2020届百校联盟普通高中教育教学质量监测6月数学(文)试题解析

答案：2
作出 所在圆面，设圆心为 ，半径为 ，过M作 ，易知△ 和△ 都是正三角形，且四边形 是菱形，设 ，可知 ，从而可得该柱体的底面积 ，高 ，即可得到体积的表达式，然后构造函数 ， ，通过判断单调性可求出答案.
解：
作出 所在圆面（如下图），设圆心为 ，半径为 ，
过M作 ，垂足为 ，因为 ，所以 ，
月份
2019年11月
2019年12月
2020年1月
2020年2月
2020年3月
资金投入量/百万元
2
4
8
10
12
收益/百万元
14.21
20.31
31.18
37.83
44.67
若y与x的线性回归方程为 ，则资金投入量为16百万元时，该月收益的预报值为__________百万元.
答案：56.04
计算出 ，由中心点 求出参数 ，再令 代入可得．
解：
B种果汁饮料添加剂指标集中在以4为茎的茎上，A种果汁饮料添加剂指标集中在以2为茎的茎上，A错误；
A种果汁饮料添加剂指标的中位数为23.5，B种果汁饮料添加剂指标的中位数为31.5，B错误；
A种果汁饮料添加剂指标数据比较集中，而B种果汁饮料添加剂指标数据比较分散，所以B种果汁饮料添加剂指标的方差要大一些，C错误：
绝密★启用前
数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合 ， ，则（）
A． B．
C． D．
答案：D
根据一元二次不等式的解法求出集合A，根据两集合的关系逐一判断即可.
解：
因为 ， ，所以 ，
所以 ，即A错误； ，即B错误；
，即C错误； 即D正确；
解：
由点P在椭圆上，右焦点为 ，可得 ，解得 ，
即椭圆方程为 ，
所以 ， ，则直线 的斜率 .
又 ，所以 ，则 ，所以直线 的方程 ，
联立直线 ， 的方程 ，得交点 ，
所以 两点连线的斜率 ，则直线 的方程为 ，令 ，得 .
故选：A.
点评：
本题考查椭圆的方程、椭圆的性质，考查直线的方程，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
故选：C
点评：
本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查学生空间想象能力，属于基础题.
7．已知椭圆 的右焦点 ， 为椭圆上一点，过左顶点A作直线 轴，Q为直线l上一点， ，则直线 在x轴上的截距为（）
A． B． C． D．
答案：A
由点P在椭圆上，可得 ，可求出 ，即可得到 ，进而可求出直线 的斜率，结合 ，可求得直线 的方程，然后求出 的坐标，进而可求出直线 的方程，令 ，可求出答案.
又 ，所以△ 和△ 都是正三角形，
所以 ，故四边形 是菱形.
设 ，则 ， ，
所得柱体的底面积为 .
又 ，所以柱体的高 ，
所以几何体的体积 ，其中 .
令 ， ，则 ，
由 ，解得 ，列表如下：
x
2
0
增函数
极大值
减函数
所以当 时， 取得最大值，此时该柱体体积最大，高为 .
故答案为：2.
点评：
本题考查柱体的体积，考查利用导数解决实际问题，考查学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题.
A种果汁饮料添加剂指标的最小值为5，B种果汁饮料添加剂指标的最小值为2，A高，D正确.
故选：D．
点评：
本题考查茎叶图，考查样本数据特征估计总体数据特征，属于基础题．
5．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边形，每行比上一行多一个六边形（六边形均相同），设图中前n行晶格点数 满足 ， ，则 （）
解：Biblioteka 解：过O作切线的垂线，垂足为A，过 作切线的垂线，垂足为B，则 ， ，设 ， ， ，
根据双曲线的定义， ，所以 ，
，
，
.
所以 .
故选：B
点评：
此题考查了双曲线的定义和性质，考查了直线与圆，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
12．设函数 ，则下列结论正确的个数是（）
①当 时， 的最小正周期为 ；
所以 时， 的解集为 ，
又因为图象关于 对称，得 时，解 的解集为 ，
所以 时， 的解集为 ， .
故选：C.
点评：
本题考查利用函数的对称性，周期性，奇偶性解决不等式问题，是中档题.
