第四章_二阶线性偏微分方程的分类与总结
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Q(l, m) a11l 2 2a12lm a22m2 0
的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应 地定义方程在一点的类型如下：
若方程(4.1)的主部系数 a11, a12 , a22 在区域Ω中某一点(x0，y0)满足
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；
的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1
(x,y)和η=φ2 (x,y)，方程(4.6)的系数
a11 0；。a22 0
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
u (3)utx
0
a2 2u x 2
0,u
x
l
f (x,t) 0
u t0 (x)
0 x l,t 0 t0 0 xl
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§3 三类方程的比较
§3-2 解的性质的比较——差异
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§3 三类方程的比较
§1.1 线性方程的叠加原理 §1.2 解的性质的比较 §1.3 定解问题的提法比较
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§3 三类方程的比较
现在我们以前面各章对三类典型方程的研究为基 础，就双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程这三种 不同类型的方程的解的性质、定解问题的提法等方面 进行分析和总结。我们将看到：这三类方程在其系数 的代数性质上的差别实际上反映着许多本质的差异。
设u(x,t, M )是下面方程的解：
u t
a2
2u x 2
f
(x,t, M )
(x,t) G
(3.6)
若M D, (x,t) G ，U (x,t) u(x,t, M )dM
D
在积分号下对t 求导一次，对 x可求导两次，则U (x,t)在G
上是下面方程的解：
U
t
a2
作自变量代换 y ; y x
(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简 单的函数形式,即η=x 或η=y)
于是，原方程化简后的标准形式为： u 0
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
练习题：例1、2，P 100~101； 习题2、3，P 102~103。
数学物理方程
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式 特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如 下的形状
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 4.1
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
换代入方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式
a122 a11a22 0,
u u A1u B1u C1u D1
a122 a11a22 0,
u A1u B1u C1u D1
a122 a11a22 0,
§1-1 两个自变量的方程
在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法)的学习中，我们 已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手段， 通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易 求解的方程转化为容易求解的。
方程(4.1)的二阶导数项 a11uxx 2a12uxy a22u yy 4.2
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
a11(
dy dx
)2
2a12
dy dx
a22
0
4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。
例如，空气动力学中，对于定常Euler方程而言，它在亚音速流动中表现为 椭圆型方程，在超音速流动中表现为双曲型，在跨音速流动中表现为混合型。 而对于非定常Euler方程而言，它始终表现为双曲型。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-3 方程的分类
例题：把方程 x2uxx + 2xyuxy + y2u yy = 0 分类并化为标准形式
k 1
在G内对t可以逐项求导一次，对x可逐项求导两次，则和函数
u(x,t) ckuk (x,t)
(3.4)
k 1
是非下面齐次方程的解.
u
t
a2
2u x 2
ck
k 0
fk (x,t)
(x,t) G
(3.5)
数学物理方程
叠加原理III
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§3 三类方程的比较
§3-1 线性方程的叠加原理——共性
线性方程的共性是满足叠加原理。
前面的学习中，我们多次利用叠加原理把一个复杂的问题转 化为若干个简单的问题进行求解。分离变量法和齐次化原理实 际上都是叠加原理的具体应用。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
如果uk (x,t)是(3.1)的，它们的无限线性组 合仍然是解 .
