多项式的最大公因式
第二章 多项式 第三节 多项式的最大公因式课件
ux 1 x 1,vx 1 2x2 2x 3
3
3
三、 互素及相关结论
定义 3
如果 Fx的两个多项式除零次多项式外不再有其它
的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
定理 2.3.3
F x的两个多项式 f x与 gx 互素的充要条件是：
在 Fx中存在多项式 ux与vx ，使
把 f x先乘以2，再用 gx 来除：
2x4 4x3 8x2 8x 6 2x3 5x2 4x 3
2x4 5x3 4x2 3x
x 1
x3 4x2 5x 6
（乘以2 ）
2x3 8x 2 10x 12
2x3 5x2 4x 3
一公因式与最大公因式概念二辗转相除法及相关结论互素及相关结论一公因式与最大公因式概念的每一公因式整除那么个多项式同时整除那么叫做二辗转相除法及相关结论定理定理231231的任意两个多项式一定有最大公因式
一、公因式与最大公因式概念 二、辗转相除法及相关结论 三、 互素及相关结论
一、公因式与最大公因式概念
其次，假定h(x) 是 f (x) 与 g(x) 的任一公因式. 那么由 （1）的第一个等式， h(x)也一定能整除 r1(x) .同理， 由第二个等式，h(x) 也能整除 r2 (x) . 如此逐步往下推， 最后得出 h(x)能整除 rk (x). 这样rk (x) 的确是 f (x) 与g(x) 的一个最大公因式.
定义 1
令f x 和 gx是F [x]的两个多项式，若是F [x]的一 个多项式 hx既是 f x 的因式又是gx 的因式，那 么 hx叫做 f x 与gx的一个公因式.
定义 2
设dx是多项式 f x 与 gx的一个公因式.且 f x 与 gx 的每一公因式都是 dx 的因式, 那么dx 称为f x与gx的一个最大公因式.
初中数学 如何求两个多项式的最大公因式
初中数学如何求两个多项式的最大公因式求两个多项式的最大公因式有多种方法，以下是常用的两种方法：1. 因式分解法：通过对两个多项式进行因式分解，可以找到它们的最大公因式。
具体步骤如下：a. 将每个多项式进行因式分解，得到它们的所有因子。
b. 找出两个多项式的因子中的公共因子，并确定其中次数最高的因子作为最大公因式。
c. 如果存在多个次数相同的因子，它们的乘积即为最大公因式。
举一个具体的例子，假设有两个多项式f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x 和g(x) = 4x^2 - 8x。
我们可以将它们进行因式分解：f(x) = 2x(x-1)(x-2)g(x) = 4x(x-2)从中可以看出，两个多项式的公因式是2x和(x-2)，其中次数最高的公因式是(x-2)，因此最大公因式为(x-2)。
2. 辗转相除法：通过辗转相除法，也称为欧几里得算法，可以求得两个多项式的最大公因式。
具体步骤如下：a. 选择两个多项式进行除法运算，将次数高的多项式作为被除数，次数低的多项式作为除数。
b. 进行除法运算，得到商和余数。
c. 将除数替换为原来的被除数，将余数替换为原来的除数，再次进行除法运算。
d. 重复以上步骤，直到余数为零。
此时，最后一个除数即为两个多项式的最大公因式。
举一个具体的例子，假设有两个多项式f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x 和g(x) = 4x^2 - 8x。
我们可以使用辗转相除法求解：首先，将f(x)除以g(x)：f(x) / g(x) = (2x^3 - 6x^2 + 4x) / (4x^2 - 8x)= 1/2x - 1/2然后，将g(x)除以余数1/2：g(x) / 1/2 = (4x^2 - 8x) / (1/2)= 8x - 16继续，将余数1/2除以8x - 16：1/2 / (8x - 16) = 1/16(x - 2)最后，余数为零，因此最后一个除数1/16(x - 2) 即为两个多项式的最大公因式。
首项系数为1的最大公因式
首项系数为1的最大公因式
首项系数为1的最大公因式，通常指的是一个多项式的最大公因式，它的首项系数为1。
对于一个多项式，它的最大公因式是指能够同时整除它的所有项的最大的多项式。
如果一个多项式的首项系数不为1，那么它的最大公因式的首项系数也不会为1。
因此，当一个多项式的首项系数为1时，它的最大公因式的首项系数也一定为1。
举个例子，对于多项式$f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ 和$g(x) = 2x^2 + 5x + 1$，它们的最大公因式为$x+1$，因为$x+1$ 能够同时整除$f(x)$ 和$g(x)$，且没有更大的多项式能够同时整除它们。
同时，$x+1$ 的首项系数也为1，符合首项系数为1的最大公因式的定义。
初中数学 如何找到一个多项式的最大公因式
初中数学如何找到一个多项式的最大公因式
要找到一个多项式的最大公因式，可以采用以下方法：
1. 因式分解法：
首先，将多项式进行因式分解，将其写成若干个因子的乘积形式。
然后，找到这些因子中的公共因子，将其提取出来，即可得到最大公因式。
2. 辗转相除法（欧几里得算法）：
辗转相除法也可以用于多项式的最大公因式的求解。
将两个多项式进行相除运算，直到余式为0。
