弹塑性力学第10章—热传导与热应力

∂2Φ 2G
∂x∂y
,
τ
T xz
=
τ
T yz
=
0
10.5 平面热弹性力学问题
然后再考虑通解，通解是不考虑变温、且无体力的平面
应变问题，这类问题可以用艾里应力函数求解，其方程为
∇4ϕ
==
∂4ϕ
∂x4
+
2
∂4ϕ
∂x2∂y
2
+
∂4ϕ
∂y 4
=0
对应的应力表达式为
弹性与塑性力学引论
配套教材：《弹性与塑性力学引论》
中国水利水电出版社，丁勇
宁波大学 建筑工程与环境学院
联系方式：137210762@
弹性与塑性力学引论
第10章 热传导与热应力
10.1 热传导方程及其求解方法
除了外荷载外，由于温度变化导致的热应力在结构分析中占 据重要的位置。
为求得固体内的热应力，需进行两方面的分析：（1）固体内 各点的温度场分析；（2）温度场导致的热应力分析。
∂y
+ μ∇2v + Fby
− αE
1− 2v
∂T ∂y
=
0
⎪ ⎬
⎪
(λ
+
μ
)
∂e ∂z
+
μ∇2w
+
Fbz
− αE
1− 2v
∂T ∂z
⎪ = 0⎪⎭
或
(λ
+
)μ u j, ji
+
μui, jj
+
fi
−
αE
1− 2v
T,i
=
0
10.4 热弹性力学问题的基本解法
位移法求解时，静力边界条件也须改用位移分量表示，即
首先考虑特解，此时可由下式先求热弹性位移势 ∇2Φ = 1+ v αT
1− v
然后进一步求得位移、应变和应力，如位移和应力为
uT = ∂Φ , vT = ∂Φ , wT = 0
∂x
∂y
σ
T x
=
-2G
∂2Φ ∂y2
,
σ
T y
=
-2G
∂2Φ ∂x2
,
σ
T z
=
-2G
1 1
+ −
v v
αT
,
τ
T xy
=
应变分量
εij = Φ, ij
体积应变
e
=
εx
+εy
+εz
=
∂2Φ ∂x 2
+
∂2Φ ∂y 2
+
∂2Φ ∂z 2
=
∇2Φ
将上式代入热弹性方程，得到
(λ
+
μ )Φ,
jji
+
μΦ,ijj
−
αE
1− 2v
T,i
=
0
上式可简化为
⎛ 1−v ⎜⎝ 1 − 2v
Φ, jj
−
1+ v 1− 2v
αT
⎞ ⎟⎠,i
=
0
所以有
1− v 1− 2v
Φ, jj
− 1+ v αT
1− 2v
=
const
对于一个特解来说，可令常数为0，因此有
∇2Φ = 1+ v αT
1− v
10.4 热弹性力学问题的基本解法
根据上式求出热弹性位移势，即可求得热弹性力学问题 的位移特解，叠加上无体力不考虑变温情况下的位移通解 后，即为热弹性力学方程的通解，该通解需要准确地满足问 题的边界条件。
T S1 = T(x, y, z,t)
kn
∂ ∂
T n
S2
= q(x, y, z,t)
−
kn
∂T ∂n
S3 = h(T − Ta )
−
kn
∂T ∂n
S4
= σε (T 4 − T∞4 )
给定初始时刻的结构温度分布 T(x, y, z,0) = T0 热传导方程＋边界条件＋初始条件＝瞬态热传导的定解问题
这种变形将导致横截面不再保持为平面。但是实际上，由于梁
纵向纤维之间互相约束，我们仍然假设横截面变形后保持平面
10.2 热应力的基本概念
所以实际的应变分布还是线性的，即
ε (y) = ε0 + κy
其中 ε0为中性轴上的应变，κ 为曲率。
上述应变是热应变和纵向纤维间的约束应变之和，即
ε(y)= εT (y)+ εσ (y)
=
−k
⎛ ⎜⎝
∂T ∂x
i
+
∂T ∂y
j+
∂T ∂z
k
⎞ ⎟⎠
各向异性材料：q
=
−
⎛ ⎜ ⎝
k
x
∂T ∂x
i
+
ky
∂T ∂y
j
+
kz
∂T ∂z
k
⎞ ⎟ ⎠
热传导方程
Q1 + Q2 = Q3
式中 Q1, Q2, Q3分别为单位时间内物体表面从外界获得的热量、
