多项式的最大公因式
初中数学 如何求两个多项式的最大公因式
初中数学如何求两个多项式的最大公因式求两个多项式的最大公因式有多种方法，以下是常用的两种方法：1. 因式分解法：通过对两个多项式进行因式分解，可以找到它们的最大公因式。
具体步骤如下：a. 将每个多项式进行因式分解，得到它们的所有因子。
b. 找出两个多项式的因子中的公共因子，并确定其中次数最高的因子作为最大公因式。
c. 如果存在多个次数相同的因子，它们的乘积即为最大公因式。
举一个具体的例子，假设有两个多项式f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x 和g(x) = 4x^2 - 8x。
我们可以将它们进行因式分解：f(x) = 2x(x-1)(x-2)g(x) = 4x(x-2)从中可以看出，两个多项式的公因式是2x和(x-2)，其中次数最高的公因式是(x-2)，因此最大公因式为(x-2)。
2. 辗转相除法：通过辗转相除法，也称为欧几里得算法，可以求得两个多项式的最大公因式。
具体步骤如下：a. 选择两个多项式进行除法运算，将次数高的多项式作为被除数，次数低的多项式作为除数。
b. 进行除法运算，得到商和余数。
c. 将除数替换为原来的被除数，将余数替换为原来的除数，再次进行除法运算。
d. 重复以上步骤，直到余数为零。
此时，最后一个除数即为两个多项式的最大公因式。
举一个具体的例子，假设有两个多项式f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x 和g(x) = 4x^2 - 8x。
我们可以使用辗转相除法求解：首先，将f(x)除以g(x)：f(x) / g(x) = (2x^3 - 6x^2 + 4x) / (4x^2 - 8x)= 1/2x - 1/2然后，将g(x)除以余数1/2：g(x) / 1/2 = (4x^2 - 8x) / (1/2)= 8x - 16继续，将余数1/2除以8x - 16：1/2 / (8x - 16) = 1/16(x - 2)最后，余数为零，因此最后一个除数1/16(x - 2) 即为两个多项式的最大公因式。
初中数学 如何找到一个多项式的最大公因式
初中数学如何找到一个多项式的最大公因式
要找到一个多项式的最大公因式，可以采用以下方法：
1. 因式分解法：
首先，将多项式进行因式分解，将其写成若干个因子的乘积形式。
然后，找到这些因子中的公共因子，将其提取出来，即可得到最大公因式。
2. 辗转相除法（欧几里得算法）：
辗转相除法也可以用于多项式的最大公因式的求解。
将两个多项式进行相除运算，直到余式为0。
此时，最后一次相除的除数即为最大公因式。
3. 多项式的公共因式法：
对于多个多项式，可以逐步寻找它们的公共因式。
首先，找到其中两个多项式的最大公因式，然后再将这个最大公因式与下一个多项式进行求最大公因式的运算，直到所有多项式都被考虑完毕。
这样得到的最大公因式即为所求。
4. 使用多项式的因子定理：
多项式的因子定理可以用于求解多项式的因子，进而得到最大公因式。
根据因子定理，如果某个数是多项式的根，那么这个数可以整除多项式。
因此，通过尝试多项式的可能根，找到其中能够整除多项式的数，然后将这些数与多项式进行除法运算，找到最大的公因式。
需要注意的是，对于高次数的多项式，可能需要使用更高级的方法来找到最大公因式。
此外，在实际求解中，可能需要使用计算工具、计算机软件或在线计算器等辅助工具来进行计算。
希望这个解答对您有所帮助。
如果您还有任何问题，请随时提问。
原题目：多项式的整除性质
原题目：多项式的整除性质
多项式的整除性质
在代数学中，多项式的整除性质是一种非常重要的属性。
它描
述了多项式之间的除法关系。
本文将介绍多项式的整除性质及其应用。
定义
设A(x)和B(x)是两个多项式，如果存在另一个多项式C(x)，
使得A(x) = B(x) * C(x)，则称B(x)可以整除A(x)，记作B(x) | A(x)。
整除定理
多项式的整除性质可以通过整除定理来描述。
整除定理指出，
当B(x)是一个一次多项式，即B(x) = ax + b，并且B(x)整除A(x)时，A(x)在x = -b/a时取值为零。
应用
多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
一些重要的应用包括：
1. 确定多项式的公因式：如果B(x)整除A(x)，则B(x)是A(x)的一个公因式。
这可以用来简化多项式、分解多项式或找到多项式的根。
2. 带余除法：根据整除性质，可以使用带余除法来将一个多项式除以另一个多项式。
带余除法是一种有效的算法，可以用于多项式的除法运算。
3. 多项式的因式分解：利用多项式的整除性质，可以将一个多项式因式分解为较低次数的多项式乘积的形式。
这在代数学和数值计算中都是非常重要的操作。
4. 多项式的最大公因式：通过利用多项式的整除性质，可以求解多项式的最大公因式。
最大公因式是两个或多个多项式共有的最高次数的公因式。
总结
多项式的整除性质是一种重要的代数属性，它描述了多项式之间的除法关系。
整除定理提供了判断多项式整除性的方法，而多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
【全国百强校】四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学多项式专题讲义：4.多项式的因式
成都七中高一数学竞赛多项式专题讲义A4.多项式的因式一、基础知识多项式的公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈如果多项式()[]x P x ϕ∈使得()|()x f x ϕ且()|()x g x ϕ,则称()x ϕ为()f x 与()g x 的公因式.多项式的最大公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈[]P x 中多项式()d x 称为()f x 与()g x 的最大公因式,如果它满足下面两个条件：①()d x 是()f x 与()g x 的公因式；②()f x 与()g x 的公因式全是()d x 的因式.不可约多项式：数域P 上次数1≥的多项式()p x 如果不能表成数域P 上的两个次数比()p x 的次数低的多项式的乘积,则称()p x 为数域P 上的不可约多项式.显然一次多项式总是不可约多项式.22x +是实数域上的不可约多项式,但是在复数域上却不是不可约多项式,这就说明了一个多项式是否不可约是依赖于系数域的.k 重因式：不可约多项式()p x 称为多项式()f x 的k 重因式,如果1()|(),()().k k p x f x p x f x +Œ二、典型例题与基本方法1.如果多项式(),(),(),()f x g x q x r x 满足()()()(),f x q x g x r x =+证明：(1)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的公因式；(2)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的最大公因式.2.设多项式(),()[],f x g x P x ∈证明(),()f x g x 的最大公因式在可以相差一个数域P 上的非零常数倍的意义下是唯一确定的.我们知道两个不全为零多项式的最大公因式总是一个非零多项式,我们约定用((),())f x g x 来表示首项系数为1的那个最大公因式.3(裴蜀定理)对于[]P x 中任意两个多项式(),()f x g x ,在[]P x 中存在(),()f x g x 的最大公因式(),d x 且()d x 可以表成(),()f x g x 的一个组合,即存在[]P x 中的多项式(),()u x v x 使得()()()()().d x u x f x v x g x =+4.[]P x 中两个多项式(),()f x g x 称为互素的,如果((),()) 1.f x g x =显然两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦然.5.证明：(1)如果((),())1,f x g x =且()|()(),f x g x h x 则()|().f x h x(2)如果12()|(),()|(),f x g x f x g x 且12((),())1,f x f x =则12()()|().f x f x g x6.[]P x 上的不可约多项式()p x 的因式只有非零常数()c c P ∈与它自身的非零常数倍()()cp x c P ∈这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.由此可知不可约多项式()p x 与[]P x 上任一多项式()f x 之间只可能有两种关系,或者()|()p x f x 或者((),()) 1.p x f x =证明：如果()p x 是一个不可约多项式,那么对于任意的两个多项式(),(),f x g x 由()|()()p x f x g x 一定可推出()|()p x f x 或者()|().p x g x7.设多项式1110()n n n n f x a x a xa x a --=++++,规定它的导数是1211()(1).n n n n f x a nx a n x a ---'=+-++我们可得到关于多项式导数的基本公式：(()())()(),(())(),f x g x f x g x cf x cf x '''''+=+=1(()())()()()(),(())()().m m f x g x f x g x f x g x f x mf x f x -'''''=+=证明：(1)如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥,那么()p x 是()f x '的1k -重因式.