完全平方差的公式

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平方差公式和完全平方公式变式

2 4
(3)x 12 x m是完全平方式, 则m _____ 可以添加____________.
(4)请把4 x 1添加一项后是完全平方式，
7.计算：
(1)(a b c) (2)(a b c)(a b c) (3)(a b c)(a b c)
2
公式推广：
(a b c) a b c 2ab 2ac 2bc
2 2 2 2
(a b c) a b c 2ab 2ac 2bc
2 2 2 2
2 2
（3）已知(x y ) 25, ( x y ) 16,
2 2
则xy ________ 。
（4）已知x2＋y2 ＝13，xy＝6，求 x＋ y
5.完全平方式 2 （1）已知，x ax 16是完全平方式，
则a _______ 。
2 2
（2）已知， 4 x kxy 25 y 是完全平方式，则k ___________ 。
2 2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式变形1：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2
a +b =(a+b) -2ab
a +b = (a-b) +2ab
( a b) ( a b) a b 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式变形2：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2
2
解:原式= a 2b 3c a 2b 3c a 2 b 3 c a 2 b 3 c

完全平方公式平方差公式

完全平方公式平方差公式在初中代数学中，我们学习了很多重要的公式，其中包括完全平方公式和平方差公式。

这两个公式是解决一元二次方程中的平方项的非常有用的工具。

在本文中，我们将详细介绍这两个公式的定义、推导方法以及它们在实际问题中的应用。

首先，让我们来看看完全平方公式。

完全平方公式告诉我们如何将一个二次多项式转化为一个完全平方。

对于一个二次多项式a x² + 2b x + x来说，它的完全平方形式可以表示为(x + x)² = x² + 2xx + x²。

这个公式告诉我们，只需要找到x的系数的一半，然后将它的平方加到原式中，就可以将一个二次多项式转化为一个完全平方。

接下来，我们来看看平方差公式。

平方差公式是另一个常见的代数公式，它用于将两个平方数的差表示为两个数的乘积。

平方差公式可以表示为x² - x² = (x + x)(x - x)。

这个公式告诉我们，如果我们有两个平方数的差，我们可以将其分解为两个数的乘积。

这在解决一些因式分解、算术运算等问题时非常有用。

那么，这些公式有什么实际的应用呢？首先，它们在解决一元二次方程方面非常有用。

当我们需要解决一个形如xx² + xx + x = 0的方程时，我们可以使用完全平方公式来将其转化为一个完全平方，然后轻松地求解x的值。

平方差公式则可以帮助我们在求解方程时进行因式分解，简化计算。

除了解决方程，完全平方公式和平方差公式还在几何学中有广泛的应用。

例如，在求解与圆相关的一些问题时，我们可以使用完全平方公式将一个二次多项式转化为一个完全平方，从而更好地理解和分析圆的性质。

同时，在几何图形的面积和周长计算中，平方差公式也能帮助我们更快速地计算结果。

总的来说，完全平方公式和平方差公式是初中代数学中非常重要的公式。

它们不仅可以简化计算，还能够帮助我们理解和解决各种实际问题。

通过掌握这两个公式的定义和推导方法，并灵活运用于不同的问题中，我们可以提高数学解题的效率和准确性。

完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式1.完全平方公式：其中，±表示取两个值，分别对应方程的两个解。

让我们来看一个例子：例子1：解方程x^2+6x+8=0根据完全平方公式，我们可以知道a=1，b=6，c=8根据完全平方公式，我们可以得到x=(-6±√(6^2-4*1*8))/2*1，即x=(-6±√(36-32))/2化简后，我们可以得到x=(-6±√4)/2，即x=(-6±2)/2分别求出两个解，我们可以得到x=-4和x=-2所以，方程x^2+6x+8=0的解为x=-4和x=-22.平方差公式：平方差公式是一个用于将两个平方差表示为因式积的公式。

平方差公式有两种形式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2和(a-b)(a+b)=a^2-b^2、两种形式是等价的，根据实际情况选择使用。