此时，最后一次相除的除数即为最大公因式。
3. 多项式的公共因式法：
对于多个多项式，可以逐步寻找它们的公共因式。
首先，找到其中两个多项式的最大公因式，然后再将这个最大公因式与下一个多项式进行求最大公因式的运算，直到所有多项式都被考虑完毕。
这样得到的最大公因式即为所求。
4. 使用多项式的因子定理：
多项式的因子定理可以用于求解多项式的因子，进而得到最大公因式。
根据因子定理，如果某个数是多项式的根，那么这个数可以整除多项式。
因此，通过尝试多项式的可能根，找到其中能够整除多项式的数，然后将这些数与多项式进行除法运算，找到最大的公因式。
需要注意的是，对于高次数的多项式，可能需要使用更高级的方法来找到最大公因式。
此外，在实际求解中，可能需要使用计算工具、计算机软件或在线计算器等辅助工具来进行计算。
希望这个解答对您有所帮助。
如果您还有任何问题，请随时提问。
【全国百强校】四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学多项式专题讲义：4.多项式的因式
成都七中高一数学竞赛多项式专题讲义A4.多项式的因式一、基础知识多项式的公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈如果多项式()[]x P x ϕ∈使得()|()x f x ϕ且()|()x g x ϕ,则称()x ϕ为()f x 与()g x 的公因式.多项式的最大公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈[]P x 中多项式()d x 称为()f x 与()g x 的最大公因式,如果它满足下面两个条件：①()d x 是()f x 与()g x 的公因式；②()f x 与()g x 的公因式全是()d x 的因式.不可约多项式：数域P 上次数1≥的多项式()p x 如果不能表成数域P 上的两个次数比()p x 的次数低的多项式的乘积,则称()p x 为数域P 上的不可约多项式.显然一次多项式总是不可约多项式.22x +是实数域上的不可约多项式,但是在复数域上却不是不可约多项式,这就说明了一个多项式是否不可约是依赖于系数域的.k 重因式：不可约多项式()p x 称为多项式()f x 的k 重因式,如果1()|(),()().k k p x f x p x f x +Œ二、典型例题与基本方法1.如果多项式(),(),(),()f x g x q x r x 满足()()()(),f x q x g x r x =+证明：(1)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的公因式；(2)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的最大公因式.2.设多项式(),()[],f x g x P x ∈证明(),()f x g x 的最大公因式在可以相差一个数域P 上的非零常数倍的意义下是唯一确定的.我们知道两个不全为零多项式的最大公因式总是一个非零多项式,我们约定用((),())f x g x 来表示首项系数为1的那个最大公因式.3(裴蜀定理)对于[]P x 中任意两个多项式(),()f x g x ,在[]P x 中存在(),()f x g x 的最大公因式(),d x 且()d x 可以表成(),()f x g x 的一个组合,即存在[]P x 中的多项式(),()u x v x 使得()()()()().d x u x f x v x g x =+4.[]P x 中两个多项式(),()f x g x 称为互素的,如果((),()) 1.f x g x =显然两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦然.5.证明：(1)如果((),())1,f x g x =且()|()(),f x g x h x 则()|().f x h x(2)如果12()|(),()|(),f x g x f x g x 且12((),())1,f x f x =则12()()|().f x f x g x6.[]P x 上的不可约多项式()p x 的因式只有非零常数()c c P ∈与它自身的非零常数倍()()cp x c P ∈这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.由此可知不可约多项式()p x 与[]P x 上任一多项式()f x 之间只可能有两种关系,或者()|()p x f x 或者((),()) 1.p x f x =证明：如果()p x 是一个不可约多项式,那么对于任意的两个多项式(),(),f x g x 由()|()()p x f x g x 一定可推出()|()p x f x 或者()|().p x g x7.设多项式1110()n n n n f x a x a xa x a --=++++,规定它的导数是1211()(1).n n n n f x a nx a n x a ---'=+-++我们可得到关于多项式导数的基本公式：(()())()(),(())(),f x g x f x g x cf x cf x '''''+=+=1(()())()()()(),(())()().m m f x g x f x g x f x g x f x mf x f x -'''''=+=证明：(1)如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥,那么()p x 是()f x '的1k -重因式.