(2)()p x 是不可约多项式,如果()p x 是()f x 的重因式⇔()p x 是()f x 与()f x '的公因式.(3)多项式()f x 没有重因式⇔()f x 与()f x '互素.B4.练习 姓名：1.求多项式43()235f x x x x =+++除以2()(1)g x x =+的余式.2.证明：如果多项式(),()f x g x 不全为零多项式,且()()()()((),()).u x f x v x g x f x g x +=证明：((),()) 1.u x v x =3.举例说明断言“如果不可约多项式()p x 是()f x '的1(1)k k -≥重因式,那么()p x 是()f x 的k 重因式”是不对的.A4.多项式的因式一、基础知识多项式的公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈如果多项式()[]x P x ϕ∈使得()|()x f x ϕ且()|()x g x ϕ,则称()x ϕ为()f x 与()g x 的公因式.多项式的最大公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈[]P x 中多项式()d x 称为()f x 与()g x 的最大公因式,如果它满足下面两个条件：①()d x 是()f x 与()g x 的公因式；②()f x 与()g x 的公因式全是()d x 的因式.不可约多项式：数域P 上次数1≥的多项式()p x 如果不能表成数域P 上的两个次数比()p x 的次数低的多项式的乘积,则称()p x 为数域P 上的不可约多项式.显然一次多项式总是不可约多项式.22x +是实数域上的不可约多项式,但是在复数域上却不是不可约多项式,这就说明了一个多项式是否不可约是依赖于系数域的.k 重因式：不可约多项式()p x 称为多项式()f x 的k 重因式,如果1()|(),()().k k p x f x p x f x +Œ二、典型例题与基本方法1.如果多项式(),(),(),()f x g x q x r x 满足()()()(),f x q x g x r x =+证明：(1)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的公因式；(2)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的最大公因式.证明：(1)如果()x ϕ是(),()f x g x 的一个公因式,则()|(),()|(),x f x x g x ϕϕ于是()|()()(),x f x q x g x ϕ-即()|(),x r x ϕ于是()x ϕ也是(),()g x r x 的一个公因式.如果()x ϕ是(),()g x r x 的一个公因式,则()|(),()|(),x g x x r x ϕϕ于是()|()()(),x q x g x r x ϕ+即()|(),x f x ϕ于是()x ϕ也是(),()f x g x 的一个公因式.所以(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的公因式.(2)若()d x 是(),()f x g x 的一个最大公因式,则由(1)知()d x 是(),()g x r x 的一个公因式.设()x ϕ是(),()g x r x 的任一个公因式,则由(1)知()x ϕ也是(),()f x g x 的一个公因式,于是()|(),x d x ϕ这就证明了()g x 与()r x 的公因式()x ϕ全是()d x 的因式.所以()d x 也是(),()g x r x 的一个最大公因式.若()d x 是(),()g x r x 的一个最大公因式,则由(1)知()d x 是(),()f x g x 的一个公因式.设()x ϕ是(),()f x g x 的任一个公因式,则由(1)知()x ϕ也是(),()g x r x 的一个公因式,于是()|(),x d x ϕ这就证明了()f x 与()g x 的公因式()x ϕ全是()d x 的因式.所以()d x 也是(),()f x g x 的一个最大公因式.这就证明了(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的最大公因式.2.设多项式(),()[],f x g x P x ∈证明(),()f x g x 的最大公因式在可以相差一个数域P 上的非零常数倍的意义下是唯一确定的.我们知道两个不全为零多项式的最大公因式总是一个非零多项式,我们约定用((),())f x g x 来表示首项系数为1的那个最大公因式.证明：设12(),()d x d x 是(),()f x g x 的两个最大公因式,因为()f x 与()g x 的公因式全是最大公因式的因式.所以1221()|(),()|(),d x d x d x d x 于是12()(),,0.d x cd x c P c =∈≠所以(),()f x g x 的最大公因式在可以相差一个数域P 上的非零常数倍的意义下是唯一确定的.3(裴蜀定理)对于[]P x 中任意两个多项式(),()f x g x ,在[]P x 中存在(),()f x g x 的最大公因式(),d x 且()d x 可以表成(),()f x g x 的一个组合,即存在[]P x 中的多项式(),()u x v x 使得()()()()().d x u x f x v x g x =+证明：如果(),()f x g x 有一个为零多项式,不妨设()0,g x =则()f x 就是(),()f x g x 的一个最大公因式,所以存在()()[],d x f x P x =∈且()()1()1().d x f x f x g x ==⋅+⋅因为1,P ∈所以此时()() 1.u x v x ==如果(),()f x g x 均不为零多项式,按带余除法,用()g x 除(),f x 得到商1(),q x 余式1()r x ；如果1()0,r x ≠就再用1()r x 除(),g x 得到商2(),q x 余式2()r x ；又如果2()0,r x ≠就再用2()r x 除1(),r x 得到商3(),q x 余式3()r x ；如此辗转相除下去,显然,所得余式的次数不断降低,即12(())(())(()),g x r x r x ∂>∂>∂>因此在有限次之后,必然有余式为零多项式.于是我们有一串等式：1121213232131212111()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()0.i i i i s s s s s s s s s s s f x q x g x r x g x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x ---------+=+=+=+=+=+=+=+因为()s r x 与0的最大公因式是()s r x ,由第1题知道()s r x 也就是1()s r x -与()s r x 的最大公因式,同样的理由,逐步推上去,()s r x 就是()f x 与()g x 的一个最大公因式()d x .这就证明了()d x 的存在性.由上面的倒数第二个等式,我们有21()()()(),s s s s r x r x q x r x --=-再由倒数第三式,1312()()()(),s s s s r x r x q x r x ----=-代入上式可消去1(),s r x -得到1123()(1()())()()().s s s s s s r x q x q x r x q x r x ----=+-然后根据同样的方法用它上面的等式逐个地消去21(),,(),s r x r x -再并项就得到()()()()(),s r x u x f x v x g x =+于是即()()()()()().s d x r x u x f x v x g x ==+4.[]P x 中两个多项式(),()f x g x 称为互素的,如果((),()) 1.f x g x =显然两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦然.证明：[]P x 中两个多项式(),()f x g x 称为互素的⇔有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()() 1.u x f x v x g x +=证明：()⇒由裴蜀定理知道显然成立.()⇐若有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1,u x f x v x g x +=设()d x 是(),()f x g x 的一个最大公因式,则()|(),()|(),d x f x d x g x 于是()|()()()(),d x u x f x v x g x +所以()|1.d x所以(())0,d x ∂=所以(),()f x g x 互素的5.证明：(1)如果((),())1,f x g x =且()|()(),f x g x h x 则()|().f x h x(2)如果12()|(),()|(),f x g x f x g x 且12((),())1,f x f x =则12()()|().f x f x g x证明：(1)如果((),())1,f x g x =则()()()() 1.u x f x v x g x +=于是()()()()()()().u x f x h x v x g x h x h x +=因为()|()(),f x g x h x 又()|()(),f x f x h x 所以()|()()()()()()().f x u x f x h x v x g x h x h x +=(2)由1()|()f x g x ,则11()()(),g x f x h x =又2()|(),f x g x 于是211()|()(),f x f x h x 因为12((),())1,f x f x =由(1)知道21()|(),f x h x 即122()()().h x f x h x =所以11122()()()()()(),g x f x h x f x f x h x ==于是12()()|().f x f x g x6.