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高二数学竞赛模拟试题及答案

高二数学竞赛模拟试题考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（）(A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．162．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是（）(A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()200823f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，则()2f 等于（） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012.5.已知,αβ分别满足100411004,10g βααβ=⋅=⋅，则αβ⋅等于( )﹙A﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C﹚ ﹙D ﹚2008.6.直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是（）（A ）相离（B ）相交（C ）相切（D ）不确定7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（）(A)．100 (B). 101 (C).200 (D).2018．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（）(A)．()f x 的图像关于x ＝2对称 (B)．()f x 的图像关于点(4,0)-对称 (C)．()f x 的周期为4 (D)．()f x 的周期为8 二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，满分42分． 9．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，5|1,2Px x Z x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则P M 等于 10．在区间[]1,1-上随机任取两个数y x ,，则满足4122<+y x 的概率等于11.已知函数()()()()()2110,11xa x x f x a a a x -+<⎧⎪=>≠⎨≥⎪⎩且是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 .12．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430,35250,0.x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩||OA （O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是13．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += .14．已知函数()2xf x =,等差数列{}n a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅=15、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形， ∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤C 1B 1A16. (本小题12分) 在⊿ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若1=∙=∙BC BA AC AB . (1)求证：A=B ； (2)求边长c 的值；(3)6=+，求⊿ABC 的面积。

高二数学竞赛题

高二数学竞赛题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、若正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，5a =673a +=，则5S 的值为( )2、在等差数列{}n a 中，31124a a +=，则678a a a ++的值是( ) A.36B.48C.72D.243、数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A.103B.10818C.11038D.1084、两直线1:10l ax y ++=和22:10l x a y --=互相垂直，则a 的值是( ) A.0B.1C.0或1D.1或1-5、直线10ax y +-=平分圆2224130x y x y +-+-=的面积，则a =( ) A.1B.3C.3D.26、如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，点N 在BC 上，且2OM MA =，2BN NC =，则MN =( )A.212333a b c -++B.22133b c -+C.212333a b c --+D.22133b c --7、若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A.230x y +-=B.210x y -+=C.230x y +-=D.210x y --=8、直线1y x =+被圆221x y +=截得的弦长为( )A.1C.2D.9、已知直线:3l x =+与圆22:430C x y x my +-++=相切，则m 的值为( )A.-B.C.3D.3-10、判断圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=的位置关系为( ) A.相交B.内切C.外切D.内含11、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F，b =2a c =，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF △的周长为( ) A.4B.8C.16D.3212、已知双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线与直线23y x =-平行，则双曲线的离心率为( ) A.2D.5二、填空题13、已知数列{}n a 的前n 项和为2223n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式n a =_________.14、圆22:2O x y +=上点P 到直线34:10x l y +=距离的最小值为__________.15、双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则双曲线C 的焦距为__________.16、已知函数()ln x f x e x =,()'f x 为()f x 的导函数,则()'1f 的值为__________三、解答题17、已知圆C 经过原点和点(2,1)A ，并且圆心在直线:210l x y --=上，求圆C 的标准方程.18、数列{}n b 的前n 项和21n n S =-，数列{}n a 为等差数列，且11a b =，43a b = （1）求数列{}n b 的通项公式. （2）求证数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.19、在四棱锥A BCFE -中，底面BCFE 为梯形﹐BC BE ⊥，//EF BC ，1BC BE ==，3AE =，34EF =，AB ⊥平面BCFE .（1）证明：平面AEF ⊥平面ABE ；（2）求直线AE 与平面AFC 所成角的正弦值.20、在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥，////AD EF EF BC ，，24BC AD ==，32EF AE BE ===，，G 是BC 的中点．(1)求证：//AB 平面DEG ； (2)求二面角C DF E --的余弦值． 21、已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程.22、已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴长为4，直线2y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点且AOB ∠为直角，O 为坐标原点(1)求椭圆C 的方程 (2)求AB 的长度参考答案1、答案：C解析：设公比为q ，由题意知0q >，65a a q =⋅=22752q a q =⋅=，2322q q ∴+=，化简得260q q +-=，解得2q =，514a a q ==()5511213132(31)123232S ⨯-==-⨯-=-.故选：C. 2、答案：A解析：由题设，1137224a a a +==，则712a =，所以6787336a a a a =++=. 故选：A.3、答案：D解析：把22293n a n n =-++看成二次函数，对称轴为291744n ==，7n ∴=时7a 最大，最大项的值是27272973108a =-⨯+⨯+=.故选D.4、答案：C解析：直线1:10l ax y ++=l 1:ax +y +1=0和直线22:10l x a y --=x -a 2y -1=0互相垂直，则20a a -=a -a 2=0，解得：0a =或1a =a =1，故选：C. 5、答案：B解析：根据题意，圆的方程为2224130x y x y +-+-=x 2+y 2-2x +4y -13=0，其圆心为()1,2-(1,-2)，若直线10ax y +-=ax +y -1=0平分圆2224130x y x y +-+-=x 2+y 2-2x +4y -13=0的面积，则圆心在直线10ax y +-=ax +y -1=0上，则有210a --=a -2-1=0，解可得3a =a =3；故选B. 6、答案：A解析：连接MB ，如图所示：()222333MN MB BN OB OM BC OB OA OC OB =+=-+=-+-()2221233333b ac b a b c =-+-=-++.故选：A 7、答案：D解析：圆的标准方程为()2239x y +=-，圆心()3,0A .因为点()1,1P 为弦MN 的中点，所以AP MN ⊥.又AP 的斜率101132k -==-，直线MN 的斜率为2，弦MN 所在直线的方程为(11)2y x -=-，即210x y --=. 8、答案：B解析：圆221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，则圆心(0,0)O 到直线1y x =+的距离2d ==，所以直线1y x =+被圆221x y +=所截得的弦长为== 故选：B. 9、答案：A解析：第一步：将圆的方程化为标准形式，得到圆心和半径由22430x y x my +-++=，得222(2)124m m x y ⎛⎫-++=+ ⎪⎝⎭，所以圆心2,2m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =. 第二步：结合点到直线的距离公式列关于m 的方程并求解因为直线:3l x =+与圆22:430C x y x my +-++=相切，所以=m =- A. 10、答案：B解析：因为圆2264120x y x y +-++=的圆心为(3,2)-，半径11r =，圆22142140x y x y +--+=的圆心为(7,1)，半径26r =，215r r ==-，所以两圆内切. 故选：B. 11、答案：C解析：23b =2a c =，222a b c =+，22212a a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，216a ∴=，4a ∴=，2ABF ∴△的周长为121222416AF AF BF BF a a a +++=+==.故选：C. 12、答案：B解析：由双曲线的渐近线与直线23y x =-y =2x -3平行知，双曲线的一条渐近线方程为20x y -=Error! Digit expected.，2b a ∴=， 2b a ∴=， c ∴=，∴离心率ce a==. 故选：B.13、答案：3,144,2n n n =⎧⎨-≥⎩解析：2223n S n n =-+，故当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()2121212n S n n -=---+，144n n n a S S n -∴=-=-113a S ==不适合上式，3,144,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩，故答案为：3,144,2n n n =⎧⎨-≥⎩.14、答案：22解析：圆O 的圆心为()0,0，()0,0到直线l的距离为1025=> 所以圆22:2O x y +=上点P 到直线34:10x l y +=距离的最小值为2.故答案为：215、答案：解析：根据题意，双曲线222:1(0)4x y C b b -=>C :x 24-y 2b 2=1(b >0)的焦点在x轴上，则其渐近线方程为2by x =±，又由该双曲线的一条渐近线方程为320xy +=，即32y =-=3=；所以2c ==16、答案：e解析：函数()ln x f x e x =, 则()1'ln x x f x e x e x=+;()'1ln11f e e e ∴=⋅+⋅=.故答案为: e 根据导数的运算法则求出函数()f x 的导函数,再计算()'1f 的值.17、答案：22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解析：(方法一)设所求圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=.由题设，得222222,(2)(1), 210.a b r a b r a b ⎧+=⎪-+-=⎨⎪--=⎩解此方程组，得26,51,1029.20a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以，所求圆C的标准方程是2261510x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(方法二)因为圆心在直线210x y --=上，所以可设圆心C 的坐标为(21,)b b +. 因为圆C 经过原点和点(2,1)A ，所以||||CO CA r ==.==所以圆心坐标为2261,,||510r CO ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以圆C的标准方程为2261510x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18、答案：（1）12n n b -= （2）证明见解析解析：（1）当1n =时，111b S ==当2n ≥时，()()11121212n n n n n n b S S ---=-=---=11121b -==∴数列{}n b 的通项公式为12n n b -=（2）{}n a 为等差数列，111a b ==，434a b == n a n ∴=设111(1)n n n c a a n n +==⋅+ {}n c ∴的前n 项和为n T 123n n T c c c c =++++1111122334(1)n n =++++⨯⨯⨯+11111111223341n n =-+-+-++-+ 111n =-+19、（1）答案：证明见解析解析：由题意知BC BE ⊥，//EF BC ，所以EF BE ⊥，AB ⊥平面BCFE ， AB EF ∴⊥，又知ABBE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，所以EF ⊥平面ABE ，又因为EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面ABE . （2解析：由题可知AB =由（1）知BA ，BC ，BE 两两互相垂直，分别以EB ，BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,1,0C，(A ，()1,0,0E ，31,,04F ⎛⎫⎪⎝⎭.则31,,4AF ⎛=- ⎝，11,04,CF ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-，(1,0,AE =-.设平面ACF 的法向量为(),,m x y z =，则0m AF m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即304104x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1x =，则(m =，所以1cos ,m AE -==所以直线AE 与平面AFC .20、答案： (1)见解析（2）解析： (1)证明：因为////AD EF EF BC ，，所以/AD BC ，又2BC AD =，G 是BC 的中点，所以//AD BG 且AD BG =，所以四边形ADGB 是平行四边形，所以//AB DG . 因为AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，所以//AB 平面DEG .(2)因为EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，所以EF AE EF BE ⊥⊥，，又AE EB ⊥，所以EB EF EA ，，两两垂直．以点E 为坐标原点，EB EF EA ，，所在的直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．则0,0,02,0,02,4()()()(,00,3,)()00,2,2E B C F D ，，，，．由已知得()2,0,0EB =是平面EFDA 的一个法向量．设平面DCF 的法向量为,(),n x y z =，则00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩因为(0,1,2)FD =-，(2,1,0)FC =，所以2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩令1z =，得21y x ==-，，所以可取1,(1)2,n -=．设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,n EB θ=〈〉==. 易知二面角C DF E --为钝二面角，所以二面角C DF E --的余弦值为. 21、（1）答案：ln 1x +解析：(ln )ln (ln )ln 1y x x x x x x x ''''==⋅+=+；（2）答案：1y x =-解析：1ln111x k y ='==+=.∴切线方程为1y x =-.22、答案：(1) 2214x y +=解析：(1)由题意22224a c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆的方程为2214x y += (2)设()()1122,,,,A x y B x y 把2y kx =+代入2214x y +=得 ()2212122216124116120,,4141k kx kx x x x x k k +++=∴+=⋅=++ AOB ∠为直角，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=（或斜率乘积为1-） ()()1212220OA OB x x kx kx ∴⋅=+++= 解得24k =AB ∴=AB ∴。

