2.3.多项式的最大公因式(二)
多项式的最大公因式
那么就称d( x)是f1( x)，f2( x)，L ，fn( x)的一个最大 公因式.
定理2.4 如果d( x)是多项式f ( x)与g( x)的 一个最大公因式，那么cd( x)也是f ( x)和g( x)的 一个最大公因式，其中0 c F . 反过来，如果 d( x),d1( x)都是f ( x)与g( x)的最大公因式，那么 d( x) cd1( x),这里0 c F .
注意：如果d( x)是数域F上多项式f ( x), g( x)的 一个最大公因式，那么对任意一个包含F的数域F 来说，d( x)也是多项式f ( x), g( x)在数域F上的一个 最大公因式.
2.3.3 多项式的互素
定义2.7 设f ( x), g( x) F[ x].如果
f ( x), பைடு நூலகம்( x) 1,
2.3.5 多个多项式的互素.
定义 设f1( x)，f2( x)，L ，fn( x) F[ x]. 如果
f1( x)，f2( x)，L ，fn( x) =1,
则称f1( x)，f2( x)，L ，fn( x)互素.
注意: 当n(n>2)个多项式 f1(x),f2(x), ,fn(x) 互
素时，它们不一定两两互素，即未必有
（2）定理 2.6的逆命题不成立.
例2.5 设 f ( x) 4 x4 - 2 x3 - 16 x2 5 x 9, g( x) 2 x3 - x2 - 5 x 4.
求 f ( x), g( x)以及u( x),v( x),使得 f ( x)u( x) g( x)v( x) f ( x), g( x).
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4.4 多项式的最大公因式授课题目：4.4多项式的最大公因式教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质授课时数：4学时教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法教学过程：一、多项式的最大公因式的定义1、定义（公因式与最大公因式）定义1 若既是的因式，又是的因式，则称是与的公)(x h )(x f )(x g )(x h )(x f )(x g 因式。
因所以任意两个多项式都有公因式。
,0),(|),(|≠c x g c x f c 定义2 设是与的一个公因式，如果对于与的 任一个公因)(x d )(x f )(x g )(x f )(x g 式，都有则称是与的一个最大公因式。
)(x h ),(|)(x d x h )(x d )(x f )(x g 2.几个直接的结果1）与都是与的最大公因式。
)()(|)(x g x f x g ⇒)(x cg )(x f )(x g 2） 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式3、最大公因式之间的关系定理4.4.1 如果 的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式()()()d x f x g x 是与都是形如的多项式。
()(,0)cd x c F c ∈≠证 设是与的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有12(),()d x d x ()f x ()g x 。
1221()|(),()|()d x d x d x d x所以存大，使。
（证毕）,0c F c ∈≠12()()d x cd x =由Th.4.4.1,只要能求出的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。
f g 与我们用来表示首项系数为1 的那个最大公因数。
((),())f x g x 当 时，规定 .()()0f x g x ==((),())0f x g x =注意：①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。
第二章 多项式 第三节 多项式的最大公因式课件
ux 1 x 1,vx 1 2x2 2x 3
3
3
三、 互素及相关结论
定义 3
如果 Fx的两个多项式除零次多项式外不再有其它
的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
定理 2.3.3
F x的两个多项式 f x与 gx 互素的充要条件是：
在 Fx中存在多项式 ux与vx ，使
把 f x先乘以2，再用 gx 来除：
2x4 4x3 8x2 8x 6 2x3 5x2 4x 3
2x4 5x3 4x2 3x
x 1
x3 4x2 5x 6
（乘以2 ）
2x3 8x 2 10x 12
2x3 5x2 4x 3
一公因式与最大公因式概念二辗转相除法及相关结论互素及相关结论一公因式与最大公因式概念的每一公因式整除那么个多项式同时整除那么叫做二辗转相除法及相关结论定理定理231231的任意两个多项式一定有最大公因式
一、公因式与最大公因式概念 二、辗转相除法及相关结论 三、 互素及相关结论
一、公因式与最大公因式概念
其次，假定h(x) 是 f (x) 与 g(x) 的任一公因式. 那么由 （1）的第一个等式， h(x)也一定能整除 r1(x) .同理， 由第二个等式，h(x) 也能整除 r2 (x) . 如此逐步往下推， 最后得出 h(x)能整除 rk (x). 这样rk (x) 的确是 f (x) 与g(x) 的一个最大公因式.
定义 1
令f x 和 gx是F [x]的两个多项式，若是F [x]的一 个多项式 hx既是 f x 的因式又是gx 的因式，那 么 hx叫做 f x 与gx的一个公因式.
定义 2
设dx是多项式 f x 与 gx的一个公因式.且 f x 与 gx 的每一公因式都是 dx 的因式, 那么dx 称为f x与gx的一个最大公因式.
多项式的最大公因式
多项式的最大公因式多项式的最大公因式问题：(一).多项式的最大公因式的定义是什么？设f(x)与g(x)是P[x ]中两个多项式，P[x ]中多项式d(x)称为f(x)与g(x)的最大公因式，如果满足下面两个条件：(1) . d(x)是f(x)与g(x)的公因式；(2) . f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。
我们约定用(f(x)，g(x))表示首项系数为1的那个最大公因式。
定理1:对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)引理：设f(x),g(x),q(x),h(x) €F(x),g(x)工0，且f(x) = g(x)q(x) + h(x)则f(x)与g(x)与q(x)与h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且(f(x)，g(x)) = ( g(x)，h(x))定理2: F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x) —定 存在最大公因式。
(二).用来求最大公因式的方法(1).辗转相除法:如果f(x),g(x) €P[x],g(x)工0，且?????,????? €P[x],使f(x) = ??(??g(x) + ?彳？? g(x) = ??(????；??+ ??:?? ?橫？？= ??(????:?? + ??:?? ???-2(??= ????????-1(??+ ???? ???-i (??= ???+i (???????+ 0其中？(?????)>0,则?????是f(x)与g(x)的一个最 大公因式。
(2) .串位加减法 (3) .矩阵求法：d(x) = ( f(x), g(x))(f(x)) (g(x))一系列初等行变换d(x) 0f(x) = ?? + 例1.设3??- ??- 4x- 3g(x) = 3?? + 10?? + 2x- 3 求(f(x), g(x))解：法1辗转相除法。
高等代数_李海龙_习题第2章多项式
第二章 多项式2.1 一元多项式的定义和运算1． 设f (x )，g (x )和h (x )是实数域上的多项式．证明：若f (x )2 = x g (x )2+x h (x )2，那么 f (x ) = g (x ) = h (x ) = 0．证明概要：比较等式两边的次数可证．2． 求一组满足上一题中等式的不全为零的复系数多项式f (x )，g (x )和h (x )． 解：取f (x ) = 2ix ，g (x ) = i (x +1)，h (x ) = x-1即可． 或取f (x ) = 0，g (x ) = 1，h (x ) = i 即可． 3． 证明：(1)(1)(1)1(1)2!!(1)()(1)!nnx x x x x n x n x x n n ---+-+-+---=-证明提示：用数学归纳法证之．2.2 多项式的整除性1． 求f (x )被g (x )除所得的商式和余式：(i) 14)(24--=x x x f ,13)(2--=x x x g(ii) 13)(235-+-=x x x x f ,23)(3+-=x x x g解：(i) 35)(,2)(2--=--=x x r x x x q(ii) 56)(,2)(22++=+=x x x r x x q2． 证明：kx f x )(|必要且只要)(|x f x证明：充分性显然．现证必要性．反证法：若x 不整除)(x f ，则c x xf x f +=)()(1，且0≠c ．两边取k次方得k k c x xg x f +=)()(，其中0≠kc ．于是x 不整除)(x f k ．矛盾．故必要性成立．3． 令)(),(),(,)(2121x g x g x f x f 都是数域F 上的多项式，其中0)(1≠x f 且)()(21x g x g |)()(21x f x f ，)(1x f |)(1x g ．证明：)(2x g |)(2x f ．证明：反复应用整除定义即得证．4． 实数m,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式q px x ++4？解：以12++mx x 除q px x ++4得一次余式．令余式为零得整除应满足的条件：当且仅当m m p 23-=且12-=m q 时，12++mx x |q px x ++4．5． 设F 是一个数域，F a ∈．证明：a x -整除nn a x -．解：因为1221()()n n n n n n x a x a x ax a x a -----=-++⋅⋅⋅++6． 考虑有理数域上多项式 1)1)(2()1()(-+++++=n k n k x x x x fn k x x )1()2(++⋅⋅⋅+，这里n 和k 都是非负整数．证明：1+k x |1)1()()1(++++-n k x x f x ．解：因为 1(1)()(1)k n x f x x ++-++1[2(1)]()(1)k n x x f x x ++=-+++nk x x )1()2(1+=+7． 证明：1-d x 整除1-nx 必要且只要d 整除n ．证明：若d |n ，令md n =，则=-=-1)(1m d n x x )1(-dx ·)1)()((21++⋅⋅⋅++--dm d m d x x x ．所以1-d x |1-n x ．下面证必要性：反证法，若d 不整除n ，令r qd n +=，0≠r ，且０<r <d ．于是111)1(-+-=-=-=-+rr r qdr qdrqd nx x x xx xxx)1()1(-+-=rqdr x xx ．因1-qd x 可被1-d x 整除，故)1(-qdrx x 可被1-d x 整除．即1-r x 是1-n x 被1-d x 除所得的余式．因r <d ，0≠r ．所以与1-n x 可被1-dx 整除相矛盾．2.3 多项式的最大公因式1． 计算以下各组多项式的最大公因式：(i)32103)(,343)(23234-++=---+=x x x x g x x x x x f ；(ii) i x i x i x i x x f ----+-+-+=1)21()42()22()(234；x i x x g -+-+=1)21()(2．解: (i) 3),(+=x g f ； (ii)i x i x g f -+-+=1)21(),(2．2． 设)()()(1x f x d x f =，)()()(1x g x d x g =．证明：若)())(),((x d x g x f =，且)(x f 和)(x g 不全为零，则1))(),((=x g x f ，反之，若1))(),((=x g x f ，则)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式．解：由本节定理２.３.２及２.３.３得证（常当作定理）．3． 令)(x f 与)(x g 是][x F 的多项式，而a ，b ，c ，d 是F 中的数，并且0≠-bc ad ．证明：))(),(())()(),()((x g x f x dg x cf x bg x af =++．证明：设)()()(1x bg x af x f +=)()()(1x dg x cf x g +=,=)(x d))(),((x g x f ．易知)(x d |)(x f ，)(x d |)(x g ，从而)(x d |)(1x f ，)(x d |)(1x g ．即)(x d 是)(1x f ，)(1x g 的一个公因式．再设)(x ϕ是)(1x f ，)(1x g 的任一公因式．则由定义知)(x ϕ|)(1x f ，)(x ϕ|)(1x g ，由)(x f ，)(x g 之所设及0≠-bc ad ，可解得)()()(11x g bcad b x f bcad d x f ---=)()()(11x g bcad a x f bcad c x g ----=从而可知)(x ϕ|)(x f ，)(x ϕ|)(x g ．既)(x ϕ是)(x f 、)(x g 的一个公因式，所以)(x ϕ|)(x d ．由定义知))(),(()(11x g x f x d =．4． 证明：(i) h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式；(ii) ( f 1 , g 1 )( f 2 , g 2 ) = ( f 1f 2 , f 1g 2 , g 1f 2 , g 1g 2 ) 此处f ，g ，h 都是F [x ]的多项式． 证明：(i) 设( f , g ) = d , 则d | f ，d | g ．所以dh | fh ，dh | gh ．又有u ，v 使uf + vg = d ．于是ufh + vgh = dh ．所以dh 是fh ，gh 的一个最大公因式．(ii)设( f 1 , g 1 ) = d 1，( f 2 , g 2 ) = d 1，则d 1d 2同时整除f 1f 2，f 1g 2，g 1f 2，g 1g 2．d 1d 2是它们的一个公因式,另设ϕ是f 1f 2，f 1g 2，f 2g 1，g 1g 2的任一公因式，那么就有ϕ| ( f 1f 2 , f 1g 2 )，( f 1f 2 , f 1g 2 ) = f 1( f 2 , g 2 ) = f 1d 1．ϕ| ( f 2g 1 , g 1g 2 )，( f 2g 1 , g 1g 2 ) = g 1 ( f 2 , g 2 ) = g 1d 2．所以ϕ| ( d 2g 1 , f 1d 2 )，而( d 2g 1 , f 1d 2 ) = d 2 ( f 1 , g 1 ) = d 1d 2．既ϕ| d 2d 1．故有( f 1 , g 1 ) ( f 2 , g 2 ) = ( f 1f 2 , f 1g 2 , g 1f 2 , g 1g 2 )．5． 设432()242f x x x x x =+---，432()2f x x x x x =+--2-都是有理数Q 域上的多项式．求u (x ),][)(x Q x v ∈使得))(),(()()()()(x g xd f x v x g x u x f =+． 解：u (x )=-x-1，v (x )=x +2．6． 设(f , g )=1．令n 是任意正整数，证明：( f , g n) = 1．由此进一步证明，对于任意正整数m ，n ，都有( f m , g n ) = 1．证明：因为( f , g ) = 1．所以有u ,v 使uf + vg = 1，则vg = 1- uf ，两边n 次方得v n g n = ( 1- uf )n = 1+ u 1f ．所以v n g n = ( 1- uf )n = 1 + u 1f - u 1f + v n g n = 1．从而 -u 1f + v n g n = 1，( f , g n ) = 1．固定g n，同理可证( f m, g n) = 1．7． 设( f , g ) = 1．证明：( f , f + g ) = ( f + g , g ) = 1．证明：因为( f , g ) = 1．所以有u ,v 使uf + vg = 1，进而有( u – v ) f + v ( g + f ) = 1, 所以( f , g + f ) = 1.同理( g + f , g ) = 1利用互素性质得( f g , f + g ) = 18． 证明：对于任意正整数n 都有( f , g )n = ( f n , g n )．证明：设( f , g )=d ，则f = df 1 ，g = dg 1，且( f 1 , g 1 ) = 1由上面第６题知 ( f 1n , g 1n) = 1，从而存在u ,v 使uf 1n＋ vg 1n= 1．所以uf 1nd n＋ vg 1nd n= d n，既uf n＋ vg n= d n．又d n｜f n，d n ｜g n ．所以( f , g )n = d n = ( f n , g n )．9． 证明：若是f ( x )与g ( x )互素，并且的次数都大于0．那么定理2.3.3里的可以如此选取，u ( x )次数低于g ( x )的次数，v ( x )次数低于f ( x )的次数，并且这样的u ( x )与v ( x )是唯一的．证明：因为, 所以有u 1 ( x )，v 1 ( x )使u 1 ( x ) f ( x ) + v 1 ( x ) g ( x ) = 1，因))((x f ∂︒> 0，))((x g ∂︒> 0．所以f ( x )不整除v 1 ( x )及g ( x ) 不整除 u 1 ( x )．现以f ( x )除v 1( x )，得商式为q 1 ( x )，余式为v ( x )，则有v 1 ( x ) = f ( x ) q 1 ( x ) + v ( x )，其中))((x v ∂︒＜ ))((x f ∂︒．同理有u 1 ( x ) = g ( x ) q 2 ( x ) + u ( x )．其中))((x u ∂︒＜ ))((x g ∂︒．代入u 1 ( x ) f ( x ) + v 1 ( x ) g ( x ) = 1，得( g ( x ) q 2 ( x ) + u ( x ) ) f ( x ) + ( f ( x ) q 1 ( x ) + v ( x ) ) g ( x ) = 1．整理得u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) + [ q 1 ( x ) + q 2 ( x ) ] f ( x ) g ( x ) = 1．因为))()((x f x u ∂︒＜ ))()((x g x f ∂︒，))()((x g x v ∂︒＜ ))()((x g x f ∂︒，所以必有q 1 ( x ) + q 2 ( x ) = 0．即u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = 1，且满足))((x u ∂︒＜ ))((x g ∂︒，))((x v ∂︒＜ ))((x f ∂︒．