南京市2011届高三第三次模拟考试数学答案
2011南京三模数学(word)修正版
南京市2010/2011学年度高三年级第三次调研考试数学试卷注意事项：1、本试卷共160分。
考试时间150分钟。
2、答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号写在答题纸的对应位置。
答案写在答题纸上对应题目的横线上。
考试结束后，请交回答题纸。
一、题空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．。
1、命题“0sin ,>∈∀x R x ”的否定 ▲ .2、已知复z=4－3i （i 为虚数单位），则复数i z 5+的虚部为 ▲ .3、如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ .4、在水平放置的长为5cm 的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2cm 的概率是 ▲ .5、设变量x ，y 满足约束条件⎪⎨⎧≥++≤-0101y x x ，则目标函数y x z +=2的最小值是 ▲ .= ▲ .上，且CD=2DB ， 121>++k a ，则的最小值为 ▲ .11、若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ▲ .12、已知直线)(R m mx y ∈=与函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤-=0,1210,)21(2)(2x x x x f x 的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ . 13、已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是 ▲ .14、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当BNMN 取最小值时，CN= ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内．．．．．．．．．作答，解答是时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
数学_2011年江苏省南京市某校高三摸底数学试卷(含答案)
2011年江苏省南京市某校高三摸底数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 若复数(2+a)−ai（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为________．2. 若sin(π6−α)=−13，则cos(π3+α)=________．3. 过原点作曲线y=1nx的切线，则切线方程为________．4. 设集合A={x|13<3x<√3}，B={x|x−1x<0}，则A∪B=________．5. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20−80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为________人．6. 已知扇形的半径为10cm，圆心角为120∘，则扇形的面积为________cm2．7. 将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．8. 把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为________．9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50, 60)元的同学有30人，则n的值为________．10. 已知抛物线y2=2px(p>0)焦点F恰好是双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点，且双曲线过点(3a2 p ,2b2p)，则该双曲线的渐近线方程为________11. 已知函数f(x)={2x−1,x>0−x2−2x,x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m的取值范围是________．12. 当0≤x ≤12时，|ax −2x 3|≤12恒成立，则实数a 的取值范围是________．13. 首项为正数的数列{a n }满足a n+1=14(a n 2+3)，n ∈N +，若对一切n ∈N +都有a n+1>a n ，则a 1的取值范围是________．14. 已知函数f(x)=|x|−1，关于x 的方程f 2(x)−|f(x)|+k =0，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的序号为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2+cosA =0．（1）求角A 的值；（2）若a =2√3，b +c =4，求△ABC 的面积．16. 如图：PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，PA ＝AB ＝1，AD =√3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(Ⅰ)求三棱锥E −PAD 的体积；(Ⅱ)当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (Ⅲ)证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．17. 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[(1024√x+20)x100+2]k 元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元． （1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当k =100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？18. 已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A(0, 2√3)，离心率为12 (1)求椭圆P 的方程；(2)是否存在过点E(0, −4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →⋅OT →=167．若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．19. 数列{a n }满足：a n+1=3a n −3a n 2，n =1，2，3，…， （1）若数列{a n }为常数列，求a 1的值；（2）若a 1=12，求证：23<a 2n ≤34；（3）在（2）的条件下，求证：数列{a 2n }单调递减． 20. 已知函数f(x)=a |x|+2a x(a >0, a ≠1)，（1）若a >1，且关于x 的方程f(x)=m 有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围； （2）设函数g(x)=f(−x)，x ∈[−2, +∞)，g(x)满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关．试求a 的取值范围．2011年江苏省南京市某校高三摸底数学试卷答案1. −22. −133. y =1e x4. {x|−1<x <1}5. 43206.1003π7. y =2cos 2x 8. 239. 100 10. y =±√104x 11. (0, 1) 12. −12≤a ≤32 13. 0<a 1<1或a 1>3 14. ①②③④15. 解：（1）由2cos 2A2+cosA =0，得1+cosA +cosA =0，即cosA =−12，∵ A 为△ABC 的内角，∴ A =2π3，（2）由余弦定理：a 2=b 2+c 2−2bccosA∴ a 2=(b +c)2−bc 即12=42−bc∴ bc =4 ∴ S △ABC =12bcsinA =√3．16. （1）三棱锥E −PAD 的体积V =13PA ⋅S △ADE =13PA ⋅(12AD ⋅AB)=√36．（2）当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． ∵ 在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴ EF // PC ，又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， ∴ EF // 平面PAC ． (Ⅲ)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，∴ EB ⊥PA ，又EB ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，AB ，AP ⊂平面PAB ， ∴ EB ⊥平面PAB ，又AF ⊂平面PAB ， ∴ AF ⊥BE ．又PA ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点， ∴ AF ⊥PB ，又∵ PB ∩BE ＝B ，PB ，BE ⊂平面PBE ， ∴ AF ⊥平面PBE ． ∵ PE ⊂平面PBE ， ∴ AF ⊥PE ．17. 解：（1）设摩天轮上总共有n 个座位，则x =kn即n =kx，y =8k kx+k x [(1024√x+20)x100+2]k =k 2(10x+1024√x+20100)，定义域{x|0<x ≤k2，kx ∈Z}； （2）当k =100时，令y =100(1000x+1024√x +20)f(x)=1000x+1024√x ，则f′(x)=−1000x 2+√x=−1000+512x 32x 2=0，∴ x 32=12564⇒x =(12564)23=2516，当x ∈(0,2516)时，f′(x)<0，即f(x)在x ∈(0,2516)上单调减， 当x ∈(2516，50)时，f′(x)>0，即f(x)在x ∈(2516，50)上单调增，y min 在x =2516时取到，此时座位个数为1002516=64个．18. 解：(1)设椭圆P 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意得b =2√3，ca =12， ∴ a =2c ，b 2=a 2−c 2=3c 2， ∴ c =2，a =4，∴ 椭圆P 的方程为：x 216+y 212=1．(2)假设存在满足题意的直线L ．易知当直线的斜率不存在时，OR →⋅OT →<0，不满足题意． 故设直线L 的斜率为k ，R(x 1, y 1)，T （x 2, y 2 ）．∵ OR →⋅OT →=167，∴ x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=167，由{y =kx −4x 216+y 212=1 ，可得（3+4k 2 ）x 2−32kx +16=0， 由Δ=(−32k)2−4(3+4k 2)⋅16>0， 解得k 2>14 ①． ∴ x 1+x 2=32k 3+4k2，x 1⋅x 2=163+4k 2，∴ y 1⋅y 2=（kx 1−4 ）(kx 2−4)=k 2 x 1⋅x 2−4k(x 1+x 2)+16， ∴ x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=163+4k 2+16k 23+4k 2−128k 23+4k 2+16=167，∴ k 2=1 ②，由①、②解得k =±1，∴ 直线l 的方程为y =±x −4， 故存在直线l:x +y +4=0，或x −y −4=0，满足题意． 19. 解：（1）因为数列{a n }为常数列， 所以a n+1=a n ，a n =√a n +32，解得a n =0或a n =23，由n 的任意性知，a 1=0或a 1=23，所以a =0，或a =23；（2）用数学归纳法证明23<a 2n ≤34， 1当n =1时，a 2=34，符合上式， ②假设当n =k(k ≥1)时，23<a 2k ≤34，因为23<a 2k ≤34，所以916≤3a 2k −3a 2k 2<23，即916≤a 2k+1<23，从而23<3a 2k+1−3a 2k+12≤189256，即23<a 2k+2≤189256， 因为189256<34，所以，当n =k +1时，23<a 2k+2≤34成立，由①，②知，23<a 2k ≤34；（3）因为a 2n −a 2n−2=3(3a 2n−2−3a 2n−22)−3(3a 2n−2−3a 2n−22)2−a 2n−2=−27a 2n−24+54a 2n−23−36a 2n−22+8a 2n−2(n ≥2)，所以只要证明−27a 2n−24+54a 2n−23−36a 2n−22+8a 2n−2<0，由（2）可知，a 2n−2>0，所以只要证明−27a 2n−23+54a 2n−22−36a 2n−2+8<0，即只要证明27a 2n−23−54a 2n−22+36a 2n−2−8>0， 令f(x)=27x 3−54x 2+36x −8，f ′(x)=27×3x 2−54×2x +36=9(9x 2−12x +4)=9(3x −2)2≥0， 所以函数f(x)在R 上单调递增，因为23<a 2n−2≤34，所以f(a 2n−2)>f(23)=0，即27a 2n−23−54a 2n−22+36a 2n−2−8>0成立， 故a 2n <a 2n−2，所以数列{a 2n }单调递减． 20. 解：（1）令a x =t ，x >0， ∵ a >1，所以t >1，∴ 关于x 的方程f(x)=m 有两个不同的正数解转化为：方程t +2t=m 有相异的且均大于1的两根，∴ {△=m 2−8>0m2>112−m +2>0解得2√2<m <3，故实数m 的取值范围是(2√2，3)．（2）g(x)=a |x|+2a x ，x ∈[−2, +∞) ①当a >1时，x ≥0时，a x ≥1，g(x)=3a x ，所以g(x)∈[3, +∞)，−2≤x <0时，1a 2≤a x <1，g(x)=a −x +2a x ，所以g′(x)=−a −x lna +2a x lna =2(a x )2−1a xlnaⅰ当1a 2>√12即1<a <√24时，对∀x ∈(−2, 0)，g′(x)>0，所以g(x)在[−2, 0)上递增，所以g(x)∈[a 2+2a 2，3)，综上：g(x)有最小值为a 2+2a 2与a 有关，不符合ⅱ当1a 2≤√12即a ≥√24时，由g′(x)=0得x =−12log a 2， 且当−2<x <−12log a 2时，g′(x)<0， 当−12log a 2<x <0时，g′(x)>0，所以g(x)在[−2,−12log a2]上递减，在[−12log a2，0]上递增，所以g(x)min=g(−12log a2)=2√2，综上：g(x)有最小值为2√2与a无关，符合要求．②当0<a<1时，a)x≥0时，0<a x≤1，g(x)=3a x，所以g(x)∈(0, 3]b)−2≤x<0时，1<a x≤1a2，g(x)=a−x+2a x，所以g′(x)=−a−x lna+2a x lna=2(a x)2−1a xlna<0，g(x)在[−2, 0)上递减，所以g(x)∈(3,a2+2a2]，综上：a)b)g(x)有最大值为a2+2a2与a有关，不符合综上所述，实数a的取值范围是a≥√24．。
南京2011届高三第三次模拟考试
南京市2011届高三第三次模拟考试政治参考答案及评分标准2011.05 一、单项选择题：每小题2分，共计66分。
二、简析题：每小题各12分，共计36分。
34．（1）图表1反映“十一五”期间，A市地区生产总值和民生支出总体呈上升趋势，（1分）民生支出增速总体上高于地区生产总值增速，（1分）说明A市坚持富民优先，同时说明经济发展是民生支出增长的基础。
（1分）图表2反映截至2010年，A市经济社会发展水平高于全省平均水平，更好地实现协调发展。
（2分）材料一表明，经济建设与社会发展相互影响相互促进。
（1分）（2）①贯彻落实科学发展观，统筹城乡协调发展，加强生态文明建设，实现科学发展。
（2分）②大力发展生产力，促进就业，千方百计增加居民收入。
（2分）③重视社会公平，加强宏观调控，发挥财政的积极作用，完善社会保障制度。
（2分）35．（1）①坚持在矛盾普遍性指导下，具体分析矛盾的特殊性。
我国借鉴国际原子能机构以及核电先进国家的安全标准，形成了自己的核安全法规体系。
②根据同一事物在不同阶段的不同矛盾决定发展思路。
在核电发展道路的不同发展阶段，各有不同的侧重点。
③着重把握、解决主要矛盾。
当前，国家强调“安全第一”体现了这一点。
④坚持辩证否定观，树立创新意识。
我国在核电技术利用上，注重在引进消化吸收基础上进行自主创新。
（答出其中3点给6分，如从联系、发展的观点加以阐述，并且材料与观点一致，可酌情给分）（2）①我国是人民民主专政的社会主义国家，政府坚持为人民服务的宗旨以及对人民负责的工作原则。
我国政府加强核安全管理是维护人民利益，对人民负责的体现。
（2分）②我国政府具有组织社会主义经济建设和提供社会公共服务的职能。
政府有责任保护环境、防治污染，安全利用核能，促进经济发展。
（2分）③主权国家作为国际社会的最基本成员必须履行国际义务。
我国在坚定地维护自身利益的同时，也维护各国人民的共同利益。
我国政府加强核安全管理，体现了一个负责任的大国形象。
南京市届高三第三次模拟考试数学试题及答案
南京市2017届高三年级第三次模拟考试数 学参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U(A ∪B )＝ ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的41个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于63．若复数z 满足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 ．4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ．6．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12的交点的个数是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是 ．8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ．9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为 ．10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时， 三棱锥D －ABC 1的体积为 ．11．若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为 ．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BDACBA B CD A∥平面AEF ．（1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．16．（本小题满分14分）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；A（2）若表演台每平方米的造价为万元， 求表演台的最低造价．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2． （1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD BC的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *．（1）若a 1＝－1，p ＝1，①求a 4的值； ②求数列{a n }的前n 项和S n ．（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t (r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差数列，求a1p的取值范围．20．已知λ∈R，函数f (x)＝e x－e x－λ(x ln x－x＋1)的导函数为g(x)．（1）求曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程；（2）若函数g (x)存在极值，求λ的取值范围；（3）若x≥1时，f (x)≥0恒成立，求λ的最大值．南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{2} 2．383．54．－15． 6．27．{32} 8．129．8 10．1311．－1＋5212．313．[－65，0] 14．[27，30]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 证明：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD 平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以BD ∥EF ． …………………… 3分因为BD 平面ABD ，EF 平面ABD ， 所以EF ∥平面ABD ． …………………… 6分（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD 平面BCD ， 所以AE ⊥CD ． …………………… 8分因为 BD ⊥CD ，BD ∥EF ， 所以CD ⊥EF ， …………………… 10分又 AE ∩EF ＝E ，AE 平面AEF ，EF 平面AEF ， 所以CD ⊥平面AEF ． …………………… 12分又 CD 平面ACD ， 所以平面AEF ⊥平面ACD ． …………………… 14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75． …………………… 5分 所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分 （2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α． 因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分 所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分 从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tan π41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB＝3AC．在△ABC中，S△ABC＝12AB•AC•sinθ＝4003，所以AC2＝800sinθ． (3)分由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cosθ，＝4AC2－23AC2 cosθ．＝(4－23cosθ) 800sinθ，即BC＝(4－23cosθ)•800sinθ＝402－3cosθsinθ．所以BC＝402－3cosθsinθ，θ∈(0，π)．…………………… 7分（2）设表演台的总造价为W万元．因为CD＝10m，表演台每平方米的造价为万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． (11)分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)． 答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b2)．所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )． 