自然数方幂的平方差分拆公式
平方差公式口诀
平方差公式口诀
平方差公式口诀：两数和乘两数差，等于两数平方差。
积化和差变两项，完全平方不是它。
1
平方差指一个平方数或正方形，减去另一个平方数或正方形得来的乘法公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）。
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍即完全平方公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2
2
平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。
用字母表示为（a+b）（a-b）=a2-b2。
公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式。
公式特征：左边为两个数的和乘以这两个数的差，即右边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数；右边为这两个数的平方差即右边是完全相同的项的平方减去符号相反项的平方。
3
（1）公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
（2）右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
（3）公式中的a，b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
4
Sin2A-sin2B=cos2B-cos2A=sin(A+B)sin(A-B)
cos2A-sin2B=cos2B-sin2A=cos(A+B)cos(A-B)。
八年级数学平方差公式
几何图形面积计算
计算矩形面积
在几何图形中，矩形的面积可以表示 为长乘以宽，即 $S = ab$。当长和 宽相差不大时，可以利用平方差公式 近似计算面积。
计算平行四边形面积
平行四边形的面积可以表示为底乘以 高，即 $S = ah$。当底和高相差不大 时，同样可以利用平方差公式进行近 似计算。
实际问题解决策略
公式形式及推导过程
公式形式： (a+b)(ab)=a²-b²
推导过程
=a²ab+ab-b²
=a²-b²
左边 =(a+b)(ab)
=右边
适用范围及注意事项
适用范围：平方差公式适用于所有实数 范围内的运算，包括正数、负数以及0。
在进行复杂运算时，可以结合其他公式 或定理进行推导和计算。
在进行因式分解时，需要注意符号问题 ，确保分解后的因式与原式相等。
完全平方公式定义
阐述完全平方公式的概念， 即形如$(a+b)^2$或$(ab)^2$的代数式展开后得 到的公式。
完全平方公式推导
通过代数运算，展示如何 从$(a+b)^2$和$(ab)^2$推导出完全平方公 式。
完全平方公式应用
举例说明完全平方公式在 因式分解、化简求值等问 题中的应用。
立方差、立方和公式推导
THANKS
感谢观看
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
平方差公式的基本形式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任意实数。
平方差公式的推导过程
利用分配律和整式的乘法法则，可以将$(a + b)(a - b)$展开为 $a^2 - ab + ab - b^2$，化简后得到$a^2 - b^2$。
知识点059 平方差公式(解答)
1、化简：（a+b﹣c）（a+b+c）﹣[（a﹣b）2+4ab]考点：平方差公式；完全平方公式。
分析：把（a+b）看成一个整体，利用平方差公式展开，然后再利用完全平方公式计算后化简即可．解答：解：（a+b﹣c）（a+b+c）﹣[（a﹣b）2+4ab]，=（a+b）2﹣c2﹣（a﹣b）2﹣4ab，=（a+b）2﹣（a﹣b）2﹣4ab﹣c2，=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2﹣c2，=﹣c2．点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答此题关键，要把（a+b）看成一个整体，计算时要注意运算符号的处理．2、（1）阅读以下材料：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1．根据上面的规律，得（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+229+230的值．考点：平方差公式。
专题：阅读型；规律型。
分析：仔细观察上式就可以发现得数中x的指数是式子中x的最高指数加1，根据此规律就可求出本题．解答：解：（1）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=x n﹣1；（2）1+2+22+23+24+…+229+230=（2﹣1）（1+2+22+23+24++229+230）=231﹣1．点评：本题主要锻炼学生从已知的题中找规律．所以学生平时要注意培养自己的总结概括能力．3、计算：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=考点：平方差公式。
