数值计算与符号计算
计算方法读书笔记
计算方法读书笔记在我们的日常生活和工作中，计算方法的应用无处不在。
无论是简单的算术运算，还是复杂的统计分析，都需要用到计算方法。
最近，我阅读了一本关于计算方法的书籍，收获颇丰。
下面是我的读书笔记，分享给大家。
一、计算方法概述计算方法是数学的一个重要分支，它涉及到如何将一个数学问题转化为可计算的形式。
在计算机科学中，计算方法更是无处不在，因为计算机本质上就是一种用于数值计算的机器。
二、计算方法的分类1.数值计算方法：数值计算是计算方法中最常见的一种。
它主要研究如何使用数学和计算机科学的方法来近似求解数值问题，如微积分、线性代数等。
2.符号计算方法：符号计算是一种处理数学表达式的计算方法。
它使用符号代替数字进行运算，可以解决一些复杂的数学问题，如积分、微分等。
3.算法设计方法：算法设计是计算方法中的一种重要技术，它涉及到如何设计高效的算法来解决特定的问题。
常见的算法设计方法包括分治法、贪心算法等。
三、计算方法的实际应用1.科学计算：科学计算是计算方法的一个重要应用领域。
通过数值计算和符号计算，科学家们可以模拟和预测各种自然现象，如气候变化、物理实验等。
2.数据分析：在大数据时代，数据分析已经成为一个重要的行业。
通过算法设计，数据分析师可以快速处理和分析大量的数据，从而为企业提供有价值的信息。
3.人工智能：人工智能是当前最热门的领域之一。
在人工智能中，计算方法的应用也是无处不在的。
例如，机器学习算法可以帮助计算机自主学习和改进；深度学习算法可以模拟人脑的神经网络进行信息处理。
四、总结与展望通过阅读这本书，我深刻地认识到了计算方法在数学、计算机科学和其他领域中的重要性和应用价值。
未来，随着科技的不断进步和发展，计算方法的应用范围也将不断扩大和深化。
我们相信，计算方法将在未来的科学研究、技术创新和社会发展中发挥越来越重要的作用。
MATLAB中的数值计算与符号计算
哈 工 程 大 学 数 学 实 验 电 子 教 案
syms x y; dblquad('x*y',0,1,-1,2) ans = 0.7500 这说明 , 不是语法错误 . 实际上 ,这个命令只能计算 矩形区域的积分,如果积分区域不上矩形区域,那么, 你就得定义一个二元函数 , 让这个函数在积分区域 外为0,比如,对此积分,定义
xy , ( x ,y ) D f( x ) 0 , ( x ,y ) D
而且,它也只能计算二重积分的数值解.
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◆关于微分方程的求解
哈 工 程 大 学 数 学 实 验 电 子 教 案
命令格式: dsolve(‘eqn1’, ‘eqn2’, …….); 如果不额外说明, 默认的变量是t dsolve('Dy=y^2*(1-y)') Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned. > In C:\MATLABR12\toolbox\symbolic\dsolve.m at line 292 ans = t+1/y-log(y)+log(-1+y)+C1=0 dsolve('D2y = -a^2*y', 'y(0) = 1, Dy(pi/a) = 0') ans =cos(a*t) [x,y]=dsolve('Dx = y', 'Dy = -x', 'x(0)=0', 'y(0)=1') x =sin(t) y =cos(t)
第一种方法,用梯形法计算,其命令为trapz(x,y), 其中x, y 是具有相同长度的向量 , 表示用梯形法分割时 , 数据 点上的值. 此积分的实际值为0.199(精确到20位) x=1:0.1:10; y=sin(sin(x)); trapz(x,y) ans = 1.1981
MATLAB数值计算和符号运算
贵州大学实验报告
学院：计算机科学与技术专业：网络工程班级：
姓名
学号
实验组
实验时间
指导教师
成绩
实验项目名称
MATLAB数值计算和符号运算
实验目的
1．掌握并理解Maltab在数值计算的基本用法。
2．理解matlab在工程领域解题的一般过程。
3. 掌握Matlab符合运算的基本方法。
实验环境
计算机一台（带有MATLAB7.0以上的软件环境）。
实验内容
1．线性系统方程：分别使用左除（\）和LU分解求解下面系统方程的解：
2. 使用quad和trapz求解 的数值积分，并与其解析解相比较（解析解利用符号运算进行求解，参考函数int）；（要求：使用quad求积分时，请分别用函数文件和匿名函数的方式求解）
实验代码
第一题
a=[3 6 4;1 5 0;0 7 7]
b=[1;2;3]
x=a\b
[L,U]=lu(a)
x=U\(L\b)
第二题
functiony=fun(x)
y=x.*exp(-(x./3));
Q1=quad('fun',0,5)
Q2=quad(@(x)(x.*exp(-(x./3))),0,5)
b=[400;440;484;532.4];
x0=[0.5;0.5;0.5;0.5];
[x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b)
实验结果
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
第六题ห้องสมุดไป่ตู้
matlab数值运算和符号运算
《深度探讨：从数值运算到符号运算的MATLAB应用》在科学计算领域中，MATLAB无疑是一个不可或缺的工具。
它被广泛应用于数学建模、数据分析、图形可视化和算法开发等领域。
在MATLAB中，数值运算和符号运算是两个核心概念，它们分别在不同的领域中发挥着重要作用。
本文将从数值运算和符号运算两个方面展开讨论，带您深入探索MATLAB的应用价值。
一、数值运算1. MATLAB中的数值数据类型在MATLAB中，常见的数值数据类型包括整数、浮点数和复数等。
