高中数学教案：直线与圆锥曲线

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高考数学讲义直线与圆锥曲线.参考教案

【例1】直线2y kx =+与椭圆2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=u u u r u u u r （其中O 为坐标原点），求k 的值．【考点】直线与椭圆【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】将2y kx =+代入2213x y +=，得22(13)6230k x kx +++=．由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130(62)12(13)12(31)0k k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩，即213k >．设()()A A B B A x y B x y ，，，，则226231313A B A Bk x x x x k k +=-=++，．由1OA OB ⋅=u u u r u u u r，得2A B A B x x y y +=．而2(2)(2)(1)2()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x +=+++=++++222236253(1)221331k k k k k k -=+⋅-⋅+=++．于是2253131k k -=+．解得6k =±．故k 的值为6±．【答案】6±【例2】已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1F ，2F 分别为椭圆C的左、右焦点．⑴当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；⑵设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为G ，H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．直线与圆锥曲线.参考教案O xyBA【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，浙江高考【解析】⑴因为直线2:02m l x my --=经过()2210F m -，，所以2212m m -=，得22m =又因为 1.m >所以 2.m =故直线l 的方程为210.x y --=⑵设11()A x y ，，22()B x y ，由2222,21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得222104m y my +++=则由22281804m m m ⎛⎫=--=-+> ⎪⎝⎭△，知28m < 且有122my y +=-，212182m y y =-．由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，故O 为12F F 的中点，由2AG GO =u u u r u u u r ，2BH HO =u u u r u u u r ，可知1133x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，，2233y x H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221212()()||.99x x y y GH --=+设M 是GH 的中点，则121266x xy y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知，2||||MO GH <即222212121212()()46699x x y y x x y y ⎡⎤++--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12120.x x y y +<而221212121222m m x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221(1)82m m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，所以210.82m -<即2 4.m <又因为1m >且0>△．所以1 2.m << 所以m 的取值范围是(12)，．【答案】⑴210x y --=；⑵(12)，．【例3】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>短轴的一个端点()0,3D ，离心率12e =．过D 作直线l 与椭圆交于另一点M ，与x 轴交于点A （不同于原点O ），点M 关于x 轴的对称点为N ，直线DN 交x 轴于点B ．⑴求椭圆的方程；⑵求OA OB ⋅u u u r u u u r的值．y xDMNB A O【考点】直线与椭圆【难度】3星【题型】解答【解析】⑴由已知，2,3a b ==．所以椭圆方程为 22143x y +=．⑵设直线l 方程为3y kx =+．令0y =，得3,0A k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．由方程组 2233412y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 可得 ()2234312x kx ++=，即()2234830k xkx ++=．所以 28334M kx k =-+，所以 2228383,33434k k M k k ⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭，2228383,33434k k N k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭．所以 222832333448334DNk k k k kk -+==+．直线DN 的方程为 334y x k=+．令0y =，得43,03k B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以 OA OB ⋅u u u r u u u r =43343k k-⋅-=．【答案】⑴22143x y +=；⑵4．【例4】直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记AOB ∆的面积为S ，⑴求在001k b =<<，的条件下，S 的最大值；⑵当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．【考点】直线与椭圆【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】⑴此时直线方程为y b =，代入椭圆方程解得：221x b =±-，222214121112S b b b b b b =⋅-=-+-=，当且仅当21b b -即22b =（负值舍去）时，S 取到最大值1；⑵联立2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(41)84(1)0k x kbx b +++-=，于是22222(8)16(1)(41)1241kb b k AB kk --+=+=+，又1S =，故原点到直线y kx b =+的距离为2211b Sd AB k ===+，解得：212k =，362b =．故直线AB 的方程是：26y =26y =或26y =+或 26y =．【答案】⑴2b =时，S 取到最大值1； ⑵直线AB 的方程是：26y =26y =或26y =+或 26y =．【例5】已知椭圆C 的焦点是()10,3F -，()20,3F ，点P 在椭圆上且满足124PF PF +=．⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ． ⅰ）求使PAB ∆的面积为12的点P 的个数； ⅱ）设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r，求22λμ+的值．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【解析】⑴ ∵12124PF PF F F +=>∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆 ∵24,3a c == ∴2221b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．⑵ i ）∵ 直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B∴()()1,0,0,2A B --，5AB = 若1122PAB S AB d ∆== ∴55d =∵原点O 到直线:220l x y ++=的距离是2255555=> ∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点设直线:20l x y n '++=与椭圆相切，则 222014x y n y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩有且只有一个交点． ∴228440x nx n ++-=有且只有一个解由0∆=解得22n =（设负）此时，l '与l 间距离为222155-<∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点 ∴符合条件的点P 有2个．ii ）设(),M x y ，则,x y 满足方程：2214y x +=∵ (,)OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r∴()()()(),1,00,2,2x y λμλμ=-+-=--即：2x y λμ=-⎧⎨=-⎩，从而有2xy λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴222214y x λμ+=+=．【答案】⑴2214y x +=；⑵ i ）符合条件的点P 有2个；ii ）222214y x λμ+=+=．【例6】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为63．⑴若原点到直线0x y b +-=的距离为2，求椭圆的方程； ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于,A B 两点． i ）当||3AB =，求b 的值；ii ）对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r，求实数,λμ满足的关系式．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，宣武二模【解析】⑴∵22b d ==，∴2b =．∵63c e a ==，∴2223c a =．∵222a b c -=，∴22243a a -=，解得2212,4ab ==．椭圆的方程为221124x y +=．⑵i ）∵63c a =，∴2222223,23a b c a b ===，椭圆的方程可化为22233x y b += …………①易知右焦点(2,0)F b ，据题意有AB ：2y x b =- ………② 由①，②有：2246230x bx b -+= …………③ 设1122(,),(,)A x y B x y ，222222212122724824||()()(11)23344b b b AB x x y y b -=-+-=+=⋅==∴1b =ii ）显然OA u u u r 与OB u u ur 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM u u u u r，有且只有一对实数,λμ，使得等式OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r 成立．设(,)M x y ，∵1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，∴1212,x x x y y y λμλμ=+=+又点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++= ……………④由③有：21212323,24b b x x x x +==则 222212121212121233(2)(2)432()63960x x y y x x x b x b x x b x x b b b b +=+--=-++=-+=……………⑤又,A B 在椭圆上，故有222222112233,33x y b x y b +=+= …………⑥ 将⑥，⑤代入④可得：221λμ+=．【答案】⑴221124x y +=；⑵i ）1b =；ii ）221λμ+=．【例7】已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，且点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在该椭圆上．⑴求椭圆C 的方程；⑵过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AOB ∆的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【解析】⑴设椭圆C 的方程为22221x y a b +=(0)a b >>，由题意可得12c e a ==，又222a b c =+，所以2234b a =因为椭圆C 经过31,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程有22914134a a +=，解得2a =所以1c =，2413b =-=故椭圆C 的方程为22143x y +=．⑵解法一：当直线l x ⊥轴时，计算得到：31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1113||||13222AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，0k ≠由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222(34)84120k x k x k +++-=显然0∆>成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -⋅=+又2222212121212||()()()()AB x x y y x x k x x =-+-=-+-22221212121()1()4k x x k x x x x =+⋅-=+⋅+-⋅422222644(412)1(34)34k k kk k -=+-++即2222212112(1)||13434k k AB k k k ++=+⋅=++ 又圆O 的半径22|00|||11k k k r k k⨯-+==++ 所以1||2AOB S AB r ∆=⋅⋅222112(1)||2341k k k k+=⋅⋅++226||162347k k k +==+ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得211k =，221817k =-（舍）所以2||221k r k ==+，故圆O 的方程为2212x y +=． ⑵解法二：设直线l 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得22(43)690t y ty +--=因为0∆>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12122269,4343t y y y y t t +=⋅=-++ 所以2121212||()4y y y y y y -=+-⋅22223636(43)43t t t =+++2212143t t +=+ 所以2112216162||||2437AOBt S FO y y t ∆+=⋅⋅-==+ 化简得到4218170t t --=，即22(1817)(1)0t t +-=，解得211,t =221718t =-（舍）又圆O 的半径为22|001|111t r t t-⨯+==++ 所以21221r t ==+，故圆O 的方程为：2212x y +=【答案】⑴22143x y +=；⑵2212x y +=．【例8】已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ．⑴求椭圆C 的方程； ⑵是否存直线l ，满足2PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【解析】⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y += 5分⑵若存在直线l 满足条件，设直线l 的方程为(2)1y k x =-+ 由221,43(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--= 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ．设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y所以222[8(21)]4(34)(16168)0.k k k k k ∆=---⋅+⋅--> 整理，得32(63)0k +>解得12k >-．又21212228(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++且2PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r ．即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=．所以2212(2)(2)(1)||x x k PM --+=54=即212125[2()4](1).4x x x x k -+++=所以222222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++解得12k =±．所以12k =．于是，存在直线l 满足条件，其方程为12y x =．【答案】⑴22143x y+=；⑵12y x =．【例9】已知椭圆22:14y C x +=，过点()03M ，的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），求当3AB <数λ的取值范围．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2009年，西城一模【解析】⑴设()11A x y ，，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以132y =，又因为点()11A x y ，在椭圆C 上，所以221114y x +=，即219116x +=，解得17x = 则点A 的坐标为732⎫⎪⎪⎝⎭，或732⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以直线l 的方程为77210x y -+=或677210x y +-=．⑵设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，()11A x y ，，()22B x y ，，()33P x y ，，当AB 的方程为0x =时，43AB => 当AB 的方程为3y kx =+时：由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得()224650k x kx +++=，所以()()2262040k k ∆=-+>，即25k >，则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，()()1212224334y y kx kx k +=+++=+，因为()()2212123AB x x y y =-+-22226201344k k k k -⎛⎫+- ⎪++⎝⎭216813k -<<，所以258k <<．