浙江省2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题
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四､解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
已知等差数列 满足 数列 是以1为首项公比为3的等比数列.
（1）求 和 ；
（2）令 求数列 的最大项.
18.（本小题12分）
在 Leabharlann Baidu 为 中点 .
（1）若 求 的面积；
（2）若 求 的长.
19.（本小题12分）.
高三年级数学学科
一､单项选择题：本大题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.设 则 （）
A. B.
C. D.
2.已知 为虚数单位则 在复平面上对应的点在（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.设命题 则 的否定为（）
A. B.
C. D.
4.已知数列 为递增数列前 项和 则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
5.已知 则“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型： 其中 为时间（单位： 为环境温度 为物体初始温度 为冷却后温度.假设在室内温度为 的情况下一杯饮料由 降低到 需要 则此饮料从 降低到 需要（）
如图所示在四棱锥 中侧面 是正三角形且与底面 垂直 平面 是棱 上的动点.
（1）当 是棱 的中点时求证： 平面 ：
（2）若 求点 到平面 距离的范围.
20.（本小题12分）
某企业拥有甲､乙两条零件生产线为了解零件质量情况采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件测量其尺寸（单位： ）得到如下统计表其中尺寸位于 的零件为一等品位于 ）和 的零件为二等品否则零件为三等品.
生产线
甲
4
9
23
28
24
10
2
乙
2
14
15
17
16
15
1
（1）完成 列联表依据 的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？
一等品
非一等品
合计
甲
乙
合计
（2）将样本频率视为概率从甲､乙两条生产线中分别随机抽取1个零件每次抽取零件互不影响以 表示这2个零件中一等品的数量求 的分布列和数学期望
（3）已知该企业生产的零件随机装箱出售每箱60个.产品出厂前该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验则每个零件的检验费用为5元并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用现对一箱零件随机检验了20个检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.
C.存在某个位置使
D.线段 长的取值范围是
三､填空题：本大题共4小题每小题5分共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 展开式的二项式系数的和是___________.（用数字作答）
14.已知 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大则展开式中第5项是__________.
15.设函数 是 的导函数.某同学经过探究发现任意一个三次函数 的图像都有对称中心 其中 满足 .已知三次函数 若 则 __________.
9.已知函数 则（）
A. 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位
B. 在 上递减
C. 的图象关于直线 对称
D.当 时 的取值范围是
10.甲袋中有4个红球4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球3个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋分别以 表示事件“取出的是红球”､“取出的是白球”､“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球以 表示事件“取出的是红球”则下列的结论中正确的是（）
A.事件 是两两互斥的事件
B.事件 与事件 相互独立
C.
D.
11.已知 是定义在 上的奇函数当 时 恒成立则（）
A. 在 上单调递增
B. 上单调递减
C.
D
12.如图矩形 中 将 沿直线 翻折成 若 为线段 点满足 则在 翻折过程中（点 不在平面 内）下面四个选项中正确的是（）
A. 平面
B.点 在某个圆上运动
附： 其中
21.（本小题12分）
已知椭圆 的离心率为 左､右焦点分别为 短轴的顶点分别为 四边形 的面积为 （点 在 轴的上方）为椭圆上的两点点 在 轴上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 且直线 与圆 相切于点 求 .
22.（本小题12分）
已知函数 .
（1）若 在区间 上恒成立求实数 的取值范围；
（2）若函数 和 有公切线求实数 的取值范围.
16.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆这个圆被称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆 则C的蒙日圆O的方程为__________；在圆 上总存在点P使得过点P能作椭圆C的两条相互垂直的切线则r的取值范围是__________.（第一空2分第二空3分）
A. B. C. D.
7.已知 分别为椭圆 的左､右焦点过 的直线与 交于 两点若 则 的离心率是（）
A. B. C. D.
8.若不等式 （其中 为自然对数的底数约为2.71828）对一切正实数 都成立则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共4小题每小题5分共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分选对但不全的得2分有选错的或不选的得0分.
