浅谈十字相乘法解决小学数学应用题
“十字相乘法”的妙用
“十字相乘法”的妙用“十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。
它在分解因式与解一元二次方程中有广泛的应用。
十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
一、用十字相乘法分解一般的二次三项式例1 、把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -2╳1 6所以m²+4m-12=(m-2)(m+6)例2、把 x²-5x+6分解因式解：因为1 -2╳1 -3所以x²-5x+6=（x-2）(x-3)例3、把 x²-5x-6分解因式解：因为1 +1╳1 -6所以x²-5x-6=（x+1）(x-6)例4、把 x²+5x-6分解因式解：因为1 -1╳1 +6所以x²+5x-6=（x-1）(x+6)例5、把 x²+5x+6分解因式解：因为1 +2╳1 +3所以x²+5x+6=（x+2）(x+3)二、用十字相乘法分解特殊的多项式例6、把x²- y²分解因式解：因为1 1╳1 -1所以x²- y²=（x+y）（x-y）例7、把x²+2 xy+ y²分解因式解：因为1 1╳1 1所以x²+2 xy+ y²=（x+y）(x+y)例8、把x²-2 xy+ y²分解因式解：因为1 - 1╳1 - 1所以x²-2 xy+ y²=（x-y）(x-y)三、用十字相乘法解一些比较难的题目：例9、把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
十字相乘法解数学题原理及例题解析
楼主08-8-17 22:51Google提供的广告学英语，就这么轻松哈佛独创,不用看,不用记,只需听只需30天,让你说一口流利英语网址：十字相乘法解数学题原理及例题解析（一）原理介绍通过一个例题来说明原理。
某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。
求该班男生和女生的比例。
方法一：搞笑（也是高效）的方法。
男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。
男生和女生的比例是1：1。
方法二：假设男生有A，女生有B。
（A*75+B85）/（A+B）=80整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。
方法三：男生：75 580女生：85 5男生：女生=1：1。
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。
假设A有X，B有（1-X）。
AX+B（1-X）=CX=（C-B）/（A-B）1-X=（A-C）/A-B因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）上面的计算过程可以抽象为：A C-BCB A-C这就是所谓的十字相乘法。
十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：52.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶23．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。
十字相乘法解一元二次方程题
十字相乘法解一元二次方程题“哎呀，这一元二次方程可把我难住了，到底咋解呀？”小明苦恼地说道。
别着急，小明，十字相乘法就是解一元二次方程的一种有效方法。
咱就拿一个具体例子来说吧，比如方程x²+5x+6=0。
我们要把二次项系数 1 分解成1×1，把常数项 6 分解成2×3，然后交叉相乘，1×3=3，1×2=2，这两个数相加正好等于一次项系数 5。
这样就可以写成(x+2)(x+3)=0，那就能得出 x+2=0 或者 x+3=0，解得 x=-2 或者 x=-3。
再比如方程2x²+7x+3=0，二次项系数 2 可以分解成1×2，常数项 3 可以分解成1×3，交叉相乘1×3=3，2×1=2，3+2=5 正好是一次项系数7。
于是可以写成(2x+1)(x+3)=0，解出来就是 2x+1=0 或者 x+3=0，也就是 x=-1/2 或者 x=-3。
那怎么知道能不能用十字相乘法呢？一般来说，如果一元二次方程可以化成ax²+bx+c=0 的形式，且 a、b、c 都是整数，并且b²-4ac 是一个完全平方数，那就很有可能可以用十字相乘法。
