分式方程增根与无解

分式方程的增根与无解

甲：增根是什么？

乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如

例1、解方程：。①

为了去分母，方程两边乘以，得②

由②解得。

甲：原方程的解是。

乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？

甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？

乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。

甲：那为什么会出现这种情况呢？乙：因为原来方程①中未知数x 的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后，未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。

甲：如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？

乙：很简单，两个字：检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。

甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？

乙：原方程无解。

甲：啊？！为什么会无解呢？

乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。

甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？

乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看：

例2、解方程，

去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，而方程，去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。

乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：

例3、已知关于x 的方程有增根，求k的值。

首先把原方程去分母，化为。③

因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或

若增根为，代入方程③，得，；

若增根为，代入方程③，得，。

故当或时，原方程会有增根。甲：虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解，但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系，这是怎么一回事？

乙：你说的没错，增根与无解都是分式方程的“常客”，它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应考虑增根，例如：

例4、已知关于x 的方程无解，求m的值。

先把原方程化为。④

（1）若方程④无解，则原方程也无解，方程④化为，当，而

时，方程④无解，此时。

（2）若方程④有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程④的解为时原方程无解，代入方程④，得，故。

综合（1）、（2），当或时，原方程无解。

妙用分式方程的增根解题

在解分式方程的过程中，我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值.请看下面几例.

例1 若关于x 的方程

1

101

ax x +-=-有增根，则a 的值为__________________. 析解：去分母并整理，得11ax x +=-，因为原方程有增根，增根只能是1x =，将

1x =代入去分母后的整式方程，得1a =-.

例2 若关于x 的方程2233

x m

x x -=+--无解，则m 的值是_________.

析解：去分母并整理，得40x m +-=. 解之，得4x m =-.

因为原方程无解，所以4x m =-为方程的增根.又由于原方程的增根为3x =.所以

43m -=，1m =.

例3. 已知方程

214x -＋2＝2

k

x -有增根，则k ＝______________. 析解：把原方程化成整式方程，得

212(4)(2)x k x +-=-+.

因为原方程有增根，所以增根只能是2x =或2x =-.

将2x =代入212(4)(2)x k x +-=-+，得1

4k =-；

将2x =-代入2

12(4)(2)x k x +-=-+，无解.故应填－1

4

.

练一练： 1. 如果分式方程

11

x m

x x =

++无解，则m 的值为（ ）. （A ）1 （B ）0 （C ）－1 （D ）－2 2. 如果方程2

211x k x

x x

++=--有增根1x =，则k ＝________.

答案：1.C ；2.1；

分式方程的增根及其应用

一、增根的原因

解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程过程中，无形中取掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情况：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根．因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤．

二、利用增根解题

不可否认，增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题，常见的类型有如下几种：

1．已知方程有增根，确定字母系数值 例1：若方程

3

23-=

--x m

x x 有增根，则m 的值为 （ ） A ． －3 B ．3 C ．0 D ．以上都不对

析解：把分式方程两边同乘以公分母x －3，得整式方程x －2（x －3）=m ．若原方程有增根，必须使公分母x －3等于0，即x=3，代入整式方程得3=6－ m ，解得

m=3．故应选B ．

点评：方程有增根，一定是公分母等于0的未知数的值．解这类题的一般步骤①把分式方程化成的整式方程；②令公分母为0，求出x 的值；③再把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值．

2．已知方程无解，确定字母系数值 例2：若方程

132323-=-++--x

mx

x x 无解，则m 的值为 （ ） A ． －1 B ．3 C ．－1 或3 D ．－1 或5

3

-

分析：把分式方程化为整式方程，若整式方程无解，则分式方程一定无解；若整