)x xy y x y x y --=-+，于是原式()()5232x y x y x y =-+-++．又因为（Ⅱ）52x y --21(2)(2)(1)(5)3x y x y x y x y +--++--=-+（上式中x 与y 不能省略．）所以，原式()()5221x y x y =--+-．注：（1）例20中我们连续两次用了十字相乘法，故这种分解二元二次多项式的因式的方法又叫做双十字相乘法．（2）例20中若令0x =（或0y =），可得2102(52)(21)y y y y -++=---[或232(2)(1)x x x x -+=--]．此式可用十字相乘法求出：（Ⅲ）52--222(2)(1)(5)1-⨯-+-⨯-=()12111(2)1(1)3⎛ - - ⨯-+⨯-=-⎝或Ⅲ＇故也可由（Ⅰ）、（Ⅲ）（或（Ⅰ）、（Ⅲ′））得出原式的因式分解，且（Ⅰ）、（Ⅲ）[或（Ⅰ）、（Ⅲ′）]可合并写成一个算式：46．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内分解因式：()()()()11359x x x x -+++-． 【答案】2(2)(210)(210)x x x +++【解析】【分析】【详解】解 原式()()()()15139x x x x =-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣-⎦22(45)(43)9x x x x =+-++-． 设222(45)(43)412x x x x y x x +-+++==+-，则 原式()()449y y =-+-2216925y y =--=-()()55y y =+-22(44)(46)x x x x =+++-22(2)(2)10x x ⎡⎤=++-⎣⎦2(2)(210)(210)x x x =+++．47．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222444222a b b c c a a b c ++---．【答案】()()()()a b c b c a c a b a b c +++-+-+-【解析】【分析】【详解】解法一 以a 为主元降幂排列，再配方得：原式422244222()(2)a b c a b c b c -++-+=-4222222222222[2()()]()()a b c a b c b c b c =--+++++--222222222222[()][()()][()()]a b c b c b c b c b c =--++++-+--22222(2)()bc a b c =---222222[2()][2()]bc a b c bc a b c =---+--2222[()][()]b c a a b c =+---()()()()b c a b c a c a b a b c =+++-+-+-．解法二 原式42244222(2)2()a a b b c a b c =--+-++222222222222[()2()]2()2()a b a b c c a b c a b c '=--+-++-++222222()4a b c a c =--++222222(2)(2)ac a b c ac a b c =+-+-+-2222[()][()]a c b b a c =+---()()()()a c b a c b b a c b c a =+++-+-+-．解法三 注意到下列公式：2222444222222()222a b c a b c a b a c b c +-=+++--，为了完成整个式子的直接配方，应将222a b 拆成222242a b a b -．原式224442222224(222)a b a b c a b a c b c =-+++--22222(2)()ab a b c =-+-22222(2)(2)ab a b c ab a b c =++---+2222[()][()]a b c c a b =+---()()()()a b c a b c c a b c a b =++-+--+＋()()()()a b c b c a c a b a b c =+++-+-+-．48．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：22242(1)2(1)(1)y x y x y +-++-．【答案】()()()()1111x x xy x y xy x y +--++---【解析】【分析】【详解】解法一 添加22(1)(1)y x y +-，再减去同一项得：原式2242222[(1)2(1)(1)(1)]2(1)(1)2(1)y y x y x y y x y x y =+++-+--+--+22222[(1)(1)]2[(1)(1)]y x y x y y =++---++2222(1)(2)x x y y x =-++-2222(12)(12)x x y y x x x y y x =-+++-++-2222[(1)(1)][(1)(1)]x y x x y x =+-----()()()()()111111x x y x x x y x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦=++-----+⎣⎦()()()()1111x x x y xy x y xy =+-++--+--()()()()1111x x x y xy x y xy =+-++--++．解法二 以y 为主元降幂排列．原式422442(21)2(1)(21)x x y x y x x =-+--+-+222222(1)2(1)(1)(1)x y x x y x =---++-22222(1)[(1)2(1)1]x x y x y x =---++-222(1)(1)[(21)(21)]x x x y y y y =+--+-++222(1)(1)[(1)(1)]x x x y y =+---+()()()()()111111x x x y y x y y ⎡=+--++--⎤⎦+⎡⎤⎣⎣⎦ ()()()()1111x x xy x y xy x y =+--++---．49．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()()()()23222336x y x y y x y x x y -++---+．