(2)()p x 是不可约多项式,如果()p x 是()f x 的重因式⇔()p x 是()f x 与()f x '的公因式.(3)多项式()f x 没有重因式⇔()f x 与()f x '互素.B4.练习 姓名：1.求多项式43()235f x x x x =+++除以2()(1)g x x =+的余式.2.证明：如果多项式(),()f x g x 不全为零多项式,且()()()()((),()).u x f x v x g x f x g x +=证明：((),()) 1.u x v x =3.举例说明断言“如果不可约多项式()p x 是()f x '的1(1)k k -≥重因式,那么()p x 是()f x 的k 重因式”是不对的.A4.多项式的因式一、基础知识多项式的公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈如果多项式()[]x P x ϕ∈使得()|()x f x ϕ且()|()x g x ϕ,则称()x ϕ为()f x 与()g x 的公因式.多项式的最大公因式：设多项式(),()[],f x g x P x ∈[]P x 中多项式()d x 称为()f x 与()g x 的最大公因式,如果它满足下面两个条件：①()d x 是()f x 与()g x 的公因式；②()f x 与()g x 的公因式全是()d x 的因式.不可约多项式：数域P 上次数1≥的多项式()p x 如果不能表成数域P 上的两个次数比()p x 的次数低的多项式的乘积,则称()p x 为数域P 上的不可约多项式.显然一次多项式总是不可约多项式.22x +是实数域上的不可约多项式,但是在复数域上却不是不可约多项式,这就说明了一个多项式是否不可约是依赖于系数域的.k 重因式：不可约多项式()p x 称为多项式()f x 的k 重因式,如果1()|(),()().k k p x f x p x f x +Œ二、典型例题与基本方法1.如果多项式(),(),(),()f x g x q x r x 满足()()()(),f x q x g x r x =+证明：(1)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的公因式；(2)(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的最大公因式.证明：(1)如果()x ϕ是(),()f x g x 的一个公因式,则()|(),()|(),x f x x g x ϕϕ于是()|()()(),x f x q x g x ϕ-即()|(),x r x ϕ于是()x ϕ也是(),()g x r x 的一个公因式.如果()x ϕ是(),()g x r x 的一个公因式,则()|(),()|(),x g x x r x ϕϕ于是()|()()(),x q x g x r x ϕ+即()|(),x f x ϕ于是()x ϕ也是(),()f x g x 的一个公因式.所以(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的公因式.(2)若()d x 是(),()f x g x 的一个最大公因式,则由(1)知()d x 是(),()g x r x 的一个公因式.设()x ϕ是(),()g x r x 的任一个公因式,则由(1)知()x ϕ也是(),()f x g x 的一个公因式,于是()|(),x d x ϕ这就证明了()g x 与()r x 的公因式()x ϕ全是()d x 的因式.所以()d x 也是(),()g x r x 的一个最大公因式.若()d x 是(),()g x r x 的一个最大公因式,则由(1)知()d x 是(),()f x g x 的一个公因式.设()x ϕ是(),()f x g x 的任一个公因式,则由(1)知()x ϕ也是(),()g x r x 的一个公因式,于是()|(),x d x ϕ这就证明了()f x 与()g x 的公因式()x ϕ全是()d x 的因式.所以()d x 也是(),()f x g x 的一个最大公因式.这就证明了(),()f x g x 和(),()g x r x 有相同的最大公因式.2.设多项式(),()[],f x g x P x ∈证明(),()f x g x 的最大公因式在可以相差一个数域P 上的非零常数倍的意义下是唯一确定的.我们知道两个不全为零多项式的最大公因式总是一个非零多项式,我们约定用((),())f x g x 来表示首项系数为1的那个最大公因式.证明：设12(),()d x d x 是(),()f x g x 的两个最大公因式,因为()f x 与()g x 的公因式全是最大公因式的因式.