最新浙江省高等职业技术教育招生考试数学真题

2015年浙江省高等职业技术教育招生考试数学试卷本试题卷共三大题．全卷共4页．满分120分，考试时间120分钟．注意事项：1．所有试题均需在答题纸上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分，在试卷和草稿纸上作答无效．2．答题前，考试务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上．3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上．4．在答题纸上作答，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．一、单项选择题(本大题共18小题，每小题2分，共36分)在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

错涂、多涂或未涂均无分．1．已知集合M ＝{}x |x 2＋x ＋3＝0，则下列结论正确的是( )A ．集合M 中共有2个元素B ．集合M 中共有2个相同元素C ．集合M 中共有1个元素D ．集合M 为空集2．命题甲“a <b ”是命题乙“a －b <0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f (x )＝lg （x －2）x的定义域是( ) A.[)3，＋∞ B.()3，＋∞C.()2，＋∞D.[)2，＋∞4．下列函数在定义域上为单调递减的函数是( )A ．f (x )＝(32)x B ．f (x )＝ln x C ．f (x )＝2－x D ．f (x )＝sin x5．已知角α＝π4，将其终边绕着端点按顺时针方向旋转2周得到角β，则β＝( ) A.9π4 B.17π4 C ．－15π4 D ．－17π46．已知直线x ＋y －4＝0与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝17，则直线与圆的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相交且不过圆心D ．相交且过圆心7．若β∈(0，π)，则方程x 2＋y 2sin β＝1所表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．椭圆或圆8．在下列命题中，真命题的个数是( )①a ∥α，b ⊥α⇒a ⊥b ②a ∥α，b ∥α⇒a ∥b③a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ④a ⊥b ，b ⊂α⇒a ⊥αA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．若cos(π4－θ)cos(π4＋θ)＝26，则cos2θ＝( )A.23 B.73C.76 D.34610．在等比数列{}a n 中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝() A ．(2n －1)2 B.13()2n －12C ．4n －1 D.13()4n－111．下列计算结果不正确的．．．．是( )A ．C 410－C 49＝C 39B ．P 1010＝P 910C ．0！＝1D ．C 58＝P 588！ 12．直线3x ＋y ＋2015＝0的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2π3 D.5π613．二次函数f (x )＝ax 2＋4x －3的最大值为5，则f (3)＝( )A ．2B ．－2C.92 D ．－9214．已知sin α＝35，且α∈(π2，π)，则tan(α＋π4)＝( )A ．－7B ．7C ．－17 D.1715．在△ABC 中，若三角之比A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )A ．1∶1∶4B ．1∶1∶ 3C ．1∶1∶2D ．1∶1∶316．已知(x －2)(x ＋2)＋y 2＝0，则3xy 的最小值为( )A ．－2B ．2C ．－6 D. －6 217．下列各点中与点M (－1，0)关于点H (2，3)中心对称的是( )A ．(0，1)B ．(5，6)C ．(－1，1)D ．(－5，6)18．焦点在x 轴上，焦距为8的双曲线，其离心率e ＝2.则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.y 24－x 212＝1 D.y 212－x 24＝1 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)19．不等式||2x －7>7的解集为________．(用区间表示)20．若tan α＝b a(a ≠0)，则a cos2α＋b sin2α＝________． 21．已知AB →＝(0，－7)，则||AB →－3BA →＝________． 22．当且仅当x ∈________时，三个数4，x －1，9成等比数列．23．在“剪刀、石头、布”游戏中，两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率P ＝________．24．二项式(3x 2＋2x3)12展开式的中间一项为________． 25．体对角线为3cm 的正方体，其体积V ＝________．26．如图所示，在所给的直角坐标系中，半径为2，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为________．26题图三、解答题(本大题共8小题，共60分)解答应写出文字说明及演算步骤27．(本题满分7分)平面内，过点A (－1，n ), B (n ，6)的直线与直线x ＋2y －1＝0垂直，求n 的值．28．(本题满分7分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1， x ≥03－2x ，x <0，求值： (1)f (－12); (2分)(2)f (2－0.5); (3分)(3)f (t －1); (2分)29.