下面证唯一性 设另有u 2 ( x ) , v 2 ( x ) 满足u 2 ( x ) f ( x ) + v 2(x ) g (x ) = 1，及))((2x u ∂︒＜))((x g ∂︒，))((2x v ∂︒＜))((x f ∂︒．则有 ( u ( x ) - u 2 ( x ) ) f ( x ) = ( v 2 ( x ) – v ( x )) g ( x )．故f ( x )| ( v 2 ( x ) - v ( x ) ) g ( x )．又( f ( x ) , g ( x ) ) = 1，从而．如果v 2 ( x ) -0)(≠x v ，其次数一定低于f ( x )的次数，故只有v 2 ( x ) - v ( x ) = 0．既v 2 ( x ) = v ( x )．同理u ( x ) = u 2 ( x )．10．决定k ，使2(6)42x k x k ++++与2(2)2x k x k +++的最大公因式是一次的．解：设=24)6(2++++k x k x ， g (x )= k x k x 2)2(2+++，以g ( x ) 除 f ( x ) 得余式4x +2k + 2．由题意4x + 2k + 2 | g ( x )，由此推出k = 1或k = 3．11．证明：如果 ( f ( x ) , g ( x ) ) =１，那么对于任意正整数m ，( f ( x m ) , g ( x m ) ) =１ 证明：因为 ( f ( x ) , g ( x ) ) =１，所以u ( x )，v ( x )，满足u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = 1．从而u ( x m) f ( x m) + v ( x m) g ( x m) = 1，此即是 ( f ( x m) , g ( x m) ) =１．12．设f ( x ) , g ( x )是数域F 上的多项式．f ( x )与g ( x )的最小公陪式指的是F [x ]中满足以下条件的一个多项式m ( x )：(a) f (x ) | m (x ) 且 g (x ) | m (x )；(b) h (x )∈F [x ] 且 f (x ) | h (x )，g (x ) | h (x )，那么m (x ) | h (x )．(i) 证明： F [x ]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式差别外，是唯一的．(ii)设f (x )， g (x )都是最高次项系数是１的多项式．令[ f (x ), g (x )]表示 f (x )与g (x )的最高次项系数是１的那个最小公倍式．证明： f (x ) g (x )= (f (x ) , g (x )) [ f (x ), g (x )]．证明：(i) 若f (x ) , g (x )有一个为０，则它门的最小公倍式是０．现设f (x )0≠, g (x )0≠．以d (x )记(f (x ) , g (x ))．则f (x ) = d (x ) f １(x )，g (x ) = d (x )g １(x )，且(f １(x ) , g １(x )) =１．现证)()()(x d x g x f 是f (x )，g (x )的一个最小公倍式．首先由)()()(x d x g x f = f １(x ) g (x )= f (x )g １(x )，知其是f (x )与g (x )的一个公倍式．另设M (x )是f (x )与g (x )的任一公倍式，则有M (x )= f (x )s (x )= d (x ) f 1 (x ) s (x )及M (x )=g (x )t (x )= d (x ) g 1 (x )t (x )，消去d (x )，得f 1(x ) s (x ) = g 1 (x )t (x )．又(f １(x ) , g １(x )) =１，由此可得g 1 (x )|s (x )，令s (x )= g 1 (x ) s 1(x )．代入M (x )= f (x )s (x )= d (x ) f 1 (x ) s (x )得M (x )= d (x ) f 1 (x )g 1 (x )s 1(x )=s 1(x ))()()(x d x g x f ．即)()()(x d x g x f ｜ M (x )，即)()()(x d x g x f 是f (x ) , g (x )的一个最小公倍式．从而存在性得证．现证唯一性：若m １(x )，m ２(x )都是f １(x ) , g １(x )的最小公倍式，由定义得m １(x )｜m ２(x )及m ２(x )｜m １(x )．所以m １(x )，m ２(x )只相差一个常数因子．(ii)由(i)的证明，知当f １(x ) , g １(x )的最高次项系数都是１时，有f (x ) g (x )= (f (x ) , g (x )) [f (x ) , g (x )]．13．设g (x )|)()(1x f x f n ⋅⋅⋅，并且(f i (x ), g (x )) =1, i =1,1,,2-⋅⋅⋅n . 证明 g (x ) | f n (x )． 证明：令11()()()n h x f x f x -= ,由(f 1(x ), g (x ))=1. ( f 2(x ), g (x ))=1,所以(f 1(x ) f 2(x ),g (x ))=1，进而可证得(h (x ), g (x ))=1又g (x ) | h (x )f n (x )，所以g (x ) | f n (x )．14．设][)(,),(1x F x f x f n ∈⋅⋅⋅．证明：(i) ()(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅)=(()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅), ()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+)), 1≤k ≤n -1.(ii))(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅互素的充要条件是存在多项式][)(,),(1x F x u x u n ∈⋅⋅⋅使得1)()()()(11=+⋅⋅⋅+x u x f x u x f n n证明：(i) 设d (x ) = ( ()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅), ()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+))，有d (x ) |（)(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅）, d (x ) |（)(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+）,进一步有d (x ) | f i (x ), i =1,n ,,2⋅⋅⋅．另设h (x )是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的任一公因式，h (x ) |（)(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅） 及h (x ) |（)(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+），进一步h (x ) | ( ()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅) ,()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+)) = d (x )．所以( ()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅) ,()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+)) = ()(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅)．(ii)充分性：若有)(,),(1x u x u n ⋅⋅⋅使+⋅⋅⋅+)()(11x u x f1)()(=x u x f n n ，另设h (x )是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的任一公因式，则有h (x )|1．从而)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅互素．必要性：若(f 1(x ), f ２(x ))= d ２(x )，则由定理2.3.2有u 11(x ) ,u 1２(x ) ,使u 11(x )f 1(x )+ u 1２(x ) f ２(x )= d ２(x )，则由定理2.3.2可以假设对于s -1个多项式是成立的．即当d s-1(x ) = ()(,),(11x f x f s -⋅⋅⋅)时，有u 11(x ,),⋅⋅⋅u 1s-1(x )，使得∑-=111)()(s i i ix f x u=d s-1(x )．则对于s 个多项式来说，由()(,),(1x f x f s ⋅⋅⋅)= (()(,),(11x f x f s -⋅⋅⋅), f s (x ))= ( d s-1(x ) , f s (x ))．知有p (x ), q (x )使p (x )d s-1(x ) + q (x ) f s (x ) = ( d s-1(x ) , f (x )),以d s-1(x )的上述表示式代入，则得∑-=111)()(s i i ix f x u+ q (x ) f s (x ) = ( d s-1(x ) , f (x )),．即有p (x )u 11(x ,),⋅⋅⋅p (x )u 1s-1(x ) , q (x )，使∑-=111)())()((s i i ix f x ux q +p (x ) f s (x ) = ()(,),(1x f x f s ⋅⋅⋅)()(,),(1x f x f s ⋅⋅⋅)=1时，令p (x )=1,s =n 其中u 1(x )= p (x ) u 11(x ,),⋅⋅⋅u 1s (x ) = p (x )u 1s (x ) 则本题必要性得证． 15．设][)(,),(1x F x f x f n ∈⋅⋅⋅．令I ={+⋅⋅⋅+)()(11x g x f f n (x ) g n (x )|][)(x F x g i ∈, 1≤i ≤n } ．比照定理１.４.２，证明：)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅有最大公因式．［提示：如果)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅不全为零，取d (x )是中次数最底的一个多项式，则d (x )就是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的一个最大公因式．］ 证明：如果0)()(1==⋅⋅⋅=x f x f n ，则0就是它们的最大公因式．如不全为０，则I 中 有非零多项式．设d (x )是I 中次数最低的一个多项式．以d (x )除f (x )，得．其中r 1=0，或∂︒( r 1 (x ))< ∂︒( d (x ))．由于r 1 (x )= f 1(x )- q 1 (x )d (x )，可以推得r 1 (x )∈I ，而d (x )是I 中次数最底的，故r 1 (x ) =0．所以d (x )|f 1(x )，同理d (x )|f 2(x )⋅⋅⋅,，d (x )|f n (x )．即d (x ) 是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的一个公因式，又因是它们的组合，故d (x ) 就是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的最大公因式．2.4 多项式的分解1． 在有理数域上分解以下多项式为不可约因式的乘积：(i) 3x 2+1; (ii) x 3-2x 2-2x +1.解： (i) 不可约． (ii) (x +1) (x 2-３x +1)2． 分别在复数域，实数域和有理数域上分解多项式x ４+1为不可约因式的乘积．解：在复数域上有x 4+1= (x +22(1+i )) (x +22(1+i )) (x -22(1-i )) (x -22(1-i ));在实数域上有x 4+1=( x 2+2x +1) (x 2-2x +1);在有理数域上x ４+1 不可约3． 证明：g (x )２|f (x )２，当且仅当g (x )|f (x )．证明：充分性显然.现证必要性,即若g (x )２|f (x )２,那么g (x )|f (x ).若f (x )= g (x ) =0,则有g (x )|f (x ).如果f (x ), g (x )不全为0,令d (x )=(f (x ), g (x )).则f (x )=d (x )f 1(x ), g (x )=d (x )g 1(x ),且(f 1(x ), g 1(x ))=1.那么f (x )２=d (x )２f 1(x )２, g (x )２=d (x )２g (x )２,故由g (x )２|f (x )２,可得g １(x )２|f １(x )２,故g 1(x )|f 1(x )２,又(f 1(x ) , g 1(x ) ) =1,根据互素多项式的性质知g 1(x )|f 1(x ),从而g 1(x ) = c f 1(x ), (c 为非零常数).于是g (x )|f (x ).4． (i)求f (x )= x 5-x 4-2x 3+2x 2+x -1在Q (x )内的典型分解式；(ii)求f (x )= 2x 5-10x ４+16x 3-16x 2+14x -6在R (x )内的典型分解式． 解: (i) f (x )= (x-1)3(x +1)２ ; (ii) f (x )= 2(x-1)２(x-3)(x ２+1)5． 证明：数域F 上一个次数大于零的多项式f (x )是F [x ]中某一不可约多项式的幂的充分必要条件是对于任意g (x )∈F [x ],或者(f (x ), g (x )) =1,或者存在一个正整数m 使得f (x )|g (x )m . 证明：必要性:设f (x ) = p m (x ) ( p (x )不可约) ，则对于F [x ]中的任意g (x )，只有两种可能：(p (x ),g(x ))=1或 p (x )|g(x )．在前一情形有( f (x ),g (x ) )=1,在后一情形有p m (x ) |g m (x )，即f (x ) |g (x )m .充分性：设f (x )=1()i sri i a p x =∏为其典型分解式．令g (x )=p 1(x )．若 s >1，则(p (x ), g (x ))≠1，且f (x )不整除g (x )m，即条件成立时，必有s =1，即f (x )= 11()rap x ．6． 设p (x )是F [x ]中一个次数大于零的多项式.如果对于任意f (x ), g (x )∈F [x ]，只要p (x )|f (x )g(x )就有p (x )| f (x )或p (x )| g(x ),那么p (x )不可约．证明：反证法，若)(x p 可约,设)()()(21x p x p x p =,其中)(),(21x p x p 的次数都低于)(x p 的次数.由)()(|)(21x p x p x p ,根据条件可得出)(|)(1x p x p 或)(|)(2x p x p ,这是不可能的.2.5 重因式1. 证明下列关于多项式的导数的公式： a) )(')('))'()((x g x f x g x f +=+； b))(')()()('))'()((x g x f x g x f x g x f +=提示：设10()n n f x a x a x a =+++ ，10()mm g x b x b x b =+++ 利用本教材中对导数的定义证之．2. 设)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式．证明： a) )(x p 未必是)(x f 的k 重因式；b))(x p 是)(x f 的k 重因式的充分必要条件是)(|)(x f x p证明：a) 设4)(3+=x x f ，则x 是x x f 3)('=的二重因式，但不是)(x f 的因式，更不是)(x f 的三重因式．b) 必要性显然；充分性，设)(x p 是)(x f 的s 重因式，则)(x p 是)('x f 的1-s 重因式．11-=-k s 即得出．3. 证明有理系数多项式!!21)(2n xxx x f n++++= 没有重因式．证明：因为)!1(!21)('12-++++=-n xxx x f n ，有1),'(=f f ．4. a,b 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？a) b ax x ++33b) b ax x ++44提示：由多项式有重因式的充要条件是它与它的导数不互素可得．a) 0423=+b a ; b)02734=-b a ．5. 证明：数域F 上的一个n 次多项式)(x f 能被它的导数整除的充分必要条件是：nb x a x f )()(-=，这里a,b 是F 中的数．证明：若nb x a x f )()(-=，则1)()('--=n b x an x f ，0>n ，所以)(1)(')(a x nx f x f -⋅=，)(|)('x f x f ．必要性：设)(x f 的典型分解式为)()()(11x p x ap x f tm t m =，其中)(x p i 都是不可约多项式，则)()()()('1111x x p x p x f tm t m ϕ--= ．由)(|)('x f x f ，知c x =)(ϕ(常数)，但))((1))('(x f x f ∂︒=+∂︒.故知t =1,且n x p =∂︒))((1．即nb x a x f )()(-=．2.6 多项式函数 多项式的根1.设f (x )=2x 5-3x 4-5x 3+1.求f (3),f (-2). 解： f (3) =109; f (-2) =-71.2.数环R 的一个数c 说是f (x )∈R(x )的一个k 重根，如果f (x )可以被(x -c )k整除，但不能被(x -c )k +1整除．判断5是不是多项式f (x )=3x 5-224x 3+742x 2+5x +50的根.如果是的话,是几重根?提示：用３次综合除法得：5是f (x ) 的二重根. 3.设2x 3-x 2+3x -5=a (x -2)3+b (x -2)2+c (x -2)+d .求a,b,c,d . 提示：应用综合除法得：a =2, b =11, c =23, d =13. 4.将下列多项式f (x )表成x-a 的多项式. a) f (x )= x 5,a =1; b) f (x )=x 4-2x 2+3,a =-2. 解：用综合除法求出:a) f (x )= x 5=(x -1)5+5(x -1)4+10(x -1)3+10(x -1)2+5(x -1)+1; b) f (x )=x 4-2x 2+3=(x +2)4-8(x +2)3+22(x +2)2+24(x +2)+11. 5.求一次数小于4的多项式,使f (2)=3,f (3)=-1,f (4)=0,f (5)=2.解：f (x )= -32x 3+217x 2-6203x +426.求一个2次多项式,使它在x =0,,2ππ处于函数 sin x 有相同的值．结果：24()()f x x x ππ=--7.令f (x ) , g (x ),是两个多项式,并且f (x 3) +x g (x 3)可以被x 2+x +1.证明: f (1) = g (1) =0.证明: 因x 2+x +1| f (x 3) +x g (x 3).故x 2+x +1=0的根必为f (x 3) +x g (x 3)的根.