所以1221()|(),()|(),d x d x d x d x 于是12()(),,0.d x cd x c P c =∈≠所以(),()f x g x 的最大公因式在可以相差一个数域P 上的非零常数倍的意义下是唯一确定的.3(裴蜀定理)对于[]P x 中任意两个多项式(),()f x g x ,在[]P x 中存在(),()f x g x 的最大公因式(),d x 且()d x 可以表成(),()f x g x 的一个组合,即存在[]P x 中的多项式(),()u x v x 使得()()()()().d x u x f x v x g x =+证明：如果(),()f x g x 有一个为零多项式,不妨设()0,g x =则()f x 就是(),()f x g x 的一个最大公因式,所以存在()()[],d x f x P x =∈且()()1()1().d x f x f x g x ==⋅+⋅因为1,P ∈所以此时()() 1.u x v x ==如果(),()f x g x 均不为零多项式,按带余除法,用()g x 除(),f x 得到商1(),q x 余式1()r x ；如果1()0,r x ≠就再用1()r x 除(),g x 得到商2(),q x 余式2()r x ；又如果2()0,r x ≠就再用2()r x 除1(),r x 得到商3(),q x 余式3()r x ；如此辗转相除下去,显然,所得余式的次数不断降低,即12(())(())(()),g x r x r x ∂>∂>∂>因此在有限次之后,必然有余式为零多项式.于是我们有一串等式：1121213232131212111()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()0.i i i i s s s s s s s s s s s f x q x g x r x g x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x r x ---------+=+=+=+=+=+=+=+因为()s r x 与0的最大公因式是()s r x ,由第1题知道()s r x 也就是1()s r x -与()s r x 的最大公因式,同样的理由,逐步推上去,()s r x 就是()f x 与()g x 的一个最大公因式()d x .这就证明了()d x 的存在性.由上面的倒数第二个等式,我们有21()()()(),s s s s r x r x q x r x --=-再由倒数第三式,1312()()()(),s s s s r x r x q x r x ----=-代入上式可消去1(),s r x -得到1123()(1()())()()().s s s s s s r x q x q x r x q x r x ----=+-然后根据同样的方法用它上面的等式逐个地消去21(),,(),s r x r x -再并项就得到()()()()(),s r x u x f x v x g x =+于是即()()()()()().s d x r x u x f x v x g x ==+4.[]P x 中两个多项式(),()f x g x 称为互素的,如果((),()) 1.f x g x =显然两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦然.证明：[]P x 中两个多项式(),()f x g x 称为互素的⇔有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()() 1.u x f x v x g x +=证明：()⇒由裴蜀定理知道显然成立.()⇐若有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1,u x f x v x g x +=设()d x 是(),()f x g x 的一个最大公因式,则()|(),()|(),d x f x d x g x 于是()|()()()(),d x u x f x v x g x +所以()|1.d x所以(())0,d x ∂=所以(),()f x g x 互素的5.证明：(1)如果((),())1,f x g x =且()|()(),f x g x h x 则()|().f x h x(2)如果12()|(),()|(),f x g x f x g x 且12((),())1,f x f x =则12()()|().f x f x g x证明：(1)如果((),())1,f x g x =则()()()() 1.u x f x v x g x +=于是()()()()()()().u x f x h x v x g x h x h x +=因为()|()(),f x g x h x 又()|()(),f x f x h x 所以()|()()()()()()().f x u x f x h x v x g x h x h x +=(2)由1()|()f x g x ,则11()()(),g x f x h x =又2()|(),f x g x 于是211()|()(),f x f x h x 因为12((),())1,f x f x =由(1)知道21()|(),f x h x 即122()()().h x f x h x =所以11122()()()()()(),g x f x h x f x f x h x ==于是12()()|().f x f x g x6.[]P x 上的不可约多项式()p x 的因式只有非零常数()c c P ∈与它自身的非零常数倍()()cp x c P ∈这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.