隐函数方程求解以及导函数——符号计算和数值计算结合
《高等数学》四隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
《高等数学》四隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数高等数学中的四隐函数的导数对数求导法指的是通过参数方程所确定的函数来求导。
这种方法在求解一些复杂函数的导数时非常有效，可以简化计算过程，提高求解的准确性和效率。
首先，我们来了解一下什么是隐函数和参数方程。
在数学中，当一个方程中的变量无法明确地表示出来时，就称为隐函数。
例如，x^2+y^2=1就是一个隐函数。
而参数方程是一种表示曲线的方法，其中，x和y是两个独立变量的函数。
参数方程可以将曲线上的点表示为(x(t)，y(t))的形式，其中t是一个参数。
例如，x = cost，y = sint是描述一个单位圆的参数方程。
接下来，我们使用参数方程来求解隐函数的导数。
假设有两个参数方程x=f(t)和y=g(t)，我们想要求解由这两个参数方程所确定的隐函数y=f(x)。
我们可以通过以下步骤来计算：步骤1：首先，通过第一个参数方程求解t关于x的导数，即 dt/dx = dx/dt ÷ dy/dt。
这个导数表示了x的变化速率对应于t的变化速率的比例关系。
步骤2：接下来，通过将t关于x的导数带入第二个参数方程，得到y关于t的导数 dy/dt。
这个导数表示了y对t的变化速率。
步骤3：最后，通过链式法则，将dy/dt乘以dx/dt，即 dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt)。
这个导数表示了y对x的变化速率。
这就是我们所要求解的隐函数的导数。
通过以上的步骤，我们可以得到通过参数方程所确定的隐函数的导数。
这种方法可以应用于各种隐函数求导的情况，无论是简单的方程还是复杂的曲线，都能有效地进行计算。
然而，需要注意的是，对于一些特殊的函数，使用参数方程进行求导可能并不是最方便的方法。
在实际应用中，我们可以根据具体问题和计算的需要选择不同的求导方法，以求解隐函数的导数。
总结起来，四隐函数的导数对数求导法是一种通过参数方程来求解隐函数导数的方法。
9.5隐函数方程求导法则
y)，求
2z x 2
和
2z xy
第9章 多元函数
解：z x
ln
yf1'
f
' 2
2z x 2
ln
y
f1' x
f
' 2
x
ln
y(ln
yf11
f12 ) (ln
yf21
f22 )
ln2 yf11 ln y( f12 f21 ) f22
u v
z
uv
当u ( x, y)、v ( x, y)时，( z 是中间变量 u、v的函数)
有全微分： dz z du z dv u v
z
uv
x yx y
分析：
第9章 多元函数
dz z dx z dy
x y
( z u z v ) dy
知识回顾： 1. F( x, y) 0
第9章 多元函数
隐函数求导方法: （1、直接法）
两边对 x 求导 （y是x的函数）
(含导数 y的方程)
第9章 多元函数
例 求由方程 xy ex ey 0所确定的隐函数y的导数 dy dx
解1 方程两边对 x求导 : （y是x的函数） 由复合函数求导法则可得：
第9章 多元函数
1. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z fu (u ,v) d u fv (u ,v) d v
2、隐函数 求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式
用消元法解二元线性方程组：
第9章 多元函数
隐函数的求导法则
隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。
具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。
在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。
假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。
如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。
我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。
现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。
现在我们来看几个例子。
例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。
假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。
我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。
假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。
我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。
我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。
我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。
隐函数求导详细过程
隐函数求导详细过程对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