而x 2+x +1=0的两个根是2,231ωωi+-=.但3ω=1.故有2(1)(1)0(1)(1)0f g f g ωω+=⎧⎨+=⎩，解此方程组得：f (1) = g (1) =0.8.令c 是一个复数,且是Q [x ]中一个非零多项式的根.令J ={ f (x )∈Q [x ] | f (c ) = 0}．证明：a)在J 中存在唯一的高次项系数是1的多项式p (x ),使得J 中每一多项式f (x )都可以写成p (x )q (x )的形式,这里q (x )∈Q [x ].b) p (x )在Q [x ]中不可约.如果c =32+,求上述的p (x )．证明: a) 因c 是Q [x ]中一个非零多项式的根,则J 中存在次数大于零的多项式,即令A ={ m |f (x )∈J ,∂︒( f (x ))=m }非空. A 中必有最小数设为n (n >0).其对应的多项式若为f (x ),令p (x )=1a f (x ), (a 0是f (x )的最高次项系数),则11()n n n p x x a xa -=+++ .现证当f (x ) ∈J 时,必有f (x ) =p (x )q (x ).对于任意的f (x )∈J ,由p (x )的取法知∂︒( f (x )) ≥∂︒(p (x )).以p (x )除f (x )得f (x )=p (x )q (x )+r (x ),其中r (x )=0或∂︒( r (x )) <∂︒(p (x )).由于r (c )=f (c )-p (c )q (c )=0,故知r (x )∈J . 由p (x )的取法知r (x )的次数不可能小于p (x )的次数.故只有r (x )=0,即f (x ) = p (x )q (x ).再证的唯一性.设另有p 1(x )具有上述性质,则p (x )| p 1(x )且p 1(x ) | p (x ).所以p 1(x ) = c p (x ).又首项系数都为1,故c =1,即p 1(x ) = p (x ).b) 反证法:设p (x )可约,令p (x )=p 1(x ) p 2(x ),知p 1(x )与p 2(x )的次数都小于p (x )的次数.又p (c )=p 1(c )p 2(c )=0,知p 1(c )=0或p 2(c )=0从而p 1(c )或p 2(c ) ∈J ,这与p (x )是J 中次数最低的多项式相矛盾.故p (x )不可约.若c =32+,则p (x )=(x -32+)(x +32+)(x -32-) (x +32-).9.设C [x ]中多项式f (x )≠0且f (x )| f (x n),n 是一个对于1的整数.证明: f (x )的根只能是零或单位根.证明: 因f (x )| f (x n),所以f (x n)= f (x )g (x ), g (x )∈C [x ].如果c 是f (x )的根,即f (c )=0则f (nc)=f (c )g (c )=0, f (2nc)= f (nc) g (nc)=0,, f (knc)= f (1-k nc) g (1-k nc)=0.由于, f (x )在C 中至多有n 个不同的根,故有i <j ,使jnc =inc ,所以c =0或1.即c =0或c 是单位根.2.7 复数和实数域上多项式1.设n 次多项式n n na x a x a x f +++=-10)( 的根是n αα,,1 .a) 求以n c c αα,,1 为根的多项式,这里c 是一个数;b) 以na 1,,11 α(假定0,,1≠n αα )为根的多项式.解：a) 若c =0,则n c c αα,,1 都为0,则g (x )= x n即是.若c ≠0,则令g (x )=)(1)(10n n na x a x a cc x f +++=- 为所求.b) 令g (x )= f (x 1)x n =nn n n x a x a x a +++--110 ,则g (x )是以na 1,,11α为根的多项式.2.设f (x )是一个多项式,用)(x f 表示把f (x )的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:a) 若是g (x )|f (x ),那么)(x g |)(x f ;b) 若是d (x )是f (x )和)(x f 的一个最大公因式,并且d (x )的最高次项系数是1,那么d (x )是一个实系数多项式.证明: a) 因为g (x )|f (x ),所以f (x )= q (x )g (x ), )(x f =)(x q )(x g 从而)(x g |)(x f .b) 若d (x )=(f (x ),)(x f ),则有u (x ), v (x )使的u (x )f (x )+ v (x ))(x f =d (x ),所以)(x d =)(x u )(x f +)(x vf f (x ),另一方面,由d (x )|f (x ), d (x )|)(x f ,可得)(x d |f (x ),)(x d |)(x f ,所以)(x d =(f (x ), )(x f ).从而d (x )=)(x d ,即d (x )是实系数多项式.3.给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 解:共9种:a (x +b )4; a (x +b 1)(x +b 2)3; a (x +b 1)2(x +b 2)2;a (x +b 1)(x +b 2)(x +b 3)2; a (x +b 1)(x +b 2)(x +b 3)(x +b 4); a (x 2+px +q )2; a (x 2+p 1x +q 1)(x 2+p 2x +q 2) ; a (x +b )2(x 2+px +q );a (x +b 1)(x +b 2)(x 2+px +q ) . (其中二次式x 2+px +q 不可约).4.在复数和实数域上分解x n-2为不可约因式的乘积.解: 在复数域上: x n -2=(x -n2)(x -)2()21--n nnx εε ,其中22cossini nn ππε=+; 在实数域上:当n 为奇数, x n-2=(x -n2)(x 2-222(1)cos(2n x nnππ-+-+ ;当n 为偶数, x n - 2=(x -n 2)(x +n 2)(x 222(2)cos(cosn x nnππ-+- )4n+.5.证明:数域F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.证明:设p (x )是F 上不可约多项式,因多项式的最大公因式不因数域扩大而改变, 所以在复数域内仍有(p (x ),'p (x ))=1,故p (x )在复数域内没有重根.2.8 有理数域上多项式1.证明以下多项式在有理域上不可约: a) x 4-2x 3+8x -10; b) 2x 5+18x 4+6x 2+6 c) x 4-2x 3+2x -3d) x 6+x 3+1提示：用艾森斯坦判断法. a)取p =2; b)取p =3; c)令x =y +1, 则f (x )=g (y )=y 4+2y 3-2, 取 p =2得g (y )不可约,即f (x )不可约;d)令x =y +1,则f (x )=g (y )=(y +1)6+(y +1)3+1=y 6+6y 5+15y 4+21y 3+18y 2 +9y+3,取p =3,得g (y )不可约,即f (x )不可约. 2利用艾森斯坦判断法,证明:若是t p p p ,,,21 是t 个不相同的素数,而n 是一个大于1的整数,那么ntp p p 21是一个无理数.证明:考虑多项式x n-t p p p ,,,21 ,因t p p p ,,,21 互不相同,取p=p 1满足艾森斯坦判断法,知x n -t p p p ,,,21 在有理数域上不可约, 因n<1无有理根,.因而.3.设f (x )是一个整数系数多项式,证明:若是f (0)和f (1)都是奇数,那么f (x )不能有整数根. 证明:设α是f (x )的一个整数根.则f (x )=(x -a )f 1(x ).由综合除法知f 1(x )也是整系数多项式.所以f (0)= -a f 1(0), f (1)=(1-a ) f 1(1),这是不可能的.因为α与1-α中有一个是偶数.从而f (0)与f (1)至少有一个是偶数,与题设矛盾.故f (x )无整数根.4.求以下多项式的有理数根: a) x 3-6x 2+15x -14; b) 4x 4-7x 2-5x -1;c) x 5-x 4-25x 3+2x 2-21x -3.解: a)有理单根-2; b)二重有理根-21; c)有理单根-1,2.2.9 多元多项式1.写出一个数域F 上三元三次多项式的一般形式.解：f =000a +∑=++1k j i kj i ijkzy x a+∑=++2k j i kj i ijkzy x a+∑=++3k j i kj i ijkzy x a其中,a ijk ∈F.2.设 f (n x x ,,1 )是一个r 次齐次多项式.t 是任意数.证明：f (n tx tx ,,1 )=t r f (n x x ,,1 ).证明：可设),,(1n x x f ∑=++=ri i i i i i i i n nnxx x a12121．于是 ),,(1n tx tx f ∑=++=ri i i i i i i i n nntx tx tx a12121)()()(∑=+++++=r i i i i i i i i i i i n nnnxx x ta1212121∑=++=ri i i i i ri i i n nnxx x t a12121∑=++=ri i i i i i i i rn nnxx x at12121rt=),,(1n x x f3. 设f (n x x ,,1 )是数域F 上一个n 元齐次多项式,证明:如果f (n x x ,,1 )=g (n x x ,,1 )h (n x x ,,1 ),则g ,h 也是n 元齐次多项式.证明：反证法，设g ,h 至少有一个不是n 元齐次多项式，不妨设是h ，则s g g g g +++= 21，1≥s ，i g 是齐次多项式，t h h h h +++= 21，1>t ，jh 是齐次多项式，并且假设)()()(21s g g g ∂︒>>∂︒>∂︒ ，)()()(21t h h h ∂︒>>∂︒>∂︒ ．则111112()()s t s tf ghg gh h g h g h g h ==++++=+++其中t s h g h g ,11都不能消去，与f 是齐次多项式矛盾．故,g h 都是齐次多项式． 4.把多项式x 3+y 3+z 3+3xyz 写成两个多项式的乘积. 原式=(x +y +z )3-3(x +y +z )(xy +yz +xz )= (x +y +z ) [(x +y +z )2-3 (xy + yz +xz )] = (x +y +z ) (x 2+y 2+z 2-xy -yz -zx ).5.设F 是数域. f ,g ∈F [n x x ,,1 ]是F 上n 元多项式. 如果存在h ∈F [n x x ,,1 ]使得f =gh ,那么就说g 是f 的一个因式.或者说g |f .a) 证明,每一f 都可以被零次多项式c 和cf 整除c ∈F , c ≠0.b) f ∈F [n x x ,,1 ]说是不可约的,如果除了a)中那种类型的因式外f 没有其它因式,证明在F [x ,y ]里多项式x ,y ,x +y ,x 2-y 都不可约.c) 举反例证明,当n ≥2时,类似于一元多项式的带余除法不成立.d) f ,g ∈F [n x x ,,1 ]说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零的公因式.证明x ,y ∈F [x ,y ]是互素的多项式.能是否找到u (x ,y ), v (x ,y ) ∈F [x ,y ],使得x u (x ,y )+y v (x ,y )=1?证明: a)因为0c ≠,所以1111,,(,,),(,,)[n n c cf x x f x x F cc∈ 1,,]nx x ,而11111(,,)[(,,)][(,,)]n n n f x x c f x x cf x x cc==所以|c f ,11(,,)|(,,)n n cf x x f x x .b) 现证对于1[,,]n F x x ,任意一次多项式不可约.设f 是1[,,]n F x x 的一次多项式.若f gh =,由次数定理有1= ()()()fgh ∂︒=∂︒+∂︒.因而g 与h 中有一个是0次多项式,故f 不可约.所以,,x y x y +都不可约.因2x y -是一个非齐次的二次多项式,如可约,只能是2x y -=()()x ay x b ++.比较()()x a y x b ++与2x y -的系数有:0,0b a ==,且1ab =-,这是不可能的,故2x y -不可约.c)例:若(,),(,)f x y x g x y y ==,若存在(,),(,)x y r x y ϕ使(,)(,)x x y y r x y ϕ=+,应有(,)0r x y =或c (常数).这是不可能的.即对于二元多项式.带余除法定理不成立. d)因为x 的因式只有常数c 与cx ,而x 不是y 的因式,故x 与y 的公共因式只有常数c (且0c ≠),故x 与y 互素.因对任意(,),(,)u x y v x y ,(,)(,)xu x y yv x y +没有零次项,所以找不到(,),(,)u x y v x y 使(,)(,)xu x y yv x y +=1.2.10 对称多项式1. 写出某一数环R 上三元三次对称多项式的一般形式. 结果: a 300(x 3+y 3+z 3)+a 210(x 2y +x 2z +y 2x +y 2z +z 2x +z 2y )+a 200(x 2+ y 2+z 2)+a 110(xy +xz +yx )+a 100 (x+y+z )+a 111(xyz )+a 000其中,a ijk ∈F.2.令R [n x x ,,1 ]是数环R 上n 元多项式环, S 是由一切n 元对称多项式组成的R [n x x ,,1 ]的子集.证明存在R [n x x ,,1 ]到S 的一个双射.证明:设1,,n σσ 是1,,n x x 的初等对称多项式.对任意11(,,)[,,]n n f x x R x x ∈ 规定1:(,,)|n f x x τ→ 1(,,)n f σσ ,则1(,,)n f σσ 是S 中唯一确定的多项式.既τ是R [n x x ,,1 ]到S 的映射, 对任意的1(,,)n g x x S ∈ ,由对称多项式的基本定理,有唯一的1(,,)n h σσ 使11(,,)(,,)n n h g x x σσ= .这里1(,,)n h x x [F ∈ 1,,]n x x ,故111((,,))(,,)(,,)n n n h x x h g x x τσσ== .故τ是满射.如果11(,,)(,,)n n f x x g x x ≠ 那么11(,,)(,,)n n f g σσσσ≠ ,所以τ是单射.从而是R [n x x ,,1 ]到S 的一个双射3.把下列多元多项式表成初等对称多项式的多项式: a)∑231x x; b)∑41x; c)32221x x x∑;解: a) 2212213424σσσσσσ--+;b) 42211221344244σσσσσσσ-++-; c) 2314535σσσσσ-+;4.证明:如果一个三次多项式x 3+ax 2+bx +c 的一个根的平方等于其余两个根的平方和那么这个多项式的系数满足以下关系: 2324)22(2)2(c ab a b a a +-=-.证明:设,,αβγ是32x ax bx c -++的三个根.则由条件知(,,f αβγ=222()αβγ--222()βγα--222()γαβ--=0,把(,,)f αβγ用初等对称多项式表出,得(,,)f αβγ=64223211212131233688168σσσσσσσσσσσ-++-+=4211(σσ-32211232)2(22)σσσσσ-++-.因123,,a b c σσσ=-=-=,用它们代入上式得(,,)f αβγ=42(a a -322)2(22)b a ab c -+++=0所以42(a a 322)2(22)b a ab c -=++.5.设n αα,,1 是某一数域F 上多项式x n +a 1x n -1++ a n -1x +a n 在复数域内的全部根.证明:2,,n αα 的每一个对称多项式都可以表成F 上关于1α的多项式.证明:设f (2,,n αα )是关于2,,n αα 的任意一个对称多项式.由对称多项式的基本定理有211(,,)(',,')n n f a a g σσ-= ,其中'i σ(1,2,,1i n =- )是nαα,,2的初等对称多项式.由于111'a σσ=-,11''i i i a σσσ-=-(2,,1i n =- ) 其中i σ是n αα,,1 的初等对称多项式.又(1)ii i a σ=-(1,2,,1i n =- ),是数域F 中的数,将它们代入上式可知, 'i σ是1a 与中的数11,,n αα- 的一个多项式,不妨记为i p (11,,n αα- )='i σ(1,2,,1i n =- ),再将它们代入f g=式右端,即证明f (nαα,,2)可表为1a 与11,,n αα- 的多项式.由11,,n αα- 是F 中的数,即f (nαα,,2)是F 上关于1a 的多项式:1()G a .。
多项式的最大公因式
目录
• 引言 • 多项式的最大公因式 • 最大公因式的证明 • 最大公因式的应用实例 • 总结与展望
01 引言
最大公因式的定义
最大公因式：两个或多个多项式之间 最大的公共因子多项式。
最大公因式是多项式的一种重要属性 ，它在多项式理论、代数几何等领域 中有着广泛的应用。
最大公因式的重要性
因式分解
02
03
代数方程求解
利用最大公因式可以将多项式进 行因式分解，从而得到其标准形 式。
在求解代数方程时，可以利用最 大公因式进行消元或化简，简化 计算过程。
03 最大公因式的证明
最大公因式的存在性证明
• 存在性证明：通过数学归纳法，我们 可以证明对于任意两个多项式，都存 在一个最大公因式。首先，当两个多 项式为零多项式时，最大公因式显然 存在。然后，假设存在一个最大公因 式$g(x)$，对于任意两个多项式 $f(x)$和$h(x)$，如果$g(x)$是$f(x)$ 和$h(x)$的最大公因式，那么对于 $f(x)$和$h(x)$的任何公因式$k(x)$， $k(x)$也是$g(x)$的因式。因此， $g(x)$是所有这样的$k(x)$中的最大 的，即最大公因式。
简化多项式 代数方程的解法
数学分析 数学教育
通过求取多项式的最大公因式，可以简化多项式，使其更易于 处理和计算。
最大公因式在求解代数方程时起到关键作用，例如在消元法中 用于消去多项式中的某些项。
在数学分析中，最大公因式可用于研究多项式的根的性质和分 布。
对于学生来说，理解和掌握最大公因式是学习代数的重要基础 ，有助于提高他们的数学思维能力。
最大公因式的性质
唯一性
对于给定的两个多项式，其最大公因式是唯一 的。
高等代数教案第二章多项式