分析：利用平方差公式对各项分解因式，前一项与后一项出现倒数，然后再根据有理数的乘法计算即可．解答：解：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣），=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）•…•（1﹣）（1+）（1﹣）（1+），=××××××…××××，=×，=．点评：本题考查了平方差公式的逆运用，利用公式分解成两数的积，并且出现倒数相乘是解题的关键，求解方法灵活巧妙．4、计算：（1）﹣3m（2m+n﹣1）；（2）（3x﹣2）（x+4）；（3）（x+y﹣2）（x+y+2）．考点：平方差公式；单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式。
平方差的公式。
平方差的公式
平方差是一种用来衡量数据波动程度的测量方法，也称为方差。
它可以用来识别数据之间的差异和波动。
平方差的公式如下：
σ²=Σ(xi-μ)²/n
其中，σ² 是方差
xi 是所有数据的样本值
μ 是样本的平均值
n 是样本的数量
平方差是用来统计数据分布情况的测量方法，其值提供了以下信息：
1、原始数据之间的差异和波动大小。
2、数据越集中，方差值越小；比如，在相同数量的样本中，
两个组中的样本值均分布在比较宽散的范围内，那么它们的方差值比较大。
3、方差的值有助于我们分析数据的变化规律，可以帮助我们
了解数据的分布特点，即距离数据量中心点的距离越远，所谓的数据越分散。
4、通过方差值可以比较不同样本（或数据集）之间的差异。
5、方差值也可以应用于统计学检验，为统计分析提供理论支持。
总之，平方差是一种测量波动度和分布样本的数据统计方法，它有助于我们分析数据变化规律，当然也可以为统计分析提供理论依据。
平方差公式课件
02
平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
平方差公式是数学中的一个基本公式，它表示两个数的平方差等于这两个数和与差的积。
具体形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
平方差公式的几何意义
• 平方差公式可以理解为两个平行线间距离的公式。如果两条平 行线被第三条直线所截，那么截得的两条线段的平方差等于两 条线段和与差的积。
平方差公式的代数表达
• 平方差公式也可以从代数角度理解，即利用多项式乘多项式 法则进行展开。具体形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-ab+abb^2=a^2-b^2$
03
平方差公式的证明
利用多项式展开证明
总结词
通过代数运算，将两个多项式相乘，展开后得到两组完全平方项，最终化简得 到平方差公式。
详细描述
首先将两个多项式分别展开，然后根据分配律和结合律，将两个多项式相乘得 到一组新的完全平方项。通过观察和化简，可以发现这组完全平方项可以再次 组合成两个完全平方项的差，即平方差公式。
利用几何方法证明
总结词
通过几何图形，将两个正方形或矩形相减，得到一个新的正 方形或矩形，最终计算其面积得到平方差公式。
示例：计算$203\times197$的值。
习题三：挑战题
总结词：挑战难题
详细描述：本题主要考察学生对平方差公式的综合运用能力，要求学生 能够解决一些复杂的计算问题。
示例：计算$10000\times9999$的值。
THANKS
感谢观看
详细描述
首先画两个正方形或矩形，使它们的边长分别为a和b。然后 将其中一个正方形或矩形剪去，得到一个新的正方形或矩形 。通过计算这个新正方形的面积，可以得到平方差公式。
平方差知识要点
【知识要点】◆要点(1) 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2. 其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
【例1】计算下列各题：（1）()()y x y x 5454-+；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+a b b a 51313151；（3）()()2222--+-n m n m【例2】利用平方差公式计算下列各题：（1）1.509.49⨯；（2）2201320142012-⨯【例3】计算：()()()1)1(1110042+∙∙+++a a a a .【例4】已知正方形的边长是a cm ，若将一边增加3cm ，另一边减小3cm ，那么改变后的面积与原正方形的面积哪个大 ?A 【夯实基础】一、填空题1、，则2、．3、（1）如图（1），可以求出阴影部分的面积是_________．（写成两数平方差的形式）4、如图（2），若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是___________．（写成多项式乘法的形式）5、比较两个图阴影部分的面积，可以得到乘法公式__________．（用式子表达）二、选择题6、下列各式能用平方差公式计算的是：（）A． B．C． D．7、下列式子中，不成立的是：（）A．B．C．D．8、，括号内应填入下式中的（）．A． B． C． D．9、对于任意整数n，能整除代数式的整数是（）．A ．4B ．3C ．5D ．210、在 的计算中，第一步正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．三、计算题11、用平方差公式计算： (1) ()()()()n m n m n m n m 232-3-3-232++ （2）()()()()2222----a a b a b a ∙+（3）9288⨯ （4）76247125⨯12、计算：（1） ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-542516542x x x ；（3）； （4） ；。
平方差平方和立方差立方和公式
平方差平方和立方差立方和公式
平方差平方和立方差立方和是描述数据分布情况的统计量，也可称为分阶混合中心距。