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
叠加原理II
设uk (x,t),k 1,2,3 ,是下面方程的解
u t
a2
2u x 2
fk (x,t)
(x,t) G
(3.3)
如果级数
ck uk ( x,t)
称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主 部可以得到简化。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。
为此我们作下面的自变量变换
(x, y), (x, y) 4.3
a22 a112x 2a12xy a222y
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果 我们能选择到方程
a11x2 2a12xy a22y2 0 4.8
解：该方程的 (2xy)2 4x2 y2 0 故该方程是抛物型的。
显然，该方程的特征方程为：
x2 ( dy)2 2xy( dy) y2 0
dx
dx
dy y dx x
dy dx ln y ln x yx
从而得到方程的一族特征线为： x / y C
u u Au Bu Cu D
4.12
4.13 4.14
这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-3 方程的分类
由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种 标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。
相应地， (4.12)、(4.13)和(4.14)这三个方程分别称为双曲型、 抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。
数学物理方程
f (x,t) 0
0 x t0
l, t
0
v t0 0
0 xl
wwtx0
a2 2w x 2
0,v
xl
0 0
x l,t t0
0
w t0 (x) 0 x l
则u(x,t) v(x,t) w(x,t)是下面方程的解：
叠加原理I
（以热传导方程为例）
设uk (x,t), k 1,2,3 ,是下面方程的解：
u a2wk.baidu.com2u (x, t) G
(3.1)
t
x 2
如级数
u(x, t) ckuk (x, t) k 1
(3.2)
在G内收敛并且对t 可逐项求导一次，对 x可逐项求导两
次，则和函数在G内仍然是（3.1）的解
在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微 的，且雅可比行列式
J D( ,) x y
4.4
D(x, y) x x
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆 的，也就是存在逆变换
显然方程(4.9)可以分解为两个方程
dy dx
(a12
dy dx
(a12
a122 a11a22 ) / a11 a122 a11a22 ) / a11
4.10 4.11
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
这样根据 a122 a11a2的2 符号不同，我们可以选取相应的变
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程 的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类 §3 三类方程的比较
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、 热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特 殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一 般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往 往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们 将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶 线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深 入的分类和总结。
举例：y
2u x 2
2u y 2
0
容易看出，如果点(x0，y0)上方程(4.1)表现为双曲型或椭圆型，那么一定存 在该点的一个领域，使方程在这个领域内是双曲型或椭圆型的。但如果这个 点上方程(4.1)表现为抛物型，则不一定存在一个领域，使方程在这个领域 内表现为抛物型。
按照刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的，一维热传导 方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。前面我们已经知道，以上 三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。这也从侧面说明 了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简 §1.3 方程的分类
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二 阶线性偏微分方程的分类问题。
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-3 方程的分类
如果方程在区域Ω中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域Ω中是双
曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在区域
Ω中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上 表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域Ω中称为混合型的。
x x( ,), y y( ,) 4.5
也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量ξ,η表示为
a11u 2a12u a22u b1u b2u cu f 4.6
运用复合函数的求导法则
a11 a112x 2a12xy a222y a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 4.7
2U x 2
f ( x, t, M )dM ( x, t ) G (3.6' )
D
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
叠加原理IV
设 v( x, t ) 是下面方程的解
w( x, t ) 是下面方程的解：
v vtx
0
a2 2v x 2
0,v xl
的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应 地定义方程在一点的类型如下：
若方程(4.1)的主部系数 a11, a12 , a22 在区域Ω中某一点(x0，y0)满足
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；
的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1
(x,y)和η=φ2 (x,y)，方程(4.6)的系数
a11 0；。a22 0
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
u (3)utx
0
a2 2u x 2
0,u
x
l
f (x,t) 0
u t0 (x)
0 x l,t 0 t0 0 xl
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§3 三类方程的比较
§3-2 解的性质的比较——差异
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§3 三类方程的比较
§1.1 线性方程的叠加原理 §1.2 解的性质的比较 §1.3 定解问题的提法比较
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§3 三类方程的比较
现在我们以前面各章对三类典型方程的研究为基 础，就双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程这三种 不同类型的方程的解的性质、定解问题的提法等方面 进行分析和总结。我们将看到：这三类方程在其系数 的代数性质上的差别实际上反映着许多本质的差异。
设u(x,t, M )是下面方程的解：
u t
a2
2u x 2
f
(x,t, M )
(x,t) G
(3.6)
若M D, (x,t) G ，U (x,t) u(x,t, M )dM
D
在积分号下对t 求导一次，对 x可求导两次，则U (x,t)在G
上是下面方程的解：
U
t
a2
作自变量代换 y ; y x
(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简 单的函数形式,即η=x 或η=y)
于是，原方程化简后的标准形式为： u 0
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
练习题：例1、2，P 100~101； 习题2、3，P 102~103。
数学物理方程
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式 特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如 下的形状
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 4.1
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
换代入方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式
a122 a11a22 0,
u u A1u B1u C1u D1
a122 a11a22 0,
u A1u B1u C1u D1
a122 a11a22 0,
§1-1 两个自变量的方程
在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法)的学习中，我们 已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手段， 通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易 求解的方程转化为容易求解的。
方程(4.1)的二阶导数项 a11uxx 2a12uxy a22u yy 4.2
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
a11(
dy dx
)2
2a12
dy dx
a22
0
4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。
例如，空气动力学中，对于定常Euler方程而言，它在亚音速流动中表现为 椭圆型方程，在超音速流动中表现为双曲型，在跨音速流动中表现为混合型。 而对于非定常Euler方程而言，它始终表现为双曲型。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-3 方程的分类
例题：把方程 x2uxx + 2xyuxy + y2u yy = 0 分类并化为标准形式
k 1
在G内对t可以逐项求导一次，对x可逐项求导两次，则和函数
u(x,t) ckuk (x,t)
(3.4)
k 1
是非下面齐次方程的解.