一、一个方程的情形=0 (1)求它所确定的隐函数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，, ，则方程=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有(2) 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。
现仅就公式(2)作如下推导。
将方程(1)所确定的函数代入，得恒等式,其左端可以看作是的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得由于连续，且，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内，于是得如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再一次求导，即得例1 验证方程在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。
解设，则,.因此由定理1可知，方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数。
下面求这函数的一阶和二阶导数=，;=。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程()=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数()的性质来断定由方程()=0所确定的二元函数=的存在，以及这个函数的性质。
这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程()=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有=,=. (4) 这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.由于(, )≡0,将上式两端分别对和求导，应用复合函数求导法则得+=0, +=0。
隐函数求导的基本步骤与方法
隐函数求导的基本步骤与⽅法
1、隐函数求导的基本原则
对于隐函数求导⼀般不赞成通过记忆公式的⽅式来求需要计算的导数，⼀般建议借助于求导的四则运算法则与复合函数求导的运算法则，采取对等式两边同时关于同⼀变量的求导数的⽅式来求解。
即⽤隐函数求导公式推导的⽅式求隐函数的导数。
这样的⽅式不管对于具体的函数表达式还是抽象函数描述形式都适⽤。
具体过程可以参见下⾯列出的课件！
2、多元复合函数求导数的基本步骤
（1）确定最终函数与最终变量。
（2）通过中间函数，或者通过引进中间函数符号，或通过序号标记中间函数复合过程函数，确定复合过程。
（3）关键：绘制变量关系图。
（4）链式法则：
分段⽤乘, 分叉⽤加, 单路全导, 叉路偏导。
从最终函数到最终变量有⼏条路径就有⼏项相加，每条路径上的分段数就是每项相乘的项数；依据这个法则，就可以直接⾮常准确地写出计算式。
（5）完成计算。
【注1】多元抽象复合函数的导数所具有的复合结构，与原来函数的复合结构⼀样。
【注2】如果要求导数的函数是复合函数，或与其他函数的四则运算表达式，⼀般先进⾏四则运算，对于其中的复合函数求导时，对于需要的计算结果再单独使⽤复合函数求导法则进⾏计算，将计算得到的结果代⼊原来四则运算的计算公式，然后得到最终需要的结果。
第五节隐函数求导法则
第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。
在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。
本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。
一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。
对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。
但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。
假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。
隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。
2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。
3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。
这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。
1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。
2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。
3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。
4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。
求隐函数偏导数的三种方法
求隐函数偏导数的三种方法求隐函数的偏导数是微积分中的一个重要概念，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。
在求解隐函数的偏导数时，我们可以采用三种方法来进行计算，分别是隐函数法、参数化方法和对数求导法。
下面将分别介绍这三种方法的原理和应用。
首先是隐函数法。
隐函数法是一种常用的求解隐函数偏导数的方法，它的基本思想是将隐函数转化为显函数，然后再进行求导。
具体步骤如下：1. 假设给定一个由x和y构成的方程F(x, y) = 0，其中y是x的隐函数。