比如说方程3x²-10x+3=0，它的二次项系数 3 分解成1×3，常数项 3 也分解成1×3，交叉相乘1×(-3)=-3，3×1=3，-3+3=0 不等于一次项系数 10 呀，那就说明这个方程不能用十字相乘法。
十字相乘法在解决一些特定的一元二次方程时特别方便快捷。
但也不是所有方程都能用哦，所以要根据具体情况来选择合适的方法。
如果十字相乘法不行，咱还可以用求根公式呀。
总之，多做几道题，多练练手，就能更好地掌握十字相乘法啦。
加油哦，小明，相信你以后遇到一元二次方程就不会再头疼啦！。
《十字交叉相乘法在小学数学中的应用研究》结题报告
《十字交叉相乘法在小学数学中的应用研究》结题报告xxx区xxx镇xx小学 xxx xxx一、问题提出：十字交叉相乘法是数学运算和资料分析中经常用到的一种重要的解题方法。
它在初中数理化乃至高中数理化中都有比较广泛的应用，而在小学数学中几乎没有提到它，也很少有人研究它。
十字交叉相乘法在小学数学教学中，也同样可以使许多数学问题得到简化，在方便教的同时又使学生易学易记。
从而，让学生获得学习上的成就感，激发学生兴趣、提高学生学习积极性，培养学生学习的自信心，进而提高数学教学质量。
在多年的教学实践中，我们发现有相当一部分的小学数学知识也可以借鉴利用这一方法。
本课题着重尝试研究十字交叉相乘法在小学数学教学中应用：哪些数学问题可以运用到十字交叉相乘法？运用十字交叉相乘法如何帮助学生化难为易、提高运算能力？如何帮助学生熟练掌握十字交叉相乘法快速准确地解决数学问题？本课题就是在这个思路的指引下进行研究的。
二、研究对象与步骤：1、研究对象：本课题属于微型课题，我们把小学五六年级的学生和小学五六年级的数学知识作为本次课题的主要研究对象。
2、研究步骤：（1）准备阶段（2014.10 ～ 2014.11）1、成立了以熊全富为组长的三人课题实验小组。
经反复考虑，确定了“十字交叉相乘法在小学数学中的应用”为主题的研究内容，并经学校审核，上报了“五通桥区微型课题申请书”。
（2014.10）2、制定课题实施方案，明确了各成员的分工，商议了经常交流的内容和形式，为课题的顺利实施提高了保证。
（2014.11上旬）3.建立课题档案资料，加强课题过程管理。
（2）实施阶段（2014.11～ 2014.12）我们把课题细化为了六个子课题，分别进行了详细的思考、讨论、实施、反馈、评价、交流，并以教案、反思等形式进行了记录。
（3）总结阶段（2015.6——2015.9）根据课题具体实施情况，我们逐步完善了有关教案、论文，撰写了结题报告，并且以公开课、研讨会、交流会的形式在本校数学教研组内进行了汇报、展示推广活动，受到了组内教师的充分肯定。
十字相乘法练习题及答案
十字相乘法练习题及答案一、选择题1. 下列哪个表达式是正确使用十字相乘法的结果？A. (x+2)(x+3)=x^2+5x+6B. (x-1)(x+1)=x^2-1C. (x-1)(x-2)=x^2-3x+2D. (x+1)(x-1)=x^2-12. 以下哪个多项式不能使用十字相乘法分解？A. x^2-4x+3B. x^2+4x+4C. x^2-6x+8D. x^2+x+13. 多项式x^3-3x^2+4x-12使用十字相乘法分解，正确的分解结果是什么？A. (x-3)(x^2+1)(x-4)B. (x-1)(x^2-2x+12)C. (x-3)(x-4)(x+1)D. (x-3)(x-4)(x+4)二、填空题1. 利用十字相乘法分解x^2+7x+10，正确的分解结果应为______。
2. 多项式x^2-10x+25使用十字相乘法分解后，得到的两个一次项的乘积为______。
3. 如果多项式x^3-6x^2+11x-6可以分解为(x-1)(x-a)(x-b)，那么a 和b的值分别是______。
三、解答题1. 给定多项式x^3-9x^2+23x-15，使用十字相乘法分解，并说明分解过程。
2. 证明：使用十字相乘法分解的多项式x^2+(p+q)x+pq，其分解结果为(x+p)(x+q)。
3. 已知多项式x^3-6x^2+11x-6可以分解为三个一次项的乘积，求出这三个一次项，并验证分解的正确性。
四、应用题1. 某工厂生产的产品数量与时间的关系可以用多项式P(t)=t^3-15t^2+54t-36来表示。
如果需要将这个多项式分解为三个一次项的乘积，以便更好地理解生产数量的变化，请写出分解后的表达式。
2. 一个数学竞赛题目要求证明：对于任意正整数n，多项式x^n+x+1不能被分解为实数系数的一次项的乘积。
请尝试使用十字相乘法来说明这一点。