它们是一组表示数据分布的定量特征，可以更直观地看出一组数据的离散程度和分散程度。
平方差平方和是描述一组数据离散程度的统计量，是用于衡量数据平均值与样本值之间差异的量度。
简言之，它表达了“x-x(平均值)”的均方差，公式为：
S=∑(x-x)^2 /母体n-1
即，平方差平方和= (x1-x )^2 + (x2-x )^2 +(xn-x )^2/ n-1
立方差立方和是立方差的一种应用，是衡量一组数据的样本分散程度的统计量，反映出数据的平均值与样本值之间的离散幅度。
可以用来度量一组数据的每个值与平均数之间的离散程度，即立方差的平方和，公式为：
S=∑(x-x)^3 /母体n-1
即，立方差立方和= (x1-x )^3 + (x2-x )^3 +(xn-x )^3 / n-1
平方差平方和与立方差立方和的比较，可以反映一组数据的分散状态，综合该值，可以构建回归模型，对数据进行建模，对下一步的预测、分析预先做出准备，是比较关键的一步，也是一些测量分析中最重要的步骤。
总结而言，平方差平方和与立方差立方和作为衡量一组数据离散程度、分布状况的量化统计量，其考察结果十分重要，由此能洞察数据分布的隐晦规律，为研究建立分析模型，提供可靠依据。
平方差公式和完全平方公式
第三讲 平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】 （一）平方差公式 一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） （A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） （A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式 一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（ ）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（ ）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（ ）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（ ） （A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（ ）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（ ）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。
人教版数学八年级上册平方 差公式课件示范
23)=2499
5 9
⑶ 59.8×60.2=(60－0.2)(60+0.2)=3599.96
(a-1)(a+1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)
小结 平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括号
再见
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。 2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。 3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。 4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。 5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。 6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。 7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。 8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。 9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
《平方差公式》教学课件
（第1课时）
• 内容分析： 本课是在学生学习了多项式乘法与合并同类项知识 的基础上，对特殊形式的乘法运算概括出了乘法公 式——平方差公式，平方差公式也是因式分解中公 式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算． 2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象 地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中， 感知数形结合思想． • 学习重点： 平方差公式．
【思路点拨】 先观察式子，是否符合平方差的结构特征．
探究三：平方差公式的应用
活动2 针对练习 (b+2a)(2a－b) 【解题过程】 解：（b+2a）（2a-b）=（2a）²-b²=4a²-b² 【思路点拨】
先观察式子，是否符合平方差的结构特征，需要用加法
交换律对式子进行变形，然后运用平方差公式计算．
2 2
2
2
总结经验 从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
Ｆ Ｇ
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2）
（ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
变形，巩固平方差公式的运用.