【答案】()()3221x y x --【解析】【分析】【详解】解 因为()()22,3632y x x y x y x y -=---+=--，所以原式()()()()()23222332x y x y x y y x x y =-+-----()()()232233x y x y y x =-+---⎡⎤⎣⎦()()263x y x =--()()3221x y x =--．50．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：4444444()()()()a b c a b b c c a a b c ++-+-+-++++．【答案】4444444()()()()12()a b c a b b c c a a b c abc a b c ++-+-+-++++=++【解析】【分析】【详解】解 设4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++．因为444444(0,,)0()()0f b c b c b b c c b c =++--+-++=，所以(),,f a b c 有因式a ． 由(),,f a b c 是,,a b c 的四次对称多项式知(),,f a b c 有因式abc ，而(),,f a b c 与abc 分别是四次、三次对称多项式，所以(),,f a b c 还含有,,a b c 的一个一次对称多项式()k a b c ++，即4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++()kabc a b c =++．令1a b c ===，得444444*********k ++---+=，k=，故所以124444444++-+-+-++++=++．a b c a b b c c a a b c abc a b c()()()()12()。
初中数学竞赛题汇编(代数部分2)
初中数学竞赛题汇编（代数部分2）江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答例1：已知a 2＋b 2＝6ab ，且a ＞b ＞0，求 。
解：由已知得 (a ＋b)2＝8ab ， (a －b)2＝4ab ， 所以 ＝2，因a ＞b ＞0，所以a ＋b 、a －b 均为正数， 故 ＝ 。
例2：计算 的值 。
解：因 ＝2， 所以 ＝ 。
例3：已知 ，求 解：由已知得 2(a ＋b)2＝ab ，即 ＝－ 所以 ＝ ＝ 。
例4：已知 ， ，求 ＝？ 解：由 得 ，由 得 ， 所以 ＝ ＋ ＝1。
例5：已知若abc =1，求证 。
分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。
可以充分利用abc=1，将它们化成同分母。
在1++a ab a 的分子、分母上同乘c ，化成1++=++c ca ca c ac abc ac ，将1++b bc b 的分母1111=++++++++c ca c b bc b a ab a中的“1”换成abc 得ca c abc b bc b ++=++11，然后再相加即可得证。
证明：∵ abc =1 ∴ = + = =1 。
例6：已知bc=ad ，求证：ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd证明：因bc=ad ，所以 由比例的性质得……① ……② ……③ ①×②×③得 ， 所以ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd∴ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd 。
例7：已知x=by+cz ，y=cz+ax ，z=ax+by ，且x+y+z ≠0，.证明：1111=+++++cc b b a a 证明：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=(3) (2)(1) by ax z ax cz y cz by x (2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax ，所以xz y x a x x z y a 21 2++=+-+=则 所以 z y x x z y a a ++-+=+1 同理可得，z y x y z x b b ++-+=+1，z y x z y x c c ++-+=+1 所以 1111=++++=+++++zy x z y x c c b b a a 例8：已知x 、y 、z 满足关系式1=+++++y x z x z y z y x ， 证明：0222=+++++yx z x z y z y x 证明：将已知等式分别乘以x 、y 、z 得111++++++++c ca c b bc b a ab a 1++c ca ca 1+++c ca c ca c ++1111++++c ca c ca ()()()()b d ad c d c d b c b a b a 22-+=-+x y x xz x z xy z y x =+++++2 ① y yx yz x z y z y xy =+++++2 ② z yx z x z yz z y xz =+++++2③ ①+②+③ 得zy x y x yz y x xz x z yz x z xy z y xz z y xy y x z x z y z y x ++=+++++++++++++++++)()()(222所以z y x z y x yx z x z y z y x ++=++++++++222 即：0222=+++++yx z x z y z y x 例9：试用关于（x-1）的各次幂表示多项式322435x x x -+-。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
初三代数竞赛试题及答案