由此可知不可约多项式()p x 与[]P x 上任一多项式()f x 之间只可能有两种关系,或者()|()p x f x 或者((),()) 1.p x f x =证明：如果()p x 是一个不可约多项式,那么对于任意的两个多项式(),(),f x g x 由()|()()p x f x g x 一定可推出()|()p x f x 或者()|().p x g x证明：如果()|(),p x f x 则结论已经成立.如果()(),p x f x Œ则((),())1,p x f x =因为()|()()p x f x g x ,所以()|().p x g x7.设多项式1110()nn n n f x a x a xa x a --=++++,规定它的导数是1211()(1).n n n n f x a nx a n x a ---'=+-++我们可得到关于多项式导数的基本公式：(()())()(),(())(),f x g x f x g x cf x cf x '''''+=+=1(()())()()()(),(())()().m m f x g x f x g x f x g x f x mf x f x -'''''=+=证明：(1)如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥,那么()p x 是()f x '的1k -重因式.(2)()p x 是不可约多项式,如果()p x 是()f x 的重因式⇔()p x 是()f x 与()f x '的公因式.(3)多项式()f x 没有重因式⇔()f x 与()f x '互素.证明：(1)由条件()()(),()().k f x p x g x p x g x =Œ因此1()()(()()()()).k f x p x kg x p x p x g x -'''=+这说明1()|().k px f x -'令()()()()(),h x kg x p x p x g x ''=+假设()|(),p x h x 注意到()|()(),p x p x g x '于是()|()()(),p x h x p x g x '-即()|()().p x kg x p x '因为()p x 是不可约多项式,所以()|()p x g x 或者()|().p x p x '而这两种情况都不能成立.于是假设错误.所以()(),p x h x Œ这就证明了()|(),kp x f x '所以()p x 是()f x '的1k -重因式. (2)()⇒如果不可约多项式()p x 是()f x 的重因式,则2()|(),p x f x 于是2()()(),f x p x q x =2()2()()()()()(2()()()),f x p x q x p x q x p x q x p x q x '''=+=+所以()|(),p x f x '显然()|(),p x f x 于是()p x 是()f x 与()f x '的公因式.()⇐若()p x 是()f x 与()f x '的公因式,则()()()(1),()().k f x p x q x k p x q x =≥Œ,若1,k =则()()(),f x p x q x = 于是()()()()(),f x p x q x p x q x '''=+因为()|(),p x f x '显然有()|()(),p x p x q x '所以()|()().p x p x q x '因为()p x 是不可约因式,所以()|(),p x p x '或者()|().p x q x 而这两种情况都不能成立.所以 2.k ≥这就是证明了不可约多项式()p x 是()f x 的重因式.(3)()⇒设多项式()f x 没有重因式,如果()f x 与()f x '不互素,则()f x 与()f x '有公因式(),x ϕ设()p x 是整除()x ϕ的不可约多项式(),p x 由(2)知道()f x 有重因式矛盾.()⇐设()f x 与()f x '互素,若多项式()f x 有重因式(),p x 则由(2)知道()p x 是()f x 与()f x '的公因式矛盾.B4.练习 姓名：1.求多项式43()235f x x x x =+++除以2()(1)g x x =+的余式.解：竖式除法得22()(1)(1)5 6.f x x x x =+-++()5 6.r x x =+ 法2设()()()().f x q x g x r x =+可设().r x ax b =+于是432235()(1).x x x q x x ax b +++=+++令1x =-,则1.a b =-+两边求导得322463()(1)2(1)().x x q x x x q x a '++=++++ 令1,x =-则5.a =所以 6.b =所以()5 6.r x x =+2.证明：如果多项式(),()f x g x 不全为零多项式,且()()()()((),()).u x f x v x g x f x g x +=证明：((),()) 1.u x v x =证明： 因为((),())|(),((),())|(),f x g x f x f x g x g x于是存在12(),()q x q x 使得12()((),())(),()((),())().f x f x g x q x g x f x g x q x ==所以()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=即为12()((),())()()((),())()((),()).u x f x g x q x v x f x g x q x f x g x +=因为多项式(),()f x g x 不全为零多项式,所以((),())f x g x 不是零多项式.