幂的运算法则公式14个
幂的运算法则公式14个
幂运算法则公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m×a n=a（m+n）；同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m÷a n=a （m-n）。
幂的运算法则公式
（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a m×a n=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（2）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a m÷a n=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（3）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a^m)^n=a^(mn)，(m,n都为正整数)
（4）积的乘方：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)^n=a^nb^n，（n为正整数）
（5）零指数：
a0=1 (a≠0)
（6）负整数指数幂
a-p=1/a p(a≠0, p是正整数）
（7）负实数指数幂
a^(-p)=1/(a)^p或（1/a）^p(a≠0，p为正实数）
（8）正整数指数幂
①a m a n=a m+n
②（a m）n=a mn
③a m/a n=a m-n (m大于n,a≠0)
④(ab)n=a n b n
（9）分式的乘方：把分式的分子、分母分别乘方即为乘方结果
(a/b)^n=(a^n)/(b^n)，（n为正整数）。
数学常用公式
一、基础代数公式1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a2－b22. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2 ab+b2)3. 同底数幂相乘: am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）a0＝1（a≠0）a-p＝（a≠0，p为正整数）4. 等差数列：（1）sn ＝＝na1+ n(n-1)d；（2）an＝a1＋（n－1）d；（3）n ＝＋1；（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；（5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ；（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）5. 等比数列：（1）an＝a1q－1；（2）sn ＝（q 1）（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab；（4）若m+n=k+i，则：am•an=ak•ai ；（5）am-an=(m-n)d（6）＝q(m-n)（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x1= ；x2= （b2-4ac 0）根与系数的关系：x1+x2=- ，x1•x2=二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
数学公式大全(一)
常用数学公式汇总一、基础代数公式1. 平方差公式：（a＋b）×（a－b）＝a2－b22. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2 ab+b2)3. 同底数幂相乘: am×an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）a0＝1（a≠0）a-p＝（a≠0，p为正整数）4. 等差数列：（1）sn ＝＝na1+ n(n-1)d；（2）an＝a1＋（n－1）d；（3）n ＝＋1；（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；（5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ；（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）5. 等比数列：（1）an＝a1q－1；（2）sn ＝（q 1）（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab；（4）若m+n=k+i，则：am•an=ak•ai ；（5）am-an=(m-n)d（6）＝q(m-n)（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x1= ；x2= （b2-4ac 0）根与系数的关系：x1+x2=- ，x1•x2=二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。
（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
幂的运算