初三代数竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若a、b、c为实数，且满足a+b+c=0，下列哪个选项是正确的？A. a^2 + b^2 + c^2 = 0B. ab + bc + ac = 0C. a^2 + b^2 = c^2D. a^3 + b^3 + c^3 = 3abc答案：B2. 已知x、y、z是实数，且x+y+z=1，下列哪个选项是正确的？A. x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1/3B. x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1/3C. x^2 + y^2 + z^2 = 1/3D. x^2 + y^2 + z^2 < 1/3答案：A3. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=6，下列哪个选项是正确的？A. 2b = a + cB. 3b = a + cC. 2b = 3D. b = 2答案：D4. 已知方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为x1和x2，下列哪个选项是正确的？A. x1 + x2 = 5B. x1x2 = 6C. x1 + x2 = 6D. x1x2 = 5答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 若a、b、c是等比数列，且a+b+c=14，b=4，则a和c的值分别为______和______。
答案：2，86. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1,3)和(2,0)，且对称轴为直线x=2，则a的值为______。
答案：-17. 若x、y、z是实数，且x+y+z=3，xy+yz+zx=3，则x^2+y^2+z^2的值为______。
答案：38. 已知方程x^2-6x+5=0的两个根为x1和x2，则(x1-3)(x2-3)的值为______。
答案：-4三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知a、b、c是等差数列，且a+c=10，b=5，求a、b、c的值。
解答：由题意可知，a、b、c是等差数列，且a+c=10，b=5。
由于a、b、c是等差数列，所以2b=a+c，即2*5=a+c=10。
七年级超难数学竞赛题带解析
七年级超难数学竞赛题带解析一、代数部分。
1. 已知a,b为有理数，且a + b√(2)=(1 - √(2))^2，求a^b的值。
- 解析：- 先将(1-√(2))^2展开，根据完全平方公式(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2，这里a = 1，b=√(2)，则(1-√(2))^2=1-2√(2)+2 = 3 - 2√(2)。
- 因为a + b√(2)=3 - 2√(2)，所以a = 3，b=-2。
- 那么a^b = 3^-2=(1)/(9)。
2. 若x^2 - 3x + 1 = 0，求x^4+(1)/(x^4)的值。
- 解析：- 由x^2 - 3x + 1 = 0，因为x = 0不满足方程，所以方程两边同时除以x得x-3+(1)/(x)=0，即x+(1)/(x)=3。
- 对x+(1)/(x)=3两边平方得(x +(1)/(x))^2=x^2+2+(1)/(x^2)=9，所以x^2+(1)/(x^2)=7。
- 再对x^2+(1)/(x^2)=7两边平方得(x^2+(1)/(x^2))^2=x^4 + 2+(1)/(x^4)=49，所以x^4+(1)/(x^4)=47。
3. 化简(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+·s+(1)/(2019×2020)。
- 解析：- 因为(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)。
- 所以原式=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+·s+((1)/(2019)-(1)/(2020))- 去括号后中间项都可以消去，得到1-(1)/(2020)=(2019)/(2020)。
4. 已知a^2 + b^2=6ab，且a>b>0，求(a + b)/(a - b)的值。
- 解析：- 因为a^2 + b^2 = 6ab，所以(a + b)^2=a^2+2ab + b^2=8ab，(a - b)^2=a^2-2ab + b^2 = 4ab。
初中数学竞赛试卷代数
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列代数式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2abB. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 - 2abC. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 2abD. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2ab2. 如果x + y = 5，xy = 6，那么x^2 + y^2的值是（）A. 19B. 21C. 25D. 293. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 2x + 1C. 5x - 2 = 5x + 3D. 4x + 1 = 2x + 54. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 12，那么a^2 + b^2 + c^2的值是（）A. 36B. 48C. 60D. 725. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象开口向上，且顶点坐标为（-2，3），则a的取值范围是（）B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0二、填空题（每题5分，共25分）6. 若m^2 - 4m + 3 = 0，则m的值为______。
7. 若a^2 - b^2 = 18，且a + b = 6，则ab的值为______。
8. 若x^2 - 4x + 4 = 0，则x的值为______。
9. 若一个等差数列的前三项分别为2，5，8，则这个数列的通项公式是______。