让我们来看一个例子：例子2：计算(3+2)(3-2)根据平方差公式，我们可以将(3+2)(3-2)展开为3^2-2^2计算后，我们可以得到(3+2)(3-2)=9-4=5所以，(3+2)(3-2)=5在解决问题时，我们还可以将完全平方公式和平方差公式结合使用。

例子3：解方程x^2-9=0观察到x^2-9是一个差的平方形式，即(x+3)(x-3)。

所以，方程x^2-9=0可以改写为(x+3)(x-3)=0。

根据乘法法则，当一个积等于0时，至少有一个因子等于0。

所以，我们得到x+3=0或x-3=0。

解得x=-3或x=3所以，方程x^2-9=0的解为x=-3或x=3通过以上的例子，我们可以看到完全平方公式和平方差公式在解决一元二次方程和计算平方差时的作用。

在实际应用中，熟练地掌握它们可以帮助我们更快地解决问题，提高数学解题的效率。

平方差公式与完全平方差公式

平方差公式与完整平方公式平方差公式： (ab)(a b)a 2b 2说明：相乘的两个二项式中， a 表示的是完整同样的项， +b 和-b 表示的是互为相反数的两项。

因此说，两个二项式相乘能不可以用平方差公式，重点看能否存在两项完整相同的项，两项互为相反数的项。

熟习公式：(5+6x)(5-6x)中是公式中的 a ，是公式中的 b(5+6x)(-5+6x)中是公式中的 a ，是公式中的 b(x-2y)(x+2y)中是公式中的 a ，是公式中的 b(-m+n)(-m-n)中是公式中的 a ，是公式中的 b（a+b+c ）（a+b-c)中是公式中的 a ，是公式中的 b（a-b+c ）(a-b-c)中是公式中的 a ，是公式中的 b将以下各式转变成平方差形式（1） 36－x2（2）a 2－ 1b 2（3） x 2－16y 2（4） x 2y 29－z2（5） (x+2)2－9（6）(x+a)2－(y+b)2（7） 25(a+b)2－4(a －b)2例 1：计算以下各题1.（ a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (a+2b)(a-2b)6. (2x+1 )(2x-1 )22例 2：计算以下各题：1、 1998 × 20022、×3.（20- 1）×（19- 8）99例 3：：计算以下各题2 221211 3、(x-)(x+ )1、（a+b ）(a-b)(a +b )2、(a+2)(a-2)(a +4)2 )(x +42例 4：计算以下各题1、（-2x-y ）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y)4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)例 5；计算以下各题1.（ a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.(m-n+p)(m-n-p)完整平方公式完整平方公式：(a b) 2a22ab b2熟习公式注意不要遗漏2ab 项1、a2+b2=(a+b)2=(a-b)22、（a-b）2=(a+b)2; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +（a-b）2=4、(a+b)2 --（ a-b）2=5.将以下各式转变成完整平方式形式(1)a2－4a＋4(2)a2－12ab＋ 36b2(3)25x2＋10xy＋y2 (4)16a4＋8a2＋1(5) (m＋n)2－4(m＋n)＋4(6)16a4－8a2＋1（7）14x 1 49x2例 1：计算以下各题1、(x y)22、(3x 2 y)23、(1a b)24、( 2t 1)2 25、( 3ab 1 c)26、(2x3y)27、(1x 1)28、+23322例 2：利用完整平方公式计算：（1）1022（2）1972（3）982（4）2032例 3：（1）若x24x k ( x 2) 2，求k值。

完全平方差公式总结

完全平方差公式总结前言作为一名资深的创作者，我对数学公式有着浓厚的兴趣和深入的研究。

在数学的世界里，有一条重要的公式，即完全平方差公式。

在本文中，我将对完全平方差公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一公式。

正文什么是完全平方差公式？完全平方差公式是高中数学中的重要公式之一，它用于求解二次多项式的根。

公式表达完全平方差公式有两种常见的表达方式： 1. 一般形式：对于一元二次方程ax2+bx+c=0，其中a、b、c是已知系数，则方程的根可以通过以下公式求解:x=−b±√b2−4ac2a2.因式分解形式：对于一元二次方程ax2+bx+c=0，如果其可以被因式分解为(mx+n)2=0，则方程的根可以通过以下公式求解:x=−n m公式推导完全平方差公式可以通过配方法推导得到。