所以12()()()() 1.u x q x v x q x +=所以((),()) 1.u x v x =3.举例说明断言“如果不可约多项式()p x 是()f x '的1(1)k k -≥重因式,那么()p x 是()f x 的k 重因式”是不对的.解：设()p x x =是不可约多项式,()()11,k k f x p x x =-=-则1()k f x kx -'=显然是()p x x =的1k -重因式,但 ()p x x =却不是()1k f x x =-的k 重因式.。
多项式的最大公因式
目录
• 引言 • 多项式的最大公因式 • 最大公因式的证明 • 最大公因式的应用实例 • 总结与展望
01 引言
最大公因式的定义
最大公因式：两个或多个多项式之间 最大的公共因子多项式。
最大公因式是多项式的一种重要属性 ，它在多项式理论、代数几何等领域 中有着广泛的应用。
最大公因式的重要性
因式分解
02
03
代数方程求解
利用最大公因式可以将多项式进 行因式分解，从而得到其标准形 式。
在求解代数方程时，可以利用最 大公因式进行消元或化简，简化 计算过程。
03 最大公因式的证明
最大公因式的存在性证明
• 存在性证明：通过数学归纳法，我们 可以证明对于任意两个多项式，都存 在一个最大公因式。首先，当两个多 项式为零多项式时，最大公因式显然 存在。然后，假设存在一个最大公因 式$g(x)$，对于任意两个多项式 $f(x)$和$h(x)$，如果$g(x)$是$f(x)$ 和$h(x)$的最大公因式，那么对于 $f(x)$和$h(x)$的任何公因式$k(x)$， $k(x)$也是$g(x)$的因式。因此， $g(x)$是所有这样的$k(x)$中的最大 的，即最大公因式。
简化多项式 代数方程的解法
数学分析 数学教育
通过求取多项式的最大公因式，可以简化多项式，使其更易于 处理和计算。
最大公因式在求解代数方程时起到关键作用，例如在消元法中 用于消去多项式中的某些项。
在数学分析中，最大公因式可用于研究多项式的根的性质和分 布。
对于学生来说，理解和掌握最大公因式是学习代数的重要基础 ，有助于提高他们的数学思维能力。
最大公因式的性质
唯一性
对于给定的两个多项式，其最大公因式是唯一 的。
多项式最大公因式的几种求法
多项式最大公因式的几种求法
发表时间：2015-09-21T16:46:59.207Z 来源：《教育学》2015年10月总第86期供稿作者：陈萍[导读] 华南师范大学数学科学学院多项式理论是高等代数的重要组成部分，求最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位。
陈萍华南师范大学数学科学学院广东广州510631
摘要：多项式既是初高中课本的重要内容，也是大学数学高等代数的重要组成部分，而求多项式的最大公因式也成为了高等代数中最基本同时也是最重要的一个知识点。
而本文将从辗转相除、矩阵的初等变换以及矩阵的初等变换等不同角度给出了一元多项式的最大公因式的不同求法。
关键词：最大公因式辗转相除初等变换
多项式理论是高等代数的重要组成部分，求最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位。
如何求多项式最大公因式，除了《高等代数》介绍的辗转相除法外，还有一些其他的较为便捷的方法，作者经过大量地查阅资料后，总结出较为经典的算法，并于此文一一介绍。
由上面的介绍，我们可以知道，多项式的最大公因式有多种解法，它们都是从多项式最大公因式的性质推广发展而来的，可见性质的重要性，并且三种方法都各有优劣，读者可以根据题目需要，选择一种最简便的方法进行计算，最好熟练掌握一种基本解法。
参考文献
[1]张禾瑞赫炳新高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1983。
[2]蒋忠樟高等代数典型问题研究.高等教育出版社。
[3]骆公志一元多项式的最大公因式的几种求法.[J]连云港师范高等专科学校学报，2006。
最大公因式
( f ( x ), g( x )) (c1 f ( x ), g( x )) ( f ( x ), c2 g( x )) (c1 f ( x ), c2 g( x )) ,
c1 , c2 为非零常数．
© 2009, Henan Polytechnic University §4 最大公因式
8 8
第一章 多项式
从而有 ( f ( x ),g( x ))=( g( x ),r1 ( x ))
=( r1 ( x ),r2 ( x ))
=…
=( rs1 ( x ),rs ( x ))
=( rs ( x ), 0)
再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
rs1 ( x ),
, r1 ( x ) 再并项就得到 rs ( x )=u( x ) f ( x ) v( x ) g( x ).
