2018三角函数专题(理科)(2018高考真题)

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2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形、选择题B • 305)的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数3 5A 在区间［-，—］上单调递增4 4 3B 在区间［―,］上单调递减45 3C 在区间［予‘专］上单调递增3D 在区间［厅,2 ］上单调递减7.【2018浙江卷5］函数y= 2|x|sin2x 的图象可能是1.【2018全国二卷 6】在厶ABC 中,C cos— 2，BC 1，AC 5，则 AB52.【2018全国二卷 10]若 f(x) cosxsinx 在［a, a ］是减函数，贝U a 的最大值是3.【2018全国三卷 4] 若sin1 … 3，则cos24. 5. 0, C . 【2018全国三卷9］ △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 2 2 2a ，b ，c ,若△ ABC 的面积为-— -，4【2018北京卷7］在平面直角坐标系中，记m 变化时，d 的最大值为d 为点P A. 1(COS 0 sin 0到直线x my 2 0的距离，当B. 2C. 3D.4C . . 296.【2018天津卷6］将函数y sin(2x1. 【2018全国一卷16】已知函数f x 2sinx sin2x ，则f x 的最小值是 _______________ .2.【2018 全国二卷 15】已知 sin a cos 3 1 , cos a sin 3 0，则 sin( a ® __________________ .3. 【2018全国三卷15】函数f x cos 3x n在0, n 的零点个数为6 ---------------------------------------------------4. 【2018北京卷11】设函数f (x ) =cos( x n ( 0),若f(x) f (n)对任意的实数x 都成立，则co的最小值为 _________ . 5.【2018江苏卷7】已知函数y sin(2x _______________________ )(--)的图象关于直线x -对称，则的值是 ____________________ .2236. 【2018江苏卷13】在厶ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c , ABC 120 , ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD 1，则4a c 的最小值为 _________ .7. 【2018浙江卷13】在厶ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c •若a= 7，b=2, A=60°，贝U sin B= _________ , c= _________.、填空题B .三.解答题1. [2018 全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，ADC 90°, A 45°, AB 2 , BD 5.12. 【2018 北京卷15】在厶ABC 中，a=7, b=8, cosB=—.(△)求/ A ；(△)求AC边上的高.3. 【2018天津卷15】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinAacos(B ). 6(I)求角B的大小；(II)设a=2, c=3,求b和sin(2A B)的值.4. 【2018江苏卷16】已知，为锐角‘tan 3 ,迹()舟.(1)求cos2的值；(2)求tan( )的值.5. 【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN (P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚U内的地块形状为△ CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和厶CDP的面积，并确定sin的取值范围；(2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚U内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 ：3 .求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6. 【2018浙江卷18】已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P345'(I)求sin (a + n 的值; (U)若角B满足sin (a+B=13，求cos B的值・7.【2018上海卷18】设常数a R，函数f(x) a sin 2x c 22cos x(1)若f(x)为偶函数，求a的值; (2) 若〔匸〕1，求方程f(x) 1 .2在区间［，的解.参考答案、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D、填空题 1. 3.3223. 34.235. 7.3 ；37三•解答题 1.解: (1)在厶ABD中，由正弦定理得一BLsin AABsin ADB由题设知,5sin 452 sinADB，所以sin ADB -5由题设知, ADB 90，所以cos ADB 1225 5(2)由题设及(1) 知, cos BDC sin ADB 辽在△ BCD 中,5 由余弦定理得2 2 2BC BD DC 2 BD DC cos BDC 25 8 25. 所以BC 5.32.解：(1)在厶ABC 中,1 n _________________________________ 2—T cosB= —7 ,二 B €( — , n ，二 sinB= 1 cos B<3 7由正弦定理得—sin A bsin B8 -二=<3，二 sinA= £ . T B €( f ,sin A227•- A €( 0,亍)，(n )在厶ABC 中,■/ sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+sinBcosA=—3 21 (-)71 4.3_ 3.3 2714女口图所示，在△ ABC 中sinC=g ,二 h=BC sinC = 7 3 弓BC14••• AC 边上的高为子.3.解：在厶ABC 中，由正弦定理— sin A—，可得 bsinA asinB sin B又由 bsinA acos(B n ),6得 as in B acos(B n ),6即sinB cos(B ，可得tanB 3 .又因为 B (0 ,可得(n)解：在△ ABC 中,由余弦定理及a =2, c=3, B =^,有 b 2 a 2 c 2 2accosB 7，故 b= J7 .由 bsin A acos(B —), 6可得sin A因为 a<c , 故cosA因此 sin 2 A 2sin AcosA2,cos2 A 2cos A所以，si n(2A B)sin 2Acos Bcos2 A sinB ^^3 73 3 3 2144.解：(1)因为tan4, tan 3汇，所以sin4c o s cos因为sin 22cos1，所以 2cos25，因此,cos222cos7 25(2)因为，为锐角，所以(0, n .又因为cos()寻，所以sin()厂曲( )害，因此tan( ) 2.因为tan -，所以tan232ta n 242 , 1 tan 7因此，tan( ) tan[2 ( )]；+；爲；：；(—5 2115•解：(1)连结PO并延长交MN于H,贝U PH丄MN , 所以OH=10.过O作OE丄BC于E,贝U OE// MN，所以/ COE书故OE=4Ocos0, EC=40sin B,则矩形ABCD 的面积为2X40cos((40sin 0 +10=800(4sin 0 cos 0 +cOs B △ CDP的面积为 1 x 2X 40co(40 - 40sin) 0=1600 (cos 0 - sin 0)cos 0过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 .令/GOK=0,则sin0=4 2(0, n)・当濮[0, n)时，才能作出满足条件的矩形所以sin(的取值范围是[〔，1).4答：矩形ABCD的面积为800 (4sin 0 cos 0 +cQs平方米，△ CDP的面积为1600 (cos 0 - sin 0)cos0n 的取值范围是[1 , 1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k (k>0).则年总产值为4k X 800(4sin 0 cos 0 +cbs+Bk x 1600( cos 0 - sin 0 cos 0=8000k (sin 0 cos 0 +)s [ 0, n)2设 f ( 0) =sin 0 cos 0 +cos 0€ [ 0, n),2则f'( ) cos2sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令 f'( )=0，得 B =,6当9€( (0, n 时，f '( )>0，所以f (0)为增函数;6当0€(J ,匸)时，f '( )<0 ,所以f (0)为减函数,6 2因此，当0=时，f ((取到最大值.6答：当吧时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大•［来源:学§科§网］,］时，即2x(U)由角的终边过点 P( 3,得cos35 55由 sin() —得 cos( )121313由( )得coscos()cossin( )s in,5616所以cos或cos6565 .解：(1) f(x ； )asin 2x2 cos 2 x 1 1 =asi n2x cos2x 1 ,6. ( I)由角的终边过点P(4)得 sin 5所以sin( 冗)sin -5f ( x) a sin(当f (x)为偶函数时：f (x)f( x)，则 a a，解得a 0 o2(2) f ( ) a sin 2 cos —,424由题意f (一)a 13 1 ,4、.3sin 2x 2cos 2 xa .3 , f (x) 3sin2x cos2x1 2sin(2x6)1,令 f (x) 1血，则2sin 2x1151319解得：x ,2424，24或x248. 解: (1) f(x)asin 2x c 22cos x 1 1 = asin2x cos2x 1 , f( x) a sin( 2x)cos(2x)1asin2x cos2x 1当f(x)为偶函数时:f(x)f( x)，则a a，解得a 0。

研究院[全国]2018高考真题理分类汇编——三角函数与平面向量教师版.docx

2018高考真题分类汇编——三角函数与平面向量1.（2018北京·理）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件1.B2.（2018北京·理）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 2.233.（2018全国I·理）在中，为边上的中线，为的中点，则（） A ．B ．C ．D ．3.A4.（2018全国II·理）已知向量，满足，，则（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．04.B5.（2018全国II·理）在中，，，，则（） A ．BCD ．5.A6.（2018全国II·理）若在是减函数，则的最大值是（） A ． B ．C ．D ．6.AABC △AD BC E AD EB =u u u r3144AB AC -u u ur u u u r 1344AB AC -u u u r u u u r 3144AB AC +u u u r u u u r 1344AB AC +u u ur u u u r a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ABC △cos 2C =1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π7.（2018全国II·理）已知，，则__________． 7.8.（2018全国III·理）若，则（） A ．B ．C ．D ．8.B9.（2018全国III·理）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（）A ．B ．C ．D ．9.C10.（2018全国III·理）已知向量，，．若，则________．10.11．（2018全国III·理）函数在的零点个数为________．11.312.（2018江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．12.π6-13.（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为 ▲ ．13.43sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=12-1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=12()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，14.（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ． 14.-315.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（） A1BC ．2D ．215.A16.（2018浙江）在⊥ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ，b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．17.（2018天津·理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（） (A)在区间35[,]44ππ上单调递增(B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减 17.A18.（2018天津·理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uurAE BE 的最小值为（）(A)2116(B)32(C)2516(D) 318.A19.（2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （2，0），E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为．19.-320.（2018北京·理）（本小题满分13分）在⊥ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（1）求⊥A ；（2）求AC 边上的高．20.【解析】（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B ．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A ，∴sin A ． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=，∴AC ．21.（2018全国I·理）（本小题满分12分）在平面四边形中，，，，. （1）求；（2）若，求.21.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以. （2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得 . 所以.22.（2018江苏）（本小题共14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 22.【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，因此．因为，所以，因此，．ABCD 90ADC ∠=o45A ∠=o2AB =5BD =cos ADB ∠DC =BC ABD △sin sin BD ABA ADB=∠∠52sin 45sin ADB=︒∠sin 5ADB ∠=90ADB ∠<︒cos ADB ∠==cos sin 5BDC ADB ∠=∠=BCD △2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=5BC =4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+23.（2018浙江）（本小题13分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 23.【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.24.（2018天津·理）（本小题共13分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值. 24.【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由 πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-=25.（2018上海）（本小题14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．25.【解析】（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣.。

