多项式的最大公因式

多项式的最大公因式

问题：

（一）. 多项式的最大公因式的定义是什么？

设f(x)和g(x)是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d(x)称为 f(x)和g(x)的最大公因式，如果满足下面两个条件：

(1). d(x)是f(x)和g(x)的公因式；

(2). f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。

我们约定用( f(x)，g(x))表示首项系数为1的那个最大公因式。

定理1：对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使

d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)

引理：设f(x),g(x),q(x),h(x)∈F(x),g(x)≠0，且

f(x)=g(x)q(x)+h(x)

则f(x)和g(x)和q(x)和h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且

( f(x)，g(x))=( g(x)，h(x))

定理2：F(x)的任意两个多项式f(x)和g(x)一定存在最大公因式。

（二）.用来求最大公因式的方法

(1).辗转相除法:

如果f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，且q i(x),r i(x)∈P[x],使

f(x)=q1(x)g(x)+r1(x)

g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x)

r1(x)=q3(x)r2(x)+r3(x)

⋯⋯

r s−2(x )=q s (x )r s−1(x )+r s (x ) r s−1(x )=q s+1(x )r s (x )+0

其中∂(r i (x ))≥0，则r s (x )是f (x )和g (x )的一个最大公因式。 (2).串位加减法 (3).矩阵求法：

A =(f (x )g (x ))一系列初等行变换→ (d (x )0

)

d (x )=( f (x )，g (x ))

例1.设 f (x )=x 4+3x 3−x 2−4x −3

g (x )=3x 3+10x 2+2x −3

求( f (x )，g (x )) 解：法1辗转相除法。

−

27

5

x +9 =q 2(x )

g (x )

3x 3+10x 2+2x −3 3x 3+15x 2+18x

f (x )

x 4+3x 3−x 2−4x −3 x 4+

103x 3+23

x 2

−x 1

3x −9 =q 1(x )

−5x 2−16x −3 −5x 2−25x −30

−13x 3−5

3x 2−3x −3 −13x 3−109x 2−29x +13

r 2(x )=9x +27

r 1(x )=−59x 2−259x −10

3

−59x 2−53

x −

581x −10

81 =q 3(x )

−10

9

x−

10

3

−10

9

x−

10

3

r3(x)=0求得r2(x)=9x+27是最大公因式，即

( f(x)，g(x))=x+3

法2串位加减法

设c≠0，则对于任意多项式f(x)，g(x)

( f(x)，g(x))=( f(x)，cg(x))

1 3 -1 -4 -3 3 10

2 -

3 f(x) g(x)

1 5 9 9 5 25 30

1 5 6

5 1

6 3

9 27

3

6

1 3 r1(x)=−3f(x)+x g(x)

r2(x)=3r1(x)−g(x)

r3(x)=

1

5

r2(x)=r1∗(x)

r4(x)=−g(x)+3xr1∗(x)

r5(x)=−r4(x)+5r1∗(x)

r6(x)=

1

9

r5(x)=r2∗(x)

r7(x)=r1∗(x)−r2∗(x)

r8(x)=

1

2

r7(x)

于是r7(x)=2x+6是最大公因式，即

( f(x)，g(x))=x+3

例2．令F 是有理数域，求出F [x ]的多项式

f (x )=4x 4−2x 3−16x 2+5x +9，

g (x )=2x 3−x 2−5x +4

使得u (x )f (x )+v (x )g (x )=d (x )成立的d (x )，u (x )，v (x ),其中d (x )=( f (x )，g (x ))。

解 我们把I 拼在(f (x

)

g (x ))的右边一起做行初等变换：

( f (x )10 g (x )01)=(4x 4−2x 3−16x 2+5x +9102x 3−x 2−5x +401

)r 1+r 2×(−2)→

(−6x 2−3x +91−2x 2x 3−x 2−5x +401)r 2+r 1×x → (

−6x 2−3x +91−2x 6x 3−3x 2−15x +1203)→⋯ (0∗∗−3x +3x −1−2x 2

+2x +3)r 1↔r 2 r 1×(−1

3)

→ (x −1−13(x −1)

2

3x 2−2

3x −1

0∗

∗

)。

所以d (x )=x −1，u (x )=−13

(x −1)，v (x )=23

x 2−2

3

x −1。

注：如果d (x )是f (x )，g (x )在F [x ]中的公因式，则d (x )是f (x )和g (x )的最大公因式的充分必要条件是存在u (x ),v (x )∈F (x )，使得

d (x )=u (x )f (x )+v (x )g (x )

例3.求u (x ),v (x )使u (x )f (x )+v (x )g (x )=( f (x )，g (x ))：

f (x )=x 4+2x 3−x 2−4x −2，

g (x )=x 4+x 3−x 2−2x −2

（P45,6.(1)）

解：f (x )=g (x )q 1(x )+r 1(x )，其中，

{q 1(x )=1r 1(x )=x 3−2x

g (x )=r 1(x )∙q 2(x )+r 2(x ),其中，

{q 2(x )=x +1r 2(x )=x 2−2

r 1(x )=r 2(x )∙q 3(x )+r 3(x ),其中，

{q 3(x )=x r 3(x )=0

所以，r 2(x )=x 2−2是f (x )和g (x )的最大公因式。

因为g (x )=r 1(x )∙q 2(x )+r 2(x ), f (x )=g (x )∙q 1(x )+r 1(x )，所以