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)；(2) ．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：．类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）； （2）；（3）； （4）．3、（2015春•南长区期中）已知2x =8y+2，9y =3x ﹣9，求x+2y 的值．举一反三：35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+23(2)(2)x y y x -⋅-()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数23[()]a b --32235()()2y y y y +-22412()()m m xx -+⋅3234()()x x ⋅【变式】已知，则＝ ．类型三、积的乘方法则4、计算：（1） （2）举一反三：【变式1】下列等式正确的个数是( )．① ② ③ ④ ⑤A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【变式2】（2015春•泗阳县校级月考）计算：（1）a 4•（3a 3）2＋（﹣4a 5）2（2）（2）20•（）21．5、（2016秋•济源校级期中）已知x 2m =2，求（2x 3m ）2﹣（3x m ）2的值．【要点梳理】【高清课堂 乘法公式 知识要点】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 322,3m m ab ==()()()36322mm m m a b a b b +-⋅24(2)xy -24333[()]a a b -⋅-()3236926x y x y -=-()326m m a a -=()36933a a =()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如要点二、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式；； ；.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2＋1)()( )()()()＋1．举一反三：【变式1】计算：(1)(2)(＋)( －)( )( ) (35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+2244()()()()a b a b a b a b -+++()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++221+421+821+1621+3221+2(3)(9)(3)x x x -++a b a b 22a b +44a b +【变式2】（2015•内江）（1）填空：（a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ．（2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．2、先化简，再求值．已知|m ﹣1|+（n +）2=0，求（﹣m 2n +1）（﹣1﹣m 2n ）的值．举一反三：【变式】解不等式组：类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）；（2）．举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)； (2)；(3)； (4)．4、已知△ABC 的三边长、、满足，试判断△ABC 的形状．举一反三：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩2(23)a b +-(23)(23)a b c a b c +--+()()a b c a b c -++-()()2112x y y x -+-+()2x y z -+()()231123a b a b +---a b c 2220a b c ab bc ac ++---=。
第四讲 平方差公式
第四讲 平方差公式【新知讲解】1.基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2平方差公式的结构特征：左边两个二项式的乘积，这两个二项式的两项中，有一项完全相同(绝对值相同，符号相同)，而另一项互为相反数（绝对值相同，符号相反） 右边是这两个单项式中这两项的平方差。
这里a,b 可表示一个数、一个单项式或一个多项式。
2.平方差公式的推广： （1）()()2233a b a ab b a b -++=-（2）()()322344a b a a b ab bab -+++=-（3）()()123221n n n n n n n a b aa b a b ab b a b ------+++++=-3．思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式； ③ 注意倒着用公式； ④ 2a ≥0；⑤ 用公式的变形形式。
【探索新知】问题导入：()()22b a b a b a -=-+成立吗？1.运算推导：2.图形理解：3.平方差公式：()()=-+b a b aA 组 基础知识【例题精讲】例1.利用平方差公式计算：（1）()()x x 6565-+ （2）()()y x y x 22+- （3）()()n m n m --+-例2.计算下列各题：（1）()()20012001-+ （2）()()3232x y x y -+（3）22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()x y z x y z +-++（5）59.860.2⨯ （6）2200620052007-⨯例3.用平方差公式进行计算：（1）204×197 （2）108×112例4.化简求值： ()()1212-++-b a b a 其中598,987a b ==。