答案：一、选择题1. D2. D3. C二、填空题1. (x+2)(x+5)2. 253. 2, 3三、解答题1. x^3-9x^2+23x-15=(x-3)(x^2-6x+5)=(x-3)(x-1)(x-5)2. 证明略3. x-3, x-2, x+2四、应用题1. P(t)=(t-3)(t-1)(t-4)2. 证明略。
十字相乘法综合应用
开启
2
智慧
二次三项式 ax2+bx+c（a≠0) 的因式分解
2 2 x = x = 3 ( x + 3) x + 6 x + 9 = 0的解是 ________ 1 2 分解因式 x + 6 x + 9 = __________
x1 = 1, x2 = 6分解因式 x 2 - 7 x + 6 = (_________ x - 1)(x - 6) x 2 - 7 x + 6 = 0的解是 ________
将下列二次三项式因式分解
(1) x x 2
2
(2) - x + 3x - 2
2
(3)4 x2 + 4 x + 1 (4) x2 - 2 x - 2
答案： (1)原式= (x+1)(x-2) (2)原式=- (x-1)(x-2) (3)原式=(2x+1)2 (4)？？？？ 十字相乘 十字相乘 完全平方公式
（2）（x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
分析：如果按顺序从左到右算比较麻烦，从式子中 可以看出1+4=2+3,所以（x+1)(x+4)与（x+2)(x+3） 的前两项相同，进而把（x2+5x)当作整体可用公式 继续计算较简便。
解： 原式= （x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = （ x2+5x+4)(x2+5x+6) = (x2+5x)2+10(x2+5x)+24 = x4+10x3+25x2+10x2+50x+24 = x4+10x3+35x2+50x+24
因式分解十字相乘法例题及解析
因式分解十字相乘法例题及解析算术中，十字相乘法是一种古老而又重要的乘法，它把复杂的乘法变成简单的因式分解乘法。
在这种乘法中，每一步都可以把乘积分解成两个小乘积。
通过把乘法看作分解，我们可以求出这样的乘积，而这些乘积的因式分解统称为十字相乘法。
一般来说，十字相乘法是指把乘积分解成两个因式的乘法，常见的叫法有：因式分解十字相乘法、十字相乘因式分解法等。
十字相乘法的求解方法比较简单，只要把乘积写成两个因式相乘，就可以把乘积写成因式分解式。
常见的例子有：例1：(x + y)(x - y) = x2 - y2由于x + y和x - y是两个因式，所以把它们相乘，可以得出乘积的因式分解式x2 - y2。
例2：(x + y)(y + z) = xy + xz + yz由于x + y和y + z是两个因式，所以把它们相乘，可以得出乘积的因式分解式xy + xz + yz。
由此可见，十字相乘法是一种简单、有效的乘法。
学习者要掌握它，就要先熟练地掌握所有乘法规律。
除了上述例子外，还有更多关于十字相乘法例题等。
下面分别以几道典型例题及其解析，来帮助大家熟悉十字相乘法的应用。
例题1：(x + 2y)(x - 4y) =解：按照十字相乘法的规则，把乘积写成两个因式相乘，即x + 2y和x - 4y，所以得出因式分解式：x2 - 2xy - 4xy + 8y2 = x2 -6xy + 8y2。
例题2：(2x + 3y)(3x - y) =解：按照十字相乘法的规则，把乘积写成两个因式相乘，即2x + 3y和3x - y，所以得出因式分解式：6x2 - y2 - 6xy + 3y2 = 6x2 - 3xy + y2。
例题3：(2a + 3b)(2b - 3a) =解：按照十字相乘法的规则，把乘积写成两个因式相乘，即2a + 3b和2b - 3a，所以得出因式分解式：4ab - 9a2 + 9b2 = 4ab - 9(a2 + b2)。
十字相乘法的例题
十字相乘法的例题《十字相乘法的例题》嘿，小伙伴们！今天我要给你们讲讲超级有趣的十字相乘法，还会有好多例题呢。
我先来说说啥是十字相乘法吧。
就好像是给数字们玩一个配对游戏。
比如说，我们有一个二次三项式，就像ax²+bx + c这样的式子。
十字相乘法就是找到两个数，这两个数它们相乘等于a乘以c，然后这两个数相加呢又等于b。
这就像是给这个式子找到了一个小秘密的组合，然后就能轻松地把这个式子分解因式啦。
那我先来一个简单的例题吧。
比如说x²+5x+6。
我们要找两个数，这两个数相乘等于6（就是1乘以6呀），然后相加等于5。
那很容易就想到2和3啦。