它们在科学计算中有着广泛的应用，例如在矩阵运算、微分方程求解和优化算法中。
2. 数值计算函数的应用MATLAB提供了丰富的数值计算函数，包括线性代数运算、插值和拟合、统计分布和随机数生成等。
这些函数为科学计算提供了强大的支持，使得复杂的数值计算变得更加简单高效。
3. 数值方法在实际问题中的应用通过具体的案例，我们可以深入了解MATLAB在实际问题中的数值计算方法。
通过有限元分析解决结构力学问题、通过数值积分求解物理方程、通过数值微分求解工程问题等。
二、符号运算1. MATLAB中的符号计算工具MATLAB提供了符号计算工具包，可以进行符号变量的定义、代数运算、微分积分和方程求解等。
这为数学建模、符号推导和精确计算提供了强大的支持。
2. 符号计算函数的应用通过具体的例子，我们可以深入了解MATLAB中符号计算函数的应用。
利用符号计算求解微分方程、利用符号变量定义复杂的代数表达式等。
3. 符号计算在科学研究中的应用通过详细的案例，我们可以了解符号计算在科学研究中的应用。
利用符号计算推导物理模型、利用符号运算求解工程问题等。
总结与展望：通过本文的深度探讨，我们对MATLAB中的数值运算和符号运算有了全面的了解。
数值运算为我们提供了高效的数值计算工具，而符号运算则为我们提供了精确的符号计算工具。
这两者相辅相成，在不同的领域中发挥着重要的作用。
希望通过本文的阐述，读者可以更加深入地理解MATLAB中数值运算和符号运算的应用，提升科学计算的能力和水平。
实验四MATLAB数值计算与符号计算
实验四 MATLAB数值计算与符号计算一、实验目的1.掌握数据插值和曲线拟合的方法2.掌握求数值导数和数值积分的方法3.掌握代数方程数值求解的方法4.掌握常微分方程数值求解的方法5.掌握求解优化问题的方法6.掌握求符号极限、导数和积分的方法7.掌握代数方程符号求解的方法8.掌握常微分方程符号求解的方法二、实验原理1．数据插值a) 一维数据插值 Y1=interp1(X,Y,X1,’method’)b) 二维数据插值 Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,’method’)2．曲线拟合[P,S]=polyfit(X,Y,m)3．符号对象的建立（1）符号量名=sym(符号字符串)：建立单个的符号变量或常量；（2）syms arg1 arg2,…,argn：建立n个符号变量或常量。
4．基本符号运算（1）基本四则运算：+，-，*，\，^（2）分子与分母的提取：[n,d]=numden(s)（3）因式分解与展开：factor(s),expand(s)（4）化简：simplify, simple(s)5．符号函数及其应用（1）求极限：limit(f,x,a)（2）求导数：diff(f,x,a);（3）求积分：int(f,v)三、实验内容1．按下表用3次样条方法插值计算0～900范围内整数点的正弦值和0～750范围内整数点的正切值，然后用5次多项式拟合方法计算相同的函数值，并将两种计算结果进行比较。
x2=0:75;y1=sin(pi.*x1./180);y2=tan(pi.*x2./180);;a=interp1(x1,y1,45,'cublic')b=interp1(x1,y1,45,'cublic')p1=polyfit(x1,y1,5)p2=polyfit(x2,y2,5)c1=polyval(p1,x1);c2=polyval(p2,x2);subplot(2,1,1);plot(x1,c1,':o',x1,y1,'r');subplot(2,1,2);plot(x2,c2,':o',x2,y2,'r');10203040506070802．（1）求函数33()sin cos f x x x =+在点,,,6432x ππππ=的数值导数。
第6讲 符号计算(2)
• • • •
C=triu(A) C= [ sin(x), cos(x)] [ 0, asin(x)]
三、符号导数
• •
1、符号函数的极限 limit(f, x, a)，计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的 极限值。 limit(f, a)，求符号函数f(x)的极限值，符号函数f(x)的 变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋 近于a。 limit(f)，系统默认变量趋近于0，即a=0的极限。 limit(f, x, a, 'right')，变量x从右边趋近于a时符号函数f(x) 的极限值。 limit(f, x, a, 'left')，变量x从左边趋近于a时符号函数的 极限值。
符号运算
• • • •
3、因式分解和展开 factor(S)，对S分解因式，S是符号表达式 或符号矩阵。 expand(S)，对S进行展开，S是符号表达 式或符号矩阵。 collect(S)，对S合并同类项，S是符号表 达式或符号矩阵。 collect(S, v)，对S按变量v合并同类项，S 是符号表达式或符号矩阵。
• d4=diff(f2)/diff(f1);
• f=x*exp(y)/y^2; • d5=diff(f,x) %z对x求偏导数 • d6=diff(f,y)
• • • •
d5 = exp(y)/y^2 d6 = x*exp(y)/y^2-2*x*exp(y)/y^3
• • • • • • •
f=x^2+y^2+z^2-a^2; zx=diff(f,x)/diff(f,z)%按隐函数求导 zy=diff(f,y)/diff(f,z) zx = x/z zy = y/z
Mathematica强大的数值计算和符号运算数学专用软件
Mathematica强大的数值计算和符号运算数学专用软件Mathematica是由美国物理学家Stephen Wolfram领导的Wolfram Research开发的数学系统软件。
它拥有强大的数值计算和符号计算能力，在这一方面与Maple类似，但它的符号计算不是基于Maple上的，而是自己开发的。