具体推导过程如下：1. 将一元二次方程ax2+bx+c=0左右两侧同时除以a，得到x2+ba x+ca=0； 2. 将等式两侧进行配方，即构造出一个完全平方式，使得等式左边变为(x+b2a )2； 3. 根据配方法，我们需要将右侧的常数补全为完全平方：b 24a2−ca； 4. 为了使等式仍然成立，我们需要在等式左右两侧同时加上b 24a2−ca； 5. 此时，左侧已经变为完全平方，右侧为常数； 6. 将等式左边进行因式分解，得到(x+b2a )2=b2 4a2−ca； 7. 对于方程有实根的情况，b24a2−ca必须大于等于零； 8.对左右两侧同时开方，即可得到一般形式的完全平方差公式：x=−b±√b2−4ac2a； 9. 对于因式分解形式的完全平方差公式，则是通过对左右两侧进行因式分解得到。

应用示例完全平方差公式在实际生活和工作中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例： - 求解抛物线的顶点和焦点坐标； - 求解二次函数的零点； - 求解物理问题中的运动轨迹等。

结尾通过对完全平方差公式的总结，我们了解到该公式在解决二次方程问题中起到重要作用。

平方差公式和完全平方公式

第三讲平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】（一）平方差公式一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（）（A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（）（A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（）（A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。

平方差公式与完全平方公式

平方差公式与完全平方公式首先介绍平方差公式。

平方差公式是指两个数之差的平方可以表示为两个数的平方的差。

具体而言，如果有两个数a和b，那么它们的平方差公式可以表示为(a-b)(a+b)=a^2-b^2、即一个数的平方减去另一个数的平方等于这两个数之差的乘积。

(a-b)(a+b) = a(a+b) - b(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 -b^2例如，如果我们要计算64和25之间的差的平方，我们可以利用平方差公式：(64-25)(64+25)=64^2-25^2=3999下面我们来介绍完全平方公式。

完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为一个平方的形式。

具体而言，如果有一个二次多项式ax^2+bx+c，其中a、b、c都是实数，并且a不等于0，那么它可以表示为一个完全平方的形式，即(a^2(x+d)^2)+e，其中d和e是实数。

完全平方公式的推导可以通过配方法来证明。

具体而言，我们有：ax^2+bx+c = a(x^2+(b/a)x+(c/a)) = a((x^2+(b/a)x+(b/2a)^2) + (c/a-(b/2a)^2)) = a(x+(b/2a))^2 + (c/a-(b/2a)^2)例如，如果我们有一个二次多项式x^2+6x+9，我们可以使用完全平方公式将其表示为(x+3)^2、因为(x+3)^2=x^2+6x+9，所以这两个表达式是等价的。

完全平方公式在高等数学和代数运算中也有广泛的应用。

在求解二次方程的根时，我们可以使用完全平方公式来简化计算，将二次方程表示为一个平方的形式。

它还可以用于求解三角恒等式和简化代数表达式。

综上所述，平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个公式，它们在代数运算和高等数学中有广泛的应用。

掌握这两个公式可以帮助我们简化计算过程，解决问题，并扩展数学思维的能力。

平方差公式及完全平方公式

平方差公式及完全平方公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2在这个公式中，(a+b)和(a-b)被称为差的产品。

平方差公式可以证明如下：设c=a+b，d=a-b，则可以将平方差公式表示为：c*d=(c+d)(c-d)将a+b和a-b分别代入c和d的等式中，则得到：c=a+bd=a-b代入后，等式变为：(a+b)(a-b)=(a+b+a-b)(a+b-a+b)通过合并和简化可得：(a + b)(a - b) = a^2 + ab - ab - b^2由于ab和-ab可以相互抵消，因此最终结果为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这就是平方差公式的推导过程。

平方差公式在数学中有着广泛的应用，可以用于简化复杂的运算和化简代数式。

完全平方公式是指一个二次方程的解可以表示为两个平方项的和或差。

设有二次方程ax^2 + bx + c = 0，完全平方公式可以表示为：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a在这个公式中，b^2 - 4ac被称为判别式。