我们需要找到一个关系式来表示y关于x的导数dy/dx。
2. 对方程F(x, y) = 0两边同时对x求导，得到F_x(x, y) + F_y(x, y) * dy/dx = 0，其中F_x和F_y分别表示F关于x和y的偏导数。
3. 将上述方程变换为dy/dx的表达式，即dy/dx = -F_x(x, y) / F_y(x, y)。
通过上述步骤，我们就可以得到隐函数的偏导数dy/dx。
隐函数法在求解具有隐函数形式的方程时非常有用，能够简化计算过程，提高求解效率。
接下来是参数化方法。
参数化方法是另一种常用的求解隐函数偏导数的方法，它的基本思想是将隐函数转化为参数方程，然后再进行求导。
具体步骤如下：1. 假设给定一个由x和y构成的方程F(x, y) = 0，其中y是x的隐函数。
我们需要找到一个参数t，使得x和y都可以表示为t的函数。
2. 通过参数化，将方程F(x, y) = 0转化为F(x(t), y(t)) = 0，其中x 和y都是t的函数。
3. 对上述方程同时对t求导，得到F_x(x(t), y(t)) * x'(t) + F_y(x(t), y(t)) * y'(t) = 0，其中x'和y'分别表示x和y关于t的导数。
4. 将上述方程变换为dy/dx的表达式，即dy/dx = -x'(t) / y'(t)。
通过上述步骤，我们就可以得到隐函数的偏导数dy/dx。
隐函数求导方法及应用
隐函数求导方法及应用隐函数求导作为微积分中的重要概念之一，在解决实际问题中起到了重要的作用。
本文将介绍隐函数求导的方法以及其在实际应用中的具体案例。
一、隐函数求导的基本概念和方法隐函数是一类无法用显式表达式表示的函数，其自变量和因变量之间的关系以隐含的形式存在。
在进行隐函数求导时，我们可以利用链式法则和隐函数定理来完成。
1. 链式法则链式法则是求导中的一个基本原理，用于处理复合函数的求导问题。
对于一个由两个函数构成的复合函数，求导时可以分别对其内外两个函数进行求导，然后相乘得到最终的导数。
2. 隐函数定理隐函数定理是隐函数求导的基础，它通过求偏导数的方式将隐函数的导数转化为已知的函数导数。
对于一个由两个变量构成的隐函数，根据隐函数定理，可以通过求解偏导数的方程组得到隐函数的导数。
二、隐函数求导的实际应用隐函数求导在实际问题中具有广泛的应用，包括物理、经济、生物等领域。
下面将以物理学中的匀变速直线运动问题为例，来说明隐函数求导的应用过程。
假设一个物体在水平方向上做匀变速直线运动，位置与时间的关系可以表示为 x = f(t)，速度与时间的关系可以表示为 v = g(t)。
根据运动学的知识，速度的定义是位移对时间的导数，即v = dx/dt。
根据隐函数求导的方法，我们可以将速度表示为 v = dx/dt = dx/dt * dt/dt = dx/dt * dt/dx。
由于 x = f(t)，所以 dx/dt = d(f(t))/dt。
同理，将 v = dx/dt * dt/dx 带入到 dx/dt = d(f(t))/dt 中，可以得到 v = d(f(t))/dt * dt/dx。
进一步推导可得 v = dx/dt = d(f(t))/dt * dt/dx = d(f(t))/dx。
通过这个例子，我们可以看到隐函数求导的应用在物理学问题中的价值。
三、结论隐函数求导是微积分中的重要概念，通过应用链式法则和隐函数定理，我们可以求解无法用显式表达式表示的函数的导数。
隐函数与参数方程的求导法教学
设 x x(t)及 y y(t)都是可导函数, 而变量x与
y之间存在某种关系, 从而它们的变化率dx 与 dt
dy dt
之
间
也相关存变化在率一问
题:
定
关
系已, 知这其样中一两个变个化 率时，如何求出另
相
互
依
赖
的
变 化 率 称 为 相 关 变 化 率. 一个变化率?
例10 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
第四节 隐函数与参数方程的求导法
一、隐函数的导数
01
定义:
y f ( x) 形式的函数称为显函数.
02
隐函数的显化
F ( x, y) 0 y f ( x) 0 3
问题: 若隐函数不易显化或不能显化，如何求导?
04
隐函数求导法:
05
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
06
解出
例1 求由方程xy e x e y 0所确定的隐函数
等式两边取对数,得
例5
设
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求y.
解
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导, 得
1 y 1 1 2 1
y
x 1 3( x 1) x 4
y y[ 1 1 2 1] x 1 3( x 1) x 4
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
设方程 x3 y3 3xy确定了函数y y( x)
解 方程两边对 x 求所导求,切得线方3程x2为 3 y2 y 显然3通y过原3点xy.
y
《隐函数的求导》课件
案例二：物理学中的热传导问题
总结词
在解决物理学中的热传导问题时，隐函数求导可以用于 分析温度分布和热流密度。
详细描述
在研究热传导问题时，常常需要建立描述温度分布的隐 函数方程，如$T(x,y,z,t) = f(x,y,z,t)$，其中$T$表示温度 ，$(x,y,z)$表示空间坐标，$t$表示时间。通过对隐函数 $f(x,y,z,t)$求导，可以分析温度随时间和空间的变化情 况，以及热流密度的分布和变化。
02
隐函数的求导法则
链式法则
链式法则
当一个复合函数的内函数是隐函数时，其导数可以通过链式法则进行求解。链式法则是求导中的基本法则之一， 用于求解复合函数的导数。具体来说，如果一个复合函数 y = f(u) 的内函数 u 是隐函数 u = g(x)，则复合函数 的导数 dy/dx 可以表示为 f'(u) * du/dx。