河北高二高中数学竞赛测试带答案解析

河北高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列各点中，在曲线x2-xy+2y+1=0上的点是（）A．（2，-2）B．（4，-3）C．（3，10）D．（-2，5）2.若点M到x轴的距离和它到直线y=8的距离相等，则点M的轨迹方程是（）A．x=-4B．x=4C．y=-4D．y=43.从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是（）．A．B．C．D．4.动点P到x轴，y轴的距离之比等于非零常数k，则动点P的轨迹方程是（）A．B．y=kx（x≠0）C．D．y=±kx（x≠0）5.把11化为二进制数为（）．A．1 011（2）B．11 011（2）C．10 110（2）D．0 110（2）6.已知x可以在区间[－t，4t]（t＞0）上任意取值，则x∈[－t，t]的概率是（）．A．B．C．D．7.执行下图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是（）A．B．2C．±2或－4D．2或－48.如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图．从这个茎叶图可以看出甲、乙两名运动员得分的中位数分别是（）．A．31，26B．36，23C．36，26D．31，239.按照程序框图（如图）执行，第3个输出的（）．A．3B．4C．5D．6 10.方程4x2-y2+4x+2y=0表示的曲线是（）A．一个点B．两条互相平行的直线C．两条互相垂直的直线D．两条相交但不垂直的直线11.如图执行的程序的功能是（）．A．求两个正整数的最大公约数B．求两个正整数的最大值C．求两个正整数的最小值D．求圆周率的不足近似值12.已知n次多项式f（x）＝an x n＋an－1x n－1＋…＋a1x＋a，用秦九韶算法求f（x）的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（）．A．n，n B．2n，n C．，n D．n＋1，n＋1二、填空题1.Rt△ABC的斜边AB的长度等于定值c，顶点A、B在x轴，y轴上滑动，则斜边AB的中点M的轨迹方程为。

高二数学竞赛试题及答案

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

高二数学竞赛试题附答案(1)

大学区高二数学竞赛试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共计50分）1、设P,Q 是两个非空数集，定义集合P+Q=｛a+b|a ∈P ,b ∈Q ｝,若P=｛0，2，5｝，,Q=｛1，2，6｝，则P+Q 中元素的个数是（）A 6B 7C 8D 9 2、一个几何体的三视图如图1所示，则此几何体的全面积是（）A 102659+．B 84142+．C 8412017+．D 150.3、如果 (0,)a π∈, 1lg(1cos ),lg()1cos m nαα-==+, 那么 lgsin α=( )A m n -.B 1m n +． C 1()2m n -． D 11()2m n +． 4、对任意的函数()y f x =，在同一个直角坐标系中，函数()-1y f x =与函数()-+1y f x = 的图像（）A 关于x 轴对称.B 关于直线1x =对称．C 关于直线-1x =对称．D 关于y 轴对称5、若11x F x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则下列等式中正确的是（）A ()()22F x F x --=--.B ()1-1x F x F x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭． C ()1F F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭． D ()F F x x =-⎡⎤⎣⎦6、已知倾斜角为α的直线l 与直线x -2y 十2=0平行，则tan 2α的值为（）A ．45B ．43C ．34D ．237、在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若222222c a b ab =++，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形8、若圆222)5(3r y x =++-）（有且仅有两个点到直线4x －3y=2的距离等于1，则半径r 的取值范围是（）A 、［4,6］B 、[4, 6 ）C 、（4,6 ］D 、（4,6）9、等比数列{}n a的前n 项和为n s ，若1030=1070s =，s ，则40s 等于（） A 150. B -200． C 150或-200． D 400或-5010、．已知()1122,,(,)A x yB x y 是函数2()12xf x x =-图像上不同的两点，若AB 的中点落在x 轴上，则2212x x +的取值范围为（）A ．1(,)16+∞ B ．1(,)8+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1(,)2+∞二、填空题（本题共5个小题，每题5分，共计25分）11、已知1+sin 1cos 2x x=-，那么cos sin 1xx -的值是。