2018年高考数学三角函数解三角形与平面向量25平面向量的概念及线性运算试题文

考点测试25 平面向量的概念及线性运算一、基础小题1．关于平面向量，下列说法正确的是( )A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量是唯一的C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D．共线向量就是相等向量答案 C解析对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确．故选C.2．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a ＋(－b)．正确的个数是( )A．2 B．3C ．4D ．5答案 D解析 ①②③④⑤正确．3．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线答案 D解析如m ∥0，0∥k ，但k 与m 可能共线也可能不共线，故选D. 4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( ) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →答案 A解析如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．16答案 A解析由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A.6．已知在四边形ABCD 中，O 是四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝a －b ＋c ，则四边形ABCD 的形状为( )A ．梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形答案 C解析因为OD →＝a －b ＋c ，所以AD →＝c －b ，又BC →＝c －b ，所以AD →∥BC →且|AD →|＝|BC →|，所以四边形ABCD 是平行四边形．7．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( ) A ．OA →＝13AB →＋23BC →B ．OA →＝23AB →＋13BC →C ．OA →＝13AB →－23BC →D ．OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →，故选D.8．A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且OA →＝a ，OB →＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR →＝( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a答案 B解析 PR →＝OR →－OP →＝(OR →＋OQ →)－(OP →＋OQ →)＝2OB →－2OA →＝2(b －a )，故选B.9．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等；④若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．则所有正确命题的序号是( )A ．①B ．③C ．①③D ．①④ 答案 A解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误；由于方向相同或相反的向量为共线向量，故AB →与CD →也可能平行，即A ，B ，C ，D 四点不一定共线，故④错误．故选A.10.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b答案 D解析连接CD ，由点C 、D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC→＋CD →＝b ＋12a .11．△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34答案 C解析因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，所以PC →＝－2PA →＝2AP →，即P 是AC 边的一个三等分点，且PC ＝23AC ，由三角形的面积公式可知，S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝23.12．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点答案 B解析设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13⎝⎛⎭⎫OM →＋2OC →＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．二、高考小题13．[2015·全国卷Ⅰ]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.14．[2014·福建高考]设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于 ( )A ．OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →答案 D解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D.15．[2014·全国卷Ⅰ]设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC → 答案 A解析如图， EB →＋FC →＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →)＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.16．[2015·安徽高考]△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →答案 D解析 ∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝AC →－AB →＝BC →，∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|b |＝2，a ·b ＝12AB →·BC →＝－1，故a ，b 不垂直，4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，故(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故选D.17．[2015·北京高考]在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析如图在△ABC 中，MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝－23AC →＋AB →＋12BC →＝－23AC →＋AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →－16AC →.∴x ＝12，y ＝－16.三、模拟小题18．[2016·山西监测]已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝－12.若平面向量p 满足p·a ＝p·b ＝12，则|p |＝( )A ．2B ． 2C ．1D ．12答案 C解析设a ，b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则a·b ＝cos θ＝－12，θ＝2π3，建立平面直角坐标系，使得a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设p ＝(x ，y )，则由p·a ＝p·b ＝12可得x ＝－12x ＋32y ＝12，解得x ＝12，y ＝32，则|p |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C.19. [2017·河北张家口月考]如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FB →＝( )A ．0B ．BE →C ．AD → D ．CF →答案 A解析在正六边形ABCDEF 中，CD ∥AF ，CD ＝AF ，所以BA →＋CD →＋FB →＝BA →＋AF →＋FB →＝BA →＋AB →＝0，故选A.20．[2016·山东师大附中模拟]已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上，选C.21．[2016·陕西咸阳模拟]在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A ．23b ＋13c B ．53c －23b C ．23b －13c D ．13b ＋23c 答案 A解析 BC →＝AC →－AB →＝b －c ，BD →＝23BC →＝23(b －c )，∴AD →＝AB →＋BD →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .22. [2016·四川广元模拟]如图，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →等于( )A ．13OA →－43OB → B ．13OA →＋43OB →C ．－13OA →＋43OB →D ．－13OA →－43OB →答案 C解析 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →，选C.23．[2016·河南中原名校联考]如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A ．23AB →－13AD →B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →答案 C解析解法一：如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝23AB →＋23AD →，于是BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋23AD →－AB →＝－23AB →＋13AD →，故选C. 解法二：BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.24．[2016·安徽十校联考]已知A 、B 、C 三点不共线，且AD →＝－13AB →＋2AC →，则S △ABDS △ACD ＝( )A ．23 B ．32 C ．6 D ．16答案 C解析如图，取AM →＝－13AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD →＝－13AB →＋2AC →.由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ，而S △AMD ＝S △AND ， ∴S △ABDS △ACD＝6，故选C. 25．[2017·大连模拟]在△ABC 中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形答案 A解析如图，由cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，知c (PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c )PA →＋(c －b )PC →＝0，而PA →与PC →为不共线向量，∴a －c ＝c －b ＝0，∴a ＝b ＝c .26．[2016·湖南四地一模]如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →＝m a ＋n b ，则m ，n 对应的值为( )A ．27，47B ．12，14 C ．16，27 D ．16，37答案 A解析根据已知条件得，BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(m a ＋n b )－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n2b ，CR →＝BR →－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1b ， ∴QP →＝m 2a ＋n 2b ，RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12a ＋n 4b ，RP →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8＋14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b .∵RQ →＋QP →＝RP →， ∴⎝⎛⎭⎪⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 8－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝27，n ＝47，故选A.27．[2016·天津模拟]在平行四边形ABCD 中，AE →＝EB →，CF →＝2FB →，连接CE ，DF 相交于点M ，若AM →＝λAB →＋μAD →，则实数λ与μ的乘积为( )A ．14B ．38C ．34D ．43答案 B解析 ∵E ，M ，C 三点共线，∴设AM →＝xAE →＋(1－x )AC →，则AM →＝x 2AB →＋(1－x )(AB →＋AD →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2AB →＋(1－x )AD →.同理D ，M ，F 三点共线，∴设AM →＝yAF →＋(1－y )AD →，则AM →＝yAB →＋⎝⎛⎭⎪⎫1－2y 3AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x2＝y ，1－x ＝1－2y3，解得y ＝34，即AM →＝34AB →＋12AD →.∴λ＝34，μ＝12，即λμ＝34×12＝38.28．[2017·安徽马鞍山质检]已知△ABC 是边长为4的正三角形，D 、P 是△ABC 内的两点，且满足AD →＝14(AB →＋AC →)，AP →＝AD →＋18BC →，则△APD 的面积为( )A ．34B ．32C ． 3D ．2 3答案 A解析取BC 的中点E ，连接AE ，由于△ABC 是边长为4的正三角形，则AE ⊥BC ，AE →＝12(AB→＋AC →)，又AD →＝14(AB →＋AC →)，所以点D 是AE 的中点，AD ＝ 3.取AF →＝18BC →，以AD 、AF 为邻边作平行四边形，可知AP →＝AD →＋18BC →＝AD →＋AF →.而△APD 是直角三角形，AF ＝12，所以△APD 的面积为12×12×3＝34.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2016·山东莱芜模拟] 如图，已知△OCB 中，B 、C 关于点A 对称，OD ∶DB ＝2∶1，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解 (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，∴DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)∵EC →∥DC →，EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ， DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45. 2．[2017·河南安阳周测]如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.。

2018年高考数学专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍理

专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。

(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。

【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。

(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )，所以角－α的终边在第二象限。

由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。

所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。

【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。

(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。

(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。

(4)求并集化简集合。

2．确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出k α或αk的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置。

【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。

2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．CD．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

三角函数(原卷版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题09三角函数1．【2022年全国甲卷】将函数op =sin B (>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则的最小值是（）A ．16B ．14C ．1D ．122．【2022年全国甲卷】设函数op =sin B +(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A B ,6C D 3．【2022年全国乙卷】函数=cos ++1sin +1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．−π2，π2B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2D ．−3π2，π2+24．【2022年新高考1卷】记函数op =sin(B +4)+o >0)的最小正周期为T ．若23<<，且=op 的图象关于点(32,2)中心对称，则o2)=（）A ．1B ．32C ．52D ．35．【2022年新高考2卷】若sin(+p +cos(+p =22cos +sin ，则（）A ．tan(−p =1B ．tan(+p =1C ．tan(−p =−1D ．tan(+p =−16．【2021年甲卷文科】若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A 15B C ．3D ．37．【2021年乙卷文科】函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和28．【2021年乙卷文科】22π5πcos cos 1212-=（）A ．12B C ．2D 9．【2021年乙卷理科】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．【2021年新高考1卷】若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．6512．【2021年新高考2卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%13．【2020年新课标1卷理科】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π214．【2020年新课标1卷理科】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A B ．23C ．13D15．【2020年新课标2卷理科】若α为第四象限角，则（）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<016．【2020年新课标3卷理科】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．217．【2020年新课标3卷文科】已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．3C ．23D ．218．【2020年新课标3卷文科】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）AB ．C ．D ．19．【2019年新课标1卷理科】函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．20．【2019年新课标1卷理科】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③21．【2019年新课标1卷文科】tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．22．【2019年新课标2卷理科】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin│x │23．【2019年新课标2卷理科】已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BC D 24．【2019年新课标2卷文科】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．1225．【2019年新课标3卷理科】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④26．【2019年新课标3卷文科】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．527．【2018年新课标1卷文科】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为428．【2018年新课标1卷文科】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=A ．15B ．5C ．5D ．129．【2018年新课标2卷理科】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4πB ．2πC ．34πD ．π30．【2018年新课标3卷理科】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-31．【2018年新课标3卷文科】函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π32．【2022年新高考2卷】已知函数op =sin(2+p(0<<π)0中心对称，则（）A ．op 在区间0,12B ．op 在区间−π12C ．直线=7π是曲线=op 的对称轴D ．直线=是曲线=op 的切线33．【2020年新高考1卷（山东卷）】下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -34．【2022年全国乙卷】记函数op =cos(B +p(>0,0<<π)的最小正周期为T ，若op ==9为op 的零点，则的最小值为____________．35．【2021年甲卷文科】已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.36．【2021年甲卷理科】已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．37．【2020年新课标2卷文科】若2sin 3x =-，则cos 2x =__________．38．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．39．【2019年新课标1卷文科】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．40．【2018年新课标2卷理科】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．41．【2018年新课标2卷文科】已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．42．【2018年新课标3卷理科】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．43．【2019年新课标1卷文科】已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．。

2018年高考数学—三角函数(解答+答案)

2018年高考数学——三角函数解答1.(18北京理（15）（本小题13分）)在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．2.（18江苏16．（本小题满分14分））已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．3.（18全国一理17．（12分））在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .4.（18天津理（15）（本小题满分13分））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （I ）求角B 的大小；学科*网（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.5.（18浙江18．（本题满分14分））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．6.（18北京文（16）（本小题13分））已知函数2()sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值.参考答案：1.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos B -=．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A =43，∴sin A =3． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =31143()72⨯-+⨯=33．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337⨯=， ∴AC 边上的高为33．2.解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()αβ+=，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．3.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以223cos 1255ADB ∠=-=.（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.4.（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A ．因此sin 22sin cos A A A =21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-=5.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.6.【解析】（Ⅰ）1cos 211π1()22cos 2sin(2)22262x f x x x x x -=+=-+=-+，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知π1()sin(2)62f x x =-+. 因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--. 要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3.。

待定系数法解决一类三角函数的最值问题

2020年第11期(上)中学数学研究11待定系数法解决一类三角函数的最值问题广东省中山纪念中学(528454)邓启龙高考真题(2018年高考全国卷I理科第16题)已知函数f(x)=2sin x+sin2x,则f(x)的最小值是___.分析函数f(x)中既有sin x,又有sin2x=2sin x cos x,初看感觉无从下手，只能通过求导来求最值,于是得到解法一.然后观察f(x)的结构，发现可以利用不等式来求最值,于是得到解法二，三，四.解法一只需考虑一个周期［0,2n］.f(x)=2cos x+2cos2x=2(2cos2x+cos x—1)=2(cos x+1)(2cos x—1),令f'(x)=0得x=3,n,¥.易得当x=3时,f(x)取最大值学,当x=罟时,f(x)取最小值-学.解法二先求f(x)在一个周期［0,2n］上的最大值.令x€［0,2〕，则f(n—x)=2sin x—sin2x< f(x),f(n+x)=sin2x—2sin x W f(x),f(2n—x)=—2sin x—sin2x W f(x),所以f(x)的最大值在［。