完全平方公式可以根据判别式的值分为三种情况：1.判别式大于0：这种情况下，二次方程有两个不相等的实根。

例如，当a=1，b=5，c=6时，判别式为25-24=1，有两个不同的解x1=-3和x2=-22.判别式等于0：这种情况下，二次方程有两个相等的实根。

例如，当a=1，b=4，c=4时，判别式为16-16=0，有一个解x=-23.判别式小于0：这种情况下，二次方程没有实根，解为虚数。

例如，当a=1，b=2，c=3时，判别式为4-12=-8，在实数范围内没有解。

完全平方公式可以通过配方法来推导。

对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以将其变形为：a(x^2+(b/a)x+c/a)=0为了让这个方程成为一个完全平方，需要找到一个用以平方的表达式。

将二次项的系数的一半平方加到方程中，即。

(b/2a)^2，结果是(b^2/4a^2)。

平方差公式和完全平方公式

平方差公式和完全平方公式在数学中，平方差公式和完全平方公式是两个重要的公式，它们在代数中的运用频繁，能够帮助我们简化计算和解决问题。

本文将介绍这两个公式的定义、应用以及推导过程。

一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差等于它们的积与和的差。

具体表达如下：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)其中，a、b为任意实数。

平方差公式的应用可以帮助我们快速计算平方差，以及解决一些与平方差相关的问题。

例如，考虑以下例子：例1：计算 16^2 - 9^2 的值。

根据平方差公式，我们可以将该式转化为 (16 + 9)(16 - 9)。

进一步计算可得= 25 × 7= 175因此，16^2 - 9^2 的值为 175。

平方差公式也可以用于因式分解和方程求解等问题。

通过将平方差公式进行变形，可以将复杂的表达式进行简化。

二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成两个平方项的和的形式。

具体表达如下：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2其中，a、b为任意实数。

完全平方公式的应用范围广泛，涉及到二次函数、方程、因式分解等等。

以下是一些例子：例2：将 x^2 - 6x + 9 表示为完全平方形式。

我们可以观察到该式可以写成 (x - 3)^2 的形式，其中 a = x，b = -3。

这样，我们就可以利用完全平方公式进行简化和计算。

例3：解方程 x^2 + 6x + 9 = 0同样地，我们可以将该方程改写为 (x + 3)^2 = 0 的形式。

根据完全平方公式，这意味着 x + 3 = 0 或 x = -3。

因此，方程的解为 x = -3。

总结：平方差公式和完全平方公式在代数中起到了重要的作用，能够帮助我们简化计算和解决问题。

我们可以通过灵活运用这两个公式来化简表达式、因式分解、解方程等。

熟练掌握平方差公式和完全平方公式，对理解和应用代数知识都有很大帮助。

平方差公式与完全平方差公式

平方差公式与完全平方公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+说明：相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。

所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。

熟悉公式：(5+6x)(5-6x)中是公式中的a ，是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a ，是公式中的b(x-2y)(x+2y)中是公式中的a ，是公式中的b(-m+n)(-m-n)中是公式中的a ，是公式中的b（a+b+c ）（a+b-c)中是公式中的a ，是公式中的b（a-b+c ）(a-b-c)中是公式中的a ，是公式中的b将下列各式转化成平方差形式（1） 36－x 2 （2）a 2－91b 2 （3） x 2－16y 2 （4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2 （7） 25(a+b)2－4(a －b)2例1：计算下列各题1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (a+2b)(a-2b)6. (2x+12)(2x-12)例2：计算下列各题：1、 1998×20022、1.01×0.99 3.（20-19）×（19-89）例3：：计算下列各题1、（a+b ）(a-b)(a 2+b 2)2、(a+2)(a-2)(a 2+4)3、(x-12)(x 2+ 14)(x+ 12)例4：计算下列各题1、（-2x-y ）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)例5；计算下列各题1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 注意不要漏掉2ab 项熟悉公式1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +（a-b ）2=4、(a+b)2 --（a-b ）2=5.将下列各式转化成完全平方式形式(1)a 2－4a ＋4 (2)a 2－12ab ＋36b 2 (3)25x 2＋10xy ＋y 2(4)16a 4＋8a 2＋1 (5) (m ＋n)2－4(m ＋n)＋4 (6) 16a 4－8a 2＋1（7）249114x x --例1：计算下列各题1、2)(y x +2、2)23(y x -3、2)21(b a +4、2)12(--t5、2)313(c ab +- 6、2)2332(y x + 7、2)121(-x 8、(0.02x+0.1y)2 例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）982 （4）2032例3：（1）若22)2(4+=++x k x x ，求k 值。