10. 若二次函数y = -x^2 + 2x + 1的对称轴方程是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解下列方程组：x + 2y = 73x - 4y = 112. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，求：（1）该数列的通项公式；（2）该数列的前10项和。
13. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），且顶点坐标为（1，-4），求该二次函数的解析式。
初中数学竞赛专项训练之代数式、恒等式、恒等变形附答案
2、解：由已知，a，b，c为两正一负或两负一正。
①当a，b，c为两正一负时：
；
②当a，b，c为两负一正时：
由①② 知 所有可能的值为0。
应选A
3、解：过A点作AD⊥CD于D，在Rt△BDA中，则于∠B＝60°，所以DB＝ ，AD＝ 。在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2，所以有（a－ ）2＝b2－ C2，整理得a2＋c2=b2＋ac，从而有
3、若 ，求证：a是一完全平方数，并写出a的值。
4、设a、b、c 、d是 四个整数，且使得 是一个非零整数，求证：｜m｜一定是个合数。
5、若 的十位数可取1、3、5、7、9。求 的个位数。
参零售价为每件m（1＋a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（1＋a%）b%元。
2、已知-1＜a＜0，化简 得＿＿＿＿＿＿＿
3、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________
4、已知x1、x2、……、x40都是正整数，且x1+x2+……+x40＝58，若x12+x22+… …+x402的最大值为A，最小值为B，则A＋B的值等于＿＿＿＿＿＿＿ ＿
A. B. C. 2D. 3
5、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
6、设a、b、c为实数， ，则x、 y、z中，至少有一个值（ ）
A.大于0B.等于0C.不大于0D.小于0
5、计算 ________________
初中数学竞赛---代数式竞赛50道综合题练习(含答案解析)
16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ． 【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一 原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ． 解法二 原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ． 【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一 原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ． 解法二 原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
1
的值为（ ）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数 【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
1
1
4 (5 2)2 25 2 3 32 3 (5 2)2 25 2 4 42
九年级数学竞赛题
九年级数学竞赛题一、代数部分1. 一元二次方程竞赛题题目：已知关于公式的一元二次方程公式有两个实数根公式和公式。
（1）求实数公式的取值范围；（2）当公式时，求公式的值。
解析：（1）对于一元二次方程公式，判别式公式。
在方程公式中，公式，公式，公式，因为方程有两个实数根，所以公式。
展开公式得公式，即公式，解得公式。
（2）由公式可得公式。
根据韦达定理，在一元二次方程公式中，公式，公式。
对于方程公式，公式，公式。
当公式时，即公式，解得公式，但公式不满足公式（由（1）得），舍去。
当公式时，即公式，那么公式，由（1）中公式，解得公式。
2. 二次函数竞赛题题目：二次函数公式的图象经过点公式，且与公式轴交点的横坐标分别为公式、公式，其中公式，公式，求公式的取值范围。
解析：因为二次函数公式的图象经过点公式，所以公式，则公式。
二次函数与公式轴交点的横坐标是方程公式的根，由韦达定理公式，公式。
设公式，因为公式，公式，当公式时，公式；当公式时，公式；当公式时，公式。
将公式代入公式，公式中：由公式得公式，化简得公式，即公式。
由公式得公式，化简得公式，即公式，公式。
所以公式，则公式，解得公式。
二、几何部分1. 圆的竞赛题题目：在公式中，弦公式与弦公式相交于点公式，公式、公式分别是弦公式、公式的中点，连接公式、公式，若公式，公式的半径为公式。
（1）求证：公式是等边三角形；（2）求公式的长（用公式表示）。
解析：（1）连接公式、公式。
因为公式、公式分别是弦公式、公式的中点，根据垂径定理，公式，公式。
在四边形公式中，公式，公式，根据四边形内角和为公式，可得公式。
又因为公式（半径），公式、公式分别是弦公式、公式的中点，所以公式，公式。
在公式中，公式，公式（同圆中，弦心距相等则弦相等的一半也相等），所以公式是等边三角形。
（2）设公式与公式交于点公式，公式与公式交于点公式。
在公式中，公式，公式，公式，则公式。
同理，在公式中，公式。
因为公式是等边三角形，公式，在公式中，公式，公式，则公式，所以公式。
初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
讲解初中数学竞赛试题及答案
讲解初中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题通常涵盖代数、几何、数论和组合等数学领域。
下面是一个模拟的初中数学竞赛试题及其答案的讲解。
题目一：代数问题题目：已知 \( a, b \) 为正整数，且满足 \( a^2 - b^2 = 1 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的所有可能值。