例5.计算下列各题：（顺用公式） （1）()()()()()224488a b a b a bab a b -++++（2）3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1 （3）2999例6. 计算下列各题：（逆用公式）①1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655 （希望杯）②已知 19221 可以被60至70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？B 组 能力提升1.计算： （1）(-65x-0.7y)( 65x-0.7y) （2）(a+2)(a 4+16)(a 2+4)(a-2)（3）(3x m +2y n +4)(3x m +2y n-4) （4）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)（5）(a+b-c-d)(a-b+c+d)2.用平方差公式进行计算：（1）804×796 （2）10007×99933.计算（顺用公式）：6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1变式训练1：（2211-）（2311-）（2411-）…（2911-）（21011-） ：4.计算（逆用公式）：(x 3+x 2+x+1)(x 3-x 2+x-1)-(x 3+x 2+x+2)(x 3-x 2+x-2)C 组 拓展训练1.1949²-1950²+1951²-1952²+……+1999²-2000²2.求证：1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方。
平方差和完全平方公式
诚美教育一对一个性化指导专家一、同步知识梳理知识点1：平方差公式是指(a b)(a b) a2b2就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
【注意】a,b不过是一个符号，它们能够表示数，也能够表示式子（单项式、多项式等），不过它们的和与差的积，必定等于它们的平方差。
知识点 2：完整平方公式： (a b)2a22ab b2(a b)2a22ab b2两数和 ( 或差 ) 的平方，等于它们的平方和，加( 或减 ) 它们的积的2倍 . 这两个公式叫做 ( 乘法的 ) 完整平方公式。
二、同步题型剖析题型 1：平方差公式例 1、以下能够用平方差公式计算的是()A、 ( x－y) ( x + y)B、 ( x－y) ( y－x)C 、 ( x－y)( －y + x)D、 ( x－y)( －x + y)例 2、以下各式中，运算结果是9a 216b2的是()A、( 3a4b)(3a 4b)B、 (4b3a)( 4b3a)C、( 4b3a)(4b3a)D、 (3a2b)(3a8b)例3、若(7 x25y)(________) 49x425 y 2，括号内应填代数式( )A、7x25y B 、7x25y C、 7x25y D、 7x2 5 y （5）例 4、计算⑴(3 5 )(53)⑵m n n m(0.2x 2 y)(2 y 0.2x)诚美教育一对一个性化指导专家(3)( 2a b) 2(b 2a)2（ 4）(3a 2b)(3a 2b)(9a24b 2 )（ 5） (2 x－ 1) (2 x + 1)－2(x－2) (x+ 2)例 5、用简易方法计算（1）60015992（ 2）(2 1)(221)(241)(281)(2161) 33题型 2：完整平方公式例 1、( m2n) 2的运算结果是()A、m24mn4n 2B、m 24mn4n2B、 C 、m24mn4n2D、 m22mn 4n2例 2、运算结果为(1)9a26ab b2的是()A、( 1 x2)2B、 (1x 2 )2 C 、(1x 2 ) 2 D 、(1 x)2例 3、已知a2Nab 64b 2是一个完整平方式，则N等于 ()A、 8B、± 8C、± 16 D 、±32诚美教育一对一个性化指导专家例 4、填空⑴ (x + y)2=_________________ ， (x －y) 2=______________________ ；⑵(3)2___________________,( 2)2______________________a b a b解： (1)x 22xy y2x 2 2xy y2（2）4a24ab b2例 5、用简易方法计算⑴ 98 2⑵ 20032⑶ 13.42－2×13.4 +3.4 2例 6、已知x(x1) (x2y)3，求 x 2y2xy 的值2三、讲堂达标检测1．计算题：（y＋ x）（ x－ y）＝ ______；（ x＋ y）（－ y＋ x）＝ ______；（－ x－ y）（－ x＋ y）＝ ______；（－ y＋ x）（－ x－ y）＝ ______；2．直接写出结果：（ 1）（2x＋ 5y）（ 2x－ 5y）＝ ________；（2）（x－ab）（x＋ab）＝______；（ 3）（3m＋ 2n） 2＝________；（4）（）２＝m2＋8m＋16；3．在括号中填上适合的整式：（ 1）（ m－n）（）＝n2－m2；（2）（－1－3x）（）＝1－9x2．诚美教育一对一个性化指导专家4．多项式 x2－8x ＋ k 是一个完整平方式，则 k ＝ ______．5． x 21( x 1 )2 ______＝ (x1) 2 ＋ ______．x 2xx6．以下各多项式相乘，能够用平方差公式的有（ ）①（－ 2ab ＋ 5x ）（ 5x ＋ 2ab ） ②（ ax － y ）（－ ax － y ） ③（－ ab － c ）（ ab －c ）④（ m ＋ n ）（－ m － n ）A ．4个B ．3 个C ．2 个D ．1 个7．以下计算正确的选项是（ ）A ．（ 5－ m ）（ 5＋ m ）＝ m2－ 25B ．（ 1－ 3m ）（ 1＋ 3m ）＝ 1－ 3m2C ．（－ 4－ 3n ）（－ 4＋ 3n ）＝－ 9n2＋ 16D ．（ 2ab － n ）（ 2ab ＋ n ）＝ 2a2b2－ n2 8．以下等式能够建立的是（ ）A ．（ a － b ） 2＝（－ a －b ） 2B ．（ x － y ） 2＝ x2－ y2C ．