多项式的最大公因式

多项式的最大公因式

问题：

（一）. 多项式的最大公因式的定义是什么？

设与是中两个多项式，中多项式称为与的最大公因式，如果满足下面两个条件：

(1).是与的公因式；

(2).，的公因式全是的因式。

我们约定用，表示首项系数为1的那个最大公因式。

定理1：对于中任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表示成，的一个组合，即有中多项式，使

引理：设，且

则与与与有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且

，，

定理2：的任意两个多项式与一定存在最大公因式。

（二）.用来求最大公因式的方法

(1).辗转相除法:

如果，且,使

其中，则是与的一个最大公因式。

(2).串位加减法

(3).矩阵求法：

一系列初等行变换

，

例1.设

求，

解：法1辗转相除法。

求得是最大公因式，即

，

法2串位加减法

设，则对于任意多项式，

，，

于是是最大公因式，即

，

例2．令F是有理数域，求出的多项式

，

使得成立的，，,其中，。

解我们把I拼在的右边一起做行初等变换：

。所以，，。

注：如果是，在中的公因式，则是与的最大公因式的充分必要条件是存在，使得

例3.求使，：

，

（P45,6.(1)）

解：，其中，

,其中，

,其中，

所以，是和的最大公因式。

因为,，所以

，

由此可得：

注：利用辗转相除法求出最大公约数，然后逆向推导。

例4．证明：如果，且为与的一个组合，那么是与

的一个最大公因式。（P45,8）

证：

设是与的任一公因式，即有和

不妨设

由已知条件可得

所以

故有

因此，是与的一个最大公因式。

注：已知是与的任一公因式，只需证明与的任一公因式都是的公因式便可得证。