Mathematica系统介绍Mathematica的基本系统主要是用C语言开发的，因而可以比较容易地移植到各种平台上，Mathematica是一个交互式的计算系统，计算是在用户和Mathematica互相交换、传递信息数据的过程中完成的。
Mathematica系统所接受的命令都被称作表达式，系统在接受了一个表达式之后就对它进行处理，然后再把计算结果返回。
Mathematica对于输入形式有比较严格的规定，用户必须按照系统规定的数学格式输入，系统才能正确地处理，不过由于3.0版本（及以后版本）引入输入面板，并且可以修改、重组输入面板，因此以前版本输入指令时需要不断切换大小写字符的繁琐方式得到很好的改善。
3.0版本可以用各种格式保存文件和剪贴内容，包括RTF、HTML、BMP等格式。
Mathematica是一个功能强大的数学软件，也是目前国内外最常用的数学软件之一。
该软件不但可以解决数学中的数值计算问题，还可以解决符号演算问题，并且能够方便地绘出各种函数图形。
不管是一个正在学习的学生，还是教师或科研人员，当在学习或科学研究中遇到棘手的数学问题时，Mathematica会提供的各种命令，可以避免做繁琐的数学推导和计算，帮助方便地解决所遇到的很多数学问题，使能省出更多的时间和精力做进一步的学习和探索。
目前，我们在国内外的科研论文、教材等很多地方都能看到Mathematica的身影。
此外，Mathematica 具有简单、易学、界面友好和使用方便等特点，只要你有一定的数学知识并了解计算机的基本操作方法，就能快速掌握Mathematica大部分主要功能，并能用Mathematica解决在学习、教学和科学研究中遇到的数学求解问题。
简述计算的含义
计算是指将数学问题转化为数值或符号的操作，从而得出所需的结果。
在计算机领域，计算是指由计算机执行的一系列操作，以获得所需的结果。
计算机的计算过程可以包括数学计算、逻辑运算、字符串处理、控制流程等等。
计算的目的是为了解决各种问题和求解各种问题。
计算可以包括数值计算、符号计算、逻辑运算、字符串处理、流程控制等等。
数值计算是指对数值进行加减乘除等数学计算，符号计算是指对符号进行运算和转换，逻辑运算是指对逻辑值进行运算，字符串处理是指对字符串进行操作，流程控制是指对程序的执行流程进行控制。
计算的精度是指计算结果的准确程度。
计算的精度直接影响到计算结果的可靠性和准确性。
在计算机中，计算的精度受到计算机字长和计算方法的影响。
计算机的字长决定了计算机能够表示的最大数值和最小数值，而计算方法则决定了计算结果的精度和误差范围。
计算的复杂性是指计算所需的时间和空间资源。
计算的复杂性影响了计算的效率和可扩展性。
在实际应用中，需要考虑到计算的复杂性和效率，以选择合适的算法和数据结构，以提高计算效率和可扩展性。
计算的可靠性是指计算结果的可靠性和稳定性。
计算的可靠性受到多种因素的影响，如计算方法、计算精度、计算复杂性、数据来源等等。
为了保证计算的可靠性，需要进行充分
的测试和验证，以保证计算结果的准确性和稳定性。
总之，计算是计算机领域中非常重要的一部分。
计算的目的是为了解决各种问题和求解各种问题，计算的精度、复杂性和可靠性直接影响到计算结果的可靠性和准确性。
在实际应用中，需要选择合适的算法和数据结构，考虑到计算的复杂性和效率，并保证计算的可靠性和稳定性。
数值计算和符号计算
for i=2:length(t)
if ysign(i)~=ysign(i-1) >> n,yzero
n=n+1;yzero(n)=i-1; n =
%与前一函数值符号相反，则表示有一零点
end
6 %yzero(n)存放第n个零点对应的下标
end
yzero =
220 523 852 1146 1488
010
100
Adet=det(A)
%求矩阵的行A列de式t =
Aroots =
Arank=rank(A)
%求矩阵的秩 -82
10.8570
Anorm=norm(A) P=poly(A) Aroots=roots(P)
%求矩阵的范数Ara，nk通= 过带不同的参数可以求不同的-2.范677数6
%求矩阵特征多An项o3rm式=
1
五
❖两种计算的特点
、
数
❖数值计算
值
计
❖符号对象和符号表达式
算
和
❖符号计算
符 号
❖符号函数的可视化
计 算
❖Maple函数的使用
5.1 两种计算的特点
2
数值计算特点：
1）以数值数组作为运算对象，给出数值解；
2）计算过程中产生误差累积问题，影响计算结果的精确性；
3）计算速度快，占用资源少。
符号计算特点：
本节主要以例题的形式给出一些常用的数值计算问题的MATLAB解算过程，以 便熟悉MATLAB的计算指令。相对于具体的应用环境，需要根据实际情况查阅 MATLAB函数列表，选择合适的函数和参数进行处理。
【例5－1】矩阵常见运算 L =
1.0000 0 0
maple 的注释
maple 的注释Maple注释: "使用Maple软件进行数值计算和符号计算"Maple软件是一种功能强大的数学软件，可以用于进行数值计算和符号计算。
它提供了丰富的数学函数和工具，可以帮助用户解决各种数学问题。
在数值计算方面，Maple可以进行各种常见的数学运算，如加减乘除、幂运算、三角函数、指数函数等。
它还可以处理复数、向量、矩阵等复杂的数学对象，并提供了相应的运算方法。
用户只需要输入相应的数学表达式，Maple就可以自动计算并给出结果。
同时，Maple还支持数值求解方程、数值积分、数值微分等高级数值计算功能，可以帮助用户解决各种实际问题。
在符号计算方面，Maple可以进行各种符号运算，如符号代数运算、符号微积分运算等。
它可以处理符号表达式，并进行符号计算，得到符号运算的结果。
用户可以定义符号变量，并进行符号运算，Maple会自动化简表达式，展开多项式，合并同类项等，得到结果的最简形式。
同时，Maple还支持符号求解方程、符号积分、符号微分等高级符号计算功能，可以帮助用户解决各种理论问题。
Maple软件的使用非常灵活，用户可以通过命令行界面或图形界面进行操作。
