高中数学第二章推理与证明2.1.3推理案例赏析学案苏教选修1_2

2.1.3 推理案例赏析学习目标 1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系，利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.2.掌握两种推理形式的具体格式．知识点合情推理与演绎推理思考1 合情推理的结论不一定正确，我们为什么还要学习合情推理？答案合情推理是富于创造性的或然推理．在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．思考2 “演绎推理是由一般到特殊的推理，因此演绎推理所得结论一定正确”，这种说法对吗？答案不对，演绎推理只有在大、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论才一定正确．梳理合情推理与演绎推理的比较合情推理演绎推理归纳推理类比推理推理形式由部分到整体，由特殊到一般由特殊到特殊一般到特殊结论不一定正确，有待证明在大、小前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确作用猜测和发现结论，探索和提供证明思路证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程联系合情推理的的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的1．演绎推理的一般模式是“三段论”的形式．( √)2．演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．( √)3．演绎推理是由一般到特殊的推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．( √)类型一归纳推理的应用例1 观察如图所示的“三角数阵”：记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)a2＝________，a3＝________，a4＝________，a5＝________；(3)a n＋1＝a n＋________.答案(1)6 16 25 25 16 6(2)2 4 7 11(3)n(n≥2，n∈N*)反思与感悟对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪训练1 下列四个图形中，阴影三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．答案a n＝3n－1(n∈N*)解析a1＝1＝30，a2＝3＝31，a3＝9＝32，a4＝27＝33，…，由此猜想a n＝3n－1(n∈N*)．类型二类比推理的应用例2 通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…；(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3×(12＋22＋…＋n 2)＋3×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 即12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)(n ∈N *)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值． 解 ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1； 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1； 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1； …；(n ＋1)4－n 4＝4n 3＋6n 2＋4n ＋1. 将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ， ∴13＋23＋…＋n 3＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋1)4－14－6×16n (n ＋1)·(2n ＋1)－4×n (n ＋1)2－n ＝14n 2(n ＋1)2(n ∈N *)． 反思与感悟 (1)解答类比推理的应用题的关键在于弄清原题解题的方法，将所要求值的式子与原题的条件相类比，从而产生解题方法上的迁移．(2)解答类比推理的应用问题要先弄清两类对象之间的类比关系及其差别，然后进行推测或证明．跟踪训练2 已知在Rt△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD2＝1AB2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.猜想正确．理由如下：如图所示，连结BE ，并延长交CD 于F ，连结AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt△ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE2＝1AB2＋1AF 2.在Rt△ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．类型三 演绎推理的综合应用例3 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)写出类似的性质，并加以证明．解 类似性质：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则点N 的坐标为(－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2，同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．故k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．反思与感悟 合情推理是提出猜想、提供解题的思路，而演绎推理则是证明猜想、判断猜想的正确性，通过合情推理得到的猜想缺少证明过程，是不完整的，平时解题都是二者的结合． 跟踪训练3 已知{a n }为等差数列，首项a 1>1，公差d >0，n >1且n ∈N *.求证：lg a n ＋1lg a n －1<(lg a n )2.证明 ∵{a n }为等差数列，d >0， ∴a n －1a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a 2n －d 2<a 2n . ∵a 1>1，d >0，∴a n ＝a 1＋(n －1)d >1. ∴lg a n >0. ∴lg a n ＋1·lg a n －1≤⎝⎛⎭⎪⎫lg a n ＋1＋lg a n －122＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12lg (a n －1a n ＋1)2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg a 2n 2＝(lg a n )2，即lg a n＋1·lg a n－1<(lg a n)2.1．设x i >0(i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2x 1x 2；x 1＋x 2＋x 3≥33x 1x 2x 3，…，类比上述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，猜想有下述结论：__________. 答案 x 1＋x 2＋…＋x n ≥n nx 1x 2…x n2．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则对于任意n (n ∈N *)有不等式__________________成立． 答案 f (2n ＋1)>n ＋32解析 由所给不等式可得：f (4)＝f (22)＝1＋12＋ (14)1＋32， f (8)＝f (22＋1)＝1＋12＋ (18)2＋32， f (16)＝f (23＋1)＝1＋12＋…＋116>3＋32，f (32)＝f (24＋1)＝1＋12＋ (132)4＋32，…，f (2n ＋1)＝1＋12＋…＋12n ＋1>n ＋32.即f (2n ＋1)>n ＋32.3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ②③解析 根据空间直线、平面的平行与垂直的判定与性质定理知，②③正确，①④错误． 4．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案n (n ∈N *)解析 根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n (n ∈N *)．5．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝________.答案5＋12解析 根据“黄金椭圆”的性质是FB →⊥AB →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，∵FB→⊥AB →，∴FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，∴－ac ＋b 2＝0.又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac ，等号两边同除以a 2求得e ＝5＋12.1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理． 2．从推理形式和所得结论的正确性讲，演绎推理与合情推理存在差异．从数学发现与认识事物的过程发挥的作用看，合情推理与演绎推理是相辅相成、相互为用的，合情推理提出猜想、发现结论，为演绎推理确定了目标和方向．演绎推理不仅为合情推理提供了前提，而且对合情推理的结果进行“判决”和证明．两者的综合运用才能推动人们对事物的认识不断向前发展.。