平方差完全平方公式

【知识点】一、平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

1、即：（a+b ）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：a 2-b 2=（a+b ）(a-b)。

3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积即：（a+b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ②有两数和的相反数与两数差的积即：（-a-b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ③有两数的平方差即：a 2-b 2 或-b 2+a 2二、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2a 2-2ab+b 2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定 ①有两数和（或差）的平方即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。

即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2或-a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2探索练习：1、计算下列各式：（1）()()22-+x x （2）()()a a 3131-+ （3）()()y x y x 55-+2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？3、猜一猜：()()=-+b a b a －平方差公式1、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即22))((b a b a b a -=-+。

2、其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数； ②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

随堂练习：1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算（1）()()c a b a -+ （2）()()x y y x +-+ （3）()()ab x x ab ---33 （4）()()n m n m +--2、判断：（1）()()22422b a a b b a -=-+ （）（2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+x x x （）（3）()()22933y x y x y x -=+-- （）（4）()()22422y x y x y x -=+--- （）（5）()()6322-=-+a a a （）（6）()()933-=-+xy y x （）3、计算下列各式：（1）()()b a b a 7474+- （2）()()n m n m ---22 （3）()()33221221--+-+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x4、填空：（1）()()=-+y x y x 3232 （2）()()116142-=-aa（3）()949137122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ab （4）()()229432y x y x -=-+5、求()()()22y x y x y x +-+的值，其中2,5==y x6、计算：（1）()()c b a c b a --+- （2）()()()()()42212122224++---+-x x x x x x【例】运用平方差公式计算：102×98； 59.8×60.2；运用平方差公式计算：完全平方公式探索：一块边长为a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。

平方差公式和完全平方公式推导过程

平方差公式和完全平方公式推导过程一、平方差公式的推导过程：我们来推导一下这个公式：首先，可以通过展开(a+b)(a-b)来证明平方差公式：(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2若a和b均为实数，分别取a和b的平方根，得到：√a^2=，a√b^2=，b将a和b的平方根替换回原公式中：(√a^2+√b^2)(√a^2-√b^2)=，a，-，b因为平方根是非负的，所以可以去掉绝对值符号：(√a^2+√b^2)(√a^2-√b^2)=a-b由于√a^2+√b^2等于实数a和b的和，同时√a^2-√b^2等于实数a和b的差，所以可以将其替换回原公式：(a+b)(a-b)=a-b因此，我们推导出了平方差公式。

二、完全平方公式的推导过程：完全平方公式是指一个二次多项式可以写成一个完全平方加上一个常数的形式，即a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2我们来推导一下这个公式：首先(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2若a和b均为实数，可以发现(a + b)^2等于a^2 + 2ab + b^2，即一个完全平方加上一个常数。

同样地，可以通过展开(a-b)^2来证明完全平方公式：(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a(a - b) - b(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2因此，我们得到了完全平方公式的两种形式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2这两个公式可以用于将二次多项式因式分解为完全平方的形式，或者将完全平方的形式合并为二次多项式。