因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝ca＝32． …………………… 5分 （2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分 因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． ……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14，即k 1·k 2为定值14． ………………………16分 方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分 设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)． ……………………… 13分所以k1·k2＝12x02y0－2·y0－1x0＝14，即k1·k2为定值14．……………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为p＝1，所以a n＋1＝|1－a n|＋2 a n＋1．①因为a1＝－1，所以a2＝|1－a1|＋2 a1＋1＝1，a3＝|1－a2|＋2 a2＋1＝3，a4＝|1－a3|＋2a3＋1＝9．…………………………… 3分②因为a2＝1，a n＋1＝|1－a n|＋2 a n＋1，所以当n≥2时，a n≥1，从而a n＋1＝|1－a n|＋2 a n＋1＝a n－1＋2 a n＋1＝3a n，于是有a n＝3n－2(n≥2) ．…………………………… 5分当n＝1时，S1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32．所以 S n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3n－1－32，n ≥2，n ∈N *，即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． …………………………8分（2）因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分（i ）当a 1p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，所以a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1． 若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2 a s ＝a r ＋a t ，即2×3s －1＝3r －1＋3t －1． （*）因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即（*）不成立．列．……………………… 12分（ii）当－1＜a1p＜1时，有－p＜a1＜p．此时a2＝|p－a1|＋2 a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2 p＞p，于是当n≥2时，a n≥a2＞p，从而a n＋1＝|p－a n|＋2 a n＋p＝a n－p＋2 a n＋p＝3a n．所以a n＝3n－2a2＝3n－2(a1＋2p) (n≥2)．若{a n}中存在三项a r，a s，a t (r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差数列，同（i）可知，r＝1，于是有2×3s－2(a1＋2 p)＝a1＋3t－2(a1＋2p)．因为2≤s≤t－1，所以a1a1＋2 p ＝2×3s－2－3t－2＝29×3s－13×3t－1＜0．因为2×3s－2－3t－2是整数，所以a1a1＋2 p≤－1，于是a1≤－a1－2p，即a1≤－p，与－p＜a1＜p相矛盾．列．………………… 14分（iii）当a1p≤－1时，则有a1≤－p＜p，a1＋p≤0，于是a2＝| p－a1|＋2a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2p，a3＝|p－a2|＋2a2＋p＝|p＋a1|＋2a1＋5p＝－p－a1＋2a1＋5p＝a1＋4p，此时有a1，a2，a3成等差数列．综上可知：a1p≤－1．……………………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）因为f′(x)＝e x－e－λln x，所以曲线y＝f (x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y＝0．………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x－λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 故此时g (x )无极值． ………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x－λx，则h ′(x )＝e x＋λx 2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分 ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈(λe ，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x0＞0，使得h(x0)＝0．…………………… 8分且当0＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g (x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，因此g (x)在x＝x0处有极小值．所以当函数g(x)存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分（3）g (x)＝f′(x)＝e x－e－λln x，g′(x)＝e x－λx．若g′(x)≥0恒成立，则有λ≤x e x恒成立．设φ(x)＝x e x(x≥1)，则φ′(x)＝(x＋1) e x＞0恒成立，所以φ(x)单调递增，从而φ(x)≥φ(1)＝e，即λ≤e．于是当λ≤e时，g (x)在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x)≥g (1)＝0，即f′(x)≥0，从而f (x)在[1，＋∞)上单调递增．所以f(x)≥f(1)＝0恒成立．…………………………… 13分当λ＞e时，由（2）知，存在x0∈(1，λ)，使得g(x)在(0，x0)上单调递减，即f′(x)在(0，x0)上单调递减．所以当1＜x＜x0时，f′(x)＜f′(1)＝0，于是f (x)在[1，x0)上单调递减，所以f (x0)＜f (1)＝0．这与x≥1时，f (x)≥0恒成立矛盾．因此λ≤e，即λ的最大值为e．…………………………… 16分南京市2017届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结BE ．因为AD 是边BC 上的高，AE 是△ABC 所以∠ABE ＝∠ADC ＝90°． ……………∠AEB ＝∠ACD ， …………… 6分 所以△ABE ∽△ADC ， …………… 8分所以AB AD ＝ AEAC．即AB ·AC ＝AD ·AE ． …………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）AX ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y ． …………… 2分 因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎨⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0． …………… 4分（2）由（1）知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 30 2 ，又B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 2 ， 所以AB ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 30 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －102 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 40 4 ． …………… 6分 设(AB )－1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 40 4 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1 ， 即 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1 ． …………… 8分 所以 ⎩⎨⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －120 14 ．…………… 10分（说明：逆矩阵也可以直接使用公式求解，但要求呈现公式的结构）C．选修4—4：坐标系与参数方程解：由于 2 ＝x2＋y2，cosθ＝x，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－8x＋15＝0，即 (x－4)2+y2＝1，所以曲线C是以 (4，0) 为圆心，1为半径的圆．…………… 3分直线l的直角坐标方程为y＝x ，即x－y＝0．…………… 6分因为圆心(4，0) 到直线l的距离d＝|4－0|2＝22＞1．…………… 8分所以直线l与圆相离，从而PQ的最小值为d－1＝22－1． (10)分D．选修4—5：不等式选讲证明：因为x＞0，所以x3＋2 ＝x3＋1＋1 ≥ 33x3×1×1 ＝ 3x，当且仅当x3＝1，即x＝1时取“＝”．…………… 4分因为y 2＋1－2y ＝(y －1)2≥0，所以y 2＋1≥2y ， 当且仅当y ＝1时取“＝”． …………… 8分 所以 (x 3＋2)＋(y 2＋1)≥3x ＋2y ，即x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ，当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”． …………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 ．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )． 因为T (3，0)，所以OP→＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )． 因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ． 所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分 （2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0．所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0． 所以向量SM→与NQ→共线． …………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（1）由题意，当n ＝2时，数列{a n }共有6项．要使得f(2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，故T2＝C06＋C26＋C46＋C66＝25＝32．……………………… 3分（2）T n＝C03n＋C33n＋C63n＋…＋C3n3n．……………………… 4分当1≤k≤n，k∈N*时，C3k 3n＋3＝C3k3n＋2＋C3k－13n＋2＝C3k－13n＋1＋C3k3n＋1＋C3k－13n＋1＋C3k－23n＋1＝2C3k－13n＋1＋C3k 3n＋1＋C3k－23n＋1＝2 (C3k－13n＋C3k－23n)＋C3k－13n＋C3k3n＋C3k－33n＋C3k－23n＝ 3 (C3k－13n＋C3k－23n)＋C3k3n＋C3k－33n，……………………… 6分于是T n＋1＝C03n＋3＋C33n＋3＋C63n＋3＋…＋C3n＋33n＋3＝C03n＋3＋C3n＋33n＋3＋3(C13n＋C23n＋C43n＋C53n＋…＋C3n－23n＋C3n－13n)＋T n－C03n＋T n－C3n3n＝2 T n＋3(23n－T n)＝3×8n－T n．……………………… 8分下面用数学归纳法证明T n ＝13[8n＋2(－1)n ]．当n ＝1时，T 1＝C 03＋C 33＝2＝13[81＋2(－1)1]，即n ＝1时，命题成立．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *) 时，命题成立，即T k ＝13[8k＋2(－1)k ]．则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝3×8k－T k ＝3×8k－13[8k ＋2(－1)k]＝13[9×8k －8k －2(－1)k]＝13[8k ＋1＋2(－1)k ＋1]，即n ＝k ＋1时，命题也成立．于是当n ∈N *，有T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]．。
2011届高三数学模拟试题 (理科)
2011届高三数学模拟试题（理科） 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{0,1,2,3},{|2,}A B x x a a A ===∈集合，则（ ）A ．AB A = B ．A B A ÙC ．A B B =D ．A B A Ø2．命题p ：若0,a b a b ⋅<则与的夹角为钝角，命题q ：定义域为R 的函数()(,0)(0,)f x -∞+∞在及上都是增函数，则()(,)f x -∞+∞在 上是增函数下列说法正确的是 （ ） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题C ．p ⌝为假命题D ．q ⌝为假命题3．函数sin (3sin 4cos )()y x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对（M ，T ）为 （ ）A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π4．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若120,C c ==，则（ ）A ．45B > B ．45A >C ．b a >D ．b a <6．定义在区间(0,)a 上的函数2()2xx f x =有反函数，则a 最大为 （ ）A ．2ln 2B ．ln 22C ．12 D ．27．已知22(,)(3)1P x y x y +-=是圆上的动点，定点A （2，0），B （—2，0），则PA PB⋅ 的最大值为（ ）A ．4B ．0C ．—12D ．128．如图，在1,3ABC AN NC∆=中，P 是BN 上的一点， 若211AP mAB AC=+，则实数m 的值为（ ）A ．911B ．511C ．311D ．2119．设二次函数2()4()f x ax x c x R =-+∈的值域为19[0,),19c a +∞+++则的最大值为（ ）A ．3125B ．3833C ．65D ．312610．有下列数组排成一排：121321432114321(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),112123123452345如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：121321132154321,,,,,,,,,,,,,,,112123423412345则此数列中的第2011项是（ ）A ．757B ．658C ．559D ．460二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
苏北四市2011届高三年级第三次调研考试
苏北四市2011届高三年级第三次调研考试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ▲ ．2．在空间直角坐标系O xyz -中，点(4,3,7)P -关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为 ▲ ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+=⎨+>⎩≤为奇函数，则a b += ▲ ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中， 共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面 积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间 一组的频数为 ▲ .5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ▲ ．6．若1cos 3α=，则cos(2)sin()sin()tan(3)2ααααπ-⋅π+π+⋅π-的值为 ▲ ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S ＝ ▲ .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ▲ ．(第5题)9．若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ▲ ．10．已知二次函数2()()f x ax x c x =-+∈R 的值域为[0,)+∞，则22c a a c+++的最小值 为 ▲ ．11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60 角，1P A P B P C ===cm ，则球的表面积为 ▲ 2cm ．12．如图，过点(5,4)P 作直线l 与圆22:25O x y +=交于,A B 两点，若2PA =，则直线l 的方程为 ▲ ．13.如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，2CA CB ==，若2AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角等于 ▲ ． 14.若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域．．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知函数22()sin ()cos ()sin cos 63f x x x x x ππ=-+-+⋅，x ∈R .(1) 求()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值；(2) 求()f x 在[0,]π上的单调增区间.FC(第13题)EB A(第12题)16. (本小题满分14分)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，24AB BC ==，3CD =，E 为AB 中点，过E 作EF CD ⊥,垂足为F ，如（图一），将此梯形沿EF 折成一个直二面角A EF C --，如（图二）.(1)求证：BF ∥平面ACD ； (2)求多面体ADFCBE 的体积.17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：22(1)16x y -+=与点(1,0)A -,P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C ． (1) 求曲线C 的方程；（2）曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为,M N ，连接,QM QN ,分别交 直线x t =（t 为常数，且2t ≠）于点,E F ，设,E F 的纵坐标分别为12,y y ， 求12y y ⋅的值（用t 表示）.(第17题)(第16题)(图一) BCD E FA (图二)BACFDE18．(本小题满分16分)如图，某新建小区有一片边长为1(单位：百米)的正方形剩余地块ABCD ，中间部分MNK 是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN 为函数29y x =12()33x ≤≤的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路l （宽度不计），直路l 与曲线段MN 相切（切点记为P ），并把该地块分为两部分．记点P 到边AD 距离为t ，()f t 表示 该地块在直路 l 左下部分的面积． （1）求()f t 的解析式； （2）求面积()S f t =的最大值．19．(本小题满分16分)设函数2()ln f x x a x =-与1()g x x a=1x =于点,A B ，且曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线平行（斜率相等）．（1）求函数()f x ,()g x 的表达式；（2）当1a >时，求函数()()()h x f x g x =-的最小值；（3）当1a <时，不等式()()f x m g x ⋅≥在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围．20. (本小题满分16分)已知各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，且102q <<. （1）在数列{}n a 中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；(2)若11a =，且对任意正整数k ，12()k k k a a a ++-+仍是该数列中的某一项. (i)求公比q ；(ii)若1log 1)n n a b +=-，12n n S b b b =+++ ，12n n T S S S =+++ ,试用2011S 表示2011T .(第18题)徐州市2011届高三年级第三次调研考试数学Ⅰ答案及评分标准一、填空题：1． 1i - 2．(4,3,7)-- 3．0 4．50 5．16 6．13 7．502 8．23 910．10 11．32π 12．4y =或4091640x y --= 13.3π 14. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦二、解答题:15. (1)1cos(2)1cos(2)133()sin 2222x x f x x π2π--+-=++………………………………2分 11(sin 2cos2)2x x =+-)14x π=-+，………………………………4分 当2242x k ππ-=π+，即3,8x k k π=π+∈Z 时，……………………………………6分()f x1.………………………………………………………………8分 (2)由222242k x k ππππ--π+≤≤，即3,88k x k k πππ-π+∈Z ≤≤，又因为0x π≤≤，所以所求()f x 的增区间为3[0,],[,π]88π7π.……………………14分16.（1）连接EC ，交BF 于点O ，取AC 中点P ，连接,PO PD ，可得PO ∥AE ，且12PO AE =，而DF ∥AE ，且12DF AE =，所以DF ∥PO ， 且DF PO =，所以四边形DPOF 为平行四边形，所以FO ∥PD ，即BF ∥PD ，又PD ⊂平面ACD ，BF ⊄平面ACD ，所以BF ∥平面ACD .