⾼等代数教案第⼆章多项式第⼆章多项式⼀综述1. 多项式是中学代数的主要内容之⼀.本章从两个不同的⾓度对⼀元多项式进⾏了讨论；⾸先⽤纯代数的观点,从⼀元多项式的⼀般形式⼊⼿,在⼀般数域上讨论了⼀元多项式,围绕着⼀元多项式的因式分解这⼀中⼼内容,分别讨论了⼀元多项式的概念.运算.整除理论.最⼤公因式和重因式等内容,从⽽建⽴了⼀元多项式的⼀般理论；然后⽤代数的观点进⼀步在具体数域（即,,C R Q ）上讨论了⼀元多项式的根与因式分解问题,从⽽在具体数域上发展了多项式的因式分解理论.在学习⼀元多项式的基础上,鉴于多元多项式的复杂性,仅讨论了多元多项式的基本概念与对称多项式基本定理及应⽤.2. 本章内容学⽣部分熟悉,但如此严格地系统讨论⼀元多项式的整除理论及多项式的因式分解和多项式的根的问题还是初次见到,特别是对于准确地刻化概念.严谨地推导论述,学⽣很不习惯,因此在教学中要注意训练学⽣正确掌握概念.学会推理有理有据,做好⽰范.⼆内容、要求1. 内容：⼀元多项式的定义和运算.多项式的整除性（整除、带余除法）.最⼤公因式（概念.性质.辗转相除法.互素）.唯⼀分解定理.重因式.多项式函数与多项式的根.复数.实数.有理数域上的多项式的因式分解.有理数域上的多项式的可约性及有理根.多元多项式.对称多项式（不讲）.2. 要求：掌握数域上的⼀元多项式的概念.运算.次数定理及应⽤；理解多项式的整除概念和性质,理解和掌握带余除法；掌握最⼤公因式的概念.性质.求法,以及多项式互素的概念和性质；理解不可约多项式的概念,掌握多项式的唯⼀分解定理；理解多项式的导数及重因式的概念,掌握多项式有⽆重因式的判别法；掌握多项式函数及多项式的根的概念；掌握复.实数域上的多项式因式分解定理；熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法.2.1 ⼀元多项式的定义和运算⼀教学思考1. 本节纯形式地定义了⼀元多项式的概念及有关运算（加.减.乘）.从中注意⼀元多项式的定义与中学数学中多项式的联系与区别,以及多项式相等的概念分析.另外⼀个重要的结论是所谓的“次数定理”,其本⾝证明易于理解,重要的是应⽤它证明有关问题.2. 本节内容较简,注意概念的准确.严密.⼆教学过程1. 基本概念定义1. 数环R 上⼀个⽂字x 的多项式或⼀元多项式指的是形式表达式：2012n n a a x a x a x ++++ （1）其中,(1,2,,)i n N a R i n ∈∈=.定义2. 若数环R 上两个⼀元多项式(),()f x g x 具有完全相同的项,或者仅差⼀些系数为0的项,则称()f x 和()g x 相等.记作()()f x g x =.定义 3. 若2012()n n f x a a x a x a x =++++ (0)n a ≠,n n a x 叫做()f x 的最⾼次项,⾮负整数n 叫做()f x 的次数,记作(())f x ??.（即(()))f x n ??=.定义4. 设2012()n n f x a a x a x a x =++++,2012()m m g x b b x b x b x =++++是数环R 上两个多项式,且m n ≤；（1）()f x 与()g x 的和（记为）()()f x g x +指的是多项式：0011()()()()m n m m n n a b a b x a b x a b x +++++++++,这⾥m n <时,取10m n b b +===.（2）()f x 与()g x 的积（记为）()()f x g x 指的是多项式： 2012m n m n c c x c x c x ++++++,其中011110k k k k k c a b a b a b a b --=++++,(0,1,2,,)k m n =+.（3）由多项式运算的定义,数环R 上两个多项式(),()f x g x 的和.差.积的系数可由(),()f x g x 的系数的和.差.积表⽰,由于(),()f x g x的系数属于R ,因⽽它们的和.差.积也属于R ,所以数环R 上两个多项式的和差积仍是数环R 上的多项式,故可类于数环的概念：我们⽤[]R x 表⽰数环R 上⽂字x 的多项式的全体,且把其中如上定义了加法和乘法的[]R x 叫做数环R 上的⼀元多项式环.2. 基本定理多项式的加法和乘法满⾜如下算律：设(),()f x g x ,()h x ∈[]R x ,A ）()()()(),()()()()f x g x g x f x f x g x g x f x +=+=；（交换律）B ）(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++,(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x =；（结合律）C ）()(()())()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+；（分配律）TH2.1.1（次数定理）设(),()f x g x ∈[]R x ,且()0f x ≠,()0g x ≠；则（1）当()()0f x g x +≠时,{}000(()())max (()),(())f x g x f x g x ?+≤??；（2）000(()())(())(())f x g x f x g x ?=?+?.Cor2.1.2 ()()0()0,()0f x g x f x g x =?==⾄少有⼀个成⽴.Cor2.1.3 （乘法消去律）若()()()()f x g x f x h x =⽽()0f x ≠,则()()g x h x =.2．2多项式的整除性⼀教学思考1. 在[]R x 内,除法不是永远可以施⾏的,因此关于多项式的整除性的研究,也就是⼀个多项式能否除尽另⼀个多项式的研究,在多项式理论中占有重要地位.本节限于数域F 上讨论多项式的整除性,其与整数的整除性类似,注意对照学习.2. 多项式的整除性是多项式之间的⼀种关系（等价关系）,为加深对此概念的理解,需掌握⼀些特殊多项式（零多项式,零次多项式）间的整除关系及整除的性质.3. 数域F 上任意两个多项式总有带余除法结论成⽴,其证法思想是在中学代数中多项式的长除法的运算表⽰实质的⼀般化,唯⼀性⽤同⼀法.4. 证明()|()f x g x 的思想可从定义.带余除法得到的充要条件以及将()g x 分解成两项之和⽽每⼀项能被()f x 整除,或将()g x 分离出()f x 作为⼀个因⼦来考虑.5. 整除性不随数域扩⼤⽽改变是由带余除法得到的⼀个⾮显⽽易见的结论.⼆内容、重点.要求1. 内容：⼀元多项式整除的定义.性质,带余除法.2. 重点：整除的定义.带余除法定理（它是判断整除.最⼤公因式及多项式的根的基础）.3. 要求：正确理解掌握整除概念.性质,掌握带余除法定理.三.教学过程1. 多项式的整除及性质定义1. 设(),()[],f x g x F x ∈若()[]h x F x ?∈使得 ()()()g x f x h x = （1）则称()f x 整除（除尽）()g x ；⽤符号()|()f x g x 表⽰.⽤符号()|()f x g x 表⽰()f x 不整除()g x ,（即对()[]h x F x ?∈都有()()()g x f x h x ≠）.当()|()f x g x 时,称()f x 是()g x 的⼀个因式,()g x 是()f x 的⼀个倍式.A ）若()|()f x g x .()|()g x h x ,则()|()f x h x ；（传递性）B ）若()|()h x f x .()|()h x g x ,则()|(()())h x f x g x ±；C ）若()|()f x g x ,则对()[]h x F x ?∈有()|()()f x g x h x ；特别2()|()f x f x ,()|(),()n f x f x n N ∈；D ）由B.C 若()|(),(1,2,,)i f x g x i n =,则对 ()[],(1,2,,)i h x F x i n ?∈=,有1()|()()n i i i f x g x h x =∑；E ）零次多项式整除任⼀多项式；F ）对()[]f x F x ∈,有()|(),,0cf x f x c F c ∈≠；特别()|()f x f x ；G ）若()|()f x g x .()|()g x f x ,则()(),,0f x cg x c F c =∈≠.2. 带余除法TH2.2.1（带余除法）设(),()[]f x g x F x ∈,且()0g x ≠,则（1）(),()[]q x r x F x ?∈使得()()()()f x g x q x r x =+；（*）其中()0r x =或00(())(())r x g x ?（2）满⾜（*）式及条件的(),()q x r x 只有⼀对.Cor1.设(),()[]f x g x F x ∈,（1）()0,()|()()0g x g x f x f x =?=；（2）()0,()|()()g x g x f x g x ≠?除()f x 的余式为0.Cor2. 设,F F 是两个数域,且F F ?,若(),()[]f x g x F x ∈,且在[]F x 内()|()g x f x ,则在[]F x 内()|()g x f x .（即多项式的整除性不随数域的扩⼤⽽改变.）2．3 多项式的最⼤公因式⼀教学思考1. 本节讨论了最⼤公因式的概念、性质（包括个数之间关系）及求法,互素的概念及性质.从内容上看与整数的整除性的有关内容是平⾏的,不难理解,但须注意其不同的特征.2. 为理解最⼤公因式,讨论⼀下两个零多项式及零多项式与⼀个⾮零多项式的最⼤公因式的问题、最⼤公因式的存在性.个数定理包含了最⼤公因式理论的所有问题,其中个数及之间关系由定义不难证明,重要的是存在性,其证明过程实质上是⼀种求法——辗转相除法.3. 互素是⽤最⼤公因式（为1）来定义的,此可解释其中的含义（仅有零次公因式）,这有利于验证性质；定义本⾝也包含了证明互素的⽅法（求最⼤公因式）.4. 由于最⼤公因式的求法——辗转相除法,实质是重复实施带余除法,所以由带余除法的特性（唯⼀性）可证多项式的最⼤公因式不随数域的扩⼤⽽改变.⼆内容、重点.要求1. 内容：最⼤公因式的概念、性质（包括个数.之间关系）及求法,互素的概念.性质及判定.2. 重点：最⼤公因式的概念、性质及求法.3. 要求：理解掌握上述有关概念、性质,掌握辗转相除法.三教学过程1. 多项式的最⼤公因式（1）定义1. 设(),(),()[]f x g x h x F x ∈,若()|(),()|()h x f x h x g x ,则称()h x 是()f x 与()g x 的⼀个公因式.定义2. 设(),(),()[]f x g x d x F x ∈,若()d x 满⾜：A ）()|(),()|()d x f x d x g x ；（()d x 是()f x 与()g x 的⼀个公因式）B ）对()[]h x F x ?∈,若()|(),()|()h x f x h x g x ,则有()|()h x d x .则称()d x 是()f x 与()g x 的⼀个最⼤公因式.（2）最⼤公因式的存在性、求法TH2.3.1 []F x 中任意两个多项式()f x 与()g x ⼀定有最⼤公因式.除⼀个零次因式外,不全为0的()f x 与()g x 的最⼤公因式是唯⼀的；即若()d x 是()f x 与()g x 的⼀个最⼤公因式,则对当()f x 与()g x 不全为0时,0,,()c c F cd x ?≠∈也是()f x 与()g x 的最⼤公因式,且只有这样的乘积才是()f x 与()g x 的最⼤公因式.例1. 设43232()2443,()2543[]f x x x x x g x x x x Q x =--+-=--+∈求（()f x ,()g x ）. 解： 322543x x x --+ | 4322443x x x x --+- |2|x - 32615129x x x --+ 43224886x x x x --+- | x3262830x x x -+ 4322543x x x x --+213429x x -+ 32456x x x -+--13 23912627x x -+ 32281012x x x -+-| 1239182195x x -+ 322543x x x --+56168x - 231415x x -+-|3x -3x - 239x x -+515x - | 5515x - ((),()3f x g x x ∴=-. 0（3）性质：1）任意两个多项式的最⼤公因式不因数域的扩⼤⽽改变.2）TH2.3.2. 若()d x 是(),()[]f x g x F x ∈的⼀个最⼤公因式,则在[]F x ⾥可以求得多项式(),()u x v x 使得：()()()()()d x f x u x g x v x =+.例2. 设43232()421659,()254[}f x x x x x g x x x x Q x =--++=--+∈,求((),())f x g x ,且求相应的(),()u x v x .分析：本题不仅求((),())f x g x ,且求相应的(),()u x v x ,⽽由定理2中证知(),()u x v x 不仅与余式有关,且与商式有关,因⽽在辗转相除中不允许系数变化,将所得的等式逐步代回整理即可.（解略）2. 多项式的互素及其性质1）定义. 设(),()[]f x g x F x ∈,若(),()f x g x 在[]F x 内除零次公因式外不再有其它公因式,则称()f x 与()g x 互素.2）互素的充要条件TH2.3.3 ()f x 与()g x 互素((),())1f x g x ?=.TH2.3.3 设(),()[]f x g x F x ∈, ()f x 与()g x 互素(),()[]u x v x F x ??∈使得()()()()1f x u x g x v x +=.3）性质（1）若()f x ,()g x 都与()h x 互素,则()f x ()g x 与()h x 互素.（2）若()h x |()f x ()g x ,⽽()h x 与()g x 互素,则()h x |()g x .（3）若()g x 与()h x 都有：()g x |()f x ,()h x |()f x ,⽽()g x 与()h x 互素,则()g x ()h x |()f x .3. 最⼤公因式及互素概念的推⼴1）(2)n ≥个多项式的最⼤公因式定义. 设()[],(1,2,,),()[]i f x F x i n d x F x ∈=∈,若（1）()|(),(1,2,,)i d x f x i n =；（2）(),()|(),(1,2,,)i h x h x f x i n ?=,有()|()h x d x . 则称()d x 为()(1,2,,)i f x i n =的⼀个最⼤公因式. 2）(2)n ≥个多项式互素定义. 若11(),,()n f x f x -,()n f x 除零次公因式外没有其它公因式,称这⼀组多项式互素.2．4 多项式的分解⼀教学思考1. 多项式的分解是多项式理论的⼀个核⼼问题,在前⼏节的基础上,本节解决了多项式“不能再分”及“分解唯⼀性”等理论问题,这对中学相关内容有直接的指导作⽤.2. 从内容上讲本节内容简洁完整（⼀个概念.两个结论）,但需注意概念（不可约）与数域有关,其性质与“互素”类似；“唯⼀分解定理”的理论证明是运⽤数学归纳法结合消去律,也不难理解,但需指出的是：3. “唯⼀分解定理”没有给出因式分解的⽅法,因⽽具体对多项式进⾏因式分解需具体问题具体分析,需⽤中学学过的具体⽅法进⾏尝试（没有⼀般⽅法）,同时指出的是由“典型分解式”可得求两个多项式的公因式与最⼤公因式,⽽其前提是当知“典型分解式”时,但分解因式没有⼀般⽅法,所以此不能代替前述的具体⽅法——辗转相除法；⽽其中蕴涵着下节得出的⼀个分解因式的思路——分离重因式法.⼆内容、要求1. 内容：不可约多项式的概念及性质.唯⼀分解定理.2. 要求：掌握不可约多项式的概念及性质,会⽤性质推证某些命题；掌握唯⼀分解定理,它是多项式整除性理论的⼀个重要定理,在许多有关多项式理论的推导中很有作⽤,会⽤其推证有关问题.三教学过程（⼀）概念1. 多项式的平凡因式.⾮平凡因式定义1. 对()[],,0f x F x c F c ?∈?∈≠有|(),()|()c f x cf x f x ；称c 与(),(0)cf x c ≠为()f x 的平凡因式.若()(0)f x ≠除c 与(),(0)cf x c ≠之外还有其它因式,称为()f x 的⾮平凡因式.2. 不可约多项式.可约多项式1）定义2. 设()[]f x F x ∈,且0(())0f x ?>；若()f x 在[]F x 中只有平凡因式,则称()f x 是数域F 上的⼀个不可约多项式；若()f x 除平凡因式外,在[]F x 中还有其它因式,则称()f x 是数域F 上的⼀个可约多项式.结合定义1及注定义2等价为：定义2. 若[]F x 的⼀个(0)n >次多项式()f x 能分解为两个次数都⼩于n 的多项式()g x 与()h x 的乘积：()f x ()g x =()h x （1）则称()f x 在数域F 上可约；若()f x 在[]F x 中的任⼀形如（1）的分解总含有⼀个零次因式,则称()f x 在数域F 上不可约.2）性质设F 为数域（1）若()p x 不可约,则对,0,()c F c cp x ?∈≠也不可约.（2）设()p x 不可约,对()[]f x F x ?∈,则或者((),())1p x f x =,或者()|()p x f x .（3）设()p x 不可约,且()|()()p x f x g x ,则()|()p x f x ,()|()p x g x ⾄少有⼀个成⽴.（⼆）定理1. 两个定理TH2.4.1 []F x 中每⼀个(0)n >次多项式()f x 都能分解为[]F x 的不可约多项式的乘积.TH2.4.2 令0()[],(())0f x F x f x n ∈?=>,且()f x 可分解为 1212()()()()()()()r s f x p x p x p x q x q x q x ==,其中每个()i p x ,()i q x 都是[]F x 中的不可约多项式.则1）r s =；2）适当调整()i q x 的次序后可使()(),(,0,1,2,,)i i i i i q x c p x c F c i r =∈≠=.换句话说：若不计零次因式的差异,多项式分解成不可约因式的乘积的分解式是唯⼀的.2. 多项式的典型分解式（标准分解式）及其应⽤1）典型分解式：在多项式()f x 的分解式中：a ）把每个不可约多项式（因式）的最⾼次项系数提出来,使它们成为⾸项系数为1的多项式；b ）再把分解式中相同的不可约多项式合并在⼀起（写成⽅幂的形式）.则()f x 的分解式可写为：1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x =.其中a 是()f x 的⾸项系数,()(1,2,,)i p x i r =是不同的最⾼次项系数为1的不可约多项式,001(1,2,,),(())(())ri i i k i r N f x k p x =∈?=?∑.这种分解式叫做()f x 的典型分解式（标准分解式）. 2）典型分解式的应⽤A ）若()f x 有典型分解式1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x = （0(())0f x ?>）,则()g x 是()f x 的因式的充要条件是：()g x 有以下典型分解式1212()()()()r m m m r g x bp x p x p x =,其中b 为()g x 的⾸项系数,0(1,2,,)i i m k i r ≤≤=（注i m 可为0,此时0()1i p x =,即()g x 不⼀定全含()f x 的不可约因式）.B ）求（(),()f x g x ）若121121()()()()()()s r r k k k k k r r s f x ap x p x p x q x q x ++=,112121()()()()()()r tr l l l l l r r t g x bp x p x p x q x q x ++=,其中 (),(1,,)i q x i r s =+与(),(1,,)j q x j r t =+互不相同,令{}min ,,(1,,)i i i m k l i r ==；则（11(),())()()()r m m r f x g x p x p x d x ==.2.5 重因式⼀教学思考1. 本节引⼊重因式的概念,讨论重因式的有关问题.2. 当知道多项式()f x 的典型分解式（建⽴⼀般分解式基础之上的）时,很容易观察到()f x 有那些重因式.且⼏重,以及有⽆重因式.但由于1中所述原因,需另辟道路来解决此问题,为此形式地引⼊了多项式的导数的概念（与分析中定义不同,结果⼀致）,且通过典型分解式,很容易得到()f x 的重因式与()f x '的重因式之间的关系,由此得到()f x 没有重因式的充要条件.3. 本节内容简洁完整,从中注意的是：⼀是()f x 有⽆重因式()f x ?