（m － n ） 2＝（ n － m ） 2D ．（ x －y ）（ x ＋ y ）＝（－ x － y ）（x － y ）9．若 9x2＋ 4y2＝（ 3x ＋2y ） 2＋M ，则 M 为（ ） A ． 6xy B ．－ 6xy C ．12xyD ．－ 12xy10．如图 2－ 1 所示的图形面积由以下哪个公式表示（ ）A ． a2－ b2＝a （ a － b ）＋ b （ a － b ）B ．（a － b ） 2＝ a2－ 2ab ＋b2C ．（a ＋ b ） 2＝ a2＋ 2ab ＋b2D ． a2－ b2＝a （ a ＋ b ）－ b （ a ＋ b ）图 2－111．（ xn － 2）（xn ＋ 2）12．（ 3x ＋ 0.5）（ 0.5－3x ）13．用适合的方法计算．（ 1） 1.02 × 0.982 11（2） 113131 2＋ 20062（3） (40 )（4） 20052－ 4010×2006 214．当 a ＝ 1， b ＝－ 2 时，求 [( a1 b)2 ( a 1b) 2 ]( 2a 21b 2 ) 的值．22 2一、能力培育综合题 1、已知m2n26m 10n 34 0 ，求m+n的值综合题 2、若 a＋ b＝17， ab＝60，求（ a－ b）2和 a2＋ b2的值．综合题 3、已知 x≠1，计算（1+x）（ 1－ x） =1－x2，（1－ x）（ 1+x+ x2） =1－x3，（1－ x）（ ?1+x+ x2 + x3） =1－x4，（1）察看以上各式并猜想：（ 1－ x）（ 1+x+ x2 + +x n） =______．（n 为正整数）（2）依据你的猜想计算：①（ 1－ 2）（ 1+2+22 + 23 + 24 + 25）=______．②2+ 22 + 23 + +2n =______（ n 为正整数）．③（ x－ 1）（x9989 x79x 2 ...x x +1）=_______．（3）经过以上规律请你进行下边的探究：①（ a－ b）（ a+b） =_______．②(a b)(a2 a b b2 ) =______．③ (a b)(a3a2 b a b2b3 ) =______．二、能力评论例题中波及到了完整平方公式的变形，要注意总结与运用，还有规律商讨题的方法。
平方差公式
平方差公式——————来源于多项式符号语言：公式：()()22b a b a b a -=-+ ⇒ ()()b a b a +-22b a -= 拓展公式：()()22b a b a b a n n n -=-+ ()()()1112--+a a a文字语言：两个数的和与两个数的差的积等于这两个数的平方差。
注意：a 、b 可以代表数字，也可以代表单项式。
公式的几何图形：一个正方形的边长为：a ；现在剪掉一个边长为b 的正方形，同时增长正方形的边长长度为b 。
求剩下正方形的面积公式。
显然就得出：平方差公式。
⑴、左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同，另一项互为相反数。
⑵、右边乘式中两项的平方差。
2、符号特点左右两边都有求差运算（要分清谁是被减数，是用公式的关健）3、字母a、b的三个表示：⑴、表示一个具体的数；⑵、表示一个单项式；⑶、表示一个多项式。
例1、()()yxyx3232+-解：原式=229664yxyxyx--+=2294yx-例2、()()yxyx312312++-+（多项式） b注意，必须符合平方差公式特径的代数式才能用平方差公式。
(一） 、乘式必须具备公式左边的结构特点，即形如“两数和×两数差。
注意：这句话有两层意思⑴、 只要是形如“两数和×两数差“就可以直接用平方差公式。
⑵对于并不直接具备符合“两数和×两数差”的，要想办法变形， 构造能用平方差公式的条件。
计算例3、799×801解：原式=（800-1）×（800+） =640000-1=639999例4、2001199920002⨯- 解：原式=()()[]120001200020002+⨯-- =()222120002000-- 12000200022+-=1 练习题：计算1、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛1110491115022、1.1001.991002⨯-（二）、要确定乘式中，与公式中a 、b 对应的项，示能盲目套用公式（即一定要找准哪个数或式相当于公式中的a ，哪个数相当于公式中的b ）。
初二平方差解题技巧
初二平方差解题技巧
解决初二数学中的平方差问题，对学生来说是一个不小的挑战，那么如何使用不同的技巧来帮助学生们更好地解决平方差问题呢？在此，下面就详细介绍一些解题技巧，来帮助学生在解题时能更好地完成任务。
首先，学习平方差问题解法的第一步，应该学习平方差的概念。
平方差是指用一个数与另一个数的平方之差来表示的数的方法，一般来说，这两个数为正数或负数，当这两个数的平方之差为正数时，说明其差值大于或等于0，当这两个数的平方之差为负数时，说明其差值小于0。
其次，学习解决平方差问题的重要步骤就是学习如何计算平方差。
平方差的公式为：S²=(X-X̅)²，其中X表示每个样本的值，X̅表示样本的平均值，S²表示样本的方差，此公式可以帮助学生通过计算平方差来解决问题。
再次，学习平方差问题解法的另一个重要方法是学习如何求解平方差的方程。
学生可以结合体会深入理解方程式来帮助求解问题，而当求解问题时，可以使用分步求解，先找准公式，然后按步骤处理，最后求出参数值。
此外，学生也可以借助计算器来解决平方差问题。
由于大部分计算器都可以直接计算平方差，因此学生只需将数字输入计算器，就可以得到准确的平方差值，从而解决问题。
以上就是一些解决初二平方差问题的技巧，希望能帮助学生们更好地解决数学问题。
通过了解清楚平方差的概念，以及学习计算平方差的方法和求解平方差方程的步骤，以及借助计算器，学生就可以轻松解决初二平方差问题，提高成绩，并为未来的学习和实现目标充实知识库。