……………………………………………8分(2)二面角A EF C --为直二面角，且AE EF ⊥，所以AE ⊥平面BCFE ， 又BC ⊂平面BCFE ，所以AE BC ⊥，又BC BE ⊥，BE AE E = ， 所以BC ⊥平面AEB ，所以BC 是三棱锥C ABE -的高，同理可证CF 是四棱锥C AEFD -的高，……………………………………………10分B C F D E A OP所以多面体ADFCBE 的体积111110222(12)2232323C ABE C AEFD V V V --=+=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=.………………14分17. (1)连接RA ，由题意得，RA RP =，4RP RB +=，所以42RA RB AB +=>=，…………………………………………………………2分由椭圆定义得，点R 的轨迹方程是22143x y +=.……………………………………4分 (2)设M 00(,)x y ，则00(,)N x y --，,QM QN 的斜率分别为,QM QN k k ， 则002QM y k x =-，002NQ y k x =+，………………………………………………………6分 所以直线QM 的方程为00(2)2y y x x =--，直线QN 的方程00(2)2y y x x =-+，…8分 令(2)x t t =≠，则001200(2),(2)22y y y t y t x x =-=--+，……………………………10分 又因为00(,)x y 在椭圆2200143x y +=，所以2200334y x =-， 所以222022********(3)(2)34(2)(2)444x t y y y t t x x --⋅=-==----，其中t 为常数.……14分 18.（1）因为29y x=，所以229y x '=-，所以过点P 的切线方程为222()99y x t t t -=--，即22499y x t t=-+，…………2分令0x =，得49y t=，令0y =，得2x t =.所以切线与x 轴交点(2,0)E t ，切线与y 轴交点4(0,)9F t .………………………4分①当21,41,912,33t tt ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤即4192t ≤≤时，切线左下方的区域为一直角三角形， 所以144()2299f t t t =⨯⨯=.…………………………………………………………6分②当21,41,912,33t tt ⎧⎪>⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤ 即1223t <≤时，切线左下方的区域为一直角梯形， 22144241()()12999t t f t t t t --=+⋅=，……………………………………………………8分 ③当21,41,912,33t tt ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤即1439t <≤时,切线左下方的区域为一直角梯形, 所以221499()(2)12224t t f t t t t -=+⋅=-. 综上229142,,439441(),,9924112,.923t t t f t t t t t ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪<⎪⎩≤≤≤≤……………………………………………………10分 (2)当1439t <≤时, 29()24f t t t =- 29444()4999t =--+<，……………………………12分当1223t <≤时, 241()9t f t t -=21144(2)999t =--+<，………………………………14分 所以max 49S =．…………………………………………………………………………16分19．（1）由2()ln f x x a x =-，得22()x a f x x-'=，………………………………………2分由1()g x x a ='()g x =．又由题意可得(1)(1)f g ''=，即222a a a --=，故2a =，或12a =．………………………………………………4分 所以当2a =时，2()2ln f x x x =-,1()2g x x =；当12a =时，21()ln 2f x x x =-，()2g x x =6分（2）当1a >时，21()()()2ln 2h x f x g x x x x =-=--212(1)(1)'()22x x h x x x x -+=--+=1)=⎣⎦，………………………………………8分由0x >0>，故当(0,1)x ∈时，()0h x '<,()h x 递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>,()h x 递增, 所以函数()h x 的最小值为13(1)12ln1122h =--+=．…………………10分 （3）12a =，21()ln 2f x x x =-,()2g x x =当11[,)42x ∈时, 21()ln 2f x x x =-,2141'()2022x f x x x x -=-=<， ()f x 在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，111()()ln 20242f x f =+>≥，………………………12分当11[,)42x ∈时，()2g x x ='()20g x ==>，()g x 在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，1()()12g x g =-≤，且1()()04g x g =≥．……14分要使不等式()()f x m g x ⋅≥在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，当14x =时，m 为任意实数；当11(,]42x ∈时，()()f x m g x ≤，而min1()()21()()2f f xg x g ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.所以m .……………………………………………………………16分20.⑴由条件知：11-=n n q a a ，102q <<，01>a ， 所以数列{}n a 是递减数列，若有k a ，m a ，n a ()k m n <<成等差数列，则中项不可能是k a （最大），也不可能是n a （最小），………………………………2分 若 k n k m n k m q q a a a --+=⇔+=122，（*） 由221m k q q -<≤, 11>+-k h q ，知(* )式不成立，故k a ，m a ，n a 不可能成等差数列. ………………………………………………4分 ⑵(i)方法一： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=--=----++45)21()1(21121121q q a q q q a a a a k k k k k ，……6分由)1,41(45)21(2∈++-q 知， 121k k k k k a a a a a ++---<<< ， 且>>>--++++3221k k k k k a a a a a … ，………………………………………………8分 所以121+++=--k k k k a a a a ，即0122=-+q q ， 所以12-=q ，………………………………………………………………………10分方法二：设12k k k m a a a a ++--=，则21m k q q q ---=，…………………………………6分由211,14q q ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭知1m k -=，即1m k =+， ……………………………………8分以下同方法一. …………………………………………………………………………10分 (ii) nb n 1=，………………………………………………………………………………12分 方法一：nS n 131211++++= ，)131211()31211()211(1n T n +++++++++++=n n n n n n )1(3221--++-+-+= )1433221()131211(nn n n -++++-++++=)]11()411()311()211[(nnS n -++-+-+--=)]13121()1[(n n nS n +++---=)]131211([nn nS n ++++--=n n S n nS +-=(1)n n S n =+-，所以2011201120122011T S =-.…………………………………………………16分方法二：11111312111++=++++++=+n S n n S n n 所以 1(1)(1)1n n n S n S ++-+=，所以1(1)1n n n n S nS S ++-=+， 12112+=-S S S ， 123223+=-S S S ， … … 1)1(1+=-++n n n S nS S n ，累加得n T S S n n n +=-++11)1(，所以1(1)1(1)(1)()1n n n n n T n S n n S n n S b n +=+--=+-=++--1(1)()11n n S n n =++--+ (1)n n S n =+-， 所以2011201120122011T S =-. ……………………………………………………16分徐州市2011届高三年级第三调研考试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在下面A 、B 、C 、D 四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分． A ．选修4－1：几何证明选讲如图所示，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G ．（1）求证：△DFE ∽△EFA ；（2）如果1FG =，求EF 的长．B ．选修4—2 矩阵与变换设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 轴方向伸长为原来5倍的伸压变换． （1）求直线4101x y -=在M 作用下的方程； （2）求M 的特征值与特征向量．(第21—A 题)C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的方程为2=8sin 15ρρθ-，曲线 2C的方程为,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．（1）将1C 的方程化为直角坐标方程； （2）若2C 上的点Q 对应的参数为34απ=，P 为1C 上的动点，求PQ 的最小值． D ．选修4—5：不等式选讲设函数()11f x x x =-++，若不等式2()a b a b a f x +--⋅≤对任意,a b ∈R 且0a ≠恒成立，求实数x 的范围． 22．（本小题满分10分）如图， 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =,4BC =，5=AB ，14AA =．(1)设AD AB λ= ,异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为925，求λ的值；(2)若点D 是AB 的中点，求二面角1D CB B --的余弦值．23．（本小题满分10分）在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字． （1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？（2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为0,1,2，则相邻的组为0,1和1,2，此时ξ的值是2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．(第22题)BAC A 1D B 1C 1徐州市2011届高三年级第三次调研考试数学Ⅱ（附加题）答案及评分标准21．【选做题】A ．选修4－1：几何证明选讲(1)因为EF ∥CB ，所以BCE FED ∠=∠，又BAD BCD ∠=∠，所以BAD FED ∠=∠，又EFD EFD ∠=∠，所以△DEF ∽△EFA ．……………………………………6分 （2）由（1）得，EF FDFA EF=，2EF FA FD =⋅． 因为FG 是切线，所以2FG FD FA =⋅，所以1EF FG ==．…………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换（1）1005⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．………………………………………………………………………2分 设(,)x y ''是所求曲线上的任一点，1005x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以,5,x x y y '=⎧⎨'=⎩所以,1,5x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入4101x y -=得，421x y ''-=，所以所求曲线的方程为124=-y x ．……………………………………………4分（2）矩阵M 的特征多项式1()(1)(5)005f λλλλλ-==--=-， 所以M 的特征值为5,121==λλ．………………………………………………6分当11=λ时，由111λ=M αα，得特征向量110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；当52=λ时，由222λ=M αα，得特征向量201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．………………………10分C ．选修4－4：坐标系与参数方程（1）228150x y y +-+=．…………………………………………………………4分 （2）当34απ=时，得(2,1)Q -，点Q 到1C ， 所以PQ 1．………………………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲 由2()a b a bf x a +--≥，对任意的,a b ∈R ，且0a ≠恒成立，而223a b a ba b a b+--++-=≤，()3f x ≥，即113x x -++≥，解得32x -≤，或32x ≥，所以x 的范围为33,22x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥． …………10分22．(1)以1,,CA CB CC 分别为x y z ,,因为3AC =,4BC =，14AA =，所以(300)A ，，， (0,4,0)B ，(000)C ，，，1(0,0,4)C =， 所以1(3,0,4)AC =-，因为AD AB λ= ，所以点(33,4,0)D λλ-+，所以(33,4,0)CD λλ=-+，因为异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为925，所以 19|cos ,|25AC CD <>==，解得12λ=．……………4分 (2)由（1）得1(044)B ，，，因为 D 是AB 的中点，所以3(20)2D ，，，所以3(20)2CD = ，，，1(044)CB = ，，，平面11CBB C 的法向量 1n (1,0,0)=， 设平面1DB C 的一个法向量2000(,,)x y z =n ，则1n ，2n 的夹角（或其补角）的大小就是二面角1D CB B --的大小,由2210,0,CD CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得0000320,2440,x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令04x =，则03y =-，03z =， 所以2n (4,3,3)=-， 12122cos ||||⋅<>==⋅，n n n n n n ， 所以二面角1D B C B --． …………………………………10分 23.（1）要想组成的三位数能被3整除，把0,1,2,3，…，9这十个自然数中分为三组：0,3,6,9；1,4,7；2,5,8．若每组中各取一个数，含0，共有1112332236=C C C A 种； 若每组中各取一个数不含0，共有11133333=162C C C A 种；若从每组中各取三个数，共有322233223=30A +C A A 种.所以组成的三位数能被3整除，共有36+162+30=228种.………………………6分 （2）随机变量ξ0,1,2所以ξ的数学期望为77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=.……………………………10分。
2011届高三数学模拟试题(文科)
2011届高三数学模拟试题（文科）满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{0,1,2,3},{|2,}A B x x a a A ===∈集合，则（ ）A ．AB A = B ．A B A ÙC ．A B B =D ．A B A Ø2．命题p ：若0,a b a b ⋅<则与的夹角为钝角，命题q ：定义域为R 的函数()(,0)(0,)f x -∞+∞在及上都是增函数，则()(,)f x -∞+∞在 上是增函数下列说法正确的是 （ ） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题C ．p ⌝为假命题D ．q ⌝为假命题3．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数sin (3sin 4cos )()y x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对（M ，T ）为（ ）A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若120,C c ==，则（ ）A ．45B > B ．45A >C ．b a >D ．b a <6．函数()7)f x x =≤≤的反函数是（ ）A ．1()770)f x x -=+-≤≤B ．1()7)f x x -=≤≤C ．1()7)fx x -=≤≤D ．1()770)f x x -=-≤≤ 7．已知22(,)(3)1P x y x y +-=是圆上的动点，定点A （2，0），B （—2，0），则PA PB⋅ 的最大值为 （ ）A ．12B ．0C ．—12D ．48．如图，在1,3ABC AN NC ∆= 中，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC=+，则实数m 的值为（ ）A ．911B ．511C ．311D ．2119．设4901,1x x x <<+-则的最小值为 （ ）A ．24B ．26C ．25D ．110．有下列数组排成一排：121321432114321(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),112123123452345如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：121321132154321,,,,,,,,,,,,,,,112123423412345则此数列中的第2011项是（ ）A ．757B ．658C ．559D ．460二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
南京市2011届高三年级第三次模拟考试
南京市2011届高三年级第三次模拟考试化 学 2011.05本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共120分。
考试用时100分钟。
注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号写在答题纸的对应位置。
选择题答案按要求填涂在答题纸上；非选择题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内，答案不要写在试卷上。
考试结束后，交回答题纸。
可能用到的相对原子质量：Hl N14 016 Na23 S32 Mo 96选择题单项选择题：本题包括8小题，每小题2分，共计16分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．2011年世界地球日主题是“倡导绿色消费、支持绿色生产、共建绿色家园”。
下列做法不正确的是A ．用活性炭、漂白粉消除水中藻类产生的毒素B ．用二氧化碳与环氧化合物合成聚碳酸酯类可降解塑料C ．大量重复使用以橡胶、炭黑、硫化剂、促进剂、防老化剂等为原料炼制而成的混炼胶制造橡胶轮胎D ．核电站为阻止高辐射污水由碎石层流入竖井裂缝进入海中，向碎石层内注入“水玻璃”2．下列有关化学用语正确的是A ．H 2S 的结构式：H —S —HB ．¦Mg 2+的结构示意图：C ．二氧化碳的电子式：D ．2-甲基丁醛的结构简式：3．下列离子方程式书写正确的是A ．用Ba(OH)2溶液吸收氯气：2OH －＋ 2Cl 2 =2Cl － ＋2ClO －＋H 2OB ．淀粉碘化钾溶液在空气中变蓝：4I －＋O 2 ＋2H 2O = 4OH －＋2I 2C ．用酸性K 2Cr 2O 7溶液检验酒精：3CH 3CH 2OH + 2Cr 2O 72－+ 13H ＋= 4Cr 3＋+ 11H 2O + 3CH 3COO－D ．用氨水吸收足量的SO 2气体：OH －＋SO 2 = HSO 3－4．下列有关物质应用的说法不正确的是A ．碳酸钠用于治疗胃溃疡病人的胃酸过多症B ．Na 2O 2用作呼吸面具的供氧剂C ．明矾用于净化生活用水D ．福尔马林用于浸制生物标本5．设n A 为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A ．常温下，1 L 0.1 mol·L －1的NH 4NO 3溶液中NH 4＋和NO 3－总数为0.2n AB ．标准状况下，4. 48L 重水(D 2O)含有的中子数为2n AC ．在反应KIO 3＋6HI =KI ＋3I 2 ＋3H 2O 中，每生成3mol I 2转移的电子数为5n AD ．标准状况下，22. 4LNO 和11. 2LO 2充分反应，所得气体中NO 2的分子数为n A6．常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是+12 8 2 2 C O O CH 3 CH 3—CH —CH 2—CHOA ．pH=l 的溶液中：Mg 2+、Na +、AlO 2－、SO 42－B ．含有大量NO 3－的溶液中：H +、Na +、Fe 3+、Cl —C ．c(OH —)／c(H +) =1012的溶液中：SO 32－、NH 4＋、NO 3－、K ＋D ．含有大量MnO 4－的溶液中：Ca 2＋、K ＋、Cl －、I －7．下列实验图示及有关描述正确的是甲 乙 丙 丁A ．用甲图所示装置可以电解精炼铝B ．用乙图所示装置可以检验有乙烯生成C ．用丙图所示装置可以制得金属锰D ．用丁图所示装置可以收集Cl 28．三种不同物质有如图所示转化关系：甲NaOH −−−−→溶液乙−−−→盐酸丙△甲，则甲不可能是A ．Al 2O 3B ．SiO 2C ．CO 2D ．NH 4Cl不定项选择题：本题包括6小题，每小题4分，共计24分。
江苏省南京市2011届高三调研考试数学试卷
（2）平面 EFC 面 BCD．
F
E
D
C
A
18.设平面向量 a ( 3,1),b (1 , 3 ) ,若存在实数 m(m 0) 和角 ,其中 ( , ) ，
22
22
使向量 c a (tan 2 3)b, d ma b tan ,且 c d .