高二阶段性竞赛数学试题

阶段性竞赛数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 下面给出的四个点中,位于210,30.x y x y +->⎧⎨-+<⎩表示的平面区域内的点是 A ．()4,1- B ．()2,2 C ．()0,4 D ．()2,1--2. 下列四个不等式中，解集为∅的是A ．210x x -++≤B ．04322<+-x xC ．23100x x ++>D ．2430x x --+>3. 在1与3之间插入8个数，使这十个数成等比数列，则插入的这8个数之积为A. 3B. 9C. 27D. 814. 已知234,a b +=则48a b +的最小值为A. 2B. 4C. 8D. 16 5. 设()2,0,2,0.x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩ ，则不等式2)(x x f <的解集是 A. R B. ]0,(),2(-∞⋃+∞ C. )2,0[ D. )0,(-∞6. 若110,a b <<则下列不等式:①a b ab +<;②a b >;③a b <;④2b a a b+>中正确的是 A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④7. 某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为a 米和b 米，测得灯塔A 在观察站C 西偏北60 ，灯塔B 在观察站C 北偏东60 ，则两灯塔A 、B 间的距离为A. B. 米C. 米D.8. 在等差数列{}n a 中, 11a =,n S 为其前n 项和.若191761917S S -=,则10S 的值等于 A. 246 B. 258 C. 270 D. 2809. 在等比数列{}n a 中,对任意的n N *∈,1221n n a a a +++=- ,则22212na a a +++ 为 A. ()1413n - B. ()1213n - C. ()221n - D. 41n -10. 若变量,x y 满足240,250,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩则32z x y =+的最大值是A. 90B. 80C. 70D. 4011. 若不等式20x ax b -+<的解集为()1,2,则不等式1b x a<的解集为 A. 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. ()3,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 12. 如果数列{}n a 满足11a =,当n 为奇数时,12n n a a +=;当n 为偶数时,12n n a a +=+,则下列结论成立的是A. 该数列的奇数项成等比数列,偶数项成等差数列B. 该数列的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列C. 该数列的奇数项各项分别加4后构成等比数列D ．该数列的偶数项各项分别加4后构成等比数列二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在横线上.13. 一元二次不等式2230kx kx +-<对一切实数x 成立，则k 的取值范围是 .14. 在ABC ∆中,4,2,a b a c b -=+=最大角为120 ,则最大边的长度为 .15. 一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/ml,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为保障交通安全,法律规定,驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08mg/ml.那么此人至少过小时才能开车(精确到1小时).16. 在下列函数中: ①1222++=x x y ；②24-+=x x y ；③24-+=x x y ； ④|1|xx y +=；⑤2log log 2,x y x =+其中0x >且1x ≠；⑥x x y -+=33.其中最小值为2的函数是（填入序号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）解关于x 的不等式:022<-+-a a x x .18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知45,a b B == 求,A C c 和.19.（本小题满分12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和,对于任意的(),m n N m n *∈≠,都有222m n m n S S S ++<,若632S S <,求1a d的取值范围. 20.（本小题满分12分）已知公差大于零的等差数列{}n a ，前n 项和为n S .且满足34117,a a ⋅=2522a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）若,12nn S b n =-求()()()136n n b f n n N n b *+=∈+的最大值. 21.（本小题满分12分）某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m 2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m 2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m 2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m 2的损失为250元.现在共派去x 名工人,抢修完成共用n 天. （Ⅰ）写出n 关于x 的函数关系式;（Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出).22.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且121,n n a S n N *+=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项均为正数,其前n 项和为n T ,且315,T =又1122,,a b a b ++ 33a b +成等比数列,求n T ;（III ）求数列{}n n a b 的前n 项和n P .。

丽水高二数学竞赛试题及答案

丽水高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. 0.1010010001...D. 22/72. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是？A. (3/4, -1/8)B. (-3/4, 1/8)C. (3/2, -1/4)D. (-3/2, 1/4)3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的结果。

A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}4. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，第10项a10的值是多少？A. 29B. 32C. 35D. 425. 直线y = 2x - 4与x轴的交点坐标是？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (4, 0)D. (0, -4)二、填空题（每题4分，共20分）6. 圆的半径为5，圆心到直线x + 2y - 3 = 0的距离是_________。

7. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g'(x) = ________。

8. 已知等比数列的首项a1=8，公比q=2，求第5项a5的值是_________。

9. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是_________。

10. 已知正弦函数y = sin(x)，求其在x=π/4处的导数值是_________。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

12. 已知椭圆的方程为x^2/9 + y^2/4 = 1，求椭圆的长轴和短轴长度。

13. 解不等式：|2x - 1| + |x + 2| ≥ 5。

14. 已知函数f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 5x + 6，求其极值点。

15. 已知向量a = (2, -1)，b = (-1, 3)，求向量a在向量b上的投影。

四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。

遵义数学竞赛高二试题及答案

遵义数学竞赛高二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(1) \)的值。

A. 1B. -1C. 3D. 52. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形的三边长，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，该三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形3. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，则直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 包含4. 若\( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \)，且\( \alpha \)和\( \beta \)均不为0，求\( \beta \)的值。

A. \( \frac{\pi}{2} \)B. \( -\frac{\pi}{2} \)C.\( \frac{\pi}{4} \) D. \( -\frac{\pi}{4} \)二、填空题（每题4分，共16分）5. 若\( \cos(\theta) = \frac{1}{3} \)，求\( \sin(\theta) \)的值（结果保留根号）。

6. 将\( 8^3 \)写成\( 2 \)的幂次形式。

7. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

8. 已知\( \log_{10} 100 = 2 \)，求\( \log_{10} 0.01 \)的值。

三、解答题（每题14分，共40分）9. 证明：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是正数，且\( a + b + c =1 \)，则\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \)。

10. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 4 \)。

11. 已知点A(-1, 2)，B(2, -1)，C(3, 6)，求三角形ABC的面积。

2023-2024学年安徽省高二竞赛数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年安徽省高二数学竞赛模拟试题一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.如果函数()()42231f x cx c x =+-+在区间(),1∞--上单调递减，在区间()1,0-上单调递增，则c 的值为__________.2.已知命题p ：对任意的正数x ，有212ax x >-+，命题q ：不存在实数x ，使223x a x <<-.若命题,p q 都为假命题，则实数a 的取值范围是__________.3.在立方体中放人9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个切，已知8个相等的球的半径都为2，则立方体的体积为__________.4.圆222(0)x y R R +=>上有一定点(),0,,A R B C 是该圆上的两动点.如果2AB AC r ⋅=为常数(0)r R <<，可证BC 必与某个圆Ω相切，则Ω的方程为__________.5.对26⨯的长方形方格带的某些11⨯小方格染色（染成红色），要求任何一个22⨯的正方形方格中至少有一个11⨯的小方格未被染色，这样的染色方式有__________种.6.一离散型随机变量X 的分布列为：X 0123P0.1a b c其中,a b 为变数，c 为正常数，且当0a b =≠时方差()D X 有最大值，则c 的值为__________.7.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的右焦点为F ，过F 的直线与双曲线右支交于,A B 两点，若以AB 为直径的圆过原点，则双曲线离心率e 的取值范围是__________.8.__________.2482cos 12cos 12cos 1999πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二､解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明､证明或演算步骤.9.（本小题满分16分）已知函数()()2,,f x ax bx c a b c =++∈R ，且对一切x ∈R ，都有()2428124x f x x x +++.（1）将,b c 分别表示成关于a 的函数，并求出a 的取值范围；（2）对于给定的,a k ，求()f x 在区间[],k k -上的最小值.10.（本小题满分20分）某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的()*3,n n n ∈N位玩家测试这款游戏.玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的.他们通过第一关测试的概率都为(01)p p <<，通过第二关测试的概率都为(01)q q <<.若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试.当p q ≠时，求第()*11,k k n k -∈N 位玩家终止测试的概率（用含,,p q k 的式子表示）.11.（本小题满分20分）已知函数3y x ax =-（a 为常数）的图象上存在四个点(),i i i A x y ，过i A 的切线为(1,2,3,4i l i =，其中)13l l ∥，且1234,,,l l l l 围成的图形是正方形.（1）求证：132423x x x x -；（2）试求a 的取值范围.数学答案一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.1由题意得，()()32423f x cx c x =+-'，由()10f '-=，得()24230c c ---=，解得3c =-或1c =.当3c =-时，()()()1211f x x x x =--+'，当1x <-时，()0f x '>，则()f x 在区间(),1∞--上单调递增，不满足条件，舍去；当1c =时，()()()411f x x x x =-+'，则()f x 在区间(),1∞--上单调递减，在区间()1,0-上单调递增，满足题意，故1c =.2.(]0,1当命题p 为真命题时，对任意的正数22211,11,1,x x a a x x -⎛⎫>=--+∴>∴ ⎪⎝⎭命题p 为假命题时，1a ；当命题q 为假命题时，存在实数x ，使223x a x <<-，03a ∴<<，故命题,p q 都为假命题时，实数a 的取值范围是(]0,1.3.8设立方体的边长为a (212a =++-，解得2a =，则立方体的体积为8.4.2222()2r x R y R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭设A 到BC 的距离为,h BAC ∠α=，则11sin sin 22AB AC BC h R h αα⋅==⋅，又22,,2r AB AC r h BC R ⋅=∴=∴与圆2222()2r x R y R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切.5.3105考虑()21n ⨯+个方格的染色情况.最后2个方格如果没有染色或只有一个染色（它有3种可能的情况），前面的2n ⨯个方格有n a 种染色方式，共有3n a 种染色方式；如果最后两个方格都染色，则与它相邻的2个方格或者没有染色或者只有一格染色，前面的()21n ⨯-方格有1n a -种染色方式，共有13n a -种染色方式，故()113n n n a a a +-=+，其中()4232115,315457a a =-==⨯+=，由此可知()431557216a =⨯+=，()()56357216819,32168193105a a =⨯+==⨯+=.6.0.1由题意得，()()()20.9,230.92,490.938,a b c E X a b c b c E X a b c b c D X ++==++=++=++=++()()222[]0.938(0.92)E X E X b c b c =-=++-++()221.240.09 4.44,b c b c c =-+-++-∴当0.62b c =-时有最大值，此时1.240.9c c -+=，解得0.1c =.7.512+⎣当AB x ⊥轴时，2b c a =，解得512e +=.当AB 不与x 轴垂直时，设():AB y k x c =-，与22221x y a b-=联立得()()222222222220a k b x a ck x a c k b --++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22222212122222222,a c k b a ck x x x x a k b a k b++==--，则()()2421212222k b y y k x c x c a k b=--=--.由题意得，()222224222222121222242242210131a c k b k b a b e b x x y y k e a k b b a c e e a+--+==⇒==>=----+42103112e e e +⇔<-+<⇔<<.综上，双曲线离心率e的取值范围是12⎣.8.1方法一：令29πθ=，()()()22cos 12cos 14cos 12cos2112cos21θθθθθ-+=-=+-=+ ，2cos212cos 12cos 1θθθ+∴-=+，同理得2cos412cos212cos21θθθ+-=+，2cos812cos412cos41θθθ+-=+，以上三式相乘有：162cos 124892cos 12cos 12cos 1129992cos 19πππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+.方法二：令2248116sin cos cos cos sin2481999989coscos cos 229998sin sin 99a ππππππππππ===-.令248cos cos cos 999b πππ=++，2468cos cos cos cos 9999ππππ+++=24682cos sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin999999992sin9πππππππππ+++=3537597sin sin sin sin sin sin sin sin 999999992sin9πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=sin12489,cos cos cos 029992sin 9b πππππ-=-∴=++=.令244828248cos cos cos cos cos cos cos cos cos 999999999c πππππππππ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭24826248248cos cos 2cos cos cos cos cos cos cos cos 9999999999ππππππππππ=+=-+=412411cos cos cos 1399922224πππ--+--+==-，2482cos 12cos 12cos 1842113011999a c b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=-+-=-++-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二､解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明､证明或演算步骤.9.（本小题满分16分）（1）原不等式可化为()()()424222x f x x x +++.取12x =-，则有1100022f f ⎛⎫⎛⎫-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴令()()12f x x ax n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因此有()()111481222x x ax n x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当12x >-时，由上式知恒有()481ax n ax n x +⎧⎨++⎩，42a n ∴-+，且1814,4222a a n n ⎛⎫-+-+=∴-+= ⎪⎝⎭.同理，当12x -时，也有42an -+=，()14,44,22224a a a n f x x ax b a c ⎛⎫⎛⎫∴=+∴=+++⇒=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由题意得，()()()()22222114204218124802ax b x c a x x a x a x b x c a x ⎧⎛⎫⎛⎫+-+-=++=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+-+-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩①②，①②两式恒成立，[]0,8a ∴∈.（2）当0a =时，()42f x x =+，此时()f x 在[],k k -上的最小值为()42f k k -=-+；当(]0,8a ∈时，()f x 图象的对称轴方程为4022b a x a a+=-=-<，此时442a f a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.记()f x 的最小值为m ，当(]4,2a k a∞+-∈--时，得()214k a -⑤，故当12k 时，⑤成立，此时()()()121284k k a m f k ⎡⎤--+⎣⎦=-=.当12k >时，()421421k a a k -⇒-.注意到：4343138,821421424k k k k k ⇔>⇔<⇒<<--，∴当1324k <<时，⑥戊立，此时()()121284k k a m ⎡⎤--+⎣⎦=.当34k 时：当4821a k <-时，(]4,2a k k a +-∈-，此时4m a=-.当421ak -时，(]4,2a k a ∞+-∈--，此时()()()121284k k a m f k ⎡⎤--+⎣⎦=-=.综上，()f x 在区间[],k k -上的最小值如下：当304k <<时，()()121284k k a m ⎡⎤--+⎣⎦=；当34k 时，()()121284,042144,821k k a ak m a a k ⎧⎡⎤--+⎣⎦⎪⎪-=⎨⎪-<⎪-⎩.10.（本小题满分20分）设第()*11,k k n k -∈N 位玩家终止测试的概率为kp .当p q ≠且第()*11,k kn k -∈N 位玩家终止测试时，第k 位玩家必通过第二关测试.若前面()1k -位玩家都没有通过第一关测试，其概率为'1(1)k k p p pq -=-，若前面()1k -位玩家中人第()*11,,i i k k i -∈N位玩家才通过第一关测试，则前面()1i -位玩家无人通过第一关测试，其概率为1(1)i p --，第i 位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其概率为()1p q -，第()1i +位玩家到第()1k -位玩家中都没有通过第二关测试，其概率为1(1)k i q ---.∴前面()1k -位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：111111111(1)(1)(1)(1)1i k k i k i k k i i p p p p q q q pq q q ---''----==⎛⎫-=---=- ⎪-⎝⎭∑∑()11111111(1)(1)(1)111k k k k p pq q q pq q q p p p qq ----⎛⎫--⎪--⎝⎭⎡⎤=-=---⎣⎦----111(1)(1)(1)(1)k k k kk k pq q p p p pq p q p p q'''----⎡⎤∴=+=-+---⎣⎦-()11(1)(1)(1)(1)k k k kpq q pq pq pq p q q p p q p q p q -⎡⎤-⎡⎤=--+-=---⎢⎣⎦---⎣⎦因此，第()*11,k k n k -∈N 位玩家终止测试的概率为(1)(1)k k pq q p p q⎡⎤---⎣⎦-.11.（本小题满分20分）（1）设直线i l 的斜率为()1,2,3,4i k i =，又23y x a '=-，则()231,2,3,4i i k x a i =-=，121k k =-1324,l l l l ∥∥，则2222132413241324,,,,k k k k x x x x x x x x ==∴==⇒=-=-，22132412121113332x x x x x x k k k k ∴-=-=-=+，即132423x x x x -.（2）若0a ，则()212301,2,3,4,1i i k x a i k k =-==-不成立，0a ∴>.不失一般性，可设12120,0,0,0x x k k >>><.()()31:201,2,3,4i i i i l y y k x x y k x x i -=-⇔--==.1l 与3l 的距离2l ､与4l 的距离分别设为d 与d '，则3333121d d k k '⎧===∴=-⎩33112x k x ∴=⋅，令31k t =，则12(0)x tx t =>.222232122132313111113,3x x a k a x at t a at k t t t t t-==-=-∴-=-⇒=-⇒+=- ，431t a t t +∴=-，又0,0a t >>，可得1t >.方法一：令()431(1)x f x x x x+=>-，则()()()()()()2226422233122331xx x x x x f x xxxx++---+==--'，易知当22x =+时，()f x 取得最小值，从而a 取得最小值，2mina a∴==∴的取值范围是)∞⎡+⎣.方法二：令()431(1)xf x xx x+=>-，则()2211211xxf x xxx xx x+==-+--，当且仅当22x=+时，取得等号，mina∴=，a∴的取值范围是)∞⎡+⎣.。