[]P x 上的不可约多项式()p x 的因式只有非零常数()c c P ∈与它自身的非零常数倍()()cp x c P ∈这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.由此可知不可约多项式()p x 与[]P x 上任一多项式()f x 之间只可能有两种关系,或者()|()p x f x 或者((),()) 1.p x f x =证明：如果()p x 是一个不可约多项式,那么对于任意的两个多项式(),(),f x g x 由()|()()p x f x g x 一定可推出()|()p x f x 或者()|().p x g x证明：如果()|(),p x f x 则结论已经成立.如果()(),p x f x Œ则((),())1,p x f x =因为()|()()p x f x g x ,所以()|().p x g x7.设多项式1110()nn n n f x a x a xa x a --=++++,规定它的导数是1211()(1).n n n n f x a nx a n x a ---'=+-++我们可得到关于多项式导数的基本公式：(()())()(),(())(),f x g x f x g x cf x cf x '''''+=+=1(()())()()()(),(())()().m m f x g x f x g x f x g x f x mf x f x -'''''=+=证明：(1)如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥,那么()p x 是()f x '的1k -重因式.(2)()p x 是不可约多项式,如果()p x 是()f x 的重因式⇔()p x 是()f x 与()f x '的公因式.(3)多项式()f x 没有重因式⇔()f x 与()f x '互素.证明：(1)由条件()()(),()().k f x p x g x p x g x =Œ因此1()()(()()()()).k f x p x kg x p x p x g x -'''=+这说明1()|().k px f x -'令()()()()(),h x kg x p x p x g x ''=+假设()|(),p x h x 注意到()|()(),p x p x g x '于是()|()()(),p x h x p x g x '-即()|()().p x kg x p x '因为()p x 是不可约多项式,所以()|()p x g x 或者()|().p x p x '而这两种情况都不能成立.于是假设错误.所以()(),p x h x Œ这就证明了()|(),kp x f x '所以()p x 是()f x '的1k -重因式. (2)()⇒如果不可约多项式()p x 是()f x 的重因式,则2()|(),p x f x 于是2()()(),f x p x q x =2()2()()()()()(2()()()),f x p x q x p x q x p x q x p x q x '''=+=+所以()|(),p x f x '显然()|(),p x f x 于是()p x 是()f x 与()f x '的公因式.()⇐若()p x 是()f x 与()f x '的公因式,则()()()(1),()().k f x p x q x k p x q x =≥Œ,若1,k =则()()(),f x p x q x = 于是()()()()(),f x p x q x p x q x '''=+因为()|(),p x f x '显然有()|()(),p x p x q x '所以()|()().p x p x q x '因为()p x 是不可约因式,所以()|(),p x p x '或者()|().p x q x 而这两种情况都不能成立.所以 2.k ≥这就是证明了不可约多项式()p x 是()f x 的重因式.(3)()⇒设多项式()f x 没有重因式,如果()f x 与()f x '不互素,则()f x 与()f x '有公因式(),x ϕ设()p x 是整除()x ϕ的不可约多项式(),p x 由(2)知道()f x 有重因式矛盾.()⇐设()f x 与()f x '互素,若多项式()f x 有重因式(),p x 则由(2)知道()p x 是()f x 与()f x '的公因式矛盾.B4.练习 姓名：1.求多项式43()235f x x x x =+++除以2()(1)g x x =+的余式.解：竖式除法得22()(1)(1)5 6.f x x x x =+-++()5 6.r x x =+ 法2设()()()().f x q x g x r x =+可设().r x ax b =+于是432235()(1).x x x q x x ax b +++=+++令1x =-,则1.a b =-+两边求导得322463()(1)2(1)().x x q x x x q x a '++=++++ 令1,x =-则5.a =所以 6.b =所以()5 6.r x x =+2.证明：如果多项式(),()f x g x 不全为零多项式,且()()()()((),()).u x f x v x g x f x g x +=证明：((),()) 1.u x v x =证明： 因为((),())|(),((),())|(),f x g x f x f x g x g x于是存在12(),()q x q x 使得12()((),())(),()((),())().f x f x g x q x g x f x g x q x ==所以()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=即为12()((),())()()((),())()((),()).u x f x g x q x v x f x g x q x f x g x +=因为多项式(),()f x g x 不全为零多项式,所以((),())f x g x 不是零多项式.所以12()()()() 1.u x q x v x q x +=所以((),()) 1.u x v x =3.举例说明断言“如果不可约多项式()p x 是()f x '的1(1)k k -≥重因式,那么()p x 是()f x 的k 重因式”是不对的.解：设()p x x =是不可约多项式,()()11,k k f x p x x =-=-则1()k f x kx -'=显然是()p x x =的1k -重因式,但 ()p x x =却不是()1k f x x =-的k 重因式.。
多项式的最大公因式
目录
• 引言 • 多项式的最大公因式 • 最大公因式的证明 • 最大公因式的应用实例 • 总结与展望
01 引言
最大公因式的定义
最大公因式：两个或多个多项式之间 最大的公共因子多项式。
最大公因式是多项式的一种重要属性 ，它在多项式理论、代数几何等领域 中有着广泛的应用。
最大公因式的重要性
因式分解
02
03
代数方程求解
利用最大公因式可以将多项式进 行因式分解，从而得到其标准形 式。
在求解代数方程时，可以利用最 大公因式进行消元或化简，简化 计算过程。
03 最大公因式的证明
最大公因式的存在性证明
• 存在性证明：通过数学归纳法，我们 可以证明对于任意两个多项式，都存 在一个最大公因式。首先，当两个多 项式为零多项式时，最大公因式显然 存在。然后，假设存在一个最大公因 式$g(x)$，对于任意两个多项式 $f(x)$和$h(x)$，如果$g(x)$是$f(x)$ 和$h(x)$的最大公因式，那么对于 $f(x)$和$h(x)$的任何公因式$k(x)$， $k(x)$也是$g(x)$的因式。因此， $g(x)$是所有这样的$k(x)$中的最大 的，即最大公因式。
简化多项式 代数方程的解法
数学分析 数学教育
通过求取多项式的最大公因式，可以简化多项式，使其更易于 处理和计算。
最大公因式在求解代数方程时起到关键作用，例如在消元法中 用于消去多项式中的某些项。
在数学分析中，最大公因式可用于研究多项式的根的性质和分 布。
对于学生来说，理解和掌握最大公因式是学习代数的重要基础 ，有助于提高他们的数学思维能力。
最大公因式的性质
唯一性
对于给定的两个多项式，其最大公因式是唯一 的。
最大公因式
( f ( x ), g( x )) (c1 f ( x ), g( x )) ( f ( x ), c2 g( x )) (c1 f ( x ), c2 g( x )) ,
c1 , c2 为非零常数．
© 2009, Henan Polytechnic University §4 最大公因式
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第一章 多项式
从而有 ( f ( x ),g( x ))=( g( x ),r1 ( x ))
=( r1 ( x ),r2 ( x ))
=…
=( rs1 ( x ),rs ( x ))
=( rs ( x ), 0)
再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
rs1 ( x ),
, r1 ( x ) 再并项就得到 rs ( x )=u( x ) f ( x ) v( x ) g( x ).