综上所述，平方差公式和完全平方公式是代数中常见的两个公式，它们的推导过程说明了它们的正确性和适用范围。

高中数学公式大全平方差公式与完全平方公式

高中数学公式大全平方差公式与完全平方公式高中数学公式大全：平方差公式与完全平方公式在高中数学中，有许多重要的公式被广泛应用于各个数学的领域。

本文将重点介绍两个重要的公式，即平方差公式和完全平方公式，并对其应用进行详细讲解。

一、平方差公式平方差公式是一种用于将一个式子因式分解的方法，它被广泛应用于高中数学的代数部分。

平方差公式可以将一个二次多项式的差平方分解为两个一次多项式的乘积。

其表达式如下：(a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)其中，a和b可以代表任意实数。

平方差公式的应用非常广泛，尤其是在化简和因式分解二次多项式时，十分有用。

下面通过一些例子进一步说明平方差公式的应用。

例1：将多项式 x^2 - 9 进行因式分解。

解：根据平方差公式，可得到：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)因此，多项式 x^2 - 9 可以因式分解为 (x + 3)(x - 3)。

例2：将多项式 4a^2 - 25b^2 进行因式分解。

解：根据平方差公式，可得到：4a^2 - 25b^2 = (2a + 5b)(2a - 5b)因此，多项式 4a^2 - 25b^2 可以因式分解为 (2a + 5b)(2a - 5b)。

通过以上例子，我们可以看出平方差公式的应用范围相当广泛，学好此公式有助于化简和解决复杂的代数问题。

二、完全平方公式完全平方公式是另一个在高中数学中常见的重要公式。

它常用于将一个二次多项式转化为平方的形式。

其表达式如下：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2其中，a和b可以代表任意实数。

完全平方公式的应用也非常广泛，下面通过一些例子进一步说明它的用法。

例3：将多项式 x^2 + 6x + 9 进行化简。

解：根据完全平方公式，可得到：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2因此，多项式 x^2 + 6x + 9 可以化简为 (x + 3)^2。

例4：将多项式 9a^2 - 12ab + 4b^2 进行化简。

(完整版)完全平方公式和平方差公式

新瑞英无忧晚托七年级数学考试必备讲义
一、课程回顾
完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。

222()2a b a ab b +=++
222()2a b a ab b -=-+
例：计算22()(2)a b a b +--
完全平方公式逆运算: 2222()a ab b a b ±+=±
例:计算2816x
x -+
平方差公式:两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。

22()()a b a b a b +-=-
平方差公式逆运算：
22()()a b a b a b -=+- 例：1、计算2249x y -
= + + +
练习：
1、若241x kx ++是一个完全平方式，则k= ；若2412x x k -+是一个完全平方式,则
k= .
2、计算
（1）281x - (2)4416x y - （3）2412x x --
（4）21(99)2- （5）（2-b ）（-2-b ）（6)
248(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)+1
3、从前有一个很狡猾的地主把一块边长是a 米的正方形地租给一个农民，到了第二年他告诉这个农民说：“我把这块地的一边去掉4米，另一边加上4米，这样你租的地面积并没有变，所以你没有吃亏。