太康二高2013-2014学年高二竞赛考试数学理试题 Word版含答案

2013-2014学年度上学期太康二高竞赛考试高二数学（理）试题时间：120分钟满分：150分命题：郭伟峰一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.若命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则 ( )A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假2.抛物线2x y -=的焦点坐标为 ( )A.)81,0(-B.)0,41(-C.)41,0(-D.)21,0(- 3．两个正数1、9的等差中项是a ，等比中项是b ，则曲线122=+by a x 的离心率为（）A B ．5 C ．45D 5 4．若R b a ∈,，则3311ba >成立的一个充分不必要条件是（） A 0>ab B a b > C 0<<b a D 0)(<-b a ab5．下列四组不等式中,同解的一组是 ( )A.201x x -≥-与(2)(1)0x x --≥ B. 1> 与 1x > C. 11x < 与 1x > D. 11x> 与 lg 0x <6. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．217．下列命题中正确的是（）A ． x x y 1+=的最小值是2 B ． 2322++=x x y 的最小值是2C ． 4522++=x x y 的最小值是25 D ．xx y 432--=的最大值是342-8．关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,53 B ．()1,1- C ．(]1,1- D ．⎥⎦⎤⎝⎛-1,53 9．下列说法错误．．的是 ( ） A ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题.B. 命题p ：042,0200<+-∈∃x x R x ,则042,:2≥+-∈∀⌝x x R x pC ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”D ．命题 “R x ∈∃，使2240x x -+-=”是真命题10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11. 设P 是圆C :2240x x y -+=上一个动点，O 是原点，若点M 满足12OM OP = ，则点M 的轨迹方程是（）A. ()2211x y ++= B. ()2211x y -+=C. ()22416x y ++= D. ()22416x y -+=12. 双曲线228x y -=的左右焦点分别是12F F ，,点n P ()()123n n x y n = ，，，在其右支上,且满足121||||n n P F P F +=,1212PF F F ⊥,则2012x 的值是（）A ．B ．C ．8048D ．8040第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案的最简结果填在题中的横线上．13. p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________条件．14椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一个顶点到两个焦点的距离分别是8和2，则该椭圆的方程是．15.给出平面区域（如图），若使目标函数：z ＝ax ＋y （a ＞0）取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为．16.已知0,0,x y >>且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是。

安徽高二高中数学竞赛测试带答案解析

安徽高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.已知抛物线的焦点坐标是，则该抛物线的标准方程是（）A．B．C．D．3.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．4.等差数列中，，，则数列的公差为（）A．1B．2C．3D．45.下列命题中是假命题的是（）A．对任意，B．对任意，C．存在，使D．存在，使6.在中，角，，的对边分别为，，，若，则等于（）A．B．C．D．7.若等比数列各项都是正数，，，则的值为（）A．42B．63C．84D．1688.“”是“函数为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9.函数的图像如图所示，则的图像可能是（）A．B．C．D．10.变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解不唯一，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．11.直线分别与直线，曲线交于点，则的最小值为（）A．3B．2C．D．12.若函数的图像上有且仅有两对点关于原点对称，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.椭圆的离心率为__________．2.在中，，，的面积为，则__________．3.不等式的解集为__________．4.若直线过点，则的最小值等于__________．三、解答题1.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.2.在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且. （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.3.已知函数在处取得极值.（1）判断和是函数的极大值还是极小值，并说明理由；（2）若函数有三个零点，求的取值范围.4.设数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.5.已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）已知为原点，求证：为定值.6.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，均有，求实数的范围.安徽高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】解析：依据原命题与逆否命题的等价性可知：命题“若，则”的逆否命题“若，则”是真命题，故应选答案C。