5 5
有一为0，如 g ( x ) 0，则 f ( x ) 证：若 f ( x )、g( x )
就是一个最大公因式．且 f ( x ) 1 f ( x ) 0 g( x ). 考虑一般情形： f ( x ) 0,
g( x ) 0,
第一章 多项式
用 g ( x ) 除 f ( x ) 得：
若
d1 ( x )、d 2 ( x ) 为 f ( x )、g( x )
的最大公因式，则 d1 ( x )=cd 2 ( x ) ，c为非零常数．
© 2009, Henan Polytechnic University §4 最大公因式
3 3
第一章 多项式
二、最大公因式的存在性与求法
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多项式的最大公因式
问题：
（一）. 多项式的最大公因式的定义是什么？
设f(x)和g(x)是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d(x)称为 f(x)和g(x)的最大公因式，如果满足下面两个条件：
(1). d(x)是f(x)和g(x)的公因式；
(2). f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。
我们约定用( f(x)，g(x))表示首项系数为1的那个最大公因式。
定理1：对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使
d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)
引理：设f(x),g(x),q(x),h(x)∈F(x),g(x)≠0，且
f(x)=g(x)q(x)+h(x)
则f(x)和g(x)和q(x)和h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且
( f(x)，g(x))=( g(x)，h(x))
定理2：F(x)的任意两个多项式f(x)和g(x)一定存在最大公因式。
（二）.用来求最大公因式的方法
(1).辗转相除法:
如果f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，且q i(x),r i(x)∈P[x],使
f(x)=q1(x)g(x)+r1(x)
g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x)
r1(x)=q3(x)r2(x)+r3(x)
⋯⋯
r s−2(x )=q s (x )r s−1(x )+r s (x ) r s−1(x )=q s+1(x )r s (x )+0
其中∂(r i (x ))≥0，则r s (x )是f (x )和g (x )的一个最大公因式。
(2).串位加减法 (3).矩阵求法：
A =(f (x )g (x ))一系列初等行变换→ (d (x )0
)
d (x )=( f (x )，g (x ))
例1.设 f (x )=x 4+3x 3−x 2−4x −3
g (x )=3x 3+10x 2+2x −3
求( f (x )，g (x )) 解：法1辗转相除法。
−
27
5
x +9 =q 2(x )
g (x )
3x 3+10x 2+2x −3 3x 3+15x 2+18x
f (x )
x 4+3x 3−x 2−4x −3 x 4+
103x 3+23
x 2
−x 1
3x −9 =q 1(x )
−5x 2−16x −3 −5x 2−25x −30
−13x 3−5
3x 2−3x −3 −13x 3−109x 2−29x +13
r 2(x )=9x +27
r 1(x )=−59x 2−259x −10
3
−59x 2−53
x −
581x −10
81 =q 3(x )
−10
9
x−
10
3
−10
9
x−
10
3
r3(x)=0求得r2(x)=9x+27是最大公因式，即
( f(x)，g(x))=x+3
法2串位加减法
设c≠0，则对于任意多项式f(x)，g(x)
( f(x)，g(x))=( f(x)，cg(x))
1 3 -1 -4 -3 3 10