冷］上取到.易知sin x在［0,n］上凸，由琴生不等式得f(x)=sin x+sin x+sin(n—2x)W3sin x+x+n—2x3当且仅当x=3时取等号.所以当x=3时,f(x)取最大值进.又因为f(x)是奇函数,所以当x=-3时,f(x)取最小值-乎.nx€［0,2］，f(x)=2sin x+2sin x cos x=2sin x(1+cos x)sin2x(1+cos x)2=2\J(1—cos x)(1+cos x)3 =22__________________________________________ =3(1—cos x)•(1+cos x)•(1+cos x)-(1+cos x) 32/「3(1—cos x)+3(1+cos x)］4^/3 W制［-----------4------------------］=丁,n当且仅当3(1—cos x)=1+cos x,即 x=3时,f(x)取最大值学.又因为f(x)是奇函数,所以当x=-3时,f(x)取最小值-学.解法四f(x)=2sin x cos x+2sin x.假设当sin x= a,cos x=b时，f(x)取最大值，引入参数a,b>0,且22sin x cos x1sin x2cos x2a2+b2=1.由-------W)2+(十)2］得b2a22sin x cos x W—sin x+〒cos x.由sin x-aab2sin x W—sin2x+a.于是aa bsin2x+a2——得1sin2—sin x+aa 2sin x cos x+2sin x W—sin2x+-cos2x+abb+1•2.a2=------sin x+〒cos x+a,ab由—+.1=-且a2+b2=1得a=单,b=1.a b22于是2sin x cos x+2sin x W A/3sin2x+-\/3cos2x+~^=学.所以f(x)的最大值为学,当且仅当sin x=¥,cos x=1,即x=n+2kn(k€Z)时，f(x)取最大值.又因为f(x)是奇函数,所以当x=-£+2kn(k€Z)解法三同解法二得f(x)的最大值在［0,2］上取到.时,f(x)取最小值——2综上,a的取值范围是^一兰,+8)评注在给定区间上适当考虑某点(端点)的性质，取x 的特殊值,得到参数的取值范围，找到一个不等式成立的必要条件，从而缩小范围，然后再证明必要条件也是充分条件,即可求得结论，就是我们常说的必要性探路法.而端点效应是其中比较常见的一种题型，比如2019年新课标全国I卷文科第20题体现了这样的解题思路.结语不等式恒成立求参数范围问题,往往涉及函数、方程、不等式等高中数学核心知识，以及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想,综合性强、难度大.解决此类问题的通法是构造函数，对参数进行分类讨论求解；也可以优先采用分离函数方法，将问题转化为求函数的最值,或借助数形结合思想求解;然而并非所有问题用这两种思路容易奏效，这时我们可以采用必要性探路，再证充分性的思路.学生在实际解题中，需结合具体问题进行具体分析，选择合适的解题思路与方法，让问题的解决简洁、高效.12中学数学研究2020年第11期(上)解法二把f(x)的表达式转化为三个角的正弦,且这三个角的和是定值，然后利用琴生不等式求岀函数最大值.解法三把f(x)的表达式转化为正弦与余弦的乘积，然后利用多元均值不等式求岀函数最大值,技巧性很强.解法四利用待定系数法，通过假设f(x)取最大值时sin x,cos x的取值引入参数，并利用结构特点和取等条件构造不等式，最后由系数的比例关系和参数满足的条件求岀参数，进而求岀函数最大值.变式探究若函数f(x)中既有sin x, sin2x,又有cos x,cos2x,即f(x)=p sin2x+q cos2x+r sin x+ s cos x,p,r,s20,如何求函数f(x)的最大值？此时解法一仍然适用，但是方程f'(x)=0不好解.由于系数p,q,r,s 的一般性，解法二和解法三就不适用了.本文通过探究发现,解法四的待定系数法仍然可以解决这一类三角函数的最值问题.假设当sin x=a,cos x=b时，f(x)=p sin2x+q cos2x+r sin x+s cos x取最大值，引入参数a,b>0, 22sin x cos x1sin x2cos x2且a+b2=L由矿•丁W—[(矿)2+(丁)2]pb2pa2sin2x+a2得p sin2x W一sin x+-----cos x.由sin x•a W---------------a b2r2ra cos2x+b2得r sin x W一sin x+------.由cos x•b W---------------得2a丁2z2s cos x W—b cos2x+~—.又q cos2x=q cos2x—q sin2x,于是p sin2x+q cos2x+r sin x+s cos xpb2pa222r2ra W—sin x+丁cos x+q cos x—q sin x-----sin x-----a b2a2s2sb+—b cos x+¥pb r2pa s2ra sb =(万一q+茲)sin x+(万+q+—b)cos x+空+空由pb-q+—■=pa+q+—；且a2+b2=1,解岀参数a2a b2ba,b,于是得到f(x)的最大值，当且仅当sin x=a,cos x=b 时,f(x)取最大值.下面通过例题来说明如何利用待定系数法解决这一类三角函数的最值问题.例1(第六届世界数学团体锦标赛青年组试题第5题)求函数f(x)=2^3sin2x+4sin x+8^3cos x的最大值.解f(x)=^/3sin x cos x+4sin x+^/3cos x.假设当sin x=a,cos x=b时，f(x)取最大值，引入参数a,b>0,22sin x cos x1sin x2cos x2且a2+b2=L由「厂•丁W—[(矿)2+(丁)2]/曰彳后•/W"3b.2^/3a2u-.-/得403sin x cos x W-------sin x+---------cos x.由sin x•a Wabsin2x+a2p^.”2.2c丄7”cos2x+b2得4sin x W—sin x+—a.由cos x・b W--------------a2得873cos x W cos2x+473b.于是b4^/3sin x cos x+4sin x+8^/3cos x27^b-2.27^a2丄2-2.9W-------sin x+---------------cos x+——sin x+2aa b a+cos2x+473bb27^b+2-2i27^a+4732i c i”g=------------sin x+-----------------------------cos x+2a+473b由ab27^b+—=27J475且a2+b2=1,消去b得a b12a4+24a3+a2—12a+2=0,解得a=1,b=g3.于是4^/3sin x cos x+4sin x+8^/3cos x W10sin2x+ 10cos2x+7=17.所以f(x)的最大值为17,当且仅当sin x=1,cos x=X3,即 x=n+2kn(k e Z)时，f(x)取226最大值.例2(《数学通讯》2018年第12期问题376)求函数y=sin x cos x+3sin(x+—)+sin(x—4)的最大值.1n n 解y=-sin2x+3sin(x+—)+sin(x——).令2124n1nt=x—4,得y=—cos2t+3sin(t+3)+sin t= 1cos2t+5sin t+3—3cos t.假设当sin t时，y取最大值，引入参数a,b>0,且由sin t•a=a,cos t=ba2+b2=1.sin2t+a25525W-------------彳得石sin t W厂sin2t+丁a.由224a4cos2t+b2刁曰W3,.W3 2.|3J3---------彳得-----cos t W-------cos t+----b.224b4=-cos2t—-sin2t,于是22」丄z5•丄373丄—cos2t+—sin t+-----------cos t2t1■ 2..5一-—..........4a=(4a一j)sin2t+1—cos t•b W又*cos2t1-—121.25.253^/323^/3 W—cos2t-----sin2t+------sin2t+——a+--------cos2t+---------b224a44b4=(4a一—)sin2t++—)cos2t+4a+翠b由4a一—=醤+—且a2+b2=1，消去b得16a4-40a3+36a2+40a-25=0,解得a=1,b=舟.十口15.3^3.22于是—cos2t+—sin t+-------cos t W2sin2t+2cos2t+1522215~4.所以y的最大值为~4,当且仅当sin t=；=X3,即t=n+2kn(k e Z)时取最大值.所5/615x=—+2kn(k e Z)时,y取最大值—.注如果把sin(x+—),sin(x-4)展开,将函数整理为p sin2x+r sin x+s cos x的形式，系数很复杂，最后得到的方程很难解.本文先作代换t=x-4,然后将函数整理为q cos2t+r sin t+s cos t的形式，系数简单，最后得到的方程也好解.7=4='1—,cos t以当2。

(完整版)2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=,则|z ｜=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z ｜=1 【考点定位】复数2、已知集合A=｛x|x 2-x —2>0}，则A =A 、｛x|—1〈x 〈2｝B 、｛x|—1x 2｝C 、｛x|x 〈-1}∪{x ｜x>2｝D 、｛x|x —1}∪｛x ｜x 2｝【答案】B【解析】由题可得C R A={x ｜x 2-x-2≤0},所以{x|—1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍,实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后,种植收入减少。

B 、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37%＊200％=74％>60%，【考点定位】简单统计4、记S n 为等差数列{a n ｝的前n 项和，若3S 3=S 2+S 4，a 1=2,则a 5=A 、-12B 、-10C 、10D 、12 【答案】B【解析】3＊（a 1+a 1+d+a 1+2d ）=（ a 1+a 1+d ）（a 1+a 1+d+a 1+2d+a 1+3d ），整理得： 2d+3a 1=0 ; d=—3 ∴a 5=2+（5-1）＊（—3）=—10 【考点定位】等差数列求和5、设函数f （x)=x 3+(a-1）x 2+ax ，若f （x)为奇函数，则曲线y=f （x ）在点（0，0）处的切线方程为:A 、y=-2xB 、y=-xC 、y=2xD 、y=x 【答案】D【解析】f （x ）为奇函数，有f （x ）+f （-x ）=0整理得： f （x ）+f （-x)=2＊(a —1）x 2=0 ∴a=1 f （x ）=x 3+x求导f ‘（x ）=3x 2+1 f ‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=A 、—-B 、—-C 、—+D 、- 【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB —AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。