17.（本小题10分）
已知等差数列 满足 数列 是以1为首项公比为3的等比数列.
（1）求 和 ；
（2）令 求数列 的最大项.
18.（本小题12分）
在 Leabharlann Baidu 为 中点 .
（1）若 求 的面积；
（2）若 求 的长.
19.（本小题12分）.
高三年级数学学科
一､单项选择题：本大题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.设 则 （）
A. B.
C. D.
2.已知 为虚数单位则 在复平面上对应的点在（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.设命题 则 的否定为（）
A. B.
C. D.
4.已知数列 为递增数列前 项和 则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
5.已知 则“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型： 其中 为时间（单位： 为环境温度 为物体初始温度 为冷却后温度.假设在室内温度为 的情况下一杯饮料由 降低到 需要 则此饮料从 降低到 需要（）
如图所示在四棱锥 中侧面 是正三角形且与底面 垂直 平面 是棱 上的动点.
（1）当 是棱 的中点时求证： 平面 ：
（2）若 求点 到平面 距离的范围.
20.（本小题12分）
某企业拥有甲､乙两条零件生产线为了解零件质量情况采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件测量其尺寸（单位： ）得到如下统计表其中尺寸位于 的零件为一等品位于 ）和 的零件为二等品否则零件为三等品.
生产线
甲
4
9
23
28
24
10
2
乙
2
14
15
17
16
15
1
（1）完成 列联表依据 的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？
一等品
非一等品
合计
甲
乙
合计
（2）将样本频率视为概率从甲､乙两条生产线中分别随机抽取1个零件每次抽取零件互不影响以 表示这2个零件中一等品的数量求 的分布列和数学期望
（3）已知该企业生产的零件随机装箱出售每箱60个.产品出厂前该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验则每个零件的检验费用为5元并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用现对一箱零件随机检验了20个检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.
C.存在某个位置使
D.线段 长的取值范围是
三､填空题：本大题共4小题每小题5分共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 展开式的二项式系数的和是___________.（用数字作答）
14.已知 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大则展开式中第5项是__________.
15.设函数 是 的导函数.某同学经过探究发现任意一个三次函数 的图像都有对称中心 其中 满足 .已知三次函数 若 则 __________.
9.已知函数 则（）
A. 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位
B. 在 上递减
C. 的图象关于直线 对称
D.当 时 的取值范围是
10.甲袋中有4个红球4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球3个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋分别以 表示事件“取出的是红球”､“取出的是白球”､“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球以 表示事件“取出的是红球”则下列的结论中正确的是（）
A.事件 是两两互斥的事件
B.事件 与事件 相互独立
C.
D.
11.已知 是定义在 上的奇函数当 时 恒成立则（）
A. 在 上单调递增
B. 上单调递减
C.
D
12.如图矩形 中 将 沿直线 翻折成 若 为线段 点满足 则在 翻折过程中（点 不在平面 内）下面四个选项中正确的是（）
A. 平面
B.点 在某个圆上运动
附： 其中
21.（本小题12分）
已知椭圆 的离心率为 左､右焦点分别为 短轴的顶点分别为 四边形 的面积为 （点 在 轴的上方）为椭圆上的两点点 在 轴上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 且直线 与圆 相切于点 求 .
22.（本小题12分）
已知函数 .
（1）若 在区间 上恒成立求实数 的取值范围；
（2）若函数 和 有公切线求实数 的取值范围.
16.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆这个圆被称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆 则C的蒙日圆O的方程为__________；在圆 上总存在点P使得过点P能作椭圆C的两条相互垂直的切线则r的取值范围是__________.（第一空2分第二空3分）
A. B. C. D.
7.已知 分别为椭圆 的左､右焦点过 的直线与 交于 两点若 则 的离心率是（）
A. B. C. D.
8.若不等式 （其中 为自然对数的底数约为2.71828）对一切正实数 都成立则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共4小题每小题5分共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分选对但不全的得2分有选错的或不选的得0分.