5 5
有一为0，如 g ( x ) 0，则 f ( x ) 证：若 f ( x )、g( x )
就是一个最大公因式．且 f ( x ) 1 f ( x ) 0 g( x ). 考虑一般情形： f ( x ) 0,
g( x ) 0,
第一章 多项式
用 g ( x ) 除 f ( x ) 得：
若
d1 ( x )、d 2 ( x ) 为 f ( x )、g( x )
的最大公因式，则 d1 ( x )=cd 2 ( x ) ，c为非零常数．
© 2009, Henan Polytechnic University §4 最大公因式
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第一章 多项式
二、最大公因式的存在性与求法
一元多项式的最大公因式的几种求法
一元多项式的最大公因式的几种求法苏昌怀（ 陇东学院数学系 甘肃 庆阳 745000）论文提要：多项式理论是高等代数的重要组成部分,求最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位。
本文从辗转相除、矩阵的初等变换以及矩阵的斜消变换等不同角度给出了一元多项式的最大公因式的不同求法。
关键词: 最大公因式; 辗转相除; 初等变换; 斜消变换1.辗转相除法辗转相除法是求两个多项式的最大公因式的一般方法，在每次作除法时用的是带余除法。
它的原理和一般实例可以参见《高等代数》。
按照《高等代数》中的辗转相除法求多项式的最大公因式时，往往会出现较为复杂的分数运算。
为了运算的简化，我们可以用一个非零常数去乘被除式或者除式。
这种方法不仅在辗转相除法的开始可以用，而且在辗转相除的过程中也这是由于若()x f =()x q ()x g +()x r 于o ≠C ∈p,我们有()()[]()x g x Cq x Cf =+()x Cr ,及()()()[]+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x Cg x q C x f 1()xr 故()()()()()()()()()()()x g x f x r x g x Cr x g x g x Cf ,,,),(===()()()()()()()()()()()()x g x f x r x g x r x Cg x Cg x f ,,,,===另外，为了简化计算，在辗转相除的过程中，若遇到两个多项式的次数相同时，可以任去一个作除式，另一个作为被除式。
并且为了减小多项式的系数，也可被除式减去除式的若干倍再做辗转相除，不改变()()()x g x f ,的结果，()()()(),x r x g x q x f +=()()()()()[]()()x r x g x u x q x g x u x f +-=-，()()()()()()()()()()()x rxfxrxgxgxgxuxf,,,==-，由此，辗转相除法得到了进一步的简化。
多项式最大公因式性质定理及求解方法
多项式最大公因式性质定理及求解方法作者：xxx 指导教师：xxx摘 要 对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法．关键词 公因式 最大公因式 辗转相除法 初等变换最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究．本文所考虑的多项式均为数域F 上的一元多项式环]x [F 内的多项式．§1．最大公因式的定义及性质首先我们给出最大公因式的定义：定义1：设)x (d 是多项式)x (f 与)x (g 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f 与)x (g 的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．以))x (g ),x (f (表示)x (f 与)x (g 在]x [F 中最高项系数为1的最大公因式．例1．如果)x (q )x (g )x (f ⋅=，那么)x (g 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．证明：按定义1．有)x (g 是)x (f 与)x (g 的一个公因式，设)x (h 是)x (f 和)x (g 的任一公因式，则有：)x (g |)x (h ，所以按定义，有)x (g 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理：引理1：如果多项式)x (h 是多项式)x (f 和)x (g 的公因式，)x (a 和)x (b 是]x [F 上的两个任意多项式，那么)x (h 一定是多项式)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．证明：因为)x (h 是)x (f 的因式，所以 可设 )x (m )x (h )x (f ⋅=， )x (n )x (h )x (g ⋅=，其中)x (m ，)x (n ∈]x [F ．又因为 )x (n )x (b )()x (m )x (a )x (h )x (g )x (b )x (f )x (a ⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅x h)]()()()()[(x n x b x m x a x h +⋅=．所以 )x (h 是)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．注：应用引理1有时可以方便的求两个多项式的最大公因式．例2：求12x 3x )x (f 3--=和52x 3x )x (g 3-+=的最大公因式．解：由上面的引理可知：所求的最大公因式一定是：)1x (4)x (g )x (f -=+-的因式，又因为 0)1(f =，0)1(g =，可知所求的最大公因式就是1x -．定理1:设0)(≠x g ，)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，其中))(())((x g x r ︒︒∂<∂，则有 ))x (r ),x (g ())x (g ),x (f (= ．注：定理1的结论可以形象的叙述为：)()(除式，余式被除式，除式=.证明：设)x (d 是)x (g 和)x (r 的最大公因式，那么根据引理１得：)x (d 也是)x (f 的因式，从而)x (d 是)x (f 和)x (g 的公因式；其次，设]x [F )x (h ∈是)x (f 和)x (g 的任一公因式，那么由引理１得：)x (h 是)x (q )x (g )x (f )x (r ⋅-=的因式，所以)x (h 是)x (r 的因式.因此, )x (h 是)x (g 和)x (r 的公因式,从而可知)x (h 能够整除)x (d ；所以)x (d 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．根据引理１和定理１不难得到：定理２：如果)x (f 和)x (g 不全是零多项式，那么)x (f 和)x (g 一定有最大公因式，并且)x (f 和)x (g 的最大公因式，除了一个零次多项式的因式差别之外是唯一确定的．具体证明过程可参阅[1] 、[2]．两个多项式的最大公因式存在的一条非常重要的性质：定理３：若)x (d 是]x [F 的多项式)x (f 和)x (g 的公因式，则以下命题等价：（i ）)x (d 为)x (f 和)x (g 的一个最大公因式；（ii ）在]x [F 里存在多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅.证明：由(i)推(ii):若0)x (g )x (f ==，那么0)x (d =，这时]x [F 中任何两个多项式都可以取作)x (u 与)x (v ．若)x (f 与)x (g 不都等于零，不妨假定0)x (g ≠，用辗转相除法来求（)x (f ，)x (g ）.用)x (g 去除)x (f 应用带余除法，得商式)x (q 1及余式)x (r 1．如果)x (r 1≠0，那么再以)x (r 1除)x (g ，得商式)x (q 2及余式)x (r 2．如果)x (r 2≠0，再以)x (r 2除)x (r 1，得商式)x (q 3及余式)x (r 3如此继续下去，因为余式的次数在带余除法中每次降低，所以作了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式0x )(r k ≠，使得)()()(11x q x r x r k k k +-⋅=，于是我们得到一串等式：)x (r )x (q )x (g )x (f 11+⋅=，)x (r )x (q )x (r )x (g 221+⋅=，)x (r )x (q )x (r )x (r 3321+⋅=， (1))x (r )x (q ).x (r )x (r 1-k 1-k 2-k 3-k +=，)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k +⋅=，)x (q )x (r )x (r 1k k 1-k +⋅=．则 )x (r k 就是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，考察等式组（1）的倒数第二个等式，得)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k =⋅-，令 1)x (u 1=，)x (q )x (v k 1-=，那么上面的等式可以写成 :)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 11-k 12-k =⋅+⋅． （3） 由（1）的倒数第三个等式，得)x (q )x (r )x (r )x (r 1-k 2-k 3-k 1-k ⋅-=．