因为OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r，即()()()112233x y x y x y λ+=，，，，所以当0λ=时，由0OA OB +=u u u r u u u r r ，得122604k x x k -+==+，1222404y y k+==+，上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当0λ≠时，()123264x x k x k λλ+-==+，()1232244y y y k λλ+==+，因为点()33P x y ，在椭圆上，所以()()222261241444k k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得22364k λ=+，因为258k <<，所以234λ<<，则(()2332λ∈-U，．综上，实数λ的取值范围为())2332-U，．【答案】⑴直线l 的方程为677210x y -+=或677210x y +-=．⑵实数λ的取值范围为()2332-U，．【例10】已知直线220x y -+=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线10:3l x =分别交于M N ，两点． ⑴求椭圆C 的方程；⑵求线段MN 的长度的最小值．⑶当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ∆的面积为15？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由． l NMD BSyxOA 【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2009年，福建高考【解析】⑴由已知得，椭圆C 的左顶点为()20A -，，上顶点为()01D ，，∴2a =，1b =．故椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而101633k M ⎛⎫⎪⎝⎭，．由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214161640k x k x k +++-=．设()11S x y ，，则()212164214k x k --⋅=+得2122814k x k -=+，从而12414ky k =+，即2222841414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，，又()20B ，．故直线BS 的方程为()124y x k=--．由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴10133N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故161||33k MN k =+．又0k >，∴1611618233333k k MN k k =+⋅=≥，当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立． ∴14k =时，线段MN 的长度取最小值83．⑶由⑵可知，当MN 取最小值时，14k =，此时BS 的方程为20x y +-=，6455s ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴42BS =要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于15，只须T 到直线BS 的距离等于2，所以T 在平行于BS 且与BS 2的直线l 上．设直线:0l x y t '++=， 242=解得32t =-或52t =-． ①当32t =-时，由2214302x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，得251250x x -+=．由于440∆=>，故直线l '与椭圆C 有两个不同的交点；②当52t =-时，由2214502x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，得2520210x x -+=．由于200∆=-<，故直线l '与椭圆C 没有交点．综上所述，当线段MN 的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T ，使得TSB∆的面积等于15．法二： ⑴同法一⑵设()00S x y ，，则220014x y +=，∴220014x y =-．故2000200012244SA SOy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--．设103MM y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，103N N y ⎛⎫⎪⎝⎭，，则0M y >，0N y <．则9110106442233N N N M SA SO y y y y k k ⋅=⋅==-+-，()169M S y y ⋅-=．故()()823M N M N MN y y y y =+-⋅-=≥，当且仅当()43M N y y =-=时等号成立．即MN 的长度的最小值为83．⑶由⑵可知，当MN 取最小值时，10433N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∵()20B ，，∴1BS BN k k ==-．此时BS 的方程为20x y +-=，6455S ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴42BS =设与直线BS 平行的直线方程为0x y t ++=．由22014x y t x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2258440x tx t ++-=，当直线与椭圆C 有唯一公共点时，有()226420440t t ∆=--=，解得5t =±．当5t =两平行直线:20BS x y +-=与1:50l x y +=间的距离1522d +=；当5t =-时，两平行直线:20BS x y +-=与2:50l x y +=间的距离2522d -=∵15TSO S ∆=，且42BS =TSB ∆在BS 边上的高2d =．∵21d d d <<，∴椭圆C 上存在两个不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．即线段MN 的长度最小时，椭圆C 上仅存在两上不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．【答案】⑴椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵14k =时，线段MN 的长度取最小值83．⑶线段MN 的长度最小时，椭圆C 上仅存在两上不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．【例11】已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；⑶在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，东城二模【解析】⑴由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===．即2243a b =．又因为6311b ==+，所以24a =，23b =．故椭圆C 的方程为22143x y +=．⑵由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． ⑶当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(,)M M M x y ，(,)N N N x y 在椭圆C 上．由22(1)143y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．易知0∆>．所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+，22943M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+u u u u r u u u r 2225125334344(43)m m m +=-=--++．因为20m ≥，所以21133044(43)m --<+≤．所以54,4OM ON ⎡⎫⋅∈--⎪⎢⎣⎭u u u u r u u u r ．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得3(1,)2M ，3(1,)2N -．此时54OM ON ⋅=-u u u u r u u u r ．所以OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【答案】⑴椭圆C 的方程为22143x y +=；⑵OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【例12】在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=u u u r u u u r时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模【解析】⑴∵点M 到()3,0-，()3,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为23的椭圆，其方程为2214x y +=．QPOy x⑵将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得22(14)8240k x kx +++= 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1228214k x x k +=-+，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r．由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【答案】⑴2214x y +=．⑵k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【例13】在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线:2l y kx =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵是否存在常数k ，0OP OQ ⋅=u u u r u u u r？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆【难度】3星【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模【解析】⑴∵点M 到()3,0-，()3,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦距为23的椭圆，QPOy x其方程为2214xy +=． ⑵将2y kx =+，代入曲线C 的方程，整理得22(14)8240k x kx +++= ① 设()11,P x y ，()22,Q x y 由方程①，得 1228214k x x k +=-+，122414x x k =+ ② 又()()()2121212122222y y kx kx k x x k x x ⋅=++=+++ ③若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，得12120x x y y += 将②、③代入上式，解得62k =±．又因k 的取值应满足0∆>，即2410k ->（*），将62k =±代入（*）式知符合题意．【答案】⑴2214x y +=；⑵62k =±．【例14】已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +u u u r u u u r与(31)a =-r ，共线． ⑴求椭圆的离心率；⑵设M 为椭圆上任意一点，且 ()OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r，，证明22λμ+为定值．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2005年，全国高考【解析】⑴设椭圆方程为22221(0)(0)x y a b F c a b+=>>，，，则直线AB 的方程为y x c =-，代入22221x y a b +=，化简得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=．设11()A x y ，，22()B x y ，，则22222121222222a c a c a b x x x x a b a b-+==++，．由1212()(3,1)OA OB x x y y a +=++=-u u u r u u u r r ，，，OA OB +u u u r u u u r 与a r 共线，得12123()()0y y x x +++= 又1122y x c y x c =-=-，， ∴12123(2)()0x x c x x +-++=，∴1232x x c +=，即222232a c c ab =+，所以223a b =，∴226a c a b -，故离心率6c e a ==⑵由⑴知223a b =，所以椭圆22221(0),(,0)x y a b F c a b+=>>可化为22233x y b +=．设()OM x y =u u u u r，，由已知得1122()()()x y x y x y λμ=+，，，，∴1212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩．∵()M x y ，在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=．即222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++=① 由⑴知222212331222c x x a c b c +===，，，22222122238a c a b x x c a b -==+， 212121212121233()()43()3x x y y x x x c x c x x x x c c +=+--=-++222393022c c c =-+=，又22222211223333x y b x y b +=+=，，代入①得221λμ+=．故22λμ+为定值，定值为1．【答案】⑴离心率6e c a ==⑵22λμ+为定值1．【例15】已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，经过点P (2,1)且离心率2e 2=．过定点(10)C -，的直线与椭圆相交于A ，B 两点．⑴求椭圆的方程；⑵在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅u u u r u u u r为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆【难度】3星【题型】解答【解析】⑴设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知可得2222222211a b c ca ab ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得 224,2a b ==．所求椭圆的方程为22142x y +=．⑵设1122(,),(,),(,0)A x y B x y M m当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+．222222(1)(12)4240240y k x k x k x k x y =+⎧⇒+++-=⎨+-=⎩，于是2122412k x x k +=-+，21222412k x x k -=+，2221212121223(1)(1)(1)12k y y k x x k x x x x k =++=+++=-+ 21122121212(,)(,)()MA MB x m y x m y x x m x x m y y ⋅=--=-+++u u u r u u u r22222222443121212k mk k m k k k --=++++++2222(241)412m m k m k +-+-=+2222211(241)(21)(241)42212m m k m m m k +-+-+-+-=+227212(241)212m m m k +=+--+ MA MB ⋅u u u v u u u v是与k 无关的常数，∴7202m +=∴74m =-，即7,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．此时，1516MA MB ⋅=-u u u v u u u v ．当直线AB 与x 轴垂直时，则直线AB 的方程为1x =-．此时点,A B 的坐标分别为661,,1,22⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当74m =-时，亦有1516MA MB ⋅=-u u u r u u u r ．综上，在x 轴上存在定点7,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使MA MB ⋅u u u v u u u v 为常数．【答案】⑴22142x y +=．⑵在x 轴上存在定点7,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使MA MB ⋅u u u v u u u v 为常数．【例16】若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______【考点】直线与双曲线【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】将2y kx =+代入226x y -=，化简得22(1)4100k x kx ---=，150k ∆=⇒= 双曲线的渐近线的斜率为1±，2y kx =+过定点(02)，，数形结合即可得151k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭．【答案】151⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；【例17】过双曲线22112x y -=的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若||4AB =，则这样的直线有_____条【考点】直线与双曲线【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】垂直于x 轴的弦所在的直线，另两条大致如图所示．O yx【答案】3；【例18】过点(02)，与双曲线221916x y -=有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______ 【考点】直线与双曲线【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】两条切线、两条与渐近线平行的直线．