2 -
3 f(x) g(x)
1 5 9 9 5 25 30
1 5 6
5 1
6 3
9 27
3
6
1 3 r1(x)=−3f(x)+x g(x)
r2(x)=3r1(x)−g(x)
r3(x)=
1
5
r2(x)=r1∗(x)
r4(x)=−g(x)+3xr1∗(x)
r5(x)=−r4(x)+5r1∗(x)
r6(x)=
1
9
r5(x)=r2∗(x)
r7(x)=r1∗(x)−r2∗(x)
r8(x)=
1
2
r7(x)
于是r7(x)=2x+6是最大公因式，即
( f(x)，g(x))=x+3
例2．令F 是有理数域，求出F [x ]的多项式
f (x )=4x 4−2x 3−16x 2+5x +9，
g (x )=2x 3−x 2−5x +4
使得u (x )f (x )+v (x )g (x )=d (x )成立的d (x )，u (x )，v (x ),其中d (x )=( f (x )，g (x ))。
解 我们把I 拼在(f (x
)
g (x ))的右边一起做行初等变换：
( f (x )10 g (x )01)=(4x 4−2x 3−16x 2+5x +9102x 3−x 2−5x +401
)r 1+r 2×(−2)→
(−6x 2−3x +91−2x 2x 3−x 2−5x +401)r 2+r 1×x → (
−6x 2−3x +91−2x 6x 3−3x 2−15x +1203)→⋯ (0∗∗−3x +3x −1−2x 2
+2x +3)r 1↔r 2 r 1×(−1
3)
→ (x −1−13(x −1)
2
3x 2−2
3x −1
0∗
∗
)。
所以d (x )=x −1，u (x )=−13
(x −1)，v (x )=23
x 2−2
3
x −1。
注：如果d (x )是f (x )，g (x )在F [x ]中的公因式，则d (x )是f (x )和g (x )的最大公因式的充分必要条件是存在u (x ),v (x )∈F (x )，使得
d (x )=u (x )f (x )+v (x )g (x )
例3.求u (x ),v (x )使u (x )f (x )+v (x )g (x )=( f (x )，g (x ))：
f (x )=x 4+2x 3−x 2−4x −2，
g (x )=x 4+x 3−x 2−2x −2
（P45,6.(1)）
解：f (x )=g (x )q 1(x )+r 1(x )，其中，
{q 1(x )=1r 1(x )=x 3−2x
g (x )=r 1(x )∙q 2(x )+r 2(x ),其中，
{q 2(x )=x +1r 2(x )=x 2−2
r 1(x )=r 2(x )∙q 3(x )+r 3(x ),其中，
{q 3(x )=x r 3(x )=0
所以，r 2(x )=x 2−2是f (x )和g (x )的最大公因式。
因为g (x )=r 1(x )∙q 2(x )+r 2(x ), f (x )=g (x )∙q 1(x )+r 1(x )，所以
( f(x)，g(x))=−q2(x)∙ f(x)+[1+q1(x)∙q2(x)]∙ g(x)由此可得：
{u(x)=−q2(x)=−x−1
v(x)=1+q1(x)q2(x)=x+2
注：利用辗转相除法求出最大公约数，然后逆向推导。
例4．证明：如果d(x)│f(x),d(x)│g(x)，且d(x)为f(x)和g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)和g(x)的一个最大公因式。
（P45,8）
证：
设d(x)是f(x)和g(x)的任一公因式，即有d′(x)│f(x)和d′(x)│g(x)
不妨设 f(x)=d′(x)∙q1(x),g(x)=d′(x)∙q2(x)
由已知条件可得 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)
所以d(x)=u(x)d′(x)∙q1(x)+v(x)d′(x)∙q2(x)
故有d′(x)│d(x)
因此，d(x)是f(x)和g(x)的一个最大公因式。
注：已知d(x)是f(x)和g(x)的任一公因式，只需证明f(x)和g(x)的任一公因式都是d(x)的公因式便可得证。