这个时候我们就可以像这样来写：(x+2)(x+3)。
你看，就这么简单。
就好像是把这个式子拆成了两个小伙伴，它们手拉手，然后这个式子就被我们用十字相乘法给分解好啦。
再来看一个例子，2x²+7x+3。
首先呢，我们要算2乘以3等于6。
然后我们要找两个数，相乘等于6，相加等于7。
那就是1和6啦。
这个时候我们可以这样写：2x²+x+6x+3。
然后我们把它分组，(2x²+x)+(6x+3)。
从前面一组里提出一个x，就变成x(2x + 1)，从后面一组提出一个3，就是3(2x+1)。
最后就得到(2x + 1)(x+3)。
这就像是把一群小数字分成了两个小团队，然后每个小团队又有自己的小秘密，最后组合在一起就是答案啦。
我再给你们出一个难一点的。
3x² - 10x+8。
首先3乘以8等于24。
我们要找两个数相乘等于24，相加等于- 10。
这个时候要好好想想啦，- 6和- 4就很合适。
那我们就可以写成：3x² - 6x - 4x+8。
分组就是(3x² - 6x)+( - 4x+8)。
前面提出3x就是3x(x - 2)，后面提出- 4就是- 4(x - 2)。
最后答案就是(3x - 4)(x - 2)。
这就像是在解一个小谜题一样，要找到那些合适的数字组合，真的很有趣呢。
十字交叉法巧解小学数学题
十字交叉法巧解小学数学题塘州乡梅育小学 余忠福十字交叉相乘法是初中解一元二次方程用到的较为简便有效的方法，也是化学科中求化合价或物质的量所用到的方法。
可见，十字交叉相乘法是理科中一个应用比较广泛的重要的方法。
那么，在小学数学科的教学中，能否应用此方法解决某些数学问题呢？答案是肯定的。
下面我们就来看一下小学数学科中如何运用十字交叉相乘法巧解数学问题。
一、比较分数的大小。
我们知道在分数的比较中，同分母分数，分子大的分数值大；同分子分数，分母小的分数值大；异分母分数则要把分母化为同分母分数才能进行比较。
在教学中，我发现让学生记住这几条并不难，可是却非常容易混淆，或者是根本就不会运用。
但是如果运用十字交叉相乘法，学生不但都能很快的得出答案，而且不管什么分数间进行比较都能够通用。
例1：比较大小。
38（ ）49 解析：方法一：常规解法3392788972⨯⨯＝＝ 4483299872⨯⨯＝＝∵27327272<∴3489<方法二：十字交叉相乘法38（ ）4938∵27＜32 ∴3489<注：所得的积必须写在分数线上方（即作为新分子）。
从上例很明显可以看出，十字交叉法比较两分数的大小的实质上就是通分。
不过，却省去了学生对分数进行通分的过程和时间，从而一步到位，更简单更直接，只要会乘法的学生，在比较分数之间的大小时基本上都不费吹灰之力了。
二、解比例。
很多老师和学生都知道，解比例的依据是比例的基本性质，即在比例中，两个内项的积等于两个外项的积。
可当比例变化为aca cb d ≠≠＝ （0，0）这种形式时，有些学生便找不着内外项了，或者有某些学生还要把上式化为a b c d a c ≠≠：＝： （0，0）的形式，这就走了弯路，浪费了时间不说而且变换后也很容易出错。
例2：解比例395x ＝8×4＝32 9×3＝27解析：利用十字交叉相乖法：359x 解：3x ＝5×9x ＝45÷3x ＝15可见，利用此方法既直观又便于记忆，而且在较复杂的比例中，更能体现出些法的简便性与适用性，由于篇幅有限，在此就不一一介绍了。
十字相乘法分解因式经典例题和练习
十字相乘法培优知识点讲解:一、十字相乘法：（1）．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++例1把下列各式因式分解：(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++变式1、22215a b ab --2、422318a b a b --例2把下列各式因式分解：⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++变式1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +-3、22421x xy y +-4、22712x xy y ++例3把下列各式因式分解：⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+- 变式1、2()9()14x y x y +-++ 2、2()5()4x y x y ++++ 3、2()6()16x y x y +++- 4、2()7()30x y x y +++- 例4 ⑴ 223310x y xy y -- ⑵2234710a b ab b -+变式⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ---- ⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+- ⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+ （2）．