第五章线性系统状态反馈1

第五章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计

闭环系统性能与闭环极点（特征值）密切相关，经典控制理论用输出反馈或引入校正装置的方法来配置极点，以改善系统性能。而现代控制理论由于采用了状态空间来描述系统，除了利用输出反馈以外，主要利用状态反馈来配置极点。采用状态反馈不但可以实现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现系统解耦和形成最优控制规律。然而系统的状态变量在工程实际中并不都是可测量的，于是提出了根据已知的输入和输出来估计系统状态的问题，即状态观测器的设计。

§5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置

一、状态反馈

1、状态反馈的概念

状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的输入。

设SISO 系统的状态空间表达式为：

bu Ax x

+= cx y =

状态反馈矩阵为k ，则状态反馈系统动态方程为：

)(kx v b Ax x

-+= bv x bk A +-=)( cx y = 式中：

k 为n ⨯1矩阵，即[]11

-=n o

k k k k

，称为状态反馈增益矩阵。

)(bk A -称为闭环系统矩阵。

可见，引入状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，c b 、阵均无变化。

状态反馈系统结构图

【例5.1.1】已知系统如下，试画出状态反馈系统结构图。 u x x

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10020

110010 ， []x y 00

4=

解：[]x k k k v kx v u 21

0-=-=

其中[]21

k k k k =称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵。

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨⎧=+-=+-==1333222142x

y u x x x x x

x x

说 明：如果系统为r 维输入、m 维输出的MIMO 系统，则反馈增益矩阵k 是一个m

r ⨯维矩阵。即 m

r rm r r m

m k k k k k k k k k k ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

2

1

2222111211

2、状态反馈增益矩阵k 的计算

控制系统的品质很大程度上取决于该系统的极点在s 平面上的位置。因此，对系统进行综合设计时，往往是给出一组期望的极点，或者根据时域指标提出一组期望的极点。所谓极点配置问题就是通过对反馈增益矩阵k 的设计，使闭环系统的极点恰好处于s 平面上所期望的位置，以便获得期望的动态特性。

本节只讨论SISO 系统的极点配置问题，因为SISO 系统根据指定极点所设计的状态反馈增益矩阵是唯一的。

定理5.1:

用状态反馈任意配置极点的充要条件是：受控系统可控。

证 明：

（1）充分性：

设受控系统可控，则一定可通过线性变换（即x P x =），将A 、b 化为可控标准型。 ⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡----==--12

1

01

100001000

010

n a a a a

AP P A

， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-100

01 b P b

[]11

-==n CP C βββ

在变换后引入状态反馈增益矩阵k []

11

-=n k k k k

x k v u -=

故变换后的状态反馈系统的动态方程为

v b x k b A x

+-=)( x c y = 其中：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

-

-------=---112

21

100100001000010n n k a k a k a k

a k

b A

闭环特征多项式为

)()(k b A I f --=λλ

)()()(00111

11k a k a k a n n n n +++++++=---λλλ

设闭环系统的期望极点为n λλλ,,,21 ，则系统的期望特征多项式为

)())(()(21*

n f λλλλλλλ---=

*

0*11*1a a a n n n ++++=--λλλ

欲使闭环系统的极点取期望值，只需令

)()(*λλf f = 即

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧=+=+=+---*

000

*

111

*

1

11a k a a k a a k a n

n n

只要适当选择11

0-n k k k

，就可以任意配置闭环极点。

（2）必要性

若受控系统不可控，必有状态变量与u 无关，则[]

11

-=n k k k k

，x k v u -=中

一定有元素不存在，所以不可控子系统的特征值不可能重新配置。

按指定极点配置设计状态反馈增益矩阵k 的一般步骤如下：

（1）对给定可控系统∑),,(c b A ，进行P 变换，即x P x =，化成可控标准型

u b x A x

+= x c y =

其中：AP P A 1-=，b P b 1-=，cP c =

（2）导出在可控标准型下的闭环系统的特征多项式

)(λf )()()(00111

11k a k a k a n n n n +++++++=---λλλ

（3）根据闭环系统极点的期望值，导出闭环系统的期望特征多项式

)(*

λf *0*11*1a a a n n n ++++=--λλλ

（4）确定对于可控标准型下的状态变量x 的反馈增益矩阵k )()(*

λλf f =

[]

)()

()

(1*

11*

10*

0-----=n n a a a a a a k

（5）把k 化成对于给定状态变量x 对应的k 1

-=P k k