把)x (r 1-k 的这个表达式带入(3)中，并令 )x (v )x (u 12=，)x (q )x (v )x (u )x (v 1-k 112⋅-=，所以有)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 22-k 23-k =⋅+⋅．如此继续利用（1）中的等式，最后可得到)x (r )x (v )x (g )x (u )x (f k k k =⋅+⋅．但)x (f 与)x (g 的最大公因式)x (d 等于F 中不为零的数c 与)x (r k 的积：)x (r c )x (d k ⋅=，因此 取)x (u c )x (u k ⋅=，)x (v c )x (v k ⋅=，即得所证．由(ii)推(i):设)x (h 是)x (f 与)x (g 的任一公因式，则)x (f |)x (h ，)x (g |)x (h ，由引理1得h(x)是)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅的因式，即)x (d |)x (h ．又因为)x (d 是)x (f 与)x (g 的公因式，所以)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．若1))x (g ),x (f (=，则称多项式)x (f 与)x (g 互素．与定理3类似的还有下面一条重要的定理：定理4 ：在]x [F 中，设)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，且)x (f 与)x (g 不全为零，则)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式⇔))x (g ),x (f (111=．证明：充分性：如果))x (g ),x (f (111=，则由多项式互素的判定定理有，存在)x (u ，)x (v 使1)x (v )x (g )x (u )x (f 11=⋅+⋅，则 等式两边同时乘以)x (d ，得d(x ))x (v )x (g )()x (u )x (f d(x )11=⋅⋅+⋅⋅x d ,由命题条件)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=知)x (d 是)x (f 与)x (g 的公因式，结合上式同时有)x (d )x (v )x (g )x (u )x (f =⋅+⋅，所以，由定理3得)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．必要性：若)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，则由定理3得，存在)x (u ，)x (v 使)x (d )x (v )x (g )x (u )x (f =⋅+⋅．因为 )x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，所以代进上式变为)x (d )]x (v )x (g )x (u )x (f [)x (d 11=⋅+⋅⋅，又因为)x (f ，)x (g 不全为零，所以0)(≠x d ，可用)x (d 除等式两边，得1)x (v )x (g )x (u )x (f 11=⋅+⋅，所以 1是)x (f 与)x (g 的公因式，由3Th 得,))x (g ),x (f (111=．已知))x (g ),x (f ()x (d =，则)x (d ))x (g ),x (af (=，)x (d ))x (g ),x (g )x (f (=+,一般地有： 定理5 ：令)x (f 与)x (g 是]x [F 的多项式，而a 、b 、c 、d 是F 中的数，并且0bc ad ≠-，则)x (d 是)(x f 与)x (g 的最大公因式⇔)x (d 也是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式．证明：设)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式，并令))x (g ),x (f ()x (d =.命 )x (bg )x (af )x (F +=，)x (dg )x (cf )x (G +=，现只需证明))x (G ),x (F ()x (d =即可． 由 引理1知，d(x)是F(x)的因式，同时d(x)也是G(x)的因式，所以 )x (d 是F(x)与G(x)的公因式．设 )x (h 是F(x)与G(x)的任一公因式，现证明)x (d |)x (h 如下：因为 )x (bg )x (af )x (F +=，)x (dg )x (cf )x (G +=，且0≠-bc ad ,所以 从F(x)与G(x)的表达式中可得：)x (G bcad b )x (F bc ad d )x (f ---=， )x (G bcad a )x (F bc ad c )x (g -+--=， 又由于h(x)是F(x)与G(x)的公因式，所以)x (f |)x (h ，)x (g |)x (h ,从而)x (d |)x (h ．即证明了)x (d 是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式．""⇐因为 )x (d 是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式 ，由3Th 可知在F[x]里总可以求得多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )]x (dg )x (cf )[x (v )]x (bg )x (af )[x (u =+++ ,即 )x (d )]x (dv )x (bu )[x (g )]x (bv )x (au )[x (f =+++．令 )x (cv )x (au )x (u 1+=,)x (dv )x (bu )x (v 1+=,则)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u 11=+． ①由引理1得)(x d 是)x (f )bc ad ()]x (dg )x (cf [b )]x (bg )x (af [d -=+-+的因式，同时也是)x (g )ad bc ()]x (dg )x (cf [a )]x (bg )x (af [c -=+-+的因式．又)x (g |)x (d ),x (f |)x (d ,0bc ad ∴≠- , ②综合3Th ①、②由得)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．§2．关于定理3中)x (u ，)x (v 的结构前面研究了多项式最大公因式的性质定理，为了更好理解这一定理，现将对定理3中的)x (u ，)x (v 作进一步分析，从而得出有关)x (u ，)x (v 的一些新的结论，以此作为上述定理3的补充．定理3中涉及一个事实，即∀]x [F )x (),x (f ∈g ,0)x (f ≠与0)x (g ≠，∃]x [F )x (v ),x (u ∈，使得))x (g ),x (f ()x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅, ①设))x (g ),x (f ()x (d =，)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，由§1中定理4得1))x (g ),x (f (=．作了上面的准备工作，现给出)x (u ，)x (v 的结构定理，并加以证明．定理6：（1）设s(x),t(x)∈F(x),∀]x [F )x (h ∈，取)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=，则))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅；（2）如果有]x [F )x (t ),x (s ∈使))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅，则∃]x [F )x (h ∈，使)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=．证明：（1）设d(x)=(f(x),g(x)),将)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=，代入下式得)x (g ))x (f )x (h )x (v ()x (f ))x (g )x (h )x (u ()x (g )x (t )x (f )x (s 11⋅⋅-+⋅⋅+=⋅+⋅ =)()()()()()()()()()(11x g x f x h x f x g x h x g x v x f x u -++其中)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅．又因为 )x (g )x (f )x (d )x (f (x )g )x (f )x (g 1111⋅=⋅⋅=⋅,所以 0)x (g )x (f )x (h )x (f )x (g )x (h 11=⋅⋅-⋅⋅，从而 ))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅．（2）因为 ))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅))x (g ),x (f ()x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅，上边两式左右两边同时作差得：0)x (g )]x (v )x (t [)x (f )]x (u )x (s [=⋅-+⋅-，因为 0)x (d ≠，两边同除以)x (d ，则有：0)x (d /)x (g )]x (v )x (t [)x (d /)x (f )]x (u )x (s [=⋅-+⋅-，又因为 1))x (d /)x (g ),x (d /)x (f (=，从 )x (d /)x (g )]x (t )x (v [)x (d /)x (f )]x (u )x (s [⋅-=⋅- (*)中，得)]x (u )x (s [|)]x (d /)x (g [-，即 ∃]x [F )x (h ∈，使得)x (d /)x (g )x (h )x (u )x (s ⋅=-，又因为)x (g )x (d /)x (g 1=，)x (f )x (d /)x (f 1=，所以有 )x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅=-，代入(*)式得)x (f )x (h )x (t )x (v 1⋅=-即 ⎩⎨⎧⋅-=⋅+=)x (f )x (h )x (v )x (t )x (g )x (h )x (u )x (s 11． 这个定理一方面指出了满足①的)x (u ，)x (v 是不唯一的，同时也给出了所有)x (u ，)x (v 的一般形式，这对研究多项式最大公因式的理论是有很大的作用．§3．最大公因式的求解方法在前面对多项式最大公因式的理论研究指导下，现来研究一下多项式最大公因式的几种求解方法．1．因式分解法利用因式分解法求多项式的最大公因式，一般先求两个（或多个）多项式的标准分解式，如设多项式)x (f 与)x (g 的标准分解式分别为：s 1r r 1k s k 1r k r k 1)x (q )x (q )x (p )x (ap )x (f ++=，t 1r r 1l t _l 1r _l r l 1)x (q )x (q )x (p )x (bp )x (g ++=，其中每一)x (q i ，)s ,,1r i ( +=不等于任何)x (q j _)t ,,1r j ( +=，令i m 是i k 与i l 两个自然数中较小的一个)r ,,2,1i ( =，那么r 21m r m 2m 1)x (p )x (p )x (p )( =x d ，就是)x (f 与)x (g 的最大公因式．例3．求实数域R 上多项式1x x x x x )x (f 2345+++++=与1x x x )x (g 34+++=的最大公因式．解：分别对两个多项式进行标准因式分解得 1x x x x x )x (f 2345+++++=22(x 1)(x 1x)(x 1x)=++++-，1x x x )x (g 34+++=)x 1x ()1x (22-++=，由)x (f 与)x (g 的标准分解式可看出： 1x )1x x )(1x ())x (g ),x (f (32+=+-+=．应该指出的是多项式的标准分解式一般不易求得．因此，求两个多项式的最大公因式一般不用此法．2．辗转相除法利用辗转相除法不但证明任意两个多项式都存在最大公因式，而且也是求最大公因式的一种有效方法．但是在运算过程中经常会出现分数运算，为了简化过程可用]x [F 中一个非零常数去乘被除式或除式，这种做法可在求最大公因式的每个步骤中进行，而对求出多项式的最大公因式d(x)的结果不会受到影响，原因如下:设f(x)，g(x)∈F(x),其中q(x)是g(x)除f(x)的商式，r(x)是余式，即表示为：)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，对F c ∈∀且0≠c 有)x (cr )]x (cq [)x (g )x (cf +⋅= ⑴，)x (r )]x (q c1[)]x (cg [)x (f +⋅= ⑵， 故由§1定理1得：))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (cr ),x (g ())x (g ),x (cf (===，))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (r ),x (cg ())x (cg ),x (f (===．根据此结论，在用辗转相除法求最大公因式的过程中，用F 中的非零常数去乘被除式或除式，会给运算带来很大的方便，以下用例题说明：例4．令F 是有理数域，求]x [F 的多项式：34x 4x 2x x )x (f 234-+--=与34x 5x 2x )x (g 23+--=的最大公因式．解法一，对)x (f 与)x (g 作辗转相除法，但对过程中的系数不作处理，这种解法的过程略．解法二，对)x (f 与)x (g 作辗转相除，对相除中的系数作一些处理：观察)x (f 与)x (g 的系数，先对)x (f 的系数作处理即 2)x (f =68842234-+--x x x x ，用)x (g 去除2)x (f ，商x ，余65423-+-x x x ，观察此步对系数作处理得2（65423-+-x x x ）=12108223-+-x x x ，用)x (g 去除12108223-+-x x x ，商1，余151432-+-x x ，观察此步对系数作处理得 912x 15x 6x )x (3g 23+--=，用151432-+-x x 去除912x 15x 6x 23+--，商-2x ，余942132+-x x ，观察此步对系数作处理得 )94213(32+-x x =27126392+-x x ，用151432-+-x x 去除27126392+-x x ，商-13，余16856-x ，观察此步对系数作处理得 3)16856(561-=-x x ， 用3-x 去除151432-+-x x ，商x 3-，余155-x ，观察此步对系数作处理得 3)155(51-=-x x ，用3-x 去除3-x ，商1，余0.所以 3x ))x (g ),x (f (-=.由上式的求解过程可以看出，有时系数很大，给运算带来不便，根据§1中引理可知，将被除式减去除式的某个倍式，再做辗转相除法而不影响求))x (g )x (f (，的结果，由§1中引理1有： ))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (g ),x (g )x (b )x (f )x (a (==⋅+⋅．解法三，对)x (f 与)x (g 作辗转相除：65x 4x x )x (x g )x (2f 23-+-=-，令 65x 4x x )x (r 231-+-=，则有 1514x 3x )x (2r )x (g 21+-=-，令 1514x 3x )x (r 22+-=，则有)3x ()3x (2182x )x (x r )x (3r 221-⋅+=-=-，令 182x )x (r 23-=，则有)3x (144214x )x (r 23)x (r 32--=+-=-， 故 3x ))x (g ),x (f (-=．很明显，解法三比解法一、二均简便，所以在解题的过程中应尽量利用最大公因式的性质定理使求解过程更简便．3．矩阵的初等变换法给出数域F 上)2n (n ≥个多项式，如何求其最大公因式?现给出n 个多项式的最大公因式的定义：定义2：设)x (f ,),x (f ),x (f n 21 是数域F 上的n 个多项式，并且)x (d 是多项式),x (f 1)x (f 2， ．．．,)x (f n 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f ,),x (f ),x (f n 21 中的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f ,),x (f ),x (f n 21 的一个最大公因式．规定用符号()x (f ,),x (f ),x (f n 21 )表示)x (f ,),x (f ),x (f n 21 在)(x F 中最高次项系数为1的最大公因式．由上述定义及§1的结论得关于数域F 上n 个一元多项式最大公因式的性质：（1）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有))x (f ,),x (f ,),x (f ),x (f (n j i 1 =))x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n i j 1 ,n j i 1≤≤≤．（2）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有 ))x (f ,),x (f ,),x (f ())x (f ,),x (cf ,),x (f (n i 1n i 1 =，且n j i 1≤≤≤，F c ∈≠0为常数．（3）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有 ))x (f ,),x (f ,),x (f )x (f ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j j i 1n j i 1 ±=, 其中n j i 1≤≤≤．性质（1）、（2）、(3)阐述了在求解多项式的最大公因式时的不变性，由这些不变性又可得到下面推论：推论1：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有))x (f ,),x (f ,),x (cf )x (f ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j j i 1n j i 1 ±=， 其中n j i 1≤≤≤，F c 0∈≠为任意常数.再给出一个引理：引理2：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，d(x)= ()x (f ,),x (f ),x (f n 21 )，若)x (f ,),x (f ),x (f n 21 中至少有一个常数项不为0，则它们的最大公因式)x (d 的常数项必不为0．证明：假设)x (d 的常数项等于0，则)x (d 能被x 整除，所以),,2,1)((n i x f i =的常数项均为0，与条件矛盾，证毕．