高考数学真题三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式

专题四三角函数与解三角形4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式1.(2018北京文,7,5分)在平面直角坐标系中,AB⏜,CD ⏜,EF ⏜,GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( )A.AB⏜ B.CD ⏜ C.EF ⏜ D.GH ⏜ 答案 C 本题主要考查三角函数的概念,同角三角函数的基本关系式.若点P 在AB⏜或CD ⏜(不包含端点A,D)上,则角α在第一象限,此时tan α-sin α=tan α(1-cos α)>0,与tan α<sin α矛盾,故排除A,B.若点P 在GH ⏜(不包含端点G)上,则角α在第三象限,此时tan α>0,cos α<0,与tan α<cos α矛盾,故排除D,故选C.2.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tan α>0,则( )A.sin α>0B.cos α>0C.sin 2α>0D.cos 2α>0答案 C 由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B 错;由sin 2α=2sin αcos α知sin 2α>0,C 正确;α取π3时,cos 2α=2cos 2α-1=2×(12)2-1=-12<0,D 错.故选C.评析本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.3.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45B.35C.-35D.-45答案 D 由三角函数的定义知cos α=√(-4)2+32=-45.故选D.4.(2011课标,理5,文7,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos 2θ=( )A.-45B.-35C.35D.45答案 B 解法一:由三角函数定义知,tan θ=2,则cos 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=-35.解法二:由三角函数定义知,tan θ=2,即sin θ=2cos θ,则sin 2θ=4cos 2θ.从而有cos 2θ=15.故cos 2θ=2cos 2θ-1=-35.5.(2015福建文,6,5分)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125 B.-125 C.512 D.-512答案 D ∵sin α=-513,α为第四象限角, ∴cos α=√1-sin 2α=1213,∴tan α=sinαcosα=-512.故选D. 6.(2014课标Ⅰ理,8,5分)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( ) A.3α-β=π2B.3α+β=π2C.2α-β=π2D.2α+β=π2答案 C 由tan α=1+sinβcosβ得sinαcosα=1+sinβcosβ,即sin αcos β=cos α+sin βcos α,所以sin(α-β)=cos α,又cos α=sin (π2-α),所以sin(α-β)=sin (π2-α),又因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2,因此α-β=π2-α,所以2α-β=π2,故选C.7.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b 答案 C ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a. 又∵c=tan 35°=sin35°cos35°>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.8.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=( )A.43B.34C.-34D.-43答案 C (sin α+2cos α)2=52,展开得3cos 2α+4sin αcos α=32,再由二倍角公式得32cos 2α+2sin 2α=0,故tan 2α=sin2αcos2α=-322=-34,选C.评析本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系. 9.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A.-1213 B.-513 C.513 D.1213答案 A ∵α是第二象限角,∴cos α<0. ∴cos α=-√1-sin 2α=-1213.故选A. 评析本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题. 10.(2013广东文,4,5分)已知sin (5π2+α)=15,那么cos α=( ) A.-25 B.-15 C.15 D.25答案 C ∵sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cos α,∴cos α=15.故选C. 11.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825 C.1 D.1625答案 A 当tan α=34时,原式=cos 2α+4sin αcos α=cos 2α+4sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+4tanαtan 2α+1=1+4×34916+1=6425,故选A.思路分析利用二倍角公式将所求式子展开,再将其看成分母为1的式子,并用sin 2α+cos 2α代替1,然后分子、分母同除以cos 2α,得到关于tan α的式子,由此即可代值求解.12.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y= . 答案 -8解析 P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sin θ=√,又sin θ=-2√55,∴√=-2√55,解得y=-8.评析本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得√=-2√55是本题求解的关键.13.(2016四川文,11,5分)sin 750°= . 答案12解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 解后反思利用诱导公式把大角化为小角. 评析本题考查了三角函数的诱导公式.14.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)-π4]=12-11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,又易知cos θ<0,∴cos θ=-310√10,∴sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105.。

2018年全国1卷理科第16题(三角函数的最值问题)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析

2018年全国1卷理科第16题(三角函数的最值问题) -2018年高考数学经典题分析及针对训练Word 版含解析一、典例分析，融合贯通典例【2018年全国1卷理科第16题】已知函数f(x)=2sinx+sin2x ,则f(x)的最小值是______. 解法一：引导：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.点评：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值. 解法二：()=2sin +sin2=2sin (1+cos )f x x x x x22222()=4sin (1+cos )4(1-cos )(1+cos )f x x x x x ∴=4(3-3cos )(1+cos )(1+cos )(1+cos )3x x x x =443-3cos +1+cos +1+cos +1+cos )34x x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭44327324⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭ ()f x 易知是奇函数1cos = 2()sin =2x f x x ⎧⎪⎪∴≥⎨⎪-⎪⎩当，()f x ∴的最小值是点评：另辟蹊径，联系均值不等式求最值（和定积最小）。

解法三：解法3：公式搭桥，函数领路，导数建功。

解法四：()=2sin +sin2f x x x ，tan 2xt R =∈令则2223418 2sin(1cos)(1)1112t ty x xt t t tt-=+=+=++++，31t2,t ttϕ=++令()4222221321t32,0t tt tt tϕμ+-'=+-==≥()令，原式得；(1)(31),μμμ+-=显然13μ=时，取tϕ()到极值经检验当t=tϕ()有最大值，则y有最小值得：min812(yϕ==-解法4：替换消元，导数建功。