(本题满分7分)某班数学课外兴趣小组共有15人，9名男生，6名女生，其中1名为组长，现要选3人参加数学竞赛，分别求出满足下列各条件的不同选法数．(1)要求组长必须参加；(2分)(2)要求选出的3人中至少有1名女生；(2分)(3)要求选出的3人中至少有1名女生和1名男生. (3分)30．(本题满分9分)根据表中所给的数字填空格，要求每行的数成等差数列，每列的数成等比数列. 求：(1)a, b, c的值；(3分)(2)按要求填满其余各空格中的数；(3分)(3)表格中各数之和．(3分)31.(本题满分6分)已知f (x )＝3sin(ax －π)＋4cos(ax －3π)＋2(a ≠0)的最小正周期为23. (1)求a 的值； (4分)(2)求f (x )的值域. (2分)32．(本题满分7分)在△ABC 中，若BC ＝1，∠B ＝π3，S △ABC ＝32，求角C .33.(本题满分7分)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AD1C把正方体分成两部分. 求：(1)直线C1B与平面AD1C所成的角；(2分)(2)平面C1D与平面AD1C所成二面角的平面角的余弦值；(3分)(3)两部分中体积大的部分的体积．(2分)第33题图34.(本题满分10分)已知抛物线x2＝4y，斜率为k的直线L, 过其焦点F且与抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求直线L的一般式方程；(3分)(2)求△AOB的面积S；(4分)(3)由(2)判断，当直线斜率k为何值时△AOB的面积S有最大值；当直线斜率k为何值时△AOB的面积S有最小值．(3分)第34题图2015年浙江省高等职业技术教育招生考试数学试卷参考答案及评分标准一、单项选择题(本大题共18小题，每小题2分，共36分)1.【答案】 D 【解析】 x 2＋x ＋3＝0，其中Δ＝1－4×1×3＝－11<0从而方程无解，即集合M 为空集．∴答案选D.2.【答案】 C 【解析】 一方面，由a <b 得a －b <0；另一方面，由a －b <0可得a <b ，故甲是乙的充分且必要条件．∴答案选C.3.【答案】 A 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，lg （x －2）≥0，x －2>0.得x ≥3，答案选A.4.【答案】 C 【解析】 A ，B 为单调递增函数，D 项中sin x 为周期函数．∴答案选C.5.【答案】 C 【解析】 由题意β＝α－2×2π＝π4－4π＝－154π，答案选C. 6.【答案】 B 【解析】 圆心到直线的距离d ＝||2－4－412＋12＝32>17＝半径，∴直线与圆相离，故选B.7.【答案】 D 【解析】 ∵β∈(0，π)，∴sin β∈(0，1]，当sin β＝1时，得x 2＋y 2＝1它表示圆；当sin β≠1时，由sin β>0∴此时它表示的是椭圆．答案选D.8.【答案】 C 【解析】 ②a ，b 有可能相交，④a 有可能在α内，①③正确．答案选C.9.【答案】 A 【解析】 ∵cos(π4－θ)cos(π4＋θ)＝(cos π4cos θ＋sin π4sin θ)·(cos π4cos θ－sin π4sin θ)＝12cos 2θ－12sin 2θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos2θ＝26，∴cos2θ＝23.故答案选A.10.【答案】 D 【解析】 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n －1，∴q ＝2，a 1＝1，又a 21＋a 22＋…＋a 2n 是以a 21＝1为首项，q 2＝4为公比的等比数列，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13()4n－1，故选D.11.【答案】 D 【解析】C 58＝P 58P 55＝P 585！，∴答案选D.12.【答案】 C 【解析】 直线3x ＋y ＋2015＝0转化为y ＝－3x －2015，k ＝tanθ＝－3，∴θ＝arctan(－3)＝2π3. 13.【答案】 C 【解析】 函数f (x )的最大值为4×a ×（－3）－424×a ＝5，解得a ＝－12，即f (x )＝－12x 2＋4x －3∴f (3)＝92.答案选C. 14.【答案】 D 【解析】 ∵sin α＝35，且α∈(π2，π)∴cos α＝－45，tan α＝－34，tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan α·tanπ4＝17.答案选D. 15.【答案】 B 【解析】 ∵三角之比A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，且A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝B ＝π6，C ＝2π3.故sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3.答案选B.16.【答案】 C 【解析】 ∵4＝(x －2)(x ＋2)＋y 2＝x 2＋y 2≥2||xy ，即2||xy ≤4，3||xy ≤6，得3xy ≤－6或3xy ≥6，故3xy 的最小值为－6，答案选C.17.【答案】 B 【解析】 设P (x ，y )与点M (－1，0)关于点H (2，3)中心对称，则x －12＝2，y ＋02＝3.∴x ＝5，y ＝6.答案选B.18.【答案】 A 【解析】 ∵双曲线的焦距为8，∴c ＝4，又离心率为e ＝ca ＝2，∴a＝2，即得b 2＝c 2－a 2＝12，故双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1，答案选A.二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)19.