答案：根据题目中的等式 \( a^2 - b^2 = 1 \)，我们可以将其转换为 \( (a+b)(a-b) = 1 \)。
因为 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数，所以 \( a+b \) 和 \( a-b \) 也必须是正整数，并且它们的乘积为1。
考虑到正整数的性质，可能的组合只有 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)或 \( (2, 1) \)。
对于 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)，显然不可能，因为 \( a+b \) 和\( a-b \) 不能同时为1。
对于 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \)，我们可以得到 \( a =\frac{3}{2} \) 和 \( b = \frac{1}{2} \)，但这不是正整数，所以不符合题意。
因此，我们考虑 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \) 或 \( (4, 3) \)。
对于 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \)，我们可以得到 \( a = 2.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这同样不是正整数。
对于 \( (a+b, a-b) = (4, 3) \)，我们可以得到 \( a = 3.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这也不是正整数。
但是，如果我们考虑 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \) 的整数解，我们可以得到 \( a = 2 \) 和 \( b = 1 \)，这满足题目要求。
讲解：这个问题考察了平方差公式的应用，通过将等式转换为\( (a+b)(a-b) = 1 \) 并考虑正整数的性质来找到可能的解。
初中代数竞赛试题及答案
初中代数竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项是方程2x - 3 = 7的解？A. x = 5B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：A2. 如果一个数的平方等于其本身，那么这个数是：A. 0或1B. 0或-1C. 1或-1D. 0或2答案：A3. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) - (2x^2 - 4x + 3)A. x^2 - 2x - 2B. x^2 + 2x - 2C. x^2 - 6x + 4D. x^2 + 6x - 4答案：A4. 一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式为：A. b^2 - 4acB. b^2 + 4acC. a^2 - 4bcD. a^2 + 4bc答案：A5. 一个数列的前三项为2, 4, 8，那么第四项是：A. 16B. 32C. 64D. 128答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个数的立方等于其本身，这个数是______。
答案：0, 1, -17. 一个等差数列的前三项为3, 7, 11，那么第五项是______。
答案：198. 一个等比数列的前两项为2, 8，那么第三项是______。
答案：329. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是______。
答案：510. 一个二次方程的系数为a = 1, b = -6, c = 9，那么这个方程的判别式是______。
答案：0三、解答题（每题10分，共60分）11. 解方程：3x^2 - 5x - 2 = 0。
答案：x = (5 ± √(5^2 - 4 * 3 * (-2))) / (2 * 3) = 2, 1/3 12. 计算数列的通项公式：数列的前三项为1, 4, 9，求第n项的公式。
答案：an = n^213. 已知一个等差数列的前三项为2, 5, 8，求这个数列的通项公式。
答案：an = 2 + 3(n - 1) = 3n - 114. 已知一个等比数列的前两项为3, 9，求这个数列的通项公式。
奥赛经典 初中代数
奥赛经典初中代数
初中代数是数学学科中的重要部分，它涉及到了各种数学概念和技巧。
在奥赛经典中，初中代数题目常常涉及到方程、不等式、函数等内容。
下面列举一些典型的初中代数题目，希望能够对读者有所帮助。
1. 【方程】已知方程2x + 3 = 7，求解x的值。
2. 【方程】解方程3(x - 2) = 5x - 1。
3. 【方程】解方程2(x + 1) - 3(x - 2) = 4。
4. 【不等式】已知不等式2x + 3 > 7，求解x的范围。
5. 【不等式】解不等式3(x - 2) < 5x - 1。
6. 【不等式】解不等式2(x + 1) - 3(x - 2) ≥ 4。
7. 【函数】已知函数y = 2x + 3，求解当x = 4时，y的值。
8. 【函数】已知函数y = 3(x - 2)，求解当x = 5时，y的值。
9. 【函数】已知函数y = 2(x + 1) - 3(x - 2)，求解当x = 3时，y的值。
10. 【方程组】解方程组
⎧ 2x + 3y = 7
⎨ 3x - 2y = 4
求解x和y的值。
这些题目涵盖了初中代数中的方程、不等式和函数等重要内容。
通过解题过程，可以帮助学生巩固代数的基本知识和技能。
希望这些题目能够对读者有所帮助，并对初中代数的学习和理解有所启发。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
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初中数学竞赛题汇编(代数部分)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4 所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