深度透视2018年全国数学高考卷Ⅰ理科第16题

深度透视２０１８年全国数学高考卷Ⅰ理科第１６题∗Ә汤小梅㊀㊀(虞阳中学ꎬ福建福清㊀３５０３０７)㊀㊀摘㊀要:对三角函数的最值求解问题进行一题多解与一题多变ꎬ能让学生将所学知识灵活运用㊁开拓思路ꎬ从而做到融会贯通.这就需要我们在面对三角最值试题时ꎬ学会多角度欣赏与思考ꎬ从中发现试题的解决规律ꎬ并能寻根探源与同源探变 ꎬ从而掌握一类题的应对策略.关键词:一题多解ꎻ寻根探源ꎻ一题多变中图分类号:Ｏ１２２.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)０９￣００４４￣０４㊀㊀近年来高考试题的命制越来越新颖多变ꎬ但万变不离其宗ꎬ大多数高考题都能在教材或往年高考真题中找到其原形 .高考对三角最值的考查也不例外ꎬ通过背景包装㊁更换数字㊁变条件㊁变结论等多种方式对教材的例题㊁习题以及高考真题进行重新加工ꎬ看似平常ꎬ实则有很多值得品位的东西.现以２０１８年全国卷Ⅰ理科试题第１６题为例ꎬ从解法探究㊁寻根探源㊁同源变式等角度来欣赏它ꎬ从而轻松突破求三角最值问题的思维瓶颈.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ则ｆ(ｘ)的最小值是.(２０１８年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第１６题)该题表述简洁ꎬ考查的内容丰富ꎬ主要考查二倍角公式㊁同角三角函数的基本关系式以及利用导数判断函数的单调性求最值或利用基本不等式的推论求最值等基础知识ꎬ意在考查考生的转化和化归能力㊁运算求解能力ꎬ考查逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养.在近５年的全国卷中ꎬ求三角函数的最值在２０１７年卷Ⅱ理科第１４题㊁２０１７年卷Ⅲ文科第６题㊁２０１４年卷Ⅱ文(理)科第１４题都出现过ꎬ这些题多利用二倍角公式㊁两角和差的正余弦公式以及辅助角公式对三角函数进行化简ꎬ再利用三角函数的单调性ꎬ即可求其最值.本题若不会利用导数法或基本不等式的推论ꎬ则即使会利用三角公式进行化简ꎬ也求不出最值.这样设制高考题规避了特殊技巧ꎬ凸显了数学本质ꎬ能有效地考查考生的创新意识.１㊀解法探究解法１㊀因为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝２ｓｉｎｘ(１＋ｃｏｓｘ)＝４ｓｉｎｘ２ｃｏｓｘ２２ｃｏｓ２ｘ２＝８ｓｉｎｘ２ｃｏｓ３ｘ２ꎬ所以㊀ｆ２(ｘ)＝６４３３ｓｉｎ２ｘ２ｃｏｓ６ｘ２æèçöø÷ɤ６４３３ｓｉｎ２ｘ２＋ｃｏｓ２ｘ２＋ｃｏｓ２ｘ２＋ｃｏｓ２ｘ２４æèççöø÷÷４＝２７４ꎬ当且仅当３ｓｉｎ２ｘ２＝ｃｏｓ２ｘ２ꎬ即ｓｉｎ２ｘ２＝１４时取到等号ꎬ从而０ɤｆ２(ｘ)ɤ２７４ꎬ于是－３３２ɤｆ(ｘ)ɤ３３２ꎬ故ｆ(ｘ)的最小值为－３３２.点评㊀本解法的关键:一是化简 ꎬ即利用二倍角的正弦公式与余弦公式ꎬ对三角函数的解析式进行化简ꎻ二是用推论 ꎬ即利用基本不等式的推论ꎬ求出三角函数的最值ꎬ此时需注意等号成立条件的检验.解法２㊀因为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝∗收文日期:２０１８￣０６￣０８ꎻ修订日期:２０１８￣０７￣０５作者简介:汤小梅(１９７１－)ꎬ女ꎬ福建福清人ꎬ中学高级教师.研究方向:数学教育.２ｓｉｎｘ(１＋ｃｏｓｘ)ꎬ所以ｆ２(ｘ)＝４ｓｉｎ２ｘ(１＋ｃｏｓｘ)２＝４(１－ｃｏｓｘ)(１＋ｃｏｓｘ)３ɤ４３３(１－ｃｏｓｘ)＋１＋ｃｏｓｘ＋１＋ｃｏｓｘ＋１＋ｃｏｓｘ４[]４＝２７４ꎬ当且仅当３(１－ｃｏｓｘ)＝１＋ｃｏｓｘꎬ即ｃｏｓｘ＝１２时取到等号ꎬ从而０ɤｆ２(ｘ)ɤ２７４ꎬ于是－３３２ɤｆ(ｘ)ɤ３３２ꎬ故ｆ(ｘ)的最小值为－３３２.点评㊀本解法的思路与解法１相同ꎬ求解的关键还是三角函数解析式的化简㊁用基本不等式的推论 ꎬ只是在三角函数解析式化简时ꎬ不用像解法１中将２ｘ化为ｘ２ ꎬ只需化到ｘ即可ꎬ并且还需用到同角三角函数的基本关系式.显然ꎬ解法２比解法１省时ꎬ但仍需注意等号成立条件的检验.解法３㊀因为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝２ｓｉｎｘ(１＋ｃｏｓｘ)ꎬ所以ｆ２(ｘ)＝４ｓｉｎ２ｘ(１＋ｃｏｓｘ)２＝４(１－ｃｏｓｘ)(１＋ｃｏｓｘ)３.设ｙ＝ｆ２(ｘ)ꎬｃｏｓｘ＝ｔꎬ则ｙ＝４(１－ｔ)(１＋ｔ)３(其中－１ɤｔɤ１)ꎬ从而㊀ｙᶄ＝４[－(１＋ｔ)３＋３(１－ｔ)(１＋ｔ)２]＝８(１＋ｔ)２(１－２ｔ)ꎬ于是当－１<ｔ<１２时ꎬｙᶄ>０ꎬ当１２<ｔ<１时ꎬｙᶄ<０ꎬ即函数ｙ＝４(１－ｔ)(１＋ｔ)３(其中－１ɤｔɤ１)在－１ꎬ１２æèçöø÷上单调递增ꎬ在１２ꎬ１æèçöø÷上单调递减ꎬ因此当ｔ＝１２时ꎬｙｍａｘ＝２７４.又因为当ｔ＝ʃ１时ꎬｙｍｉｎ＝０ꎬ所以０ɤｙɤ２７４ꎬ即０ɤｆ２(ｘ)ɤ２７４ꎬ进而－３３２ɤｆ(ｘ)ɤ３３２ꎬ故ｆ(ｘ)的最小值为－３３２.点评㊀本解法的关键:一是会化简 ꎬ只需用二倍角公式与同角三角函数的基本关系式ꎬ把ｆ２(ｘ)化为同角同名的函数式ꎻ二是会换元 ꎬ即通过三角换元ꎬ把三角函数转化为四次函数ꎬ此时需注意利用余弦函数的有界性ꎬ求出新元的取值范围ꎻ三是用导数 ꎬ即对函数求导ꎬ利用导数的符号ꎬ判断函数的单调性ꎬ求出其最值ꎬ从而得到ｆ２(ｘ)的最值ꎬ即可求出ｆ(ｘ)的最小值.解法４㊀因为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ所以ｆᶄ(ｘ)＝２ｃｏｓｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝４ｃｏｓ２ｘ＋２ｃｏｓｘ－２.设ｙ＝ｆᶄ(ｘ)ꎬｃｏｓｘ＝ｔꎬ则ｙ＝４ｔ２＋２ｔ－２(其中－１ɤｔɤ１)ꎬ４ｔ－１２æèçöø÷(ｔ＋１)(其中－１ɤｔɤ１).当－１<ｔ<１２时ꎬｙ<０ꎬ当１２<ｔ<１时ꎬｙ>０ꎬ即当－１<ｃｏｓｘ<１２时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当１２<ｃｏｓｘ<１时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ从而当ｘ＝２ｋπ－π３(其中ｋɪＺ)时ꎬｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｆ２ｋπ－π３æèçöø÷＝２ｓｉｎ２ｋπ－π３æèçöø÷＋ｓｉｎ２２ｋπ－π３æèçöø÷＝－３３２.点评㊀与前３种解法相比ꎬ本解法跳过对函数ｆ(ｘ)的三角化简ꎬ直接对函数ｆ(ｘ)求导ꎬ再通过三角换元(注意新元的取值范围)ꎬ判断导函数的符号ꎬ直接求出ｆ(ｘ)的最小值ꎬ实属干净利落.解法５㊀因为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ所以ｆ(ｘ＋２π)＝２ｓｉｎ(ｘ＋２π)＋ｓｉｎ２(ｘ＋２π)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝ｆ(ｘ)ꎬ从而２π是函数ｆ(ｘ)的周期ꎬ于是欲求函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ的最小值ꎬ等价于求函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ(其中０ɤ０ɤ２π)的最小值.求导得ｆᶄ(ｘ)＝２ｃｏｓｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝４ｃｏｓ２ｘ＋２ｃｏｓｘ－２＝４ｃｏｓｘ－１２æèçöø÷(ｃｏｓｘ＋１)ꎬ其中０ɤｘɤ２π.令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｃｏｓｘ＝１２或ｃｏｓｘ＝－１ꎬ即ｘ＝π３或ｘ＝５π３或ｘ＝πꎬ由于ｆπ３æèçöø÷＝３３２ꎬ㊀ｆ５π３æèçöø÷＝－３３２ꎬｆ(π)＝０ꎬ㊀ｆ(０)＝０ꎬ㊀ｆ(２π)＝０ꎬ故ｆ(ｘ)的最小值为－３３２.点评㊀本解法的关键:一是会转化 ꎬ即利用周期函数的定义ꎬ判断三角函数的周期性ꎬ把求函数ｆ(ｘ)在定义域Ｒ内的最小值转化为求函数ｆ(ｘ)在[０ꎬ２π]上的最小值ꎻ二是用导数 ꎬ即求方程ｆᶄ(ｘ)＝０的根ꎬ求出根所对应的函数值与端点的函数值ꎬ比较大小得函数ｆ(ｘ)在闭区间上的最值.２㊀寻根探源本题来源于人教Ａ版教材第１４７页复习参考题Ａ组第１１题的第１)小题[１]:例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ(ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ)ꎬ求ｆ(ｘ)的最大值.答案为２＋１.只需把例２中的已知函数ｆ(ｘ)变为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ(１＋ｃｏｓｘ)ꎬ再还原为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ并把所求ｆ(ｘ)的最大值变为ｆ(ｘ)的最小值 ꎬ把解答题变为填空题ꎬ即可得到例１.该题在外观上更和谐简单ꎬ三角名一样而角翻倍ꎬ但高考题(例１)如披着羊皮的狼 ꎬ其思维难度明显拔到一定的高度.３㊀同源变式思考１㊀若把例１中的函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ变为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ ꎬ其他都不变ꎬ即可得到如下难度降低的好题:变式１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ则ｆ(ｘ)的最小值是.分析㊀设ｔ＝ｓｉｎｘ(其中－１ɤｔɤ１)ꎬ则ｙ＝ｔ２＋２ｔꎬ即ｙ＝(ｔ＋１)２－１.当－１ɤｔɤ１时ꎬ函数ｙ＝ｔ２－４ｔ＋５单调递增ꎬ从而当ｔ＝－１时ꎬ函数ｙ＝ｔ２＋２ｔ(其中－１ɤｔɤ１)取得最小值ｙｍｉｎ＝－１ꎬ即ｆ(ｘ)的最小值是－１.点评㊀求形如ｙ＝ａｃｏｓ２ｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ或ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘ＋ｃ(其中ａꎬｂꎬｃꎬｄ均为常数ꎬ且ａｂʂ０)的函数最值ꎬ常用三角换元法ꎬ将所给的函数化成最值容易确定的另一个函数.一般可设ｔ＝ｃｏｓｘ(其中－１ɤｔɤ１)或ｔ＝ｓｉｎｘ(其中－１ɤｔɤ１)ꎬ再利用配方法ꎬ判断函数的单调性ꎬ即可求出原函数的最值.但在换元时应注意等价性ꎬ即关注新元的取值范围.思考２㊀若把例１中的函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ变为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ ꎬ其他都不变ꎬ即可得到如下难度降低的好题:变式２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ则ｆ(ｘ)的最小值是.分析㊀因为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ所以ｆ(ｘ)＝１－ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝１＋２ｓｉｎ２ｘ－π４æèçöø÷.当２ｘ－π４＝２ｋπ－π２(其中ｋɪＺ)ꎬ即ｘ＝ｋπ－π８(其中ｋɪＺ)时ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ取到最小值１－２.点评㊀破解此类三角函数最值问题的关键:一是化简三角函数的解析式ꎬ化简的目标为角化同 (如本题ꎬ优先考虑幂降一次角翻倍 ꎬ即先把２ｓｉｎ２ｘ转化为１－ｃｏｓ２ｘ ꎬ再利用辅助角公式ꎬ把函数ｆ(ｘ)转化为形如ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)＋ｈ的形式)ꎻ二是利用正弦函数的最值性ꎬ即可求出三角函数的最值.思考３㊀若想考查考生构造函数的能力ꎬ并渗透函数的奇偶性的性质ꎬ可把例１中的函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ变为ｆ(ｘ)＝６ｘ２－ｘ２ｓｉｎ３ｘ＋６ｘ＋３２ｘ２＋１ ꎬ并把所求ｆ(ｘ)的最小值变为ｆ(ｘ)的最小值与最大值之和 ꎬ便可得到如下立意新颖㊁构思独特㊁考查真功的好题:变式３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝６ｘ２－ｘ２ｓｉｎ３ｘ＋６ｘ＋３２ｘ２＋１ꎬ则ｆ(ｘ)的最小值与最大值之和为.分析㊀因为二次曲线的若干优美性质∗２０１８年全国卷Ⅰ解析几何试题引发的思考Ә杨瑞强㊀㊀(黄石市第一中学ꎬ湖北黄石㊀４３５０００)㊀㊀摘㊀要:２０１８年全国数学高考卷Ⅰ(文㊁理科)的解析几何试题是两道经典的试题ꎬ试题言简意赅ꎬ立意深刻ꎬ结论优美ꎬ值得深入研究.文章从３个疑惑出发ꎬ推广两道试题的结论ꎬ从而得出一般二次曲线的若干优美性质.关键词:二次曲线ꎻ推广ꎻ优美性质中图分类号:Ｏ１２３.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)０９￣００４７￣０４㊀㊀２０１８年全国数学高考卷Ⅰ(文㊁理科)的解析几何试题有一个共同特点:已知定点Ｐ(ｍꎬ０)是圆锥曲线Ｃ:Ｆ(ｘꎬｙ)＝０内一点ꎬ过点Ｐ的动直线与圆锥曲线Ｃ相交于点ＡꎬＢꎬ则存在点Ｑꎬ使得øＡＱＰ＝øＢＱＰ.１㊀试题呈现例１㊀设椭圆Ｃ:ｘ２２＋ｙ２＝１的右焦点为Ｆꎬ过点Ｆ的直线ｌ与Ｃ交于点ＡꎬＢꎬ点Ｍ的坐标为(２ꎬ０).１)当ｌʅｘ轴时ꎬ求直线ＡＭ的方程ꎻ２)设Ｏ为坐标原点ꎬ证明:øＯＭＡ＝øＯＭＢ.(２０１８年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第１９题)例２㊀设抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｘꎬ点Ａ(２ꎬ０)ꎬＢ(－２ꎬ０)ꎬ过点Ａ的直线ｌ与Ｃ交于点ＭꎬＮ.１)当ｌʅｘ轴时ꎬ求直线ＢＭ的方程ꎻ２)证明:øＡＢＭ＝øＡＢＮ.(２０１８年全国数学高考卷Ⅰ文科试题第２０题)２㊀引发思考上述两道试题的第２)小题难度都不大ꎬ例１的第２)小题只需要证明ｋＭＡ＋ｋＭＢ＝０ꎬ即可知直线㊀㊀ｆ(ｘ)＝６ｘ２－ｘ２ｓｉｎ３ｘ＋６ｘ＋３２ｘ２＋１＝３(２ｘ２＋１)－ｘ２ｓｉｎ３ｘ＋６ｘ２ｘ２＋１＝３－ｘ２ｓｉｎ３ｘ－６ｘ２ｘ２＋１ꎬ令ｇ(ｘ)＝ｘ２ｓｉｎ３ｘ－６ｘ２ｘ２＋１ꎬ则ｇ(－ｘ)＝(－ｘ)２ｓｉｎ(－３ｘ)－６(－ｘ)２(－ｘ)２＋１＝－ｘ２ｓｉｎ３ｘ－６ｘ２ｘ２＋１＝－ｇ(ｘ)ꎬ所以函数ｇ(ｘ)为奇函数.设ｇ(ｘ)的最大值和最小值分别为Ｍᶄꎬｍᶄꎬ则Ｍᶄ＋ｍᶄ＝０.设函数ｆ(ｘ)的最大值为Ｍꎬ最小值为ｍꎬ则Ｍ＋ｍ＝(３－Ｍᶄ)＋(３－ｍᶄ)＝６－(Ｍᶄ＋ｍᶄ)＝６.点评㊀破解此类题的关键:一是巧妙变形ꎬ对所给函数的解析式进行适当变形ꎻ二是巧构函数ꎬ根据函数的解析式所具有的明显特征ꎬ巧妙构造函数ꎻ三是活用性质ꎬ即活用奇函数的性质ꎬ奇函数的图像关于原点对称ꎬ即可轻松求出最值.从以上３个角度可窥:对典型高考题从不同角度进行变式探究ꎬ是深化知识㊁提升能力的重要途径.参㊀考㊀文㊀献[１]㊀人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书数学(必修４)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１６.∗收文日期:２０１８￣０６￣１２ꎻ修订日期:２０１８￣０７￣０８作者简介:杨瑞强(１９７９－)ꎬ男ꎬ湖北黄冈人ꎬ中学高级教师.研究方向:数学教育.。