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++例5把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-练习：1.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。
十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便
十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。
但是，如果使用不对，就会犯错。
通过一个例题来说明原理。
某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。
求该班男生和女生的比例。
方法一：搞笑（也是高效）方法。
男一人女一人，总分160分，平均分80分。
男女比例1：1。
方法二：设男生有A，女生有B。
（A*75+B85）/（A+B）=80整理后A=B，男女比例1：1。
方法三：男生：75 580 男生：女生=1：1。
女生：85 5一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。
假设A有X，B有（1-X）。
AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B）1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）上面的计算过程可以抽象为：A C-BCB A-C这就是所谓的十字相乘法。
十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5答案：C分析：男教练：90% 2%82%男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：42.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少A．2∶1B．3∶2C. 2∶3D．1∶2答案：B分析：职工平均工资15000/25=600男职工工资：580 30600女职工工资：630 20 男职工：女职工=30：20=3：23．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。
十字相乘法1-简单应用(方法：拆、凑)
14.3(3)--十字相乘法1-简单应用（方法：拆、凑）一．【知识要点】1.十字相乘法1-简单应用（方法：拆、凑）二．【经典例题】1.因式分解：()()()()2222132232323423x x x x x x x x ++-++--- ()325445x x x --2.若202++kx x 能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数的值有 （ ）A 2个B 3个C 4个D 6个三．【题库】【A 】1.下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是 ( )．A ．(x －1)(x －2)＝x 2－3x ＋2B ．x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)C ．x 2＋4x ＋4＝x(x 一4)＋4D ．x 2＋y 2＝(x ＋y)(x —y)2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A. 1)1)(1(2-=-+x x xB.1)2(122+-=+-x x x x C. )4)(4(422y x y x y x -+=- D. )3)(2(62-+=--x x x x3.分解因式：256_____________.x x --=【B 】1.下列分解因式正确的是( )A.32(1)x x x x -=-．