【答案】4453⎧⎪±±⎨⎪⎪⎩⎭，；【例19】若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的两支各有一个公共点，求k 的取值范围．【考点】直线与双曲线【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】对应方程有一正根一负根，只需122501x x k -=<-，解得k 的取值范围为(11)-，．【答案】(11)-，【例20】若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个相异公共点，求k 的取值范围．【考点】直线与双曲线【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】将直线1y kx =-代入双曲线方程，整理得：22(1)250k x kx -+-=，设11()P x y ，，22()Q x y ，，(20)A ，，于是有12221k x x k +=--，12251x x k -=-，又直线与双曲线交于右支上两点，故有22420(1)0k k ∆=+->，且120x x +>，120x x >，解得：51k <<．【答案】51k <<【例21】已知不论b 取何实数，直线y kx b =+与双曲线2221x y -=总有公共点，求实数k 的取值范围．【考点】直线与双曲线【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】将y kx b =+代入双曲线方程消去y 得222(21)4(21)0k x kbx b -+++=，当2120k -=即2k =时，若0b =，则y kx b =+为双曲线的渐近线，与双曲线无公共点；当2120k -≠即2k ≠时，依题意有2222164(21)(21)0k b k b ∆=--+≥，化简得： 22221k b +≤对所有实数b 恒成立，而221b +的最小值为1，所以必须221k ≤恒成立，解得22k ，又2k ≠，于是可得k 的范围为22(，．此题也可以画图，用数形结合的思想进行解答．【答案】22⎛ ⎝⎭，【例22】已知以原点O 为中心，()50F，为右焦点的双曲线C 的离心率52e =． ⑴求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；⑵如图，已知过点()11M x y ，的直线111:44l x x y y +=与过点()22N x y ，（其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH △的面积．EO yxH GMN l 2l 1【考点】直线与双曲线【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，重庆高考【解析】⑴设C 的标准方程为()2222100x y a b a b-=>>，，则由题意5c =，又52c e a ==， l 1l 2NMGHxyO EQ因此2a =，221b c a =-=，C 的标准方程为2214x y -=．C 的渐近线方程为12y x =±，即20x y -=和20x y +=．⑵解法一：如图，由题意点()E E E x y ，在直线111:44l x x y y +=和222:44l x x y y +=上，因此有1144E E x x y y +=，2244E E x x y y +=．故点M 、N 均在直线44E E x x y y +=上，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=．设G 、H 分别是直线MN 与渐近线20x y -=及20x y +=的交点，由方程组4420E E x x y y x y +=⎧⎨-=⎩，及4420E E x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，解得22G E E y x y =+，22H E Ey x y =--．设MN 与x 轴的交点Q ，则在直线44R E x x y y +=中，令0y =得4Q Ex x =（易知0E x ≠）．注意到2244EE x y -=，得 1411222OGH G H E E E E ES OQ y y x x y x y =⋅⋅-=⋅++-△222424E E R E x x x y =⋅=-．解法二：设()E E E x y ，，由方程组11224444x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩解得()2112214E y y x x y x y -=-，121221E x x y x y x y -=-．因21x x ≠，则直线MN 的斜率21E 21E4y y xk x x y -==--．故直线MN 的方程为()114EEx y y x x y -=--，注意到1144E E x x y y +=，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=．下同解法一．【答案】⑴C 的标准方程为2214x y -=，C 的渐近线方程为20x y -=和20x y +=；⑵2．【例23】已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，33x =． ⑴求双曲线2的方程；⑵设直线l 是圆22:2O x y +=上动点()()00000P x y x y ≠，处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，证明AOB ∠的大小为定值．【考点】直线与双曲线【难度】4星【题型】解答【关键字】2009年，北京高考【解析】法一：⑴由题意得233.a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1a =，3c =．所以2222b c a =-=．所以双曲线C 的方程为2212y x -=．⑵点()00P x y ，()000x y ≠在圆222x y +=上，圆在点()00P x y ，处的切线l 的方程为()0000x y y x x y -=--，化简得002x x y y +=．由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得：()222000344820x x x x x --+-=．因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，且2002x <<，所以20340x -≠，且()()22200016434820x x x ∆=--->．设A B ，两点的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，，则01220434x x x x +=-，2012208234x x x x -=-．因为cos OA OBAOB OA OB⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，且()()121212010220122OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+--u u u r u u u r()212012012201422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦- ()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦2200220082280334x x x x --=+=-，所以AOB ∠的大小为90︒．法二： ⑴同法一．⑵点()00P x y ，()000x y ≠在圆222x y +=上，圆在点()00P x y ，处的切线l 的方程为()0000x y y x x y -=--，化简得002x x y y +=．由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=，得 ()22200344820xx x x x --+-=， ①()22200348820xy y y x -+-+=． ②因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，所以2340x -≠．设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则2012208234x x x x -=-，2012202834x y y x -=-．所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r．所以AOB ∠的大小为90︒．（因为22002x y +=且000x y ≠，所以22000202x y <<<<，，从而当20340x -≠时，方程①与方程②的判别式均大于0）【答案】⑴2212y x -=;⑵AOB ∠的大小为90︒．【例24】已知点100()P x y ，为双曲线222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于2P ．⑴求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程；⑵设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点111(0)Q x y y ≠（，），直线QB ，QD 分别交y 轴于M N ，两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．（焦点在x 轴上的标准双曲线的准线方程为2a x c=±）F 2F 1P 2P 1P Ay xO【考点】直线与双曲线【难度】4星【题型】解答【关键字】2009年，江西高考【解析】⑴由已知得2(30)F b ，，083A b y ⎛⎫⎪⎝⎭，，则直线2F A 的方程为：03(3)y y x b b=--，令0x =得09y y =，即20(09)P y ，，设P x y （，），则0000 2952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即0025x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入22002218x y b b -=，得222241825x y b b -=，即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b -=．⑵在22221225x y b b-=中令0y =得222x b =，则不妨设()20B b ，，()20D b ，，于是直线QB 的方程为：112)2y x b x b =++，直线QD 的方程为：)1122y x b x b=-，可得11202by M x b ⎛ +⎝，，11202by N x b ⎛- -⎝，，则以MN 为直径的圆的方程为： 2111122022by by x y y x b x b ⎛++= +-⎝，令0y =得222122122b y x x b =-，而11Q x y （，）在22221225x y b b -=上，则222112225x b y -=，于是5x b =±，即以MN 为直径的圆过两定点(50)b -，，(50)b ，．【答案】⑴22221225x y b b -=；⑵以MN 为直径的圆过两定点(50)b -，，(50)b ，．【例25】点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（）A ．直线l 上的所有点都是“A 点”B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“A 点”【考点】直线与抛物线【难度】5星【题型】选择【关键字】2009年，北京高考【解析】设(1)P a a -，，200()A x x ，，则由PA AB =且三点共线可得B 点的坐标为 200(221)x a x a --+，，由B 点在抛物线上知： 2222000021(2)44x a x a x ax a -+=-=-+，整理得：22002410x ax a a -++-=．从而知0x 为方程222410x ax a a -++-=的解，当此方程有解时，对应的点(1)P a a -，为“A 点”．而此方程的判别式222168(1)8(1)0a a a a a ∆=-+-=-+>恒成立，故选A ．该题是所有选择题中最难的，也可以算是唯一的难题，解决直线与圆锥曲线问题的常规方法联立方程利用韦达定理不适合此题，所以需要将题目的条件进行合适的转化．【答案】A ；【例26】如图抛物线1C ：22y px =和圆2C ：22224p p x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，其中0p >，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为（）A ． 24pB ． 23pC ． 22pD ．2pODC B Ayx【考点】直线与抛物线【难度】星【题型】选择【关键字】2010年，宣武一模【解析】此题宜取特殊值．不妨设直线l 的方程为2px =，于是分别联立l 与12,C C ，解得,,,,,,,222222p p p p p p A p B C D p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．于是2224p p p AB CD ⋅=⋅=u u u r u u u r ．【答案】A ；【例27】已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(0)M p ，作一弦PQ ，则2211MP MQ+=u u u r u u u u r _______．【考点】直线与抛物线【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线PQ 的斜率不存在时，方程为x p =，解得2MP MQ ==u u u r u u u u r，从而222221111122p p pMPMQ+=+=u u u r u u u u r ．直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为()y k x p =-，代入22y px =中，消去x 得：222222(1)0k x p k x k p -++=，22222211221111()()x p y x p y MP MQ+=+-+-+u u u r u u u u r22221211x p x p =+++222122222122()()x x p x p x p ++=++（*）又21222(1)p k x x k ++=，212x x p =，故2222221212122484()22p p x x x x x x p k k+=+-=++，代入（*）式得：2222422222422248*********p p p k k p p p MP MQ p p p k k +++==⎛⎫+++ ⎪⎝⎭u u u r u u u u r ．综上知，222111p MP MQ+=u u u r u u u u r ．【答案】21p ；【例28】已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的距离减去它到y 轴距离的差是1．⑴求曲线C 的方程；⑵是否存在正数m ，对于过点(0)M m ，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<u u u r u u u r?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】直线与抛物线【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，湖北高考【解析】⑴设()P x y ，是曲线C 上任意一点，那么点()P x y ，满足：22(1)1(0)x y x x -+-=>，化简得24(0)y x x =>．⑵设过点(0)M m ，(0)m >的直线l 与曲线C 的交点为12()A x y ，，22()B x y ，，设l 的方程为x ty m =+，由24x ty m y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=，216()0t m =+>△，于是121244y y ty y m +=⎧⎨=-⎩①又12(1)FA x y =-u u u r ，，22(1)FB x y =-u u u r ，， 12121212120(1)(1)()10FA FB x x y y x x x x y y ⋅<⇔--+=-+++<u u u r u u u r②又24y x =，于是不等式②等价于2222121212104444y y y y y y ⎛⎫⋅+-++< ⎪⎝⎭ 2212121212()1()210164y y y y y y y y ⎡⎤⇔+-+-+<⎣⎦ ③ 由①式，不等式③等价于22614m m t -+< ④对任意实数t ，24t 的最小值为0，所以不等式④对于一切，成立等价于 2610m m -+<，即322322m a -<<+．由此可知，存在正数m ，对于过点(0)M m ，，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<u u u r u u u r，且m 的取值范围是()322322-+，．【答案】⑴24(0)y x x =>；⑵()322322-+，．【例29】已知抛物线24C y x =∶的焦点为F ，过点(10)K -，的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．⑴证明：点F 在直线BD 上；⑵设89FA FB ⋅=u u u r u u u r ，求BDK △的内切圆M 的方程．【考点】直线与抛物线【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，全国高考【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠⑴将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+= 从而124y y m +=，121y y =直线BD 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=⋅-- 即2222144y y y x y y ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭ 令0y =，得1214y y x == 所以点(1F ，0)在直线BD 上．⑵由①知：21212(1)(1)42x x my my m +=--=-，1212(1)(1)1x x my my =--=因为11(1)FA x y =-u u u r，，22(1)FB x y =-u u u r ，， 212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=-+=-+++=-u u u r u u u r故28849m -=，解得43m =±所以l 的方程为：3430x y ++=，3430x y -+= 又由①知：2214(4)4473y y m +=±-⨯=± 故直线BD 的斜率：21437y y =±- 因而直线BD 的方程为：3730x y +-=，3730x y --=因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(0)M t ，(11)t -<<，(0)M t ，到t 及BD 的距离分别为315t +，314t +．由313|1|54t t ++=，解得19t =，或9t =（舍去），故圆M 的半径3|1|253t r +== 所以圆M 的方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠⑴将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+=。