+ 2cosA - sin
+ cos2A = ．
2
2
2
50
4
3
1
3
⑵ ∵ cosA = ∴ sinA = 由S = bcsinA = bc,
5
5
2
10
8 ∵ a = 2由余弦定理得：a = b2 + c2 - 2bccosA = 4 ∴ bc + 4 = b + c ≥ 2bc bc ≤ 10,
5
SA ABC
要使
f
(m)
0
恒成立，只须满足
f
f (2) (x2 (2) (x2
1) 2 (1 2x) 0 ,
1)(2) (1 2x) 0
解得 1 7 x 1 3 ∴ x 的取值范围 1 7 x 1 3 ．
2
2
2
2
（2）整理变形为 mx2 2x 1 m 0 () ，设 f (x) mx2 2x 1 m , x [2, 2]
f (x) sin x .给出以下结论：
① f (x) 是周期函数 ② f (x) 的最小值为 1
③当且仅当 x 2k (k Z ) 时， f (x) 取最大值
江苏省南京金陵中学2011年高考数学预测卷三
南京金陵中学2011年高考数学预测卷3（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合P ＝{ x | x (x －1)≥0}，Q ＝{ x | y ＝ln(1)x -}，则PQ ＝ ．2．高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ．3．已知i 是虚数单位，m ∈R ，且2i 1i m -+是纯虚数，则20112i 2i m m -⎛⎫⎪+⎝⎭＝ ．4．若直线l 过点A (－2，－3)，且与直线3x ＋4y －3＝0垂直，则直线l 的方程为 ． 5．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10302S ＋10S ＝1020(21)S +，则数列{}n a 的公比 ．6．设函数()f x ＝234x x --，x ∈[－3，6]，则对任意0x ∈[－3，6]，使0()f x ≤0的概率为 ．7．下图伪代码运行输出的n 的值是 ．8．点A 在曲线C ：2x ＋2(2)y +＝1上，点M (x ，y )在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩，，≥≤≥上，则AM的最小值是 ．9．设定义在R 上的函数()f x ＝11|1|1 1.x x x ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩，，，若关于x 的方程2()f x ＋()bf x ＋c ＝0有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则1x ＋2x ＋3x ＝ ．1While 111If mod(4)0then 1End if 1End while Print Endj n j j j j n n j j n ←←←+=←+←+，≤10．设△ABC 的BC 边上的高AD ＝BC ，a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对应的三边，则b c＋cb的取值范围是 ． 11．给出下列命题，其中正确的命题是 (填序号)．①若平面α上的直线m 与平面β上的直线n 为异面直线，直线l 是α与β的交线，那么l 至多与m ，n 中的一条相交；②若直线m 与n 异面，直线n 与l 异面，则直线m 与l 异面； ③一定存在平面γ同时与异面直线m ，n 都平行．12．在△ABC 中，AH 为BC 边上的高，tan 2C ＝12，则过点C ，以A ，H 为焦点的双曲线的离心率为 ．13．若不等式a ＋21x x -≥2log 2x在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a的取值范围为 ．14．如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB ＝90︒，AC ＝2)沿x 轴滚动，设顶点A (x ，y )的轨迹方程是y ＝()f x ，则()f x 在其相邻两个零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 ．二、填空题：本大题共6小题，共计70分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知点A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α)，α∈322ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）若AC ＝BC ，求角α的值；（2）若AC BC ⋅＝－1，求22sin sin 21tan ααα++的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60︒，AB ＝2，PA ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．（1）求证：BE ∥平面PDF ；（2）求证：平面PDF ⊥平面PAB ； （3）求三棱锥P －DEF 的体积．17．（本小题满分14分）如图，在边长为10的正三角形纸片ABC 的边AB ，AC 上分别取D ，E 两点，使沿线段DE 折叠三角形纸片后，顶点A 正好落在边BC 上(设为P )，在这种情况下，求AD 的最小值．18．（本小题满分16分）已知F 是椭圆1C ：2222x y a b ＝1的右焦点，点P 是椭圆1C 上的动点，点Q 是圆2C ：2x ＋2y ＝2a 上的动点．（1）试判断以PF 为直径的圆与圆2C 的位置关系； （2）在x 轴上能否找到一定点M ，使得QFQM＝e (e 为椭圆的离心率)？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数()f x＝a＋1)a x-，a ≠0且a ≠1． （1）试就实数a 的不同取值，写出该函数的单调增区间；（2）已知当x ＞0时，函数在(0上单调递减，在)+∞上单调递增，求a 的值并写出函数的解析式；（3）记（2）中的函数图象为曲线C ，试问是否存在经过原点的直线l ，使得l 为曲线C 的对称轴？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1n a +＋n a ＝4n －3(n ∈*N )． （1）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； （2）当1a ＝2时，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）若对任意n ∈*N ，都有2211n n n n a a a a ++++≥5成立，求1a 的取值范围．参考答案1．(1，)+∞．解析：P ＝(-∞，0][1，)+∞，Q ＝(1，)+∞，所以P Q ＝(1，)+∞．2．20．解析：采用系统抽样，所抽出的样本成等差数列，故另一个同学的学号应是20． 3．i ．解析：因为2i 1i m -+＝(2i)(1i)2m --＝(2)(2)i2m m --+是纯虚数，所以m ＝2． 故20112i 2i m m -⎛⎫⎪+⎝⎭＝201122i 22i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝()2011i -＝3i -＝i ．4．4x －3y －1＝0．解析：依题意直线l 的斜率为43，由点斜式方程得直线l 的方程为4x －3y －1＝0．5．12．解析：设数列{}n a 的公比为q ，因为10302S ＋10S ＝1020(21)S +，所以1030202()S S -＝2010()S S -，由此可得101020102()S S q -＝2010()S S -，所以10q ＝1012⎛⎫⎪⎝⎭．又因为{}n a 是正项等比数列，所以q ＝12． 6．59．解析：函数()f x ＝234x x --＝(x ＋1)(x －4)，因此当x ∈[－1，4]时，()f x ≤0，所以对任意0x ∈[－3，6]，使0()f x ≤0的概率为4(1)6(3)----＝59．7．3．8．32．解析：曲线C 是圆2x ＋2(2)y +＝1；不等式组的可行域如图阴影部分所示，A 点为(0，－1)，当M 为(0，12)时，AM 最短，长度是32．9．3．解析：易知()f x 的图象关于直线x ＝1对称．2()f x ＋()bf x ＋c ＝0必有一根使()f x ＝1，不妨设为1x ，而2x ，3x 关于直线x ＝1对称，于是1x ＋2x ＋3x ＝3．10．[2，5]．解析：因为BC 边上的高AD ＝BC ＝a ，．所以ABC S ∆＝212a ＝1sin 2bc A ，所以sin A ＝2a bc ．又因为cos A ＝2222b c a bc +-＝212b c a c b bc ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以b c ＋cb＝2cos A ＋sin A ≤5，同时b c ＋c b ≥2，所以b c ＋cb∈[2，5]．11．③．解析：①是错误的，因为l 可以与m ，n 都相交；②是错误的，因为m 与l 可以异面、相交或平行；③是正确的，因为只要将两异面直线平移成相交直线，两相交直线确定一个平面，此平面就是所求的平面．12．2．解析：如图所示，由tan 2C ＝12，得tan C ＝22tan21tan 2CC -＝43．由题可知AH ⊥BC ，以A ，H 为焦点的双曲线的离心率e ＝AHAC CH-．由于△AHC 为直角三角形，且tan C ＝AHCH＝43，可设AH ＝4a ，CH ＝3a ，则AC ＝5a ，所以离心率e ＝AH AC CH -＝453aa a-＝2．13．a ≥1．解析：不等式即为a ≥21x x --＋2log 2x，在x ∈(12，2)上恒成立．而函数()f x ＝21x x--＋2log 2x＝112112x x x x⎧<<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，，，≤的图象如图所示，所以()f x 在(12，2)上的最大值为1，所以a ≥1．14．2＋4π．解析：作出点A 的轨迹中相邻两个零点间的图象，如图所示．其轨迹为两段圆弧，一段是以C 为圆心，CA 为半径的四分之一圆弧；一段是以B 为圆心，BA 为半径，圆心角为34π的圆弧．其与x 轴围成的图形的面积为12×22×2π＋12×2×2＋12×2(22)×34π＝2＋4π． 15．解析：（1）解法1：由题意知AC ＝(cos α－3，sin α)，BC ＝(cos α，sin α－3)．由AC ＝BC ，化简整理得cos α＝sin α．因为α∈322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以α＝54π． 解法2：因为AC ＝BC ，所以点C 在直线y ＝x 上，则cos α＝sin α．因为α∈322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以α＝54π． （2）由AC BC ⋅＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，即sin α＋cos α＝23．所以2(sin cos )αα+＝1＋2sin cos αα＝49，即2sin cos αα＝59-． 所以22sin sin 21tan ααα++＝2sin cos αα＝59-．16．解析：（1）取PD 的中点为M ，连结ME ，MF ，因为E 是PC 的中点，所以ME 是△PCD 的中位线．所以ME ∥CD ，ME ＝12CD ．又因为F 是AB 的中点，且由于ABCD 是菱形，AB ∥CD ，AB ＝CD ，所以ME ∥FB ，且ME ＝FB ．所以四边形MEBF 是平行四边形，所以BE ∥MF ．连结BD ，因为BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ，所以BE ∥平面PDF ． （2）因为PA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，所以DF ⊥PA ．连结BD ，因为底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60︒，所以△DAB 为正三角形． 因为F 是AB 的中点，所以DF ⊥AB ．因为PA ，AB 是平面PAB 内的两条相交直线，所以DF ⊥平面PAB ． 因为DF ⊂平面PDF ，所以平面PDF ⊥平面PAB ．（3）因为E 是PC 的中点，所以点P 到平面EFD 的距离与点C 到平面EFD 的距离相等，故P DEF V -＝C DEF V -＝E DFC V -，又DFC S ∆＝12×2×3＝3，E 到平面DFC 的距离h ＝12PA ＝12，所以E DFC V -＝13×3×12＝36．17．解析：显然A ，P 两点关于折线DE 对称，连结DP ，图（2）中，设∠BAP ＝θ，∠BDP ＝2θ．再设AD ＝x ，所以DP ＝x ，DB ＝10－x ．在△ABC 中，∠APB ＝180︒－∠ABP －∠BAP ＝120︒－θ．在△BDP 中，由正弦定理知sin BD BPD ∠＝sin DP DBP ∠，即10sin(1202)x θ-︒-＝sin60x︒，所以x＝1032sin(1202)3θ︒-+．因为0︒≤θ≤60︒，所以0︒≤120︒－2θ≤120︒，所以当120︒－2θ＝90︒，即θ＝15︒时，sin(1202)θ︒-＝1．此时x 取得最小值10323+＝203－30，且∠ADE ＝75︒． 所以AD 的最小值为203－30．18．解析：（1）取PF 的中点记为N ，椭圆的左焦点记为1F ，连结ON ，则ON 为1PFF ∆的中位线，所以ON ＝112PF ．又由椭圆的定义可知，1PF ＋PF ＝2a ，从而1PF ＝2a －PF ，故ON ＝112PF ＝1(2)2a PF -＝a －12PF ．所以以PF 为直径的圆与圆2C 内切．（2）设椭圆的半焦距为c ，M (x ，0)，Q (0x ，0y )，F (c ，0)，由QFQM＝e ，得2QF ＝22e QM ，即20()x c -＋20y ＝2200[()]e x x y -+．把20x ＋20y ＝2a 代入并化简整理，得202()c e x x -＋22e a ＋22e x －2a －2c ＝0，要此方程对任意的Q (0x ，0y )均成立，只要2c e x -＝0即可，此时x ＝2ce ＝2a c ．所以x 轴上存在点M ，使得QF QM ＝e ，M 的坐标为(2a c，0)．19．解析：（1）①当a ＜0时，函数()f x 的单调增区间为(0)，(0； ②当0＜a ＜1时，函数()f x 的单调增区间为(-∞，0)，(0，)+∞；③当a ＞1时，函数()f x 的单调增区间为(-∞，，)+∞．（2）由题设及（1）且a ＞1，解得a ＝3，因此函数解析式为()f x＝3＋x( x ≠0)． （3）假设存在经过原点的直线l 为曲线C 的对称轴，显然x ，y 轴不是曲线C 的对称轴，故可设l ：y ＝kx (k ≠0)．设P (p ，q )为曲线C 上的任意一点，///()P p q ，与P (p ，q )关于直线l 对称，且p ≠/p ，q≠/q ，则/P 也在曲线C 上，由此得/2q q +＝/2p p k +⋅，//q q p p --＝1k -，且q/q /k 1k -，解得k 或k ＝3．所以存在经过原点的直线y 及y ＝x 为曲线C 的对称轴． 20．解析：（1）若数列{}n a 是等差数列，则n a ＝1a ＋(n －1)d ，1n a +＝1a ＋nd ． 由1n a +＋n a ＝4n －3，得(1a ＋nd )＋[1a ＋(n －1)d ]＝4n －3，即2d ＝4，12a －d ＝－3，解得d ＝2，1a ＝12-．（2）由1n a +＋n a ＝4n －3(n ∈*N )，得2n a +＋1n a +＝4n ＋1(n ∈*N )． 两式相减，得2n a +－n a ＝4．所以数列{}21n a -是首项为1a ，公差为4的等差数列． 数列{}2n a 是首项为2a ，公差为4的等差数列． 由2a ＋1a ＝1，1a ＝2，得2a ＝－1．所以n a ＝2=2125=2n n k n n k -⎧⎨-⎩，，(k ∈Z )．①当n 为奇数时，n a ＝2n ，1n a +＝2n －3．n S ＝1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a ＝(1a ＋2a )＋(3a ＋4a )＋…＋(2n a -＋1n a -)＋n a ＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n ＝1(1411)22n n -⨯+-＋2n ＝22352n n -+．②当n 为偶数时，n S ＝1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a ＝(1a ＋2a )＋(3a ＋4a )＋…＋(1n a -＋n a )＝＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2232n n-．所以n S ＝22235=21223=22n n n k n n n k ⎧-+-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，，(k ∈Z )．（3）由（2）知，n a ＝1122=2123=2n a n k n a n k -+-⎧⎨--⎩，，(k ∈Z )．①当n 为奇数时，n a ＝2n －2＋1a ，1n a +＝2n －1－1a ．由2211n n n n a a a a ++++≥5，得21a －1a ≥24n -＋16n －10． 令()f n ＝24n -＋16n －10＝24(2)n --＋6． 当n ＝1或n ＝3时，max ()f n ＝2，所以21a －1a ≥2． 解得1a ≥2或1a ≤－1．②当n 为偶数时，n a ＝2n －3－1a ，1n a +＝2n ＋1a ．由2211n n n n a a a a ++++≥5，得21a ＋13a ≥24n -＋16n －12． 令()g n ＝24n -＋16n －12＝24(2)n --＋4． 当n ＝2时，max ()g n ＝4，所以21a ＋13a ≥4． 解得1a ≥1或1a ≤－4．综上所述，1a 的取值范围是(-∞，4][2-，)+∞．。