与()f x '是否互素,⽽互素不因数域的扩⼤⽽改变,所以()f x 在[] ([])F x F x ?中⽆重因式,则在[]F x 中也⽆重因式；⼆是判断()f x 有⽆重因式有规范的⽅法；三是通过分析()f x 与()f x '以及((),())f x f x ',还有()f x 除以((),())f x f x '所得商间的关系,可得将()f x 因式分解的⼀种思想——分离重因式法,其中把⽅法步骤规范化（五步）.⼆内容、要求1. 内容：k 重因式.重因式.导数.没有重因式的充要条件.2. 要求：掌握有关概念及定理1-2,以及分离重因式法.四教学过程1. 概念定义 1. 在()[]f x F x ∈的分解式中,若不可约多项式()p x 出现且只出现k 次,则称()p x 为()f x 的⼀个k 重因式.当1k =时,称()p x 为()f x 的单因式；当1k >时,称()p x 为()f x 的重因式；当0k =时,即()p x 在()f x 的分解式中不出现,()p x 不是()f x 的因式,称()p x 为()f x 的零重因式.定义1补. 若不可约多项式()p x 满⾜：()|()k p x f x ,⽽1()|()k p x f x +,则称()p x 为()f x 的⼀个k 重因式（其中k 为⾮负整数）.当1k =时,称()p x 为()f x 的单因式；当1k >时,称()p x 为()f x 的重因式；当0k =时,即()p x 在()f x 的分解式中不出现,()p x 不是()f x 的因式,称()p x 为()f x 的零重因式.定义2. 设01()[]n n f x a a x a x F x =+++∈,称1122n n a a x na x -+++为()f x 的（⼀阶）导数,记为()f x '.即()f x '=1122n n a a x na x -+++. 2. 定理TH2.5.1设()[]p x F x ∈不可约,若()p x 为()f x 的⼀个(1)k ≥重因式,则()p x 为()f x '的⼀个1k -重因式；特别()f x 的单因式不是()f x '的因式.TH2.5.2 (0)n >次多项式()f x 没有重因式()f x '?与()f x 互素.最后：讨论因式分解的⼀种思想⽅法——分离重因式法设0(())0f x ?>,()f x 有典型分解式1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x =若((),())1f x f x '≠,有1211112()()()()()r k k k r f x p x p x p x g x ---'=且()|()i p x g x (1,2,,)i r =,从⽽（(),())f x f x '=1211112()()()r k k k r p x p x p x ---,则可令()((),())()f x f x f x q x '=；⽐较上述有关式⼦可知1()()()r q x p x p x =. 上述意思是：若⽤()f x 除以((),())f x f x ',则得商()q x 是⼀个与()f x 具有完全相同的不可约因式⽽没有重因式的多项式.由此得思想：若将()q x 能分解的话,便知()f x 的不可约因式,再确定每个不可约多项式在()f x 中的重数（作带余除法直⾄不能整除）.例：在[]Q x 中分解432()5648f x x x x x =++--解：第⼀步：求()f x ' 32()415124f x x x x '=++-第⼆步：求((),())f x f x ' 2((),())44f x f x x x '=+-第三步：由带余除法得：()f x =22(44)(2)x x x x +-+-第四步：分解()q x ： ()(1)(2)q x x x =-+第五步：确定每个因式的重数：2(1)|(),(1)|()x f x x f x --3()(1)(2)f x x x ∴=-+2.6多项式函数.多项式的根⼀教学思考1. 本节在另⼀观点下——函数观点,重新审视⼀下多项式,且以此重新认识⼀下多项式相等以及引⼊⼀个新的问题——多项式的根（当然多项式的根与多项式整除理论仍密切相关）.事实上,多项式的形式观点与函数观点在中学数学中曾经常⽤到,如在做多项式的加.减.乘运算时,通常运⽤形式观点,有时也理解为函数观点,此⼆者是统⼀的（在⽆限域上）.注意这种认识做到⼼中有数,在教学内容和教学过程中使学⽣逐步建⽴.2. 建⽴多项式的函数观点的关键是引导学⽣真正理解函数的实质——数集间的映射.3. 从内容上看余数定理.多项式的根及因式定理不难理解,其中需要注意的是本节在数环（含1）中讨论,则需要注意余数定理⽤带余除法证之成⽴的条件（除式⾸项系数为1）.根的概念实质与代数⽅程的根没有本质区别,根与（⼀次）因式的关系即与整除密切相关.其中有⼀附带结果——确定满⾜某些条件拉格朗⽇插值公式,只是该⼈给出的⼀种⽅法,可引导学⽣试想其如何⽽来,还有⽆它法.⼆内容、要求1. 内容：多项式函数.余数定理.多项式的根.因式定理.综合除法.拉格朗⽇插值公式,以及将多项式表为()x a -的幂.2. 要求：掌握上述概念与定理.三教学过程注：本节在数环R 中讨论,且设1R ∈,从⽽R Z ?.1. 多项式函数（1）定义. 给定01()[],()n n f x a a x a x R x =+++∈* 对c R ?∈,在()*中以c 代x 便得⼀个确定的数：01n n a a c a c R +++∈.称之为当x c =时()f x 的值,记为()f c .这样就得到R 到R 的⼀个映射,这个映射是由多项式()f x 确定的（:,()f R R c f c →→）,叫做R 上⼀个多项式函数.（2）性质. 由定义求()f c 可⽤c 代替()f x 中的x 直接计算,但有TH2.6.1（余式定理）设()[]f x R x ∈,c R ∈；⽤x c -除()f x 所得的余式等于x c =时()f x 的值()f c .综合除法：设1011(),()n n n n f x a x a x a x a g x x c --=++++=-；⽤()g x 对()f x 作带余除法,可设()()()f x x c q x r =-+ ()*其中120121()n n n n q x b xb x b x b ----=++++；将()f x ,()q x 代⼊()*式,由多项式相等,⽐较同次项系数得： 00110221,1121,,,,n n n n n a b a b cb a b cb a b cb a r cb ----==-=-=-=-得 001012121211,,,,,n n n n n b a b cb a b cb a b cb a r cb a ----==+=+=+=+即欲求k b ,须把前⼀项系数1k b -乘以c 再加上对应系数k a ,r 也可以如此写出.此算法可由下表写出：c | 0a 1a 2a1n a - n a + 0cb 1cb2n cb - 1n cb - 0b 1b 2b1n b - r 例：⽤3x +除42()49f x x x x =++-,求商式和余式.（解略）2. 多项式的根多项式的研究与⽅程的研究有密切的关系,如中学代数中⼀元⼆次⽅程的根与⼆次多项式的因式分解是⼀回事.（1）定义. 设()[],f x R X c R ∈∈,若当x c =时()f x 的值()0f c =,则称c 为()f x 在数环R 中的⼀个根.（2）性质：TH2.6.2(因式定理) 数c 为()f x 的根|()x c f x ?-.TH2.6.3 设()[]f x R X ∈,0(())0f x n ?=≥,则()f x 在R 中⾄多有n 个根（重根按重数计）. TH2.6.4设(),()[]f x g x R X ∈,且0((),())f x g x n ?≤,若以R 中1n +个不同的数来代替x ,每次所得的()f x 与()g x 的值都相等,则()f x =()g x .TH2.6.5 (),()[]f x g x R X ∈,()f x =()g x ?它们定义的R 上的多项式函数相等.2.7 复数域.实数域上的多项式⼀教学思考1. 本节在常⽤的三个数域上将某些结论进⼀步具体化,主要研究在这三个数域上进⼀步明确⼀元多项式的根的情况及因式分解即不可约多项式的形式.2. 在复数域上,所有的结论（不可约多项式的形式.根的情况）是建⽴在代数基本定理的基础上,由此结合上节定理3便得有关结论.代数基本定理证法很多,但鉴于⽬前知识所限暂不作证明.在复数域上另外的结论是根与系数的关系及根号解介绍,其中由根与系数的关系可得的引深问题（⽅程及其变换）可作附注处理.3. 在实数域上的结论是建⽴在其⾮实复根是成对出现这⼀性质之上的,有关结论简洁明了,只须补充⼀些例⼦和说明⼀些结论.⼆内容、要求1. 内容：代数基本定理,复数域上不可约多项式及典型分解式,根与系数的关系；实数域上的多项式的根的性质及不可约多项式的形式.2. 要求：掌握有关定理和结论.三教学过程1.复数域上的多项式（1）TH2.7.1（代数基本定理）设0()[],(())0f x C x f x n ∈?=>,则()f x 在C 内⾄少有⼀个根. TH2.7.2 设0()[],(())0f x C x f x n ∈? =>,则()f x 在C 内有n 个根（重根按重数计）.（2）根与系数的关系（Vieta 定理）⾸先设111()[]n n n n f x x a x a x a C x --=++++∈,令12,,,n ααα为()f x 的n 个复根；则()f x 12()()()n x x x ααα=---. 由多项式相等得：根与系数的关系为：112()n a ααα=-+++ 212131231n n n a αααααααααα-=++++++31231241223421(n n n n a ααααααααααααααα--=-++++++）……12321(1)()k k k n k n n n a αααααααα---=-++…… 123(1)n n n a αααα=-.⼀般地：设1011()[]n n n n f x a x a x a x a C x --=++++∈,令12,,,n ααα为()f x 的n 个复根,则()f x 012()()()n a x x x ααα=---,同理⽐较系数得：1120()n a a ααα=-+++ 2121312310n n n a a αααααααααα-=++++++312312412234210(n n n n a a ααααααααααααααα--=-++++++）(123210)(1)()k k k n k n n n a a αααααααα---=-++(1230)(1)n n n a a αααα=-.2.实数域上的多项式 TH2.7.3设0()[],(())0f x R x f x n ∈?=>;若C α∈是()f x 的⼀个⾮实的复数根,则α的共轭α也是()f x 的根,且α与α有同⼀重数.（即实系数多项式的⾮实复根是以共轭的形式成对出现的.）TH2.7.4实数域上不可约多项式除⼀次多项式外,只有含⾮实共轭复根的⼆次多项式,即22(40)ax bx c b ac ++-<.TH2.7.5设0()[],(())0f x R x f x n ∈?=>,则()f x 的典型分解式为: 12122121122()()()()()()s r l k k k l r f x a x x x x p x q x p x q ααα=---++++其中a 是()f x 的⾸项系数,,i j k l N ∈,40(1,,)i i p q i s -<=,112r si j i j k l n ==+=∑∑.另外：实数域上的多项式的根（实根）的情况⽐较复杂（可有可⽆）,但是,1）实系数奇次多项式⾄少有⼀个实根；2）实系数⾮零多项式的实根个数与多项式的次数有相同的奇偶性.例：1）设6()1f x x =-,求()f x 在[]C x .[]R x 的典型分解式.2）求有单根1-及⼆重根1的次数最低的复系数及实系数多项式.2.8 有理数域上的多项式⼀教学思考1. 本节进⼀步在有理数域上讨论多项式的可约性及有理根的求法.关于这两个问题是转化为整系数多项式在整数环上的可约性及整系数多项式的有理根的求法⽽解决的.对于第⼀个问题,结论是有理数域上存在任意次的不可约多项式,且给出了⼀个判断不可约的充分条件（Eisenstein 判别法）,对于第⼆个问题给出了⼀个较规范的求整系数多项式的有理根的⽅法.2. 关于有理数域上多项式的可约性等价于整系数多项式在整数环上的可约性,体现了（等价）转化思想,为实现这种转化,引⼊了本原多项式的概念和Gauss 引理,其中化法很规范；有了此,只须讨论整系数多项式在整数环上的可约性问题,结果由苛朗奈克给出有⼀般⽅法,鉴于较繁不作介绍,实⽤中给出了⼀个判断整系数多项式在有理数域（整数环）上不可约的充分条件——Eisenstein 判别法.但需注意条件是充分⾮必要的,且有时不能直接使⽤,需对原多项式进⾏变形.3. 关于有理根的求法是在分析了整系数多项式的有理根的性质的基础上⾃然得到的.⼆内容、要求1. 内容：本原多项式.Gauss 引理.Eisenstein 判别法.整系数多项式的有理根的性质与求法2. 要求：掌握Gauss 引理,Eisenstein 判别法.有理根的求法三教学过程（⼀）有理数域上多项式的可约性1.有理系数多项式在有理数域上的可约性与整系数多项式在整数环上的可约性设()[]f x Q x ∈,若()f x 的系数不为整数,则以()f x 的系数的公分母的⼀个整数倍k 乘以()f x 得()[]kf x Z x ∈；显然()f x 与()kf x 在有理数域上具有相同的可约性.这样讨论有理数域上多项式的可约性只须讨论整系数多项式在有理数域上的可约性.问题：能否转化为讨论整系数多项式在整数环上的可约性？此问题的⼀⾯是成⽴的,即整系数多项式在整数环上可约,则其在有理数域上也⼀定可约.关键是问题的另⼀⾯,即整系数多项式在有理数域上可约,则其在整数环上是否也⼀定可约？为此,引⼊：（1）本原多项式及其性质A ）定义. 设()[]f x Z x ∈,若()f x 的系数互素,则称()f x 为⼀个本原多项式.B ）性质：Gauss 引理：两个本原多项式的积仍是⼀个本原多项式.（2）整系数多项式在有理数域上的可约性与在整数环上的可约性的⼀致性TH2.8.2设()[]f x Z x ∈,0(())0f x n ?=>,若()f x 在[]Q x 上可约,则()f x 在[]Z x 上也可约.2.整系数多项式在有理数域上不可约的⼀个充分条件——Eisenstein 判别法TH2.8.3设2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈,若存在⼀个素数p 使得：1）|n p a ；2）|(0,1,,1)i p a i n =-；3）20|p a .则()f x 在有理数域上不可约.例：证明542()2631215f x x x x x =++-+在[]Q x 上不可约.（⼆）有理系数多项式的有理根TH2.8.4设101()[]n n n f x a x a x a Z x -=++++∈,0(())0f x n ?=>,若有理数u v是()f x 的⼀个根（这⾥,,(,)1u v Z u v ∈=）.则1）0|v a ,|n u a ；2）()()(),()[]u f x x g x g x Z x v =-∈.。
高等代数（二）预习——3、最大公因式
⾼等代数（⼆）预习——3、最⼤公因式3、最⼤公因式⼀、最⼤公因式的概念 上⼀篇我们介绍了多项式之间的除法：整除和带余除法。
这之后我们就可以探讨⼀个重要的问题，就是多项式的因式分解问题。
在此之前，先来介绍公因式的概念。
定义：K[x]上的多项式f和g的公共因式称为它们的公因式，即若p是f、g的公因式，则有p|f、p|g。
容易看出公因式有这样⼏个性质：1、所有公因式构成⼀个集合；2、若p是f和g的公因式，则cp,c∈K也是，也即公因式的相伴式也是公因式；3、任意两个多项式之间⼀定存在公因式b,deg b=0；4、任意多项式f与0之间⾄少存在⼀个公因式f。
公因式中最特殊的是“最⼤公因式”，定义如下：若d是f和g的公因式，⽽f、g的任⼀公因式c，满⾜c|d，则称d是f和g的最⼤公因式。
最⼤公因式有如下的性质：1、若f、g不全为0且最⼤公因式存在，则不唯⼀：若d1、d2都是最⼤公因式，显然有d1|d2、d2|d1，即⼆者相伴；2、由1⽴即得：最⼤公因式在相伴意义下唯⼀，否则最⼤公因式将构成⼀个集合，我们记(f,g)是f和g的⾸项为1的最⼤公因式；3、任意f与0的公因式c⼀定满⾜c|f，因此f是f与0的⼀个最⼤公因式，这样，如果我们规定0与0的最⼤公因式是0（除此之外0不会成为最⼤公因式），就有：4、任意多项式都是它和它本⾝的⼀个最⼤公因式。
有了3和4，我们下⾯讨论的时候⾃始⾄终都假设多项式不全为0。
除此之外，最⼤公因式还有如下⾮常重要的性质：5、若f和g的公因式集合等于p和q的公因式集合，则任意f和g的最⼤公因式集合等于p和q的最⼤公因式集合。
证明：若d是f和g的最⼤公因式，则任意f和g的公因式c，c|d，由前提，c也是p和q的公因式，那么由定义就知d也是p和q的最⼤公因式。
反过来同样证明。
请⼤家注意这个性质的对称性要求。
此性质的⼀个直接推论就是：f和g的最⼤公因式也是af和bg的最⼤公因式，其中a、b∈K。
最大公因式
( f ( x ), g( x )) (c1 f ( x ), g( x )) ( f ( x ), c2 g( x )) (c1 f ( x ), c2 g( x )) ,
c1 , c2 为非零常数．
© 2009, Henan Polytechnic University §4 最大公因式
8 8
第一章 多项式
从而有 ( f ( x ),g( x ))=( g( x ),r1 ( x ))
=( r1 ( x ),r2 ( x ))
=…
=( rs1 ( x ),rs ( x ))
=( rs ( x ), 0)
再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
rs1 ( x ),
, r1 ( x ) 再并项就得到 rs ( x )=u( x ) f ( x ) v( x ) g( x ).
5 5
有一为0，如 g ( x ) 0，则 f ( x ) 证：若 f ( x )、g( x )
就是一个最大公因式．且 f ( x ) 1 f ( x ) 0 g( x ). 考虑一般情形： f ( x ) 0,
g( x ) 0,
第一章 多项式
用 g ( x ) 除 f ( x ) 得：
若
d1 ( x )、d 2 ( x ) 为 f ( x )、g( x )
的最大公因式，则 d1 ( x )=cd 2 ( x ) ，c为非零常数．
© 2009, Henan Polytechnic University §4 最大公因式
3 3
第一章 多项式
二、最大公因式的存在性与求法
高等代数02多项式
注意： 注意：
定理2.3.2的逆命题不成立.但是当（2）式成立，而d(x)是f(x)与 g(x)的一个公因式时， d(x)一定是f(x)与g(x)的一个最大公因式. 定义3 定义3 F[X]的两个多项式 与 互素的充分必要条件是： F[X]的两个多项式f(x)与g(x)互素的充分必要条件是：在 的两个多项式 互素的充分必要条件是 F[X]中可以求得多项式u(x)与v(x)，使 中可以求得多项式u(x) 中可以求得多项式u(x)与v(x)， f(x)u(x)+g(x)v(x)=1
最大公因式的定义可以推广到n（n>2）个多项式的情形： n n>2） 若是多项式h(x)整除多项式中 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的每一个，那么 h(x)叫做这n个多项式的一个公因式.若是 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的公因式d(x)能被这n多个多项式的每一个公因式整除，那么d(x)叫 做 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的一个最大公因式。 容易推出：若d0 ( x)是多项式 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x ) 的一个最大公因式 容易推出 那么 d 0 ( x) 与多项式f(x)的最大公因式也是多项式 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的最大公因式。