三角函正弦余弦定理大题

三角函数2018年：4.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T16)已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.【命题意图】考查三角函数图象与性质,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,数形结合思想,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】(1)由已知,f(x)=(1-cos2x)+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)方法一:显然m>-,若x∈,则2x∈,2x-∈,①若2m-<即m<,则f(x)在[-,m]上的最大值小于,不合题意.②若2m-≥即m≥,当2x-=即x=时,f(x)在[-,m]上取得最大值,符合题意,综上,m的最小值为.方法二:显然m>-,因为f(x)在[-,m]上的最大值为,所以y=sin(2x-)在[-,m]上的最大值为1,又因为当且仅当2x-=+2kπ,即x=+kπ(k∈Z)时,y=sin(2x-)=1.所以[-,m]∩{x|x=+kπ(k∈Z)}≠∅,令+kπ≥-(k∈Z)得k≥-,即k=0,1,2,…所以x=+0×π=∈[-,m],即m≥,所以m的最小值为.9.(本小题满分14分)(2018·江苏高考·T16)已知α,β为锐角,tanα=, cos(α+β)=-.(1)求cos2α的值.(2)求tan(α-β)的值.【解析】(1)因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=,因此,cos2α=2cos 2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以a +β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2.因为tan α=,所以tan2α==-,因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.10.(2018·浙江高考T18)(本题满分14分)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P .(Ⅰ)求sin(α+π)的值;(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.【命题意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.【解析】(Ⅰ)由角α的终边过点P 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=.(Ⅱ)由角α的终边过点P得cos α=-,由sin(α+β)=得cos(α+β)=±.由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=.2017年4.(2017·北京高考文科·T16)已知函数f(x)=cos （2x-3π）-2sin x cos x. (1)f(x)的最小正周期.(2)求证:当x ∈44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，时,f(x)≥-12.【命题意图】本题主要考查三角恒等变换,意在培养学生的转化能力,计算能力.（16）（共13分）解：（Ⅰ）31π()2sin 2sin 2sin 22sin(2)223f x x x x x x x =+-==+. 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （Ⅱ）因为ππ44x -≤≤，所以ππ5π2636x -≤+≤.所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-.所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.【规律方法】化为“三个一”:三角函数的最值、周期等问题通过利用辅助角公式把三角函数化为式子f (x )=A cos (ωx+φ)+B 或f (x )=A sin (ωx+φ)+B 的“三个一”的形式即一个式子,一个三角函数名称,最高次数是1,进而便于求最值、周期等.17.2017山东高考真题：ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-.（1）求A ；（22b c +=，求sin C .17.答案：略解答：（1）由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 结合正弦定理得222b c a bc +-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.（22b c +=sin 2sin A B C +=,()sin 2sin A A C C ++=∴sin()2sin 23C C π++=,∴1cos 222C C -=∴sin()62C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-< 又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin sin()66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 2016年13.(2016·山东高考文科·T17)设f(x)=2sin (π-x)sin x-(sin x-cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间.(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g π6⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解题指南】经过三角恒等变换,结合辅助角公式求出f(x)=2sin π2x 3⎛⎫-⎪⎝⎭-1,下面的单调区间和图象变换都易解决.【解析】(1)f(x)=2(π-x)sin x-(sin x-cos x)2=22x-(1-2sin x cos x)=1-cos2x)+sin2x-1=sin2x-cos2-1=2sin π2x 3⎛⎫-⎪⎝⎭-1, 令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z ), 解得,k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z ), 所以,f(x)的单调递增区间为π5k π,k ππ1212⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).(2)由(1)知,f(x)=2sin π2x 3⎛⎫-⎪⎝⎭-1,经过变换后,g(x)=2sin x+-1,所以g π6⎛⎫ ⎪⎝⎭=2sin π6⎛⎫⎪⎝⎭-1=14.(2016·天津高考理科·T15)已知函数f(x)=4tan x sin πx 2⎛⎫- ⎪⎝⎭cos πx 3⎛⎫- ⎪⎝⎭-.(1)求f(x)的定义域与最小正周期. (2)讨论f(x)在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性. 【解题指南】(1)正切化弦,然后利用诱导公式、两角差的余弦公式、降幂公式以及辅助角公式把f(x)整理为y=A sin (ωx+ψ)+b 的形式.(2)令t=2x-π3,结合y=sin x 的单调性讨论.【解析】f=4tan x sin πx 2⎛⎫-⎪⎝⎭cos πx 3⎛⎫- ⎪⎝⎭-=4sin x 1cosx sinx 22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=sin2()1cos2x --=sin2x-cos2x =2sin π2x 3⎛⎫-⎪⎝⎭. (1)定义域πx x k π,k Z 2⎧⎫⎪⎪≠+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,T=2π2=π. (2)-π4≤x ≤π4,-5π6≤2x-π3≤π6,设t=2x-π3, 因为y=sin t 在t ∈5ππ,62⎡⎤--⎢⎥⎣⎦时单调递减,在t ∈ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时单调递增.由-5π6≤2x-π3≤π6,解得-π4≤x ≤-π12,由-π2≤2x-π3≤π6,解得-π12≤x ≤π4, 所以函数f(x)在ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.15.(2016·北京高考文科·T16)已知函数f(x)=2sin ωx cos ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值.(2)求f(x)的单调递增区间.【解题指南】首先把f(x)化成正弦型函数的形式,求出ω.再用整体法求单调递增区间.【解析】(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin π2ωx 4⎛⎫+ ⎪⎝⎭,最小正周期T=2π2ω=π,所以ω=1.(2)f(x)=2sinπ2x4⎛⎫+⎪⎝⎭,由-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z得,-3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z,所以单调递增区间为3ππkπ,kπ88⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k∈Z).正弦余弦定理高考真题7.(本小题13分)(2018·北京高考理科·T15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求∠A.(2)求AC边上的高.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】方法一:(1)由余弦定理,cos B===-,解得c=-5(舍),或c=3,所以cos A===,又因为0<A<π,所以A=.(2)设AC边上的高为h,则sin A=,所以h=c sin A=3×sin=,即AC边上的高为.方法二:(1)因为cos B=-<0得角B为钝角,由三角形内角和定理,角A为锐角,又sin2B+cos2B=1,所以sin B>0,sin B=,由正弦定理,=,即sin A=sin B=×=,又因为0<A<,所以A=.(2)设AC边上的高为h,则h=a sin C,由(1)及已知,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A=×(-)+×=,所以h=a sin C=7×=,即AC边上的高为.8.(本小题满分13分)(2018·天津高考理科·T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b sin A=a cos.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.【解析】(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理=,可得b sin A=a sin B,又由b sin A=a cos,得a sin B=a cos,即sin B=cos,所以sin B=cos B+sin B,可得tan B=.又因为B∈(0,π),可得B=.(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2ac cos B=7,故b=.由b sin A=a cos,可得sin A=.因为a<c,故cos A=.因此sin2A=2sin A cos A=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin2A cos B-cos2A sin B=×-×=.9.(本小题满分13分)(2018·天津高考文科·T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b sin A=a cos.(Ⅰ)求角B的大小.(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.【解析】(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理=,可得b sin A=a sin B,又由b sin A=a cos,得a sin B=a cos,即sin B=cos,所以sin B=cos B+sin B,可得tan B=.又因为B∈(0,π),可得B=.(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2ac cos B=7,故b=.由b sin A=a cos,可得sin A=.因为a<c,故cos A=.因此sin2A=2sin A cos A=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin2A cos B-cos2A sin B=×-×=.三、解答题5.(2017·北京高考理科·T15)在△ABC中,∠A=60°,c=37 a.(1)求sin C的值.(2)若a=7,求△ABC的面积.【命题意图】本题主要考查解三角形的内容,意在培养学生的计算能力与分析图形的能力.【解析】(1)根据正弦定理sinA a =sinCc ,所以sin C=sinA c a =37×sin60°=37×2=14.(2)当a=7时,c=37a=3,因为sin C=14,c<a,所以cos 1314, 在△ABC 中,sin B=sin [π-(A+C)]=sin (A+C) =sin A ×cos C+cos A ×sin C=1314+12×,所以S △ABC =12ac ×sin B=12×7×3×7=6【答题模版】1.看到边角混合等式,想到利用正弦、余弦定理将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式. 2.看到边a ,b ,c 的平方关系想到余弦定理的变形形式.6.(2017·全国丙卷·理科·T174)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin A=0,a=,b=2. (1)求c.(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.【命题意图】本题主要考查正弦定理和余弦定理,考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)因为sin A+cos A=0,所以sin A=-cos A,所以tan A=-. 因为A ∈(0,π), 所以A=23. 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A,代入a=22得c 2+2c-24=0, 解得c=-6(舍去)或c=4, 所以c=4. (2)由(1)知c=4.因为c 2=a 2+b 2-2ab cos C,所以16=28+4-2×2×2×cos C,所以cos C=7,所以sin C=7,所以tan 在Rt △CAD 中,tan C=ADAC,所以2AD ,即AD=.则S △ADC =12×2×由(1)知S △ABC =12·bc ·sin A=12×2×4×2所以S △ABD =S △ABC -S △ADC =27.(2017·全国甲卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin (A+C)=8sin 22B . (1)求cos B.(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【命题意图】考查三角恒等变换、三角形面积公式以及余弦定理,意在考查学生的化归思想方法和求解运算能力.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin 22B,故sin B=4(1-cos B), 上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=1517, (2)由cos B=1517得sin B=817,故S △ABC =12ac sin B=417ac, 又S△ABC =2,则ac=172,由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×172×15117⎛⎫+ ⎪⎝⎭=4,所以b=2. 【方法技巧】有关解三角形的问题(1)此题型为高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题.(2)解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意a+c ,ac ,a 2+c 2三者的关系.8.(2017·全国乙卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为23sin a A.(1)求sin B sin C.(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC 的周长.【命题意图】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用.【解析】(1)因为△ABC 面积S=23sinAa且S=12bc sin A, 所以23sinA a=12bc sin A,所以a 2=32bc sin 2A, 由正弦定理得sin 2A=32sin B sin C sin 2A, 由sin A ≠0得sin B sin C=32.(2)由(1)得sin B sin C=23,又cos B cos C=16,因为A+B+C=π,所以cos A =cos ()B C π--=-cos ()B C +=sin B sin C -cos B cos C =12, 又因为A ∈()0,π,所以A=3π,sin A=cos A=12,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-bc=9 ①, 由正弦定理得b=sinA a ·sin B,c=sinAa ·sin C, 所以bc=22sin Aa ·sin B sin C=8 ②,由①②得b+c=所以a+b+c=3+即△ABC 的周长为3+【反思总结】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如y=A sin (ωx+φ)+b,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.9.(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=35.(1)求b 和sin A 的值.(2)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【命题意图】本题考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换.考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)△ABC 中,a>b,sin B=35,所以cos B=45,由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=13,所以由正弦定理得,sin A=sinB a b=(2)由(1)知sin A=13,又a<c,cos A=13,sin2A=2sin A cos A=1213, cos2A=1-2sin 2A=-513,所以,sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin2A cos 4π+cos2A sin 4π=.【误区警示】在上述解题过程中,若忽略了大边对大角这一性质,就会出现角A 、角B 的余弦值为负值的情况,从而导致错误的结果.10.(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a sin A=4b sin(a 2-b 2-c 2).(1)求cos A 的值. (2)求sin (2B-A)的值.【命题意图】本题考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换.考查学生分析问题、解决问题的能力. 【解析】(1)由a sin A=4b sin B,及sinA a =sinBb ,得a=2b. 由ac=(a 2-b 2-c 2),及余弦定理,得cos A=2222b c abc+-=5ac=- (2)由(1)可得sinA=5,代入a sin A=4b sin B,得sin B=sinA4a b=5. 由(1)知,A 为钝角,所以cosB==5,于是sin2B=2sin B cos B=45, cos2B=1-2sin 2B=35,故sin (2B-A)=sin2B cos A-cos2B sin A=45×⎛⎝⎭-35×11.(2017·山东高考文科·T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3,AB ·AC =-6,S △ABC =3,求A 和a.【命题意图】本题考查向量的数量积公式、三角形面积公式和余弦定理的应用,意在考查考生的转化与化归的能力和运算求解能力.【解析】因为AB ·AC =-6,所以bc cos A=-6,又S △ABC =3,所以bc sin A=6,因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=34π,又b=3,所以c=2, 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A,得a 2=9+8-2×3××(=29,所以.12.(2017·浙江高考·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= . 【命题意图】本题主要考查三角函数和正余弦定理的应用.【解析】因为△ABC 中,AB=AC=4,BC=2,所以由余弦定理得cos ∠ABC=2222AB BC AC AB BC +-⋅=222424242+-⨯⨯=14,则sin ∠DBC=sin ∠ABC=4,所以S △BDC =12BD ·BC sin ∠DBC=2,因为BD=BC=2,所以∠BDC=12∠ABC,则cos ∠4.答案:7.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c. (1)求C.(2)若c=π3,△ABC 的面积为,求△ABC 的周长. 【解析】(1)2cos C(a cos B+b cos A)=c,由正弦定理得:2cos C(sin A ·cos B+sin B ·cos A)=sin C, 2cos C ·sin (A+B)=sin C. 因为A+B+C=π,A,B,C ∈(0,π), 所以sin (A+B)=sin C>0, 所以2cos C=1,cos C=12. 因为C ∈(0,π),所以C=π.3(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab·cos C,7=a2+b2-2ab·1,2(a+b)2-3ab=7,ab·sin C=ab=,S=12所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,所以△ABC的周长为a+b+c=5+.8.(2016·浙江高考文科·T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a cos B.(1)证明:A=2B.(2)若cos B=2,求cos C的值.3【解题指南】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinΒ=sin(Α-Β),再判断Α-Β的取值范围,进而可证Α=2Β;(2)由cos B的值可以求出A的三角函数值,又由C=π-(A+B)的关系求cos C的值.【解析】(1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin A cos B,故2sin A cos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin A cos B+cos A sin B,于是,sin B=sin(A-B),又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此,A=π(舍去)或A=2B, 所以,A=2B.(2)由cos B=23,得sincos2B=2cos 2B-1=-19, 故cos A=-19,sin, cos C=-cos (A+B)=-cos A cos B+sin A sin B=2227. 9.(2016·山东高考理科·T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA tanBcosB cosA+. (1)证明:a+b=2c. (2)求cos C 的最小值.【解题指南】利用三角恒等变换与正、余弦定理求解. 【解析】(1)由题意得,2(sin A cos B+sin B cos A) =sin A+sin B,即2sin (A+B)=sin A+sin B,又A+B+C=π, 所以,sin A+sin B=2sin C,由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知,c=a b2+,由余弦定理得, cos C=222222a b a b 2a b c 3a b 112ab 2ab8b a 42⎛⎫++- ⎪⎛⎫+-⎝⎭=+-≥ ⎪⎝=⎭. 所以cos C 的最小值为12.10.(2016·四川高考文科·T18)同(2016·四川高考理科·T17)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA cosB cosCa b c+=. (1)证明:sin A sin B=sin C. (2)若b 2+c 2-a 2=65bc,求tan B.【解题指南】(1)利用正弦定理,将边角进行转化,结合诱导公式进行证明.(2)利用余弦定理解出cos A=35,再根据平方关系解出sin A,代入已知中,解出tan B 的值. 【解析】(1)由正弦定理cosA cosB cosCa b c+=,可知原式可以化解为cosA cosB cosCa b c+==1,因为A 和B 为三角形内角,所以sin A sin B ≠0, 则两边同时乘以sin A sin B,可得sin B cos A+sin A cos B=sin A sin B,由和角公式可知,sin B cos A+sin A cos B=sin (A+B)=sin (π-C)=sin C,原式得证.(2)由题b 2+c 2-a 2=65bc,根据余弦定理可知,cos A=222b c a 32bc 5+-=.因为A 为三角形内角,A ∈(0,π),sin A>0,则sin 45=,即cosA sinA =34,由(1)可知cosA cosB cosC a b c +==1,所以cosB 11sinB tanB 4==,所以tan B=4. 11.(2016·天津高考文科·T15)(本小题满分13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,已知a sin2sin A. (1)求B.(2)若cos A=13,求sin C 的值.【解题指南】(1)利用正弦定理实现边化角,化简得到cos B,结合B 的范围得出B. (2)利用三角形内角和为π,将所求角化为两已知角的和,再根据两角和的正弦公式求解.【解析】(1)在△ABC 中,由a bsinA sinB=可得a sin B=b sin A,又由a sin2b sin A得2a sin B ·cos B=b sin A,整理得cos B=,因为B 为△ABC 的内角,所以B=π6.(2)在△ABC 中,sin C=sin [π-(A+B)]=sin (A+B),由cos A=13得sin A=所以sin C=sin πA 6⎛⎫+⎪⎝⎭=A+12cos 2019江苏15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =，cos B =23，求c 的值； 15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3))323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭2019天津15.（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13分. （Ⅰ）解：在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a aa cb B a a +-+-===-⋅⋅.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭， 2019北京（15）（本小题13分）在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．（15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =. （Ⅱ）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 2019全国1卷17.ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c.设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-.（3）求A ；（4）若2b c +=，求sin C .17.答案：略解答：（3）由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 结合正弦定理得222b c a bc +-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.（42b c +=sin 2sin A B C +=,()sin 2sin A A C C ++=sin()2sin 3C C π++=,1cos 2C C -=∴sin()6C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-< 又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin sin()66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.。