"这个农民想了想，觉得并没有吃亏就答应了。

你同意地主的说法吗?。

完全平方公式和平方差公式

乘法公式1．平方差公式(1)平方差公式的推导：因为(a ＋b )(a －b )＝a 2－ab ＋ab －b 2＝a 2－b 2，所以(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.【例1】利用平方差公式计算．(1)(2a ＋3b )(－2a ＋3b )； (2)503×497.2．完全平方公式(1)两数和的完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；两数差的完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.析规律完全平方公式的特征完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．【例2】计算：(1)(4m ＋n )2； (2)(y －12)2； (3)(－a －b )2； (4)(－2a ＋12b )2.3．添括号法则法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．警误区添括号法则的易错点添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a －b ＋c ＝a －(b ＋c )，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．【例3】填空：(1)(x －y ＋z )(x ＋y －z )＝[x －( )][x ＋( )]；(2)(x ＋y ＋z )(x －y －z )＝[x＋()][x－()]．【例4】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式__________．【例6】观察下列各式的规律：12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；…写出第n行的式子，并证明你的结论．类型一：巧用乘法公式类型二：平方差与完全平方公式混用22114422x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭计算： ()()a b c a b c ++--计算：类型三：完全平方公式在三角形中的运用例3、已知△ABC 的三边长a,b,c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状类型四：利用乘法公式解方程(组)例4：()()()()222432x y x y x y x y ⎧+-+=+-⎪⎨-=-⎪⎩解方程组类型五：多项式的证明例5：证明无论a,b 为何值，多项式222612a b a b +--+的值恒为正类型六：灵活运用乘法公式解题例6、计算22222111111-1-1-11234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K拓展：三项完全平方公式：()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++二次三项式：()()()2+x a x b x a b x ab +=+++立方和公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+立方差公式：()()3322-+a b a b a ab b =++1、若()()234+,,x x x px q p q --=+那么的值分别是2、()()()224,bax b x x ab ++=-+=若则 3、()()3x m x ++如与的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为4、已知()()250,3+2a a a a -+=-则的值是 5、已知实数()()2222,1,25,a b a b a b b ab +=-=++=满足则a 6、将代数式()2262x x x p q ++++化成的形式为 7、若2+216x ax +是一个完全平方展开式，则a 的值是________-8、已知216x x k ++是个完全平方式，则常数k 的值为_______9、若()222560,x =x y xy y +-+-=+则___________- 10、已知2221114,x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭求x 和的值11、知实数()()2222,1,25,a b a b a b b ab +=-=++=满足则a课后练习1.下列各式中，相等关系一定成立的是（）A.(x －y)2＝(y －x)2B.(x+6)(x －6)＝x 2－6C.(x+y)2＝x 2+y 2 +2xy 2－y 2＝(x+y)22.下列运算正确的是（）A.(a+3)2＝a 2+9B.(13x －y)2＝16x 2－23xy+y 2 C.(1－m)2＝1－2m+m 2 D.(x 2－y 2)(x+y)(x －y)＝x 4－y 43.将面积为a 2的正方形边长增加2，则正方形的面积增加了（）+4 +44.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（）A.(a+1)(2a －2)B.(2x －3)(－2x+3)C.(2y －13)(13+2y) D.(3m －2n)(－3m －2n) 5.不等式(2x －1)2－(1－3x)2＜5(1－x)(x+1)的解集是（）＞－＜－＞＜6.计算：(1)－57y)(－57y －； (2)1523×(－1413)；(3)［2x 2－(x+y)(x －y)］［(z －x)(x+z)+(y －z)(y+z)］； (4)(a －2b+3c)(a+2b －3c).7.(1)已知x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x－y)2，③x2+xy+y2的值.(2)已知a(a－3)－(a2－3b)＝9，求222a b－ab的值.1.计算：(1)(a2+1)(a2－1)－(－a2)·a2；(2)(2a－b)(2a+b)－(－3a－b)(－3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－2y)2－4(2x－y)(x－y).2.已知(a+b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2+b2和ab的值.3.已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状.4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2+3y－2)＝y2(y+3)(y－3).。

完全平方和平方差公式

乘法公式1完全平方公式：两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们的的积的2倍2平方差公式：公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差例题1（2013•益阳）下列运算正确的是（）A．2a3÷a=6 B．（ab2）2=ab4C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2【考点】平方差公式；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；整式的除法．【分析】根据单项式的除法法则，以及幂的乘方，平方差公式以及完全平方公式即可作出判断．【解答】解：A、2a3÷a=2a2，故选项错误；B、（ab2）2=a2b4，故选项错误；C、正确；D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项错误．故选C．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．练习1（2013•杭州）下列计算正确的是（）A. m3+m2=m5B．m3•m2=m6C．（1﹣m）（1+m）=m2﹣1 D．练习2（2013•昆明）下列运算正确的是（）A．x6+x2=x3B．C．（x+2y）2=x2+2xy+4y2D．练习3（2015•永州）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2C．（a3）4=a7D．a3+a5=a8练习4（2014•辽阳）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（a2）3=a5C．2a2+3a2=5a6D．（a+2b）（a﹣2b）=a2﹣4b2练习5（2015•泰安）下列计算正确的是（）A．a4+a4=a8B．（a3）4=a7C．12a6b4÷3a2b﹣2=4a4b2D．（﹣a3b）2=a6b2例2（2015•珠海）填空：x2+10x+=（x+）2．【考点】完全平方式．【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，从公式上可知．【解答】解：∵10x=2×5x，∴x2+10x+52=（x+5）2．故答案是：25；5．【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求熟悉完全平方公式，并利用其特点解题．练习1（2015•莱芜）已知m+n=3，m﹣n=2，则m2﹣n2=．练习2（2015•金华）已知a+b=3，a﹣b=5，则代数式a2﹣b2的值是．练习3（2015•衡阳）已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为．练习4（2013•枣庄）若a2﹣b2=，a﹣b=，则a+b的值为．练习5（2014•梅州）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=．练习6（2014•镇江）化简：（x+1）（x﹣1）+1=．练习7（2013•珠海）已知a、b满足a+b=3，ab=2，则a2+b2=．练习8（2013•晋江市）若a+b=5，ab=6，则a﹣b=．例题3(2014•枣庄）如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2【考点】平方差公式的几何背景．【专题】几何图形问题．【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．【解答】解：（2a）2﹣（a+2）2=4a2﹣a2﹣4a﹣4=3a2﹣4a﹣4，故选：C．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．练习1（2013•常州）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（）A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b练习2（2013•枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2练习3（2014•宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用a、b的代数式表示）．练习4（2013•义乌市）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．。

八年级数学平方差公式和完全平方公示记忆

八年级数学平方差公式和完全平方公示记忆平方差公式：
平方差公式是一个用于求两个数的平方之差的公式。

对于任意实数a和b，平方差公式可以表示为：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2。

完全平方公式：
完全平方公式是一个用于将一个二次多项式进行因式分解的公式。

对于任意实数a和b，完全平方公式可以表示为：a^2 + 2ab +
b^2 = (a + b)^2。

拓展：
除了这两个公式，数学中还有其他常见的公式和定理，比如勾股
定理、二次根式公式、等幂法则等等。

记住这些公式和定理可以帮助
我们更快地解决数学问题和证明。

此外，了解这些公式的推导过程和
应用场景也是很有意义的，可以深入理解数学的本质和逻辑。

所以在
学习数学的过程中，要注重记忆公式，同时也要注重理解公式的推导和应用。

数学公式大全完全平方差

数学公式大全完全平方差这一期我们开始学习乘法公式的第二个基本公式——完全平方公式。

我们先来一起看一下这一期的知识点吧！知识点1. 完全平方公式两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的两倍.即： (a+b)^ 2 = a ^2+2ab+b ^2 ，\ \ \ \ \ \ \ (a−b) ^2 = a^ 2 −2ab+b ^2 .这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.证明方法1（代数证法）：多项式乘多项式。

(a+b) (a+b) =a^2+ab+ab-b^2=a^2+2ab+b^2(a-b) (a-b) =a^2-ab-ab-b^2=a^2-2ab+b^22. 完全平方公式的几何意义证明方法如下：第二个公式的几何图证法如下：完全平方公式的识别方法相对来说比平方差容易，但是依然需要观察其特点。

如下：① (a+b) (b-a) 不是完全平方公式② (a+b) (-a-b) 是完全平方公式③ (a-b) (-b-a) 不是完全平方公式④ (a-b) (-a+b) 是完全平方公式这里有一个总结可以判断平方差公式，需要大家记住。

「总结」能用完全平方公式化简的式子中，括号内两项符号要么都不变，要么都改变。

完全平方公式口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央。

同号相加，异号相减。

我们一起来看看今天的例题吧！例1：（1）计算： (4m+n) ^2 ．（2）计算：( −4y− \frac1 4 )^2 .极简分析：利用公式直接计算即可，记得给系数平方。

解：（1） (4m+n) ^2=(4m)^2+2\cdot4m\cdotn+n^2=16m^2+8mn+n^2（2）\begin{eqnarray} \label{eq} &&( −4y− \frac1 4 )^2 \nonumber \\ ~&=&(-4y)^2+2\cdot (-4y)\cdot (− \frac1 4 )+(− \frac1 4 )^2\nonumber \\ ~&=&16y^2+2y+\frac1{16} \nonumber \\ \end{eqnarray}总结：第（2）问中， -4y 和 -\frac14 同号，所以是二倍乘积那一项是相加的形式。