教学设计1：2.5直线与圆锥曲线

2.5直线与圆锥曲线一、教学目标（一）知识目标1、掌握用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系，进一步体会曲线方程的解与曲线上点的坐标之间的关系；2、领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用；3、理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧；（二）能力目标1、通过多媒体课件的演示，培养学生发现运动规律、认识规律的能力.2、培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．（三）情感目标1、通过课件的演示获得培养学生探索数学的兴趣.2、通过师生、生生的合作学习，树立竞争意识与合作精神，感受学习交流带来的成功感，激发提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。

二、教学重点与难点重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用；难点：等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。

三、方法指导：1、在研究直线与圆锥曲线的交点个数问题时，不要仅由判别式进行判断，一定要注意二次项的系数对交点个数的影响。

2、涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用点差法较为简便。

3、要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。

应用判别式，可以确定直线和圆锥曲线的位置关系，确定曲线中的参数取值范围，求几何极值等。

应用韦达定理，可以解先相交时的弦长问题，弦的中点问题或最值问题。

4、要重视方程思想、等价转换思想、分类讨论、数形结合等数学思想的运用。

四、教具准备：多面体课件。

五、教学过程（一）基础整合直线与圆锥曲线的位置关系的判断：【注意】：①当a=0时，即得到一个一次方程，则直线与C 相交，且只有一个交点，此时，若曲线C 为双曲线，则直线平行与渐近线；若曲线C 为抛物线，则直线平行与抛物线的对称轴。

②直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．2．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为A (x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。

直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课教案

①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。

③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。

①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。

①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。

直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。

该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。

该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。

点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。

直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。

求参数的取值范围。

根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。

指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。

<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。

②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。

联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。

(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。

直线与圆锥曲线的位置关系教案

直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。

2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。

二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。

2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。

3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。

4. 直线与圆锥曲线的应用问题。

三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。

2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。

3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。

四、教学准备1. 教学课件和教学素材。

2. 直尺、圆规等绘图工具。

3. 练习题和答案。

五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。

2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。

3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。

4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。

6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。

六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。

2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。

七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。

2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。

八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。

九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。

2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。

十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。

2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。

3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。

直线与圆锥曲线的位置关系(1)(教学设计)——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

一、教材内容及其解析1.内容类比直线与圆的关系，探究直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的弦长问题，与双曲线有关的中点弦问题，与抛物线有关的最值问题.2.内容解析直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线知识应用的重点内容，本节课是学生在学习了直线与圆的位置关系，圆锥曲线的方程和简单的几何性质的基础上，进一步研究直线与圆锥曲线的位置关系，让学生感悟数形结合及方程思想的运用.学生可以类比直线与圆的三种位置关系的探究过程，学习从代数的角度归纳直线与圆锥曲线位置关系.弦长公式的推导使用了两点间距离公式，从公式本身可以发现弦长与交点的确定坐标无关，因此可以大大简化计算.中点弦问题考查的内容较为综合，点差法是学生需重点掌握的方法.与弦长有关的问题，从不同的角度体现了根的判别式、根与系数关系、点差法等知识在判断位置关系中的作用.坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁，集中地体现了数形结合的数学思想，这种思想贯穿了整个“圆锥曲线的方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法.通过本节的学习，学生可以巩固前面所学的圆锥曲线的性质以及直线的基本知识，从而培养逻辑思维能力、运算能力、分析和解决问题的能力等.知识的上下位关系：双曲线和抛物线由于图形不是封闭的，学生容易完全借鉴直线与圆的位置关系，认为有一个交点就是相切.直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系对交点个数的影响，学生容易讨论不完全或斜率范围取错.中点弦问题中，学生在已知信息中只能发现中点坐标与斜率的一部分关系，难以建立它们之间的联系.3.问题解决策略通过改变直线斜率，直观感受它对直线与双曲线位置关系的影响；中点弦的问题中，设置层层递进的问题串，带领学生挖掘题目中的隐含信息，发现交点、中点、斜率彼此之间的关系. 4.教学难点点差法求中点弦问题，体会直线斜率和中点坐标的内在联系. 四、教学支持条件分析使用GGB 软件作图，展示直线斜率对交点个数的影响五、课堂活动设计【本课时教学流程图】【一】复习回顾【引言】前面我们学习了直线的方程、圆的方程，并且探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，那么判断直线与圆的位置关系的方法有什么？【教师引导，学生回忆】生：几何法，利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系.生：代数法，将直线方程与圆方程联立，通过判别式化为方程组的解的问题. 生：利用几何性质，当直线过定点，定点在圆的内部，此时直线与圆一定相交. 请你回忆并补充下表：位置关系公共点个数图形判断方法（几何）判断方法（代数）相交 2d r < 0∆>类比直线与圆的位置关系从数和形的角度探究直线与双曲线的位置关系探究求弦长的两种方法探究中点弦问题，体会“点差法”探究抛物线的最值问题相切1d r =0∆=相离d r >0∆<师：在初中，我们判断直线与圆的位置关系是看公共点的个数，这种判定是直观地定性描述，当直线与圆无限接近时，从图形上我们无法判断，因此我们无法做到严格地定量刻画.现在我们应用了方程思想和数形结合的思想通过判别式的情况来判断直线与圆的位置关系，它们是否可以推广应用到直线与圆锥曲线的位置关系中，我们继续来研究下面的例题.直线与圆锥曲线也有相应的位置关系，是不是一样可以从数和形的角度来判断呢？来看下面的例题.【二】例题导学任务一：探究直线与圆锥曲线的位置关系【例1】判断双曲线22136x y -=与过其右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线的位置关系.问题1：如何判断二者的位置关系，说说你的想法. 师：如果此时直线的斜率是2，你有什么发现？生：直线与双曲线只有一个交点.师：前面我们知道了，与双曲线渐近线平行的直线和双曲线只交与一点.若此时直线的倾斜角变为30︒，斜率为33，你能从图形上说说这一变化吗？生：直线倾斜角变小，又经过右焦点，所以与双曲线左右两支各交于1点.追问1：当直线仍过右焦点，请你结合图像，讨论直线斜率与交点个数的关系？（GGB 演示） ① 2个交点：当b b k k aa<->或时，与右支双曲线有2交点；当b b k aa -<<时，与两支各有1交点；设计意图：复习判断直线与圆的位置关系的方法，再一次明确位置关系可以从几何和代数两个角度判断，提出直线与圆锥曲线位置关系的判定问题.当二次项系数为0时，此时bk a=±.追问2：这时直线的斜率会对位置关系产生什么影响？生：直线斜率与双曲线渐近线的斜率相等，因此直线与双曲线只有一个公共点.师：需要注意，直线与圆，直线与椭圆只有一个公共点时是相切的位置关系.当直线与双曲线渐近线平行时，有一个公共点，此时我们叫做直线与双曲线相交.追问3：你能说说判断直线与圆锥曲线的位置关系一般方法吗？需要特别注意什么？师生共同总结：判断位置关系，既可以从代数角度：联立方程组→判断Δ与0的关系→公共点的个数→直线与圆锥曲线的位置关系.特别需要注意，当二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.还可以数形结合，当直线过定点时，根据定点位置和直线斜率和双曲线渐近线斜率的大小关系确定其位置关系.课下思考题：探究直线y kx m =+与抛物线22y px =的位置关系. 当直线和圆锥曲线相交于两点时，就有了弦，那么如何来求弦长呢？任务二：探究弦长公式, 体会“设而不求”【例2】如图，过双曲线22136x y -=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线,A B 两点，求AB .问题3：当直线与双曲线相交时，如何求两点间的弦长？【教师引导学生思考、交流，学生动手实践】生：直接求出交点坐标，利用两点间距离公式进行求解.方法一：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，因为直线AB 的倾斜角是30︒，且直线经过右焦点2F ，所以直线AB 的方程为3(3)3y x =- 由223(3)3136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y ，得256270x x +-=. 解方程，得1293,,5x x =-=将12,x x 的值分别带入直线方程，得122323,,5y y =-=- 于是,A B 两点的坐标分别为923(3,23),(,),55---所以22222121923163||()()(3)(23).555AB x x y y =-+-=--+-+=(3,1)A-当3k=-4故所求直线方程为师：（若学生没想到，教师适当引导）③弦解法二（点差法）：设1122(,),(,)M x y N x y ，,M N 均在双曲线上，221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减，得2222212121212121,44()x x y y x x y y x x y y --+=-∴=-+， A MN 点平分，12123=6,4x x y y k ∴++∴=-，=-2， 31(3),3450.4y x x y +=--+-=即经验证，该直线MN 存在.故所求直线方程为31(3),3450.4y x x y +=--+-=即师：我们又一次发现，虽然设了交点坐标，但并没有解出它们，而是在它们与我们需要的直线斜率之间搭了一个桥梁，“设而不求”解决中点弦问题.像这样设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点带入圆锥曲线方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”.存在中点弦的区域：事实上，如图，双曲线和渐近线将平面直角坐标系分成如下3个区域，若点M 在区域①内，不存在以该点为中点的弦；若点M 在区域②或③，存在以该点为中点的弦.因此对本题而言，如图，当3x =时，渐近线上32y =-，双曲线上52y =-，因此点(3,1)M -在双曲线右设计意图：本题主要考查了直线与双曲线的综合问题，解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.，在学生相互交流讨论，师生的互动交流中，感受点差法“设而不求”的巧妙，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来相互转化，体会数学的严谨性，使学生综合问题的解决能力得到训练.支内部，存在以M 为中点的弦.思考题.已知双曲线2212yx -=过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点， P 能否是线段AB 的中点？为什么？解: 假设存在过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点. 设过(1,1)P 的直线方程为1(1)y k x -=-，A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，①，② ①-②得12121212()()()()02y y y y x x x x +-+--=.由P 为AB 的中点，则12122,()2,x x y y +=+=则12122y y x x -=-，即直线AB 的方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，代入双曲线2212y x -=，可得22430,x x -+=检验判别式16240∆=-<，方程无解.故不存在过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.拓展：（1）证明在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20020(0)b x k y a y =-≠,22OP b k k a⨯=-（P 不是坐标原点）.（2）证明在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20020(0)b x k y a y =≠.设计意图：点差法来解决中点弦问题时计算量较少，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，因此需要用判别式加以检验.⊥是否成立，并说明理由OA OB已知抛物线22=y x6。

直线与圆锥曲线的交点教案

课题：直线与圆锥曲线的交点【三维目标】1、知识与技能：能从“数”和“形”角度判断直线和圆锥曲线的位置关系。

2、过程与方法：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力。

3、情感态度与价值观：通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。

【教学重点、难点与关键】1、重点：利用“代数”或“几何”的方法解决直线和圆锥曲线的位置关系。

2、难点：在开放式教学中让学生自己发现问题，提出问题。

3、关键点：帮助学生寻找“数”、“形”之间的联系。

【教学方法与手段】教学方法：开放式、探究式教学。

教学手段：利用教学软件几何画板辅助教学。

【教学过程及说明】一、引例：已知椭圆C ：24x +22y =1，直线l ：y=ax+b ①请你具体给出a ，b 的一组值，使直线l 和椭圆C 相交。

②直线l 和椭圆C 相交时，a ，b 应满足什么关系？③若a+b=1，试判定直线和椭圆C 的位置关系。

分析：y=ax+b②联立方程：24x +22y =1，消去y ，得：（1+2a 2）x 2+4abx+2b 2-4=0 (*) 则△=（4ab ）2-4（1+2a 2）（2b 2-4）＞0 整理得： b 2-4a 2＜2③思路一：（1-a ）2-4a 2=-3a 2-2a+1=3（a+31）2+34＜2恒成立。