u
t
a2
2u x 2
ck
k 0
fk (x,t)
(x,t) G
(3.5)
数学物理方程
叠加原理III
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§3 三类方程的比较
§3-1 线性方程的叠加原理——共性
线性方程的共性是满足叠加原理。
前面的学习中，我们多次利用叠加原理把一个复杂的问题转 化为若干个简单的问题进行求解。分离变量法和齐次化原理实 际上都是叠加原理的具体应用。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
如果uk (x,t)是(3.1)的，它们的无限线性组 合仍然是解 .
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
叠加原理II
设uk (x,t),k 1,2,3 ,是下面方程的解
u t
a2
2u x 2
fk (x,t)
(x,t) G
(3.3)
如果级数
ck uk ( x,t)
称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主 部可以得到简化。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。
为此我们作下面的自变量变换
(x, y), (x, y) 4.3
a22 a112x 2a12xy a222y
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果 我们能选择到方程
a11x2 2a12xy a22y2 0 4.8
解：该方程的 (2xy)2 4x2 y2 0 故该方程是抛物型的。
显然，该方程的特征方程为：
x2 ( dy)2 2xy( dy) y2 0
dx
dx
dy y dx x
dy dx ln y ln x yx
从而得到方程的一族特征线为： x / y C
u u Au Bu Cu D
4.12
4.13 4.14
这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-3 方程的分类
由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种 标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;
a122 a11a22 0, 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。
相应地， (4.12)、(4.13)和(4.14)这三个方程分别称为双曲型、 抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。
数学物理方程
f (x,t) 0
0 x t0
l, t
0
v t0 0
0 xl
wwtx0
a2 2w x 2
0,v
xl
0 0
x l,t t0
0
w t0 (x) 0 x l
则u(x,t) v(x,t) w(x,t)是下面方程的解：
叠加原理I
（以热传导方程为例）
设uk (x,t), k 1,2,3 ,是下面方程的解：
u a2wk.baidu.com2u (x, t) G
(3.1)
t
x 2
如级数
u(x, t) ckuk (x, t) k 1
(3.2)
在G内收敛并且对t 可逐项求导一次，对 x可逐项求导两
次，则和函数在G内仍然是（3.1）的解
在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微 的，且雅可比行列式
J D( ,) x y
4.4
D(x, y) x x
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆 的，也就是存在逆变换
显然方程(4.9)可以分解为两个方程
dy dx
(a12
dy dx
(a12
a122 a11a22 ) / a11 a122 a11a22 ) / a11
4.10 4.11
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
这样根据 a122 a11a2的2 符号不同，我们可以选取相应的变
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程 的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类 §3 三类方程的比较
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、 热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特 殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一 般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往 往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们 将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶 线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深 入的分类和总结。
举例：y
2u x 2
2u y 2
0
容易看出，如果点(x0，y0)上方程(4.1)表现为双曲型或椭圆型，那么一定存 在该点的一个领域，使方程在这个领域内是双曲型或椭圆型的。但如果这个 点上方程(4.1)表现为抛物型，则不一定存在一个领域，使方程在这个领域 内表现为抛物型。
按照刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的，一维热传导 方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。前面我们已经知道，以上 三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。这也从侧面说明 了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简 §1.3 方程的分类
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二 阶线性偏微分方程的分类问题。
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-3 方程的分类
如果方程在区域Ω中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域Ω中是双
曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在区域
Ω中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上 表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域Ω中称为混合型的。
x x( ,), y y( ,) 4.5
也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量ξ,η表示为
a11u 2a12u a22u b1u b2u cu f 4.6
运用复合函数的求导法则
a11 a112x 2a12xy a222y a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 4.7
2U x 2
f ( x, t, M )dM ( x, t ) G (3.6' )
D
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
叠加原理IV
设 v( x, t ) 是下面方程的解
w( x, t ) 是下面方程的解：
v vtx
0
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