在命令行界面下，用户可以输入相应的命令进行数学运算；在图形界面下，用户可以通过鼠标点击或拖拽的方式进行操作，实现可视化的数学运算。
无论是初学者还是专业人士，都可以轻松上手使用Maple软件。
除了基本的数值计算和符号计算功能外，Maple还提供了许多拓展模块，如数值优化、微分方程求解、概率统计等。
用户可以根据自己的需求安装相应的拓展模块，进一步扩展Maple的功能。
同时，Maple还支持自定义函数和程序，用户可以根据自己的需要编写相应的函数和程序，实现个性化的数学运算。
Maple软件是一款功能强大的数学软件，可以帮助用户进行数值计算和符号计算。
无论是解决实际问题还是进行理论推导，Maple都可以提供有效的数学工具和方法。
计算机符号计算
计算机符号计算
《计算机符号计算》
一、什么是符号计算
符号计算也称计算机符号化模型是一种以符号，而不是常规数值，表示计算机中问题的方法，它将常规的计算问题用符号抽象出来，使得计算机能够自动识别、处理和推理这些问题。
符号计算有两类：一类是符号逻辑计算，另一类是符号模拟计算。
符号逻辑计算是用逻辑表示（包括命题逻辑、概念逻辑、形式逻辑等）建立的符号模型来描述问题的，进而运用推理机制来求解问题；而符号模拟计算是模拟问题本身，通过符号表示和计算机编程等来求解问题。
二、符号计算的优势
1、易操作：符号计算的操作极其简单，因此在计算机中实现符
号计算非常容易，而传统的数值计算则比较复杂。
2、健壮性：符号计算在健壮性方面好于数值计算，能更好地抵
御不确定性和变化的环境。
3、易理解：符号计算能够直观地显示计算过程，被计算的对象
用字符符号表示，容易深入理解，更容易验证计算结果的正确性。
4、准确性：符号计算是通过计算机的模拟，使得能够考虑到计
算中的所有复杂性，从而达到更高的准确性。
三、符号计算的应用
符号计算的应用非常广泛，主要有以下几个方面：
1、模拟计算：符号计算是一种精确模拟，它能够将复杂的现实问题模拟出来，以满足精确模拟的要求。
2、控制系统设计：符号计算能够提供许多便利的方法来处理不确定性和复杂性，因此在控制系统设计中也有广泛应用。
3、智能推理：符号计算本身就是一种智能推理，它能够解决复杂的知识推理问题。
4、大数据处理：符号计算可以帮助处理大数据，它能够快速地处理巨大的数据集，从而得出数据模型和关联结构。
符号计算与数值计算的结合方法研究
符号计算与数值计算的结合方法研究符号计算与数值计算是计算机科学中两个重要的研究领域。
符号计算主要处理符号表达式，能够精确地求解代数方程、微积分问题等数学问题，是高级数学、科学与工程领域不可缺少的工具。
数值计算主要处理离散数据的计算问题，其应用范围非常广泛，包括科学计算、工业计算等。
符号计算和数值计算都有其独特的优缺点，它们之间的结合方法可以充分发挥它们的优势，解决更加复杂的数学问题。
一、符号计算和数值计算的优缺点符号计算和数值计算有各自的优缺点。
符号计算具有高精度、高可靠性和通用性等优点，它能够对代数方程、微积分问题等数学问题进行完全的符号化处理，获得闭合的解析式。
符号计算的缺点是其处理速度较慢，且对于复杂的数学问题难以进行符号化处理。
数值计算具有处理速度快、适用范围广等优点，其模拟了许多现实世界中的问题，能够提供数字解，而不是解析解。
数值计算的缺点是处理的数据是离散的，其精度始终受到数据离散程度的限制。
二、符号计算和数值计算的结合方法符号计算和数值计算之所以能够结合起来，是因为它们既有各自的优势和特点，又有互补的作用。
在实际应用中，符号计算和数值计算常常配合使用，以在不同场景下获得更好的计算效果。
1. 符号计算和数值计算的计算优化符号计算和数值计算的结合方法可以优化计算过程。
符号计算能够将数学问题转换为更加简洁的表达式，使得计算过程更加高效。
数值计算则能够将符号计算得到的表达式对应转化为算法，使得计算结果更加准确。
符号计算通过化简、代数替换等技术，将原本复杂的数学公式转换为更为简单的形式，从而降低计算难度。
数值计算则通过数值模拟、优化算法等技术，加速计算，提高并行化效率，增强数值计算的可靠性。
2. 符号计算和数值计算的数据在表达上的转换符号计算和数值计算的结合方法可以进行数据在表达上的转换。
符号计算的处理结果是高度抽象、形式上的，包括如多项式代数、超几何显式公式等数学结构，在特定场景下能够提供通用性的形式化解。
sage名词解释
SAGE是一个数学软件系统，它提供了广泛的数学工具和功能，包括符号计算、数值计算、图形绘制、数据可视化等。
以下是SAGE的一些名词解释：
1.符号计算：符号计算是一种基于代数和数论的计算方法，可以处理符号表达式和方程，并求解它们的根和解析式。
SAGE提供了广泛的符号计算工具，可以用于代数几何、数论、代数拓扑等领域的研究。
2.数值计算：数值计算是一种基于数值方法的计算方法，可以处理数值方程和函数，并求解它们的数值解。
SAGE提供了多种数值计算方法和算法，可以用于求解偏微分方程、优化问题、统计分析等领域的问题。
3.图形绘制：SAGE提供了多种绘图工具，可以用于绘制函数图像、数据图表、几何图形等。
SAGE的绘图工具支持多种输出格式，可以生成高质量的图像和文档。
4.数据可视化：SAGE提供了多种数据可视化工具，可以用于绘制散点图、柱状图、热力图等。
SAGE的数据可视化工具支持多种输入格式，可以从多种数据源中读取数据，并支持交互式操作和动态更新。
总之，SAGE是一个功能强大的数学软件系统，提供了广泛的数学工具和功能，可以用于各种数学研究和应用。
SAGE的符号计算、数值计算、图形绘制和数据可视化等功能，为数学研究者和工程师提供了高效、可靠的工具和方法。
MATLAB-第五章
例如: factor： 因式分解
>>factor(x^3-6*x^2+11*x-6)
第五章 MATLAB的符号计算
五、符号运算
1 初等代数运算 （3）符号表达式化简（page48，表3-4）
例如: simplify: 对表达式化简