所以直线l 和椭圆相交。

思路二：直线y=ax+（1-a ）过点（1，1）而点（1，1）在椭圆内部，所以直线和椭圆相交。

引例设计说明：问题①是个开放题，结果不唯一。

学生可以分别从形与数这两个角度考虑这个问题，给出一组符合题意的a ，b 的值。

问题②是在问题①基础上的提升，探求直线和椭圆相交时的一般情况。

切入本节课的主题。

也为后面比较直线和双曲线位置关系的代数处理的异同点，做个铺垫。

问题③的提出，是对问题①②的呼应。

它可以从“直线l 过定点（1，1）”的几何角度去解。

高三数学《直线与圆锥曲线位置关系》说课稿

高三数学《直线与圆锥曲线位置关系》说课稿高三数学《直线与圆锥曲线位置关系》说课稿作为一名专为他人授业解惑的人民教师，时常要开展说课稿准备工作，通过说课稿可以很好地改正讲课缺点。

那么什么样的说课稿才是好的呢？以下是小编整理的高三数学《直线与圆锥曲线位置关系》说课稿，仅供参考，欢迎大家阅读。

目的要求1、能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系，并会用方程法讨论直线与两类（封闭与非封闭）曲线的位置关系。

2、弦长公式的理解与灵活运用。

3、通过曲线焦点的弦的弦长问题的处理，能运用圆锥曲线的第二定义以求简化运算，使解题过程得到优化。

本节重点：1、直线与曲线的位置关系。

2、数形结合思想的渗透。

本节难点：1、非封闭曲线，尤其是双曲线与直线位置关系的讨论。

2、充分运用新旧知识的迁移，从数与形两方面深刻理解相关结论，构建完整的知识体系。

3、在掌握共性的（方程法）基础上，注意个性（距离法），防止负迁移，做到特殊问题能特殊处理。

教学过程一、要点归纳：如何解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，方程法是通用的方法，相应方程组的解的个数就是二者交点的个数，若有两个交点，则交点连线的长度就是相应的弦长。

基本内容包括：（一）、位置关系的.分类讨论：1、直线与封闭曲线（圆与椭圆）：以直线与椭圆为例：因为，所以可以直接讨论判别式：直线与曲线相离（0个交点）。

直线与曲线相切（1个交点）。

直线与曲线相交（2个交点）。

注意：对于直线与圆的位置关系的讨论，除此之外，我们常通过圆心和直线的距离与半径的大小关系来判定。

2、直线与非封闭曲线（双曲线与抛物线）：以直线与双曲线为例：(1)、即时，方程有唯一解，直线与渐近线平行，位置关系是相交，且只有一个交点。

（2）、时，讨论判别式：直线与曲线相离（0个交点）。

直线与曲线相切（1个交点）。

直线与曲线相交（2个交点）。

归纳指出：对于非封闭曲线，直线与其仅有一个交点，只是二者相切的一个必要条件，而非充分条件！（二）、直线与曲线相交——弦长问题：设直线与曲线相交于，两交点坐标的唯一来源是方程组，下面的弦长公式很显然：（消元后是关于x的方程）或（消元后是关于y的方程）结合图象，弄清楚公式的导出方法，是为至要！特别指出：抛物线的焦点弦性质丰富多彩，以为例，若直线过焦点，关键是注意两点：（1）、巧设直线方程：（2）、根据定义求弦长：。

高一数学直线与圆锥曲线精品教案

城东蜊市阳光实验学校专题〔二〕直线与圆锥曲线主干知识整合：直线与圆锥曲线联络在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的断定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考察了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的才能、计算才能较高，起到了拉开考生“档次〞，有利于选拔的功能. 经典真题感悟： 1.〔卷15〕过抛物线22(0)xpy p =>的焦点F 作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点〔A 在y 轴左侧〕，那么AF FB =．132(2021年卷)假设过点A(4,0)的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公一一共点,那么直线l 的斜率的取值范围为()A.[B.(C.[D.( 3(2021年---宁夏卷)设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,那么三角形AFB 的面积为___________. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0(*)(ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23,又k≠±2,故当k ＜－2或者者－2＜k ＜2或者者2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点.③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或者者k=23，或者者k 不存在时，l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或者者－2＜k ＜2,或者者k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l 与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，那么2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB=2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.(2)假设Q(1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在. 考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些互相联络、互相制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来非常方便。

直线与圆锥曲线教学设计

直线与圆锥曲线一、教学目标1、能够正确熟练地解决直线和圆锥曲线位置关系的一些问题。

2、能够正确运用圆锥曲线的定义和标准方程解决焦点弦问题、焦点三角形问题、弦中点问题。

二、教学难点直线与圆锥曲线的位置关系，几何图形和代数方程的相互转化。

三、知识梳理 1、直线与圆锥曲线的位置关系：（1）几何角度：无公共点，一个公共点，两个公共点；（2）代数角度：将直线0=++C By Ax 与圆锥曲线联立得02=++c bx ax ；① 若a=0，当圆锥曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行（或重合） ② 若a ≠0,设ac b 42-=∆当∆ > 0时，直线与圆锥曲线交于不同的两点；当∆ < 0时，直线与圆锥曲线相切与一点；当∆ = 0 时，直线与圆锥曲线无公共点。

2、弦长问题：斜率为k 的直线与圆锥曲线交于),(),,(2211y x Q y x P ，则||1||122x x k PQ -+=或||11||122y y k PQ -+=。

四、课前热身1、直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，设直线m 的斜率为k 1,直线OM 的斜率为k 2,则k 1*k 2=2、已知直线y=2x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有交点，则双曲线离心率的范围为3、过点P （0，2）的直线和抛物线x y 82=交于A 、B 两点，若线段AB 的中点M 在直线X=2上，求|AB|=4、若直线3)2(+-=x k y 和曲线42-=x y 有两个不同的公共点，则k的范围为____________5、已知直线l: 01243=+-y x 经过椭圆C 的一个焦点和短轴的一个顶点，求椭圆的标准方程及离心率。

五、典型题析热点一直线与圆锥曲线的位置关系问题例1、若曲线ax y =2与直线1)1(-+=x a y 恰有一个公共点，求实数a 的值解析: 若0=a ，则曲线变为y=0，与直线y=x-1必有一个交点；若0≠a ，则由⎩⎨⎧=-+=axy x a y 21)1(得，01)23()1(22=++-+x a x a① 当0)1(2=+a 即1-=a 时，01=+x 1-=∴x 有一个公共点； ②当0)1(2≠+a 时，0)1(4)23(22=+-+=∆a a54-=∴a 有一个公共点。

高中高三数学《直线和圆锥曲线的参数方程》教案、教学设计

（二）教学设想
1.针对重点内容，采用以下教学策略：
（1）通过直观的动态演示，帮助学生理解参数方程的几何意义，增强直观感知；
（2）设计具有层次性的例题和练习，逐步引导学生掌握参数方程的应用；
（3）结合实际情境，激发学生探究参数方程的兴趣，提高学习积极性。
2.针对难点内容，采用以下教学策略：
（1）以小组合作的形式，让学生在讨论和交流中，共同探讨参数方程的推导过程，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力；
高中高三数学《直线和圆锥曲线的参数方程》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本章节主要围绕“直线和圆锥曲线的参数方程”展开，使学生掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握直线、椭圆、双曲线和抛物线的参数方程；
2.学会运用参数方程解决直线和圆锥曲线的相关问题；
3.能够运用坐标系和参数方程描述直线和圆锥曲线的运动变化；
（8）教学评价：通过课堂提问、作业批改等方式，了解学生的学习情况，及时调整教学策略。
4.关注学生个体差异，实施差异化教学：
（1）针对基础薄弱的学生，加强基础知识的学习，提高其学习信心；
（2）针对学有余力的学生，适当拓展课外知识，培养其创新能力和数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动设计：以生活中的实例导入，如一颗行星在椭圆轨道上绕太阳运动，引导学生思考如何描述行星的运动轨迹。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
（1）直线和圆锥曲线参数方程的推导过程；
（2）参数方程与普通方程互化的方法；
（3）如何运用参数方程解决实际问题。
2.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，引导学生深入探讨参数方程的内涵和实际应用。

直线与圆锥曲线的位置关系教案

直线与圆锥曲线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系；2. 学会运用直线与圆锥曲线的性质解决问题；3. 提高推理能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质及应用。

教学难点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质的灵活运用。

教学准备：1. 教材或教学资源；2. 投影仪或白板；3. 粉笔或教学板书。

教学过程：第一章：直线与圆锥曲线的位置关系简介1.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系，例如：在平面直角坐标系中，给定一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何判断一条给定的直线与该圆锥曲线的位置关系（相交、切线、平行、远离）？1.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，包括：（1）相交：直线与圆锥曲线有两个不同的交点；（2）切线：直线与圆锥曲线有一个交点，且该交点为切点；（3）平行：直线与圆锥曲线没有交点；（4）远离：直线与圆锥曲线相离，没有交点。

1.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识判断直线与圆锥曲线的位置关系，并解释原因。

1.4 小结总结本章内容，强调直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法及应用。

第二章：直线与圆锥曲线的性质2.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的性质，例如：在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何描述它们的交点、切点等特征？2.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的性质，包括：（1）交点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的交点坐标；（2）切点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的切点坐标；（3）斜率：直线与圆锥曲线相交时，交点的切线斜率与直线的斜率的关系；（4）距离：直线与圆锥曲线的距离公式。

2.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识描述直线与圆锥曲线的交点、切点等特征，并计算相关距离和斜率。

直线与圆锥曲线教学设计

直线与圆锥曲线广汉中学黄华祯考情分析：直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等.本节课就直线与圆锥曲线位置关系判定、通过直线与圆锥曲线位置关系求参数范围以及直线与圆锥曲线相交时，有关相交弦长求解问题进行教学。