数学_2011年江苏省盐城市、南京市高考数学三模试卷(含答案)
2011年江苏省盐城市、南京市高考数学三模试卷一、题空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1. 命题“∀x ∈R ，sinx >0”的否定是________．2. 已知复数z =3+4i （i 为虚数单位），则复数z ¯+5i 的虚部为________．3. 如图，已知集合A ={2, 3, 4, 5, 6, 8}，B ={1, 3, 4, 5, 7}，C ={2, 4, 5, 7, 8, 9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．4. 在水平放置的长为5cm 的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2cm 的概率是________．5. 设变量x ，y 满足约束条件{x −1≤0x +y +1≥0x −y +3≥0 ，则目标函数z ＝2x +y 的最小值是________．6. 如图是一个算法的流程图，则输出的值是________．7. 已知函数f(x)=2sin(2x +φ)，若f(π4)=√3，则f(13π4)=________．8. 已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题：①若l // m ，n ⊥m ，则n ⊥l ；②若l // m ，m ⊂α，则l // α；③若l ⊂α，m ⊂β，α // β，则l // m ； ④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则l ⊥γ．其中真命题是________．（写出所有真命题的序号）．9.如图，在△ABC 中，∠BAC =90∘，AB =6，D 在斜边BC 上，且CD =2DB ，则AB →⋅AD →的值为________．10. 已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+pn ，a 7=11，若a k +a k+1>12，则正整数k 的最小值为________．11. 若不等式4x 2+9y 2≥2k xy 对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为________． 12. 已知直线y =mx(m ∈R)与函数f(x)={2−(12)x (x ≤0)12x 2+1(x >0)的图象恰好有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．13. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存=e，则该离心率e的取值范围是________．在点P，使得PF1PF214. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于M，N，则当MN最小时，CN=________．BN二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内作答，解答是时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC+ccosA=2bcosB．（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围．16. 如图1，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥A−BCDE（如图2）．（1）求证：EF // 平面ABC；（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．17. 书旗集团截止2010年底，在A市共投资100百万元用于地产和水上运动项目的开发．经调研，从2011年初到2014年底的四年间，书旗集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额（单位：百万元）的25%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额（单位：百万元）的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．（1）书旗集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？（2）假设2012年起，A市决定政府每年都要向书旗集团征收资源占用费，2012年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加1百万元，若书旗集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值（预期最大利润与最小利润的平均数）不低于投资额的18%．问书旗集团投资是否成功？18. 在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(−4, 0)，B(4, 0)，动点P与A、B连线的斜率之积为−1．4（I）求点P的轨迹方程；（II）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为√3r．（1）求圆M的方程；（2）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．19. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1=2S n+2(n∈N+)．（1）求数列{a n}通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列．(I)求证：1d1+1d2+1d3+⋯+1d n<1516(n∈N+)(II)在数列{d n}中是否存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．20. 已知函数f(x)=x3+x2−ax(a∈R)．（1）当a=0时，求与直线x−y−10=0平行，且与曲线y=f(x)相切的直线的方程；（2）求函数g(x)=f(x)x−alnx(x>1)的单调递增区间；（3）如果存在a∈[3, 9]，使函数ℎ(x)=f(x)+f′(x)(x∈[−3, b])在x=−3处取得最大值，试求b的最大值．三、数学附加题（本试卷共40分，考试时间30分钟）．（一）【选做题】在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题10分．请在答题纸指定的区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修4-1：几何证明选讲】21. 如图，AB为圆O的切线，A为切点，过线段AB上一点C作圆O的割线，CED（E在C、D之间），若∠ABE=∠BDE，求证：C为线段AB的中点．【选修4-2：矩阵与变换】22. 求曲线C:xy=1在矩阵M=[11−11]对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．【选修4-4：极坐标系与参数方程】23. 在极坐标系中，已知圆C:ρ=2√2cosθ和直线l:θ=π4(ρ∈R)相交于A、B两点，求线段AB的长．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：a2a+1+b2b+1≥1．（二）【必做题】第25题、26题每题10分，共计20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2011年江苏十三大市各模考填空题压轴题的解答
2011年填空题压轴题常见题型复习指导1题1(苏锡常镇四市一模) 设m ∈N，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ▲ ．m 的取值集合为{0，3，14，30}．注 将“m ∈N ”改为“m ∈N *”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是 ▲ ．题2(淮安市一模) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ，则201111()2011i i i a b =+∑的值是 ▲ ． 2013．变式1 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i -b j =a k -b l ，则11()ni i i a b n =+∑的值是 ▲ ． 3．变式2 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i b j =a k b l ，记c n，则数列{c n }的通项公式是 ▲ ． 1232n -⨯．题3(常州市一模) 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )=(k -1)x -1，g (x )=0，h (x )=(x +1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ． k =2为所求．题4(泰州市一模) 已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+= ，则m = ▲ ．(用θ表示)m =sin θ．A BC OE FD 图1图4题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数()f x 的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )为同一个“友好点对”)．已知函数22410()20ex x x x f x x ⎧++<⎪=⎨⎪⎩≥, , , , 则()f x 的“友好点对”有 ▲ 个．2个．题6(镇江市一模) 直线l 与函数sin y x =([0]x ∈π, )的图象相切于点A ，且l ∥OP ，O 为坐标原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA BC ⋅ = ▲ ．2224(1)144=ππ=--π．题7(扬州市一模) 若函数f (x )=x 3-ax 2(a >0)在区间20(,)3+∞上是单调递增函数，则使方程f (x )=1000有整数解的实数a 的个数是 ▲ ．有4个不同的值．题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，过P 作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值是 ▲ ．值为4题9(盐城市一模) 已知函数2342011()12342011x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342011()12342011x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设()(3)(3)F x f x g x =+⋅-，且函数F (x )的零点均在区间[,](,,)a b a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为 ▲ ． 9．题10(南通市一模) 是 ▲ ．2．变式1 在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 在线段AC 上，AD =kAC (k 为常数，且0<k <1)，BD =l 为定长，则△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．2maxmax 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 变式2 在正三棱锥P -ABC 中，D 为线段BC 的中点，E 在线段PD 上，PE =kPD (k 为常数，且0<k <1)，AE =l 为定长，则该棱锥的体积的最大值为 ▲ ．3223(1)(2)l k k -+．注 本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB =2，AC 的△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．2012届填空题压轴题常见题型复习指导2题11(无锡市一模) 已知函数f (x )=|x 2-2|，若f (a )≥f(b )，且0≤a ≤b ，则满足条件的点(a ，b )所围成区域的面积为 ▲ ．2π． 题12(高三百校大联考一模) 若函数f (x )=|sin x |(x ≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则2(1)sin 2ααα+= ▲ ．2．题13(苏北四市二模) 已知函数()|1||2||2011||1||2||2011|f x x x x x x x =+++++++-+-++- ()x ∈R ，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ▲ ．6．题14(南京市二模) 已知函数f (x )=2111x ax x +++(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是 ▲ ． 83≥-．变式 已知函数f (x )=2111x ax x +++(x ∈N *)，且[f (x )]min =3，则实数a 的取值集合是 ▲ ． {83-}．题15(盐城市二模) 已知函数f (x )=cos x ，g (x )=sin x ，记S n =2211(1)1(1)2()()222nnnk k k k n f g n n ==-π--π-∑∑，T m =S 1+S 2+…+S m ．若T m <11，则m 的最大值为 ▲ ． 5．题16(苏锡常镇四市二模) 已知m ，n ∈R ，且m +2n =2，则2122mn m n +⋅+⋅的最小值为▲ ． 4．题17(南通市二模) 在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B ，C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+，则λ2+(μ-3)2的取值范围是 ▲ ．(2,)+∞．x图10λ+图12题18(苏北四市三模) 如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 ▲ ． 故第13行第10个数为 111216142922⨯+⨯=．题19(南京市三模) 如图12，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ▲ ．题20(南通市三模) 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则c = ▲ ．c =2或c =1．变式 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c = ▲ ．c =4题22(扬州市三模) 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ． a <20116．题23(徐州市三模) 若关于x 的方程x 4+ax 3+ax 2+ax +1=0有实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ．2(,][2,)3-∞-+∞ ．题24(南通市最后一卷) 函数f (x )=32412x x x x -++的最大值与最小值的乘积是 ▲ ．116-．题25(淮安市四模) 已知函数f (x )=|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|100x -1|，则当x = ▲ 时，f (x )取得最小值．171．2012届填空题压轴题常见题型复习指导题1(苏锡常镇四市一模) 设m ∈N，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ▲ ． 解 当x ∈Z ，且x ≤10时，Z ． 若m =0，则x = -5为函数f (x )的整数零点． 若m ≠0，则令f (x )=0，得m∈N ．注意到-5≤x ≤10N ，得x ∈{1，6，9，10}，此时m ∈{3，223，14，30}．故m 的取值集合为{0，3，14，30}．注 将“m ∈N ”改为“m ∈N *”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是 ▲ ．题2(淮安市一模) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ，则201111()2011i i i a b =+∑的值是 ▲ ．解 依题设，有b n +1-b n =a 2-a 1=1，从而数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列． 