数学建模—DVD在线租凭的优化设计修订稿

数学建模—D V D在线租凭的优化设计

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2013年大学生数学建模

题目：DVD在线租赁的优化设计

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DVD在线租赁的优化设计

摘要

本文在满足会员DVD租赁需求的约束条件下，以DVD购买量最小和会员满意度最大为目标，求得最优的DVD购买与分配方案。

通过查找资料确定每张DVD从网站租出到返回网站的服务周期为15天，从而得到每张DVD在一个月内最多可租赁2次。根据问卷调查结果，运用大数定律，得到10万个会员中想观看每种DVD的人数。会员决定观看DVD的时间服从正态分布，由此确定一个月中每天愿意观看此DVD的人数，根据需要满足的会员数量得到网站的最小购买量。

会员的满意度由会员收到DVD的等待时间以及对该DVD的偏爱程度共同决定。为了使满意度与偏爱程度数值上成正比关系，将偏爱程度反序定义。

DVD现有数量已知时，以满意度最大为目标，DVD数量有限等为约束建立0-1整数规划模型。DVD现有数量全部为0时，从网站管理人员的角度，以最小购买量为目标，以95%的会员得到想看的DVD为约束条件求得最小购买量时的购买方案，在此方案的基础上以总的满意度最大为目标进行DVD的优化分配。

通过计算，在服务周期为15天，网站有10万个会员的情况下，为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能看到该DVD，应购买的DVD1-5的数量分别为5000,2500,1250,625,250张；为保证在三个月内至少95%的会员能看到该DVD，应准备的数量分别为3167，1584,792,396,158张。

运用lingo软件求解，得到DVD现有数量已知时会员满意度最大的分配，总满意度为24746（理想最大满意度为27000）.当DVD的数量全部为0时，得到最优购买和分配方案，使一个月95%的会员得到想看的DVD，求得最小购买量为1425张，在最小购买量的基础上实现满意度最大，总满意度为19396.

从网站经营管理员的角度考虑会员的需求及分配，网站根据会员的分布情况，建立一定数量的配送中心可以减少开支，增加收入。

关键字DVD 最优方案lingo

一、问题的提出

本题提供了一种DVD在线租赁业务的经营方式。考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。需考虑以下问题：

网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（附表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对附表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？

附表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

继续考虑附表2，并假设附表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？

如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

二、问题的分析

本问题是在既定经营方式的条件下，以网站购买量最小和会员满意度最大为目标对DVD购买方案和分配方案进行优化设计。

由于会员看完DVD后就将其寄回网站，因此一个月内同一张DVD可以多次寄出，供多个会员观看。我们将每张DVD从网站寄出到返回网站所经历的时间称为一个服务周期。每张DVD可以服务的会员数量是由每张DVD的服务周期所

决定的。整个周期是由寄往会员的时间长度，会员观看的时间长度，寄回网站的时间长度三部分相加而得。通过查找资料和实际情况分析，确定一个服务周期为15天。假设每个月都为30天，则一个月内一张DVD可供2个会员观看。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务，当会员对某种DVD有兴趣时，就提交订单，然后网站进行分配。当会员提交了一次订单后，网站即根据统一安排在适当的时间向该会员寄去一次DVD，其中含三张DVD；若会员再提交订单，网站再重复以上过程。但由于每个会员租赁的次数不能超过两次且DVD数量有限，因此，一个月中，有部分的会员租赁了两次，一部分会员只租赁了一次。

根据对1000个会员的问卷调查得到的愿意观看各DVD的人数，由于各种DVD是相互独立的，根据大数定律，可将各DVD观看人数在总人数中所占比例视为每位会员愿意观看此DVD的概率，从而得到了愿意观看各DVD的人数。将在一个月中会员决定观看DVD的时间视为正态分布，于是可确定每个时间段愿意观看此DVD的人数。根据网站需要满足的会员总数以及不同时段愿意观看各张DVD的人数即可确定每张DVD的需求量。

对于会员所提交的订单，网站需以会员总满意度最大为目标来进行优化分配。会员总满意度是所有会员的满意度之和，而每一个会员的满意度由收到DVD 的等待时间和所收DVD的偏爱程度二者共同决定。因此，在设计分配方案时，应考虑将DVD按会员偏爱程度由高到低依次分配，但同时也要考虑使每位会员得到DVD的时间尽可能短。此处需考虑两个约束条件，即每个会员的租赁次数不得超过两次以及DVD数量有限。由此，我们可以建立一个以满意度最大为目标，以租赁次数和DVD数量为约束的优化模型。

假如DVD的现有数量全部为0，考虑网站购买各种DVD数量，并要使95%的会员得到想看的DVD。由于每个会员每月最多可获得六张DVD，但订单上的数量远多于此，且有可能多个会员愿意观看同样的DVD，因此网站不可能将所有会员的愿望全部满足。因此，将“得到他想看的DVD”等价为“得到的DVD在他想看的若干张DVD范围之内”。因此，只要网站满足了会员需求中的任一需求，就可视为“使会员得到了他想看的DVD”。从网站经营管理人员的角度，为实现利益最大化，应尽可能降低成本，所以应以DVD购买量最小为目标，以95%的会员得到想看的DVD为约束条件，来设计出最优的购买方案。然后在此最小购买量