高二数学竞赛试题及答案(精品)

高二数学竞赛拔高试题（二）时间：120分钟满分150分命题人：张付涛审题人：郝庆全一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42．已知数列{}n a的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（）A ．1aB ．2aC ．3aD ．4a3．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|= （）A. B. 3C.D. 44、若关于x 的方程323()25x aa +=-有负数根，则实数a 的取值范围为（） A.2(,)(5,)3-∞-+∞ B. 3(,)(5,)4-∞-+∞ C. 2(,5)3- D.23(,)34- 5．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是（）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1- 6．设抛物线C ：y2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则 = ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7已知数列{an}满足3an+1+an=4(n ≥1)，且a1=9，其前n 项之和为Sn 。

则满足不等式|Sn-n-6|<1251的最小整数n 是（）A ．5B ．6C ．7D ．88．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 ( )A.B.C.D. 9.已知等差数列{an}的公差为d ，前n 项和为Sn ，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为 ( )A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+11．设，是双曲线：（，）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为( )A. B. 2C.D.12．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（）. （A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个二填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak 后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k ＝14.若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为___________.15. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 . 16圆锥曲线|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是．三解答题（17题10分，其他题目满分12分，共计70）17．已知数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .18. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.19．某公司试销一种成本单价为500元／件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元／件．经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元／件）之间近似于如图所示的一次函数y ＝kx ＋b 的关系．（1）根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；（2）设公司获得毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S 元．① 试用销售单价x 表示毛利润S ．② 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？20.设F 是抛物线x y 42=的焦点，B A 、为抛物线上异于原点O 的两点，且满足0=⋅FB FA ．延长BF AF 、分别交抛物线于点D C 、（如图）．求四边形ABCD 面积的最小值．21.已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.22．已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．nT高二数学竞赛拔高试题（二）答案1【答案】C 2．（B）3【答案】B 4、（d）5．（C）．6．【答案】D7 c 8．【答案】A 9. 【答案】C10,B , 即. 故选B 11．【答案】C 12故选（D）．二填空题13 k＝11．14.【答案】15. 的取值范围是或．16 ．三解答题17．【答案】（1）a_n=2n+1,n∈N^*（2）T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1) （1）由〖a_n〗^2-2na_n-(2n+1)=0得[a_n-(2n+1)](a_n+1)=0，所以a_n=2n+1或a_n=-1，又因为数列{a_n }的各项均为正数，负值舍去，所以a_n=2n+1,n∈N^*.（2）因为b_n=〖(-1)〗^(n-1)a_n=〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)，所以T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)由T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)①(-1)T_n=-3+5-7+9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)+〖(-1)〗^n(2n+1)②由①-②得：2T_n=3-2[1-1+9...+〖(-1)〗^(n-1) ]-〖(-1)〗^n(2n+1)=3-2[1-〖(-1)〗^(n-1) ]/(1-(-1))=2+〖(-1)〗^(n-1)-〖(-1)〗^n(2n+1)=2+〖(-1)〗^(n-1) (2n+2)∴T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1)点睛：本题考查了数列递推关系、错位相减法、分组求和方法、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18..解由题，……5分，，即，上单调减，且. ……10分，n是方程的两个解，方程即=0，解方程，得解为1，，.，，. ……15分19解：（1）把（600，400），（700，300）两点的坐标分别代入y＝kx＋b，得解得∴y＝－x＋1000，其中x的取值范围是500≤x≤800．（2）①S＝xy－500y＝x（－x＋1000）－500（－x＋1000），即S＝－x2＋1500x－500000（500≤x≤800）．②S＝－x2＋1500x－500000＝－（x－750）2＋62500．当x＝750时，S最大值＝62500．此时y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250（件）．故当销售单价定为750件时，此公司获得最大毛利润62500元；此时的销售量是250件．2020.解析：设，由题设知，直线的斜率存在，设为．因直线过焦点，所以，直线的方程为．联立方程组，消得由根与系数的关系知：，……5分于是……10分又因为，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：，同理可得．……15分故当时等号成立．所以，四边形的最小面积为32．……20分21.（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+= ……+ ①又……+ ②①-②得=所以【答案】（1）（2）或详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①；由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。

全国高二高中数学竞赛测试带答案解析

全国高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+22.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。

3.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是4.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的。

A．B．C．D．5.函数y=的最小值是A．B．C．D．6.Ahyperbola(双曲线)wjthvertices(顶点)（-2，5）and(-2,-3),has an asynptote(渐近线)thatpasses the point(2.5) Then an equarionk of the hyperbola isA．B．C．D．7.等差数列中有两项和，满足、，则该数列前mk项之和是A．B．C．D．8.当x.yi满足条件时，变量U=的取值范围是A．B．C．D．9.设为椭圆上一点，且,，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于A．B．C．D．10.Suppose the least distance fron poinrs of the xurve(曲线)to the y-axis is then the velue of a isA．B．C．or D．or11.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+212.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。

13.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是14.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

高二数学竞赛试题

高二数学竞赛试题（考试时间90分钟，满分120分，命题人：黄盛华）班级________姓名_____________得分________________ 一、选择题（本大题有8小题，每小题5分,共40分）分）1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是的焦点到准线的距离是（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是 ( ) A ．12,24,15,9 B ．9,12,12,7 C ．8,15,12,5 D ．8,16,10,6 3．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于等于 ( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 4．先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体玩具，在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6)，骰子落地后朝上的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为的概率为 ( ) A.16 B.536 C.112 D.125. . 如图给出的是计算如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋129的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是 ( ) A ．n ＝n ＋2，i ＝15? B ．n ＝n ＋2，i >15? C ．n ＝n ＋1，i ＝15? D ．n ＝n ＋1，i >15? 6．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝（）A.3 B ．2 C ．3 D ．67．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50,60)的汽车大约有的汽车大约有 ( ) A ．30辆B ．40辆C ．60辆D ．80辆 8．F 1，F 2是椭圆x 22＋y 2＝1的左右两个焦点，过F 2作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 1AB 的面积为的面积为 ( ) A.43B.233 C.433D.423－1 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）分）9．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内得落在正方形区域内((含边界含边界))的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为据为依据可以估计出该不规则图形的面积为________________________平方米．平方米．平方米．10区．在区间间[－1,2]机上随机取取一个数x ，则|x |≤1率的概率为为________．11． “a >2”是“方程x 2a ＋1＋y 22－a ＝1表示双曲线”的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”)．12. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．三解答题（本大题共5小题，共60分）分） 13. 13. （本小题满分（本小题满分12分）分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图：的茎叶图如图：(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．的同学被抽中的概率．14．（本小题满分12分）分）－3x [3，PA ·PB ＝y 2－(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．的概率．17. （本小题满分12分）分）设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．成等差数列．(1)求E的离心率；的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．的方程．高二数学限时训练（4）一选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CDDCBACA40＝1，因此，从各层依次抽取的人数为1＝1＝×1＝×1＝ö＝3＝1. ＋1＋1＋1是连续奇数的前＋1，＋1＋1＋＋1需要循环＝ 3. 倾斜角为π的直线为＝1| 49＋43＝4. 【答案】2⇒＋＝反过来，a ＋a ＝＝3或3x 1＝1x ＝14＝2.－3x －37，[3，＝7，[7，|7≤≤7，∴≥3或－3. ，－3][3，＋PA·PB＝(－x·y＝y y＝－＝2＝1. ＝3. －3＝13. ＝4a＝a2－b2. 22＝2b2，＝()2b2. ＝2|2[(x1＋x2)2－4x1x2]. 4a＝4ab22，故＝ca＝a2－b2a＝22. ＝x1＋x22＝－a ca2＋b2＝－23c＝c3. 即y0＋1x＝－32，的方程为x218＋y29＝。