设原式为利用根号的层数是无限的特点，有，两边平方得即继续两边平方得x4－4x2＋4＝2＋x，即x4－4x2－x＋2＝0，左边分解因式得(x＋1)(x－2)(x2＋x－1)＝0 求得x1＝－1，x2＝2，x3＝。
因0＜x＜2，所以x＝－1、x＝2、x＝应舍去，所以x＝即＝。
例9：设的整数部分为x，小数部分为y，试求的值。
解：而所以x＝2，y＝因此＝。
例10：已知x＋y＋z＝3a (a≠0，且x、y、z不全相等)，求的值。
解：设x－a＝u，y－a＝v，z－a＝w，则＝且有已知有u＋v＋w＝0，将u＋v＋w＝0两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝0 由于x、y、z不全相等，所以u、v、w不全为零，所以u2＋v2＋w2≠0，故＝＝例11：已知x＝求的值。
解：所以x－4＝－(x－4)2＝3，x2－8x＋13＝0 ，所以，原式分子x4－6x3－2x2＋18x＋23＝(x4－8x3＋13x2)＋(2x3－16x2＋26x)＋(x2－8x＋13)＋10＝x2(x2－8x＋13)＋2x(x2－8x＋13)＋(x2－8x＋13)＋10＝10，原式分母x2－8x＋15＝(x2－8x＋13)＋2＝2，所以＝＝5 。
例12：已知＝＝求的值解：方法1 当a＋b＋c≠0时，据等比定理有＝＝＝＝1由此得a＋b－c＝c，b＋c－a＝a，c＋a－b＝b所以＝＝8。
当a＋b＋c＝0时，＝＝－1。
方法2 设＝＝＝k，则a＋b＝(k＋1)c…①，b＋c＝(k＋1)a…②，c＋a＝(k＋1)b…③，①＋②＋③得2(a＋b＋c)＝(k＋1) (a＋b＋c)，即(a＋b＋c) (k－1)＝0，故k＝1或a＋b＋c＝0，以下同上。
例13：计算…+解：…+＝+ + …+＝( )+( )+( )+…+ ( )＝+ + +…+＝＝。
例14：分解因式（1）x3－9x＋8；（2）(x2＋x＋1)(x2＋x＋2)－12；。
（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)；（4）x2+3xy+2y2+4x+5y+3。
解：（1）方法1：x3－9x＋8=x3－9x－1＋9=(x3－1)－9x＋9=(x－1)(x2＋x＋1)－9(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)方法2：x3－9x＋8=x3－x－8x＋8=(x3－x)+(－8x＋8)=x(x＋1)(x－1)－8(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)方法3：x3－9x＋8=9x3－8x3－9x＋8=(9x3－9x)+(－8x3＋8) =9x(x＋1)(x－1)－8(x－1)(x2＋x＋1)=(x－1)(x2＋x－8)方法4：x3－9x＋8=x3－x2＋x2－9x＋8=(x3－x2)＋(x2－9x＋8)=x2(x－1)＋(x－8)(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)（2）设x2+x=y，则(x2+x+1)(x2+x+2)-12=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]= (u2-v)2-4v(u2-2v) = u4-6u2v+9v2 = (u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2 = (x2-xy+y2)2（4）方法1：设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．方法2：x2+3xy+2y2+4x+5y+3x y 常数1 1 11 2 3即= (x+y+1) (x+2y+3) ．例15：化简解：因这个代数式的特性时轮换对称式，只要对其中的一项进行变形，然后再对其他项进行轮换即可。
所以＝( －)＋( －)＋( －)＝0 。
例16：已知证明a2＋b2＋c2＝(a＋b－c)2。
证明（分析法）：因(a＋b－c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ca所以要证a2＋b2＋c2＝(a＋b－c)2只要证ab＝ac＋bc 只要证c(a＋b)＝ab只要证（因为也为a、b、c都不为0）即最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．例17：已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．证明：由已知可得 a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．例18：m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．解：首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得由于x 1，x 2是正整数，所以m-1=1，2，3，6； m+1=1，2，3，4，6，12， 解得m=2．这时x 1=6，x 2=4．例19：己知 a+， a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1。
证明：由己知得：a-b= ， 所以 bc = ， 同理得 ca = ， ab = ， 所以 ab ·bc ·ca ＝ × × ＝1，即a 2b 2c 2=1。
例20：己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a 、b 、c 是常数），求证：b 2－4ac=0证明：设 ax 2+bx+c ＝(mx+n)2，m 、n 是常数，则 ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质得所以 b 2－4ac ＝(2mn)2－4m 2n 2=0ac c b b 111+=+=bc c b b c -=-11ba cb --c b a c --a c b a --a c b a --b a c b --c b a c --。