多重隐函数求导问题
总结词
隐函数求导中，多重隐函数求导是一个复杂 的问题。
详细描述
当一个函数由多个隐函数组成时，每个隐函 数都需要单独求导。在求导过程中，需要特 别注意各个隐函数之间的相互依赖关系，以 及它们对导数的贡献。解决多重隐函数求导 问题通常需要使用复合函数的求导法则和链 式法则。
隐函数在约束优化问题中的应用
物理问题中的应用
力学系统分析
隐函数可以用于描述物理中的力学系统，如弹簧振荡、流体动力学等，通过求 导可以分析系统的动态特性。
热传导方程
隐函数可以用于表示热传导方程，通过求导可以求解温度分布和热传导过程。
工程问题中的应用
控制工程
隐函数可以用于描述控制系统中的传递函数，通过求导可以分析系统的稳定性、时域和 频域特性。
Байду номын сангаас
隐函数的求导方法
隐函数的求导方法隐函数是指由两个或多个变量的函数方程所确定的函数。
在一些情况下，我们无法直接通过解方程得到显式函数表达式，而只能得到一个隐函数方程。
对于这种情况，我们需要使用隐函数求导的方法来求隐函数的导数。
一、隐函数偏导数法隐函数偏导数法是根据隐函数方程的特定条件和偏导数的定义，通过求偏导数的方式计算隐函数的导数。
假设有一个由x和y两个变量确定的方程F(x,y)=0，表示为F(x,y)=0。
其中F(x,y)是一个关于x和y的函数。
步骤如下：1. 对方程两边同时对 x 求偏导数，记为∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
2. 解上述方程，将 dy/dx 表达成∂F/∂x 和∂F/∂y 的比值。
3. dy/dx 就是所求的隐函数的导数。
这种方法对于求解常见的一阶隐函数方程非常有效，但不能用于求解二阶或高阶隐函数方程。
二、全导数法全导数法是通过定义全导数的方式，将隐函数导数表示成全导数的形式。
假设有一个由x和y两个变量确定的方程F(x,y)=0，表示为F(x,y)=0。
其中F(x,y)是一个关于x和y的函数。
步骤如下：1. 对方程两边同时对 x 求导，得到∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
2. 对方程两边同时对 y 求导，得到∂F/∂x * dx/dy + ∂F/∂y = 0。
3.将上述两个方程组成一个方程组，可以用矩阵的形式表示，即：∂F/∂x ∂F/∂y， * ，dx/dy， = ，-∂F/∂y ∂F/∂这个方程组表示了偏导数的关系。
4. 解方程组求出 dx/dy，其值就是所求的隐函数的导数。
全导数法可以用于求解一阶、二阶甚至高阶的隐函数方程，比较灵活和通用。
总结：隐函数的求导方法主要有隐函数偏导数法和全导数法。
隐函数偏导数法适用于求解一阶隐函数方程，而全导数法对一阶、二阶以及高阶隐函数方程均可使用。
在实际应用中，根据具体的问题和情况选择适合的求导方法，能够更加方便地求得隐函数的导数。
隐函数的求导公式法
隐函数的求导公式法隐函数是数学中的一个重要概念，其求导公式法是求解隐函数导数的一种常用方法。
在一元函数中，我们通常可以直接通过求导公式来计算导数，但在多元函数中，隐函数往往以隐含的形式存在，这时候我们就需要用到隐函数的求导公式法。
隐函数的求导公式法可以用来求解含有隐函数的方程中的导数，通过这种方法，我们可以推导出隐函数的导数表达式，从而求解问题。
首先，我们先来说明一下隐函数的概念。
在二维平面上，如果一个方程能够表示成x和y的关系，即F(x,y)=0，则称y是x的隐函数。
例如，方程x^2+y^2-1=0，可表示为F(x,y)=x^2+y^2-1=0。
这个方程就是一个隐函数。
然后，我们来看看如何使用隐函数的求导公式法。
首先，假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，我们要求解这个隐函数的导数。
步骤1：对F(x,y)=0两边进行求导，得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
步骤2：将dy/dx的部分整理出来，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
通过这两个步骤，我们就得到了隐函数的求导公式。
现在，我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个隐函数方程x^2+y^2-1=0，我们要求解y对x的导数。
步骤1：对方程进行求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0。
步骤2：将dy/dx的部分整理出来，得到：dy/dx = -x/y。
所以，对于方程x^2+y^2-1=0，其隐函数的导数表达式为dy/dx = -x/y。
通过这个求导公式，我们可以求解隐函数在任意点处的导数。
例如，我们要求解在点(1,0)处的导数。
首先，我们代入x=1，y=0到dy/dx的表达式中，得到dy/dx = -1/0。
我们发现分母为0，说明在这个点导数不存在，这意味着曲线在该点处的切线是垂直于x轴的直线。
通过这个例子，我们可以看出，隐函数的求导公式法在求解隐函数导数时是十分有用的。
它不仅可以帮助我们求解隐函数的导数，还可以帮助我们理解隐函数的性质和曲线的特点。
隐函数和参数方程求导法
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例
1. Kepler equation : y x sin y 0； 2. 求 x 2 y 2 R 2 ( R 0)所确定的隐函数 导数，并求它在 M 0 ( x0 , y0 ) 的切线方程； 3. 求 y (sin x )cos x (sin x 0) 的导数.