§2.4 多项式的分解
我们知道，给了F(X)的任何一个多项式f(x)，那么的任何不为零 的元素c都是f(x)的因式.另一方面，c与f(x)的成绩cf(x)也总是f(x)的因 式.我们f(x)把的这样的因式叫做他的平凡因式 平凡因式. 平凡因式 定义 令f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在F[X] f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在 的一个次数大于零的多项式 f(x) 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域 上不可约. f(x)除平凡 就是说在数域F 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域F上不可约.若f(x)除平凡 饮食外， F[X]中还有其它因式 f(x)就是说在 上可约。 中还有其它因式， 就是说在F 饮食外，在F[X]中还有其它因式，f(x)就是说在F上可约。 对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的，也 不能说它们是不可约的。在任一多项式环F[X]中都存在不可约多 项式，因为F[X]的任何一个一次多项式总是不可约的. 注意： 注意：我们只能对给定的数域来谈论多项式可约或不可约
最大公因式的求法举要
最大公因式的求法举要
最大公因式（GreatestCommonDivisor，简称GCD）指的是两个或多个数的最大公约数，也称作最大公因子、最大公约数、最大公因数、最大公公式或者最大公因式，简称GCD。
二、最大公因数求法
1、欧几里得算法（辗转相除法）
欧几里得算法（辗转相除法）是一种用于求解最大公因数的经典方法。
它的基本思想是，用较大的数除以较小的数，然后再用较小的数除以余数，再用余数去除以余数，直到余数为0，此时最大公因数即为被除数。
2、积性函数
积性函数是一种将一个多项式的最大公因式分解为两个较小的多项式的最大公因式的函数。
它的基本思想是，将需要求解的多项式分解为两个更小的多项式，然后求解每个小多项式的最大公因式，最后将每个小多项式的最大公因式通过乘积的方式相乘，得到原多项式的最大公因式。
3、中国剩余定理
中国剩余定律是一种用于求解最大公因式的数学方法。
中国剩余定律是求解一个给定系统的一个条件的一般解的定理，它的基本思想是，将最大公因式拆分为多个较小的公因式，然后将每个较小的公因式的所有可能的值列出来，构成向量，最后使用中国剩余定律来确定最大公因式。
三、结论
以上就是最大公因式的求法举要，最大公因式（GCD）是一个用于求解最大公因数的重要概念，可以帮助我们理解和解决数学计算问题。
前，欧几里得算法（辗转相除法）、积性函数以及中国剩余定理都是求解最大公因式的常用方法，各有优势和适用范围。
此，在求解最大公因数的问题时，必须根据实际情况，从上述三种方法中选择最适合的算法，来正确求解最大公因式。
- 1 -。
多项式长除法精讲精练
多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。
是常见算数技巧长除法的一个推广版本。
它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。
例计算写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。
结果写在横线之上(x3÷x = x2).2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下 (x2· (x−3) = x3− 3x2).3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写在下面。
((x3− 12x2) − (x3− 3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。
4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项5.重复第四步。
这次没什么可以“拿下来”了。
横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。
除法变换使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。
考虑多项式P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。
然后，对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），这种变换叫做除法变换，是从算数等式.[1]得到的。
应用:多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。
如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。
简单来说，Q(x)就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。
相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s ，以此类推。
多项式最大公因式性质定理及求解方法
多项式最大公因式性质定理及求解方法作者：xxx 指导教师：xxx摘 要 对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法．关键词 公因式 最大公因式 辗转相除法 初等变换最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究．本文所考虑的多项式均为数域F 上的一元多项式环]x [F 内的多项式．§1．最大公因式的定义及性质首先我们给出最大公因式的定义：定义1：设)x (d 是多项式)x (f 与)x (g 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f 与)x (g 的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．以))x (g ),x (f (表示)x (f 与)x (g 在]x [F 中最高项系数为1的最大公因式．例1．如果)x (q )x (g )x (f ⋅=，那么)x (g 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．证明：按定义1．有)x (g 是)x (f 与)x (g 的一个公因式，设)x (h 是)x (f 和)x (g 的任一公因式，则有：)x (g |)x (h ，所以按定义，有)x (g 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理：引理1：如果多项式)x (h 是多项式)x (f 和)x (g 的公因式，)x (a 和)x (b 是]x [F 上的两个任意多项式，那么)x (h 一定是多项式)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．证明：因为)x (h 是)x (f 的因式，所以 可设 )x (m )x (h )x (f ⋅=， )x (n )x (h )x (g ⋅=，其中)x (m ，)x (n ∈]x [F ．又因为 )x (n )x (b )()x (m )x (a )x (h )x (g )x (b )x (f )x (a ⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅x h)]()()()()[(x n x b x m x a x h +⋅=．所以 )x (h 是)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．注：应用引理1有时可以方便的求两个多项式的最大公因式．例2：求12x 3x )x (f 3--=和52x 3x )x (g 3-+=的最大公因式．解：由上面的引理可知：所求的最大公因式一定是：)1x (4)x (g )x (f -=+-的因式，又因为 0)1(f =，0)1(g =，可知所求的最大公因式就是1x -．定理1:设0)(≠x g ，)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，其中))(())((x g x r ︒︒∂<∂，则有 ))x (r ),x (g ())x (g ),x (f (= ．注：定理1的结论可以形象的叙述为：)()(除式，余式被除式，除式=.证明：设)x (d 是)x (g 和)x (r 的最大公因式，那么根据引理１得：)x (d 也是)x (f 的因式，从而)x (d 是)x (f 和)x (g 的公因式；其次，设]x [F )x (h ∈是)x (f 和)x (g 的任一公因式，那么由引理１得：)x (h 是)x (q )x (g )x (f )x (r ⋅-=的因式，所以)x (h 是)x (r 的因式.因此, )x (h 是)x (g 和)x (r 的公因式,从而可知)x (h 能够整除)x (d ；所以)x (d 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．根据引理１和定理１不难得到：定理２：如果)x (f 和)x (g 不全是零多项式，那么)x (f 和)x (g 一定有最大公因式，并且)x (f 和)x (g 的最大公因式，除了一个零次多项式的因式差别之外是唯一确定的．具体证明过程可参阅[1] 、[2]．两个多项式的最大公因式存在的一条非常重要的性质：定理３：若)x (d 是]x [F 的多项式)x (f 和)x (g 的公因式，则以下命题等价：（i ）)x (d 为)x (f 和)x (g 的一个最大公因式；（ii ）在]x [F 里存在多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅.证明：由(i)推(ii):若0)x (g )x (f ==，那么0)x (d =，这时]x [F 中任何两个多项式都可以取作)x (u 与)x (v ．若)x (f 与)x (g 不都等于零，不妨假定0)x (g ≠，用辗转相除法来求（)x (f ，)x (g ）.用)x (g 去除)x (f 应用带余除法，得商式)x (q 1及余式)x (r 1．如果)x (r 1≠0，那么再以)x (r 1除)x (g ，得商式)x (q 2及余式)x (r 2．如果)x (r 2≠0，再以)x (r 2除)x (r 1，得商式)x (q 3及余式)x (r 3如此继续下去，因为余式的次数在带余除法中每次降低，所以作了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式0x )(r k ≠，使得)()()(11x q x r x r k k k +-⋅=，于是我们得到一串等式：)x (r )x (q )x (g )x (f 11+⋅=，)x (r )x (q )x (r )x (g 221+⋅=，)x (r )x (q )x (r )x (r 3321+⋅=， (1))x (r )x (q ).x (r )x (r 1-k 1-k 2-k 3-k +=，)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k +⋅=，)x (q )x (r )x (r 1k k 1-k +⋅=．则 )x (r k 就是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，考察等式组（1）的倒数第二个等式，得)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k =⋅-，令 1)x (u 1=，)x (q )x (v k 1-=，那么上面的等式可以写成 :)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 11-k 12-k =⋅+⋅． （3） 由（1）的倒数第三个等式，得)x (q )x (r )x (r )x (r 1-k 2-k 3-k 1-k ⋅-=．把)x (r 1-k 的这个表达式带入(3)中，并令 )x (v )x (u 12=，)x (q )x (v )x (u )x (v 1-k 112⋅-=，所以有)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 22-k 23-k =⋅+⋅．如此继续利用（1）中的等式，最后可得到)x (r )x (v )x (g )x (u )x (f k k k =⋅+⋅．但)x (f 与)x (g 的最大公因式)x (d 等于F 中不为零的数c 与)x (r k 的积：)x (r c )x (d k ⋅=，因此 取)x (u c )x (u k ⋅=，)x (v c )x (v k ⋅=，即得所证．由(ii)推(i):设)x (h 是)x (f 与)x (g 的任一公因式，则)x (f |)x (h ，)x (g |)x (h ，由引理1得h(x)是)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅的因式，即)x (d |)x (h ．又因为)x (d 是)x (f 与)x (g 的公因式，所以)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．若1))x (g ),x (f (=，则称多项式)x (f 与)x (g 互素．与定理3类似的还有下面一条重要的定理：定理4 ：在]x [F 中，设)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，且)x (f 与)x (g 不全为零，则)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式⇔))x (g ),x (f (111=．证明：充分性：如果))x (g ),x (f (111=，则由多项式互素的判定定理有，存在)x (u ，)x (v 使1)x (v )x (g )x (u )x (f 11=⋅+⋅，则 等式两边同时乘以)x (d ，得d(x ))x (v )x (g )()x (u )x (f d(x )11=⋅⋅+⋅⋅x d ,由命题条件)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=知)x (d 是)x (f 与)x (g 的公因式，结合上式同时有)x (d )x (v )x (g )x (u )x (f =⋅+⋅，所以，由定理3得)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．必要性：若)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，则由定理3得，存在)x (u ，)x (v 使)x (d )x (v )x (g )x (u )x (f =⋅+⋅．因为 )x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，所以代进上式变为)x (d )]x (v )x (g )x (u )x (f [)x (d 11=⋅+⋅⋅，又因为)x (f ，)x (g 不全为零，所以0)(≠x d ，可用)x (d 除等式两边，得1)x (v )x (g )x (u )x (f 11=⋅+⋅，所以 1是)x (f 与)x (g 的公因式，由3Th 得,))x (g ),x (f (111=．已知))x (g ),x (f ()x (d =，则)x (d ))x (g ),x (af (=，)x (d ))x (g ),x (g )x (f (=+,一般地有： 定理5 ：令)x (f 与)x (g 是]x [F 的多项式，而a 、b 、c 、d 是F 中的数，并且0bc ad ≠-，则)x (d 是)(x f 与)x (g 的最大公因式⇔)x (d 也是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式．证明：设)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式，并令))x (g ),x (f ()x (d =.命 )x (bg )x (af )x (F +=，)x (dg )x (cf )x (G +=，现只需证明))x (G ),x (F ()x (d =即可． 由 引理1知，d(x)是F(x)的因式，同时d(x)也是G(x)的因式，所以 )x (d 是F(x)与G(x)的公因式．设 )x (h 是F(x)与G(x)的任一公因式，现证明)x (d |)x (h 如下：因为 )x (bg )x (af )x (F +=，)x (dg )x (cf )x (G +=，且0≠-bc ad ,所以 从F(x)与G(x)的表达式中可得：)x (G bcad b )x (F bc ad d )x (f ---=， )x (G bcad a )x (F bc ad c )x (g -+--=， 又由于h(x)是F(x)与G(x)的公因式，所以)x (f |)x (h ，)x (g |)x (h ,从而)x (d |)x (h ．即证明了)x (d 是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式．""⇐因为 )x (d 是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式 ，由3Th 可知在F[x]里总可以求得多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )]x (dg )x (cf )[x (v )]x (bg )x (af )[x (u =+++ ,即 )x (d )]x (dv )x (bu )[x (g )]x (bv )x (au )[x (f =+++．令 )x (cv )x (au )x (u 1+=,)x (dv )x (bu )x (v 1+=,则)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u 11=+． ①由引理1得)(x d 是)x (f )bc ad ()]x (dg )x (cf [b )]x (bg )x (af [d -=+-+的因式，同时也是)x (g )ad bc ()]x (dg )x (cf [a )]x (bg )x (af [c -=+-+的因式．又)x (g |)x (d ),x (f |)x (d ,0bc ad ∴≠- , ②综合3Th ①、②由得)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．§2．关于定理3中)x (u ，)x (v 的结构前面研究了多项式最大公因式的性质定理，为了更好理解这一定理，现将对定理3中的)x (u ，)x (v 作进一步分析，从而得出有关)x (u ，)x (v 的一些新的结论，以此作为上述定理3的补充．