B.26(3)(2)m m m m +-=+-.C.2(4)(4)16a a a +-=-.D.22()()x y x y x y +=+-.2.已知x 2－12x+32可以分解为(x+a)(x+b)，则a+b 的值是( )A.－12B.12C.18D.－183.若x 2+mx - 15=(x+3)(x+n)那么m= n=4.多项式82++kx x ，在整数范围内能够分解因式，那么k 的值有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4【C 】1.将下列各式因式分解:()21710x x ++ ()2228x x -- ()23712y y -+ ()24718x x +-【D 】1.甲乙两同学分解因式b ax x ++2时，甲看错了b 分解结果为()()42++x x ;乙看错了a ,分解结果为()()91++x x ，则=+b a .2．若关于x 的多项式x 2－px －6含有因式x －3，则实数p 的值为 ． A ．－5 B ．5 C ．－1 D ．1。
《十字相乘在数学中的妙用》
《十字相乘在数学中的妙用》关键信息项：1、十字相乘的定义及原理：＿___________________________2、十字相乘在一元二次方程中的应用：＿___________________________3、十字相乘在因式分解中的作用：＿___________________________4、十字相乘在代数式化简中的优势：＿___________________________5、十字相乘与其他数学方法的比较：＿___________________________6、运用十字相乘解决实际数学问题的案例：＿___________________________11 十字相乘的定义及原理十字相乘法是一种用于因式分解和求解一元二次方程的数学方法。
它的基本原理是将二次项系数和常数项分别分解因数，然后交叉相乘并相加，得到一次项系数。
111 以简单的一元二次方程＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$ 为例，如果能够找到两个数＄p$ 和＄q$，使得＄p ＼times q ＝ a ＼times c$ 且＄p ＋q ＝ b$，那么就可以将方程化为＄（x ＋ p)（x ＋ q) ＝ 0$ 的形式。
112 这种方法的核心在于通过对系数的巧妙分解和组合，快速找到方程的根或因式分解的形式。
12 十字相乘在一元二次方程中的应用在求解一元二次方程时，十字相乘可以提供一种简洁高效的方法。
121 例如，对于方程＄x^2 ＋ 5x ＋ 6 ＝ 0$，将二次项系数 1 分解为 1×1，常数项 6 分解为 2×3，由于 2 ＋ 3 ＝ 5，所以可以因式分解为＄（x ＋ 2)（x ＋ 3) ＝ 0$，从而得到方程的根为＄x ＝－2$ 和＄x ＝－3$。
122 相比使用求根公式，十字相乘在某些情况下能够更直观地得出方程的解。
13 十字相乘在因式分解中的作用因式分解是数学中的重要内容，十字相乘在其中发挥着关键作用。
关于十字相乘法的题目
关于十字相乘法的题目
（原创版）
目录
1.十字相乘法的概念和原理
2.十字相乘法的应用场景和示例
3.十字相乘法的优点和局限性
4.结论：十字相乘法在解决特定问题时的重要性和实用性
正文
十字相乘法是一种常用的数学方法，主要用于解决一些涉及乘法的问题。
它的原理是，将一个数拆分成两个数，使得这两个数的乘积等于原数，然后将这两个数相乘，得到原数的平方。
例如，如果要计算 25 的平方根，我们可以将 25 拆分成 5 和 5，然后将它们相乘，得到 25，这就是十字相乘法的应用。
十字相乘法在解决一些特定问题时非常有用，例如计算平方根、解决比例问题等。
它可以帮助我们快速、准确地得到结果，因此在数学中被广泛应用。
然而，十字相乘法也有其局限性，它只适用于一些特定的问题，对于一些复杂的问题，可能需要其他方法来解决。
总的来说，十字相乘法是一种实用的数学方法，它可以帮助我们解决一些特定的问题。
然而，它并不是万能的，对于一些复杂的问题，可能需要其他方法来解决。
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十字相乘法例题解析