y
v0
vy
v vx
轨迹在t 0时刻的切线方向 , 可由切线的斜率来反映.
o x
1 2 (v 0 t sin gt ) dy v0 sin gt 2 dx (v 0 t cos ) v0 cos
dy dx
t t0
v 0 sin gt 0 . v 0 cos
3t 3t f ( e 1 ) e 3 dy 解： f ( t ) dx
3 f ( 0 ) dy 3 f ( 0 ) dx t 0
x (t ) d2y 例4. ,求 2 ; dx y (t ) dy ( t ) 解： dx ( t ) 2 ( t ) d ( t ) dt d y d dy d dx 2 dx dx dx ( t ) dt ( t ) dx 1 ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 2 (t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 3 ( t ) 注意 : 已知
x0 x1 y1 cot t x1 a cos t1
d ( x1 ( t ) x0 )2 y12 ( t )
( x1 ( t ) x1 ( t ) a cos t1 )2 a 2 sin2 t1
隐函数和参数方程求导法
隐函数和参数方程求导法1.隐函数求导法隐函数求导法用于求解包含隐函数的导数。
一般来说，我们可以将隐函数表示为两个变量之间的关系式，例如y=f(x)。
在一些情况下，这个关系式无法直接解出y关于x的显式表达式。
这时，我们可以使用隐函数求导法来找到y关于x的导数。
假设有一个含有两个变量x和y的隐函数关系式F(x,y)=0。
要求这个隐函数关于x的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：对关系式两边同时求导，并得到导数关系式dF/dx = 0；步骤2：根据导数关系式，将dF/dx中的y'用y和x表示出来；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
举例说明：假设有一个隐函数关系式x^2+y^2=1、我们要求这个隐函数关于x的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：对关系式两边同时求导，得到2x + 2yy' = 0；步骤2：将dF/dx中的y'用y和x表示出来，得到y' = -x/y；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
通过以上计算，我们得到了这个隐函数关于x的导数为y'=-x/y。
参数方程求导法用于求解包含参数方程的导数。
参数方程是用参数表示的轨迹方程，常用形式为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于参数t 的函数。
要求参数方程的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt和dy/dt；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到y关于x的导数dy/dx；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数。
举例说明：假设有一个参数方程x=2t，y=t^2、我们要求这个参数方程的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt = 2 和dy/dt = 2t；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) = (2t)/(2) = t；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数，例如二阶导数d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = d(t)/dx = 0。
高等数学隐函数求导法则
高等数学隐函数求导法则
高等数学隐函数求导法则是指当被求导的函数中含有一个隐函数时，求函数和隐函数的导数。
这种情况下，不能像求常见函数的导数那样，使用常见的微积分中的微分法则来直接求解，而是要使用高等数学隐函数求导法则，使用更加复杂的求解方法。
高等数学隐函数求导法则的基本原理是：若函数f(x,y)
含有隐函数y=φ(x)，则y的导数可表示为
dy/dx=dy/dx+φ'(x)dx/dx，这里φ'(x)表示隐函数y=φ(x)
的导数。
这就是求解隐函数求导时， x 不变，只考虑 y 求导的原理，也是微积分中隐函数求解中常用到的法则，成为高等数学隐函数求导法则。
高等数学隐函数求导法则在求解函数和隐函数的导数时，都要求解隐函数的导数，这就需要考虑隐函数的定义域，即显函数的定义域这个问题，要严格遵守求解隐函数求导的基本原理。
例1.若f(x,y)=x+y，其中y=φ(x)=sin(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=x+cos(x)dx/dx=1+cos(x).
例2.若f(x,y)=2x+y，其中y=φ(x)=ln(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=2+1/x dx/dx = 2+1/x.