>>simplify(x^3-6*x^2+11*x-6) >>simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) >>simplify(exp(c*log(sqrt(a+b)))) >>simplify((x^2+5*x+6)/(x+2)) >>simplify(sqrt(16))
第五章 MATLAB的符号计算
三、符号表达式的定义
建立符号表达式有以下2种方法： (1)用sym函数建立符号表达式。 >> f=sym('a*x^2+b*x+c'); (2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。 >> syms x y a b c >> f=a*x^2+b*x+c (?)利用单引号来生成符号表达式。 >> f='a*x^2+b*x+c'
第五章 MATLAB的符号计算
五、符号运算
1 初等代数运算 （2）符号表达式的加减乘除幂次方运算
例如： >> f1=sym('1/(a-b)'); >> f2=sym('2*a/(a+b)'); >> f3=sym('(a+1)*(b-1)*(a-b)');
符号和数值混合计算
符号和数值混合计算北京大学数学科学学院2004级谭昌汇摘要符号和数值混合计算是一种利用数值计算方法解决符号计算问题的计算方法，它为符号计算提供了一种新的思维模式和方法。
本报告以多项式的伪除问题为一个切入点，设计傅立叶变换的方法来求解多项式的伪除问题，并证明所得结果的精确性。
这是使用数值计算的方法解决精确问题的一个新的想法，我们希望通过大量的实例检验目前流行的计算机代数系统是否使用了类似的思想和方法。
关键词：符号和数值混合计算，多项式伪除，傅立叶变换1介绍数值计算和符号计算是计算数学的两大重要体系，这两种方法各有优劣，在不同的问题中有着不同的应用。
1.1数值计算数值计算方法是人类为了求解大型的科学和工程问题而不断探索的高速高效计算方法。
数值计算的出现和发展使得很多大规模的问题得到求解，特别是计算机问世以来，越来越多看似相当繁复的计算问题在数值计算的帮助下得到了满意的解答。
数值计算方法以其快速和大规模运算为诸多问题提供了有效的计算支持。
然而，由于数值计算过程中的浮点运算会逐渐累积误差，使得计算结果并不是精确解。
在某些问题看来，一些误差是可以接受的，但对于精度要求比较高，甚至要求完全精确的计算问题来说，数值计算方法就不再适用了。
1.2符号计算为了精确的解决问题，自20世纪五六十年代开始，数学家们开始提出一种新的方法：符号计算方法，也称计计算机代数。
符号计算不再使用浮点近似来处理诸如π，e之类的数，而是使用符号来精确的代替。
这样就不存1在近似过程，也没有误差的出现，得到的结果是精确解。
当然，符号计算也有它的弱点，由于精确的需要，计算过程中将可能累积大量无法消去的符号，这使得以后的计算变慢，同时耗费更多的空间。
由于精确的代价实在太高，许多大型工程问题不可能使用符号计算的方法求解，这也在一方面限制了符号计算的实际应用。
提高速度和节省空间成为了符号计算发展的重要目标。
1.3符号和数值混合计算由于与数值计算实际的工程计算联系更加紧密，同时数值计算的发展时间也要长于符号计算，可以说，数值计算是一门更加成熟的学科，有更多有效的办法供各种问题使用。
MATLAB基础教程 第5章 符号运算
第五章 符号运算
5.1 符号运算基础
2. 符号表达式的转换
(2)expand：该函数用于符号表达式的展开。其操作对象可以是多种类型，如多项 式、三角函数、指数函数等。
例5-6 符号表达式的展开。 >>syms x y; >>f=(x+y)^3; >>expand(f) ans= x^3+3*x^2*y+3*x*y^2+y^3 >>expand(sin(x+y)) ans= sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y) >>expand(exp(x+y)) ans= exp(x)*exp(y)
第五章 符号运算
5.1 符号运算基础
例5-2 符号运算和数值运算之间的差别 >>sym(2)/sym(5) ans= 2/5 >>2/5+1/3 ans=0.7333 >>sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3) ans= 11/15 >>double(sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3)) ans= 0.7333 由上例可以看出，当进行数值运算时，得到的结果为double型数据；采用符号进 行运算时，输出的结果为分数形式。
第五章 符号运算
5.1 符号运算基础
2. 符号表达式的转换
(4)simplify：该函数实现表达式的化简。 例5-8 simplify函数的应用。 >>simplify(sin(x)^2+cos(x)^2) ans= 1 >>syms a b c; >>simplify(exp(c*log(sqrt(a+b)))) ans= (a+b)^(1/2*c) >>S=[(x^2+5*x+6)/(x+2),sqrt(16)]; >>R=simplify(S) R= [3+x, 4]
数值计算和符号计算
for i=2:length(t)
if ysign(i)~=ysign(i-1) >> n,yzero
n=n+1;yzero(n)=i-1; n =
%与前一函数值符号相反，则表示有一零点
end
6 %yzero(n)存放第n个零点对应的下标
end
yzero =
220 523 852 1146 1488
010
100
Adet=det(A)
%求矩阵的行A列de式t =
Aroots =
Arank=rank(A)
%求矩阵的秩 -82
10.8570
Anorm=norm(A) P=poly(A) Aroots=roots(P)
%求矩阵的范数Ara，nk通= 过带不同的参数可以求不同的-2.范677数6
%求矩阵特征多An项o3rm式=