高二数学竞赛试卷及参考答案

高二数学竞赛试卷考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分。

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．（1）12,F F 是椭圆22:184x y C +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为（） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D) 4个（2）已知实数集合A 满足条件：若a A ∈，则11aA a+∈-，则集合A 中所有元素的乘积的值为（）(A ) 1 (B ) 1- (C ) 1± (D) 与a 的取值有关（3）若ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足2220a a b c ---=且0322=+-+c b a ，则它的最大内角的度数是（）(A )150 (B )135 (C )120 (D)90（4）已知定点()7,8A 和抛物线24y x =，动点B 和P 分别在y 轴上和抛物线上，若0O B P B ⋅=（其中O 为坐标原点），则PB PA +的最小值为（）(A ) 9 (B ) 10 (C ) (D)、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．（5）高二数学竞赛获一等奖的人数在30到55人之间，颁奖典礼上给获一等奖的学生照相．按3列排，多出2人；按5列排，多出4人；按7列排，多出2人，则获一等奖的人数有人．（6）若函数()f x 的图像经过点()()1,1,1,0,2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，试写出两个．．满足上述条件的函数的解析式、．（7）已知点()b a P ，在直线01443=--y x 上，则()()2211-+-b a 的最小值为．（8）正三棱锥ABC P -中，30=∠=∠=∠APC BPC APB ，2===CP BP AP ，过点A 作平面分别交PB 、PC 于E 、F ，则AEF ∆的周长的最小值为．（9）现代社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a 、b 、c 、…、z 的26个字母（不论大小写）依次对应1、2、3、…、给出如下一个变换公式：()()221126213 1262x x x x x x x x x +⎧∈≤≤⎪⎪'=⎨⎪+∈≤≤⎪⎩N N 不能被整除能被整除，　，，　，将明文转换成密文，如1613266＝＋→即f 变为p ；52199＝+→即i 变为e ．按上述规定，明文good 的密文是，密文gawqj 的明文是．（10）对一切实数x ，所有的二次函数()()b a c bx ax x f <++= 2的值均为非负实数，则cb a ab ++-的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．已知函数()a x x x x f ++=2cos cos sin 3（a 为常数）．（Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期，并指出其单调减区间；（Ⅱ）若函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，　上恰有两个x 的值满足()2=x f ，试求实数a 的取值范围．如图，点P 是矩形ABCD 所在平面外一点且⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面⊥PDC 平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点Q ，使得D 点到平面PAQ 的距离为1．若存在，求出BQ 的值；若不存在，请说明理由．如图，将一块直角三角形板ABO 放置于平面直角坐标系中，已知2==BO AB ，OB AB ⊥．点⎪⎭⎫ ⎝⎛211，　P 是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB ）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k ．（Ⅰ）试用k 表示AMN ∆的面积S ，并指出k 的取值范围；（Ⅱ）试求S 的最大值．已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，当2≥n 时，都有121n n a a n -=+-，记1211n T a a =++ (1)na +．（Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：2<n T ；（Ⅲ）令111n n b a +=-，12n B b b =……n b ，试比较13n n -与n B 的大小．设定义在R 上的函数()e dx cx bx ax x f ++++=234，当1-=x 时，()x f 取得极大值32，并且函数()1-=x f y 的图象关于点()01，　对称．（Ⅰ）求()x f 的表达式；（Ⅱ）试在函数()x f 的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（Ⅲ）若212t t x -=，)133t ty -= ()t +∈R ，求证：()()43f x f y -<．\参考答案及评分标准一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．（1）B （2）A （3）C （4）A 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．（5）44 （6）本小题答案不唯一，只要满足题设条件即为正确答案。

湖南省炎德英才杯2024_2025学年高二数学下学期基础学科知识竞赛试题

湖南省炎德英才杯2024-2025学年高二数学下学期基础学科学问竞赛试题时量：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知命题p ：∀x>0，ln(x ＋1)>0，则命题p 的否定是 A.∀x>0，ln(x ＋1)≤0 B.∀x ≤0，ln(x ＋1)>>0 C.∃x 0>0，ln(x 0＋1)>0 D.∃x 0>0，ln(x 0＋1)≤02.已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{t ∈Z|t ＝2x ＋1，x ∈A}，则A ∩B ＝ A.{－1，0，1} B{－1，0} C{0，1} D.{0}3.已知正项等比数列{a n }的公比为q ，若a 2a 6＝4a 52，则公比q ＝ A.12B.22C.2D.24.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，c ＝λa ＋µb ，若a ⊥c ，则下列结论正确的是Aλ－μ＝0 B.λ＋μ＝0 C.2λ－μ＝0 D.2＋μ＝0 5.(2x 2＋1x)5的绽开式中，x 4的系数是 A160 B.80 C.50 D.10 6.已知cos(α－4π)sin(34π－α)＝33，α∈(3,24ππ)，则sin2α＝A.2313- B.2313- C.313- D.313+ 7.唐朝闻名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为A.(0，＋∞) 8.巳知实数a ，b 满意ab>0，则2a aa b a b-++的最大值为A.2B.2C.3－D.3＋二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