【答案】 (－∞，0)∪(7，＋∞) 【解析】 ∵||2x －7>7∴2x －7>7或2x －7<－7，即x <0或x >7，故解集为(－∞，0)∪(7，＋∞)20.【答案】 a 【解析】 ∵tan α＝ba ，∴sin α＝b a 2＋b2，cos α＝a a 2＋b2，代入即可解得a cos2α＋b sin2α＝a (cos 2α－sin 2α)＋2b sin αcos α＝a .21.【答案】 28 【解析】 ∵BA →＝－AB →＝(0，7)，∴||AB →－3BA →＝||（0，－28）＝28.22.【答案】{}－5，7 【解析】 ∵三个数4，x －1，9成等比数列，∴有(x －1)2＝4×9＝36，解得x ＝－5或x ＝7.23.【答案】29【解析】 两个人分别出“石头”与“剪刀”有两种可能，且各自出“石头”与“剪刀”的概率为13，P ＝2×13×13＝29.24.【答案】 26C 612x －5【解析】 ∵展开式的中间一项为第7项，∴中间一项为26C 612x －5.25.【答案】 332cm 3 【解析】 设正方体的边长为a ，∵体对角线为3cm ，∴(2a )2＋a 2＝32，得a ＝3，∴体积V ＝332cm 3.26.【答案】 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4 【解析】 因为圆与第三象限的x ，y 轴相切，所以圆心为(－2，－2)，半径为2，故圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4.三、解答题(本大题共8小题，共60分)27.【解】因为直线x ＋2y －1＝0的斜率K 1＝－12(1分)所以由题意得过点A 、B 的直线斜率为2(2分) 由斜率公式得：2＝6－nn －（－1）(2分)解得n ＝43(2分)28.【解】(1)∵－12<0，f (－12)＝3－2×(－12)＝4(2分)(2)∵2－0.5＝2－12＝12＝22>0(1分)∴f (2－0.5)＝(2－0.5)2－1＝2－1－1＝12－1＝－12(2分)(3)当t －1≥0时，即t ≥1时，f (t －1)＝(t －1)2－1＝t 2－2t (1分) 当t －1<0时，即t <1时，f (t －1)＝3－2(t －1)＝5－2t (1分)29.【解】(1)组长必须参加，只要从剩下的14人中任取2人即可完成事件，选法总数为C 214＝14×132×1＝91种 (2分) (2)3人中至少有1名女生分为三类选法：1女2男，2女1男，3女0男，选法总数为：C 16C 29＋C 26C 19＋C 36＝216＋135＋20＝371种(2分)(3)3人中至少有1名女生和1名男生分为2类选法：1女2男，2女1男，选法总数为：C 16C 29＋C 26C 19＝216＋135＝351 种(3分)30.【解】(1)因为每列的数成等比数列，即 2，1，a 成等比数列，所以a ＝12(1分)又因为每行的数成等差数列，即可求出第二列第五行的数字为32，同理可求出第二列第四行的数字为34，依次可求得b ＝516(1分)c ＝316 (1分)(2)(答全对得3分，每行或每列答对得0.5分)(3)由(1)(2)可得：第一行各数和为：116＋332＋18＋532＋316＝2032＝58，第二行各数和为：18＋316＋14＋516＋38＝54，同样的方法可分别求得第三行各数之和为52，第四行各数之和为5，第五行各数之和为10. 所以各数之和为 10＋5＋52＋54＋58＝1158(3分)31.【解】(1)f (x )＝3sin(ax －π)＋4cos(ax －3π)＋2 ＝－3sin ax －4cos ax ＋2 ＝5sin(ax ＋β)＋2 (2分)由题意有23＝⎪⎪⎪⎪2πa (1分)解得：a ＝±3π(1分)(2)因为sin(ax ＋β)∈[－1，1](1分) 所以f (x )的值域为：f (x )∈[－3，7](1分)32.【解】∵ S △ABC ＝12BC ×AB ×sin B ⇒AB ＝2(1分)由余弦定理：AC 2＝AB 2＋BC 2－2BC ×AB ×cos B (1分) ∴ AC ＝ 3 (1分)∵BC 2＋AC 2＝AB 2(1分) ∴△ABC 是直角三角形 (1分) ∴ ∠C ＝90°(2分)33.【解】(1)因为直线C 1B ∥AD 1，且AD 1⊂平面AD 1C ，推知直线C 1B ∥平面AD 1C (1分) 所以直线C 1B 与平面AD 1C 所成的角为0°(1分)(2)连接C 1D ，交C 1D 于E, 连接AE, 因为E 是对角线交点，三角形ACD 1是等边三角形，所以DE ⊥CD 1，AE ⊥CD 1，所以∠AED 是平面C 1D 与平面AD 1C 所成二面角的平面角(1分) 在三角形ADE 中，DE ＝22a ，AE ＝62a ， 所以 cos ∠AED ＝DE AE ＝22a62a ＝33. (2分)(3)设两部分中体积大的部分体积为V 1, 体积小的部分的体积为V 2, 正方体体积为V ，则有V ＝a 3，V 2＝VA －D 1DC ＝a 36(1分)所以所求部分的体积V 1＝V －V 2＝a 3－a 36＝56a 3(1分)第33题图34.【解】(1)由题意抛物线x 2＝4y 的焦点F (0，1)，因为直线L 的斜率为k, 所以直线L 的方程为y －1＝kx 化为一般式即为：kx －y ＋1＝0(3分)(2)联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ①kx －y ＋1＝0 ②， 将②代入①得：x 2－4kx －4＝0，x 1＋x 2＝4k ， x 1x 2＝－4,||AB ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2（4k ）2＋16＝1＋k 216k 2＋16 ＝4(1＋k 2) (2分)又因为原点(0，0) 到直线kx －y ＋1＝0的距离为：d ＝11＋k 2(1分) 所以△AOB 的面积S ＝12d ||AB ＝12×11＋k 2×4(1＋k 2)＝21＋k 2(1分) (3)由(2)得x 2－4kx －4＝0, Δ＝16k 2＋16>0， ∴k ∈R (1分) 因为S ＝21＋k 2，所以无论k 取何值，面积S 无最大值(1分) k ＝0时，S ＝2为最小值 (1分)。