新高考数学(理)之三角函数与解三角形专题04 三角恒等变换(解析版)

新高考数学（理）三角函数与平面向量04 三角恒等变换一、具本目标：1.两角和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）3.（1）已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值. （2）会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值. （3）用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. （4）逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. (5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值. 二、知识概述：知识点一两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式： ()sin sin cos cos sin α+β=αβ+αβ，()sin sin cos cos sin α-β=αβ-αβ.两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin α+β=αβ-αβ， ()cos cos cos sin sin α-β=αβ+αβ. 两角和与差的正切公式：()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ，【考点讲解】()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ.【特别提醒】公式的条件：1. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.2.两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈知识点二公式的变用1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x +=++ϕ（其中φ角所在的象限由a,b 的符号确定，φ的值由tan baϕ=确定），在求最值、化简时起着重要的作用. 2. ()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α+β=α+β-αβ，()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α+βαβ=-α+β.()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α-β=α-β+αβ，()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α-βαβ=-α-β来使用. 条件为：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈ 知识点三二倍角公式： 1.22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 22tan tan 21tan ααα=-2. 常见变形：（1）22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=（2）()2cos sin 2sin 1ααα+=+，()2cos sin 2sin 1ααα-=-；（3）αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-.3.半角公式：2cos 12sin αα-±=，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan+-±=，αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=.1.【2019年高考全国Ⅱ卷文理】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（） A ．15B ．55 C ．33D ．255【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ．【答案】B2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【答案】B3.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为 4【真题分析】【解析】本题考查的是二倍角公式及余弦型函数的周期及最值问题.根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷】若1sin 3α=，则cos2α=（） A ．89 B ．79 C ．79- D ．89-【解析】本题主要考查二倍角公式及求三角函数的值.2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 【答案】B5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（）A ．15 B ．55 C ．255D ．1 【解析】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为22212cos22cos 12131a ⎛⎫=-=⋅-= ⎪+⎝⎭αα，解得215a =，即55a =，所以525a b a a -=-=. 【答案】B6.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【答案】A7.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤Q ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【答案】4-8.【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 【答案】π29.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭；当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21010.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知5π1tan()45-=α，则tan =α__________．【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 【答案】3211.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα所以11sin ,cos 22==αβ，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-12.【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46-=α则tan =α ．【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75．【答案】7513.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时33sin ,sin222x x =-=-，所以()min 33332222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是332-.【答案】332-14.【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 3cos 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【解析】本题主要考查的是三角函数式的化简及三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”化简三角函数的解析式的综合考查.()2223131cos 3cos cos 3cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1.【答案】115.【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．【解析】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识.（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2．（2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是33[1,1]22-+．【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[1,1]22-+． 16．【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin 3sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值. 【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质. （1）1cos 23311π1()sin 2sin 2cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=+=-+=-+，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）由（1）知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--.要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】（1）π；（2）π3.1. sin15°sin105°的值是（） A ．14 B ．14-C ．34D ．34-【解析】本题的考点二倍角的正弦和诱导公式：sin15°sin105°=sin15°cos15°=12sin30°=14，故选A ．【答案】A2.已知sin2α=13，则cos 2（π4α-）=（） A ．34 B ．23 C ．45 D ．56【解析】本题考点二倍角的余弦，三角函数的化简求值.∵sin2α=13，∴cos 2（π4α-）=π11cos 211sin 22232223αα⎛⎫+-+⎪+⎝⎭===．故选B ．【答案】B3.已知sin α=45-，α∈（π，3π2），则tan 2α等于（） A ．－2 B ．12 C ．12-或2 D ．－2或12【解析】∵sin α=45-，α∈（π，3π2），∴cos α=35-，∴tan α=43.∵α∈（π，3π2），∴2α∈（π2，3π4），∴tan 2α＜0. tan α=22tan21tan 2αα- =43，即2tan 22α+ 3tan2α－2=0，解得tan2α=－2，或tan2α=12（舍去），故选A ．【答案】A【模拟考场】4.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=1sin 2cos 2ββ+，则下列结论中正确的是（） A ．2π4αβ-=B ．π24αβ+=C ．π4αβ-=D ．π4αβ+= 【解析】本题的考点二倍角的余弦，二倍角的正弦..tan α=()222sin cos 1sin 2sin cos 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ββββββββββββ++++===---πtan 4β⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,442β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ-=．故选C ．【答案】C5．已知角αβ，均为锐角，且cos α=35，tan （α−β）=−13，tan β=（） A ．13 B ．913 C ．139D ．3【解析】∵角α，β均为锐角，且cos α=35，∴sin α=21cos α- =45，tan α=43，又tan （α−β）=tan tan 1+tan tan αβαβ-=4tan 341+tan 3ββ-=−13， ∴tan β=3，故选D ．【答案】D6.设α为锐角，若π3cos()65α+=，则πsin()12α-=（） A ．210 B ．210- C ．45 D ．45- 【解析】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为π3cos()65α+=，所以π4sin()65α+=，故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ2432cos sin 6425510α⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.【答案】A7.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【解析】本题考查的是二倍角的降幂公式与三角函数的最小正周期，先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．【答案】B8．已知34cos sin =-αα，则=α2sin （） A ．97- B ．92- C ．92 D ．97【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用，将34cos sin =-αα两边平方()2234cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-αα，化简后可得916cos sin 2cos sin 22=-+αααα即=α2sin 97-.【答案】A 9．函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 的最大值为（） A ．56B ．1C ．53D ．51【解析】将()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 化简，利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式，三角函数最值的性质可以求得函数最大值.由()6sin sin 6cos cos 3sin cos 3cos sin 51ππππx x x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x x x sin 21cos 23cos 103sin 101+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x cos 23sin 2156cos 533sin 53⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 56πx ，因为13sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以函数的最大值为56.【答案】A10.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（） A.1 B.2 C.3 D.4【解析】本题考点是两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 三角恒等变换的主要是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化简所求式子，利用同角关系式求出使已知条件可代入的值，然后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝333cos cos sin sin sin sin 510510510sin cos 55ππππππππ++ =333cos cos sin 5101010sin cos 55ππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=13cos sin 1025sin cos 55ππππ+1cos cos 10210sin cos 55ππππ+=1cos cos 1021014sin 210πππ+= 3cos103cos 10ππ==.【答案】C11．已知向量a r =（sin θ，2-），b r =（1，cos θ），且a r ⊥b r ，则sin 2θ+cos 2θ的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．3 【解析】本题考点是三角函数的恒等变换及化简求值，数量积判断两个平面向量的垂直关系.由题意可得a r ·b r =sin θ－2cos θ=0，即tan θ=2．∴sin 2θ+cos 2θ=2222sin cos +cos cos +sin θθθθθ=22tan +11+tan θθ=1，故选A ．【答案】A12.已知cos θ=－725，θ∈（－π，0），则sin 2θ+cos 2θ=（）A ．125B ．15±C ．15D ．15- 【解析】∵cos θ=－725，θ∈（－π，0）， ∴cos 22θ－sin 22θ=（cos 2θ+sin 2θ）（cos 2θ－sin 2θ）＜0，2θ∈（π2-，0）， ∴sin 2θ+cos 2θ＜0，cos 2θ－sin 2θ＞0，∵（sin 2θ+cos 2θ）2=1+sin θ=1－491625-=125，∴sin 2θ+cos 2θ=15-．故选D ．【答案】D13. =+οο75sin 15sin .【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解. 法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=o o o o o o . 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos302+=-++==o o o o o o o o . 法三、62626sin15sin 75442-++=+=o o . 【答案】62. 14.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质，本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据，同时要记住斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 22tan tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C A B C =++=+≥⇒≥，即最小值为8.【答案】8.15.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【解析】（1）因为，，所以． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，． 16.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值.试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立.故 cos C 的最小值为12. 17.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ 22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()5αβ+=-225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 【解析】本题考点两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大值与最小值，体现数学思想与方法的应用.(I) 由已知，有1cos 21cos211313()cos2sin 2cos2222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭ 311sin 2cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p -上是增函数， 113(),(),()346244f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为34，最小值为12-. 【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-.。