第2课时 十字相乘法一、十字相乘法：1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．二、例题讲解：例1.把下列各式因式分解：(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+= 2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++ 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．例2.把下列各式因式分解：(1) 2524x x +- (2) 2215x x -- 解：(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+(2) 15(5)3,(5)32-=-⨯-+=- 2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．例3.把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++ 分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+- (3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-例4.把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+ 324 1-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+- 1 254y y -⨯ 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．三、巩固练习：1．把下列各式分解因式：(1) 232x x -+ (2) 2627x x --(3) 24x - （4）2245m mn n --2．把下列各式分解因式：(1) 2273x x -+ (2) 2672x x -+ (3)2273x x ++ (4)27()5()2a b a b +-+-(5)2282615x xy y +- (6) 222(2)7(2)12x x x x ---+。
用十字交叉相乘法解决鸡兔同笼问题优秀课件
三.初步尝试
笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有30个头；从
下面数，有76条腿。鸡和兔各有几只？
兔4条腿
①4－2 = 2条
30只
②2 ×30 = 60 条 ③76－60 = 16 条 ④兔：16÷ 2 = 8 只 ⑤鸡：30－8 = 22 只
鸡2条腿
检验：8＋22 = 30 只 4×8＋2×22 = 76条
租用的大船有（ ）只，小船有（ ）只。
（一乘二减几条腿 4、检验： 鸡＋兔 = 头数
②每只兔腿数 ×头数 = 兔腿总数 ③：鸡腿总数－ ② = 相差腿数 ④鸡：③ ÷ ① = 兔的只数
（一乘二减三再除）
练习巩固
全班42人去公园划船，一共租用了10只船，刚好
坐下。每只大船限坐５人，每只小船限坐３人。请问：
②4 × 30 = 120 条 ③120－76 =44 条 ④鸡：44 ÷ 2 = 2 2 只 ⑤兔：30－22 = 8 只
答：鸡有22只，兔有8只.
四.小结：方法与步骤.
1、收集基本信息；
“兔”几条腿
①每只“兔”比每只 “鸡”多几条腿 ？
头数？ 腿数？
2、假设全是鸡，先算出兔。
②每只鸡腿数 ×头数 = 鸡腿总数 ③：鸡腿总数－ ②= 相差腿数 ④兔：③ ÷ ① = 兔的只数
用"十字交叉相乘法" 解决
鸡兔同笼问题
xx省xx市xx区xx小学 xxx
xxxx 年 xx 月 xx 日
一、情境创设，揭示问题
笼子里有若干只鸡和兔。 从上面数，有30个头， 从下面数，有76只脚。 鸡和兔各几只？
化繁为简
二.学习十字交叉相乘法解决鸡兔同笼问题
笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有6个 头；从下面数，有20条腿。鸡和兔各有几只？
用十字相乘法巧解单位“1”应用题
用十字相乘法巧解单位“1”应用题理解、掌握、运用好“十字相乘法”对于解决单位“1”这类分数应用题是有“特效”的。
因为这个探究过程本身就培养了学生的迁移能力、类推能力、理解能力、分析能力、解疑能力。
标签：数学；小学；巧解；方法；应用题分数应用题是小学数学教学的一个重难点，我们在教学解答这类应用题时，常常采用把某一个量看作单位“1”，再把题中的其他条件与这个单位“1”联系起来列出算式，解决问题。
但学生往往找不到单位“1”、理不清数量关系、列不出算式。
通过教学实践，根据“部份量÷部份量对应的分率=单位‘1’的量”；“单位‘1’的量×部份量对应的分率=部份量”，我归纳出了“十字相乘法”。