从上面几个例子来看，使用高等数学隐函数求导法则是一种既有系统又有效的方法，解决涉及到隐函数求导的问题。
最重要的是，要避免求导出现不对称或错误结果，就必须牢记求解隐函数求导的基本原理，严格按照高等数学隐函数求导法则进行求解。
隐函数的求导方法 通俗易懂
隐函数的求导方法一、引言隐函数是高等数学中的一个重要概念，它是指由一个方程所确定的函数。
在求解隐函数的导数时，我们需要采用一些特殊的方法来处理。
本文将介绍几种通俗易懂的隐函数求导方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、隐函数与显函数的区别在开始介绍隐函数的求导方法之前，我们先来回顾一下隐函数与显函数的区别。
显函数是指以自变量直接表示的函数，例如y=f(x)，其中y能够通过x的值来唯一确定。
而隐函数则是由一个方程所确定的函数，例如F(x,y)=0，其中y不能直接用x 的值来表示，需要通过方程进行求解。
三、常用的隐函数求导方法1. 隐函数微分法隐函数微分法是求解隐函数导数的一种常用方法。
它的基本思想是将隐函数的方程两边同时微分，并利用链式法则和隐函数的导数定义进行求解。
具体步骤如下： 1. 对隐函数方程两边同时取微分，记隐函数关于自变量的导数为dy dx ； 2. 利用链式法则，将dydx表示为dydt和dxdt的乘积形式； 3. 将dxdt换为1（这一步利用了隐函数的导数定义）； 4. 化简表达式，求得dydt ； 5. 如果需要求解dydx，则将dydt 与dxdt相除。
2. 雅可比行列式法雅可比行列式法适用于多元隐函数的求导问题，它利用了雅可比行列式的性质进行计算。
该方法在部分场景下比隐函数微分法更加简便。
具体步骤如下： 1. 将多元隐函数方程表示为向量形式F(x,y)=0，其中x为自变量向量，y为隐函数向量； 2. 对向量方程求导，得到雅可比矩阵J=∂F∂(x,y)； 3.根据隐函数定理，当雅可比行列式|J|≠0时，可以求得隐函数的导数； 4. 通过分块矩阵的形式，将雅可比矩阵拆分为[A B]的形式； 5. 隐函数的导数为−A −1B|A|。
四、隐函数求导实例为了更好地理解上述方法，我们通过一个实例来演示隐函数的求导过程。
假设有一个隐函数方程e x+y2+2xy=1，我们希望求解该方程所确定的隐函数的导数dydx。
第二章第四讲---隐函数求导和参数式求导
第四讲隐函数的导数和参数式求导一、隐函数的导数若由方程可确定y 是x的函数,则称此函数为隐函数.若能由这种形式表示的函数, 称为显函数.例如,可确定显函数可确定y 是x的函数,但此隐函数不能显化.问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导方法:用复合函数求导法直接由方程两边对x求导.y(含导数的方程)解0=+-+dxdy e e dx dy x y y x 解得：,yxex ye dx dy +-=,,00==y x 000===+-=∴y x yxx ex y e dxdy .1=方程两边对求导：x例1 求由方程所确定的隐函数的导数0=+-yxe e xy .,0=x dxdy dx dy y1)对幂指函数)()(x v x u y =可用对数求导法求导:uv y ln ln =y y '1u v ln '=uv u '+)ln (uv u u v u y v'+'='隐函数求导的这种方法需要说明以下几点:例2. 求的导数.解: 两边取对数：两边对x 求导xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=')1sin ln (cos x x x x y y ⋅+⋅='∴)sin ln (cos sin xx x x x x+⋅=2) 有些显函数用对数求导法求导很方便.再如,两边取对数=y ln 再当作隐函数求导，两边对x 求导='yy b a ln x a -x b ++bax ln +-]ln ln [x b a ]ln ln [a x b -二、参数式求导例如参数方程⎩⎨⎧==,,22t y tx 2x t =222)(x t y ==42x =xy 21='∴消去参数问题: 消参困难或无法消参如何求导?t 若参数方程确定y 与x 间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。