同理可得，{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 所以，数列{a n +b n }是以3为首项，2为公差的等差数列． 所以，201111()2011i i i a b =+∑=120112010(201132)20112⋅⨯+⨯=2013．变式1 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i -b j =a k -b l ，则11()ni i i a b n =+∑的值是 ▲ ．略解 依题设，有a i -b j =a j -b i ，于是a i +b i =a j +b j ，所以a n +b n =3，11()ni i i a b n =+∑=3．变式2 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a ib j =a k b l ，记c n{c n }的通项公式是 ▲ ． 略解 由a 2b n =a 1b n +1，得1212n n b a b a +==，故b n =2n ．同理，a n =12n -，通项公式为1232n -⨯．题3(常州市一模) 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )=(k -1)x -1，g (x )=0，h (x )=(x +1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 解 依题意，有0≤(k -1)x -1≤(x +1)ln x 在x ∈[1，2e]上恒成立．当x ∈[1，2e]时，函数f (x )=(k -1)x -1的图象为一条线段，于是(1)0,(2e)0,f f ≥⎧⎨≥⎩解得k ≥2．另一方面，k -1≤(1)ln 1x x x++在x ∈[1，2e]上恒成立．令m (x )=(1)ln 1x x x ++=ln 1ln x x x x ++，则2ln ()x xm x x -'=．因1≤x ≤2e ，故1(ln )1x x x'-=-≥0，于是函数ln x x -为增函数．所以ln x x -≥1ln1->0，()m x '≥0，m (x )为[1，2e]上的增函数． 所以k -1≤[m (x )]min =m (1)=1，k ≤2．综上，k =2为所求．题4(泰州市一模) 已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=，则m = ▲ ．(用θ表示)解法1 如图1，作OE ∥AC 交AB 于E ，作OF ∥AB 交AC 于F ． 由正弦定理，得s i n s i n s i n A EA OA OA O EA E OA==． 又∠AOE =∠OAF =2ADC π-∠=2B π-∠，所以cos sin AO B AE A=，所以cos sin AO B AB AE A AB =⋅． 同理，cos sin AO C ACAF A AC=⋅． 因AE AF AO += ，故cos cos sin sin AO B AB AO C AC AO A AB A AC⋅+⋅=．因2sin sin AB AC AO C B ==，故上式可化为cos cos 2sin sin 2sin sin B CAB AC AO A C A B+= ， 即cos cos 2sin sin sin B C AB AC A AO C B+=⋅，所以m =sin θ．解法2 将等式cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=两边同乘以2AO ，得222cos cos 4sin sin B C AB AC mAO C B+=，即2222cos cos sin 4sin 4B AB C AC m C AO B AO =⋅+⋅． 由正弦定理，得m =22cos cos sin sin sin sin B C C B C B+=cos B sin C +cos C sin B =sin(B +C )=sin A =sin θ． 解法3 将已知等式cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=两边平方，得22222222cos cos cos cos 2cos 4sin sin sin sin B C B C AB AC AB AC A m AO C B C B++⋅=． 由正弦定理，得m 2=22cos cos 2cos cos cos B C B C A ++ =222cos sin (cos cos cos )B A B A C ++ =222cos sin (cos cos cos())B A B A A B +-+ =222cos sin (sin sin )B A B A + =sin 2A =2sin θ．注意到m >0，故m =sin θ．注 1．本题虽难度较大，但得分率却较高．其主要原因是考生利用了特值法，令△ABC 为正三角形，ABC OE F D 图1即得m ，于是猜测m =sin θ． 2．题中三种解法均是处理向量问题最常用的基本方法，解法1用的是平面向量基本定理，从不同侧面表示AO；解法2与解法3，是或将向量等式两边同乘某个向量，或将等式两边同时平方，进而达到去除向量的目的．题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数()f x 的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )为同一个“友好点对”)．已知函数22410()20ex x x x f x x ⎧++<⎪=⎨⎪⎩≥, , , , 则()f x 的“友好点对”有 ▲ 个．解 设x <0，则问题化归为关于x 的方程22(241)0e xx x -+++=，即21e 22xx x =---(0x <)有几个负数解问题．记1=e x y ，221(1)2y x =-++，当1x =-时，11e 2<，所以函数1y 的图象与2y 的图象有两个交点(如图2)，且横坐标均为负数，故所求“友好点对”共有2个．题6(镇江市一模) 直线l 与函数sin y x =([0]x ∈π, )的图象相切于点A ，且l∥OP ，O 为坐标原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则B AB C ⋅=▲ ．解 如图3，(1)P π2, 为极值点，2OP k =π．设点A (x 0，sin x 0)，则过点A 的切线l 的斜率为02cos x =π．于是，直线l 的方程为002sin ()y x x x -=-π． 令y =0，得00sin 2x x x π-=，从而BC =00sin 2x x x π-=． BA BC ⋅= cos BA BC ABC ⋅⋅=BC 2=20(sin )2x π2224(1144=ππ=--π．题7(扬州市一模) 若函数f (x )=x 3-ax 2(a >0)在区间20(,)3+∞上是单调递增函数，则使方程f (x )=1000有整数解的实数a 的个数是 ▲ ．解 令由22()323()03a f x x ax x x '=-=-=，得x =0或23ax =． 于是，f (x )的单调增区间为(,0)-∞和2(,)3a+∞． 所以220033a <≤，即0<a ≤10． 因f (x )的极大值为f (0)=0，故f (x )=1000的整数解只能在2(,)3a+∞上取得． 令x 3-ax 2=1000，则a =21000x x -．图4令g (x )=21000x x -，则32000()1g x x '=+>0，故g (x )在2(,)3a+∞为增函数．因g (10)=0，g (15)=510109+>，故方程f (x )=1000的整数解集为{11，12，13，14}． 从而对应的实数a 亦有4个不同的值．题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，过P 作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值是 ▲ ．解 设P (a ，-a 3+1)，0<a <1，则切线方程为y = -3a 2x +2a 3+1．于是，两交点分别为(0，2a 3+1)，(32213a a +，0)，322(21)()6AOB a S S a a ∆+==．令333(21)(41)()3a a S a a+-'==0，得a ，且可判断此时S 题9(盐城市一模) 已知函数2342011()12342011x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342011()12342011x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设()(3)(3)F x f x g x =+⋅-，且函数F (x )的零点均在区间[,](,,)a b a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为 ▲ ．解 23420092()1f x x x x x x x '=-+-+-⋅⋅⋅-+=20111,1,12011, 1.x x xx ⎧+≠-⎪+⎨⎪=-⎩当x ≥0时，()0f x '>；当-1<x <0时，()0f x '>；当x <-1时，()0f x '>，故函数f (x )为R 上的增函数，于是函数f (x )在R 上最多只有一个零点．因f (0)=1>0，f (-1)=111111(11)(()()234520102011-+-++-++⋅⋅⋅+-+<0，故f (0)f (-1)<0，因而f (x )在R上唯一零点在区间(-1，0)上，于是f (x +3)的唯一零点在区间(-4，-3)上．同理可得，函数g (x )为R 上的减函数，于是函数f (x )在R 上最多只有一个零点． 又g (1)=111111(11)()((234520102011-+-+-+⋅⋅⋅+->0，g (2)=242010121212(12)2(2(2()234520102011-+-+-+⋅⋅⋅+-<0，于是g (1)g (2)<0，因而g (x )在R 上唯一零点在区间(1，2)上，于是g (x -3)的唯一零点在区间(4，5)上． 所以，F (x )的两零点落在区间[-4，5]上，b -a的最小值为9．注 不少考生想对复杂的函数表达式进行求和变形化简，结果当然是徒劳而返，得分率非常低．导数法是解决高次函数或复杂函数的强有力的工具．题10(南通市一模) 是 ▲ ． 解 (本题解法很多，仅给出平几解法)如图4，△ABC 中，E ，F 分别为底BC 与腰AC 的中点，BF 与AE 交于点G ，则G 为△ABC 的重心，于是BG =CG =23BF =AE =3GE ．所以，21333sin 222ABC BGCS S GB GC BGC ∆∆==⋅⋅≤⨯=，当且仅当∠BGC =2π，即BG ⊥GC 时，△ABC 的面积取最大值2．变式1 在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 在线段AC 上，AD =kAC (k为常数，且0<k <1)，BD =l 为定长，则△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．略解 如图5，以B 为原点，BD为x 轴建立直角坐标系xBy ．设A (x ，y )，y >0． 因AD =kAC =kAB ，故AD 2=k 2AB 2，于是(x -l )2+y 2=k 2(x 2+y 2)． 所以，22222(1)21k x lx l y k --+-=-=2222222(1)()111l k l k x k k k ---+---≤2222(1)k l k -，于是，max21kly k =-，2max 2()2(1)ABD kl S k ∆=-，2max max 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 变式2 在正三棱锥P -ABC 中，D 为线段BC 的中点，E 在线段PD 上，PE =kPD (k 为常数，且0<k <1)，AE =l 为定长，则该棱锥的体积的最大值为 ▲ ．略解 如图6，因PE =kPD ，故EG =kOD ． 因AO =2OD ，故2OF AO FG GE k ==，于是22OF GO k =+． 因PG PE k PO PD ==，故1GO k PO=-， 从而OF OF GO PO GO PO =⋅=2(1)2k k-+． 所以，22(1)P ABC F ABC kV V k --+=-．因2AF AO FE GE k ==，故AF =2222AE lk k =++． 于是，F ABC V -≤316FA =3343(2)l k +(当且仅当F A ，FB ，FC 两两垂直时，“≤”中取“=”)，所以，22(1)P ABCF ABC kV V k --+=-≤3223(1)(2)l k k -+，于是所求的最大值为3223(1)(2)l k k -+． 注 本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB =2，AC 的△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．题11(无锡市一模) 已知函数f (x )=|x 2-2|，若f (a )≥f(b )，且0≤a ≤b ，则满足条件的点(a ，b )所围成区域的面积为 ▲ ．解 易知f (x )在上为减函数，在)+∞上为增函数，于是a ，b 不可能同在)+∞上． 若0≤a ≤b 2-a 2≥2-b 2恒成立，它围成图7中的区域①； 若0≤a b ，则2-a 2≥b 2-2，即a 2+b 2≤4，它围成图7中的区域②．综上，点(a ，b )所围成的区域恰好是圆a 2+b 2=4的18．故所求区域的面积为2π． 题12(高三百校大联考一模) 若函数f (x )=|sin x |(x ≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则2(1)sin 2ααα+= ▲ ．解 依题意，画出示意图如图8所示．于是，3(,2)2απ∈π，且A (α，-sin α)为直线y =kx 与函数y = -sin x (3(,2)2x π∈π)图象的切点． 在A 点处的切线斜率为sin cos ααα--=，故α=tan α．所以，2(1)sin 2ααα+=2(1tan )sin 2tan ααα+=sin 2cos sin ααα=2．题13(苏北四市二模) 已知函数()|1||2||2011||1||2||2011|f x x x x x x x =+++++++-+-++- ()x ∈R ，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ▲ ． 解 因f (-x )=f (x )，故f (x )为偶函数．记g (x )=|1||2||2011|x x x ++++++ ，h (x )=|1||2||2011|x x x -+-++- ． 当x ≥0时，g (x +1)-g (x )=|x +2012|-|x +1|=2011， h (x +1)-h (x )=|x |-|x -2011|=22011,02011,2011,2011.x x x -≤<⎧⎨≥⎩所以，f (x +1)-f (x )=2,02011,4022,2011.x x x ≤<⎧⎨≥⎩所以，f (0)=f (1)<f (2)<f (3)<…． 又当0≤x ≤1时，f (x )=(1)(2)(2011)(1)(2)(2011)x x x x x x +++++++-+-++- =20112012⨯， 故2|32||1|a a a -+=-或21132111a a a ⎧--+⎨--⎩≤≤≤≤,, 且a ∈N *，解得a =1，2，3，所以结果为6．注 本题也可以这样思考：从最简单的先开始．先研究函数1()|1||1|f x x x =++-与函数2()|1||2||1||2|f x x x x x =++++-+-的图象与性质，它们都是“平底锅型”，进而猜测函数()f x 的图象与性质，并最终得以解决问题．题14(南京市二模) 已知函数f (x )=2111x ax x +++(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是 ▲ ． 解 因x ∈N *，故由f (x )≥3恒成立，得a ≥8()3x x -++，故a ≥max 8[()3]x x -++．当x取最接近于x =3时，8()3x x -++取最大值83-，于是a ≥83-．变式 已知函数f (x )=2111x ax x +++(x ∈N *)，且[f (x )]min =3，则实数a 的取值集合是 ▲ ．略解 首先a ≥83-．另一方面，∃x ∈N *，使f (x )≤3能成立，即a ≤8()3x x -++能成立，于是a ≤max 8[()3]x x -++=83-．所以，a 的取值集合是{83-}．题15(盐城市二模) 已知函数f (x )=cos x ，g (x )=sin x ，记 S n =2211(1)1(1)2()()222nnnk k k k n f g n n==-π--π-∑∑，T m =S 1+S 2+…+S m ． 若T m <11，则m 的最大值为 ▲ ．解21(1)()2nk k f n=-π∑ =(21)(1)cos0[coscos ][cos cos ]cos22222n n n n n n n n nπ-π(-1)π+ππ++++++ =1． 21(1)()2nk k n g n=--π∑ =1(1)sin[sin sin ][sin sin ]sin 022222n n n n n n n n-π(-)π-π-ππ++++++ = -1． 所以，S n =122n+，T m =1212m m +-． 令T m <11，则正整数m 的最大值为5．注 本题的难点在于复杂的S n 的表达式．