高二数学竞赛（含答案）

高二数学竞赛试题一、选择题（本题满分60分，每题5分）1．复数()()212z i i =++的虚部为() A. 2i- B. 2- C. 4iD. 42．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋a 22y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y)|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是() A. 3或-1 B. 0 C. －1 D. 0或－1 3．()423a b c +-的展开式中2abc 的系数为（）A. 208 B. 216 C. 217 D. 218 4.某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示：根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a ÙÙ=+，依此估计如果2018年该公司收入为7亿元时的支出为() A. 4.5亿元B. 4.4亿元C. 4.3亿元D. 4.2亿元5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -=）的点的个数的估计值为( ) A. 5000 B. 6667 C. 7500 D. 7854 6. 函数2cos 3sin cos y x x x =+在区间,64p p éù-êúëû上的值域是（）A. 1,12éù-êúëû B. 122,3éù-êúëûC. 0,32éùêúëû D. 2,301é+ùêúëû7．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（）A. 小明B. 小马C. 小红D. 小方8.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为收入x （亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 支出y （亿元）0.2 1.5 2.0 2.5 3.8 A. 94pB. 9pC. 4pD. p 9．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是（）开始结束是,,n v x1i n =-0?i ³输出v 1i i =-1v v x =×+否输入A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++10．设O 点在ABC D 内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC D 的面积与AOC D 的面积的比为（） A. 2 B. 3 C. 32D. 5311．已知抛物线C ： 22(0)y px p =>和动直线l ： y kx b =+（k ， b 是参变量，且0k ¹， 0b ¹）相交于()11,A x y ， ()22,B x y 两点，直角坐标系原点为O ，记直线OA ， OB 的斜率分别为OA k ， OB k ，若3O A OB k k ×=恒成立，则当k 变化时直线l 恒经过的定点为（恒经过的定点为（）A. ()3,0p -B. ()23,0p - C. 3,03p æö-ç÷ç÷èø D. 23,03p æö-ç÷ç÷èø12. 已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ì+£ï=íï>î（lnx 是以e 为底的自然对数，e=2.71828...），若存在实数m,n(m<n)，满足f(m)=f(n)，则n-m 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题二、填空题（本题满分20分，每题5分）分） 13.已知实数,x y 满足约束条件222441x y x y x y +³ìï+£íï-³-î，则目标函数3z x y =+的取值范围为的取值范围为. 14. 如图，矩形ABCD 中，AB=2AD ，E 为边AB 的中点，将V ADE 沿直线DE 翻折成V A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在V ADE 翻折过程中，下列命题正确的是翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号）（写出所有正确的命题的编号）①线段BM 的长是定值；的长是定值；②存在某个位置，②存在某个位置，②存在某个位置，使使DE ^A 1C ；③点M 的运动轨迹是一个圆；的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，④存在某个位置，④存在某个位置，使使 MB P 平面A 1DE ．15. 已知双曲线22221x y a b-= （0a > ， 0b > ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交双曲线右支于P ，Q 两点，且1PQ PF ^ ，若1512PQPF = ，则双曲线的离心率为__________ . 16．九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,...,a a a ，若13579a a a a a ++++是一个平方数，2468a a a a +++是一个立方数，则1239...a a a a ++++的最小值是 . 三、解答题（本题满分70分）分）17．（本小题满分10分）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cosA BC A B +=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S D =+,求,a c .18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N *+=+Î. （1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；（2）证明：12231 (2)n n a a a na a a ++++<. 19．（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[]20,45的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示．名，其年龄频率分布直方图如图所示．的值；（1）求图中x的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿的分布列及数学期望．者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．20. （本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆，⊙O交BC于点D．的切线；（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；长．（3）在（2）条件下，若CD=1，EH=3，求BF及AF长．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，并且过点P（2，﹣1）的方程；（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若的斜率是定值，并求出这个定值．直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．22. （本小题满分12分）已知函数()ln mx n f x x x-=-，,m n R Î. （1）若函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，求实数n 的值；的值；（2）试讨论函数()f x 在区间[1,)+¥上最大值；上最大值；（3）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：122x x +>. 高二数学竞赛试题参考答案1．D 2．D 3．B 4．B 5. B 6. C 7．A 8．A 9．A 10．B 11．D 12. C13. []1,6 14．①③ 15．37516．1800017．解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. ....................2分所以C A B C -=-,或()C A B C p -=--(不成立). ．即 2C A B =+, 得3C p =，所以.23B A p +=.................. 4分又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A p-=，或56B A p-=（舍去）得5,412A B p p == ．.................. 6分(2)162sin 3328ABC S ac B ac D +===+，又sin sin a c AC=, 即2322a c =，．.................. 8分得22,2 3.a c == .................. 10分（1）由已知6B p=， 2220a ab b --=结合正弦定理得：22sin sin 10A A --=，于是sin 1A =或1sin 2A =-（舍）．因为0A p <<，所以2A p=， 3C p =．（2）由题意及余弦定理可知22196a b ab ++=，由（1）2220a ab b --=得()()20a b a b +-=即2a b =，联立解得27b =， 47a = 所以， 1sin 1432ABC S ab C D ==. 18．（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即................... 6分（2）证明：∵1121212112122112(21)2k k kn k k k n a a ++---=<==-×---，，∴................... 12分19．（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++´=，解得0.06x =.........2分（2）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，.................. 4分故X 的可能取值为0,1,2,3．()343101030CP X C ===， ()12643103110C CP X C ===， ()2164310122C CP X C ===， ()36310136CP X C ===．故X 的分布列为Y0 123P1303101216.................. 10分()13110123 1.8301026E Y =´+´+´+´=．..................12分 20.证明：（1）如图，连接OE ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE=∠OBE ， ∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ， ∴∠OEB=∠CBE ， ∴OE ∥BC ， ∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线；．..................3分（2）如图，连结DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于C ，EH ⊥AB 于H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ．在△CDE 与△HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH Ð=ÐÐ=Ð=ïíî=ìï， ∴△CDE ≌△HFE （AAS ）， ∴CD=HF ．．..................7分（3）由（2）得，CD=HF ．又CD=1 ∴HF ＝1在Rt △HFE 中，EF =2231+＝10 ∵EF ⊥BE ∴∠BEF =90° ∴∠EHF =∠BEF =90° ∵∠EFH =∠BFE ∴△EHF ∽△BEF ∴EF HF BF EF =，即10110BF =∴BF =10∴152OE BF ==, 514OH =-=,∴在Rt △OHE 中， 4cos 5EOA Ð=,∴在Rt △EOA 中， 4cos 5OE EOA OA Ð==,∴545OA = ∴254OA = ∴255544AF =-=. ．..................12分 21．（1）解：由，得，即a 2=4b 2，∴椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2．又椭圆C过点P （2，﹣1），∴4+4=4b 2，得b 2=2，则a 2=8．∴椭圆C 的方程为；..................4分（2）证明：由题意，直线PA 斜率存在，设直线PA 的方程为y +1=k （x ﹣2），联立，得（1+4k 2）x 2﹣8（2k 2+k ）x +16k 2+16k ﹣4=0．∴，即．∵直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，设直线PB 的方程为y+1=﹣k （x ﹣2），同理求得． ..........8分又，∴y 1﹣y 2=k （x 1+x 2）﹣4k ．即=，.................. 10分∴直线AB 的斜率为．..................12分22.（1）由'2()n x f x x -=，'2(2)4n f -=，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，故214n -=，解得6n =. .................. 2分（2）'2()(0)n xf x x x -=>，由'()0f x <时，x n >；'()0f x >时，x n <，所以①当1n £时，()f x 在[1,)+¥上单调递减，故()f x 在[1,)+¥上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)n 上单调递增，在(,)n +¥上单调递减，故()f x 在[1,)+¥上的最大值为()1ln f n m n =--；综上①当1n £时，()f x 在[1,)+¥上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)+¥上的最大值为()1ln f n m n =--；.................. 6分（3）函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，则1211221211()ln 0,()ln 0mx mx f x x f x x x x --=-==-=，可得121211ln ln m x x x x =+=+. 于是21221121ln ln ln x x x x x x x x -=-=.令211x t x =>，则1111ln ,ln t t t x txt t --==，于是21211(1)ln t x x x t t t-+=+=，.................. 8分∴21212(ln )22ln t t t x x t--+-=，记函数21()ln 2t h t t t -=-，因2'2(1)()02t h t t -=>， ∴()h t 在(1,)+¥递增，∵1t >，∴()(1)0h t h >=，又211x t x=>，ln 0t >，故122x x +>成立. .................. 12分。