一、教学目标1、知识与技能：掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定。

2、过程与方法：学生通过观察分析，会用代入法求解直线与圆锥曲线的有关问题。

3、情感、态度与价值观：加强数形结合思想的训练与应用，提高学生的空间想象力和直观想象素养。

二、教学重难点：重点：直线与圆锥曲线位置关系、求解弦长。

难点：直线与圆锥曲线问题与其他知识融合考察，合理使用题中条件。

三、学法与教学用具学法：学生通过自主探究分析，体验计算以及数形结合解题的过程。

教学用具：多媒体。

四、教学过程：知识回顾1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与二次曲线C ：f (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元，如果消去y 后得：ax 2＋bx ＋c ＝0， (1)当a ≠0时，①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________； ②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________； ③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________．(2)注意消元后非二次的情况，即当a ＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________．注：直线方程涉及斜率k 要考虑其不存在的情形．例题讲练、知识回顾2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题(1)直线l ：y ＝kx ＋m 与二次曲线C ：f (x ，y )＝0交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，f （x ，y ）＝0得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________，则弦长||AB ＝．例题讲解3.巩固练习1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C ．相交D ．无法确定2．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线l 交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若|AB |＝8，则y 21＋y 22等于( )3．已知A ，B 为双曲线x 2－y 29＝1上两点，且线段AB 的中点坐标为(－1，－4)，则直线AB 的斜率为( ) A.32 B.94 C ．－94 D ．－324．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A.455 B.4105 C.8105 D.8557．若斜率为k (k >0)的直线l 过双曲线C ：y 2－x 24＝1的上焦点F ，与双曲线C 的上支交于A ，B 两点，且F A →＋3FB →＝0，则k 的值为( )A.22B.33C.55D.19198．(2023·全国乙卷)设A ，B 为双曲线x 2－y 29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是( )A ．(1,1)B ．(－1,2)C ．(1,3)D ．(－1，－4)二、填空题9．已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4没有公共点，则k 的取值范围为________________．12．(2023·荆门模拟)过点P ′(2,0)作斜率为1的直线交抛物线y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线x ＝－2交x 轴于点Q ，连接QA ，QB ，则直线QA ，QB 的斜率之和为________．三、解答题13．若椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝－1有相同的焦点．(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过点(1,0)，且被椭圆E 截得的线段长为32，求直线l 的方程．。

直线与圆锥曲线的位置关系教案

直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线与圆锥曲线的位置关系；（2）学会运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探索直线与圆锥曲线的位置关系；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神，提高学生的表达沟通能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系；（2）运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。

2. 教学难点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系的判断；（2）灵活运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。

三、教学过程1. 导入：（1）复习相关知识点，如直线、圆锥曲线的定义及性质；（2）提出问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。

2. 探究：（1）分组讨论，让学生观察直线与圆锥曲线的位置关系，总结规律；（2）每组派代表分享探究成果，师生共同总结直线与圆锥曲线的位置关系。

3. 讲解：（1）讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法；（2）举例说明如何运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。

4. 练习：（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）挑选部分练习题进行讲解，解答学生疑问。

5. 总结：（1）回顾本节课所学内容，让学生梳理知识体系；（2）强调直线与圆锥曲线位置关系在实际问题中的应用。

四、课后作业1. 完成课堂练习题；2. 选取一个实际问题，运用直线与圆锥曲线的性质进行解答；3. 预习下一节课内容。

五、教学反思1. 反思教学效果：（1）学生对直线与圆锥曲线的位置关系的掌握程度；（2）学生运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题的能力。