2.8207 Aroots2 =
%求特征根 11.9378
10.8570
Aroots2=eig(A)
%特征根的又一P 种= 求法
-2.6776
%线性方程组求解
1.0000 -11.0000 -6.0000 82.0000
2.8207
x=A\b
%求方程组AX＝b的解
x=inv(A)*b 方程组为：
解为：
1
五
两种计算的特点
、
数
数值计算
值
计
符号对象和符号表达式
算
和
符号计算
符 号
符号函数的可视化
计 算
Maple函数的使用
5.1 两种计算的特点2来自数值计算特点：1）以数值数组作为运算对象，给出数值解；
2）计算过程中产生误差累积问题，影响计算结果的精确性；
五 数值计算和符号计算
syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 D; A=[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]; IA=inv(A); [IAS,D]=subexpr(IA,D) syms a b c d D IA=inv([a b;c d]) [IAS,D]=subexpr(IA,D)
3
五 数值计算和符号计算
[例5-1] 矩阵常见运算 例 A=[1 2 3; 4 7 2;7 4 3 ]; b=[2; 4; 5;]; %矩阵的分解 矩阵的分解 [L U P]=lu(A)%矩阵的 LU 分解，分解成上三角和下三角阵 分解， 矩阵的 [Q,R]=qr(A) %矩阵的 QR 分解 矩阵的 %矩阵的特征参数 矩阵的特征参数 Adet=det(A) %矩阵行列式 矩阵行列式 Arank=rank(A) %矩阵的秩 矩阵的秩 Anorm=norm(A) %矩阵的范数 矩阵的范数 P=poly(A) %矩阵特征多项式 矩阵特征多项式 Aroots=roots(P) %特征根 特征根 Aroots2=eig(A) %特征根另一种求法 特征根另一种求法 %线性方程组求解 线性方程组求解 x=A\b %求方程组 AX=b的解 X 求方程组 的解 4
9
五 数值计算和符号计算
符号计算的步骤： 符号计算的步骤： 1) 定义基本的符号对象，syms, sym 定义基本的符号对象， 2) 构造符号表达式 3) 进行符号计算 例如： 例如：
a = [ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi ]; % 数值数组 a1 = sym( ‘[1/3, 0.2+sqrt(2), pi]’ ); % 符号数组 a2 = sym( ‘2*sin(x)*cos(x)’ ); % 符号表达式 a3 = simple( a2 ); % 符号表达式化简
Mathematica教程PDF
绪论0.1 符号计算系统简介# 数值计算与符号计算1946 年世界上第一台计算机ENIAC (The Electronic Numerical Integrator and Computer) 是为数值积分服务的。
一提起计算机求解人们立刻想到的是数值求解，这是因为计算机的早期应用范围主要是数值求解。
其实数值求解是计算机求解的一个方面，计算机进行计算的另一方面即对数学表示式的处理已形成一门新的科学分支，称为符号计算或计算机代数，它是一门研究使用计算机进行数学公式推导的理论和方法，演算数学公式的理论和算法是它研究的中心课题。
数值计算：常量、变量、函数、运算符--〉数值、字符、逻辑量表达式€一个值多€一近似计算例：计算y=sin10+ln10。
其结果是1.75856。
在高级语言中，算术表达式由常量、变量、函数和运算符等组成，算术表达式的值为某一精度范围内的数值。
计算各类表达式的值是高级语言的主要工作。
符号计算(计算机代数):常量、变量值、函数值--〉数值、字符、逻辑量表达式€表达式多€多准确计算x 2 sin xdx ＝-(-2 + x 2 )cos x + 2 x sin x与数值计算相比，符号计算对计算机硬件和软件提出了更高的要求。
# 符号计算系统符号计算系统是一个表示数学知识和数学工具的系统，一个集成化的计算机数学软件系统。
# 数值计算、# 符号计算、# 图形演示# 程序设计公式推导、数值计算和图形可视化操作一致性和连贯性。
符号计算系统的对象从初等数学到高等数学，几乎涉及所有数学学科。
包括各种数学表达式的化简、多项式的四则运算、求最大公因式、因式分解(factor)、常微分方程和偏微分方程的解函数。
各种特殊函数的推导、函数的级数展开、矩阵和行列式的各种运算和线性方程组的符号解等。
和数值计算一样，算法也是符号计算的核心。
就算法而言，符号计算比数值计算能继承更多的更丰富的数学遗产，古典数学家许多算法仍然是核心算法的成员，近代数学的算法成果也在不断地充实到符号计算中。
cas具体使用方法
cas具体使用方法CAS（Computer Algebra System）即计算机代数系统，是一种能够进行数学符号计算和数学问题求解的软件工具。
它可以处理代数方程、微积分、线性代数、离散数学等各种数学问题，并能够提供符号计算、数值计算、绘图和数据可视化等功能。
CAS的使用方法多种多样，下面将介绍一些常见的CAS使用方法。
一、符号计算符号计算是CAS的核心功能之一，它可以对数学表达式进行符号化处理，得到精确的结果。
例如，我们可以使用CAS求解方程、求导、积分等问题。
1. 方程求解CAS可以帮助我们求解各种类型的方程，包括一元方程、多元方程、高次方程等。
只需要输入方程的表达式，CAS就可以给出方程的解析解。
例如，我们可以使用CAS求解二次方程x^2-5x+6=0的解，CAS会给出x=2和x=3两个解。
2. 求导和积分CAS可以对函数进行求导和积分运算。
只需要输入函数的表达式，CAS就可以给出函数的导数和不定积分。
例如，我们可以使用CAS 对函数f(x)=x^2求导，CAS会给出f'(x)=2x的导数结果。
二、数值计算除了符号计算，CAS还可以进行数值计算，即使用数值近似的方法求解数学问题。
