多项式的最大公因式

注记：
1. f1( x), f2 ( x), , fn ( x) 的最大公因式一定存在.用
f1( x), f2 ( x), , fn ( x)
表示最高次项系数为1的最大公因式．
2. f1, f2 , , fn f1,源自文库f2 , fn1 , fn
f1, , fk , fk1, , fn , 1 k n 1.
定理2.5的证明中用来求最大公因式的方法， 叫做 辗转除法．
例2.4 设 f ( x) 4 x4 2 x3 16 x2 5 x 9, g( x) 2 x3 x2 5 x 4.
求（f ( x), g( x)）.
注记:
若仅求 ( f ( x)，g( x)) ，为了避免辗转相除时出现
且 h( x) g( x),则称h( x)是f ( x), g( x)的一个公因式.
定义2.6 设f ( x)，g( x) F[ x]. 如果 d( x) F[x] 满足以下两个条件，则称d( x) 是 f ( x)和g( x) 的 个最大一公因式：
（i）d( x) f ( x), d( x) g( x) ; （ii）对于h( x) F[x] ,如果 h( x) f ( x)且 h( x) g( x), 那么h( x) d( x) .
2.3.5 多个多项式的互素.
定义 设f1( x)，f2( x)，L ，fn( x) F[ x]. 如果
f1( x)，f2( x)，L ，fn( x) =1,
则称f1( x)，f2( x)，L ，fn( x)互素.
注意: 当n(n>2)个多项式 f1(x),f2(x), ,fn(x) 互
素时，它们不一定两两互素，即未必有
引理2.5 设f ( x), g( x),q( x),r( x) F[ x], 并且g( x) 0. 如果
f ( x) g( x)q( x) r( x), 那么
( f ( x)，g( x)) ( g( x),r( x)).
定理2.5 F[ x]中任意两个多项式f ( x)和g( x) 都有最大公因式.
定理2.4 如果d( x)是多项式f ( x)与g( x)的 一个最大公因式，那么cd( x)也是f ( x)和g( x)的 一个最大公因式，其中0 c F . 反过来，如果 d( x),d1( x)都是f ( x)与g( x)的最大公因式，那么 d( x) cd1( x),这里0 c F .
(a) 如果 f ( x), h( x) 1, g( x), h( x) 1, 那么 f ( x)g( x), h( x) 1.
(b) 如果 h( x) f ( x)g( x),并且 h( x), f ( x) 1，
那么 h( x) g( x).
(c) 如果 f ( x) h( x), g( x) h( x),并且 f ( x), g( x) 1，
（2）定理 2.6的逆命题不成立.
例2.5 设 f ( x) 4 x4 - 2 x3 - 16 x2 5 x 9, g( x) 2 x3 - x2 - 5 x 4.
求 f ( x), g( x)以及u( x),v( x),使得 f ( x)u( x) g( x)v( x) f ( x), g( x).
2.3 多项式的最大公因式
多项式的最大公因式是多项式理论的一个 重要组成部分. 要掌握最大公因式的概念, 会 求两个或多个多项式的最大公因式, 并能熟练 运用互素多项式的性质以及判断两个多项式 互素的充要条件.
2.3.1 最大公因式
定义2.5 设f ( x), g( x) F[ x]. 如果多项式 h( x) f ( x)
进一步，F上的多项式d(x)如果满足条件 i) d( x) fi ( x)(i 1,2,L , n); ii) 若 h( x) F[x]，且h( x) fi ( x)(i 1,2,L ,n), 则h( x) d( x),
那么就称d( x)是f1( x)，f2( x)，L ，fn( x)的一个最大 公因式.
( fi (x), f j (x)) 1 (i j).
那么 f ( x)g( x) h( x).
2.3.4 最大公因式概念的推广
定义 设f1( x)，f2( x)，L ，fn( x) F[ x](n 2). 如果多项式 h( x) fi ( x) (i 1,2,L , n), 则称h( x)是 f1( x)，f2( x)，L ，fn( x)的一个公因式.
分数运算,可用一个数乘以除式或被除式，这是因为 f ( x) 和 cf ( x) 具有完全相同的因式，即
( f ( x), g( x)) (c1 f ( x), g( x)) ( f ( x),c2g( x)) (c1 f ( x),c2g( x)) , 其中c1, c2 为非零常数．
在辗转相除的过程当中也可以这样做!
注意：如果d( x)是数域F上多项式f ( x), g( x)的 一个最大公因式，那么对任意一个包含F的数域F 来说，d( x)也是多项式f ( x), g( x)在数域F上的一个 最大公因式.
2.3.3 多项式的互素
定义2.7 设f ( x), g( x) F[ x].如果
f ( x), g( x) 1,
注记：
① f ( x), g( x)的最高次项系数为1的最大公因式记作 ( f ( x), g( x)).
②f ( x) F[ x], f ( x)是f ( x)和0的一个最大公因式.
③ (0,0) 0. ④ 如果f ( x), g( x)不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
2.3.2 最大公因式的存在性及其求法
则称f ( x)与g( x)互素.
由定义，两个多项式互素当且仅当它们的 公因式只有零次多项式.
推论2.6 设f ( x), g( x) F[ x]. f ( x)与g( x)互素 当且仅当存在u( x), v( x) F[x], 使得
f (x)u( x) g( x)v( x) 1.
多项式的互素具有以下性质：
定理2.6 如果d( x)是f ( x), g( x) F[ x]的一个 最大公因式，那么存在u( x),v( x) F[ x]，使得
f ( x)u( x) g( x)v( x) d( x).
注记: （1）定理 2.6中的u(x)和v(x) 不唯一. 例如，设
f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x), g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.