()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩则0≠')(t ϕ时,有=x y d d x t t y d d d d ⋅tx t y d d d d 1⋅=)()(t t ϕψ''=可导, 且其中若参数方程可确定一个y 与x 间的函数关系，()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩函数具有单调连续的反函数，这个反函数与()x t ϕ=1()t t ϕ-=()y t ψ=构成了复合函数，1[()]y t ψϕ-=复合函数求导法则反函数求导法则)()(t t ψϕ''=0≠')(t ψ时,有=y x d d y t t x d d d d ⋅ty t x d d d d 1⋅=(此时x 看成是y 的函数)若上述参数方程中二阶可导,)()(d d t t x y ϕψ''=)(t x ϕ=且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得)(22dx dy dx d dxy d =dx dt t t dt d ))()((ϕ'ψ'=)(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=.)()()()()(t t t t t 3ϕϕψϕψ''''-'''=d ()d ()y t x t ψϕ'='()()()d t dx t ψϕ'='1()()()d t dx dt t dtψϕ'='tt t a tt a t t x y cot cos sin sin cos )()(d d -=-=''=2233ϕψ解:)(dx dydx d dx y d =22(cot )ddtt dt dx =-2213csc sin cos t a t t =ta tcos sec 34=例3求由参数方程所确定的函数的二阶导数。
隐函数问题的数值求解算法
隐函数问题的数值求解算法隐函数问题（implicit function problem）是数学中一类常见的问题，其求解过程相较于显函数问题（explicit function problem）更为复杂。
隐函数问题的数值求解算法则是用于求解这类问题的一种方法，本文将对隐函数问题的数值求解算法进行介绍。
一、隐函数问题简介隐函数问题是指给定一个方程，其中包含了一个或多个未知变量之间的关系，要求求解这些未知变量的值。
相较于显函数问题，隐函数问题的困难在于找到这些未知变量之间的关系，并求解方程。
例如，对于方程 f(x, y) = 0，其中 x 和 y 为未知变量，我们需要找到 x 和 y 的关系，并求解方程。
二、隐函数问题的数值求解算法隐函数问题的数值求解算法包括以下几个步骤：1. 初始值选择：根据问题的特点，选择一个或多个初始值作为迭代的起点。
2. 迭代求解：利用数值迭代方法，根据隐函数方程进行迭代计算，直到满足收敛条件为止。
常用的迭代方法包括牛顿法、弦截法等。
3. 收敛性判断：在进行迭代计算时，需要根据一定的收敛准则进行收敛性判断。
常用准则包括判断迭代结果的相对误差、绝对误差是否满足一定要求。
4. 输出结果：根据需要，可以输出隐函数方程的解，或者进一步进行处理和分析。
三、常用的数值求解算法在隐函数问题的数值求解中，常用的数值算法主要包括牛顿法和弦截法。
1. 牛顿法（Newton's method）：牛顿法是在数值分析中常用的一种迭代方法，用于寻找方程的根。
牛顿法基于切线的思想，通过不断迭代逼近方程的根。
具体步骤为：首先选择一个初始值作为迭代起点，然后计算方程在该点的斜率，即导数值。
根据切线的定义，可以得到切线与 x 轴的交点，将该点作为下一个迭代点继续进行迭代，直到满足收敛条件。
2. 弦截法（Secant method）：弦截法是一种利用割线逼近方程根的数值方法。
与牛顿法类似，弦截法也是通过迭代计算逼近方程的根。
隐函数练习题求解隐函数的导数与相关性质
隐函数练习题求解隐函数的导数与相关性质隐函数是在一些方程中无法直接解出的函数，而是以一种隐含的方式存在于方程中。
求解隐函数的导数与相关性质是数学中的重要问题之一。
本文将通过几个隐函数练习题来讨论如何求解隐函数的导数以及一些相关的性质。
一、题目一考虑方程：y - x^3 + x^2 - 3 = 0解：我们需要求解方程中的隐函数 y = f(x)。
首先，对于 x 来说，方程右端的部分可以看作一个常数 k。
因此，我们可以将 y 表示为 x 的函数，即：y = x^3 - x^2 + 3接下来，我们就可以利用隐函数求导的方法来求解隐函数的导数。
对上式两边同时求导，我们得到：dy/dx = 3x^2 - 2x这就是方程 y - x^3 + x^2 - 3 = 0 隐含的导数表达式。
二、题目二考虑方程：x^2 + y^2 - 4x + 2y = 3解：同样地，我们需要求解方程中的隐函数 y = f(x)。
对于 x 和 y 来说，方程右端的部分可以看作一个常数 k。
因此，我们可以将 y 表示为x 的函数，即：y = sqrt(3 - x^2 + 4x) - 2注意到在求解过程中，我们需要考虑到方程右端开根号的部分。
由于该开根号符合函数的定义域要求，所以我们可以将其保留。