去掉求和符号∑，展开表达式，化抽象为具体，进而识得庐山真面目． 题16(苏锡常镇四市二模) 已知m ，n ∈R ，且m +2n =2，则2122m n m n +⋅+⋅的最小值 为 ▲ ． 解法1 设x =m ，y =2n ，则问题等价于：已知x +y =2，求22x y x y ⋅+⋅的最小值． 令S =22x y x y ⋅+⋅，T =22y x x y ⋅+⋅，则S -T =()(22)x y x y --≥0，即S ≥T ．另一方面，S +T =()(22)x y x y ++≥2⨯，故S ≥4，当且仅当x =y =1时取等号． 所以2122m n m n +⋅+⋅的最小值为4．解法2 考虑到对称性，不妨取m ≥1．令g (m )=22(2)2m m m m -⋅+-⋅，m ≥1． 则22()(22)(2(2)2)ln 2m m m m g m m m --'=-+⋅--⋅≥0． 所以函数g (m )(m ≥1)为增函数，故min ()(1)4g m g ==．注 这道题虽然正面求解难度较大，但得分率却相当的高．究其原因大致为：当考生经过变元后，得问题为“已知x +y =2，求22x y x y ⋅+⋅的最小值”，它具有某种对称性，凭直观猜测：让x =y =1，一举得到所求结果．题17(南通市二模) 在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B ，C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+，则λ2+(μ-3)2的取值范围是 ▲ ．解法1 如图9，作1OA OA λ= ，1OB OB μ=，连B 1C ，A 1C ，则1||OA λ= ，1||OB μ= ，||1OC =．因三点A ，B ，C 互异，且11OC OA OB =+ ，故O ，C ，B 1构成三角形的三1,|| 1.λμλμ+>⎧⎨-<⎩个顶点，且11||||B C OA λ== ，于是由三角形的边与边之间的关系有（☆）如图10的阴影部分表示不等式组（☆）所表示的区域，P (λ，μ)为阴影部分内的动点，定点A (0，3)，则λ2+(μ-3)2=AP 2．点A (0，3)到直线μ-λ=1的距离d=，AP >d=，故λ2+(μ-3)2>2，从而λ2+(μ-3)2的取值范围为(2,)+∞．解法2 依题意，B ，O ，C 三点不可能在同一条直线上．所以OC OB ⋅ =||||cos OC OB BOC ⋅=cos BOC ∈(-1，1)．又由OC OA OB λμ=+ ，得OA OC OB λμ=- ，于是2212OB OC λμμ=+-⋅ ．图10λ+图12记f (μ)=λ2+(μ-3)2=2212(3)OB OC μμμ+-⋅+- =226210OB OC μμμ--⋅+ ．于是，f (μ)>2228102(2)2μμμ-+=-+≥2， 且f (μ)<22410μμ-+=22(1)8μ-+，无最大值．故λ2+(μ-3)2的取值范围为(2,)+∞．题18(苏北四市三模) 如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 ▲ ．解法1 记第n 行第m 个数为a n ，m ．为了得到a 13，10，则第1行必须写满22个数． 观察可得：a 13，1+a 13，10=2(a 12，1+a 12，11)=22(a 11，1+a 11，12)=…=212(a 1，1+a 1，22)=23×212． 所以，a 13，1+a 13，10=23×212． 另一方面，a 13，10=a 13，1+9×212． 联立解得 a 13，10=216．解法2 记第n 行的第1个数为a n ．于是，猜测(1)2n a n =+⋅．因第n 行的数从左到右排列成公差为12n -的等差数列，故第13行第10个数为111216142922⨯+⨯=．解法3 记第n 行的第1个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则12n n n a S +-=． 所以，S n +1-2S n =2n ，111222n n n n S S ++-=．又11122S =，故22n n S n =，S n =12n n -⋅．所以，2(1)2n n a n -=+⋅．下同解法2． 题19(南京市三模) 如图12，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ▲ ． 解法1 设CN =x ∈1[,1]2，则BM =DN =1-x ．作MP ⊥DC 交DC 于点P ，则PN =2x -1． 所以，MN 2=1+(2x -1)2=4x 2-4x +2，BN 2=x 2+1，22MN BN=224421x xx -++=24241x x +-+ =2441()12t t --+=44514t t -+-(其中t =12x +)，当且仅当54tt=，即t ，x 时，22MN BN 取最小值，所以CN解法2 设∠CBN =θ(θ∈[0,]4π)，则BN =1cos θ，DN =1-tan θ，MN1 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 …8 12 16 20 24 … 20 28 36 44 …48 64 80 … … … …图11所以，MNBN=cos其中cos ϕsin ϕ=．当sin(2)1θϕ+=时，MN BN 取最小值，此时tan 2tan()2θϕπ=-=1tan ϕ=2．解22tan 21tan θθ=-，得tan θ为所求(另一解为负，舍去)．题20(南通市三模) 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则c = ▲ ．解 可求得，当12n -≤x ≤2n (n ∈N *)时， f (x ) =22(1|3|)2n n x c ----．记函数f (x ) =22(1|3|)2n n x c ----(12n -≤x ≤2n ，n ∈N *)图象上极大值的点为P n (x n ，y n )．令2302nn x --=，即x n =232n -⋅时，y n =2n c -，故P n (232n -⋅，2n c -)． 分别令n =1，2，3，得 P 1(32，1c)，P 2(3，1)，P 3(6，c )． 由2123P P P P k k =(k 表示直线的斜率)得，c =2或c =1． 当c =2时，所有极大值的点均在直线13y x =上；当c =1时，y n =1对n ∈N *恒成立，此时极大值的点均在直线y =1上．变式 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c = ▲ ．略解 以原点为顶点的抛物线方程可设为x 2=py (p ≠0)或y 2=qx (q ≠0)． 若P n (232n -⋅，2n c -)在抛物线x 2=py (p ≠0)上，则(232n -⋅)2=2n pc -，即29()4n cp -=对n ∈N *恒成立，从而c =4；若P n (232n -⋅，2n c -)在抛物线y 2=qx (q ≠0)上，则(2n c -)2=232n q -⋅，即23n q -=对n ∈N *恒成立，从而c综上，c =4题22(扬州市三模) 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 解 若a ≤0，则f (x )在x >0时为增函数，故对任意正实数k ，不等式f (x +k )>f (x )恒成立．若a >0，则函数y =f (x +k )的图象可由函数y =f (x )的图象向左平移k个单位而得(如图13)．因k =2011，故仅当2011>6a 时，f (x +2011)>f (x )，所以此时0<a <20116．综上，实数a 的取值范围是a <20116．题23(徐州市三模) 若关于x 的方程x 4+ax 3+ax 2+ax +1=0有实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 解法1 因x ≠0，故将方程两边同除以x 3，并变形得211()()2x a x a x x++++-=0．令g (t )=22t at a ++-，t =1x x+∈(,2][2,)-∞-+∞ ． 原方程有实数根，等价于函数g (t )有零点．因g (-1)= -1，故函数g (t )有零点，只须g (-2)≤0或g (2)≤0． 解g (-2)≤0，得a ≥2；解g (2)≤0，得a ≤23-．所以，实数a 的取值范围为2(,][2,)3-∞-+∞ ．解法2 易知x =0不是方程的根，故x 3+x 2+x =213(())24x x ++≠0．所以，a =4321x x x x +-++=2111x x x x +-++=212()11x x x x-+++=12t t -+∈2(,][2,)3-∞-+∞ ，其中t =11x x ++∈(,1][3,)-∞-+∞ ．解法3 接解法2，a =4321x x x x+-++，于是2432322(1)(2421)()x x x x x a x x x -++++'=++． 因4322421x x x x ++++=x 2(x +1)2+(x +1)2+2x 2>0，故由0a '=可解得x =1或-1． 当x >0时，a <0，且当x =1时，a 取极大值23-，故此时a ≤23-；当x <0时，a >0，且当x = -1时，a 取极小值2，故此时a ≥2． 综上，实数a 的取值范围为2(,][2,)3-∞-+∞ ．题24(南通市最后一卷) 函数f (x )=32412x x x x -++的最大值与最小值的乘积是 ▲ ．解法1 当x ≠0，±1时，f (x )=2212x xx x-++=21()4x xx x--+=114()x x x x-+-．当1x >x 时，f (x )≤14，且当1x x -=2时，取“=”，故f (x )的最大值为14． 又因为f (x )为奇函数，故f (x )的最小值为14-．所以所求的乘积为116-． 解法2 令422361()(1)x x f x x -+'=+=0，得x 2=21)． 函数f (x )的最大值应在x -x 3>0，即0<x <1或x <-1时取得． 所以[f (x )]max =max{f1)，f(1)}=14，下同解法1．解法3 令x =tan θ，则g (θ)=f (x )=222tan (1tan )(1tan )θθθ-+=1sin 44θ∈11[,]44-，所求乘积为116-．注 题23与题24有异曲同工之妙，它们都出现了x ，x 2，x 3，x 4，经换元后，分别得到了只关于整体变量1x x +及1x x-的表达式，进而一举解决了问题． 题25(淮安市四模) 已知函数f (x )=|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|100x -1|，则当x = ▲ 时，f (x )取得最小值．解 f (x )=123100111111|1|||||||||||||2233100100x x x x x x x -+-+-+-++-++-++- 项项项项， f (x )共表示为5050项的和，其最中间两项均为1||71x -．x =171，同时使第1项|x -1|与第5050项1||100x -的和， 第2项1||2x -与第5049项1||100x -的和，第3项与第5048项的和，…，第2525项与第2526项的和，取得最小值．故所求的x 为171． 注 1．一般地，设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n (n ∈N *)，f (x )=|x -a 1|+|x -a 2|+|x -a 3|+…+|x -a n |．若n 为奇数，则当x =12n a +时，f (x )取最小值；若n 为偶数，则x ∈122[,]n n a a +时，f (x )取最小值．2．本题似于2011年北大自主招生题：“求|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|2011x -1|的最小值”相关联．。
南师附中2011届高三模拟考试(数学)
南师附中2011届高三模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)2011．05一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ＞1}，则∁U A ＝______________.2. 已知复数z ＝2i1＋i，则该复数的虚部为______________．3. 已知双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为x －y ＝0，则该双曲线的标准方程为__________．4. 在如图所示的流程图中，输出的结果是__________．(第4题)5. 在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若A ＝30°，a ＝1，b ＝2，则B ＝____________.6. 已知向量a 与b 的夹角为150°，且|a|＝2，|b|＝3，则(2a ＋b )·a ＝____________.7. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x (x ≥0)，－x 2－4x (x ＜0)，若f (x )≤3，则x 的取值范围是____________．8. 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2图象的一部分，则此函数的表达式为____________．(第8题)9. 某人2011年初向银行申请个人住房公积金贷款a (a ＞0)元购买住房，年利率为r (r ＞0)，按复利计算，每年等额还贷一次，并从贷款后的次年初开始还贷．如果10年还清，那么每年应还贷款__________元．(用a 、r 表示)10. 已知函数f (x )＝xx ＋a，若函数y ＝f (x ＋2)－1为奇函数，则实数a ＝____________.11. 已知等差数列{a n }的公差不为零且a 3、a 5、a 8依次成等比数列，则S 5a 9＝______________.12. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右准线与x 轴交于点A ，点B 的坐标为(0，a )，若椭圆上的点M 满足AB →＝2AM →，则椭圆C 的离心率为____________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，N ＝{(x －y ，x ＋y )|(x ，y )∈M }，则当(x ，y )∈N 时，z ＝x －2y 的最大值为______________．14. 已知函数f (x )＝4x ＋k ·2x ＋14x ＋2x ＋1，若对于任意实数x 1、x 2、x 3，均存在以f (x 1)、f (x 2)、f (x 3)为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)某学科在市模考后从全年级抽出50名学生的学科成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图如图所示．(1) 估计该次考试该学科的平均成绩；(2) 为详细了解每题的答题情况，从样本中成绩在70～90之间的试卷中任选2份进行分析，求至少有1份试卷成绩在70～80之间的概率．16.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝13.(1) 求2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋B ＋C 2＋sin 4π3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A 的值； (2) 若a ＝3，求三角形面积的最大值．17. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，AB ⊥BP ，M 、N 分别为AC 、PD 的中点．求证：(1) MN ∥平面ABP ；(2) 平面ABP ⊥平面APC 的充要条件是BP ⊥PC .18. (本小题满分16分)已知直线l 1、l 2分别与抛物线x 2＝4y 相切于点A 、B ，且A 、B 两点的横坐标分别为a 、b (a 、b ∈R )．(1) 求直线l 1、l 2的方程；(2) 若l 1、l 2与x 轴分别交于P 、Q ，且l 1、l 2交于点R ，经过P 、Q 、R 三点作⊙C . ① 当a ＝4，b ＝－2时，求⊙C 的方程；② 当a ，b 变化时，⊙C 是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．19. (本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，且S n ＝2n ＋7－2a n . (1) 求证：{a n －2}为等比数列；(2) 是否存在实数k ，使得a n ≤n 3＋kn 2＋9n 对于任意的n ∈N *都成立？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由．20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝12ax 2－2x ＋2＋ln x ，a ∈R .(1) 当a ＝0时，求f (x )的单调增区间；(2) 若f (x )在(1，＋∞)上只有一个极值点，求实数a 的取值范围；(3) 对于任意x 1、x 2∈(0,1]，都有|x 1－x 2|≤|f (x 1)－f (x 2)|，求实数a 的取值范围.