再由前3个性质及推论1得性质4：（4）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，并设)x (g x )x (f i k =，其中n i 1≤≤，k 为非负整数，)x (f j 为常数项不为0的一元多项式，其中n j 1≤≤，且j i ≠，则 ))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j i 1n j i 1 =．证明：设))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f (n j i 1 )x (d =,显然 )x (d 是)x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f n j i 1 的一个公因式．其次 设)x (h 是)x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f n j i 1 的任一公因式，则)x (f |)x (h i ，)x (g x |)x (h i k ，而 ()x (f 1…,)x (f i ,)x (f 1i +,…,)x (f j ,…,)(x f n )的常数项非零，则)x (h 不含k x 这一因式，从而)x (g |)x (h i ，因而)x (h 是)x (f 1…,)x (g i ,…,)(x f n 的公因式,所以 )x (d |)x (h .所以 ))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j i 1n j i 1 =．为了更方便的介绍n 个多项式最大公因式的求解，现将上述四条性质相应的称为：第一种，第二种，第三种，第四种初等变换，并用以下内容概括：⑴交换两个多项式的位置，所求的最大公因式不会改变；⑵用一非零常数乘以某一多项式，所求的最大公因式不会改变；⑶把某一多项式的k 倍)0k (≠，加到另一个多项式上，所求的最大公因式不会改变；⑷性质4我们暂称为替换变换，它也不改变其最大公因式（只有在某一多项式常数项不为0的条件下才成立）．现再给出n 行多项式矩阵的定义：定义3：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，且这n 个多项式的最高次项的次数是m 次，现将每个多项式各项的系数（按逐次降幂次序排列，缺少次数的项的系数取0）排出来作为矩阵的一行，这样构造出来一个n 行m+1列矩阵，我们称这个矩阵为n 个多项式的n 行多项式矩阵，n 个多项式)x (f ,),x (f ,x )(f n 21 所组成的n 行多项式矩阵记为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，并规定该矩阵表示()x (f ,),x (f ,x )(f n 21 )的最高次项系数为1的最大公因式．下面将给出关于n 行多项式矩阵的一些结论：定理7：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，对这n 个多项式（至少有一个常数项不等于0）组成的多项式矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，作四种初等变换，所求的最大公因式不会改变；该定理可由前面谈到的n 个多项式最大公因式的四条性质直接得到．在前面的基础上，现给出定理8：定理８：对于n 行多项式矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，一定可以通过四种初等变换，化成⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0)x (d 的形式，其中)x (d 就是它的最大公因式．定理8的证明过程参阅[3]．下面以实例阐述多项式最大公因式的矩阵求法．例5．设84x 2x x )x (f 23+--=，44x x x )x (g 23+--=，求))x (g ),x (f (．解：对矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=44-1-18421A 施行矩阵的初等变换得： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→40104-0104-01004-0140108421A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00004010. 故 4x )0,4x ())x (g ),x (f (22-=-=.例6．设23x 5x 2x )x (f 23+++=，2x x 24x )x (g 23++=，343x 6x )x (h +=+x x 272+ 2+，求它们的最大公因式．解：对矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=227360224023520A 施行初等变换得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000000000021211000000000000112001120011200112000336077140011120002160335200120001-2162352001120A 故 21x 21x )0,0,21x 21x ())x (h ),x (g ,f(x)(22++=++=. 参考文献：[1]余元庆.方程论初步．上海：教育出版社,1979.[2]张禾瑞,郝炳新．高等代数（第四版）．北京：高等教育出版社，1997.[3]郁金祥．多项式最大公因式求解方法的推广．嘉兴学院学报，2003，（3）：27-29.[4]汪军．关于多项式最大公因式的进一步探讨．工科数学，1999，（3）：137-139.[5]王向东．高等代数常用方法．科学出版社，1989.[6]万哲先．代数导引．科学出版社，2004.The proprties and methods about the greatestcommon divisor of the polynomialsWang Fei Directed by Prof .Dong HuiyingAbstract This paper summaries the important proprties about the greatest common divisor of the polynomials,among which is further researched for its serucfure ,and gives several methods of finding the greatest common divisors of the polynomials :factoring method;Euclidean algorithm;matrix method ．Key words common divisors greatest common divisors Euclidean algorithm elemetary transform。
一个求多项式最大公因式的方法
一个求多项式最大公因式的方法
求多项式最大公因式是一个较复杂的数学问题，是successive approximation (逐步逼近)方法的一个实例。
多项式最大公因式包括两个以上多项式的最大集合，这
些多项式具有最大的出现次数，从而可以把一系列多项式表示为更短的形式。
求多项式最大公因式的步骤如下：
1. 列出待求多项式。
2. 对多项式按大小排列，使最大的多项式放在最左边，最小的多项式放在最右边。
3. 从右向左扫描，从右向左依次尝试不同的公因式，直到找到一个最大公因式。
4. 如果最大公因式在最右边，则说明最大公因式就是最右边的那个多项式。
5. 否则，那么保留公因式，把最右边的多项式除以最大公因式，记录结果，并把结果放在最右边。
6. 重复以上步骤，直到剩余的多项式中只有一个中止。
总结以上，求多项式最大公因式主要利用了successive approximation（逐步逼
近法）来求得，主要步骤是：对多项式排序，对最右边多项式从右向左尝试不同的公因式，直到找到一个最大公因式，然后将最右边的多项式除以结果，然后继续重复前述动作，直到只剩下一个多项式。
求多项式最大公因式与一般的数学计算不同，也不适合使用枚举等重复运算法，只有通过针对性的分析才能准确解决多项式最大公因式的问题。
因此，求多项式最大公因式必须要充分结合理论与实践，依据最优化的方法结合successive approximation来求解。
1.2 多项式的最大公因式
性质3： 若 g x f x , h x f x , 又 g x , h x 1, 则 g x h x f x. 证：
第一章 多项式
的最大公因式， 则必存在 u x , v x F x ，使
定理1.2.2： F x 中任意两个多项式 f x 与g x 的最大公因式必存在，且若 d x 是 f x , g x
d x f x u x g x v x.
第一章
多项式
设 d1 x , d2 x 都是 f x , g x 的最大公因式， 则有 d1 x d 2 x , d 2 x d1 x , d 2 x c d1 x 即两个最大公因式之间仅差一个零次因子。 若用 f x , g x 表示 f x , g x 中首项系数为1的 最大公因式，则 f x , g x 唯一确定。
约定：最大公因式首项系数为1.
第一章
多项式
二、两个多项式互素 定义3： f x , g x F x, 若 f x , g x 1, 则称 f x , g x 互素。 f x , g xБайду номын сангаас 1 的充要条件是存在 定理1.2.5： u x , v x F x , 使 f x u x g x v x 1 多项式互素的性质： 性质1： 若 f x , h x 1, g x , h x 1, 则 f x g x , h x 1.