定理3中涉及一个事实，即∀]x [F )x (),x (f ∈g ,0)x (f ≠与0)x (g ≠，∃]x [F )x (v ),x (u ∈，使得))x (g ),x (f ()x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅, ①设))x (g ),x (f ()x (d =，)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，由§1中定理4得1))x (g ),x (f (=．作了上面的准备工作，现给出)x (u ，)x (v 的结构定理，并加以证明．定理6：（1）设s(x),t(x)∈F(x),∀]x [F )x (h ∈，取)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=，则))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅；（2）如果有]x [F )x (t ),x (s ∈使))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅，则∃]x [F )x (h ∈，使)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=．证明：（1）设d(x)=(f(x),g(x)),将)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=，代入下式得)x (g ))x (f )x (h )x (v ()x (f ))x (g )x (h )x (u ()x (g )x (t )x (f )x (s 11⋅⋅-+⋅⋅+=⋅+⋅ =)()()()()()()()()()(11x g x f x h x f x g x h x g x v x f x u -++其中)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅．又因为 )x (g )x (f )x (d )x (f (x )g )x (f )x (g 1111⋅=⋅⋅=⋅,所以 0)x (g )x (f )x (h )x (f )x (g )x (h 11=⋅⋅-⋅⋅，从而 ))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅．（2）因为 ))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅))x (g ),x (f ()x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅，上边两式左右两边同时作差得：0)x (g )]x (v )x (t [)x (f )]x (u )x (s [=⋅-+⋅-，因为 0)x (d ≠，两边同除以)x (d ，则有：0)x (d /)x (g )]x (v )x (t [)x (d /)x (f )]x (u )x (s [=⋅-+⋅-，又因为 1))x (d /)x (g ),x (d /)x (f (=，从 )x (d /)x (g )]x (t )x (v [)x (d /)x (f )]x (u )x (s [⋅-=⋅- (*)中，得)]x (u )x (s [|)]x (d /)x (g [-，即 ∃]x [F )x (h ∈，使得)x (d /)x (g )x (h )x (u )x (s ⋅=-，又因为)x (g )x (d /)x (g 1=，)x (f )x (d /)x (f 1=，所以有 )x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅=-，代入(*)式得)x (f )x (h )x (t )x (v 1⋅=-即 ⎩⎨⎧⋅-=⋅+=)x (f )x (h )x (v )x (t )x (g )x (h )x (u )x (s 11． 这个定理一方面指出了满足①的)x (u ，)x (v 是不唯一的，同时也给出了所有)x (u ，)x (v 的一般形式，这对研究多项式最大公因式的理论是有很大的作用．§3．最大公因式的求解方法在前面对多项式最大公因式的理论研究指导下，现来研究一下多项式最大公因式的几种求解方法．1．因式分解法利用因式分解法求多项式的最大公因式，一般先求两个（或多个）多项式的标准分解式，如设多项式)x (f 与)x (g 的标准分解式分别为：s 1r r 1k s k 1r k r k 1)x (q )x (q )x (p )x (ap )x (f ++=，t 1r r 1l t _l 1r _l r l 1)x (q )x (q )x (p )x (bp )x (g ++=，其中每一)x (q i ，)s ,,1r i ( +=不等于任何)x (q j _)t ,,1r j ( +=，令i m 是i k 与i l 两个自然数中较小的一个)r ,,2,1i ( =，那么r 21m r m 2m 1)x (p )x (p )x (p )( =x d ，就是)x (f 与)x (g 的最大公因式．例3．求实数域R 上多项式1x x x x x )x (f 2345+++++=与1x x x )x (g 34+++=的最大公因式．解：分别对两个多项式进行标准因式分解得 1x x x x x )x (f 2345+++++=22(x 1)(x 1x)(x 1x)=++++-，1x x x )x (g 34+++=)x 1x ()1x (22-++=，由)x (f 与)x (g 的标准分解式可看出： 1x )1x x )(1x ())x (g ),x (f (32+=+-+=．应该指出的是多项式的标准分解式一般不易求得．因此，求两个多项式的最大公因式一般不用此法．2．辗转相除法利用辗转相除法不但证明任意两个多项式都存在最大公因式，而且也是求最大公因式的一种有效方法．但是在运算过程中经常会出现分数运算，为了简化过程可用]x [F 中一个非零常数去乘被除式或除式，这种做法可在求最大公因式的每个步骤中进行，而对求出多项式的最大公因式d(x)的结果不会受到影响，原因如下:设f(x)，g(x)∈F(x),其中q(x)是g(x)除f(x)的商式，r(x)是余式，即表示为：)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，对F c ∈∀且0≠c 有)x (cr )]x (cq [)x (g )x (cf +⋅= ⑴，)x (r )]x (q c1[)]x (cg [)x (f +⋅= ⑵， 故由§1定理1得：))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (cr ),x (g ())x (g ),x (cf (===，))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (r ),x (cg ())x (cg ),x (f (===．根据此结论，在用辗转相除法求最大公因式的过程中，用F 中的非零常数去乘被除式或除式，会给运算带来很大的方便，以下用例题说明：例4．令F 是有理数域，求]x [F 的多项式：34x 4x 2x x )x (f 234-+--=与34x 5x 2x )x (g 23+--=的最大公因式．解法一，对)x (f 与)x (g 作辗转相除法，但对过程中的系数不作处理，这种解法的过程略．解法二，对)x (f 与)x (g 作辗转相除，对相除中的系数作一些处理：观察)x (f 与)x (g 的系数，先对)x (f 的系数作处理即 2)x (f =68842234-+--x x x x ，用)x (g 去除2)x (f ，商x ，余65423-+-x x x ，观察此步对系数作处理得2（65423-+-x x x ）=12108223-+-x x x ，用)x (g 去除12108223-+-x x x ，商1，余151432-+-x x ，观察此步对系数作处理得 912x 15x 6x )x (3g 23+--=，用151432-+-x x 去除912x 15x 6x 23+--，商-2x ，余942132+-x x ，观察此步对系数作处理得 )94213(32+-x x =27126392+-x x ，用151432-+-x x 去除27126392+-x x ，商-13，余16856-x ，观察此步对系数作处理得 3)16856(561-=-x x ， 用3-x 去除151432-+-x x ，商x 3-，余155-x ，观察此步对系数作处理得 3)155(51-=-x x ，用3-x 去除3-x ，商1，余0.所以 3x ))x (g ),x (f (-=.由上式的求解过程可以看出，有时系数很大，给运算带来不便，根据§1中引理可知，将被除式减去除式的某个倍式，再做辗转相除法而不影响求))x (g )x (f (，的结果，由§1中引理1有： ))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (g ),x (g )x (b )x (f )x (a (==⋅+⋅．解法三，对)x (f 与)x (g 作辗转相除：65x 4x x )x (x g )x (2f 23-+-=-，令 65x 4x x )x (r 231-+-=，则有 1514x 3x )x (2r )x (g 21+-=-，令 1514x 3x )x (r 22+-=，则有)3x ()3x (2182x )x (x r )x (3r 221-⋅+=-=-，令 182x )x (r 23-=，则有)3x (144214x )x (r 23)x (r 32--=+-=-， 故 3x ))x (g ),x (f (-=．很明显，解法三比解法一、二均简便，所以在解题的过程中应尽量利用最大公因式的性质定理使求解过程更简便．3．矩阵的初等变换法给出数域F 上)2n (n ≥个多项式，如何求其最大公因式?现给出n 个多项式的最大公因式的定义：定义2：设)x (f ,),x (f ),x (f n 21 是数域F 上的n 个多项式，并且)x (d 是多项式),x (f 1)x (f 2， ．．．,)x (f n 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f ,),x (f ),x (f n 21 中的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f ,),x (f ),x (f n 21 的一个最大公因式．规定用符号()x (f ,),x (f ),x (f n 21 )表示)x (f ,),x (f ),x (f n 21 在)(x F 中最高次项系数为1的最大公因式．由上述定义及§1的结论得关于数域F 上n 个一元多项式最大公因式的性质：（1）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有))x (f ,),x (f ,),x (f ),x (f (n j i 1 =))x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n i j 1 ,n j i 1≤≤≤．（2）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有 ))x (f ,),x (f ,),x (f ())x (f ,),x (cf ,),x (f (n i 1n i 1 =，且n j i 1≤≤≤，F c ∈≠0为常数．（3）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有 ))x (f ,),x (f ,),x (f )x (f ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j j i 1n j i 1 ±=, 其中n j i 1≤≤≤．性质（1）、（2）、(3)阐述了在求解多项式的最大公因式时的不变性，由这些不变性又可得到下面推论：推论1：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有))x (f ,),x (f ,),x (cf )x (f ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j j i 1n j i 1 ±=， 其中n j i 1≤≤≤，F c 0∈≠为任意常数.再给出一个引理：引理2：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，d(x)= ()x (f ,),x (f ),x (f n 21 )，若)x (f ,),x (f ),x (f n 21 中至少有一个常数项不为0，则它们的最大公因式)x (d 的常数项必不为0．证明：假设)x (d 的常数项等于0，则)x (d 能被x 整除，所以),,2,1)((n i x f i =的常数项均为0，与条件矛盾，证毕．再由前3个性质及推论1得性质4：（4）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，并设)x (g x )x (f i k =，其中n i 1≤≤，k 为非负整数，)x (f j 为常数项不为0的一元多项式，其中n j 1≤≤，且j i ≠，则 ))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j i 1n j i 1 =．证明：设))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f (n j i 1 )x (d =,显然 )x (d 是)x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f n j i 1 的一个公因式．其次 设)x (h 是)x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f n j i 1 的任一公因式，则)x (f |)x (h i ，)x (g x |)x (h i k ，而 ()x (f 1…,)x (f i ,)x (f 1i +,…,)x (f j ,…,)(x f n )的常数项非零，则)x (h 不含k x 这一因式，从而)x (g |)x (h i ，因而)x (h 是)x (f 1…,)x (g i ,…,)(x f n 的公因式,所以 )x (d |)x (h .所以 ))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j i 1n j i 1 =．为了更方便的介绍n 个多项式最大公因式的求解，现将上述四条性质相应的称为：第一种，第二种，第三种，第四种初等变换，并用以下内容概括：⑴交换两个多项式的位置，所求的最大公因式不会改变；⑵用一非零常数乘以某一多项式，所求的最大公因式不会改变；⑶把某一多项式的k 倍)0k (≠，加到另一个多项式上，所求的最大公因式不会改变；⑷性质4我们暂称为替换变换，它也不改变其最大公因式（只有在某一多项式常数项不为0的条件下才成立）．现再给出n 行多项式矩阵的定义：定义3：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，且这n 个多项式的最高次项的次数是m 次，现将每个多项式各项的系数（按逐次降幂次序排列，缺少次数的项的系数取0）排出来作为矩阵的一行，这样构造出来一个n 行m+1列矩阵，我们称这个矩阵为n 个多项式的n 行多项式矩阵，n 个多项式)x (f ,),x (f ,x )(f n 21 所组成的n 行多项式矩阵记为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，并规定该矩阵表示()x (f ,),x (f ,x )(f n 21 )的最高次项系数为1的最大公因式．下面将给出关于n 行多项式矩阵的一些结论：定理7：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，对这n 个多项式（至少有一个常数项不等于0）组成的多项式矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，作四种初等变换，所求的最大公因式不会改变；该定理可由前面谈到的n 个多项式最大公因式的四条性质直接得到．在前面的基础上，现给出定理8：定理８：对于n 行多项式矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，一定可以通过四种初等变换，化成⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0)x (d 的形式，其中)x (d 就是它的最大公因式．定理8的证明过程参阅[3]．下面以实例阐述多项式最大公因式的矩阵求法．例5．设84x 2x x )x (f 23+--=，44x x x )x (g 23+--=，求))x (g ),x (f (．解：对矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=44-1-18421A 施行矩阵的初等变换得： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→40104-0104-01004-0140108421A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00004010. 故 4x )0,4x ())x (g ),x (f (22-=-=.例6．设23x 5x 2x )x (f 23+++=，2x x 24x )x (g 23++=，343x 6x )x (h +=+x x 272+ 2+，求它们的最大公因式．解：对矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=227360224023520A 施行初等变换得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000000000021211000000000000112001120011200112000336077140011120002160335200120001-2162352001120A 故 21x 21x )0,0,21x 21x ())x (h ),x (g ,f(x)(22++=++=. 参考文献：[1]余元庆.方程论初步．上海：教育出版社,1979.[2]张禾瑞,郝炳新．高等代数（第四版）．北京：高等教育出版社，1997.[3]郁金祥．多项式最大公因式求解方法的推广．嘉兴学院学报，2003，（3）：27-29.[4]汪军．关于多项式最大公因式的进一步探讨．工科数学，1999，（3）：137-139.[5]王向东．高等代数常用方法．科学出版社，1989.[6]万哲先．代数导引．科学出版社，2004.The proprties and methods about the greatestcommon divisor of the polynomialsWang Fei Directed by Prof .Dong HuiyingAbstract This paper summaries the important proprties about the greatest common divisor of the polynomials,among which is further researched for its serucfure ,and gives several methods of finding the greatest common divisors of the polynomials :factoring method;Euclidean algorithm;matrix method ．Key words common divisors greatest common divisors Euclidean algorithm elemetary transform。
高等代数最大公因式
. .. . . ..