内部热源产生的热量、物体温度升高所需的热量。
考虑热应变时，弹性体的应变分量由自由热膨胀（收缩）引
起的应变分量与应力引起的应变分量叠加而成
ε ij
=
1
+ E
v
σ
ij
−
v E
δ
ijσ
kk
+αΔTδ ij
10.2 热应力的基本概念
热应力产生的原因： （1）物体内部的温度分布是均匀的，但外部受约束，此时由 于热应变收到约束，物体内部将产生热应力；
举例：设置桥梁伸缩缝避免热应力 （2）物体内部的温度分布不均匀，此时即使没有任何外部 约束，内部也会因为各个质点之间相互制约而产生热应力；
举例：梁沿高度方向的温度梯度产生热应力 （3）对于不同材料组成的构件，由于材料的热膨胀系数不 同，即使构件处于均匀温度场中，也会由于不同材料的热膨 胀不同，使构件产生热应力。
举例：双金属片叠合梁热应力
10.2 热应力的基本概念
例10.1 直杆AB两端与刚性支承连接。杆的横截面积为A，弹
性模量为E，线膨胀系数为αl 。求温度升高Δt时杆内热应力。
温度的修正
σ ij
= σ~ij
−
αETδ ij
1− 2v
10.5 平面热弹性力学问题
解决热弹性力学问题仍可采用位移法或应力法。
10.5.1 平面应变问题
采用位移法，位移、应变、应力分量都可以用热弹性位
移势表示。根据前面的讨论，解可由两部分叠加得到：特解
和无体力无变温的弹性解，这两组解之和需满足边界条件。
可求得
κ
=
α
I
∫h T (y)b(y)(y
−
yc )dy
ε0
=
α
A
∫h T
( y )b( y )dy
−
κyc
将ε0 和κ 代入应力表达式，即可求得热应力
10.3 热弹性力学的基本方程
平衡方程：
σ ij, j + Fbi = 0
几何方程：
( ) εij
=
1 2
ui, j
+ u j,i
本构方程：
ε ij
所以约束应变为
εσ (y) = ε (y)- εT (y) = (ε0 + κy) − αT (y)
对应的约束应力为
σ x = Eεσ = E[(ε0 + κy)−αT (y)]
该约束应力就是弹性梁横截面上的热应力，但是其中的ε0 和 κ
要根据边界条件确定。
10.2 热应力的基本概念
边界条件
如果作用于横截面上的外力和外力偶都为0，那么热应力 的合力和合力矩也应为0，
求解方法：（1）解析方法——理论解
（2）有限元等数值方法——数值解
10.2 热应力的基本概念
10.2.1 热应变
固体存在热胀冷缩现象，各向同性材料固体当温度变化 时，若其变形完全不受限制，则在任意方向产生相同的正应变
εT = α (T2 − T1) = α ΔT
α 称为材料的热膨胀系数。
10.2.2 考虑热应变的广义胡克定律
=
FA EA
+ αl
Δt
=
0
10.2 热应力的基本概念 所以温度内力为 FA = −E Aαl Δt
相应的热应力为 σ = −Eαl Δt
结果为负，说明杆件受压力，热应力为压应力。
( ) 如果杆件为钢杆，αl = 1.2 ×10−5 oC ，E = 210GPa，温度升高
为40 oC，此时 σ = −Eαl Δt = −100 MPa 。 普通钢材的许用应力约 为170 MPa，这说明在超静定结构中，热应力相当可观，要避免 有害的热应力。例如铁路钢轨接头处的空隙，混凝土路面上的 预留隙等。
A
B
l
解： AB杆为轴向拉压杆，未知力是左、右2个支座的轴向反 力。平衡方程仅有轴向力平衡1个，所以本题有1个方程、2个 未知数，是1次超静定结构。
超静定问题要结合静力平衡方程和几何相容方程求解
静力平衡方程 几何相容方程
由广义胡克定律
FA = FB
Δl = 0
ε = Δl = 0
l
ε
=
σ
E
+ αl
Δt
格林公式
∫∫ ∫∫ Q1 = −
q ⋅ ndS =
S
S
⎛ ⎜⎝ kx
∂T ∂x
i
+
ky
∂ ∂
T y
j+