2. 改进措施：（1）针对学生掌握不足的地方，进行有针对性的讲解和练习；（2）提供更多实际问题，让学生锻炼运用所学知识解决问题的能力。

六、教学评价1. 学生自评：（1）评价自己在课堂学习中的表现，如参与度、理解程度等；（2）反思自己在课后作业中的表现，如完成情况、解决问题能力等。

高中数学教案第8讲直线与圆锥曲线

第8讲直线与圆锥曲线1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有□1相交、□2相切、□3相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C ＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx ＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C□4相交；Δ＝0时，直线l与曲线C□5相切；Δ＜0时，直线l与曲线C□6相离.②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的□7渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的□8对称轴平行或重合.2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝□91＋k2|x1－x2|＝□10（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]或|AB|＝□111＋1k2|y1－y2|＝□12（1＋1k2）[（y1＋y2）2－4y1y2]，k为直线斜率且k≠0.常用结论与椭圆有关的结论(1)通径的长度为2b2a；(2)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则k P A·k PB＝－b2a2；(3)若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.()(2)直线y＝x与椭圆x22＋y2＝1一定相交.()(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.()(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2.回源教材(1)直线y＝kx＋1与椭圆x216＋y24＝1的位置关系为()A.相离B.相交C.相切D.无法确定解析：B由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，而(0，1)在x216＋y24＝1内，故直线与椭圆相交.(2)过抛物线y＝14x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝.解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0，1)，直线AB的方程为y＝33x＋1，即x＝3(y－1).x2＝4y，x＝3（y－1）消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝103，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝16 3 .答案：16 3(3)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A，B两点.若∠AMB＝90°，则k＝.解析：因为抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，所以直线AB的方程为y＝k (x －1)2＝4x ，＝k （x －1），可得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，k ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋2k 2k 2＝4k 2＋2，x 1x 2＝1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k ，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4.因为M (－1，1)，所以MA →＝(x 1＋1，y 1－1)，MB →＝(x 2＋1，y 2－1)，因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝0，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理可得，x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋2＝0，所以1＋2＋4k 2－4－4k＋2＝0，得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.答案：2直线与圆锥曲线位置关系的判断例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点.解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，2x ＋m ，①＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.反思感悟在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x (或y )，得到关于y (或x )的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.训练1(1)若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A.1个B.至多1个C.2个D.0个解析：C 因为直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，所以9m 2＋n 2＞3，即m 2＋n 2＜9，所以m 29＋n 216≤m 29＋n 29＜1，即点(m ，n )在椭圆x 29＋y 216＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有2个.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过双曲线C 的右焦点F ，且倾斜角为60°的直线l 与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为.解析：∵直线l 的斜率k l ＝tan 60°＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则ba ＜3，∴e ＝c a＝1＋b 2a2＜2，故1＜e ＜2.答案：(1，2)弦长问题例2过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于A ，B两点，则|AB|＝.解析：∵椭圆方程为x22＋y2＝1，∴焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0).∵直线AB过左焦点F1，倾斜角为60°，∴直线AB的方程为y＝3(x＋1)，将直线AB方程与椭圆方程联立消去y，得7x2＋12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1＋x2＝－127，x1x2＝47，∴|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝427，因此|AB|＝1＋（3）2·|x1－x2|＝82 7.答案：82 7反思感悟求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式.(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.训练2已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.(1)求椭圆M的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆M交于C，D两点，点P(2，0)，直线PC的斜率为12，求线段CD的长度.解：(1)因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22＝ca＝1－（ba）2，过椭圆右焦点的弦长的最小值为2b2a＝2，所以a＝2，c＝2，b＝2，所以椭圆M的方程为x24＋y22＝1.(2)设直线PC的方程为y＝12(x－2)，联立直线PC与椭圆M的方程得12（x－2），＋y22＝1，化简整理得3x2－4x－4＝0，则x P＋x C＝43，因为点P(2，0)，所以C点坐标为(－23，－43)，所以可得直线l的方程为y＋43＝x＋23，即y＝x－23.联立直线l与椭圆M的方程，消去y得3x2－83x－289＝0，解得x1＝－23，x2＝149，所以|CD|＝1＋12×|x1－x2|＝2×209＝2029.中点弦利用中点弦确定直线或曲线方程例3(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－y29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()A.(1，1)B.(－1，2)C.(1，3)D.(－1，－4)解析：D法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，21－y219＝1，22－y229＝1，两式作差，得x21－x22＝y21－y22 9，即(x1－x2)(x1＋x2)＝（y1－y2）（y1＋y2）9，化简得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）（x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝9，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 22x 1＋x 22＝k AB ·y 0x 0＝9，因此k AB ＝9·x0y 0.由双曲线方程可得渐近线方程为y ＝±3x ，如图.对于A ，因为k AB ＝9×11＝9＞3，所以直线AB 与双曲线无交点，不符合题意；对于B ，因为k AB ＝9×－12＝－92＜－3，所以直线AB 与双曲线无交点，不符合题意；对于C ，k AB ＝9×13＝3，此时直线AB 与渐近线y ＝3x 平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D ，因为k AB ＝9×－1－4＝94＜3，所以直线AB 与双曲线有两个交点，满足题意.法二：选项中的点均位于双曲线两支之间，故A ，B 分别在双曲线的两支上且不关于原点对称，设线段AB 的中点坐标为(x 0，y 0)，则|k AB |＝9|x0y 0|＜3，即|y 0|＞3|x 0|，结合选项可知选D.反思感悟用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤对称问题例4已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，长轴长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 过定点E (14，0)，若椭圆C 上存在两点A ，B 关于直线l 对称，求直线l 斜率k 的取值范围.解：(1)因为椭圆的离心率为e ＝c a ＝12，长轴长为2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)易知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝k (x －14)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点的坐标为(x 0，y 0)x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得3(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，即3kx 0＝4y 0.又y 0＝k (x 0－14)，解得x 0＝1，y 0＝3k4.因为线段AB 的中点在椭圆内部，所以x 204＋y 203＜1，即14＋（3k 4）23＜1，解得－2＜k ＜2.所以直线l 斜率k 的取值范围是(－2，2).反思感悟训练3(2024·衡水模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2，1)，求直线l的方程.解：(1)因为离心率e＝ca＝22，所以a＝2c，因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝42，故椭圆C的标准方程为x232＋y216＝1.(2)由题意得，直线l的斜率存在.设A(x1，y1)，B(x2，y2)x2132＋y2116＝1，x2232＋y2216＝1，两式相减得x21－x2232＋y21－y2216＝0，所以y1－y2x1－x2＝－12·x1＋x2y1＋y2.因为AB的中点坐标为(－2，1)在椭圆内部，所以y1－y2x1－x2＝1，所以直线l的斜率为1，故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.限时规范训练(六十四)A级基础落实练1.直线y＝kx－k与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析：A直线y＝kx－k可化为y＝k(x－1)，所以直线恒过点(1，0).又129＋024＜1，即(1，0)在椭圆的内部，所以直线y＝kx－k与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为相交.2.直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)解析：Bx＋2，＋y23＝1，得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ＞0且m≠3及m＞0，得m＞1且m≠3.3.已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，过M的右焦点F(3，0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(2，1)，则椭圆M的方程为()A.x2 9＋y26＝1 B.x24＋y2＝1C.x2 12＋y23＝1 D.x218＋y29＝1解析：D直线AB的斜率k＝1－02－3＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程可得x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减，整理得2a2－1b2＝0，又c＝3，a2＝b2＋c2，联立解得a2＝18，b2＝9.所以椭圆M的方程为x218＋y29＝1.4.过椭圆x212＋y24＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为()A.x－y－3＝0B.x＋y－2＝0C.2x＋3y－3＝0D.3x－y－10＝0解析：B过椭圆x212＋y24＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为3x12＋（－y）4＝1.即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，与直线l垂直的直线的斜率为－1，过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝()A.2 3B.2 3C.－23D.－23解析：C由题意，F1(－2，0)，F2(2，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即|－2＋m|2＝2×|2＋m|2，解得m＝－23或m＝－32(此时直线与椭圆C不相交，舍去)，故选C.6.(多选)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则()A.y 1y 2为定值B.k 1k 2为定值C.y 1＋y 2为定值D.k 1＋k 2＋t 为定值解析：ABD＝ty ＋4，2＝4x ，得y 2－4ty －16＝0，1＋y 2＝4t ，1y 2＝－16.对于A ，y 1y 2＝－16为定值，故A 正确；对于B ，k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2y 21y 2216＝16y 1y 2＝－1为定值，故B 正确；对于C ，y 1＋y 2＝4t ，不为定值，故C 错误；对于D ，k 1＋k 2＋t ＝y 1x 1＋y 2x 2＋t ＝x 2y 1＋x 1y 2x 1x 2＋t ＝（ty 2＋4）y 1＋（ty 1＋4）y 2y 21y 2216＋t ＝2ty 1y 2＋4（y 1＋y 2）y 21y 2216＋t ＝－32t ＋16t16＋t ＝－t ＋t ＝0为定值，故D 正确.7.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是.解析：可求得Q (－2，0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，结合Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1.综上，直线l 的斜率的取值范围为[－1，1].答案：[－1，1]8.已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为.解析：y 2＝1，x ＋m ，消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得2（x 1＋x 2）2－8x 1x 2＝423，解得m ＝±1.答案：±19.(2024·保定模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 作斜率为5的直线l 与C 交于M ，N 两点，若线段MN 中点的纵坐标为10，则F 到C 的准线的距离为.解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得y 21－y 22＝2px 1－2px 2，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，因为M ，N 两点在斜率为5的直线l 上，所以y 1－y 2x 1－x 2＝5，所以由(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)得5(y 1＋y 2)＝2p ，因为线段MN 中点的纵坐标为10，所以y 1＋y 2＝210，则5×210＝2p ，p ＝52，所以F 到C 的准线的距离为5 2.答案：5210.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0).(1)求该双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围.解：(1)由题意设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知－3k 2≠0，＝（－62k ）2－4×（1－3k 2）×（－9）＞0，A ＋x B ＝62k1－3k 2＜0，A x B ＝－91－3k2＞0，∴33＜k ＜1.∴k 的取值范围是(33，1).11.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线y 26－x 22＝1的渐近线相同，且经过点(2，3).(1)求双曲线C 的方程；(2)已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2，倾斜角为34π，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，求△F 1AB 的面积.解：(1)设所求双曲线C 的方程为y 26－x 22λ(λ≠0)，代入点(2，3)得326－222＝λ，即λ＝－12，∴双曲线C 的方程为y 26－x 22＝－12，即x 2－y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由题意得直线AB 的方程为y ＝－(x －2)，即x ＋y －2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y －2＝0，2－y 23＝1，得2x 2＋4x －7＝0，满足Δ＞0且x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2×|x 1－x 2|＝1＋（－1）2×（－2）2－4×（－72）＝2×32＝6，点F 1(－2，0)到直线AB ：x ＋y －2＝0的距离d ＝|－2＋0－2|2＝2 2.所以S △F 1AB ＝12|AB |·d ＝12×6×22＝6 2.B 级能力提升练12.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则()A.p ＝2B.|MN |＝83C.以MN 为直径的圆与l 相切D.△OMN 为等腰三角形解析：AC对于A ，因为直线y ＝－3(x －1)经过抛物线C 的焦点，且直线与x 轴的交点为(1，0)，所以抛物线C 的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，即p ＝2，所以A 选项正确；对于B ，法一：不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＜x 2，＝－3（x －1），2＝4x ，1＝13，1＝233，2＝3，2＝－23，所以M (13，233)，N (3，－23)，所以由两点间距离公式可得|MN |＝（3－13）2＋（－23－233）2＝163，故B 选项错误；法二：不妨设M (x1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＜x 2，＝－3（x －1），2＝4x ，消去y 并整理得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝3.由抛物线的定义得，|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163，故B 选项错误；法三：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＝－3（x －1），2＝4x ，消去y 并整理得3x 2－10x ＋3＝0，则Δ＝64＞0，x 1＋x 2＝103，x 1x 2＝1，所以由弦长公式得|MN |＝1＋3×（103）2－4×1＝163，故B 选项错误；法四：易知直线＝－3(x －1)的倾斜角为2π3，所以|MN |＝2×2sin 22π3＝163，故B 选项错误；对于C ，法一：由以上分析易知，l 的方程为x ＝－1，以MN 为直径的圆的圆心坐标为(53，－233)，半径r ＝12|MN |＝83＝53＋1，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 选项正确；法二：由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C 选项正确；对于D，由B中法一知M(13，233)，N(3，－23)，所以由两点间距离公式可得|OM|＝133，|ON|＝21，又|MN|＝163，故D选项错误.综上，选AC.13.(多选)(2024·金华调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F1(－3，0)和F2(3，0)的连线的斜率之积等于13，记点P的轨迹为曲线E，直线l：y ＝k(x－2)与E交于A，B两点，则()A.E的方程为x23－y2＝1(x≠±3)B.E的离心率为3C.E的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切D.满足|AB|＝23的直线l有两条解析：ACD设点P(x，y)，由已知得yx＋3·yx－3＝13，整理得x23－y2＝1，所以点P的轨迹曲线E的方程为x23－y2＝1(x≠±3)，故A正确；又离心率e＝23＝233，故B不正确；圆(x－2)2＋y2＝1的圆心(2，0)到曲线E的渐近线y＝±33x的距离d＝212＋（±3）2＝1，又圆(x－2)2＋y2＝1的半径为1，故C正确；直线l与曲线E的方程联立得k （x －2），y 2＝1（x ≠±3），整理得(1－3k 2)x 2＋12k 2x －12k 2－3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝144k 4－4(1－3k 2)(－12k 2－3)＝12(k 2＋1)＞0，且1－3k 2≠0，有x 1＋x 2＝－12k 21－3k 2，x 1x 2＝－12k 2－31－3k 2，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·231＋k 2|1－3k 2|＝23（1＋k 2）|1－3k 2|，要满足|AB |＝23，则需23（1＋k 2）|1－3k 2|＝23，解得k ＝0或k ＝1或k ＝－1，当k ＝0时，不妨令A (3，0)，B (－3，0)，而曲线E 上x ≠±3，所以满足条件的直线l 有两条，故D 正确.14.(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.解：(1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2＜|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1).(2)设T (12，t )，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为零，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1(x －12)(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2(x －12)(k 2≠0)，－t ＝k 1（x －12），2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1(t －k 12)x －(t －k 12)2－16＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )(x A ＞12，x B ＞12)，由题意知16－k 21≠0，则x A x B ＝－（t －k12）2－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1（t －k12）16－k 21，所以|TA |＝1＋k 21|x A －12|＝1＋k 21(x A －12)，|TB |＝1＋k 21|x B －12|＝1＋k 21(x B －12)，则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)(x A －12)(x B －12)＝(1＋k 21)[x A x B －12(x A ＋x B )＋14]＝(1＋k 21)[－（t －k 12）2－1616－k 21－12·2k 1（t －k12）16－k 21＋14]＝（1＋k21）（t2＋12）k21－16同理得|TP|·|TQ|＝（1＋k22）（t2＋12）k22－16.因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以（1＋k21）（t2＋12）k21－16＝（1＋k22）（t2＋12）k22－16，所以k22－16＋k21k22－16k21＝k21－16＋k21k22－16k22，即k21＝k22，又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.。