南京市名校2011届高三模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. [选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修41：几何证明选讲如图，D 为△ABC 的BC 边上的一点，⊙O 1经过点B 、D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C 、D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1、⊙O 2交于点G .求证：(1) ∠BAC ＋∠EGF ＝180°； (2) ∠EAG ＝∠EFG .B. 选修42：矩阵与变换已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－22－2，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，试计算M 9β.C. 选修44：坐标系与参数方程已知曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ＋2，y ＝3t (t 为参数)相交于两点A 、B ，求A 、B 的坐标．D. 选修45：不等式选讲已知x 、y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.[必做题]第22、23题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4，E 为BC 的中点，F为直线CC 1上的动点，设C 1F →＝λFC →.(1) 当λ＝1时，求二面角F —DE —C 的余弦值； (2) 当λ为何值时，有BD 1⊥EF?23. 某养鸡场对疑似有传染病的100只鸡进行抽血化验，根据流行病学理论这些鸡的感染率为10%，为了减少抽检次数，首先把这些鸡平均分成若干组，每组n 只，并把同组的n 只鸡抽到的血混合在一起化验一次，若发现有问题，再分别对该组n 只鸡逐只化验．(1) 当n ＝4时，记某一组中病鸡的数量为X ，求X 的概率分布和数学期望； (2) 当n 为多少时，化验次数最少？并说明理由．南京市名校2011届高三模拟考试数学参考答案及评分标准1. (－∞，2]2. 13. x 23－y 23＝1 4. 10 5. 45°或135° 6. 5 7. [－1,9]∪(－∞，－3]8. y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 9. ar (1＋r )10(1＋r )10－110. －2 11. 2 12. 22 13. 3 14. －12≤k ≤4 15. 解：(1) 用每组中的平均值作为每组中的样本数据，直接算得平均成绩为103.4.(5分)(2) 样本中成绩在70～80之间有2人，设其编号为①②，样本中成绩在80～90之间有4人，设其编号为③④⑤⑥，从上述6人中任取2人的所有选取可能为：①②，①③，①④，①⑤，①⑥；②③，②④，②⑤，②⑥； ③④，③⑤，③⑥；④⑤，④⑥；⑤⑥.(9分)故从样本中成绩在70～90之间任选2人所有可能结果数为15，(12分)至少有1人成绩在70～80之间可能结果数为9，因此，所求概率为P 2＝0.6.(14分)16. 解：(1) 2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋B ＋C 2＋sin 4π3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋B ＋C ＋sin π3sin A (2分) ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫5π3－A ＋sin π3sin A ＝1＋cos 5π3cos A ＋sin 5π3sin A ＋sin π3sin A＝1＋cos π3cos A －sin π3sin A ＋sin π3sin A＝76.(6分) (2) ∵ b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝13，∴ 23bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2.(8分)又a ＝3，∴ bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc ＝94，故bc 的最大值是94.(10分)∵ cos A ＝13，∴ sin A ＝223，S ＝12bc sin A ≤342.(12分)故三角形面积的最大值是324.(14分)17. 证明：(1) 连结BD ，由已知，M 为AC 和BD 的中点．又N 为PD 的中点，∴ MN ∥BP .∵ MN ⊂面ABP ，∴ MN ∥面ABP .(6分) (2) ∵ AB ⊥BP ，AB ⊥BC ，∴ AB ⊥面BPC ， ∴ AB ⊥PC .(8分) 充分性：∵ BP ⊥PC ，∴ PC ⊥面ABP ， 平面ABP ⊥平面APC .(10分)必要性：过点B 作BE ⊥AP 于E ， ∵ 平面ABP ⊥平面APC ， ∴ BE ⊥面APC ，∴ BE ⊥PC .∵ PC ⊥AB ， ∴ PC ⊥面ABP ， ∴ BP ⊥PC .(14分)18. 解：(1) A ⎝⎛⎭⎫a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫b ，b 24，记f (x )＝x 24，f ′(x )＝x 2，则l 1的方程为y －a 24＝a 2(x －a )，即y ＝a 2x －a 24；同理得l 2的方程为y ＝b 2x －b24.(6分)(2) 由题意a ≠b 且a 、b 不为零，联立方程组可求得P ⎝⎛⎭⎫a 2，0，Q ⎝⎛⎭⎫b 2，0，R ⎝⎛⎭⎫a ＋b2，ab .(8分)抛物线的焦点F (0,1)，∵ K PF ＝－2a，∴ K PF ·K P A ＝－1，故l 1⊥PF ，同理l 2⊥RF .(10分)∴ 经过P 、Q 、R 三点的⊙C 就是以FR 为直径的圆，∴ ⊙C ：x ⎝⎛⎭⎫x －a ＋b 2＋(y －1)(y －ab )＝0，当a ＝4，b ＝－2时，⊙C ：x 2＋y 2－x ＋7y －8＝0，(14分) 显然当a ≠b 且a 、b 不为零时，⊙C 总过定点F (0,1)．(16分) 19. (1) 证明：n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋7－2a 1，解得a 1＝3.(2分) n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2－2a n ＋2a n －1，即3a n ＝2a n －1＋2，可得a n －2＝23(a n －1－2)，所以{a n －2}是首项为1，公比为23的等比数列．(6分)(2) 解：由(1)可得：a n －2＝⎝⎛⎭⎫23n －1，所以a n ＝2＋⎝⎛⎭⎫23n －1.由2＋⎝⎛⎭⎫23n －1≤n 3＋kn 2＋9n 得k ≥2n 2＋⎝⎛⎭⎫23n －1n2－⎝⎛⎭⎫n ＋9n ，(8分) 只需求出p (n )＝2n 2＋⎝⎛⎭⎫23n －1n2－⎝⎛⎭⎫n ＋9n 的最大值即可． 设f (n )＝2n 2，g (n )＝⎝⎛⎭⎫23n －1n2，h (n )＝－⎝⎛⎭⎫n ＋9n ，(10分) 易得f (n )单调递减，g (n )g (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫23n －1n 2÷⎝⎛⎭⎫23n (n ＋1)2＝32⎝⎛⎫n ＋1n 2＞1，所以g (n )＜g (n ＋1)，(12分) 故g (n )单调递减，h (n )－h (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋9n ＝n 2＋n －9n (n ＋1)，当n ≥3时，h (n )＞h (n ＋1)，故n ≥3时，h (n )单调递减，所以n ≥3时，p (n )＝2n 2＋⎝⎛⎭⎫23n －1n2－⎝⎛⎭⎫n ＋9n 随着n 的增大而减小，(14分) 而p (1)＝－7，p (2)＝－356，p (3)＝－46481，所以p (n )的最大值为p (3)＝－46481，故k ≥－46481.(16分)20. 解：(1) 当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2＋ln x ，令f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ＞0，解出：0＜x＜12， 所以f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12或⎝⎛⎦⎤0，12.(3分) (2) 令f ′(x )＝ax －x ＋1x ＝ax 2－2x ＋1x＝0，f (x )在(1，＋∞)上只有一个极值点⇔f ′(x )＝0在(1，＋∞)上只有一个根且不是重根．(5分)令g (x )＝ax 2－2x ＋1，x ∈(1，＋∞)，① 当a ＝0时，g (x )＝－2x ＋1，不在(1，＋∞)上有一个根，舍去；② 当a ＞0时，g (x )＝ax 2－2x ＋1，在(1，＋∞)上只有一个根且不是重根⇔g (1)＜0⇔0＜a ＜1；③ 当a ＜0时，g (x )＝ax 2－2x ＋1，在(1，＋∞)上只有一个根且不是重根⇔g (1)＞0⇔a ＞1；矛盾．综上所述，实数a 的取值范围是0＜a ＜1.(8分) 注：②③可以合并为：ag (1)＜0⇔0＜a ＜1.(3) 当x 1＝x 2，显然满足，以下讨论x 1≠x 2的情况．① 当a ≥1时，f ′(x )＝ax 2－2x ＋1x ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2－1a＋1x，∵ x ∈(0,1]，1a ∈(0,1]，∴ a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2－1a ＋1≥1－1a≥0，得到f ′(x )≥0， 即f (x )在(0,1]上单调递增．(10分)对于任意x 1、x 2∈(0,1]，不妨设x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)，且x 2＞x 1代入不等式 |x 1－x 2|≤|f (x 1)－f (x 2)|⇔f (x 2)－f (x 1)≥x 2－x 1⇔f (x 2)－x 2≥f (x 1)－x 1，引入新函数：h (x )＝f (x )－x ＝12ax 2－3x ＋2＋ln x ，h ′(x )＝ax －3＋1x ＝ax 2－3x ＋1x，所以问题转化为h ′(x )≥0，x ∈(0,1]上恒成立⇔ax 2－3x ＋1≥0⇔a ≥3x －1x 2⇔a ≥⎝⎛⎭⎫3x －1x 2max .令l (x )＝3x －1x 2，通过求导或不等式判断都可以：l ′(x )＝2－3x x 3，当0＜x ＜23，l ′(x )＞0；23＜x ＜1，l ′(x )＜0，所以当x ＝23，l (x )max ＝l ⎝⎛⎭⎫23＝94，所以a ≥94；(13分)② 当a ＜1且a ≠0时，f ′(x )＝ax 2－2x ＋1x，令k (x )＝ax 2－2x ＋1＝0，方程判别式Δ＝4－4a ＞0，且k (1)＝a －1＜0；所以f (x )在(0,1)上只有一个极大值．不妨设极大值点为x 1，记A (x 1，f (x 1))，在A 点处的切线的斜率为0；过A 点作一条割线AB ，肯定存在点B (x 2，f (x 2))使得|k AB |＜1.因为|k AB |慢慢变成0.这样存在x 1、x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)||x 1－x 2|＜1与|x 1－x 2|≤|f (x 1)－f (x 2)|矛盾．当a ＝0时，f (x )在(0,1)上只有一个极大值，同样得出矛盾．综上所述，求实数a 的取值范围为a ≥94.(16分)第 10 页 共 11 页 金太阳新课标资源网南京市高三数学附加题参考答案 第页(共2页)南京市名校2011届高三模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：(1)连结GD ，由B 、D 、E 、G 四点共圆，可得∠EGA ＝∠B ，同理∠FGA ＝∠C ，故∠BAC ＋∠EGF ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°.(5分)(2) 由题知E 、G 、F 、A 四点共圆，故∠EAG ＝∠EFG .(10分)B. 解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－32－2λ＋2＝(λ－3)(λ＋2)＋4＝λ2－λ－2＝0，得λ1＝2，λ2＝－1.(4分)当λ1＝2时，对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21； 当λ1＝－1时，对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45＝α1＋2α2，(8分)所以M 9β＝29⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋(－1)92⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 022 508.(10分)C. (2,0)和⎝⎛⎭⎫1，32(10分) D. 证明： 因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2(4分) ＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥33(x －y )2·1(x －y )2＝3， 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(10分)22. (1) 解：建立空间直角坐标系，则E (1,0,0)，F (0,0,1)，EF →＝(－1,0,1)． 设平面ABCD 的法向量为n ，则n ＝(0,0,1)．D (0，－2,0)，F (0,0,2)，∴ EF →＝(－1,0,2)，DF →＝(0,2,2)．设平面FDE 的法向量为m ，则m·DF →＝0，m ·EF →＝0，m ＝(2，－1,1)．(4分)∴ cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n|＝66.∴ 二面角F —DE —C 的余弦值为66.(6分)(2) 显然D 1(0，－2,4)，B (2,0,0)，设F (0,0，t )，则EF →＝(－1,0，t )，BD 1＝(－2，－2,4)．要使EF ⊥BD 1，只要EF →·BD 1→＝0,2＋4t ＝0，t ＝－12. ∴ λ＝－9.(10分)23. 解：(1) 由题意X 服从B (4,0.9)，概率分布略，E (X )＝4×0.9＝0.36.(4分) (2) 由题意n ＝1,2,4,5,10,20,25,50,100.当n ＝1或100时，就是逐只检验，检验次数为100.(5分) 当n ∈{2,4,5,10,20,25,50}，将100只鸡平均分成100n组，每组n 只，设X 为n 只鸡中的病鸡数，则X 服从B (n,0.9)，这n 只鸡中无病鸡的概率为0.9n ，这时化验1次；若n 只鸡中有病鸡，其概率为1－0.9n ，金太阳新课标资源网 第 11 页 共 11 页 金太阳新课标资源网 此时化验n ＋1次．设Y 为nE (Y )＝0.9n ＋(n ＋1)(1－0.9n )－0.1)n . 则100n组共需化验次数为 E (Y )＝100n[n ＋1－n ·(1－0.1)n ] ≈100n ⎣⎡⎦⎤n ＋1－n ·⎝⎛⎭⎫1－0.1n ＋n 2－n 2×0.12 ＝100n ⎝⎛⎭⎫1＋0.1n 2－n 2－n 200 ＝100n＋9.5n ＋0.5，(8分) 函数f (x )＝100x＋9.5x 在(0,3]内递减，在[4，＋∞)内递增． 又f (2)＝69，f (4)＝63，故n ＝4时，化验次数最少．(10分)。
【最新】江苏省南京市2011届高三学情调研考试(数学)
6 7 1 1 6 6 „„„„„„„„„3 分
1 1 因此 X 的数学期望 E(X)＝(3＋4＋6＋7)× ＋5× ＝5． „„„„„„„„„5 分 6 3 （2）记“一次操作所计分数 X 不大于 E(X)”的事件记为 C，则 1 6 1 1 6 3 2 3
P(C)＝P(“X＝3”或“X＝4”或“X＝5”)＝ ＋ ＋ ＝ ． „„„„„„„7 分
x
2
y
2
x2 y2 化简得普通方程为 － ＝1． 16 64
（方法二）
„„„„„„„„„„10 分
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)， x＝2(t＋1 t 2x＋y 1 2x－y 因为 ，所以 t＝ ， ＝ ， 1 8 t 8 y＝4(t－t) (2x＋y)(2x－y) 相乘得 ＝1． 64
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
23．在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面△ABC 是直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D 为侧棱 AA1 的中点． （1）求异面直线 DC1，B1C 所成角的余弦值； （2）求二面角 B1－DC－C1 的平面角的余弦值．
D C A （第 23 题） B A1 C1 B1
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2011 届高三学情调研卷 数学附加题 注意事项： 1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟．