第2章旋转质量陀螺仪及其力学分析

(1) 只考虑转子列写欧拉方程 动坐标系的转动角速度： ω α β
ω cos
sin
2020/6/2
34
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
(1) 只考虑转子列写欧拉方程 将上述两式代入欧拉动力学方程第3式可得：
d dt
[Jcz (& &sin
)]
Jcy&cos g&
Jcx &&cos
Mz
Jcx J cy
d dt
[
J
cz
(
sin
)]
M
z
(1)
2020/6/2
35
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
(2) 考虑转子、内环列写欧拉动力学方程
内环的角动量 J bx
H b J bycos J bzsin
转子和内环的角动量
(J cx J bx )
H1 (J cy Jby )cos
坐标系： OXYZ Oxyz
固定坐标系 动坐标系
2020/6/2
31
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
二自由度陀螺的广义坐标：
欧拉方程：
转子轴绕外环轴的转角 转子轴绕内环轴的转角
dH x
dt
0
dH y dt dH z
z
y
z
0
x
y x
H H
x y
M M
x y
J
cz
(
s
in
)
J
bzs
in
2020/6/2
36
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
(2) 考虑转子、内环系统列写欧拉动力学方程
代入欧拉动力学方程，由第１式得
d dt
[(J cx
J bx
)] [Jcz ( sin
)
J bzsin
]cos
[(J cy Jby )cos ](sin ) M x
M
2020/6/2
5
一 旋转质量陀螺仪的基本特性 1．二自由度陀螺的进动性（Spin Precession）
2020/6/2
M
6
一 旋转质量陀螺仪的基本特性 1．二自由度陀螺的进动性（Spin Precession）
织女星
北极星
2020/6/2
7
2020/6/2
8
一 旋转质量陀螺仪的基本特性
只有在基座绕y轴转动时，陀螺才会产生进动。所
以，一般称y轴为单自由度陀螺的输入轴。x轴为单自
2020/6/2 由度陀螺的输出轴。
14
二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
2．外力矩作用下单自由度陀螺的进动
力矩沿x轴方向时且基 座绕y轴无转动时： 与普通的刚体相同。
力矩沿y轴方向时： 绕框架轴进动。
dH ω H M dt
ω H M
2020/6/2
3
一 旋转质量陀螺仪的基本特性
1．二自由度陀螺的进动性（Spin Precession）
陀螺转子轴在 外力矩作用下
y
绕与外力矩相
垂直的方向的
转动运动，称 为陀螺的“进
H
z
O
M x
动运动”
2020/6/2
4
一 旋转质量陀螺仪的基本特性 1．二自由度陀螺的进动性（Spin Precession）
c (x )i (y cos z sin) j ( z cos y sin)k
转子角动量在框架坐标系中表示为：
Hc Je (x &)i Je (y cos z sin ) j Jz ( z cos y sin )k
2020/6/2
20
4.单自由度陀螺的运动方程
(3) 组件
2020/6/2
38
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
(3) 考虑转子、内环、外环整个系统列写欧拉动力学方程
MY
dHY dt
d dt
[(Jcy Jby ) cos2 Jbz sin2 JaY ]& Jcz (& &sin ) sin
[(Jcy Jby )(2&cos sin ) Jbz 2&sin cos ]& [(Jcy Jby ) cos2 Jbz sin2 JaY ]&&
第二章 旋转质量陀螺仪及其力学分析
2020/6/2
1
§2.1 旋转质量陀螺仪的一般原理 一 旋转质量陀螺仪的基本特性
简化模型
H J xωx i J yωy j J zωz k
ωz ωx ωz ωy
H J zωz k H k
2020/6/2
2
一 旋转质量陀螺仪的基本特性
简化模型
diH M dt dH 0 dt
d dt
[ J cz
(& &sin
)]sin
Jcz &(& &sin
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
) cos
整理：
[(J cy J by ) cos 2 J bz sin 2 J aY ] 2(J bz J by J cy ) sin cos
H aY J aY
HY (Jcy Jby )&cos2 [Jcz (& &sin ) Jbz&sin ]sin JaY& (Jcy Jby )&cos2 J bz&sin2 Jcz (& &sin ) sin JaY& [(Jcy Jby ) cos2 Jbz sin2 JaY ]& Jcz (& &sin ) sin
2020/6/2
10
讨论：陀螺力矩物理实质
ac 2y r sin
dFc ac mi 2miy r sin
mi dV rd drdh
dMGx 2yr3 sin2 ddrdh
M Gx
2
R4 hy
M Gx Hy
2020/6/2
dV rddrdh
11
一 旋转质量陀螺仪的基本特性
3．陀螺力矩与陀螺效应
化简：
(Jcx Jbx ) Jcz (sin )cos (Jcy Jby Jbz )2 sin cos M x (2)
2020/6/2
37
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
(3) 考虑转子、内环、外环整个系统列写欧拉动力学方程
dHY dt
MY
HY H1y cos H1z sin H aY
br &i
基座相对惯性空间的角速度在框架坐标系（陀螺坐标系） 中可表示为：
be xi ( y cos z sin ) j (z cos y sin )k
2020/6/2
18
4.单自由度陀螺的运动方程
框架相对于惯性空间的角速度：
b (x )i (y cos z sin) j (z cos y sin)k
0 H z M z
dt
2020/6/2
32
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
(1) 只考虑转子列写欧拉方程
转子有三个自由度，其角速度：
ωc α β
转子的角动量
J cx
H c J cycos
J
cz
(
s
in
)
2020/6/2
33
1.利用欧拉动力学方程列写陀螺运动微分方程
2020/6/2
22
4.单自由度陀螺的运动方程
整理：
(Je Jbx )&& H (y cos z sin ) (Je Jbe )&x (Jz Jbz Je Jby )(y cos z sin )(z cos y sin ) M x
J H(y cos z sin ) Jx M x
J && Hy Mx
M x C D&
J && D& C Hy
2020/6/2
23
二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
5.单自由度陀螺的单位阶跃响应
（1）仅有弹性约束时陀螺仪的运动规律
J && C H
02
02
H C
0
C J
1C f0 2 J
H C
(1 cos0t)
2020/6/2
动自转轴改变方向，强
迫转子进动。强迫进动
所产生的陀螺力矩，将
引起自转轴两端轴承的
附加压力，压力过大时，
造成转轴弯曲或轴承损
F
坏。
2020/6/2
F
13
二 单自由度陀螺的运动方程与动力学分析
1．单自由度陀螺感受转动的特性
单自由度陀螺 只有一个框架， 对基座而言自转 轴只有一个绕框 架轴转动的自由 度。
2．二自由度陀螺的稳定性（spin stabilization）
M 0
diH 0 dt
H const
二自由度陀螺仪的定轴性实质上是指陀螺仪具有巨 大的抗干扰的能力。
2020/6/2
9
一 旋转质量陀螺仪的基本特性
3．陀螺力矩与陀螺效应
在陀螺进动过程中，对应外力矩存在一个与它大 小相等，方向相反的反作用力矩，与外力矩同时 出现、同时消失，并且作用在给陀螺施加外力矩 的物体上，通常称该力矩为“陀螺反作用力矩”， 简称“陀螺力矩”。
陀螺外环同时受到外力矩和陀螺力矩的作用， 二者大小相等，方向相反，而使外环处于平衡 状态，相对惯性空间保持方位稳定。陀螺力矩 所产生的这种外环稳定效应，称为陀螺动力稳 定效应，简称陀螺动力效应。
2020/6/2