最大公因式的唯一性
由最大公因式的定义不难看出，如果 d1(x), d2(x) 是 f(x), g(x) 的 两个最大公因式，那么一定有 d1(x) | d2(x) 与 d2(x) | d1(x)，也 就是 d1(x) = cd2(x), c ̸= 0. 这就是说，两个多项式的最大公因式 在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的. 两个不全为 零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式. 在这个情形，我 们约定，用
∂(g(x)) > ∂(r1(x)) > ∂(r2(x)) > · · ·
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
辗转相除法
因此在有限次之后，必然有余式为零. 于是我们有一串等式： f(x) = q1(x)g(x) + r1(x), g(x) = q2(x)r1(x) + r2(x), ···
最大公因式的定义
如果多项式 φ(x) 既是 f(x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么 φ(x) 就称为 f(x) 与 g(x) 的一个公因式.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
最大公因式的定义
如果多项式 φ(x) 既是 f(x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么 φ(x) 就称为 f(x) 与 g(x) 的一个公因式. 定义 设 f(x) 与 g(x) 是 P[x] 中两个多项式. P[x] 中多项式 d(x) 称为 f(x), g(x) 的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：
d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x).
多项式的基本性质与应用
多项式的基本性质与应用一、多项式的定义与表示1.多项式是由常数、变量及它们的运算符（加、减、乘、除）组成的表达式。
2.多项式中的每个单项式称为多项式的项。
3.多项式中最高次数的项的次数称为多项式的次数。
4.多项式可以表示为：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n，其中a0, a1, …, an为常数，x为变量。
二、多项式的基本性质1.多项式中，每个单项式的系数都是实数或复数。
2.多项式的系数可以为正、负或零。
3.多项式的次数非负。
4.多项式的每一项都有对应的次数。
5.两个多项式相加或相减时，对应的项才能相加或相减。
6.两个多项式相乘时，每个项都要与其他多项式的每个项相乘。
三、多项式的运算1.加法：将两个多项式的同类项相加。
2.减法：将两个多项式的同类项相减。
3.乘法：将两个多项式的每一项相乘，然后将结果相加。
4.除法：用一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
四、多项式的应用1.解方程：将方程转化为多项式的形式，然后通过运算求解。
2.求解不等式：将不等式转化为多项式的形式，然后通过运算求解。
3.函数图像：将多项式表示为函数，然后绘制其图像。
4.最大公因式：找出两个或多个多项式的最大公因式，用于简化运算。
5.因式分解：将多项式分解为几个因式的乘积，便于理解和运算。
6.代数恒等式：运用多项式的运算性质，证明恒等式。
五、多项式的特殊形式1.一次多项式：次数为1的多项式，形式为P(x) = ax + b。
2.二次多项式：次数为2的多项式，形式为P(x) = ax^2 + bx + c。
3.三次多项式：次数为3的多项式，形式为P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。
4.常数多项式：次数为0的多项式，形式为P(x) = a0。
六、多项式的项的性质1.同类项：具有相同变量的指数的项。
2.单项式：只有一个项的多项式。
3.多项式：有两个或多个项的代数表达式。
七、多项式的系数1.常数项：没有变量的项，其系数为常数。
高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式
定义 1
令f x 和 gx是F [x]的两个多项式，若是F [x]的一 个多项式 hx同时整除 f x和 gx ，那么hx 叫做
f x与 gx的一个公因式.
定义 2
设dx是多项式 f x 与 gx的一个公因式.若是 dx 能被 f x 与 gx的每一个公因式整除,那么 dx叫做 f x与gx的一个最大公因式.
（3）乘法交换律: f xgx gx f x （4）乘法结合律: f xgxhx f xgxhx
（5）乘法对加法的分配律: f xgx hx f xgx f xhx
注意：要把一个多项式按“降幂”书写
an x n an1x n1 a1x a0 当 an 0 时，an xn叫做多项式的首项.
那么由上面定理的证明得 f xgx 0
推论2 f xgx f xhx, f x 0 gx hx
证 由 f xgx f xhx得 f xgx hx 。但 f x 0
所以由推论1必有 gx hx 0 ,即
gx hx
惠州学院数学系
例 当 a,b, c 是什么数时，多项式
f x ax3 bx2 c b x3 x2
这里当m < n 时，bm1 bn 0
惠州学院数学系
多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
f x a0 a1x a2 x2 an xn gx b0 b1x b2 x2 bm xm
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f xgx c0 c1x c2 x2 cnn xnm
2.1.1 认识多项式
多项式
令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或
一元多项式指的是形式表达式
a0 a1x a2 x2 an xn
多项式的最大公因式
" " 若 d1 ( x) cd ( x), c 0 ,则 d1 ( x) | d ( x) d ( x) 是 f (x) 与 g (x) 的一个最大公因式
d1 ( x) | f ( x), d1 ( x) | g ( x)
故 d1 ( x) 是 f (x)与 g (x) 的公因式， 若 ( x) | f ( x), ( x) | g ( x) ,由 d (x) 是最大公因式 。
3. 最大公因式的性质
(1) 若 f ( x) | g ( x),则 f (x) f (x) 与 g (x)的一个最 是
大公因式,因而 f (x) 是 f (x)与0的一个最大公因 式,两个零多项式的最大公因式是0
(2)设 d (x)是 f (x)与 g (x)的一个最大公因式, 则 d1 ( x) 是 f (x) 与 g (x) 的最大的公因式,
10 3 2 2 x x x x 3 3
4
1 1 q 1 ( x) x 9 3
1 3 5 2 x x 3x 3 3 3
1 3 10 2 2 1 x x x 3 9 9 3
5 2 25 10 q ( x) 5 x 10 r 1 ( x) x x 3 81 81 9 9 3
5 2 15 x x 9 9
10 10 x 9 3 10 10 x 9 3
0
用等式写出来，就是
1 1 5 2 25 10 f ( x) ( x ) g ( x) ( x x ) 3 9 9 9 3 27 5 2 25 10 g ( x) ( x 9)( x x ) (9 x 27 ) 5 9 9 3 5 2 25 10 5 10 x x ( x )(9 x 27 ) 9 9 3 81 81
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例 6 令F是有理数域。求出 F x 的多项式
f x 4 x 4 2 x 3 16 x 2 5 x 9, g x 2 x 3 x 2 5 x 4
的最大公因式 d x 以及满足等式
f xux g xvx d x
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由倒数第二个等式移项得 : rk 1 ( x) rk 3 ( x) rk 2 ( x)qk 1 ( x)
代入[1]式整理得 :
rk 3 ( x)v1 ( x) rk 2 ( x)(u1 ( x) v1 ( x)qk 1 ( x)) rk ( x)
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(1)设a, b, c Z，如果(a, c) 1， , c) 1, 那么(ab, c) 1 (b 。
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二、多项式互素的概念 1、定义3
如果 F x 的两个多项式除零次多项式外不再有 其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素。
2、f ( x)与g ( x)互素 ( f ( x), g ( x)) 1 。
因为h( x) h( x), h( x) f ( x) g ( x),
所以h( x) h( x)[u ( x) g ( x)] [ f ( x) g ( x)]v( x), 即：h( x) g ( x)。
2
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二、最大公因式的存在性、唯一性 定理 2.3.1(PartI): F [ x] 的任意两个多项式 f x 与 g x 一定有最大公因式。
定理 2.3.1(part II): 如果 d1 x 、d 2 x 是
f x 与 g x 的两个最大公因式，那么：
问题：f ( x) g ( x), h( x)) 1 ( f ( x), h( x)) 1, ( ( g ( x), h( x)) 1是否成立？
22
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2.若多项式 hx 整除多项式 f x 与 g x 的乘积，而 hx 与 f x 互素. 那么 hx 一定整除 g x
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(2)存在u ( x), v( x) F [ x]使f ( x)u ( x) g ( x)v( x) 1 ( f ( x), g ( x)) 1。 首先， 1显然是f ( x)与g ( x)的公因式, 其次，
如果h( x)是f ( x)与g ( x)的任意一个公因式， 则由f ( x)u ( x) g ( x)v( x) 1知h( x) 1。 所以( f ( x), g ( x)) 1。
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由倒数第二个等式移项得 :
rk 2 ( x) rk 1 ( x)qk ( x) rk ( x)
令u1 ( x) 1，v1 ( x) qk ( x), 那么上面的等式 可以写成： [1] rk 2 ( x)u1 ( x) rk 1 ( x)v1 ( x) rk ( x)
两式相乘可得 f ( x) g ( x)u1 ( x)u2 ( x) h( x)[ f ( x)u1 ( x)v2 ( x) g ( x)u2 ( x)v1 ( x) h( x)v1 ( x)v2 ( x)] 1。
由定理2.3.3即得( f ( x) g ( x), h( x)) 1 。
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解：由辗转相除法可得： f x g x 2 x 6 x 2 3x 9,
2
1 1 g x 6 x 3x 9 x x 1, 3 3 6 x 2 3x 9 x 16 x 9.
设 d x 是多项式 f x 与 g x 的一个公因式。若是
d x 能被 f x 与 g x 的每一个公因式整除,那么
d x 叫做 f x 与 g x 的一个最大公因式。
即设f ( x), g ( x), d ( x) F [ x], 如果 (1)d ( x) f ( x), d ( x) g ( x); (2)h( x) f ( x), h( x) g ( x) h( x) d ( x)。 就称d ( x)为f ( x)与g ( x)的最大公因式。
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三、互素的性质 从定理2.3.3我们可以推出关于互素多项式 的以下重要事实。
1.若多项式 f x 和 g x 都与多项式 hx 互素， 那么乘积 f x g x 也与 hx 互素.
即：f ( x), h( x)) 1, ( g ( x), h( x)) 1 ( ( f ( x) g ( x), h( x)) 1。
的多项式 u x 与 vx 。
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对 f x 与 g x 施行辗转相除法。但是现在不允许 用一个零次多项式乘被除式或除式。因为在求多
项式 u x 与 vx 时，不仅要用到余式，同时也要
用到商式。施行除法的结果，我们得到以下一串
等式：
由带余除法得：
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f ( x) g ( x)q1 ( x) r1 ( x) g ( x) r1 ( x)q2 ( x) r2 ( x) r1 ( x) r2 ( x)q3 ( x) r3 ( x)
……
rk 3 ( x) rk 2 ( x)qk 1 ( x) rk 1 ( x) rk 2 ( x) rk 1 ( x)qk ( x) rk ( x) rk 1 ( x) rk ( x)qk 1 ( x)
数学与计算机科学学院高等代数3.2 多项式的互素 2.3.3 最大公因式及互素的推广 二.教学目的
1.掌握互素的概念
2.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点
辗转相除法求最大公因式， 证明整除问题
1
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复习
一、最大公因式的概念
d1 x cd 2 x 。其中c F , c 0。
3
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三、辗转相除法原理
f ( x) g ( x)q1 ( x) r1 ( x) g ( x) r1 ( x)q2 ( x) r2 ( x) r1 ( x) r2 ( x)q3 ( x) r3 ( x)
2.3.2
多项式的互素
一、整数的互素
1、设a, b Z，如果(a, b) 1，则称a与b互素。 2、设a, b Z，那么
(a, b) 1 存在u , v Z，使得au bv 1。
3、互素的性质
(2)设a, b, c Z，a bc，且(a, b) 1, 那么a c。 (3)设a, b, c Z，如果a c，b c, 且(a, b) 1, 那么ab c。
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例7：考察下列各组多项式是否互素？ (1) f ( x) x 1, g ( x) x 1; (2) f ( x) x 2 1, g ( x) x 1; (3) f ( x) 3, g ( x) x 2 x 1。
2
(1)互素 (2)不互素 (3)互素
4
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新课
四、数域的改变对多项式的最大公因式的影响 从数域 F 过渡到数域 F , f ( x)与g ( x) 的最大公因式 本质上没有改变
5
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五、最大公因式的表示
定理 2.3.2
若 d x 是 F [x] 的多项式 f x 与 g x 的最大公因 式，那么在 F [x] 里可以求得多项式 u x vx ， 与 使以下等式成立:
令u2 ( x) v1 ( x)，v2 ( x) u1 ( x) v1 ( x)qk 1 ( x), 那么上面的等式可以写成： [2] rk 3 ( x)u2 ( x) rk 2 ( x)v2 ( x) rk ( x)
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这样继续往上利用等式组，最后可以得到：
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证明：因为( f ( x), h( x)) 1, ( g ( x), h( x)) 1
所以存在u1 ( x), v1 ( x), u2 ( x), v2 ( x)使 f ( x)u1 ( x) h( x)v1 ( x) 1, g ( x)u2 ( x) h( x)v2 ( x) 1。
即：h( x) f ( x) g ( x)且(h( x), f ( x)) 1 h( x) g ( x)。
证明：因为(h( x), f ( x)) 1, 所以存在u ( x), v( x)使得 h( x)u ( x) f ( x)v( x) 1。
两边同乘g ( x)得h( x)[u( x) g ( x)] [ f ( x) g ( x)]v( x) g ( x)。
由此得出， 1 是 f x 与 g x 的最大公因式，而
x
回代
1 1 u x x 1, vx 2 x 2 2 x 3 3 3
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思考：满足定理2.3.2的多项式u x 和vx 是否唯一？
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数学与计算机科学学院高等代数课件
[k ] f ( x)uk ( x) g ( x)vk ( x) rk ( x)
因为d ( x) crk ( x), c F , c 0 因此取u ( x) cvk ( x)，v( x) cvk ( x), 即可得：