10．已知函数 的图象向左平移 个单位长度后，图象关于原点对称，若 在 上单调递增，则正实数 的最大值为（）
A． B． C． D．
答案：70
通过计算数列的前几项，发现数列的规律，再进行求和.
解：
因为 ， ， ， ， ， ， ，
从第4项开始，数列 是周期为3的数列，
所以前20项和为 .
故答案为：70.
点评：
本题考查不完全归纳法的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意发现数列的周期.
15．2019年末至2020年初，某在线教育公司为了适应线上教学的快速发展，近5个月加大了对该公司的网上教学使用软件的研发投入，过去5个月资金投入量x（单位：百万元）和收益y（单位：百万元）的数据如下表：
解：
由题意得， ， ，
所以 .所以y关于x的回归方程为 .把 代入回归方程得 ，故预报值为56.04百万元.
故答案为：56.04．
点评：
本题考查线性回归方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点 ．
16．如图，用平行于母线的竖直平面截一个圆柱，得到底面为弓形的圆柱体的一部分，其中M、N为弧 、 的中点， ，且 ，当几何体的体积最大值时，该柱体的高为______.
二、填空题
13．已知向量 ， ， ，则 ______．
答案：
利用向量垂直求出 ，再利用向量的夹角公式得到 ，即可得答案；
解：
向量 ， ，
所以 ，∴ ，
，
，∴ ．
故答案为： .
点评：
本题考查向量数量积运算、同角三角函数基本关系，考查运算求解能力.
14．任意写出一个自然数n，并且按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成 ，如果n是个偶数，则下一步变成 ，依照上述规律，将5作为首项，构造一个数列 ，则 的前20项和为__________.
答案：A
由图象的平移可得 ，根据对称性结合 的范围可得 ，根据正弦型函数的单调性求出增区间，列出关于 的不等式即可得出结果.
解：
根据题意， 平移后的新函数解析式为 ，
所以 ，∴ ， ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，解得 ， ，
故增区间为 ， ，所以 ， ，所以 时， ，即 的最大值为 ，
故选：A.
A．A种果汁饮料添加剂指标的平均值高于B种果汁饮料添加剂指标的平均值
B．A种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B种果汁饮料添加剂指标的中位数
C．A种果汁饮料添加剂指标的方差高于B种果汁饮料添加剂指标的方差
D．A种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B种果汁饮料添加剂指标的最小值
答案：D
根据茎叶图估计均值、中位数、方差及最值，然后判断各选项．
解：
（1）在 中，满足 ，即 ，
由正弦定理可得 ，
整理得 ，即 ，
因为 ，
又因为 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
又由 ．
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ．
（2）由（1）可得 ，又由正弦定理知 ，
所以 ， ，
因为 ，可得 ，
整理可得 ．
又 ， ，所以 ，故 ，
所以 ．
点评：
本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及三角函数与三角恒等变换的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
8．已知函数 称为高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作 ，如图，则输出的S值为（）
A． B． C． D．
答案：D
对 进行分类讨论，一步步往下执行，即可得答案；
解：
当 时， ；
时， ；
时， ；
时， ，
所以 .
故选：D.
点评：
本题考查根据程序框图输出值，考查阅读程序框图能力，求解时注意取整函数的定义.
②因为 ，故②正确；
③当 时，设 ， ，
令 ， ， ，
且当 时， 取得极小值，
极小值为 ．
令 ，解得 ．
（ⅰ）当 时， 在 内无极值点，
， ， ，所以 的最大值为 ．
（ⅱ）当 时，由 ，
知 ．又 ，
所以 的最大值为 ，故③错误．
故选：C.
点评：
本题考查了三角函数式化简，三角函数的周期，有界性，换元法的应用，分类讨论求区间定，对称轴动的二次函数的最值，难底较大.
三、解答题
17．已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ．
（1）求 的最小值；
（2）若 ， ，求 的值．
答案：（1） ；（2） .
（1）由正弦定理和题设条件，化简得 ，进而得到 ，再结合余弦定理和基本不等式，即可求解；
（2）由（1）和由正弦定理和 ，求得 ，得到 ，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
点评：
本题主要考查了三角函数 图象的平移以及正弦型函数的对称性和单调性，属于中档题.
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若双曲线右支上一点M，使得直线 与圆O： 相切.则 的面积为（）