天津历年高考试题——三角函数(2011-2018)

.53sin =B 三角函数高考题汇总1、在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边为c b a ,,，)6cos(sin π-=B a A b ，（Ⅰ）求B ∠的大小；（Ⅱ）设3,2==c a ，求)2sin(B A b -和的值.(2018天津理)2、在ABC ∆中，内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.已知65==>c a b a ，，，天津理)3、已知函数3)3cos()2sin(tan 4)(---⋅=ππx x x x f (Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论)(x f 在区间[,44ππ-]上的单调性.(2016天津理)4、已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.(2015天津理) 5、已知函数()2cos sin +3f x x x x x R π⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求)(x f 最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在闭区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.(2014天津理) 6、已知函数()2)6sin cos 2cos 1,4f x x x x x x R π=++⋅-+∈.（Ⅰ）求)(x f 最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.(2013天津理)7、（2012文）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点)0,43(π，则ω的最小值是（A ）13（B ）1 C ）53（D ）28、（2012文）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的分别是a,b，c 。

已知-4.（I ）求sinC 和b 的值；（II ）求cos （2A+3д）的值。

9、（２012理）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件（Ｄ）既不充分也不必要条件 10、（2012理）（本小题满分13分）已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--，x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.11．（2011文）已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则（）A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数12.．（2011文）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,23.B C b a ==（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）cos(2)4A π+的值．13．（2011理）已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．14、（2010文）5y Asinx x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变15、（2010文）在∆ABC 中，cos cos AC BAB C=。

2018年高考数学分类汇编三角函数及答案详解

2018年高考数学分类汇编三角函数1、（2018年高考全国卷1理科）16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f （x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．2、（2018年高考全国卷1理科）17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．3、（2018年高考全国卷1文科）8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．4、（2018年高考全国卷1文科）11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，∴|cosα|=，∴|sinα|==，|tanα|=||=|a﹣b|===．故选：B．5、（2018年高考全国卷1文科）16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+csinB=4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，由于sinBsinC≠0，所以sinA=，则A=由于b2+c2﹣a2=8，则：，①当A=时，，解得：bc=，所以：．②当A=时，，解得：bc=﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：．6、（2018年高考全国卷2理科）6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．7、（2018年高考全国卷2理科）10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．8、（2018年高考全国卷2理科）15．（5分）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【解答】解：sinα+cosβ=l，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案为：．9、（2018年高考全国卷2文科）7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．10、（2018年高考全国卷2文科）10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选：C11、（2018年高考全国卷2文科）15．（5分）已知tan（α﹣）=，则tanα=．【解答】解：∵tan（α﹣）=，∴tan（α）=，则tanα=tan（α+）=====，故答案为：．12、（2018年高考全国卷3理科）4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．13、（2018年高考全国卷3理科）9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．14、（2018年高考全国卷3理科）15．（5分）函数f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零点个数为3．【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，当k=0时，x=，当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=π，∵x∈[0，π]，∴x=，或x=π，或x=π，故零点的个数为3，故答案为：315、（2018年高考全国卷3文科）4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．16、（2018年高考全国卷3文科）6．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，故选：C．17、（2018年高考全国卷3文科）11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S==，△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．18、（2018年高考北京卷理科）15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．19、（2018年高考北京卷理科）7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意d==，tanα=﹣，∴当sin（θ+α）=﹣1时，d max=1+≤3．∴d的最大值为3．故选：C．20、（2018年高考北京卷理科）11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0则ω的最小值为：．故答案为：．21、（2018年高考北京卷文科）7．（5分）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP 为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．22、（2018年高考北京卷文科）14．（5分）若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）=acsinB，，可得：tanB=，所以B=，∠C为钝角，A∈（0，），cotA∈（，+∞）．===cosB+cotAsinB=cotA∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．23、（2018年高考北京卷文科）16．（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．24、（2018年高考天津卷理科）6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，减区间满足：≤2x≤，k∈Z，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．25、（2018年高考天津卷理科）15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．26、（2018年高考天津卷文科）6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin2x．当x∈[]时，2x∈[，]，函数单调递增；当x∈[，]时，2x∈[，π]，函数单调递减；当x∈[﹣，0]时，2x∈[﹣，0]，函数单调递增；当x∈[，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．故选：A．27、（2018年高考天津卷文科）16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．24、（2018年高考浙江卷）18．（14分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．。

2018年高考试题分类汇编(三角函数)

2018年高考试题分类汇编(三角函数) 2018年高考试题分类汇编（三角函数）考点1：任意角的三角函数考法1：三角函数的定义已知角$\alpha$的顶点与坐标原点重合，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上两点$A(1,a)$，$B(2,b)$，且$\cos2\alpha=\frac{1}{3}$，则$a-b=5\sqrt{3}$。

考法2：三角函数的图像与性质1.（2018·全国卷Ⅲ理）函数$f(x)=\cos(3x+\frac{\pi}{6})$在$[0,\pi]$的零点的个数为6.2.（2018·江苏）已知函数$y=\sin(2x+\varphi)$，($-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}$)关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称，则$\varphi$的值是$-\frac{\pi}{4}$。

3.（2018·天津文科）将函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度，所得图象关于直线$x=\frac{\pi}{3}$对称的图象对应的函数为$y=\sin(2x+\frac{5\pi}{6})$。

4.（2018·天津理科）将函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度，所得图象对应的函数在区间$[\frac{3\pi}{4},2\pi]$上单调递减。

5.（2018·北京理科）设函数$f(x)=\cos(\omega x-\frac{\pi}{4})$，若$f(x)\leq f(\frac{\pi}{4})$对任意的实数$x$都成立，则$\omega$的最小值为$\frac{2}{\pi}$。

6.（2018·全国卷Ⅱ文科）若函数$f(x)=\cos x-\sin x$在$[0,a]$是减函数，则$a$的最大值为$\frac{3\pi}{4}$。

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2018三角函数专题（理）
1.已知集合22{(,)|3,,}A x y x y x y =+∈∈Z Z ≤，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4
2.已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b ( ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
3.在ABC △
中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =( ) A
．B
C
D
．4.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是( ) A ．
π
4
B ．
π2
C ．
3π4
D ．π
5.若，则( ) A ．
B ．
C ．
D ． 6.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则( ) A ．
B ．
C ．
D ．
7.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（） A ．31
44AB AC - B ．13
44AB AC - C ．
31
44
AB AC +
D ．
1344AB AC +
8.设R x ∈，则“11
||22
x -
<”是“31x <”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.已知a ∈R ，则“1a >”是“
1
1a
<”的（） A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
1
sin 3
α=
cos 2α=89
79
79
-
89
-
ABC △A B C ，，a b c ABC △222
4
a b c +-C =
π2
π3
π4
π6
10．已知2log e =a ，ln 2b =，1
2
1
log 3
c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. a b c >> B. b a c >> C. c b a >> D. c a b >> 11．将函数sin(2)5
y x π
=+
的图象向右平移
10
π
个单位长度，所得图象对应的函数（） A. 在区间35[
,]44ππ上单调递增 B. 在区间3[,]4π
π上单调递减 C. 在区间53[
,]42ππ上单调递增 D. 在区间3[,2]2
π
π上单调递减 12．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为（） A.
2116 B. 32 C. 2516
D. 3
13.设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
14．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
15．设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（） A. 对任意实数a ，(2,1)A ∈
B. 对任意实数a ，（2，1）A ∉
C. 当且仅当a <0时，（2，1）A ∉
D. 当且仅当3
2
a ≤
时，（2，1）A ∉ 16．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足
b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是(
)
π
3
A
−1
B
+1
C
．2
D
．2
17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ，b =2，A =60°，则sin B =___________，
c =___________．
18.已知向量，，．若，则________．
19.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且
2EF =，则AE BF ∙的最小值为_________.
20.设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π
()()4
f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小
值为__________．
21.若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y –x 的最小值是__________． 22.已知函数)2
2
)(2sin(π
ϕπ
ϕ<
<-+=x y 的图象关于直线3
π
=
x 对称，则ϕ的值是______
23.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：x y 2=上在第一象限内的点，B (5，0)，以
AB 为直径的圆C 与l 交于另一点D ，若0=⋅，则点A 的横坐标为_______
24.在ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，︒=∠120ABC ，ABC ∠的平分线
交AC 与点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为_______
25.已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．
26.已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．
27．已知圆22
20x y x +-=的圆心为C ，直线1,
23⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为 . 28.已知,R a b ∈，且360a b -+=，则1
28a
b
+
的最小值为 . ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=
29.在平面四边形ABCD 中，90ADC =︒∠，45A =︒∠，2AB =，5BD =． ⑴求cos ADB ∠；
⑵若DC =，求BC ．
30.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17
．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．
31.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6
b A a B π
=-.
（I ）求角B 的大小；
（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.
32.已知βα,为锐角，34tan =α，5
5)cos(-=+βα， (1)求α2cos 的值； (2)求)tan(βα-的值．
33.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．
（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=，求cos β的值．
34.设常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+。

（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；
（2
）若()14
f π
=
，求方程()1f x =[,]ππ-上的解。

34
55
-，-5
13
35.某农场有一块农田，如图所示，宽、它的边界由圆O 的一段弧MPN(P 为圆弧的中点) 和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米，先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地形为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为
CDP ∆，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．
(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP ∆的面积，并确定θsin 的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种值甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种值乙种蔬菜，甲、乙两种蔬菜的单位两种年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜折总产值最大．。