一、找单位“1”是关键例①：幸福社区今年有850人，去年比今年少1/17，去年幸福社区有多少人？例②：一筐苹果重36千克，相当于一筐梨重量的90%，一筐梨重多少千克？例③：工程队修一段路，第一月修了全程的1/5，第二月修了全程的25%，第一月比第二月少修300米，这段路共有多少米？例④：有一批货物，第一天运的占总数的1/4，第二天运的占总数的40%，还剩91吨没有运，这批货物一共有多少吨？例⑤：河南有9200万人口，广东人口是河南的43/46，广东人口是山东人口的43/45，山东约有多少万人？通过引导，学生经历探究与思考，会很快准确找出以上几题的单位“1”的量分别是“今年人数”、“一筐梨的重量”、“整段路的长度”、“整批货物的重量”、“山东人口数”。
二、数量关系要弄清首先是要确定单位“1”的量，横向列出其具体数量；其次关键是纵向找出与单位“1”对应的量及其具体数量。
如：例③中确定单位“1”的量为“整段路的长度”，与之相对应的量不是“第一月修的米数”，也不是“第二月修的米数”（因为都没有告诉具体数量），而是“第一月比第二月少修的米数”（300米）。
三、分率数量要对应分率是指单位“1”（100%）、百分之几、几分之几，数量指具体的数字，如50千克、100个、92厘米等，两者必须一一对应。
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浅谈十字相乘法解决小学数学应用题
摘要：应用题教学是小学数学教学内容中非常重要的部分，在实际教学过程中很多老师感到很困惑，不知用什么样的方法才能让学生更明白，更清楚、更容易接受。
也有很多学生会感到解决应用题非常困难，做题的速度慢，错误率高，不会找题中的数量关系，不会理解题中的已知条件和未知问题，特别是我们农村的小学生，就更难了。
为了帮助学生提高应用题解题效率，使其掌握更多，更简单易懂的解题技巧，通过自己教学经验，总结出可以利用十字相乘法解决成正比例关系的应用题，希望能为今后的农村从事数学教学工作者提供帮助。
关键词：十字相乘小学应用题
十字相乘法一般运用在成正比例的应用题中，对于部分小学生的理解能力比较差，分不清楚题目的意思，不知怎么动笔解决此类应用题，我们可以跟学生介绍十字相乘法，这种题你教会学生画出十字架，并跟学生讲清楚，讲明白，为什么要这样写，可以通过题中的那句话来画，同时教学生怎么列式计算，这样学生就不会在乘除法中出现错误了。
只要你能画出十字架，你就解决了题目中的一半了。
总之只要是成正比例的问题，我们都可以利用画十字架的方法解决。
这样学生比较清楚用乘法还是除法。
例：一辆客车3小时行174千米，照这样的速度，它12小时可以行多少千米？这是一道小学四年级上册的应用题，因四年级学生理解能力还不很成熟，可能不管老师怎么讲怎么分析都无法理解，如果我们用十字相乘法学生就容易理解，也容易接受，更容易掌握了。
分析：3小时 174千米表示：3小时行了174千米
12小时 ？千米 表示：12小时多少千米？ 注意点：做这种题时一定要注意单位对齐，并且交叉相乘相等，即：3×？＝12×174。
在没学习方程之前可以问学生3和？表示什么数？（因数）再问学生因数等于什么？（因数＝积÷另一个因数），这样为后面解方程打下基础。
也可以教会学生谁跟问号相连，谁就写在除法的后面：即÷3，别外两个数字相乘写在除号的前面,即：12×174÷3。
如果学了方程就更简单了，可以利用解方法，即３ｘ＝12×174。
例：有5
2千克的糖平均分给3个小朋友，每个小朋友分多少千克？
这是六年级上册分数除法中的一道题，也是常见的一道题。
52千克 3个 52千克的糖平均分给3个小朋友 ？千克 1个 1个小朋友分得多少千克
分析：3跟问题相连所以将3写在除号的后面，1与52
相乘写在除号的前面，
即：？＝52÷3 用这种方法解决一定要强调学生以下几个方面：（１）单位对齐，可以是横着对齐，也可以纵着对齐。
但为了怕学生搞错，再说我们在前面的计算中谈到的对齐都是纵象对齐，所以我们还是强调学生纵向对齐，学生没有那么容易错。
单位不同时换成单位统一的。
（２）要求学生横着写，横着写容易要求学生单位对齐。
这块以我教学生的情况有部分学生以为是交叉写，交叉写就是错的，所以老师在这块一定要强调学生，帮学生订证过来。
小学的数学解题方法是多样的，但对于农村的孩子，5+2=0的教育，基础差，理解能力更差，并且有时在一个班上还存在着部分学生字都不认识几个。
而做为一线的数学教师，就应根据自己所带班的实际情况，积极思考，认真总结，找到一种或几种比较让你所带的学生更容易接收，更容易理解的方法来进行教学，只有学生乐于接受的方法才是好办法，我们不一定要根据书本上的方法，或者以前的老方法进行教学。