接下来，我们依然可以利用隐函数求导的方法来求解隐函数的导数。
对上式两边同时求导，我们得到：dy/dx = (-2x + 4) / (2 * sqrt(3 - x^2 + 4x))同时，我们还可以讨论一些相关的性质。
例如，我们可以计算该隐函数在某个特定点处的导数值，来判断该点处的斜率情况。
另外，通过对隐函数的导数表达式进行分析，我们还能得到该函数的单调性、凹凸性等性质。
三、题目三考虑方程：x^3 + y^3 - 3xy = 0解：同样地，我们需要求解方程中的隐函数 y = f(x)。
对于 x 和 y 来说，方程右端的部分可以看作一个常数 k。
因此，我们可以将 y 表示为x 的函数，即：y = (3x)^(1/3)对上式两边同时求导，我们得到：dy/dx = (1/3) * (3x)^(-2/3)在这个例子中，我们可以看到，由于方程中的 y 的幂次较低，导数的计算相对简单一些。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
这个问题可以作为符号运算和数值运算结合的很好的一个例子：利用隐函数求导公式对f
进行一二阶求导，然后利用solve得到B关于t的一、二阶导数的符号表达式，然后再利用eval函数转化成数值表达式：整个代码如下：
1.
2.syms A B ;
3.r=1;beta=pi/5;rho=2;
4.%f的符号表达式
5.f=(r*sin(A)-rho*sin(3*B))*(cos(beta)-sin(beta)*cos(3*B)-...
6. sin(beta)*sin(3*B)*tan(B))-(r*cos(A)-rho*cos(beta)*cos(3*B))*
tan(B);
7.%将A,B分别用90*t和B(t)替换，为的是好利用符号diff函数来求对B关于
t的隐函数F求导
8. F = subs(f,{'A','B'},{'90*t','B(t)'});
9.dFt = diff(F,'t');%一阶导数
10.%将diff(B(t), t)用dBt替换，为的是下一步方便用solve求解diff(B(t), t)
的表达式
11.dFt = subs(dFt,'diff(B(t), t)','dBt');
12.dBt = solve(dFt,'dBt');%得到B关于t的一阶导数的表达式
13.%将dBt用dBt(t)替换，为的是告诉MATLAB,dBt是关于t的函数，能够进一步
求导
14.dFt_ = subs(dFt,'dBt','dBt(t)');
15.ddFt = diff(dFt_,'t');%二阶导数
16.%替换'diff(dBt(t), t)','diff(B(t), t)'，方便求解ddBt的表达式
17.ddFt = subs(ddFt,{'diff(dBt(t), t)','diff(B(t),
t)'},{'ddBt','dBt(t)'});
18.ddBt = solve(ddFt,'ddBt');%求解B关于t的二阶导数的表达式
19.B = @(t) fzero(@(B) (r*sin(90*t)-rho*sin(3*B))*(cos(beta)-...
20. sin(beta)*cos(3*B)-sin(beta)*sin(3*B)*tan(B))-...
21. (r*cos(90*t)-rho*cos(beta)*cos(3*B))*tan(B),1);%B关于t的函数
22.eval(['dBt = @(t) ',char(dBt),';' ])%利用eval函数将符号dBt的表达式
转化为数值函数
23.eval(['ddBt = @(t) ',char(ddBt),';' ])
24.R = 1;
25.C = @(t) R*cos(90*t)/tan(B(t))+sin(90*t);%C的表达式
26.t = 0.2:0.1:2;
27.plot(t,arrayfun(@(T) C(T),t) )%画C关于t的图
28.
复制代码
需要说明的是得到B的函数句柄B(t)后我们可以利用导数的定义来近似表达式dBt，和ddBt，这样的优点是速度快，但是不精确。
上述得到的dBt,ddBt,较为精确，但是计算量比较大。
1.
2.>> (B(1)-B(1.00001))/-0.00001
3.ans =
4.-8.656343*********
5.>> dBt(1)
6.ans =
7.-8.664398751230884
8.>> (dBt(1)-dBt(1.00001))/-0.00001
9.ans =
10. 1.611166395037067e+003
11.>> ddBt(1)
12.ans =
13. 1.610613426031270e+003
14.
复制代码
C关于t的图形。