数值计算可以帮助我们解决一些无法通过符号计算求解的问题，例如复杂的数值积分、常微分方程的数值解等。
1. 数值积分CAS可以使用数值方法对函数进行积分运算。
只需要输入函数的表达式和积分区间，CAS就可以给出函数在该区间上的数值积分结果。
例如，我们可以使用CAS计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的数值积分结果。
2. 常微分方程求解CAS可以使用数值方法求解常微分方程的数值解。
只需要输入常微分方程的表达式和初值条件，CAS就可以给出方程的数值解。
例如，我们可以使用CAS求解一阶常微分方程dy/dx=2x的数值解。
三、绘图和数据可视化CAS不仅可以进行数学计算，还可以绘制函数图像、绘制数据图表，帮助我们更直观地理解数学问题。
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• 例4.7 设x由[0, 2]间均匀分布的10个点组成，求 sinx的1～3阶差分。 • MATLAB程序如下： • X=linspace(0, 2*pi, 10) • Y=sin(X) • DY=diff(Y) %计算Y的一阶差分 • D2Y=diff(Y, 2) %计算Y的二阶差分，也可用命 令diff(DY)计算 • D3Y=diff(Y, 3) %计算Y的三阶差分，也可用 diff(D2Y)或diff(DY, 2)
第4章 MATLAB数值计算与符号计算
4.1曲线拟合与插值运算 4.2 数值微积分 4.3 线性方程组求解 4.4 常微分方程的数值求解 4.5 MATLAB符号计算 4.6 级数 4.7 实验五 数值工具箱与符号工具箱的应用
4.1 曲线拟合与插值运算
• 1．多项式的建立与表示方法 • 在MATLAB中，n次多项式用一个长度为n + 1的行向量表示，其元素为多项式的系数，按 降幂排列，缺少的幂次项系数为0。 • 例如，多项式 x 4 12 x3 0 x 2 25 x 116 • 在MATLAB中用向量p=[1 -12 0 25 116]表示。
• 例4.1 多项式P = x4-29x3 + 72x2 - 29x + 1， 以4阶pascal矩阵为自变量分别用polyval和 polyvalm计算该多项式的值。 • 在命令窗口输入如下命令： • p= [1 -29 72 -29 1]; • X=pascal(4); • A=polyval(p, X), B=polyvalm(p, X)
2．多项式的运算
• (1) 多项式的加减运算 • 多项式的加减运算就是其所对应的系数向 量的加减运算。相加减的多项式必须表示 成相同的次数，如果次数不同，应该把低 次的多项式不足的高次项用0补足。
• (2) 多项式的乘除运算 • 命令w=conv(u, v)表示多项式u和v相乘，例如 在MATLAB中输入 • u=[1 2 3 4]，v=[10 20 30]，c=conv(u, v) • 返回 • c= • 10 40 100 160 170 120 • conv指令可以嵌套使用，如conv(conv(a, b), c)。 • 命令[q, r]=deconv(v, u)表示u整除v。 向量q表 示商，向量r表示余， 即有v=conv(u, q)+r。
• 例4.4 向量t和p表示从1900～1990年的每隔10年 的美国人口普查数据： • t=1900:10:1990; • p=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669... • 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633]; • 根据人口普查数据估计1975年的人口，并利用插 值估计从1900～2000年每年的人口数。
• 首先在命令窗口输入插值命令interp1(t, p, 1975)， 估计1975年的人口，返回结果如下： • ans= • 214.8585 • 再利用插值估计1900～2000年每年的人口数，并 利用画图命令得出曲线分布。在MATLAB命令窗 口输入如下命令语句： • x=1900:1:2000; • y=interp1(t, p, x, 'spline'); %样条插值 • plot(t, p, ':o', x, y, '-r') %带圆圈标记的虚线 (:o)为普查数据，红实线 • %(-r)为插值数据 • 所得曲线如图4.2所示。
图4.2 用一维数据插值得到的美国100年人口分布图
• (2) 二维数据插值 • 在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数 interp2，其调用格式为 • Z1=interp2(X, Y, Z, X1, Y1, 'method') • 其中，X, Y是两个向量，分别描述两个参数的采 样点；Z是与参数采样点对应的函数值；X1, Y1是 两个向量或标量，描述欲插值的点；Z1是根据相 应的插值方法得到的插值结果。method的取值与 一维插值函数相同。X, Y, Z也可以是矩阵形式。 • 同样，X1, Y1的取值范围不能超出X, Y的给定范 围，否则，会给出“NaN”错误。
• • • •
(3) 多项式的导函数 对多项式求导数的函数有 k=polyder(p)，返回多项式p的导函数； k=polyder(a, b)，返回多项式a与b的乘积的 导函数； • [q, d]=polyder(b, a)，返回多项式b整除a的 导函数，其分子多项式返回给q，分母多项 式返回给d。
• • • • •
例4.9 用两种方法求 I 0 在MATLAB命令窗口输入 F=inline('1./(x.^3-2*x-5)'); Q=quad(F, 0, 2) 或 Q=quadl(F, 0, 2)
2
1 dx 3 x 2x 5
• • • • ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ • • •
返回 Q= -0.4605 或者采用函数句柄 Q=quad(@myfun, 0, 2) 也可以返回 Q= -0.4605
• 例4.5 利用插值运算对峰值函数peaks插入更多的 栅格。 • MATLAB程序如下： [X, Y]=meshgrid(-3:.25:3); • Z=peaks(X, Y); • [XI, YI]=meshgrid(-3:.125:3); • ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI); • mesh(X, Y, Z), hold, • mesh(XI, YI, ZI+15) • hold off • axis([-3 3 -3 3 -5 20]) • 程序运行结果如图4.3所示。
• • • • •
MATLAB程序如下： w=interp2(service, years, wage, 15, 1975) 程序运行结果如下： w= 190.6287
4.2 数值微积分
• 4.2.1 数值微分 • DX=diff(X)，计算向量X的向前差分， DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1, 2, …, n-1。 • DX=diff(X, n)，计算X的n阶向前差分，例 如diff(X, 2)=diff(diff(X))。 • DX=diff(A, n, dim)，计算矩阵A的n阶差分， dim=1时(默认状态)，按列计算差分； dim=2时，按行计算差分。
3．曲线拟合
• 在MATLAB中用polyfit函数来求得最小二乘拟合多 项式的系数，再用polyval函数按所得的多项式计 算所给出的点上的函数近似值。 • polyfit函数的调用格式为 • [P, S]=polyfit(X, Y, m) • 函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m 次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X, Y 是两个等长的向量，P是一个长度为m + 1的向量， P的元素为多项式系数。
• (4) 多项式求值 • MATLAB中提供了两种求多项式值的函数。 • y=polyval(p, x)，代数多项式函数求值，若x为一 数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵， 则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。 • Y=polyvalm(p, x)，矩阵多项式求值，要求x为方 阵。设A为方阵，p代表多项式x3-5x2+8，那么 polyvalm(p, A)的含义是 • A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)) • 而polyval(p, A)的含义是 • A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))
• 图4.3 用二维数据插值得到的peaks函数曲线图
• • • • • • • • •
例4.6 给定雇员数据如下： years=1950:10:1990; %工作年份 service=10:10:30; %服役时间，即在职时间 wage=[150.697 199.592 187.625 179.323 195.072 250.287 203.212 179.092 322.767 226.505 153.706 426.730 249.633 120.281 598.243]; %工资 利用二维数据插值计算一个雇员在工作15年后在 1975年所获得的工资。
例4.3 用一个6次多项式在区间[0, 2]内 逼近函数
• • • • MATLAB程序如下： x=linspace(0, 2*pi, 50); y=sin(x); P=polyfit(x, y, 6) %得到6次多项式的系 数和误差 • 程序运行结果如下： • P= • 0.0000 -0.0056 0.0874 -0.3946 0.2685 0.8797 0.0102
• 绘出sinx和多项式P(x)在给定区间的函数曲 线，如图4.1所示。
图4.1 用6次多项式对正弦函数进行拟合
4．数据插值
• (1) 一维数据插值 • 在MATLAB中，实现一维数据插值的函数是interp1，被 插值函数是一个单变量函数，其调用格式为 • yi=interp1(x, Y, xi, method) • 函数根据x, y的值，计算函数在xi处的值。x, y是两个等 长的已知向量，分别描述采样点和样本值，xi是一个向 量或标量，描述欲插值的点，yi是一个与xi等长的插值 结果。method是插值方法，允许的取值有'linear'、 'nearest'、'cubic'、'spline'，分别表示线性插值、最近 点插值、3次多项式插值、3次样条插值。 • 注意：xi的取值范围不能超出x的给定范围，否则，会给 出“NaN”错误。
• 程序运行结果如下： • X= • 0 0.6981 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888 4.8869 5.5851 6.2832 • Y= • 0 0.6428 0.9848 0.8660 0.3420 -0.3420 -0.8660 -0.9848 0.6428 -0.0000 • DY= • 0.6428 0.3420 -0.1188 -0.5240 -0.6840 -0.5240 -0.1188 0.3420 0.6428 • D2Y= • -0.3008 -0.4608 -0.4052 -0.1600 0.1600 0.4052 0.4608 0.3008 • D3Y= • -0.1600 0.0556 0.2452 0.3201 0.2452 0.0556 -0.1600