0和多项式的最大公因式
0和多项式的最大公因式什么是多项式？多项式是由常数、变量和幂函数相加或相乘而成的代数表达式。
例如，3x^2 + 2x + 1就是一个多项式。
其中，3、2和1是常数，x是变量，x^2表示幂函数。
接下来，我们来了解一下最大公因式。
最大公因式，也称为最大公约数，是指两个或多个整数所共有的最大因数。
例如，12和18的最大公因式是6，因为12可以被6整除，18也可以被6整除，而且没有其他更大的公因数。
现在，我们来讨论0和多项式的最大公因式。
首先，我们需要了解0的特性。
0可以被任何数整除，并且任何数乘以0都等于0。
所以，0可以被看作是多项式的一个因式。
当我们讨论0和多项式的最大公因式时，我们需要考虑两种情况：多项式中是否包含0作为因式，以及多项式中是否包含其他因式。
如果多项式中包含0作为因式，那么0就是最大公因式。
因为任何数乘以0都等于0，所以0是多项式中的一个公因式，而且没有其他更大的公因式。
如果多项式中不包含0作为因式，我们需要找到多项式中的最大公因式。
为了找到最大公因式，我们可以使用因式分解的方法。
通过将多项式进行因式分解，我们可以找到多项式的所有因式，并确定它们的次数。
例如，考虑一个多项式2x^3 + 4x^2 + 6x。
我们可以将它进行因式分解，得到2x(x^2 + 2x + 3)。
从这个因式分解中，我们可以看出2x是多项式的一个因式。
现在，我们需要确定是否存在其他更大的公因式。
在这个例子中，x^2 + 2x + 3是多项式(x^2 + 2x + 3)的因式。
如果存在更大的公因式，那么它必须是x^2 + 2x + 3的因式。
为了确定x^2 + 2x + 3是否有其他因式，我们可以尝试将其进行因式分解。
然而，我们发现x^2 + 2x + 3不能被进一步分解为两个或多个因式相乘的形式。
因此，x^2 + 2x + 3是不可约的，没有其他因式。
对于多项式2x^3 + 4x^2 + 6x，它的最大公因式是2x。
多项式辗转相除法例题及解法
多项式辗转相除法例题及解法
多项式的辗转相除法是一种用来求解多项式的最大公因式的方法。
它类似于整数的辗转相除法，通过不断地进行除法运算，直到
余数为零，最终得到最大公因式。
下面我将以一个例题来说明多项
式的辗转相除法及其解法。
假设我们要求解多项式 f(x) = 2x^3 5x^2 + 3x 1 和 g(x) =
x^2 2x + 1 的最大公因式。
首先，我们将两个多项式按照次数排列：
f(x) = 2x^3 5x^2 + 3x 1。
g(x) = x^2 2x + 1。
接下来，我们用长除法的方法，将 f(x) 除以 g(x)。
首先将
f(x) 中次数最高的项除以 g(x) 中次数最高的项，得到商项和余项：2x^3 5x^2 + 3x 1 ÷ x^2 2x + 1。
计算得到商项为 2x 和余项为 3x 1。
然后，我们将余项再次除以 g(x)，得到新的商项和余项：
x^2 2x + 1 ÷ 3x 1。
计算得到商项为 3 和余项为 0。
因为余项为 0，所以辗转相除法的过程结束。
最大公因式为 g(x) = x^2 2x + 1。
这就是使用辗转相除法求解多项式最大公因式的过程。
通过不断地进行除法运算，我们可以得到最大公因式。
希望这个例题能帮助你理解多项式的辗转相除法及其解法。
多项式的最大公因式
4.4 多项式的最大公因式授课题目：4.4多项式的最大公因式教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质授课时数：4学时教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法教学过程：一、多项式的最大公因式的定义1、定义（公因式与最大公因式）定义 1 若)(x h 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，则称)(x h 是)(x f 与)(x g 的公因式。
因,0),(|),(|≠c x g c x f c 所以任意两个多项式都有公因式。
定义2 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，如果对于)(x f 与)(x g 的 任一个公因式)(x h ，都有),(|)(x d x h 则称)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。
2.几个直接的结果1）)()(|)(x g x f x g ⇒与)(x cg 都是)(x f 与)(x g 的最大公因式。
2） 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式3、最大公因式之间的关系定理4.4.1 如果 ()()()d x f x g x 是与的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式都是形如()(,0)cd x c F c ∈≠的多项式。
证 设12(),()d x d x 是()f x 与()g x 的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有1221()|(),()|()d x d x d x d x 。
所以存大,0c F c ∈≠，使12()()d x cd x =。
（证毕）由Th.4.4.1,只要能求出f g 与的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。
我们用((),())f x g x 来表示首项系数为1 的那个最大公因数。
当 ()()0f x g x == 时，规定 ((),())0f x g x = .注意：①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。
多项式的最大公因式
" " 若 d1 ( x) cd ( x), c 0 ,则 d1 ( x) | d ( x) d ( x) 是 f (x) 与 g (x) 的一个最大公因式
d1 ( x) | f ( x), d1 ( x) | g ( x)
故 d1 ( x) 是 f (x)与 g (x) 的公因式， 若 ( x) | f ( x), ( x) | g ( x) ,由 d (x) 是最大公因式 。
3. 最大公因式的性质
(1) 若 f ( x) | g ( x),则 f (x) f (x) 与 g (x)的一个最 是
大公因式,因而 f (x) 是 f (x)与0的一个最大公因 式,两个零多项式的最大公因式是0
(2)设 d (x)是 f (x)与 g (x)的一个最大公因式, 则 d1 ( x) 是 f (x) 与 g (x) 的最大的公因式,
10 3 2 2 x x x x 3 3
4
1 1 q 1 ( x) x 9 3
1 3 5 2 x x 3x 3 3 3
1 3 10 2 2 1 x x x 3 9 9 3
5 2 25 10 q ( x) 5 x 10 r 1 ( x) x x 3 81 81 9 9 3
5 2 15 x x 9 9
10 10 x 9 3 10 10 x 9 3
0
用等式写出来，就是
1 1 5 2 25 10 f ( x) ( x ) g ( x) ( x x ) 3 9 9 9 3 27 5 2 25 10 g ( x) ( x 9)( x x ) (9 x 27 ) 5 9 9 3 5 2 25 10 5 10 x x ( x )(9 x 27 ) 9 9 3 81 81
多项式的最大公因式
4.4 多项式的最大公因式授课题目：4.4多项式的最大公因式教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质授课时数：4学时教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法教学过程：一、多项式的最大公因式的定义1、定义（公因式与最大公因式）定义 1 若)(x h 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，则称)(x h 是)(x f 与)(x g 的公因式。
因,0),(|),(|≠c x g c x f c 所以任意两个多项式都有公因式。
定义 2 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，如果对于)(x f 与)(x g 的 任一个公因式)(x h ，都有),(|)(x d x h 则称)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。
2.几个直接的结果1）)()(|)(x g x f x g ⇒与)(x cg 都是)(x f 与)(x g 的最大公因式。
2） 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式3、最大公因式之间的关系定理4.4.1 如果 ()()()d x f x g x 是与的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式都是形如()(,0)cd x c F c ∈≠的多项式。
证 设12(),()d x d x 是()f x 与()g x 的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有1221()|(),()|()d x d x d x d x 。
所以存大,0c F c ∈≠，使12()()d x cd x =。
（证毕）由Th.4.4.1,只要能求出f g 与的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。
我们用((),())f x g x 来表示首项系数为1 的那个最大公因数。
当 ()()0f x g x == 时，规定 ((),())0f x g x = .注意：①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。
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多项式的最大公因式
问题：
（一）. 多项式的最大公因式的定义是什么？
设与是中两个多项式，中多项式称为与的最大公因式，如果满足下面两个条件：
(1).是与的公因式；
(2).，的公因式全是的因式。
我们约定用，表示首项系数为1的那个最大公因式。
定理1：对于中任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表示成，的一个组合，即有中多项式，使
引理：设，且
则与与与有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且
，，
定理2：的任意两个多项式与一定存在最大公因式。
（二）.用来求最大公因式的方法
(1).辗转相除法:
如果，且,使
其中，则是与的一个最大公因式。
(2).串位加减法
(3).矩阵求法：
一系列初等行变换
，
例1.设
求，
解：法1辗转相除法。
求得是最大公因式，即
，
法2串位加减法
设，则对于任意多项式，
，，
于是是最大公因式，即
，
例2．令F是有理数域，求出的多项式
，
使得成立的，，,其中，。
解我们把I拼在的右边一起做行初等变换：。
所以，，。
注：如果是，在中的公因式，则是与的最大公因式的充分必要条件是存在，使得
例3.求使，：
，
（P45,6.(1)）
解：，其中，
,其中，
,其中，
所以，是和的最大公因式。
因为,，所以
，
由此可得：
注：利用辗转相除法求出最大公约数，然后逆向推导。
例4．证明：如果，且为与的一个组合，那么是与
的一个最大公因式。
（P45,8）
证：
设是与的任一公因式，即有和
不妨设
由已知条件可得
所以
故有
因此，是与的一个最大公因式。
注：已知是与的任一公因式，只需证明与的任一公因式都是的公因式便可得证。