直线与圆锥曲线的位置关系教案

直线与圆锥曲线的位置关系教案第一章：直线与圆锥曲线的基本概念1.1 直线的基本概念直线的定义直线的性质直线的方程1.2 圆锥曲线的基本概念圆锥曲线的定义圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程第二章：直线与圆锥曲线的交点2.1 直线与圆的交点直线与圆的位置关系直线与圆的交点个数直线与圆的交点坐标求解方法2.2 直线与椭圆的交点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数直线与椭圆的交点坐标求解方法2.3 直线与双曲线的交点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的交点个数直线与双曲线的交点坐标求解方法第三章：直线与圆锥曲线的切点3.1 直线与圆的切点直线与圆的位置关系直线与圆的切点性质直线与圆的切点坐标求解方法3.2 直线与椭圆的切点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的切点性质直线与椭圆的切点坐标求解方法3.3 直线与双曲线的切点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的切点性质直线与双曲线的切点坐标求解方法第四章：直线与圆锥曲线的距离4.1 直线与圆的距离直线与圆的位置关系直线与圆的距离公式直线与圆的距离求解方法4.2 直线与椭圆的距离直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的距离公式直线与椭圆的距离求解方法4.3 直线与双曲线的距离直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的距离公式直线与双曲线的距离求解方法第五章：直线与圆锥曲线的应用5.1 直线与圆的相切问题直线与圆相切的条件直线与圆相切的应用实例直线与圆相切的解题方法5.2 直线与椭圆的相切问题直线与椭圆相切的条件直线与椭圆相切的应用实例直线与椭圆相切的解题方法5.3 直线与双曲线的相切问题直线与双曲线相切的条件直线与双曲线相切的应用实例直线与双曲线相切的解题方法第六章：直线与圆锥曲线的对称性6.1 直线与圆的对称性直线与圆的对称性质直线与圆的对称变换直线与圆的对称问题实例与解法6.2 直线与椭圆的对称性直线与椭圆的对称性质直线与椭圆的对称变换直线与椭圆的对称问题实例与解法6.3 直线与双曲线的对称性直线与双曲线的对称性质直线与双曲线的对称变换直线与双曲线的对称问题实例与解法第七章：直线与圆锥曲线的相交弦7.1 直线与圆的相交弦直线与圆的相交弦性质直线与圆的相交弦公式直线与圆的相交弦问题实例与解法7.2 直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦性质直线与椭圆的相交弦公式直线与椭圆的相交弦问题实例与解法7.3 直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦性质直线与双曲线的相交弦公式直线与双曲线的相交弦问题实例与解法第八章：直线与圆锥曲线的焦点8.1 直线与圆的焦点直线与圆的焦点性质直线与圆的焦点问题实例与解法直线与圆的焦点应用8.2 直线与椭圆的焦点直线与椭圆的焦点性质直线与椭圆的焦点问题实例与解法直线与椭圆的焦点应用8.3 直线与双曲线的焦点直线与双曲线的焦点性质直线与双曲线的焦点问题实例与解法直线与双曲线的焦点应用第九章：直线与圆锥曲线的综合问题9.1 直线与圆的综合问题直线与圆的位置关系的综合应用直线与圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.2 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系的综合应用直线与椭圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与椭圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.3 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的position 关系的综合应用直线与双曲线的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与双曲线的对称性、相交弦、焦点的综合应用第十章：直线与圆锥曲线的拓展与提升10.1 直线与圆锥曲线的拓展问题直线与圆锥曲线的特殊位置关系问题直线与圆锥曲线的创新性问题实例与解法直线与圆锥曲线的综合应用提升10.2 直线与圆锥曲线的解题策略与方法直线与圆锥曲线的分类讨论方法直线与圆锥曲线的数形结合方法直线与圆锥曲线的构造法与方程法10.3 直线与圆锥曲线的教学反思与评价直线与圆锥曲线教学的重点与难点直线与圆锥曲线教学的方法与技巧直线与圆锥曲线教学的评价与反思重点和难点解析1. 第一章：直线与圆锥曲线的基本概念重点关注直线和圆锥曲线的定义、性质和方程。

高中数学 8.4直线与圆锥曲线的关系(二)教学案

§8.4直线与圆锥曲线的关系（二）【复习目标】在计算直线与圆锥曲线相交弦长或弦中点等有关问题时，能够运用一元二次方程根与系数的关系简化运算，12||x x -=（或2212))(11(y y k-+其中k 为直线的斜率），计算相交弦长；在计算圆锥曲线过焦点弦长时，能够运用“点到焦点距离与点到准线距离之比等于e ”简捷地算出焦半径长；能够利用圆锥曲线的几何性质，通过“数”与“形”的结合，快捷准确地睦线与圆锥曲线的关系。

【课前预习】直线y = 2x-1与曲线C 交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点. 若|x 1-x 2|=2,则|AB|= ，若|y 1-y 2|=2,则|AB|= 。

过抛物线y 2=4x 的焦点F ，作抛物线的弦MN,设M(x 1 y 1)、N(x 2 y 2)若x 1+x 2=6则MN= 。

双曲线的实轴长为2a,F 1、F 2是它的两个焦点,设弦AB 过F 1点,且端点A 、B 均在双曲线的同一支上，|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等差数列，则|AB|= 。

斜率为３的直线交椭圆192522=+y x 于Ａ、Ｂ两点，则线段ＡＢ中点Ｍ的坐标满足方程 A ．x y 253= B ．x y 253-= C ．x y 325= D ．x y 325-=（）【典型例题】例1 已知椭圆1222=+y x 及点B(0,-2)，过椭圆的左焦点F 1与B 的直线交椭圆于C 、D 两点，椭圆的右焦点为F 2 求△CDF 2的面积。

例2 椭圆ax 2+by 2=1与直线x+y=1相交于A 、B 两点，C 为AB 中点若|AB|=22, O 为坐标原点，OC 的斜率为22，求a 、b.例3 已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线C ：221x y -=相交于A 、B 两点，若2OA OB OT +=，求直线l 的方程。

【巩固练习】直线y=kx 交抛物线y 2=7x 于O 、A 两点，若OA 中点的横坐标为2，则k= 。

直线与圆锥曲线教案

直线与圆锥曲线教学目标：1．熟练掌握直线与圆锥曲线三种位置关系的数与形的一一对应；2．熟练掌握解决直线与圆锥曲线相关问题的常用方法；3．培养学生熟练运用数形结合、方程和转化的数学思想解决数学问题的能力。

教学重点、难点：重点：1．直线与圆锥曲线位置关系的判定；2．点差法的应用。

难点：点差法的综合应用。

教学过程：复习归纳：直线:0l Ax By C ++=与圆锥曲线():,0C f x y =的位置关系有哪些？相离，相切、相交；一般如何判定？考察直线与曲线的公共点个数；如何利用代数方法来判定？联立直线与曲线方程，考察消去y （或x ）后的方程的解的情况。

归纳：()200000,0Ax By C A x B x C f x y ++=⎧⎪⇒++=⎨=⎪⎩ 把研究直线与圆锥曲线的问题转化为研究方程组解的问题当00A ≠时：相离0⇔∆<，相切0⇔∆=；相交0⇔∆>；(1)当 A0=0 时，若一次方程有解，则只有一解，即直线与圆锥曲线只有一个交点此时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与渐近线平行若圆锥曲线为抛物线，则直线与对称轴平行或重合问题探究：已知双曲线22:22C x y -=与点()1,2P ，求过P 点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个公共点，两个公共点，没有公共点。

解析：考查直线与双曲线公共点个数问题，实际上是研究联立方程消去y （或x ）后得到的新方程是否有实数解或实数解的个数问题，在解题过程中要注意二次项系数的讨论。

解：设():21l y k x -=-()()()2222222222246012x y k x k k x k k y k x ⎧-=⎪⇒-+--+-=⎨=-+⎪⎩ （＊） ()()()()22224242461632k k k k k k ⇒∆=-+--+=-(1)当220k -=即k =l 与C 有一个交点；当2200k ⎧-≠⎨∆=⎩即32k =时，方程（＊）有一解，则l 与C 有一个交点，∴当k =32时，l 与C 有一个交点。

教学设计4：§2.5直线与圆锥曲线

§2.5直线与圆锥曲线一、教学目标1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、教材分析1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)问题提出1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．应用例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.如图.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？解直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ①x 24＋y 22＝1 ② 将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③ 这个关于x 的一元二次方程③的判别式 Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144. (1)由Δ>0，得－32<m <3 2.于是，当－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点. (2)由Δ＝0，得m ＝±3 2.也就是当m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)由Δ<0，得m <－32或m >3 2.从而当m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.例2 已知点A (0，2)和抛物线C ：y 2=6x ，求过点A 且与抛物线C 相切的直线l 的方程.解：当直线l 斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x =0. 由206x y x=⎧⎨=⎩得y 2=0.因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0，0)，即直线l 与抛物线C 相切. 如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =kx +2. 这个方程与抛物线C 的方程联立，得方程组226y kx y x=+⎧⎨=⎩ 由方程组消去x ，得方程 ky 2-6y +12=0.①当k =0时，得-6y +12=0,可知此时直线l 与抛物线相交于点2(,2)3. 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ=36-48k .由 Δ=0，得k =34，可知此时直线l 与抛物线C 由两个互相垂直重合的公共点，即它们相切，直线l 的方程为32,4y x =+ 即3x -4y +8=0.因此，直线l 的方程为x =0，或3x -4y +8=0.直线与圆锥曲线相交由两个焦点时，这条直线上以这两个焦点为观点的线段叫做圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长.简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段.例3 已知斜率为2的直线经过椭圆22154x y +=右焦点F 2，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长.解：椭圆的右焦点F 2的坐标为（1,0），直线AB 的方程为y =2(x -1).由方程组222(1)154y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1102x y =⎧⎨=-⎩225343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此A (0，-2),B 54(,)33，从而得弦AB 的长||AB ==3= 例4 有一椭圆形溜冰场，长轴长100m ，短轴长60m.现要在这溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解析】因为椭圆和矩形都是中心对称图形，又矩形的各顶点在椭圆上，所以它们有同一个对称中心.同时，椭圆关于长轴、短轴分别所在的直线都对称，可知此矩形也关于这两条直线都对称.因此，以这两条直线建立平面直角坐标系，可利用椭圆的方程及矩形所要满足的条件来解决问题.解：分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，如图建立直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上.因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD 关于原点O 即x 轴，y 轴都对称.已知椭圆的长轴长 2a =100(m)，短轴长2b =60(m)，则椭圆的方程为222215030x y +=设顶点A 的坐标为（x 0,y 0），x 0>0,y 0>0,则22002215030x y +=因此222200230(50)50y x =-根据矩形ABCD 的对称性，可知它的面积S =4x 0y 0.由于2222220000230(50)50x y x x =⋅-242200230(50)50x x =-+ 2242202305050[()].5024x =---+ 因此，当 220502x =时，x 02y 02达到最大值，同时S =4x 0y 0也达到最大值.这时00252,152x y == 矩形ABCD 的周长为004()4(252152)1602x y +=+=m因此在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距252m （约35.35m ）的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点，这个矩形区域的周长为1602 m ，约等于226.27m.(三)小结：本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件． (四)布置作业1.顶点的原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得弦长|AB |＝35，求抛物线方程．解设抛物线y 2＝ax (a ≠0)，将y ＝2x －4代入得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即x 1，x 2为方程4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0的两个根，则有x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，|x 1－x 2|＝（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（a ＋164）2－16.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5·（a ＋164）2－16. 又∵|AB |＝35，∴a ＝4或a ＝－36.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .2.已知椭圆x 29＋y 24＝1及点D (2，1)，过点D 任意引直线交椭圆于A 、B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解设M (x ，y )、A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k ，则⎩⎪⎨⎪⎧4x 12＋9y 12＝36，4x 22＋9y 22＝36.①②①－②得4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∵M (x ，y )为AB 中点， ∴x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y . ∴4×2x (x 1－x 2)＋9×2y (y 1－y 2)＝0. 当x 1≠x 2时，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 9y .又k ＝y －1x －2，∴y －1x －2＝－4x 9y .化简得4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.∵当x 1＝x 2时，中点M (2，0)满足上述方程， ∴点M 的轨迹方程为4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.。

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